Physique Statistique. N.Vandewalle S.Dorbolo

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1 Physique Statistique N.Vandewalle S.Dorbolo

2 Objectifs du cours Donner un aperçu de la physique statistique. Obtenir un autre regard du monde de la physique. Réaliser des TP originaux : «phénomène sans modèle»

3 Plan du cours Chapitre 1 : Introduction Chapitre 2 : Outils statistiques - rappels Chapitre 3 : Nécessité de l approche statistique Chapitre 4 : Ensembles de Gibbs / fonctions de partition Chapitre 5 : Le gaz parfait revisité / distributions des vitesses / équipartition Chapitre 6 : Fluides réels Chapitre 7 : Distributions / statistique de Maxwell-Boltzmann Chapitre 8 : Gaz de fermions / statistique de Fermi-Dirac Chapitre 9 : Gaz de bosons / statistique de Bose-Einstein / corps noir Chapitre 10 : Changement d état / approche de Landau Chapitre 11 : Modèles de spins / simulations numériques Chapitre 12 : Phénomènes critiques et lois d échelle / fractales Chapitre 13 : Marches aléatoires Chapitre 14 : Percolation

4 Organisation du cours Cours [28h] - N.Vandewalle théorie - concepts - applets - numérique TD [14h] - D.Terwagne exemples choisis - exercices Labos [16h+2h] - S.Dorbolo / D.Terwagne / G.Lumay / E.Mersch / N.VdW systèmes hétérogènes - diffusion - etc Supports du cours Notes (en chantier depuis trop longtemps) Copie des diapositives Livres de référence : Vauclair, Huang, etc...

5 Laboratoires

6 Chapitre 1 : Introduction

7 Qu est-ce que la Physique Statistique? Exemple : atomes de C Autre exemple : molécules amphiphiles La formation de micelles est spontanée; elles troublent le liquide par diffusion de la lumière. Quelques objets microscopiques viennent donc modifier l apparence macroscopique du système. Pourquoi certaines structures plutôt que d autres?

8 Qu est-ce que la Physique Statistique? Exemple : billes vibrées Exemple vivant : poissons L agitation conduit à la création de jets organisés de matière : les oscillons. Le mouvement coordonné de poissons produit des structures géantes : banc. - agents microscopiques : interactions, mouvements, agitation - formation de structures organisées, pourquoi? - une information se propage, comment? - comportement micro-macro, local-global?

9 Le cas d école : le gaz parfait Hypothèses de travail : - N particules identiques - mouvements obéissent aux lois de Newton - rebonds élastiques sur les parois gaz parfait pas de collisions gaz réel collisions entre particules Mouvement d une particule dans un récipient cubique : lors du rebond avec la parois de droite : v x v x soit une variation de la quantité de mouvement : p x = 2mv x

10 Force exercée sur la parois de droite : force subie par la particule qui rebondit : temps entre deux rebonds : force sur la paroi (action-réaction) : force totale sur la parois : F = m L F x = p x t t = 2L v x F = mv2 x L ( v 2 x1 + vx vxn) 2 F = m L N v2 x Gaz isotrope : v = v x + v y + v z v 2 = v 2 x + v 2 y + v 2 z v 2 = v 2 x + v 2 y + v 2 z =3 v 2 x F = mn 3L v2

11 Pression exercée sur la paroi : p = F L 2 = mn 3L 3 v2 p = N 3V m v2 Comparaison avec l équation d état : pv = Nk B T = N 3 m v2 énergie thermique 3 2 k BT = 1 2 m v2 énergie cinétique moyenne d une particule La température est donc une mesure de l agitation microscopique des particules. aspects statistiques liés à la température : v 2

12 La physique statistique fait le lien entre mondes microscopiques et macroscopiques. Les outils de la physique statistique sont la mécanique classique, la statistique appliquée, la mécanique quantique, l informatique, etc... La physique statistique a apporté les concepts de fractales et d invariance d échelle, de chaos déterministe, de turbulence, d auto-organisation, etc...

13 Physique statistique / petit historique R N α K = R(K ) F m 2 + m 4 EF η1η2 M(T/Tc) E = hν S = kb ln Ω Q = cm T mécanique quantique thermodynamique degennes Landau Fermi Planck Joule Kadanoff Langevin Curie Boltzmann

14 Physique statistique et autres domaines scientifiques Etat solide Fermi-Dirac magnétisme supraconductivité Matière molle fluctuations corrélations théorie liquides Astrophysique corps noir chaos structures Physique quantique Bose-Einstein spectroscopie fluides quantiques Physique statistique Chimie polymères spectroscopie réactions Fluides turbulence rhéologie chaos Informatique optimisation complexité automates Biophysique membranes protéines ratchets

15 Cours accessibles dans la discipline Microgravité PHYS 948 H.Caps/N.Vandewalle Fluides complexes PHYS 945 N.Vandewalle Physique Statistique Expérimentale PHYS 250 S.Dorbolo Physique non-linéaire, chaos et fractales PHYS 939 N.Vandewalle Physique Statistique PHYS 212 N.Vandewalle Introduction à la Physique Statistique PHYS 069 S.Dorbolo Physique des fluides PHYS 957 H.Caps Thermodynamique PHYS 062 N.Vandewalle

16 Le GRASP (10 ans) N.Vandewalle S.Dorbolo H.Caps S.Bontempi G.Lumay F.Ludewig G.Delon N.Adami A.Bronfort D.Terwagne E.Mersch F.Boschini K.Faucher M.Ababou T.Gilet T.Scheller C.Becco GRASP matière molle poudres et grains microfluidique systèmes complexes chaos turbulence microgravité science international µg industries publications (8-10/y) couvertures 2 ESA TT COST projets Zéro-G et ISS UCB, Dow Corning,... spin-off art photos / art / films

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18 Chapitre 2 : Rappels de Statistique

19 Fréquences et probabilités variable discrète variable continue côtés d une bulle : n vitesse d une particule : v mousse gaz f(n) = N n N P n = lim P n = 1 n=1 N N n N [normalisation] P v = αv 2 exp βv 2 0 P v dv = 1 [normalisation] fréquence d observations répétées : probabilitiés

20 Caractériser une distribution (I) Distribution d une variable discrète : K µ = n = np n [premier moment = moyenne] n 2 = Distribution d une variable continue : µ = x = x 2 = K n=1 b a n=1 n 2 P n σ 2 = (n µ) 2 = b a xp x dx v 2 P x dx σ 2 = (x µ) 2 = [second moment] K P n (n µ) 2 = n 2 µ 2 [variance] n=1 b a P x (x µ) 2 dx = x 2 µ 2

21 Caractériser une distribution (II) Contre-exemple : distribution en loi de puissance tremblements de Terre et loi de Richter pour l énergie dissipée : P (E) E 1 E 0 EP(E) de pas moyen de calculer la moyenne!

22 Caractériser une distribution (III) Moments d ordres plus élevés? C est utile! Troisième moment : skewness γ 1 = (x µ)3 σ 3 [mesure l asymétrie de la distribution] Quatrième moment : kurtosis γ 2 = (x µ)4 σ 4 3 [mesure l applatissement de la distribution] γ 2 > 0 γ 2 < 0 leptokurtique platykurtique (pointu) (plat)

23 Distribution uniforme (I) P x version continue : P x = 0 pour x < a = 1 b a pour a x b = 0 pour x > b a µ = a + b 2 σ 2 = (b a)2 12 γ 1 = 0 γ 2 = 6 5 b x

24 Distribution uniforme (II) dés à jouer : version discrète P n n générateur de nombres pseudo-aléatoires : - algortihmes (von Neumann) qui génère une suite de nombres - important pour la cryptographie - pseudo car cycles de plusieurs millions de nombres x n+1 =(ax n + c) mod m

25 Distribution binomiale Probabilité d obtenir n succès sur N tirages? P p (n/n) = C n N p n (1 p) N n = N! n!(n n)! pn (1 p) N n P n µ = Np σ 2 = Np(1 p) γ 1 = 1 2p Np(1 p) n γ 2 = 1 6p(1 p) Np(1 p)

26 Distribution gaussienne Distribution générique en sciences : P x P (x) = 1 σ 2π exp (x µ)2 2σ 2 γ 1 = 0 γ 2 = 0 x Exemple : barres d erreur ±σ ±2σ ±3σ 68.2% 95.4% 99.6% Attention : largeur à mi-hauteur : x 2.35σ

27 Distribution exponentielle Loi simple : P (x) = λ exp ( λx) µ = 1 λ P x σ 2 = 1 λ 2 γ 1 = 2 γ 2 = 6 x Exemple : Chaque atome radioactif possède une durée de vie qui suit une loi exponentielle. Le paramètre λ s'appelle alors la constante de désintégration.

28 Distribution log-normale Gaussienne en échelle logarithmique : variable x>0 1 P (x) = xs 2π exp (ln x M)2 2S 2 P x µ = exp M + S2 2 σ 2 = exp 2M + S 2 exp(s 2 ) 1 γ 1 = exp(s 2 ) 1 exp(s 2 ) + 2 γ 2 = exp(4s 2 ) + 2 exp(3s 2 ) + 3 exp(2s 2 ) 6 x Exemple : processus de fragmentation

29 Théorème de la limite centrale La somme de nombreuses variables aléatoires indépendantes ayant des distributions arbitraires se distribue comme une gaussienne. [uniforme] P n [gaussienne] Exemple : 2 dés à jouer (distribution triangulaire) n 1 + n Autre exemple : créer numériquement une distribution gaussienne (6)

30 Illustration du théorème pour 4 distributions différentes : Le produit de nombreuses variables aléatoires indépendantes ayant des distributions arbitraires se distribue comme une lognormale.

31 PDF et CDF PDF : Probability Distribution Function CDF : Cumulated Distribution Function P (x)dx F (y) = y P (x)dx CDF : trouver facilement la médiane Cas de la gaussienne : fonction erreur Avantage de la CDF : indépendante des classes! erf(y) = 2 π y 0 e x2 dx