Optimisation numérique. Outline. Introduction et exemples. Daniele Di Pietro A.A Dénitions et notations

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Optimisation numérique. Outline. Introduction et exemples. Daniele Di Pietro A.A. 2012-2013. 1 Dénitions et notations"

Transcription

1 Optimisation numérique Introduction et exemples Daniele Di Pietro A.A Outline 1 Dénitions et notations 2 Applications Exemples en recherche opérationnelle Exemples en algèbre linéaire Exemples en commande optimale et en contrôle optimal 3 Programme du cours

2 Dénition et notations I On notera V l'espace dans lequel est posé le problème si V est de dimension nie, on supposera qu'il est un espace vectoriel normé (EVN) si V est de dimension innie, on supposera qu'il est un espace de Hilbert réel (EHR) (voir rappels) La solution appartient en général à un sous-ensemble K V dit ensemble des éléments admissibles Dénition et notations II Le critère ou fonction coût ou objectif est une fonction J : K R Le problème à étudier sera donc noté inf J(v) v K

3 Dénition et notations III Parfois on veut souligner que le minimum est atteint, à savoir u K, J(u) = inf v K J(v) On note alors de préférence min J(v) v K Attention, il ne s'agit pas d'une règle systématique! Dénition et notations IV Dénition (Minimum local de J sur K) On dit que u est un minimum local de J sur K ssi u K et δ > 0, v K, v u V < δ = J(v) J(u)

4 Dénition et notations V Dénition (Inmum de J sur K) On appelle inmum de J sur K la borne supérieure dans R des constantes qui minorent J sur K. Si J n'est pas minorée sur K, alors l'inmum vaut. Si K est vide, par convention l'inmum est +. Outline 1 Dénitions et notations 2 Applications Exemples en recherche opérationnelle Exemples en algèbre linéaire Exemples en commande optimale et en contrôle optimal 3 Programme du cours

5 Problème de transport I On dispose de M entrepôts indicés par 1 i M Chaque entrepôt dispose d'un niveau de stocks s i Il faut livrer N clients indicés par 1 j N Chaque client a commandé la quantité r j avec j r j i s i Le coût de transport unitaire entre l'entrepôt i et le client j est c ij Les variables de décision sont les quantités v ij de marchandise partant de l'entrepôt i vers le client j L'objectif est de minimiser le coût tout en satisfaisant les commandes des clients Problème de transport II On introduit la matrice V := (v ij ) R N,M avec v ij = quantité partant de l'entrepôt i vers le client j Mathématiquement cela revient à résoudre M inf V R N,M J(V ) := N c ij v ij i=1 j=1

6 Problème de transport III On ne déplace pas les merchandises d'un entrepôt à un autre et les stockes sont limités, v ij 0, N v ij s i j=1 Une deuxième contrainte vient de la satisfaction des clients, M v ij = r j i=1 1 j N Problème de transport IV Cet exemple est représentatif d'une classe importante de problèmes en RO, les programmes linéaires Une méthode de résolution ecace pour ces problèmes a été inventé par G. Dantzig en 1948 Une application célèbre est la planication du point aérien sur Berlin Nous allons étudier cette méthode dans la dernière partie du cours!

7 Problème d'aectation I Soit N femmes indicées par 1 i N et N hommes indicés par 1 j N On introduit les variables d'accord { 1 si i et j veulent se marier, a ij = 0 sinon Nous allons supposer par simplicité que seuls les mariages hétérosexuels sont autorisés Le but du jeu consiste à maximiser le nombre total de mariages Problème d'aectation II Soit S N l'ensemble des permutations de {1,..., N} Mathématiquement cela revient à chercher max σ S N N i=1 a iσ(i) Une diérence majeure par rapport au cas précédent est qu'ici on à aaire à un problème à variables entières Une variante consiste à autoriser des préférences nuancées, a ij (0, 1) 1 i, j N

8 Problème d'aectation III On introduit la matrice des variables de décision V = (v ij ) avec v ij = { 1 s'il y a mariage entre i et j, 0 sinon Il s'agit dans ce cas de résoudre N sup V J(V ) := soumis aux contraintes i=1 j=1 N a ij v ij v ij {0, 1}, N v ik 1, N v kj 1 1 i, j N k=1 k=1 Pour les célibataires : nous n'allons pas traiter ce problème en cours Tournée du voyageur de commerce I Il s'agit d'un autre exemple célèbre en optimisation combinatoire Un représentant doit visiter n villes successivement et revenir à son point de départ Soit t ij le temps pour rejoindre la ville i de la ville j, avec éventuellement t ij t ji L'objectif consiste à minimiser le temps de parcours en passant une et une seul fois par chaque ville On peut reformuler ce problème en termes de théorie des graphes

9 Tournée du voyageur de commerce II Soit C l'ensemble des cycles du graphe qui passent une et une seule fois par toutes les villes Il s'agit de résoudre min C C { J(C) := c C t c1,c 2 } Optimisation quadratique à contraintes linéaires Soit A R n,n symétrique dénie positive et b R n Soit B R m,n, m n, de rang plein On souhaite résoudre le problème {J(x) := 12 } Ax x b x inf x ker B Ce problème est central en mécanique des uides numérique lorsqu'on a aaire à un uide incompressible Cet exemple sera développé en cours

10 Calcul de la première valeur propre Soit A R n,n symétrique On veut caractériser et calculer les solution de inf Ax x x R n, x 2 =1 On verra en cours qu'il s'agit des vecteurs propres de A associés à sa plus petite valeur propre Régression au sens des moindres carrés I Soit {(x i, y i )} 1 i N un nuage de N 3 points de R 2 Le problème consiste à déterminer la droite qui s'en approche le plus au sens des moindres carrés Mathématiquement cela revient à chercher a, b R qui minimisent J(a, b) := N [y i (ax i + b)] 2 i=1

11 Régression au sens des moindres carrés II Plus généralement, soit A R M,N, M < N Si A n'est pas de rang plein, il existe des vecteurs y R N t.q. le système linéaire Av = y, n'admet pas de solution On peut alors le résoudre au sens des moindres carrés en cherchant un vecteur y R M minimisant la quantité J(v) := Av y 2 2 La régression au sens des moindres carré n'est que le cas particulier x 1 1 A =.. x N 1 Minimisation d'une énergie mécanique I a f b On cherche la conguration d'équilibre d'une membrane soumise à un chargement correspondante à l'énergie mécanique minimale Soit Ω = (a, b) la conguration de la membrane à repos, et plaçons-nous sous l'hypothèse de petites déformations Soit f le chargement par unité de longueur La membrane est supposée xée sur son contour

12 Minimisation d'une énergie mécanique II Soit V l'espace des déformations correspondantes à une quantité d'énergie nie Mathématiquement il s'agit de résoudre inf v V { J(v) := 1 } v 2 fv 2 Ω Ω Cet exemple se généralise pour Ω R d, d 2, en posant J(v) := 1 v 2 fv 2 Ω Ω Minimisation d'une énergie mécanique III Un exemple plus compliqué vient de la mécanique des uides Soit Ω la région d'espace occupé par un uide Newtonien incompressible soumis à la force volumique f L'écoulement visqueux stationnaire satisfait minimise l'énergie J(v) := ν v 2 f v, 2 Ω où ν est la viscosité dynamique du uide v est un champs de vitesse incompressible, à savoir, v = 0 Ω

13 Minimisation d'une énergie mécanique IV Figure: Exemple d'écoulement visqueux stationnaire (cavité entraînée) Commande optimale I On considère le problème de guider un robot an qu'il suive au plus près une trajectoire prédénie L'état du robot à l'instant t est représenté par une fonction y(t) à valeurs dans R N (position, vitesse) On agit sur le robot par l'intermédiaire d'une commande v(t) (puissance du moteur, direction des roues, etc.) Les lois de la mécanique classique conduisent au système d'odes dy(t) = Ay(t) + Bv(t) + f(t) pour 0 t T dt y(0) = y 0, (Σ) avec A R N,N et B R N,M

14 Commande optimale II Soit z(t) la trajectoire cible et z T la position nale cible On introduit les matrices symétriques positives R, Q et D avec R dénie On dénit le critère quadratique J(v) := + T 0 T 0 Rv(t) v(t)dt Q(y z)(t) (y z)(t)dt coût du contrôle traj. cible + D(y(T ) z T ) (y(t ) z T ), pos. nale cible où l'on remarquera que y(t) dépend de v(t) via le système (Σ) Commande optimale III Pour tenir compte des limitations physiques (puissance d'un moteur, etc.) on introduit l'ensemble des commandes admissibles K R M Le problème consiste à résoudre inf J(v) v(t) K, 0 t T Lorsque la fonction à optimiser dépend de la solution d'une équation diérentielle ordinaire (EDO) on parle de commande optimale

15 Contrôle d'une membrane I On revient sur l'exemple d'une membrane élastique xée sur son contour se déformant sous l'action du chargement f Soit v une force de contrôle. Le problème est modélisé par l'edp u = f + v dans Ω, u = 0 où u représente le déplacement vertical sur Ω, Le contrôle, typiquement un actionneur pièzo-électrique, appartient à K := {v(x) λ v(x) Λ dans ω et v = 0 dans Ω \ ω}, avec ω Ω Contrôle d'une membrane II On cherche le contrôle qui rend le déplacement u le plus proche possible d'un déplacement désiré u 0 Mathématiquement, cela revient à résoudre inf J(v), v K avec J critère de distance donné, par exemple, par J(v) := 1 ( u u0 2 + c v 2) 2 Ω On remarquera que u dépend de v via l'edp écrit précédemment Ce problème est dit de contrôle optimal car, pour d 2, la fonction à minimiser dépend de la solution d'une EDP

16 Problème inverse I L'écoulement du pétrole dans le sous-sol est régi par l'équation de Darcy (k p) = f dans Ω, (Π) p = 0 sur Ω où k > 0 est la perméabilité et p la pression En pratique, la perméabilité est déterminée à partir de mesures de la pression Supposons que l'on dispose d'une mesure p 0 du champs de pression On souhaite trouver la valeur de k qui minimise l'écart entre la solution de (Π) et p 0 Problème inverse II Soit Ψ(k) l'unique solution de (Π) pour une valeur xée de k Il s'agit de résoudre { } inf J(v) := Ψ(k) p 0 2 k R + H 1 (Ω) Ce problème est dit d'identication de paramètre ou inverse

17 Un exemple en simulation de réservoir Figure: Optimisation de l'emplacement des puits dans un réservoir pétrolier Outline 1 Dénitions et notations 2 Applications Exemples en recherche opérationnelle Exemples en algèbre linéaire Exemples en commande optimale et en contrôle optimal 3 Programme du cours

18 Programme du cours Séance 1 Introduction et exemples 2 Rappels et compléments 3 Conditions d'existence et unicité 4 Inéquation d'euler 5 Multiplicateurs de Lagrange 6 Point selle, condition KTT 7 Méthode du gradient 8 Variations sur la méthode du gradient 9 Gradient conjugué 10 Newton + Broyden 11 Uzawa + dualité 12 Programmation linéaire + simplexe/1 13 Simplexe/2

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation

Plus en détail

Exercices théoriques

Exercices théoriques École normale supérieure 2008-2009 Département d informatique Algorithmique et Programmation TD n 9 : Programmation Linéaire Avec Solutions Exercices théoriques Rappel : Dual d un programme linéaire cf.

Plus en détail

Examen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008)

Examen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008) Examen optimisation Centrale Marseille (28) et SupGalilee (28) Olivier Latte, Jean-Michel Innocent, Isabelle Terrasse, Emmanuel Audusse, Francois Cuvelier duree 4 h Tout resultat enonce dans le texte peut

Plus en détail

Chapitre 6. Modélisation en P.L.I. 6.1 Lien entre PL et PLI. 6.1.1 Approximation de la PLI

Chapitre 6. Modélisation en P.L.I. 6.1 Lien entre PL et PLI. 6.1.1 Approximation de la PLI Chapitre 6 Modélisation en P.L.I. 6.1 Lien entre PL et PLI (P) problème de PL. On restreint les variables à être entières : on a un problème de PLI (ILP en anglais). On restreint certaines variables à

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire

Plus en détail

La notion de dualité

La notion de dualité La notion de dualité Dual d un PL sous forme standard Un programme linéaire est caractérisé par le tableau simplexe [ ] A b. c Par définition, le problème dual est obtenu en transposant ce tableau. [ A

Plus en détail

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2.1 Définition Une matrice n m est un tableau rectangulaire de nombres (réels en général) à n lignes et m colonnes ; n et m sont les dimensions de la matrice. Notation.

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

Recherche opérationnelle. Programmation linéaire et recherche opérationnelle. Programmation linéaire. Des problèmes de RO que vous savez résoudre

Recherche opérationnelle. Programmation linéaire et recherche opérationnelle. Programmation linéaire. Des problèmes de RO que vous savez résoudre Recherche opérationnelle Programmation linéaire et recherche opérationnelle Ioan Todinca Ioan.Todinca@univ-orleans.fr tél. 0 38 41 7 93 bureau : en bas à gauche Tentative de définition Ensemble de méthodes

Plus en détail

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale 22 septembre 2015 Généralités Dans tout ce qui suit V désigne un espace de Hilbert réel muni d un produit scalaire x, y. Définition Soit A une application

Plus en détail

Cours de RO - seconde partie : optimisation - Cahier de TD/TP

Cours de RO - seconde partie : optimisation - Cahier de TD/TP Cours de RO - seconde partie : optimisation - Cahier de TD/TP Stéphane Canu LITIS, INSA de Rouen, B.P. 08, 76801 Saint Etienne du Rouvray CEDEX stephane.canu@insa-rouen.fr 5 janvier 2011 Résumé liste de

Plus en détail

Cours MP. Espaces vectoriels normés

Cours MP. Espaces vectoriels normés Table des matières Espaces vectoriels normés B. Seddoug. Médiane Sup, Oujda I Norme et distance 1 I.1 Définitions..................... 1 I.2 Evn produit.................... 12 I.3 Notions topologiques

Plus en détail

TD 2 Exercice 1. Un bûcheron a 100 hectares de bois de feuillus. Couper un hectare de bois et laisser la zone se régénérer naturellement coûte 10 kf par hectares, et rapporte 50 kf. Alternativement, couper

Plus en détail

Jeux à somme nulle : le cas fini

Jeux à somme nulle : le cas fini CHAPITRE 2 Jeux à somme nulle : le cas fini Les jeux à somme nulle sont les jeux à deux joueurs où la somme des fonctions de paiement est nulle. Dans ce type d interaction stratégique, les intérêts des

Plus en détail

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q 1 Codes linéaires Un code de longueur n est une partie de F n q. Un code linéaire C de longueur n sur le corps ni F q est un sous-espace vectoriel de F n q. Par défaut, un code sera supposé linéaire. La

Plus en détail

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Cours d analyse numérique SMI-S4

Cours d analyse numérique SMI-S4 ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,

Plus en détail

Master de mathématiques Analyse numérique matricielle

Master de mathématiques Analyse numérique matricielle Master de mathématiques Analyse numérique matricielle 2009 2010 CHAPITRE 1 Méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires On veut résoudre un système linéaire Ax = b, où A est une matrice inversible

Plus en détail

Introduction à l Optimisation Numérique

Introduction à l Optimisation Numérique DÉPARTEMENT STPI 3ÈME ANNÉE MIC Introduction à l Optimisation Numérique Frédéric de Gournay & Aude Rondepierre Table des matières Introduction 5 Rappels de topologie dans R n 7 0.1 Ouverts et fermés de

Plus en détail

Systèmes différentiels. 1 Généralités, existence et unicité des solutions

Systèmes différentiels. 1 Généralités, existence et unicité des solutions Systèmes différentiels Cours de YV, L3 Maths, Dauphine, 2012-2013 Plan du cours. Le cours a pour but de répondre aux questions suivantes : - quand une équation différentielle a-t-elle une unique solution

Plus en détail

PARTIE I MÉTHODES STANDARDS EN OPTIMISATION DÉPARTEMENT GÉNIE MATHÉMATIQUE ET MODÉLISATION 4ÈME ANNÉE, 2012-2013. Aude RONDEPIERRE & Pierre WEISS

PARTIE I MÉTHODES STANDARDS EN OPTIMISATION DÉPARTEMENT GÉNIE MATHÉMATIQUE ET MODÉLISATION 4ÈME ANNÉE, 2012-2013. Aude RONDEPIERRE & Pierre WEISS DÉPARTEMENT GÉNIE MATHÉMATIQUE ET MODÉLISATION 4ÈME ANNÉE, 2012-2013. PARTIE I MÉTHODES STANDARDS EN OPTIMISATION NON LINÉAIRE DÉTERMINISTE Aude RONDEPIERRE & Pierre WEISS Table des matières 1 Introduction

Plus en détail

Théorie des ensembles

Théorie des ensembles Théorie des ensembles Cours de licence d informatique Saint-Etienne 2002/2003 Bruno Deschamps 2 Contents 1 Eléments de théorie des ensembles 3 1.1 Introduction au calcul propositionnel..................

Plus en détail

Applications #2 Problème du voyageur de commerce (TSP)

Applications #2 Problème du voyageur de commerce (TSP) Applications #2 Problème du voyageur de commerce (TSP) MTH6311 S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2014 (v2) MTH6311: Heuristiques pour le TSP 1/34 Plan 1. Introduction 2. Formulations MIP

Plus en détail

Correction de l épreuve intermédiaire de mai 2009.

Correction de l épreuve intermédiaire de mai 2009. Licence de Gestion. 3ème Année Année universitaire 8-9 Optimisation Appliquée C. Léonard Correction de l épreuve intermédiaire de mai 9. Exercice 1 Avec les notations du cours démontrer que la solution

Plus en détail

Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe

Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe Graphes et RO TELECOM Nancy A Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe J.-F. Scheid 1 Plan du chapitre I. Définitions 1 Graphe Graphe valué 3 Représentation d un graphe (matrice d incidence, matrice d

Plus en détail

SOMMES ET PRODUITS. 1 Techniques de calcul. 1.1 Le symbole. 1.2 Règles de calcul. Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

SOMMES ET PRODUITS. 1 Techniques de calcul. 1.1 Le symbole. 1.2 Règles de calcul. Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot SOMMES ET PRODUITS 1 Techniques de calcul 1.1 Le symbole Notation 1.1 Soient m et n deux entiers naturels. Alors { a m + a m+1 + + a + a n si m n, a = 0 sinon. On peut aussi noter m n =m a ou encore m,n

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples 45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et

Plus en détail

Le principe de moindre action

Le principe de moindre action Le principe de moindre action F. Hérau Laboratoire de Mathématiques Université de Reims Fete de la science novembre 2008 Définition Principe de moindre action : en physique, hypothèse selon laquelle la

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison

Plus en détail

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77 76 IV FORMES LINÉAIRES, DUALITÉ IV Formes linéaires, dualité Sommaire IV.1 Dual d un espace vectoriel.......... 77 IV.1.a Rappels sur les e.v................... 77 IV.1.b Rappels sur les applications linéaires........

Plus en détail

Gestion d'un entrepôt

Gestion d'un entrepôt Gestion d'un entrepôt Épreuve pratique d'algorithmique et de programmation Concours commun des écoles normales supérieures Durée de l'épreuve: 3 heures 30 minutes Juin/Juillet 2010 ATTENTION! N oubliez

Plus en détail

Recherche Opérationnelle 1A Programmation Linéaire Résolution d un Programme Linéaire Introduction

Recherche Opérationnelle 1A Programmation Linéaire Résolution d un Programme Linéaire Introduction Recherche Opérationnelle 1A Programmation Linéaire Résolution d un Programme Linéaire Introduction Zoltán Szigeti Ensimag April 4, 2015 Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, 2015 1 / 16 Forme Générale Définition

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Optimisation Discrète

Optimisation Discrète Prof F Eisenbrand EPFL - DISOPT Optimisation Discrète Adrian Bock Semestre de printemps 2011 Série 7 7 avril 2011 Exercice 1 i Considérer le programme linéaire max{c T x : Ax b} avec c R n, A R m n et

Plus en détail

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

LES DÉTERMINANTS DE MATRICES

LES DÉTERMINANTS DE MATRICES LES DÉTERMINANTS DE MATRICES Sommaire Utilité... 1 1 Rappel Définition et composantes d'une matrice... 1 2 Le déterminant d'une matrice... 2 3 Calcul du déterminant pour une matrice... 2 4 Exercice...

Plus en détail

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Bachir Bekka Février 2007 Le théorème de Perron-Frobenius a d importantes applications en probabilités (chaines

Plus en détail

Analyse en Composantes Principales

Analyse en Composantes Principales Analyse en Composantes Principales Anne B Dufour Octobre 2013 Anne B Dufour () Analyse en Composantes Principales Octobre 2013 1 / 36 Introduction Introduction Soit X un tableau contenant p variables mesurées

Plus en détail

X-ENS PSI - 2009 Un corrigé

X-ENS PSI - 2009 Un corrigé X-ENS PSI - 009 Un corrigé Première partie.. Des calculs élémentaires donnent χ A(α) = χ B(α) = X X + et χ A(α)+B(α) = X X + 4α + 4 On en déduit que Sp(A(α)) = Sp(B(α)) = {j, j } où j = e iπ 3 Sp(A(α)

Plus en détail

Ordonnancement. N: nains de jardin. X: peinture extérieure. E: électricité T: toit. M: murs. F: fondations CHAPTER 1

Ordonnancement. N: nains de jardin. X: peinture extérieure. E: électricité T: toit. M: murs. F: fondations CHAPTER 1 CHAPTER 1 Ordonnancement 1.1. Étude de cas Ordonnancement de tâches avec contraintes de précédences 1.1.1. Exemple : construction d'une maison. Exercice. On veut construire une maison, ce qui consiste

Plus en détail

DYNAMIQUE DE FORMATION DES ÉTOILES

DYNAMIQUE DE FORMATION DES ÉTOILES A 99 PHYS. II ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Exemples de problèmes et d applications. INF6953 Exemples de problèmes 1

Exemples de problèmes et d applications. INF6953 Exemples de problèmes 1 Exemples de problèmes et d applications INF6953 Exemples de problèmes Sommaire Quelques domaines d application Quelques problèmes réels Allocation de fréquences dans les réseaux radio-mobiles Affectation

Plus en détail

Relations binaires sur un ensemble.

Relations binaires sur un ensemble. Math122 Relations binaires sur un ensemble. TABLE DES MATIÈRES Relations binaires sur un ensemble. Relations d équivalence, relation d ordre. Table des matières 0.1 Définition et exemples...................................

Plus en détail

2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert

2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2. Opérateurs non bornés: définitions et propriétés élémentaires Soit H un espace de Hilbert et A un opérateur dans H, c est-à-dire, une application linéaire

Plus en détail

Mathématiques appliquées à l informatique

Mathématiques appliquées à l informatique Mathématiques appliquées à l informatique Jean-Etienne Poirrier 15 décembre 2005 Table des matières 1 Matrices 3 1.1 Définition......................................... 3 1.2 Les différents types de matrices.............................

Plus en détail

S. Zozor Information, inégalités et relations d incertitude

S. Zozor Information, inégalités et relations d incertitude Information, inégalités et relations d incertitude Steeve Zozor GIPSA-Lab CNRS Grenoble INP, Grenoble, France 17-21 Mai 2010 Plan du cours 1 Entropie mesure d incertitude Axiomes, entropie de Shannon et

Plus en détail

RAPPELS DE MATHEMATIQUES. ORTHOPHONIE Première année. Dr MF DAURES

RAPPELS DE MATHEMATIQUES. ORTHOPHONIE Première année. Dr MF DAURES RAPPELS DE MATHEMATIQUES ORTHOPHONIE Première année 27 28 Dr MF DAURES 1 RAPPELS DE MATHEMATIQUES I - LES FONCTIONS A - Caractéristiques générales des fonctions B - La fonction dérivée C - La fonction

Plus en détail

de calibration Master 2: Calibration de modèles: présentation et simulation d

de calibration Master 2: Calibration de modèles: présentation et simulation d Master 2: Calibration de modèles: présentation et simulation de quelques problèmes de calibration Plan de la présentation 1. Présentation de quelques modèles à calibrer 1a. Reconstruction d une courbe

Plus en détail

Chapitre 0 Introduction à la cinématique

Chapitre 0 Introduction à la cinématique Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

INTRODUCTION AUX PROBLEMES COMBINATOIRES "DIFFICILES" : LE PROBLEME DU VOYAGEUR DE COMMERCE ET LE PROBLEME DE COLORATION D'UN GRAPHE

INTRODUCTION AUX PROBLEMES COMBINATOIRES DIFFICILES : LE PROBLEME DU VOYAGEUR DE COMMERCE ET LE PROBLEME DE COLORATION D'UN GRAPHE Leçon 10 INTRODUCTION AUX PROBLEMES COMBINATOIRES "DIFFICILES" : LE PROBLEME DU VOYAGEUR DE COMMERCE ET LE PROBLEME DE COLORATION D'UN GRAPHE Dans cette leçon, nous présentons deux problèmes très célèbres,

Plus en détail

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel

Plus en détail

FIMA, 7 juillet 2005

FIMA, 7 juillet 2005 F. Corset 1 S. 2 1 LabSAD Université Pierre Mendes France 2 Département de Mathématiques Université de Franche-Comté FIMA, 7 juillet 2005 Plan de l exposé plus court chemin Origine du problème Modélisation

Plus en détail

Sujet. calculatrice: autorisée durée: 2 heures (10h-12h)

Sujet. calculatrice: autorisée durée: 2 heures (10h-12h) DS SCIENCES PHYSIQUES MATHSPÉ CONCOURS BLANC calculatrice: autorisée durée: 2 heures (10h-12h) Sujet Vaisseau spatial... 2 I.Vaisseau spatial dans un champ newtonien... 2 II.Vitesse de libération...3 A.Option

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES. CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires

Plus en détail

TD 3 : Problème géométrique dual et méthode des moindres carrés

TD 3 : Problème géométrique dual et méthode des moindres carrés Semestre, ENSIIE Optimisation mathématique 4 mars 04 TD 3 : Problème géométrique dual et méthode des moindres carrés lionel.rieg@ensiie.fr Exercice On considère le programme géométrique suivant : min x>0,y>0

Plus en détail

Rappels sur les tableaux et l algorithme du simplexe

Rappels sur les tableaux et l algorithme du simplexe Rappels sur les tableaux et l algorithme du simplexe À tout tableau est associée non seulement une base du problème initial (primal) mais également une base du problème dual. Les valeurs des variables

Plus en détail

PROBLEMES D'ORDONNANCEMENT AVEC RESSOURCES

PROBLEMES D'ORDONNANCEMENT AVEC RESSOURCES Leçon 11 PROBLEMES D'ORDONNANCEMENT AVEC RESSOURCES Dans cette leçon, nous retrouvons le problème d ordonnancement déjà vu mais en ajoutant la prise en compte de contraintes portant sur les ressources.

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

Factorisation des matrices creuses

Factorisation des matrices creuses Chapitre 5 Factorisation des matrices creuses 5.1 Matrices creuses La plupart des codes de simulation numérique en mécanique des fluides ou des structures et en électromagnétisme utilisent des discrétisations

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés Énoncé Soit E un espace vectoriel sur IK (IK = IR ou lc). Soit f un endomorphisme de E. On pose f 0 = Id E, et pour tout entier k 1, f k = f f k 1. 1. Montrer que (Im f k ) k 0 et (Ker f k ) k 0 forment

Plus en détail

Modélisation et Simulation

Modélisation et Simulation Cours de modélisation et simulation p. 1/64 Modélisation et Simulation G. Bontempi Département d Informatique Boulevard de Triomphe - CP 212 http://www.ulb.ac.be/di Cours de modélisation et simulation

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

Exercice : la frontière des portefeuilles optimaux sans actif certain

Exercice : la frontière des portefeuilles optimaux sans actif certain Exercice : la frontière des portefeuilles optimaux sans actif certain Philippe Bernard Ingénierie Economique & Financière Université Paris-Dauphine Février 0 On considère un univers de titres constitué

Plus en détail

Restauration d images

Restauration d images Restauration d images Plan Présentation du problème. Premières solutions naïves (moindre carrés, inverse généralisée). Méthodes de régularisation. Panorama des méthodes récentes. Problème général Un système

Plus en détail

Queue de la solution stationnaire d un modèle auto-régressif d ordre 1 à coefficients markoviens.

Queue de la solution stationnaire d un modèle auto-régressif d ordre 1 à coefficients markoviens. . Queue de la solution stationnaire d un modèle auto-régressif d ordre 1 à coefficients markoviens. Benoîte de Saporta Université de Nantes Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 1/37 Plan de l exposé 1.

Plus en détail

Modélisation et Simulation

Modélisation et Simulation Cours de modélisation et simulation p. 1/83 Modélisation et Simulation G. Bontempi Département d Informatique Boulevard de Triomphe - CP 212 http://www.ulb.ac.be/di Cours de modélisation et simulation

Plus en détail

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes. Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de

Plus en détail

I) Le temps des matrices. A- A propos des matrices. Quang-Thai NGO Ch 01. Difficulté ** Importance **** Objectifs

I) Le temps des matrices. A- A propos des matrices. Quang-Thai NGO Ch 01. Difficulté ** Importance **** Objectifs Ch01 : Matrice Les matrices ont été introduites récemment au programme des lycées. Il s agit d outils puissants au service de la résolution de problèmes spécifiques à nos classes, en particulier les problèmes

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications linéaires

Espaces vectoriels et applications linéaires Espaces vectoriels et applications linéaires Exercice 1 On considère l'ensemble E des matrices carrées d'ordre 3 défini par,,, 1) Montrer que est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des matrices

Plus en détail

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé ALGÈBRE PAD - Notes de cours S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé November 23, 2006 Table des Matières Espaces vectoriels Applications linéaires - Espaces vectoriels............................... 3 -. Approche

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Optimisation en nombres entiers

Optimisation en nombres entiers Optimisation en nombres entiers p. 1/83 Optimisation en nombres entiers Michel Bierlaire michel.bierlaire@epfl.ch EPFL - Laboratoire Transport et Mobilité - ENAC Optimisation en nombres entiers p. 2/83

Plus en détail

Introduction à la simulation de Monte Carlo

Introduction à la simulation de Monte Carlo Introduction à la simulation de 6-601-09 Simulation Geneviève Gauthier HEC Montréal e 1 d une I Soit X 1, X,..., X n des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. Elles sont obtenues

Plus en détail

Plus courts chemins, programmation dynamique

Plus courts chemins, programmation dynamique 1 Plus courts chemins, programmation dynamique 1. Plus courts chemins à partir d un sommet 2. Plus courts chemins entre tous les sommets 3. Semi-anneau 4. Programmation dynamique 5. Applications à la bio-informatique

Plus en détail

Cours de mathématiques - Alternance Gea

Cours de mathématiques - Alternance Gea Cours de mathématiques - Alternance Gea Anne Fredet 11 décembre 005 1 Calcul matriciel Une matrice n m est un tableau de nombres à n lignes( et m colonnes. 1 0 Par exemple, avec n = et m =, on peut considérer

Plus en détail

CHAPITRE V. de U U dans Hom(F, F ) est de classe C. b dans Hom(F,F ) est de classe C, l application b b. de U U

CHAPITRE V. de U U dans Hom(F, F ) est de classe C. b dans Hom(F,F ) est de classe C, l application b b. de U U CHAPITRE V FIBRÉS VECTORIELS 1. Fibrés vectoriels 1. Cartes et atlas vectoriels Soit B une variété différentielle. Considérons un B -ensemble, c est à-dire un ensemble M muni d une application p : M B.

Plus en détail

Exo7. Topologie générale. Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin

Exo7. Topologie générale. Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin Exo7 Topologie générale Exercice 1 1. Rappeler les définitions d une borne supérieure (inférieure) d un ensemble de nombres réels. Si A et B sont deux ensembles

Plus en détail

Optimisation linéaire

Optimisation linéaire Optimisation linéaire Recherche opérationnelle GC-SIE Algorithme du simplexe Phase I 1 Introduction Algorithme du simplexe : Soit x 0 une solution de base admissible Comment déterminer x 0? Comment déterminer

Plus en détail

Les relations de Plücker

Les relations de Plücker Université Claude Bernard LYON 1 Préparation à l'agrégation de Mathématiques Les relations de Plücker Michel CRETIN On montre que l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension r de K n est la sous-variété

Plus en détail

Mesure de la dépense énergétique

Mesure de la dépense énergétique Mesure de la dépense énergétique Bioénergétique L énergie existe sous différentes formes : calorifique, mécanique, électrique, chimique, rayonnante, nucléaire. La bioénergétique est la branche de la biologie

Plus en détail

Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome

Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome Frédéric Jean Unité de Mathématiques Appliquées ENSTA Le 02 février 2006 Outline 1 2 3 Modélisation Géométrique d un Robot Robot

Plus en détail

INTRODUCTION : EDP ET FINANCE.

INTRODUCTION : EDP ET FINANCE. INTRODUCTION : EDP ET FINANCE. Alexandre Popier Université du Maine, Le Mans A. Popier (Le Mans) EDP et finance. 1 / 16 PLAN DU COURS 1 MODÈLE ET ÉQUATION DE BLACK SCHOLES 2 QUELQUES EXTENSIONS A. Popier

Plus en détail

VIII Relations d ordre

VIII Relations d ordre VIII Relations d ordre 20 février 2015 Dans tout ce chapitre, E est un ensemble. 1. Relations binaires Définition 1.0.1. On appelle relation binaire sur E tout triplet R = (E, E, Γ) où Γ est une partie

Plus en détail

CHAPTER 1. Introduction

CHAPTER 1. Introduction CHAPTER Introduction.. Quelques notions mathématiques indispensables... Voisinage. On appelle voisinage d'un point x R tout intervalle ouvert ]x h, x + h[, avec h >, centré sur x. Une propriété P t est

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Actions de groupes. Exemples et applications

Actions de groupes. Exemples et applications 4 Actions de groupes. Exemples et applications G, ) est un groupe multiplicatif et on note ou G si nécessaire) l élément neutre. E est un ensemble non vide et S E) est le groupe des permutations de E.

Plus en détail

Algorithmes de recherche

Algorithmes de recherche Algorithmes de recherche 1 Résolution de problèmes par recherche On représente un problème par un espace d'états (arbre/graphe). Chaque état est une conguration possible du problème. Résoudre le problème

Plus en détail

GRANDEURS PHYSIQUES et EQUATIONS AUX DIMENSIONS

GRANDEURS PHYSIQUES et EQUATIONS AUX DIMENSIONS GRANDEURS PHYSIQUES et EQUATIONS AUX DIMENSIONS Par Silicium 628 La physique décrit la matière et l espace, leurs propriétés et leurs comportements. Les propriétés mesurables sont nommées GRANDEURS PHYSIQUES.

Plus en détail

ENSEIRB-MATMECA PG-113 2014. TP6: Optimisation au sens des moindres carrés

ENSEIRB-MATMECA PG-113 2014. TP6: Optimisation au sens des moindres carrés ENSEIRB-MATMECA PG-113 014 TP6: Optimisation au sens des moindres carrés Le but de ce TP est d implémenter une technique de recalage d images qui utilise une méthode vue en cours d analyse numérique :

Plus en détail

Introduction à l optimisation Première Partie : aspects théoriques Univ. Rennes 1, E.N.S. Rennes

Introduction à l optimisation Première Partie : aspects théoriques Univ. Rennes 1, E.N.S. Rennes Notes de cours - Préparation à l agrégation Introduction à l optimisation Première Partie : aspects théoriques Univ. Rennes 1, E.N.S. Rennes Yannick Privat ENS Cachan Bretagne, CNRS, Univ. Rennes 1, IRMAR,

Plus en détail

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE. Algèbre Linéaire. Bachelor 1ère année 2008-2009. Sections : Matériaux et Microtechnique

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE. Algèbre Linéaire. Bachelor 1ère année 2008-2009. Sections : Matériaux et Microtechnique ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Algèbre Linéaire Bachelor ère année 28-29 Sections : Matériaux et Microtechnique Support du cours de Dr Lara Thomas Polycopié élaboré par : Prof Eva Bayer Fluckiger

Plus en détail

CALCUL SCIENTIFIQUE. 1 Erreur absolue et erreur relative 2. 2 Représentation des nombres sur ordinateur 3

CALCUL SCIENTIFIQUE. 1 Erreur absolue et erreur relative 2. 2 Représentation des nombres sur ordinateur 3 MTH1504 2011-2012 CALCUL SCIENTIFIQUE Table des matières 1 Erreur absolue et erreur relative 2 2 Représentation des nombres sur ordinateur 3 3 Arithmétique flottante 4 3.1 Absorption........................................

Plus en détail

Introduction à l analyse numérique : exemple du cloud computing

Introduction à l analyse numérique : exemple du cloud computing Introduction à l analyse numérique : exemple du cloud computing Tony FEVRIER Aujourd hui! Table des matières 1 Equations aux dérivées partielles et modélisation Equation différentielle et modélisation

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail