Optimisation numérique. Outline. Introduction et exemples. Daniele Di Pietro A.A Dénitions et notations

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1 Optimisation numérique Introduction et exemples Daniele Di Pietro A.A Outline 1 Dénitions et notations 2 Applications Exemples en recherche opérationnelle Exemples en algèbre linéaire Exemples en commande optimale et en contrôle optimal 3 Programme du cours

2 Dénition et notations I On notera V l'espace dans lequel est posé le problème si V est de dimension nie, on supposera qu'il est un espace vectoriel normé (EVN) si V est de dimension innie, on supposera qu'il est un espace de Hilbert réel (EHR) (voir rappels) La solution appartient en général à un sous-ensemble K V dit ensemble des éléments admissibles Dénition et notations II Le critère ou fonction coût ou objectif est une fonction J : K R Le problème à étudier sera donc noté inf J(v) v K

3 Dénition et notations III Parfois on veut souligner que le minimum est atteint, à savoir u K, J(u) = inf v K J(v) On note alors de préférence min J(v) v K Attention, il ne s'agit pas d'une règle systématique! Dénition et notations IV Dénition (Minimum local de J sur K) On dit que u est un minimum local de J sur K ssi u K et δ > 0, v K, v u V < δ = J(v) J(u)

4 Dénition et notations V Dénition (Inmum de J sur K) On appelle inmum de J sur K la borne supérieure dans R des constantes qui minorent J sur K. Si J n'est pas minorée sur K, alors l'inmum vaut. Si K est vide, par convention l'inmum est +. Outline 1 Dénitions et notations 2 Applications Exemples en recherche opérationnelle Exemples en algèbre linéaire Exemples en commande optimale et en contrôle optimal 3 Programme du cours

5 Problème de transport I On dispose de M entrepôts indicés par 1 i M Chaque entrepôt dispose d'un niveau de stocks s i Il faut livrer N clients indicés par 1 j N Chaque client a commandé la quantité r j avec j r j i s i Le coût de transport unitaire entre l'entrepôt i et le client j est c ij Les variables de décision sont les quantités v ij de marchandise partant de l'entrepôt i vers le client j L'objectif est de minimiser le coût tout en satisfaisant les commandes des clients Problème de transport II On introduit la matrice V := (v ij ) R N,M avec v ij = quantité partant de l'entrepôt i vers le client j Mathématiquement cela revient à résoudre M inf V R N,M J(V ) := N c ij v ij i=1 j=1

6 Problème de transport III On ne déplace pas les merchandises d'un entrepôt à un autre et les stockes sont limités, v ij 0, N v ij s i j=1 Une deuxième contrainte vient de la satisfaction des clients, M v ij = r j i=1 1 j N Problème de transport IV Cet exemple est représentatif d'une classe importante de problèmes en RO, les programmes linéaires Une méthode de résolution ecace pour ces problèmes a été inventé par G. Dantzig en 1948 Une application célèbre est la planication du point aérien sur Berlin Nous allons étudier cette méthode dans la dernière partie du cours!

7 Problème d'aectation I Soit N femmes indicées par 1 i N et N hommes indicés par 1 j N On introduit les variables d'accord { 1 si i et j veulent se marier, a ij = 0 sinon Nous allons supposer par simplicité que seuls les mariages hétérosexuels sont autorisés Le but du jeu consiste à maximiser le nombre total de mariages Problème d'aectation II Soit S N l'ensemble des permutations de {1,..., N} Mathématiquement cela revient à chercher max σ S N N i=1 a iσ(i) Une diérence majeure par rapport au cas précédent est qu'ici on à aaire à un problème à variables entières Une variante consiste à autoriser des préférences nuancées, a ij (0, 1) 1 i, j N

8 Problème d'aectation III On introduit la matrice des variables de décision V = (v ij ) avec v ij = { 1 s'il y a mariage entre i et j, 0 sinon Il s'agit dans ce cas de résoudre N sup V J(V ) := soumis aux contraintes i=1 j=1 N a ij v ij v ij {0, 1}, N v ik 1, N v kj 1 1 i, j N k=1 k=1 Pour les célibataires : nous n'allons pas traiter ce problème en cours Tournée du voyageur de commerce I Il s'agit d'un autre exemple célèbre en optimisation combinatoire Un représentant doit visiter n villes successivement et revenir à son point de départ Soit t ij le temps pour rejoindre la ville i de la ville j, avec éventuellement t ij t ji L'objectif consiste à minimiser le temps de parcours en passant une et une seul fois par chaque ville On peut reformuler ce problème en termes de théorie des graphes

9 Tournée du voyageur de commerce II Soit C l'ensemble des cycles du graphe qui passent une et une seule fois par toutes les villes Il s'agit de résoudre min C C { J(C) := c C t c1,c 2 } Optimisation quadratique à contraintes linéaires Soit A R n,n symétrique dénie positive et b R n Soit B R m,n, m n, de rang plein On souhaite résoudre le problème {J(x) := 12 } Ax x b x inf x ker B Ce problème est central en mécanique des uides numérique lorsqu'on a aaire à un uide incompressible Cet exemple sera développé en cours

10 Calcul de la première valeur propre Soit A R n,n symétrique On veut caractériser et calculer les solution de inf Ax x x R n, x 2 =1 On verra en cours qu'il s'agit des vecteurs propres de A associés à sa plus petite valeur propre Régression au sens des moindres carrés I Soit {(x i, y i )} 1 i N un nuage de N 3 points de R 2 Le problème consiste à déterminer la droite qui s'en approche le plus au sens des moindres carrés Mathématiquement cela revient à chercher a, b R qui minimisent J(a, b) := N [y i (ax i + b)] 2 i=1

11 Régression au sens des moindres carrés II Plus généralement, soit A R M,N, M < N Si A n'est pas de rang plein, il existe des vecteurs y R N t.q. le système linéaire Av = y, n'admet pas de solution On peut alors le résoudre au sens des moindres carrés en cherchant un vecteur y R M minimisant la quantité J(v) := Av y 2 2 La régression au sens des moindres carré n'est que le cas particulier x 1 1 A =.. x N 1 Minimisation d'une énergie mécanique I a f b On cherche la conguration d'équilibre d'une membrane soumise à un chargement correspondante à l'énergie mécanique minimale Soit Ω = (a, b) la conguration de la membrane à repos, et plaçons-nous sous l'hypothèse de petites déformations Soit f le chargement par unité de longueur La membrane est supposée xée sur son contour

12 Minimisation d'une énergie mécanique II Soit V l'espace des déformations correspondantes à une quantité d'énergie nie Mathématiquement il s'agit de résoudre inf v V { J(v) := 1 } v 2 fv 2 Ω Ω Cet exemple se généralise pour Ω R d, d 2, en posant J(v) := 1 v 2 fv 2 Ω Ω Minimisation d'une énergie mécanique III Un exemple plus compliqué vient de la mécanique des uides Soit Ω la région d'espace occupé par un uide Newtonien incompressible soumis à la force volumique f L'écoulement visqueux stationnaire satisfait minimise l'énergie J(v) := ν v 2 f v, 2 Ω où ν est la viscosité dynamique du uide v est un champs de vitesse incompressible, à savoir, v = 0 Ω

13 Minimisation d'une énergie mécanique IV Figure: Exemple d'écoulement visqueux stationnaire (cavité entraînée) Commande optimale I On considère le problème de guider un robot an qu'il suive au plus près une trajectoire prédénie L'état du robot à l'instant t est représenté par une fonction y(t) à valeurs dans R N (position, vitesse) On agit sur le robot par l'intermédiaire d'une commande v(t) (puissance du moteur, direction des roues, etc.) Les lois de la mécanique classique conduisent au système d'odes dy(t) = Ay(t) + Bv(t) + f(t) pour 0 t T dt y(0) = y 0, (Σ) avec A R N,N et B R N,M

14 Commande optimale II Soit z(t) la trajectoire cible et z T la position nale cible On introduit les matrices symétriques positives R, Q et D avec R dénie On dénit le critère quadratique J(v) := + T 0 T 0 Rv(t) v(t)dt Q(y z)(t) (y z)(t)dt coût du contrôle traj. cible + D(y(T ) z T ) (y(t ) z T ), pos. nale cible où l'on remarquera que y(t) dépend de v(t) via le système (Σ) Commande optimale III Pour tenir compte des limitations physiques (puissance d'un moteur, etc.) on introduit l'ensemble des commandes admissibles K R M Le problème consiste à résoudre inf J(v) v(t) K, 0 t T Lorsque la fonction à optimiser dépend de la solution d'une équation diérentielle ordinaire (EDO) on parle de commande optimale

15 Contrôle d'une membrane I On revient sur l'exemple d'une membrane élastique xée sur son contour se déformant sous l'action du chargement f Soit v une force de contrôle. Le problème est modélisé par l'edp u = f + v dans Ω, u = 0 où u représente le déplacement vertical sur Ω, Le contrôle, typiquement un actionneur pièzo-électrique, appartient à K := {v(x) λ v(x) Λ dans ω et v = 0 dans Ω \ ω}, avec ω Ω Contrôle d'une membrane II On cherche le contrôle qui rend le déplacement u le plus proche possible d'un déplacement désiré u 0 Mathématiquement, cela revient à résoudre inf J(v), v K avec J critère de distance donné, par exemple, par J(v) := 1 ( u u0 2 + c v 2) 2 Ω On remarquera que u dépend de v via l'edp écrit précédemment Ce problème est dit de contrôle optimal car, pour d 2, la fonction à minimiser dépend de la solution d'une EDP

16 Problème inverse I L'écoulement du pétrole dans le sous-sol est régi par l'équation de Darcy (k p) = f dans Ω, (Π) p = 0 sur Ω où k > 0 est la perméabilité et p la pression En pratique, la perméabilité est déterminée à partir de mesures de la pression Supposons que l'on dispose d'une mesure p 0 du champs de pression On souhaite trouver la valeur de k qui minimise l'écart entre la solution de (Π) et p 0 Problème inverse II Soit Ψ(k) l'unique solution de (Π) pour une valeur xée de k Il s'agit de résoudre { } inf J(v) := Ψ(k) p 0 2 k R + H 1 (Ω) Ce problème est dit d'identication de paramètre ou inverse

17 Un exemple en simulation de réservoir Figure: Optimisation de l'emplacement des puits dans un réservoir pétrolier Outline 1 Dénitions et notations 2 Applications Exemples en recherche opérationnelle Exemples en algèbre linéaire Exemples en commande optimale et en contrôle optimal 3 Programme du cours

18 Programme du cours Séance 1 Introduction et exemples 2 Rappels et compléments 3 Conditions d'existence et unicité 4 Inéquation d'euler 5 Multiplicateurs de Lagrange 6 Point selle, condition KTT 7 Méthode du gradient 8 Variations sur la méthode du gradient 9 Gradient conjugué 10 Newton + Broyden 11 Uzawa + dualité 12 Programmation linéaire + simplexe/1 13 Simplexe/2