Activité 2 : Parallélogramme et centre de symétrie

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1 ctivités ctivité 1 : Les quadrilatères a. omment appelles-tu des figures géométriques qui ont plusieurs côtés? rois côtés? Quatre côtés? b. Quatre élèves ont nommé la igure 1. Quels sont ceux qui se sont trompés? igure 1 aïd aëtan érénice oumia c. Pour chaque figure, nomme ses côtés et ses diagonales. d. ans la vie courante, on dit que : «Lundi et mardi sont deux jours consécutifs.». Peux-tu citer deux côtés consécutifs de la igure 3? eux sommets consécutifs de la igure 2? H igure 2 N e. race un quadrilatère ayant deux côtés opposés parallèles. onne deux sommets opposés de ce quadrilatère. P f. onnais-tu des quadrilatères particuliers? Lesquels? M igure 3 ctivité 2 : Parallélogramme et centre de symétrie Le professeur demande à deux élèves de donner la définition d'un Miguel propose : «n parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles deux à deux.» alors que arek propose : «n parallélogramme est un quadrilatère qui possède un centre de symétrie.». Le professeur indique que les deux élèves ont raison et que les définitions qu'ils ont données sont équivalentes. a. n se propose de partir de la définition de Miguel pour aboutir à la définition de arek. Le professeur demande aux élèves de tracer un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles deux à deux. Voici les réponses de plusieurs camarades : L M H K lorent N Mike anguy Les quadrilatères ci-dessus semblent-ils avoir un centre de symétrie? i oui, où se situe-t-il? ecopie puis complète la phrase suivante : «i un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux alors il a....». b. n se propose de partir de la définition de arek pour aboutir à la définition de Miguel. oit un quadrilatère ayant un centre de symétrie que l'on note. Quel est le symétrique par rapport à : du point? u point? e la droite ()? Qu'en déduis-tu pour les deux droites () et ()? Quel est le symétrique par rapport à : du point? u point? e la droite ()? Qu'en déduis-tu pour les deux droites () et ()? ecopie puis complète la phrase suivante : «i un quadrilatère a un centre de symétrie alors il a ses côtés....». 128 PLLÉLMM HPI 3

2 ctivités ctivité 3 : ne figure à main levée... à l'œil ouvert n professeur demande à ses élèves de tracer une figure à main levée d'un parallélogramme tel que = 4 cm, = 7 cm, = 72. Voici les figures de cinq élèves : achid Élodie nissa Véronique Patrick a. Quels sont les élèves qui ont schématisé correctement l'énoncé? Pour les figures fausses, explique l'erreur commise. b. onstruis en vraie grandeur le parallélogramme. ctivité 4 : Propriétés du parallélogramme avec racenpoche a. vec le logiciel racenpoche, place trois points, et. n utilisant le bouton, construis les points et symétriques respectifs des points et par rapport à puis trace le parallélogramme en utilisant le bouton. b. race les segments [], [], [] et []. À l'aide de la règle, fais apparaître les longueurs de ces quatre segments. éplace les points et. Que remarques-tu? Que représente le point pour les segments [] et []? c. À l'aide de la règle, fais apparaître les longueurs des quatre côtés du éplace les points et. Que remarques-tu? xplique ta réponse en utilisant une propriété de la symétrie. d. ans la fenêtre nalyse, recopie : angle()= angle()= angle()= angle()= ppuie sur la touche 9 puis déplace les points et. Que remarques-tu? xplique ta réponse en utilisant une propriété de la symétrie. e. ans la fenêtre nalyse, recopie : calc(angle()+angle())= calc(angle()+angle())= ppuie sur la touche 9 puis déplace les points et. Que remarques-tu? f. Pour les questions b. à d., écris une propriété qui commence par : «i un quadrilatère est un parallélogramme alors....». HPI 3 PLLÉLMM 129

3 ctivités ctivité 5 : Parallélogrammes de bric et de broc Pour chaque question, tu justifieras ta réponse. a. Mathilde a superposé deux compas identiques pour matérialiser le même angle et forme ensuite un quadrilatère en croisant les branches. btient-elle nécessairement un parallélogramme? b. hristophe croise deux règles plates transparentes identiques. -t-il nécessairement un parallélogramme à l'intersection de ces règles? c. hmed croise deux règles plates de largeurs différentes. -t-il nécessairement un parallélogramme à l'intersection de ces règles? d. Paul essaie d'obtenir un parallélogramme en faisant coïncider les crayons et les pointes de deux compas de tailles différentes. Y parviendra-t-il? Pourquoi? e. Julie a trouvé deux façons de faire un parallélogramme avec deux feutres identiques et deux crayons identiques. omment a- t-elle fait? f. amir a un mètre pliant en cinq tronçons de 20 cm chacun. Il le déplie entièrement et rejoint les deux extrémités pour former un polygone. Peut-il former un parallélogramme? olorès dit qu'avec un autre mètre dont les dix tronçons mesurent 10 cm chacun, elle a trouvé deux solutions. xplique lesquelles. ctivité 6 : es parallélogrammes un peu particuliers a. vec le logiciel racenpoche, place trois points, et. n utilisant le bouton, construis les points et symétriques respectifs des points et par rapport à puis trace le quadrilatère en utilisant le bouton quadrilatère? Justifie ta réponse.. Quelle est la nature de ce b. ans la fenêtre nalyse, recopie : angle()= = = ppuie sur la touche 9 puis déplace le point jusqu'à obtenir = 90. Quelle semble être la nature du quadrilatère? xplique ta réponse en utilisant les propriétés sur les angles d'un c. éplace le point pour que l'angle ne soit pas égal à 90 et pour que =. Quelle semble être la nature du quadrilatère? xplique ta réponse en utilisant une propriété sur les côtés opposés d'un d. éplace le point pour que = 90 et pour que =. Quelle semble être la nature du quadrilatère? 130 PLLÉLMM HPI 3

4 ctivités ctivité 7 : Vous avez dit diagonales? a. vec le logiciel racenpoche, place trois points, et. n utilisant le bouton, construis les points et symétriques respectifs des points et par rapport à puis trace le quadrilatère en utilisant le bouton. Quelle est la nature de ce quadrilatère? Justifie ta réponse. b. ans la fenêtre nalyse, recopie : angle()= ppuie sur la touche 9 puis déplace le point jusqu'à obtenir = 90. Quelle semble être la nature du quadrilatère? Vérifie ta conjecture en faisant apparaître la longueur des quatre côtés du quadrilatère à l'aide de la règle utilisant une propriété de la médiatrice d'un segment. c. ans la fenêtre nalyse, recopie :. xplique ta réponse en = = ppuie sur la touche 9 puis déplace le point jusqu'à obtenir = et 90. Quelle semble être la nature du quadrilatère? Vérifie ta conjecture en recopiant dans la fenêtre nalyse : angle()= angle()= angle()= angle()= ppuie sur la touche 9. d. vec racenpoche, dessine un parallélogramme de centre qui a ses diagonales perpendiculaires et de la même longueur. Que remarques-tu? ctivité 8 : Mon beau losange n professeur demande à trois élèves d'expliquer les différentes étapes pour construire un losange : rnaud dit qu'il trace en pointillés un segment puis fait deux triangles isocèles identiques de chaque côté. ébastien dit qu'il trace en pointillés deux segments perpendiculaires qui se coupent en leur milieu puis qu'il relie leurs extrémités. udrey dit qu'elle trace deux segments de même longueur avec la même extrémité puis qu'elle trace les parallèles à ces deux segments. a. Pour chaque réponse d'élève, énonce la propriété du losange qui sert à sa construction. b. onstruis les trois losanges en respectant les programmes de construction de chacun. HPI 3 PLLÉLMM 131

5 Méthodes Méthode 1 : onstruire un parallélogramme dans un quadrillage xemple : oient trois points, et non alignés placés comme ci-contre. Place le point tel que soit un ela peut être résolu de deux façons différentes : n utilisant une propriété des côtés d'un parallélogramme parallèles. n trace les côtés [] et [] du quadrilatère. Le quadrilatère est un parallélogramme donc ses côtés [] et [] sont de même longueur et Pour aller de à, on se déplace de 6 carreaux vers la droite et de 1 carreau vers le haut. n reproduit ces mêmes déplacements à partir de. insi on obtient un quadrilatère non croisé tel que = et () // (), c'est donc bien un n utilisant la propriété des diagonales d'un parallélogramme n trace les côtés [] et [] du quadrilatère. Le quadrilatère est un parallélogramme donc ses diagonales [] et [] se coupent en leur milieu qu'on appelle I. n trace le segment [] et on place son milieu I. 'est également le milieu du segment []. I n place tel que I soit le milieu du segment [] en comptant les carreaux. insi a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, c'est donc bien un I À toi de jouer 1 eproduis sur ton cahier la figure suivante puis trace le parallélogramme H en utilisant une propriété des côtés du 2 eproduis sur ton cahier la figure suivante puis trace le parallélogramme en utilisant la propriété des diagonales du 132 PLLÉLMM HPI 3

6 Méthodes Méthode 2 : onstruire un parallélogramme sur papier blanc xemple : oient trois points, et non alignés. Place le point tel que soit un ela peut être résolu de plusieurs façons différentes, en voici deux : n utilisant une propriété des côtés d'un parallélogramme n trace les côtés [] et [] du quadrilatère. Le quadrilatère est un parallélogramme donc ses côtés opposés sont parallèles deux à deux : soit () // () et () // (). n trace la parallèle à () passant par. n trace la parallèle à () passant par. es deux droites sont sécantes en. insi a ses côtés opposés parallèles deux à deux, c'est donc bien un n utilisant une autre propriété des côtés d'un parallélogramme n trace les côtés [] et [] du quadrilatère. Le quadrilatère est un parallélogramme donc ses côtés opposés [] et [] sont de la même longueur deux à deux : soit = et =. À l'aide du compas, on reporte la longueur à partir du point. n reporte la longueur à partir du point. n place le point à l'intersection des deux arcs de cercle puis on trace les côtés [] et []. insi a ses côtés opposés égaux deux à deux, c'est donc bien un À toi de jouer 3 onstruis le parallélogramme PL tel que P = 5 cm, P = 6 cm et P = 74 en utilisant la propriété sur le parallélisme des côtés opposés du 4 onstruis le parallélogramme P tel que = 6 cm, P = 8 cm et P = 40 en utilisant la propriété sur l'égalité des longueurs des côtés opposés du 5 onstruis le parallélogramme VL tel que V = 4 cm, V = 5 cm et VL = 3 cm. HPI 3 PLLÉLMM 133

7 Méthodes Méthode 3 : tiliser les propriétés d'un parallélogramme À connaître Les propriétés sont du type : «i un quadrilatère est un parallélogramme alors....». xemple : est un parallélogramme tel que = 5 cm, = 6 cm et = 55. étermine la mesure de l'angle. Justifie. echerche : ➊ n sait que est un parallélogramme donc on dispose de toutes les propriétés de ce quadrilatère. émonstration : onnées n sait que est un parallélogramme et que = 55. Propriété i un quadrilatère est un parallélogramme alors ses angles opposés ont la même mesure. 5 cm ➋ n demande la mesure d'un angle, on utilise donc une propriété sur les angles du 55 6 cm onclusion onc = = 55. Méthode 4 : émontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme À connaître Les propriétés sont du type : «i un quadrilatère a... alors c'est un». xemple : oit I un triangle et le milieu du segment [I]. n a tracé le point, symétrique de par rapport à. émontre que I est un I echerche : ➊ n sait que I est un quadrilatère. n sait de plus que est le milieu de la diagonale [I] de ce quadrilatère et qu'il est également le milieu de la diagonale [] car et sont symétriques par rapport à. émonstration : onnées n sait que est le milieu de [I]. n sait que et sont symétriques par rapport à donc est aussi le milieu de []. Propriété i un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c'est un ➋ n cherche donc une propriété qui permet de démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme en utilisant ses diagonales. onclusion onc I est un 134 PLLÉLMM HPI 3

8 Méthodes Méthode 5 : onstruire un quadrilatère particulier par ses diagonales À connaître i un parallélogramme a ses diagonales de même longueur alors c'est un rectangle. i un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors c'est un losange. i un parallélogramme a ses diagonales de même longueur et perpendiculaires alors c'est un carré. xemple 1 : essine un rectangle de centre dont les diagonales mesurent 6 cm et tel que = 2 cm. 2 cm 3 cm 2 cm 2 cm Pour que le quadrilatère soit un rectangle, il faut tracer un quadrilatère dont les diagonales ont même milieu et même longueur. n construit le triangle isocèle en tel que = 2 cm et = 3 cm. n construit alors les points et symétriques respectifs de et de par rapport à. n termine le rectangle en traçant les segments [], [] et []. insi, le quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et qui ont même longueur, c'est donc bien un rectangle. xemple 2 : essine un losange N de centre M dont les diagonales vérifient = 8 cm et N = 5 cm. N N N M2,5 cm 8 cm M 2,5 cm M Pour que le quadrilatère N soit un losange, il faut tracer un quadrilatère dont les diagonales ont même milieu et sont perpendiculaires. n trace la diagonale [] et on place son milieu M. n trace la droite perpendiculaire à la droite () passant par M et on place les points N et sur cette droite à 2,5 cm du point M. n relie les points, N, et pour former le losange. insi, le quadrilatère N a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et qui sont perpendiculaires, c'est donc bien un losange. emarque : Pour construire un carré, on utilise la même méthode que pour le losange mais avec des diagonales de même longueur. À toi de jouer 6 onstruis un rectangle LN de centre dont les diagonales mesurent 7 cm et tel que l'angle L mesure 80. HPI 3 PLLÉLMM 135

9 Méthodes Méthode 6 : tiliser les propriétés d'un rectangle, d'un losange ou d'un carré xemple : MH est un rectangle de centre I. émontre que le triangle MI est un triangle isocèle en I. echerche : ➊ n parle d'un rectangle et de son centre. Le triangle MI fait intervenir les demi-diagonales du rectangle. émonstration : onnées n sait que MH est un rectangle de centre I. À toi de jouer Propriété i un quadrilatère est un rectangle alors ses diagonales ont même longueur et même milieu. ➋ n s'oriente donc vers une propriété des diagonales du rectangle. onclusion onc M = H puis M 2 = H, d'où MI = I. 2 omme le triangle MI a deux côtés égaux, il est isocèle en I. 7 essine un carré de centre X dont les diagonales mesurent 4 cm. émontre que le triangle X est un triangle rectangle isocèle en X. Méthode 7 : émontrer qu'un parallélogramme est un rectangle, un losange ou un carré À connaître i un parallélogramme a un angle droit alors c'est un rectangle. i un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur alors c'est un losange. i un parallélogramme a un angle droit et deux côtés consécutifs de même longueur alors c'est un carré. xemple : est parallélogramme tel que est un triangle isocèle en. émontre que est un losange. émonstration : onnées est un triangle isocèle en donc les côtés [] et [] sont de même longueur. est donc un parallélogramme avec deux côtés consécutifs [] et [] de même longueur. À toi de jouer Propriété i un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur alors c'est un losange. onclusion onc est un losange. 8 essine un parallélogramme tel que = 3 cm, = 6 cm et = 90.émontre que est un rectangle. 136 PLLÉLMM HPI 3

10 'entraîner érie 1 : Propriétés (1) 1 Parallélogrammes ou pas? a. bserve tous les quadrilatères ci-dessous et cite tous ceux qui sont des parallélogrammes en justifiant ta réponse. a b c 3 n considère le parallélogramme LIN ci-contre. ecopie et complète les phrases : a. N est l'image de par la symétrie de. b. L'image du segment [IL] par la symétrie de centre est le segment. c. I = d. ILN = e. L = I L N d e f 4 ans chaque cas, indique si le codage permet de déduire que le quadrilatère est un Justifie : a. d. g h k b. e. c. f. b. eproduis les parallélogrammes sur ton cahier et code-les. 2 Nom d'un parallélogramme! a. Parmi tous ces noms, relève ceux qui correspondent au parallélogramme ci-dessous : b. rouve tous les noms possibles du parallélogramme ci-contre (8 réponses). c. rouve quatre noms utilisant les lettres,, et H qui ne correspondent pas au parallélogramme du b.. d. ite tous les parallélogrammes que tu vois sur le dessin ci-dessous (un seul nom par parallélogramme) : H H I Les droites (), (H) et () sont parallèles. Les droites (), () et () sont parallèles. 5 Le quadrilatère ci-dessous est-il un parallélogramme? xplique pourquoi. 6 Milieu de trois segments 1,5 cm 2,8 cm a. race trois segments [], [] et [] ayant le même milieu. b. ite une droite parallèle à la droite (). Justifie ta réponse. c. ite cinq autres paires de droites parallèles. d. ur cette figure, trace trois parallélogrammes en utilisant des couleurs différentes. 7 Programme de tracé 1,4 cm 2,8 cm a. Place trois points, et non alignés et trace la droite (d) parallèle à () passant par. b. race le cercle de centre et de rayon. Il coupe la droite (d) en deux points et. c. Nomme les deux quadrilatères dont trois des sommets sont, et. émontre que ce sont des parallélogrammes. HPI 3 PLLÉLMM 137

11 'entraîner érie 2 : Propriétés (2) 8 Propriétés du rectangle a. ans la figure ci-dessous, quelle est la nature du quadrilatère L? Pourquoi? b. Que peut-on dire de la longueur des côtés opposés d'un rectangle? éduis-en les longueurs des côtés [L] et [L]. c. Que peut-on dire des diagonales [] et [L]? 9 Propriétés du rectangle a. ecopie et complète : V = ; = ; 2,5 cm V 35 V = ; V =. b. ite tous les triangles isocèles de la figure. c. ite tous les triangles rectangles de la figure. 10 vec le codage 4,4 cm Les deux quadrilatères ci-dessous sont-ils des rectangles? Justifie ta réponse. 11 À l'aide des étiquettes suivantes (que tu peux utiliser plus d'une fois) reconstitue cinq phrases correctes : un parallélogramme qui a est un losange un rectangle qui a des diagonales égales deux côtés consécutifs de même longueur est un rectangle un losange qui a des diagonales perpendiculaires 4,2 cm est un carré L Propriétés du losange ans chacun des cas suivants, on donne certaines mesures d'un losange de centre. rouve celles qui sont demandées. Justifie tes réponses en appliquant les propriétés du losange. a. n donne : = 9,1 cm, = 50. n demande : le périmètre P du losange,, et. b. n donne : = 2,8 cm, = 4,2 cm. n demande :, et. c. n donne : = 5,1 cm, = 110. n demande :, et. d. n donne : = 5 cm, = 60. n demande :,, et. Quelle est la nature du triangle? 13 Propriétés du carré a. onstruis, sur une feuille blanche, un carré NI tel que N = 5,2 cm. b. Place son centre et trace ses axes de symétrie. c. xplique pourquoi N = 45. d. ecopie et complète : NI = ; IN = ; NI =. 14 aux semblants a. onstruis un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur et qui n'est pas un carré. Quelle est la nature de ce quadrilatère? b. onstruis un quadrilatère qui a quatre angles droits et qui n'est pas un carré. Quelle est la nature de ce quadrilatère? 15 xes de symétrie du carré ur une feuille blanche, trace deux droites (d) et (d') perpendiculaires. Pour chacun des cas, construis le(s) carré(s) ayant (d) et (d') pour axes de symétrie sachant que... a.... ses côtés mesurent 5 cm. b.... ses diagonales mesurent 5 cm. 138 PLLÉLMM HPI 3

12 'entraîner érie 3 : onstructions (1) 16 Lorsque c'est possible, construis les parallélogrammes suivants. Quand la construction n'est pas possible, explique pourquoi. a. = 5 cm, = 3,5 cm et = 7 cm. b. = 2 cm, = 4,5 cm et = 3,5 cm. c. = 4 cm, = 2,8 cm et = 7 cm. 17 vec trois points a. Place trois points P, I et M non alignés. b. Place à main levée un point N tel que les points P, I, M et N soient les sommets d'un c. ombien y-a-t-il de positions possibles pour le point N? n appellera ces points N 1, N 2... ans chaque cas, trace puis nomme le parallélogramme obtenu. 18 ans chaque cas, construis un parallélogramme : a. LI tel que LI = 5 cm et I = 2,5 cm en utilisant l'équerre et la règle graduée. b. M tel que M = 7 cm et = 6 cm en utilisant la règle graduée. c. NH tel que N = 3 cm et N = 8 cm en utilisant le compas et la règle graduée. d. Les parallélogrammes tracés sont-ils les mêmes pour tous les élèves de la classe? 19 onstruis en vraie grandeur les parallélogrammes schématisés ci-dessous en utilisant les instruments de ton choix. (Les longueurs sont exprimées en centimètres.) a. b ans un repère a. Place dans un repère les points suivants : ( 1 ; 0), (1 ; 1) et (4 ; 2). b. Place les points, et pour que, et soient des parallélogrammes. c. onne les coordonnées des points, et. d. Que dire des points, et pour le triangle? c. d. 2,4 3, près avoir tracé une figure à main levée, construis en vraie grandeur les parallélogrammes suivants : a. V avec V = 5 cm, = 125 et V = 4 cm. b. L de centre I avec L = 6 cm, I = 3 cm et I = 4 cm. c. NI avec NI = 62 mm, NI = 40 et NI = race un segment [] de 7 cm de longueur. onstruis un parallélogramme dont [] est un côté puis un autre dont [] est une diagonale. 23 vec le périmètre onstruis un parallélogramme dont le périmètre est 16 cm et dont la longueur d'un côté est le triple de celle d'un côté consécutif. 24 vec des cercles race deux cercles concentriques de centre. n te servant uniquement d'une règle non graduée, trace un parallélogramme de centre dont deux sommets appartiennent à l'un des cercles et les deux autres à l'autre cercle. 25 À partir d'un programme de tracé a. onstruis un parallélogramme NI. b. race la diagonale [NI]. c. ans le triangle NI, construis la hauteur relative au côté [I]. lle coupe (I) en. d. ans le triangle NI, construis la hauteur relative au côté [N]. lle coupe (N) en. e. Quelle semble être la nature du quadrilatère NI? 26 Écris un programme de tracé pour les deux figures suivantes en commençant à chaque fois par : «race un..» a. P b. V et sont des parallélogrammes. HPI 3 PLLÉLMM 139

13 'entraîner érie 4 : onstructions (2) 27 nique ou pas? ans chacun des cas, construis deux figures non superposables quand c'est possible : un rectangle de diagonale 7 cm ; un losange de côté 4 cm ; un carré de diagonale 6 cm. 28 onstruis un triangle LIN rectangle en I. race ensuite le rectangle LIN en utilisant le compas et la règle non graduée. 29 onstruis les rectangles dessinés cidessous à main levée en respectant les mesures indiquées sur les figures (les longueurs sont données en centimètres) : a. b. 30 Même exercice pour les losanges suivants : a. b ,2 4,5 H c. d. N c. d. N K H 2,4 7 3,5 M K 3 M 4,5 L L NL = 8 31 éalise une figure à main levée puis construis, dans chaque cas, le quadrilatère demandé. a. Le rectangle MN tel que MN = 9 cm et M = 5 cm. b. Le losange tel que = 8 cm et = 6 cm. c. Le rectangle PL tel que P = 8 cm et L = 53. édige le programme de construction correspondant. d. Le losange LP de centre I tel que I = 4,5 cm et L = 2 3 P. 32 n losange a pour périmètre 20 cm et l'une de ses diagonales mesure 6 cm. onstruis un tel losange. 33 vec règle et compas a. Place deux points et. onstruis les points, et H tels que H soit un carré de centre. b. écris ta construction. 34 vec l'équerre et la règle graduée Place un point puis construis un carré M de centre et de côté mesurant 6,4 cm. 35 vec les axes de symétrie a. race une droite (d), place un point sur la droite (d) et un point L hors de cette droite, (L) n'étant pas perpendiculaire à (d). onstruis un losange dont et L sont deux sommets et (d) un axe de symétrie. b. race une droite (d), place un point sur la droite (d) et place un point hors de cette droite. onstruis un rectangle dont est un sommet, un point d'un côté et (d) un axe de symétrie. 36 vec le centre de symétrie a. onstruis un triangle H rectangle en H tel que H = 3 cm et H = 2,1 cm. b. onstruis le point symétrique du point par rapport à la droite (H). c. Place les points et tels que le quadrilatère soit un rectangle de centre. d. Place le point tel que le quadrilatère soit un losange de centre H. 140 PLLÉLMM HPI 3

14 'entraîner érie 5 : émonstrations (1) 37 Propriétés du parallélogramme Pour chaque énoncé, trace une figure à main levée et rédige une démonstration : a. Le quadrilatère NI est un parallélogramme tel que N = 4 cm. onne la longueur I. b. Le quadrilatère L est un parallélogramme de centre tel que sa diagonale [] a pour longueur 8 cm. onne la longueur. c. Le quadrilatère V est un parallélogramme tel que l'angle V a pour mesure 53. Quelle est la mesure de l'angle V? 38 émontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme Pour chaque énoncé, trace une figure codée à main levée et rédige une démonstration : a. JX est un quadrilatère de centre K tel que KJ = K et KX = K. émontre que c'est un b. est un quadrilatère tel que () est parallèle à () et () est parallèle à (). émontre que c'est un c. X est un quadrilatère non croisé tel que X = X et = X. émontre que c'est un d. V est un quadrilatère non croisé tel que (V) est parallèle à () et V =. émontre que c'est un 39 vec des cercles a. onstruis un cercle ( 1) de centre et de rayon 3,5 cm, et un cercle ( 2 ) de centre et de rayon 5 cm. b. Place deux points et sur ( 1) tels que [] soit un diamètre de ( 1 ). Puis place deux autres points et sur ( 2), non alignés avec et tels que [] soit un diamètre de ( 2 ). c. émontre que est un d. onne les longueurs et. Justifie ta réponse. 40 ache-cache a. race un parallélogramme H. b. La parallèle à () passant par H coupe la droite () en M. onstruis le point M. c. émontre que MH est un 41 n utilisant la symétrie a. n donne un triangle. onstruis le point I symétrique du point par rapport au point. onstruis le point L symétrique du point par rapport au point. b. émontre que le quadrilatère LI est un 42 n deux étapes a. et sont deux parallélogrammes. émontre que est un b. Prouve que =. 43 L'un dans l'autre Les quadrilatères et, représentés sur la figure ci-dessous, sont deux parallélogrammes. a. Que représente le point pour la figure? b. émontre que le quadrilatère est un 44 issectrices a. onstruis un parallélogramme tel que = 110, = 5 cm et = 9 cm. La bissectrice de l'angle coupe le segment [] en K et la bissectrice de l'angle coupe le segment [] en L. b. émontre que les angles K et L sont de même mesure. c. émontre que LK est un HPI 3 PLLÉLMM 141

15 'entraîner érie 6 : émonstrations (2) 45 Propriétés des parallélogrammes particuliers Pour chaque énoncé, trace une figure à main levée et rédige une démonstration : a. Le quadrilatère PN est un losange de centre. émontre que les droites (PN) et () sont perpendiculaires. b. Le quadrilatère est un rectangle de centre tel que = 5,5 cm. onne la longueur. c. Le quadrilatère est un carré de centre tel que = 3,7 cm. onne la longueur. 46 émontrer qu'un parallélogramme est particulier a. Le quadrilatère H est un parallélogramme tel que =. émontre que c'est un losange. b. Le quadrilatère I est un parallélogramme tel que I =. émontre que c'est un rectangle. c. Le quadrilatère NI est un parallélogramme de centre tel que N = et les droites (IN) et () sont perpendiculaires. émontre que c'est un carré. 47 'un quadrilatère à l'autre 48 vec les propriétés de droites vues en 6 e n observant la figure ci-dessous (les droites de même couleur sont parallèles), prouve que le quadrilatère est un rectangle. 49 vec la symétrie centrale a. onstruis un rectangle PL. b. onstruis les points et, symétriques respectifs des points et P par rapport à L. c. Prouve que le quadrilatère P est un losange. 50 vec les angles ur la figure ci-dessous : =, = et =. H H a. Quelle est la nature des triangles,,? Justifie. b. Que peut-on en déduire pour les longueurs,, et? c. émontre alors que le quadrilatère est un rectangle. d. Les angles et sont-ils égaux? xplique pourquoi. a. ur la figure ci-dessus, on a dessiné un quadrilatère puis on a tracé les parallèles aux diagonales passant par les sommets,, et du quadrilatère. Les droites ainsi obtenues se coupent en,, et H. émontre que H est un b. n suppose maintenant que est un rectangle. etrace le dessin et démontre que H est un losange. c. n suppose enfin que est un losange. efais le dessin et démontre que H est un rectangle. 51 À main levée n utilisant le codage de la figure ci-contre : a. émontre que le quadrilatère est un b. Peut-on être plus précis sur la nature du quadrilatère? PLLÉLMM HPI 3

16 'entraîner 52 Les poupées russes oit un Les droites () et () se coupent en. race une figure. a. émontre que est le milieu de []. b. oit le milieu de [] et le milieu de []. xplique pourquoi est le milieu de []. c. émontre que est un 53 omme au cirque a. est un trapèze de bases [] et []. La perpendiculaire à () passant par coupe () en I et la perpendiculaire à () passant par coupe () en J. onstruis la figure. b. émontre que le quadrilatère IJ est un 54 riangle et cercle a. n utilisant les informations portées sur la figure ci-contre, démontre que est un b. race un cercle de centre et de diamètre []. Place un point M en dehors du cercle et de la droite (). Place le point N, symétrique du point M par rapport au point. émontre que MN est un 55 u feu! a. onstruis le parallélogramme X tel que = 5 cm, = 6 cm et = 50. b. race la perpendiculaire à () passant par, elle coupe (X) en. race la perpendiculaire à (X) passant par, elle coupe () en. c. Quelle est la nature du quadrilatère? Justifie ta réponse. 56 est un parallélogramme de centre I. Le cercle () a pour centre I. V a. émontre que est un rectangle. b. émontre que VWXY est un rectangle. Y I W X ()//() 57 «Le pied dans le plat» n a tracé le quadrilatère PI sur la face supérieure d'un parallélépipède rectangle de telle sorte que chaque sommet du quadrilatère soit le milieu d'une arête de la face. I 8 cm a. eproduis le quadrilatère PI en vraie grandeur. b. émontre que c'est un losange. c. Quels quadrilatères obtient-on si on procède de la même façon sur les autres faces? d. Quelle particularité le parallélépipède doit-il avoir pour que PI soit un carré? e. Quelles particularités doit-il avoir pour que les quadrilatères tracés sur toutes ses faces soient des carrés? 58 igures juxtaposées P 6 cm a. onstruis un triangle équilatéral de 5 cm de côté. b. À l'extérieur du triangle et de telle sorte que les figures ne se recouvrent pas, place les points et tels que soit un rectangle avec = 7 cm. c. e la même façon, place les points et tels que soit un losange avec = 150. d. n justifiant, donne la mesure de l'angle puis celle de l'angle. Que peut-on en déduire pour les points, et? Justifie. 59 issectrices de deux angles consécutifs a. onstruis un parallélogramme puis les bissectrices (d 1) et (d 2) respectivement des angles et. es droites se coupent en un point. b. étermine + sans effectuer de mesure d'angle. Quelle est la nature du triangle? c. Que peut-on en déduire pour les droites (d 1 ) et (d 2)? 5 cm HPI 3 PLLÉLMM 143

17 ravailler en groupe 1 La bataille des quadrilatères! 1 re partie : éalisation des cartes a. écoupez trois feuilles de format 4 en 16 parties rectangulaires identiques qui formeront les cartes. b. ur 7 cartes différentes, tracez une figure à main levée et codée des quadrilatères suivants : parallélogramme, rectangle, losange, carré, cerf-volant, trapèze et quadrilatère quelconque. c. ur 7 autres cartes, construisez avec vos instruments les quadrilatères précédents. d. Pour chaque catégorie (les rectangles, les losanges et les carrés) complétez chaque propriété suivante (ce qui fera 9 cartes au total) : «Je suis un quadrilatère avec des diagonales.» ; «Je suis un quadrilatère avec des côtés.» ; «Je suis un quadrilatère avec un centre de symétrie et axe(s) de symétrie qui sont.». e. Pour les rectangles et les losanges, complétez chacune des propriétés suivantes sur une carte (ce qui fera 4 cartes au total) : «Je suis un parallélogramme qui a des diagonales.» ; «Je suis un parallélogramme qui a des côtés.». f. Pour les carrés, complétez de deux façons différentes chacune des propriétés suivantes sur une carte (ce qui fera 6 cartes au total) : «Je suis un parallélogramme qui a.» ; «Je suis un rectangle qui a.» ; «Je suis un losange qui a.». g. Vérifiez que vous avez bien 33 cartes (14 avec des figures et 19 avec des propriétés). 2 e partie : À la bataille! Maintenant que le jeu est construit, vous allez pouvoir jouer, par groupe de deux, à la bataille des quadrilatères. h. Mélangez puis distribuez les cartes faces cachées. ppliquez alors les règles de la bataille traditionnelle sachant que les cartes sont rangées dans l'ordre suivant : carré (la plus forte) ; losange ou rectangle (à égalité) ; parallélogramme ; trapèze ou cerf-volant (à égalité) ; quadrilatère quelconque (la plus faible). 2 édiger des programmes de tracé 4 cm a. Voici deux programmes de construction de la figure ci-dessus. Le premier a été écrit par un élève et le second par un professeur. Indiquez les différences entre les deux textes et dites pourquoi la formulation de l'élève n'est pas correcte. exte de l'élève Je trace une ligne verticale de 4 cm de longueur et je mets les points et. Puis je trace une ligne horizontale formant un angle droit avec la première et qui la coupe au milieu (qui s'appelle ), de 4 cm aussi ; je place le point au bout. près, je trace une autre ligne verticale qui forme un angle droit avec la ligne horizontale, je place les points et et je trace des lignes qui relient,, et. Pareil pour et, puis et. t pour finir, je prends le compas, je mets la pointe sur I et j'écarte jusqu'au point pour faire un cercle. t voilà! exte du professeur I race un segment [] de longueur 4 cm et de milieu. Place le point sur la médiatrice de [] tel que = 4 cm. Place les points et tel que soit un carré. Place le point I à l'intersection de () et (). race le quadrilatère. race le cercle de centre I et passant par. b. essinez sur une feuille blanche une autre figure géométrique contenant six points, un cercle et deux quadrilatères particuliers (pensez à coder la figure et à nommer les points). c. édigez sur une feuille blanche un programme de construction de la figure tracée au b. en tenant compte des caractéristiques d'un texte mathématique. d. Échangez avec un autre groupe les programmes de construction puis réalisez la figure correspondant au programme reçu. emettez le programme de construction et la figure au professeur qui validera l'ensemble. 144 PLLÉLMM HPI 3