exercices travail autonome

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1 travail autonome 1 On considère les quatre figures suivantes : 6 On considère les quatre figures suivantes : R R R T Fig. 1 Fig. 2 (d) R T Fig. 1 Fig. 2 T Fig. 3 Fig. 4 À l aide du codage des figures, recopier et compléter : a. () est la... issue du point... du triangle RT. b. (T) est la... issue du point... du triangle RT. c. (d ) est la... du côté [...]. d. (T) est la... de l angle RT. Pour chacun des exercices 2 à 5, commencer par construire un triangle U ayant les dimensions indiquées. 3,5 cm U 4 cm T L Fig. 3 Fig. 4 Recopier et compléter : a. Le point est le point de concours des.... b. Le point est le point de concours des.... c. Le point L est le point de concours des.... d. Le point U est le point de concours des À l aide des figures de l exercice précédent, indiquer en faisant une phrase lequel des points,, L ou U est : a. le centre de gravité du triangle ; b. l orthocentre du triangle ; c. le centre du cercle inscrit dans le triangle ; d. le centre du cercle circonscrit au triangle. Pour chacun des exercices 8 à 11, commencer par construire un triangle F avec les données indiquées. U cm onstruire la hauteur de U issue de. onstruire la médiane de U issue de. onstruire la médiatrice du côté [] cm F onstruire le cercle circonscrit à F. onstruire le cercle inscrit dans F. onstruire l orthocentre de F. 5 onstruire la bissectrice de U. 11 onstruire le centre de gravité de F. HPTR 10 ROT RRQUL U TRNL 187

2 s entraîner édiatrices oit [N] un segment de longueur 6 cm. onstruire la médiatrice (d) de [N]. 2. a. oit le milieu de [N]. Placer un point sur (d) tel que 5 cm. b. onstruire la médiatrice (d ) de []. 3. Que peut-on observer pour les droites (d ) et (N)? émontrer ce résultat. 13 On donne un cercle de centre O et deux points et de ce cercle tels que O, et ne sont pas alignés. onstruire à l aide d une règle graduée la médiatrice (d) du segment []. Justifier la construction. Hauteurs onstruire le triangle tel que : 7 cm ; 6 cm et 3 cm. 2. onstruire la hauteur (d) du triangle issue du sommet. 3. onstruire la hauteur (d ) du triangle issue du sommet. 15 ans la figure ci-dessous, on donne : 6 cm ; 3 cm ; 40 et 2 cm ffectuer la construction de cette figure avec les dimensions données. 2. a. onstruire la hauteur (d) du triangle issue du sommet. b. onstruire la hauteur (d ) du triangle issue du sommet. 3. On note le point d intersection de (d) et de (d ). a. Quelle est la hauteur issue de du triangle? b. Quelle est la hauteur issue de du triangle? c. Quelle est la hauteur issue de du triangle? a. Tracer un triangle PKJ et placer un point sur [KJ]. b. ans le triangle PKJ, construire la hauteur (d) issue du sommet K. c. ans le triangle PJ, construire la hauteur (d ) issue du sommet. 2. Que peut-on observer pour les droites (d) et (d )? Prouver ce résultat. issectrices onstruire deux droites (xy) et (uv) sécantes en O telles que xou onstruire la droite (ab) bissectrice de xou et la droite (mn) bissectrice de uoy. 3. Que peut-on observer pour les droites (ab) et (mn)? émontrer ce résultat. édianes 18 ans la figure ci-dessous, indiquer : a. la médiane du triangle issue de ; b. la médiane du triangle issue de ; c. la médiane du triangle issue de onstruire en vraie grandeur le triangle représenté ci-dessous. 6 cm onstruire la médiane [R] du triangle RL issue du sommet R. 3. onstruire la médiane [P] du triangle R issue de. L R 5 cm 188 HPTR 10 ROT RRQUL U TRNL

3 Reconnaître dans un triangle 20 On considère la figure suivante dans laquelle est le milieu de [] et F F. F onstruire un triangle F tel que : 5 cm ; F 7 cm et F 6 cm. 2. onstruire l orthocentre N du triangle F. 3. a. Quelle est la hauteur du triangle N issue de? b. Quel est l orthocentre du triangle N? onstruire un triangle U tel que : U 5 cm ; 7 cm et U onstruire l orthocentre du triangle U. 1. Recopier et compléter : a. La droite () est la... du triangle menée par le sommet.... b. La droite () est la... de a. Que représente la droite () pour le triangle? b. Que peut-on dire de la droite (F)? ercle circonscrit onstruire un triangle FH tel que : H 4,5 cm ; HF 45 et FH onstruire son cercle circonscrit onstruire un triangle O tel que : O 110 ; 3 cm et O 4 cm. 2. onstruire son cercle circonscrit Tracer un segment [] de longueur 5 cm. 2. Le triangle a un cercle circonscrit qui a pour rayon 3 cm. Tracer ce cercle (donner toutes les possibilités). 24 Tracer deux triangles et F qui ont le même cercle circonscrit. Orthocentre onstruire un triangle tel que : 5 cm ; 30 et onstruire l orthocentre H du triangle. ercle inscrit onstruire un triangle R tel que : 6 cm ; R 50 et R onstruire son cercle inscrit. 29 ans la figure ci-dessous, est le centre du cercle inscrit dans le triangle et on donne : 32 et alculer et. Justifier les réponses. 2. éterminer les mesures des angles puis. Justifier. entre de gravité a. onstruire un cercle de diamètre []. b. oit O son centre et un point de distinct de et de. onstruire le symétrique L du point par rapport à. 2. oit le point d intersection des droites (LO) et (). Que représente le point pour le triangle L? Justifier. 3. La droite () coupe [L] en J. Que peut-on dire du point J? Pourquoi? HPTR 10 ROT RRQUL U TRNL 189

4 31 1. Quel est le centre de gravité du triangle QN onstruire un triangle FR tel que : représenté ci-dessous? Pourquoi? RF 60 ; RF 5 cm et R 6 cm. 2. onstruire son centre de gravité. H Q J 2. Nommer la droite qui passe par et qui coupe [QN] en son milieu. xpliquer la réponse. 3. Quel est le centre de gravité de KQ? Pourquoi? 32 ans la figure ci-dessous, est le centre de gravité du triangle, 2,2 cm, 2,3 cm, 1,4 cm et 4,2 cm. K L N Triangles particuliers onstruire en bleu un triangle rectangle en. 2. Tracer en rouge les trois hauteurs du triangle. 3. Quel est l orthocentre du triangle? onstruire un triangle isocèle en. oit H son orthocentre, le centre de son cercle inscrit, son centre de gravité et O le centre de son cercle circonscrit. 2. Que peut-on dire des quatre points H,, et O? Justifier. F alculer, F,, et onstruire un triangle NP isocèle en P. Tracer ses médianes [] et [NJ]. oit O leur point d intersection. 2. émontrer que les droites (PO) et (N) sont perpendiculaires onstruire un triangle équilatéral puis son orthocentre H. 2. a. ombien mesurent les angles H et H? Justifier. b. n déduire la mesure de H. Qui a raison? 190 HPTR 10 ROT RRQUL U TRNL

5 maîtriser Lire et comprendre onstruire un triangle NP tel que : N 5 cm ; NP 6,5 cm et P 7 cm. 2. enis a construit le plus petit cercle qui contient ce triangle NP. ans justifier la réponse, dire quel cercle il a construit. ffectuer cette construction. 3. Olivier a construit le plus grand cercle qui est contenu à l intérieur du triangle NP. ans justifier la réponse, dire quel cercle il a construit. ffectuer cette construction sur une nouvelle figure. 39 ans cet exercice, on fera une figure pour illustrer chaque question. 1. Tracer un point. ombien de cercles passent par? 2. Tracer deux points et. ombien de cercles passent à la fois par et par? Où sont situés leurs centres? 3. a. Tracer trois points non alignés, et. ombien de cercles passent à la fois par, et? b. Reprendre la question 3a avec, et alignés. émontrer 40 ans la figure ci-dessous, est le centre du cercle inscrit dans le triangle et on a 36 et. 1. Quelle est la nature du triangle? Justifier. 2. La droite () coupe [] en. Que peut-on dire du point? Justifier. 41 On a représenté ci-dessous un triangle. Le point est un point quelconque du côté []. On a construit les cercles de centres et J inscrits dans les triangles et. émontrer que les droites () et (J) sont perpendiculaires. 42 On a représenté ci-dessous un parallélogramme. Le point est le milieu du segment [] et les segments [] et [] se coupent en. O 1. a. Que représente le segment [O] pour le triangle? Justifier. b. Que représente le point pour le triangle? Justifier. 2. émontrer que la droite () coupe [] en son milieu. 43 ans la figure cicontre, les droites (KL) et () sont parallèles. K On a construit les cercles de centres et J inscrits dans L les triangles LK et. J 1. émontrer que : LK. 2. a. émontrer que : LK J. b. Que peut-on en déduire pour les droites (L) et (J)? J HPTR 10 ROT RRQUL U TRNL 191

6 44 On considère un triangle. On note le milieu du segment [] et le milieu du segment []. 1. Faire une figure. 2. Tracer le point symétrique du point par rapport au point. 3. Tracer le point F symétrique du point par rapport au point. 4. Que représente pour le triangle F? 5. émontrer que la droite () coupe le segment [F] en son milieu onstruire une figure du même type que celle ci-dessous dans laquelle les droites (F) et () sont parallèles. 2. émontrer que les triangles F et ont une hauteur commune. F 3. émontrer que les triangles F et ont une médiane commune. ndication : on pourra utiliser les quotients et F. À l envers Pour les exercices 46 à 48, commencer par reproduire une figure du type suivant. Ne pas justifier la construction demandée, mais préciser ses étapes. 46 onstruire un point tel que soit l orthocentre du triangle. 47 onstruire un point tel que soit le centre de gravité du triangle. 48 onstruire un point tel que soit le centre du cercle inscrit dans le triangle. ndication : pour cet exercice, ne pas prendre trop loin de la droite (). ur quadrillage 49 Pour chacune des questions suivantes, reproduire la figure ci-contre sur quadrillage puis utiliser le quadrillage et une règle non graduée. 1. onstruire le centre du cercle circonscrit au triangle. 2. onstruire l orthocentre H du triangle. 3. onstruire le centre de gravité du triangle. 50 Pour chacune des questions suivantes, reproduire la figure ci-contre sur quadrillage puis utiliser le quadrillage et une règle non graduée. 1. onstruire le centre du cercle circonscrit au triangle. 2. onstruire l orthocentre H du triangle. 3. onstruire le centre de gravité du triangle Reproduire la figure ci-contre puis construire à l aide du quadrillage et d une règle non graduée les centres des cercles circonscrits aux triangles et. 2. Pourquoi le milieu de [] est-il aligné avec les centres des deux cercles? Pliages Pour les exercices 52 à 55, dessiner un triangle qui a tous ses angles aigus puis le découper et résoudre chaque exercice par pliage, sans aucun instrument de dessin éterminer la position d une des hauteurs du triangle. 2. Procéder de même pour les autres hauteurs et en déduire la position de l orthocentre de. 192 HPTR 10 ROT RRQUL U TRNL

7 53 éterminer la position du centre du cercle onstruire un triangle tel que : inscrit dans. 54 éterminer la position du centre du cercle circonscrit à À l aide de deux pliages, déterminer la position de la médiane de issue de. 2. n procédant de même pour les autres médianes, déterminer la position du centre de gravité de. ires Pour les exercices 56 à 58, on rappelle que l aire d un triangle s obtient grâce à la formule : c h. 2 8 cm ; 7 cm et 9 cm. 2. On désigne par r la longueur en cm du rayon du cercle inscrit dans le triangle. oit l aire en cm 2 du triangle. émontrer que, pour la figure réalisée, on a : 12 r. éfis et constructions 59 ans la figure ci-dessous, et N sont les milieux de [] et de []. xpliquer, en justifiant, comment construire à l aide d une règle non graduée le N milieu de segment []. h c Tracer un triangle et sa médiane []. 2. émontrer que les triangles et ont la même aire. 57 Les ailes du papillon 1. onstruire une figure du même type que celle ci-dessous dans laquelle est un trapèze de bases [] et []. H O K 2. a. émontrer que KH est un rectangle. n déduire que H K. b. omparer les aires des triangles et. 3. éduire de ce qui précède que les triangles O et O ont la même aire. ndication : on pourra utiliser l aire du triangle O. 60 ans la figure ci-dessous, les segments [U] et [O] se coupent en. On donne : U 5 cm ; O 4 cm et O ffectuer la construction en vraies grandeurs. 2. À l aide d une règle, sans compas ni équerre, effectuer la construction de la perpendiculaire à la droite (O) menée par. Justifier la construction Reproduire une figure du même type que celle ci-dessous. 2. ans déborder du cadre bleu, construire la bissectrice d un x des angles aigus formés par les droites y (xy) et (uv) (justification non demandée v mais il faut laisser les u traits de construction nettement visibles). 62 onstruire un triangle équilatéral dont le cercle inscrit a pour rayon 2,5 cm. xpliquer la construction. ndication : calculer d abord la longueur de chaque médiane. O HPTR 10 ROT RRQUL U TRNL 193

8 devoirs à la maison 63 ans l activité 2 p. 179, on a démontré que les médiatrices d un triangle sont concourantes. À l aide de ce résultat, nous allons ici démontrer que les hauteurs d un triangle sont elles aussi concourantes. 1. Tracer un triangle. oit (d) la parallèle à () passant par, (d ) la parallèle à () passant par et (d ) la parallèle à () passant par. Les droites (d) et (d ) se coupent en, (d ) et (d ) en F, (d ) et (d) en. 2. a. Quelle est la nature du quadrilatère F? b. Quelle est la nature du quadrilatère? c. n déduire que le point est le milieu de [F]. 3. a. émontrer que la hauteur du triangle issue du point est la médiatrice de [F]. b. n raisonnant de même, et sans détailler la démonstration, que peut-on affirmer pour : la hauteur du triangle issue du sommet? la hauteur du triangle issue du sommet? 4. éduire de ce qui précède que les hauteurs du triangle sont concourantes. 64 ans l activité 5 p. 181, on a pu observer que les médianes d un triangle sont concourantes et se coupent aux 2 de chacune d elles. Le but de cet exercice est de prouver que ces constatations sont vraies. 3 ans le triangle représenté ci-dessous, est le milieu de [] et J le milieu de []. On note le point d intersection des deux médianes [] et [J]. 1. a. Reproduire une telle figure. b. onstruire le symétrique de par rapport au point. La droite ( ) coupe le côté [] en K. 2. a. n utilisant le triangle, démontrer que les droites ( ) et () sont parallèles. b. émontrer de même que les droites ( ) et () sont parallèles. c. Que peut-on en déduire pour le quadrilatère? 3. a. Que représente le point K pour le segment []? Pourquoi? J b. Qu en déduit-on pour [K]? Que peut-on alors affirmer pour les trois médianes du triangle? 4. émontrer que 2 3 K oit un triangle. a. Placer les points, et F, milieux respectifs des côtés [], [] et []. b. Quelle est la nature du quadrilatère F? Justifier la réponse. c. émontrer que la droite () est à la fois une médiane du triangle et du triangle F. 2. oit le centre de gravité du triangle. émontrer que est aussi le centre de gravité du triangle F onstruire un triangle tel que : 10 cm ; 11 cm et 12 cm. 2. onstruire l orthocentre H du triangle. 3. a. oit le point d intersection de (H) et (), J le point d intersection de (H) et () et K le point d intersection de (H) et (). onstruire le centre du cercle inscrit dans le triangle JK. b. Que constate-t-on? (On ne demande pas de démontrer ce résultat.) 67 ans la figure ci-dessous, (H) est la hauteur du triangle issue de et () est la bissectrice de. On donne : 6 cm ; 68 et Réaliser une telle figure. 2. a. alculer H. H b. alculer 1 ( ). Que constate-t-on? onstruire un triangle NP tel que : NP 50 ; N 8 cm et NP 10 cm. 2. onstruire son cercle inscrit. oit O le centre de ce cercle. 3. a. alculer NP NP. b. n déduire OP OP puis OP. 194 HPTR 10 ROT RRQUL U TRNL

9 Vive les maths! URÊK Un dictionnaire nous apprend que le mot gravité vient du latin gravitas (pesanteur). Quel peut bien être le rapport entre ce que nous avons appelé centre de gravité du triangle et cette notion de pesanteur? ans son traité ur le centre de gravité des surfaces planes, rchimède expose la notion de centre de gravité, point abstrait où l on peut considérer que la masse de l objet se concentre. RHÈ : savant grec (yracuse, 287, 212) auquel on doit une œuvre scientifique considérable en mathématiques, physique et mécanique. ssayons d illustrer ceci à l aide d une petite expérience. essiner un triangle sur du carton épais. Tracer ses médianes, repérer son centre de gravité puis découper le triangle. Percer le triangle obtenu avec une aiguille en son centre de gravité et le suspendre à un fil (voir figure). Que peut-on constater? Voici une autre expérience permettant de repérer la position des médianes du même triangle. uspendre verticalement le triangle découpé précédemment par un de ses sommets et le laisser prendre sa position d équilibre. Repérer la direction verticale à l aide d un fil à plomb (voir figure). Que constate-t-on? ur une carte, une île a la forme d un triangle. Quel est le point de l île le plus éloigné de la mer sur cette carte? ource : Rallye mathématique d quitaine, Le père Roger a décidé de léguer son champ triangulaire, qui est bordé par trois routes, à ses trois enfants. l veut auparavant faire creuser un casse-tête puits et partager le terrain en trois parcelles triangulaires ayant la même superficie et ayant chacune accès au puits. l est bien entendu interdit de creuser un puits juste en bord de route. ndiquer au père Roger le plus de partages possibles et donner pour chacun l emplacement du puits. ndication : il y a sept possibilités. ource : R d quitaine. HPTR 10 ROT RRQUL U TRNL 195