I- FONCTIONS AFFINES PAR MORCEAUX

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1 Introduction : Imposition en fonction du revenu annuel imposable Milliers d euros Milliers d euros I- FONCTIONS AFFINES PAR MORCEAUX 1) Définition Définition : une fonction définie sur la réunion d un nombre fini d intervalles et qui, sur chacun de ces intervalles coïncide avec une fonction affine est appelée fonction affine par morceaux. Exemple 1 : 0 Soit la fonction f définie sur par 0. 1

2 Exemple 2 : 1 2 Soit la fonction f définie sur par Pour construire la représentation graphique de la fonction affine par morceaux f, on commence par tracer les trois fonctions affines, puis on ne garde que les parties de droite correspondant aux intervalles données. Remarque : les segments de droite ne se raccordent pas nécessairement. Applications : activité n 3 p. 249 ; exos n 12, 13, 14, 15, 17 et 18 p. 252 ; exo n 37 p. 255 II- INTERPOLATION LINÉAIRE 1) Activité d introduction Enoncé : Julie doit réaliser un exposé sur Mexico. Suite à des recherches sur Internet, elle dispose des données suivantes sur la population de l agglomération de Mexico : elle a été estimée à 11,4 millions d habitants en 1975 et à 16,8 millions en Inscrire les données précédentes dans un tableau. 2. Calculer le nombre moyen d habitants supplémentaires par an. Faire une analogie avec le coefficient directeur. 3. A l aide de la question précédente, estimer la population de Mexico en 1980 et en Estimer de même, la population de Mexico en Que dire sur la véracité des estimations de Julie? 2

3 Réponses : Il est important de s interroger sur l exactitude de ces estimations, en effet, nous ne sommes pas certains que le nombre supplémentaire d habitants par an soit constant 3

4 Erreur commise par Julie 2) Généralisation de l interpolation linéaire Soit f une fonction définie sur un intervalle [a, b] et c un réel de [a, b]. Soit g la fonction affine définie par : g(a) = f(a) et g(b) = f(b). Effectuer une interpolation linéaire de f en c, c est remplacer f(c) par g(c). 4

5 Représentation graphique : Pour trouver la valeur g(c), nous pouvons soit lire graphiquement cette valeur, soit la chercher par le calcul. Obtention par le calcul : deux méthodes sont à notre disposition. Méthode 1 : équation d une droite Dans un premier temps on détermine l équation de la droite passant par les points A et B. L équation est de la forme y = ax + b. On calcule le coefficient directeur : Nous calculons ensuite la valeur de b en utilisant les coordonnées du point A ou celles du point B. Nous obtenons alors l équation de la droite. Ainsi, pour x = c, nous obtenons g(c). Méthode 2 : coefficient directeur égaux Pour une fonction affine g, les accroissements de g(x) sont proportionnels aux accroissements de la variable x. où X = g(c) est la valeur recherchée et a, b, c, f(a) et f(b) les données du problème. 5

6 Exemple 1 : hier Estaban a relevé la température extérieure à son domicile toutes les 4 heures. Il a ainsi obtenu le tableau ci-dessous : Heure t (en h) Température T (en C) , Placer les points dont les coordonnées sont dans le tableau ci-dessus, dans le repère fourni. 2. A l aide d une interpolation linéaire, estimer, par le calcul, la température à 6 heures. Méthode 1 : 1, ,7 4 0,175 Ainsi : 0,175. Pour le point de coordonnées (4, -2) : 2 0,175 4 donc 2,7 Nous obtenons alors l équation de la droite : 0,175 2,7 Ainsi, pour x = 6, nous obtenons 6 1,65 La température à 6 h est d environ -1,6 C. Méthode 2 : ,65 Nous obtenons le même résultat. 1,3 2 4 Une station Météo France proche du domicile d Estaban effectue des relevés plus précis présentés ci-dessous : 6

7 3. Quel est l écart de tempérenture entre la valeur relevée par Estaban à 6h et la valeur réelle. L erreur commise est d environ 1,4 C. Exemple 2 : Pauline mesure la croissance d une population bactérienne en trois temps : Temps (en min) Nombre de cellules par ml de milieu Par interpolation linéaire, estimer le nombre de cellules au bout de 200 minutes. Un laboratoire effectue le même test mais effectue des relevés tous les 20 minutes. On présente les résultats ci-dessous : 2. Comparer votre estimation au relevé du laboratoire. Conclure. 7

8 Applications : exos n 21, 23, 24, 25 p. 253 et exo n 35 p