THESE. pour l obtention du Grade de

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1 THESE pour l obtention du Grade de DOCTEUR DE L UNIVERSITE DE POITIERS (Faculté des Sciences Fondamentales et Appliquées) (Diplôme National - Arrêté du 25 avril 22) Ecole Doctorale : Sciences Pour l Ingénieur Secteur de Recherche : Mécanique des Milieux Fluides Présentée par : Philippe Parnaudeau Etude numérique d un écoulement cisaillé turbulent complexe à basse vitesse : Application à la protection rapprochée Directeurs de thèse : Jean-Paul BONNET - Dominique HEITZ - Eric LAMBALLAIS Soutenue le 14 décembre 24 devant la Commission d Examen - JURY - C. BRUN Maître de Conférence, Polytech Orléans Examinateur J.P BONNET Directeur de Recherche, CNRS Poitiers Examinateur F. DUCROS Ingénieur, Directeur de laboratoire au CEA Grenoble Rapporteur D. HEITZ Chargé de Recherche, Cemagref Rennes Examinateur E. LAMBALLAIS Professeur, Université de Poitiers Examinateur M. NAAIM Directeur de Recherche, Cemagref Grenoble Rapporteur

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3 A ma femme, Miia, A mon fils, Nicolas, qui par ses rires a su me faire relativiser bien des choses, A mes parents, A tous mes proches. 3

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5 5 Avant-propos La présente étude a été réalisée au LEA 1 de Poitiers et à l unité de recherches TERE 2 du Cemagref de Rennes, sous la direction conjointe de J.-P. Bonnet, Directeur de Recherche au CNRS, Eric Lamballais, Professeur à l université de Poitiers, Dominique Heitz, Chargé de Recherche au Cemagref de Rennes et le soutien financier de la région Poitou-Charentes. Je tiens à remercier J.-P. Bonnet d avoir accepté la direction de cette thèse et de m avoir accueilli au sein du LEA. Je le remercie également pour la qualité de ses conseils. Je remercie très vivement E. Lamballais, co-directeur de cette étude, pour l ensemble des connaissances qu il a su me communiquer, pour sa disponibilité et ses conseils. Plus particulièrement, je le remercie pour ses qualités humaines et sa patience. Je remercie également D. Heitz, co-directeur de ce travail, pour ses précieux conseils. Je le remercie également pour sa disponibilité et sa bonne humeur qui ont su me remonter le moral à des périodes délicates d une thèse. J exprime ma profonde gratitude envers Messieurs F. Ducros, Directeur de Laboratoire au CEA, et M. Naaim, Directeur de Recherche au Cemagref, pour m avoir fait l honneur d accepter de porter un jugement sur mon travail en qualité de rapporteur. Ma reconnaissance s adresse également à A. Davenel, responsable de l unité TERE, pour avoir par son regard extérieur à la discipline, su apporter un éclairage nouveau sur ce travail. Que G. Arroyo, responsable de l équipe AEROBIO, soit également remercié pour sa disponibilité et ses qualités humaines. Je tiens à remercier Yohan Carlier, Ingénieur de Recherche au Cemagref, pour ses conseils et en général pour l ensemble des bons moments que nous avons passés ensemble. Mon travail de thèse n aurait pas été possible sans l ensemble des administrateurs réseaux que sont F. Boissonneau pour le LEA, A. Omar et V. Louveau pour le Cemagref. Qu ils soient par ces quelques lignes remerciés pour l ensemble du travail qu ils réalisent. Je remercie sincèrement C. Ecale, M.-C Marçais et Y. Petit Pierre de m avoir souvent soulagé de démarches administratives. Je remercie de façon générale l ensemble du personnel du LEA et du Cemagref. Enfin, je remercie l ensemble des thésards du LEA et du Cemagref avec qui j ai partagé beaucoup de bons moments. 1 Laboratoire d Etude Aérodynamique 2 Technologie des Equipements Agro-Alimentaires

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7 Imagination is more important than knowledge Albert Einstein 7

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9 Table des matières 1 Introduction 23 2 Méthodes numériques et configurations des écoulements Les équations du mouvement Conditions limites Discrétisation spatiale Généralités Formulation matricielle des schémas compacts Intégration temporelle Résolution de l équation de Poisson Simulation aux Grandes Echelles Séparation d échelles : opération de filtrage Modèle sous-maille : Fonction structure d ordre 2 de la vitesse Critères d identification tourbillonnaire Ecoulement principal : sillage Topologie de l écoulement Les différents régimes du sillage Ecoulement secondaire : couche de mélange plane Interaction d une couche de mélange plane-sillage Méthode de modélisation d un obstacle par une force Revue bibliographique Concepts communs Méthode des Frontières Immergées Méthode de Pénalisation Méthode des Frontières Virtuelles Méthode de Forçage Direct Liens entre les différentes méthodes Prise en compte de la géométrie par le forçage volumique Amélioration de la méthode de Forçage Direct Validation par la Simulation Numérique Directe Sillage stationnaire à Re = Sillage instationnaire à Reynolds Re = Sillages instationnaires sur des géométries complexes Synthèse et conclusion

10 1 TABLE DES MATIÈRES 4 Ecoulement autour d un cylindre à Reynolds Re = Paramètres des simulations Paramètres généraux Configurations étudiées Visualisations des champs instantanés Etude statistique Comparaison LESI avec résultats issus de la littérature Influence de la résolution du maillage suivant les axes x et z Influence de la résolution du maillage suivant l axe y Influence de la longueur transversale Lz Influence de l ordre des schémas de discrétisations spatiales Synthèse Conclusion Application exploratoire d une couche de mélange en interaction avec un sillage Paramètres de la simulation Visualisation de champs instantanés Etude statistique Evolution du nombre de Strouhal suivant l envergure du cylindre Evolution de la longueur de formation suivant l envergure du cylindre Synthèse, conclusion et perspectives Conclusions et perspectives 127 A Grandeurs turbulentes pour le sillage à Reynolds B Grandeurs turbulentes pour le sillage à Reynolds Re = C Grandeurs turbulentes. Comparaison SGE - Expérience de Heitz 167 D Article 171

11 Liste des tableaux 3.1 Tableau comparatif de l influence des termes α et β sur la valeur du résidu et sur le pas de temps t Longueur de recirculation pour Reynolds Re = Paramètres des simulations. ξ représente indifféremment x, y ou z. (*) [35] Comparaison des valeurs maximales des composantes du tenseur de Reynolds, des longueurs de formations associées. Avec Kravchenko et al. [3], Mittal et Balachandar [44] et Noca et al.[48] Paramètres des simulations. ξ représente indifféremment x, y ou z Paramètres du champ moyen. Comparaison LESI avec données de la littérature Paramètres du champ moyen de l écoulement. Comparaison LESI, LESII et données de la littérature Paramètres du champ moyen de l écoulement. Comparaison LESIII, LESII et données de la littérature Paramètres du champ moyen de l écoulement. Comparaison LESIV, LESII et données de la littérature Paramètres du champ moyen de l écoulement. Comparaison LESV, LESII et données de la littérature Tableau comparatif de l écoulement moyen. Comparatif général Paramètres de la Simulation aux Grandes Echelles comparés à l expérience de Heitz [26]

12 12 LISTE DES TABLEAUX

13 Table des figures 1.1 Principe du Flux Progressif. Dessin d après Process Magazine, Oct Modélisation par une couche de mélange en interaction avec un cylindre, de l effraction par un opérateur dans le Flux Progressif Illustration des deux types de conditions aux limites rencontrées dans le cas du glissement libre Représentation symbolique de l opération de filtrage. A gauche spectre d énergie cinétique turbulent dans l espace spectral. A droite signal de l énergie cinétique turbulent dans l espace physique Profil moyen de vitesse longitudinale pour le cas d une couche limite turbulente et canonique Zone de l écoulement de sillage uniforme. Inspiré de Zdravkovich [73] Allée de Bénard-Von Kármán en aval d un cylindre Sillage périodique laminaire : (a) Re = 54, (b) Re = 65, (c) Re = 12. Cliché de Homann, répertorié par Zdravkovich [73] Relation entre les nombres de Strouhal et de Reynolds à travers le régime laminaire et de transition. Le régime de transition est caractérisé par deux types de discontinuité. Figure numérisée sur la publication de Williamson [71] Exemple d une instabilité de Kelvin-Helmholtz dans la nature Profil de vitesse moyenne de la couche de mélange plane et épaisseur de vorticité en entrée δ ωi Vue schématique de deux types de domaines solides Ω 1 et Ω 2 au sein d un milieu fluide Ω f, le tout considéré dans le domaine de calcul Ω = Ω f Ω 1 Ω Vue schématique de l approche mixte Eulérienne/Lagrangienne. La résolution des équations de Navier-Stokes s effectue de façon Eulérienne sur la grille fixe (Ω f ), tandis que le suivi de la frontière ( Ω 1f ) est de nature Lagrangienne Illustration des phénomènes d oscillations numériques autour d un obstacle Distribution de la force volumique sur les points adjacents de la frontière par une Gaussienne dans un cas 1D Méthodes d interpolation utilisées pour appliquer le forçage Méthode d écoulement inverse pour appliquer le forçage Représentation de l erreur d estimation du gradient de vitesse à la paroi : (a) sans aucune correction, (b) avec une correction par une gaussienne, (c) avec une interpolation sur le point adjacent à l extérieur de l obstacle, (d) avec écoulement miroir. ( ) Valeur exacte du gradient de vitesse et ( ) valeur approchée

14 14 TABLE DES FIGURES 3.8 Illustration des trois possibilités d écoulement miroir. Avec u tang : composante tangentielle de la vitesse et u norm : composante normale. (a) Les deux composantes sont inversées. (b) La composante tangentielle est inversée, la composante normale est annulée. (c) La composante tangentielle est inversée, la composante normale est conservée Vue schématique du domaine de calcul Profil vertical de la vitesse longitudinale u x au centre du cylindre (x cyl = 5D, y). : SEM, : AEM En haut : Champ de vitesse ; En bas : Champ de vorticité des deux simulations. A gauche AEM, à droite SEM Vue schématique du domaine de calcul Iso-surface de la norme de la vorticité ω n = 1, 5U/D. Vue de perspective. A gauche DNSI, à droite DNSII Iso-surface de la norme de la vorticité ω n = 1, 5U/D. Vue dans le plan x y. A gauche DNSI, à droite DNSIII A gauche : Profil vertical de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. A droite : Profil vertical des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. A différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas. Symboles : : DNSI, : DNSII, Simulation spectrale de Mittal et Balachandar [44] A gauche : Profil vertical de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. A droite : Profil vertical des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. A différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas. Symboles : : DNSIII, : DNSIV, Simulation spectrale de Mittal et Balachandar [44] A gauche : Profil vertical de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. A droite : Profil vertical des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. A différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas. Symboles : : DNSI, : DNSIII, Simulation spectrale de Mittal et Balachandar [44] Profils verticaux de la fluctuation de la composante verticale de la vitesse à différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas. Symboles : : DNSI, : DNSIII, Simulation spectrale de Mittal et Balachandar [44] Comparaison de la norme de la vorticité. A Gauche : Ecoulement cisaillé sur un barreau cylindrique. A Droite : Ecoulement constant sur un barreau fuselé Vue schématique du domaine de calcul Iso surface de la norme de la vorticité ω n = 6U c /D du cas de référence LESI. Avec de haut en bas : vue dans le plan x z et vue dans le plan x y Iso surface du critère Q = 6U 2 c /D2. A gauche vue dans le plan x z. A droite vue dans le plan x y. Avec de haut en bas : LESI, LESII, LESIII, LESIV et LESV Lignes de courant du champ de vitesse moyenne. LESI

15 TABLE DES FIGURES Composante longitudinale de la vitesse moyenne sur la ligne centrale du cylindre. Symboles : : LESI, + : DNS de Tremblay, LES Kravchenko et Moin [31], Lourenco et Shih [2] Profils verticaux de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESI, + : DNS de Tremblay, LES Kravchenko et Moin [31], Lourenco et Shih [2] Profils verticaux de la composante verticale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESI, + : DNS de Tremblay, LES Kravchenko et Moin [31], Lourenco et Shih [2] Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. Symboles : : LESI, + : DNS de Tremblay, LES Kravchenko et Moin [31], Lourenco et Shih [2] Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Symboles : : LESI, + : DNS de Tremblay, Lourenco et Shih [2] Lignes de courant du champ de vitesse moyenne. Avec à gauche LESII et à droite LESI Composante longitudinale de la vitesse moyenne sur la ligne centrale du cylindre. Symboles : : LESI, : LESII, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67], Lourenco et Shih [2] Profils verticaux de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESI, : LESII, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67] Profils verticaux de la composante verticale de la vitesse moyenne.symboles : : LESI, : LESII, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67] Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse.symboles : : LESI, : LESII, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67] Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse.symboles : : LESI, : LESII,, + Tremblay [67] Lignes de courant du champ de vitesse moyenne. Avec en gauche LESII et à droite LESIII Composante longitudinale de la vitesse moyenne sur la ligne centrale du cylindre. Symboles : : LESII, : LESIII, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67], Lourenco et Shih [2] Profils verticaux de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESII, : LESIII, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67] Profils verticaux de la composante verticale moyenne de la vitesse. Symboles : : LESII, : LESIII, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67] Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. Symboles : : LESII, : LESIII, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67] Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Symboles : : LESII, : LESIII, + Tremblay [67] Lignes de courant du champ de vitesse moyenne. Avec à gauche LESII et à droite LESIV Composante longitudinale de la vitesse moyenne sur la ligne centrale du cylindre. Symboles : : LESII, : LESIV, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67], Lourenco et Shih [2]

16 16 TABLE DES FIGURES 4.24 Profils verticaux de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESII, : LESIV, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67] Profils verticaux de la composante verticale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESII, : LESIV, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67] Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. Symboles : : LESII, : LESIV, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67] Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Symboles : : LESII, : LESIV, + Tremblay [67] Profils verticaux des fluctuations de la composante transversale de la vitesse. Symboles : : LESII, : LESIV, + Tremblay [67] Lignes de courant du champ de vitesse moyenne. Avec à gauche LESII et à droite LESV Composante longitudinale de la vitesse moyenne sur la ligne centrale du cylindre. Symboles : : LESII, : LESV, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67], Lourenco et Shih [2] Profils verticaux de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESII, : LESV, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67] Profils verticaux de la composante verticale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESII, : LESV, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67] Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. Symboles : : LESII, : LESV, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67] Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Symboles : : LESII, : LESV, + Tremblay [67] Profils verticaux des fluctuations de la composante transversale de la vitesse. Symboles : : LESII, : LESV, + Tremblay [67] A gauche : isocontours de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. u /U c =, 2;...; 1, 4 avec 17 valeurs. A droite : isocontours RMS des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. u u /U c = ;...;, 7 avec 29 valeurs. Avec de haut en bas : LESI, LESI, LESIII, LESIV et LESV A gauche : isocontours RMS des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. w w /U c = ;...; 1 avec 21 valeurs. A droite : isocontours RMS des fluctuations de la composante transversale de la vitesse. v v /U c = ;...;, 4 avec 21 valeurs. Avec de haut en bas : LESI, LESI, LESIII, LESIV et LESV Composante longitudinale de la vitesse moyenne sur la ligne centrale du cylindre. Symboles : : LESI, : LESII, : LESIII, : LESIV, : LESV, :Kravchenko et Moin [31], + DNS de Tremblay, Lourenco et Shih [2] Profils verticaux de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESI, : LESII, : LESIII, : LESIV, : LESV, :Kravchenko et Moin [31], + DNS de Tremblay, Lourenco et Shih [2] Profils verticaux de la composante verticale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESI, : LESII, : LESIII, : LESIV, : LESV, :Kravchenko et Moin [31], + DNS de Tremblay, Lourenco et Shih [2]

17 TABLE DES FIGURES Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. Symboles : : LESI, : LESII, : LESIII, : LESIV, : LESV, :Kravchenko et Moin [31], + DNS de Tremblay, Lourenco et Shih [2] Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Symboles : : LESI, : LESII, : LESIII, : LESIV, : LESV, :Kravchenko et Moin [31], + DNS de Tremblay, Lourenco et Shih [2] Spectres temporels de la composante verticale de la vitesse sur la ligne centrale du cylindre en y/d =. (a) : Loi puissance 5/3, (b) : LESI, (c) : LESII et (d) : LESV. A gauche en x = 4D, et à droite x = 13D Composante longitudinale de la vitesse moyenne sur la ligne centrale du cylindre. Symboles : : LESI, : Kravchenko et Moin [31], : Lourenco et Shih [2], : expérience de Carlier Profils verticaux de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESI, : Kravchenko et Moin [31], : Lourenco et Shih [2], expérience de Carlier Profils verticaux de la composante verticale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESI, : Kravchenko et Moin [31], : Lourenco et Shih [2], expérience de Carlier Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. Symboles : : LESI, : Kravchenko et Moin [31], : Lourenco et Shih [2], : expérience de Carlier Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Symboles : : LESI, : Lourenco et Shih [2], : expérience de Carlier Vue schématique de la configuration Isosurfaces de la norme de la vorticité ω n = 14U/D de la simulation d une couche de mélange en interaction avec un cylindre. Vue de perspective arrière. Re = Isosurfaces de la norme de la vorticité ω n = 1U/D de la simulation d une couche de mélange en interaction avec un cylindre. Vue de dessus. Re = Isosurfaces de la norme de la vorticité ω n = 8U/D de la simulation d une couche de mélange en interaction avec un cylindre. Vue de perspective. Re = Variation temporelle de la composante transversale (w) de la vitesse suivant l envergure du cylindre z, à la position x x cyl = 1D Coupe de la composante verticale V de la vitesse, à la position = Profils de la composante longitudinale de la vitesse moyenne suivant l envergure du cylindre. Symboles : :Vitesse côté Basse.-Vitesse, Vitesse côté Haute.Vitesse., Vitesse au milieu de la couche de mélange (z = D) Evolution de la longueur de formation (L f /D) suivant l envergure du cylindre. Comparaison avec les données de Heitz [26] A.1 Profils verticaux des composantes longitudinales et verticales de la vitesse moyenne à différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas. Symboles : : DNSI, : DNSII, Simulation spectrale de Mittal et Balachandar [44]

18 18 TABLE DES FIGURES A.2 Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse à différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas. Mêmes symboles que ceux de la figure (A.1) A.3 Profils verticaux des composantes longitudinales et verticales de la vitesse moyenne à différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas. Symboles : : DNSIII, : DNSIV, Simulation spectrale de Mittal et Balachandar [44] A.4 Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse à différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas. Mêmes symboles que ceux de la figure (A.3) A.5 Profils verticaux des composantes longitudinales et verticales de la vitesse moyenne à différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas. Symboles : : DNSI, : DNSIII, Simulation spectrale de Mittal et Balachandar [44] A.6 Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse à différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas.symboles : : DNSI, : DNSIII, Simulation spectrale de Mittal et Balachandar [44] A.7 Profils verticaux des composantes longitudinales et verticales de la vitesse moyenne à différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas. Symboles : : DNSI, : DNSII, : DNSIII, : DNSIV, Simulation spectrale de Mittal et Balachandar [44] A.8 Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse à différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas. Mêmes symboles que ceux de la figure (A.7) B.1 Profils verticaux de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESI, + : DNS de Tremblay, LES Kravchenko et Moin [31], Lourenco et Shih [2] B.2 Profils verticaux de la composante verticale de la vitesse moyenne. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.1) B.3 Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.1) B.4 Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.1) B.5 Profils verticaux de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESI, : LESII, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67] B.6 Profils verticaux de la composante verticale de la vitesse moyenne. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.5) B.7 Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.5) B.8 Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.5) B.9 Profils verticaux de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESII, : LESIII, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67]. 152

19 TABLE DES FIGURES 19 B.1 Profils verticaux de la composante verticale moyenne de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.9) B.11 Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.9) B.12 Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.9) B.13 Profils verticaux de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESII, : LESIV, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67]. 156 B.14 Profils verticaux de la composante verticale de la vitesse moyenne. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.13) B.15 Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.13) B.16 Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.13) B.17 Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.13) B.18 Composante longitudinale de la vitesse moyenne sur la ligne centrale du cylindre. Symboles : : LESII, : LESV, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67] B.19 Profils verticaux de la composante verticale de la vitesse moyenne. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.18) B.2 Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.18) B.21 Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.18) B.22 Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.18) C.1 Evolution longitudinale de la vitesse moyenne pour 1, 5 x 3, 5. A gauche données numériques, à droite données de Heitz [26] C.2 Evolution longitudinale de la fluctuation de la vitesse pour 1, 5 x 3, 5. A gauche données numériques, à droite données de Heitz [26]

20 2 TABLE DES FIGURES Notations Paramètres généraux : x y z z + u v w u v w u v w L x L y L z n x n y n z x y z t c k x k y k z k x k y k z direction longitudinale direction transversale direction verticale coordonnée adimensionnée en unité de paroi Composante de la vitesse dans la direction x Composante de la vitesse dans la direction y Composante de la vitesse dans la direction z Composante de vitesse fluctuante dans la direction x Composante de vitesse fluctuante dans la direction y Composante de vitesse fluctuante dans la direction z Composante de vitesse moyenne dans la direction x Composante de vitesse moyenne dans la direction y Composante de vitesse moyenne dans la direction z Taille du domaine dans la direction x Taille du domaine dans la direction y Taille du domaine dans la direction z Nombre de points dans la direction x Nombre de points dans la direction y Nombre de points dans la direction z Pas d espace dans la direction x Pas d espace dans la direction y Pas d espace dans la direction z Pas de temps Longueur de coupure Nombre d onde dans la direction x Nombre d onde dans la direction y Nombre d onde dans la direction z Nombre d onde modifié dans la direction x Nombre d onde modifié dans la direction y Nombre d onde modifié dans la direction z Notations particulières : (.) Quantité filtrée (.) Quantité exprimée dans l espace de Fourier (.) Quantité fluctuante. Quantité moyennée en temps et en espace

21 TABLE DES FIGURES 21 Paramètres relatifs aux écoulements de base : D ν t U c Re St L r /D x cyl U 1 U 2 ω i δ ω δ 99 Diamètre du cylindre Viscosité turbulente Vitesse de convection Nombre de Reynolds basé sur le diamétre du cylindre et la vitesse de convection Nombre de Strouhal basé sur le diamétre du cylindre et la vitesse de convection Longueur de recirculation adimensionnée Position du barreau dans la direction x Haute.-Vitesse de l écoulement Basse.-Vitesse de l écoulement Valeur de la vorticité maximale du profil initial de l écoulement Epaisseur de vorticité de la couche de mélange à la position x Epaisseur de la couche limite λ Paramètre de vitesse λ = U 1 U 2 U 1 +U 2 H Rapport de forme H = D δ ωi β Paramètre de raideur β = 2λ H/D Re δωi Re U1 Re U2 Nombre de Reynolds basé sur l épaisseur de vorticité Nombre de Reynolds basé sur le diamétre du cylindre et la Haute.-Vitesse de l écoulement Nombre de Reynolds basé sur le diamétre du cylindre et la Basse.-Vitesse de l écoulement

22 22 TABLE DES FIGURES

23 Chapitre 1 Introduction Le mot turbulence fait songer à agitation, désordre, chaos. L évolution spatiale ou temporelle de nombreux phénomènes est caractérisée par l absence apparente d ordre, la coexistence d échelles très différentes, l impossibilité d une reproduction et d une prévision détaillées. Un tel comportement désordonné et chaotique est souvent qualifié de turbulent. On pense en particulier à l ensemble des phénomènes météorologiques, ou océanographiques. Mais des écoulements à des échelles plus petites offrent, eux aussi, une très grande complexité. De façon générale, l ensemble des écoulements en mécanique des fluides est turbulent. Pour l homme, le caractère turbulent d un écoulement peut être bénéfique (dissipation thermique au sein d un ordinateur) ou néfaste (traînée d un avion en régime de croisière). Dans tous les cas de figure, de sa précipitation ou de son retardement, de sa diminution ou de son augmentation, la compréhension et le contrôle de la turbulence sont essentiels. Dans le cadre de la maîtrise de la qualité de l air dans les industries agro-alimentaires, il s agit de la protection des aliments contre des sources de contaminations tels que le personnel, des machines, ou d autres produits biologiques. C est un enjeu de sécurité alimentaire, mais également économique car il permet d augmenter la durée de vie des aliments. L industrie agro-alimentaire est donc soumise à de fortes contraintes quant à la fabrication d aliments dans un environnement ultra-propre. Aujourd hui encore, la majeure partie des systèmes de production est installée dans des salles propres (nommés salles blanches) issues du monde hospitalier, qui coûtent extrêmement chères et s avèrent moins efficaces dans le monde de l industrie agro-alimentaire. En effet, le nombre de facteurs contaminants y est bien plus important. Afin de proposer une alternative au monde de l agro-alimentaire, le CEMAGREF a mis au point en 1996, la technique de Flux Progressif [4]. Il s agit d un mini-environnement (qui peut être mobile ou fixe) ultra propre, qui, par un procédé de balayage du plan de travail par de l air ultra propre recyclé, maintient, tout en étant ouvert sur l air ambiant, un niveau de protection supérieur à celui assuré par les techniques classiques (flux laminaire, gaines diffusantes...) (cf. Fig. 1.1). Cependant, même si cette technique apporte un progrès significatif en matière de protection rapprochée, elle serait encore plus efficace si le niveau de protection était conservé lors de l intervention d un opérateur. C est afin de mieux comprendre les mécanismes responsables de cette contamination au cours de l intervention d un opérateur, que le travail de Heitz [26], puis de Braud [8] a été initié entre le CEMAGREF et le Laboratoire d Etude Aérodynamiques. Pour étudier expérimentalement 23

24 24 Introduction Fig. 1.1 Principe du Flux Progressif. Dessin d après Process Magazine, Oct 97 Air ambiant contaminé Haute vitesse Couche de mélange Basse vitesse Cylindre Air ultrapropre Sillage Fig. 1.2 Modélisation par une couche de mélange en interaction avec un cylindre, de l effraction par un opérateur dans le Flux Progressif cet écoulement, Heitz a choisi de modéliser l interaction d un bras (humain ou robotique) par un cylindre, et le flux d air ultra propre par une couche de mélange (cf. Fig. 1.2). Enjeux de ce travail Depuis les quarante dernières années, les progrès importants faits dans le domaine de l informatique, permettent d envisager aujourd hui des simulations numériques d écoulements instationnaires complexes. Pour réaliser de telles études plusieurs méthodes numériques sont envisageables. Dans le cadre de ce travail nous nous sommes uniquement intéressés à la Simulation Numérique Directe et aux Grandes Echelles. L étude de géométrie complexe au sein d un écoulement peut se faire à partir de différentes approches. Le premier enjeu de ce travail consiste à mettre en œuvre et à améliorer une méthode numérique qui permet de modéliser un obstacle au sein d un écoulement, le tout sur un maillage cartésien. Pour réaliser cette première étape nous nous intéresserons à des écoulements plus fondamentaux et pour lesquels la Simulation Numérique Directe est envisageable. L utilisation de la Simulation Numérique Directe, nous permet de valider de façon robuste notre méthode. Le régime d écoulement qui nous intéresse n est pas, pour l instant, simulable via la Simu-

25 25 lation Numérique Directe. Le deuxième enjeu de ce travail consiste à valider notre méthode de modélisation dans le cadre de la Simulation aux Grandes Echelles. Enfin le dernier volet de ce travail consiste à réaliser une étude numérique la plus proche possible des grandeurs des expériences de Heitz [26] et Braud [8], et d observer dans quelle mesure l utilisation de la Simulation aux Grandes Echelles peut être envisagée dans le cadre de recherches ingénieriques dans l équipe Aérobio du CEMAGREF. Organisation du document Ce document s articule autour de 6 chapitres. Ce premier chapitre forme l introduction, le dernier la conclusion, le reste du document est organisé de la manière suivante : le chapitre 2 est consacré à la présentation des méthodes numériques employées dans cette étude, ainsi que des écoulements étudiés. On y présente tout d abord les schémas de discrétisations spatiales d ordre élevé et les conditions aux limites correspondantes. Nous donnons ensuite une description rapide du modèle de viscosité sous maille que nous employons. Enfin une description des écoulements étudiés est fournie. le chapitre 3 présente une revue bibliographique des méthodes de forçage volumique, la méthode que nous avons retenue et les améliorations apportées. Dans un premier temps nous expliquons l enjeu et le contexte d utilisation des méthodes qui permettent de modéliser une géométrie complexe sur un maillage simple. Puis nous présentons les méthodes les plus utilisées, leurs avantages, leurs inconvénients et leurs points communs. Enfin, nous expliquons les améliorations que nous avons apportées à la méthode de forçage directe, ainsi que la validation par des Simulations Numériques Directes. le chapitre 4 est une validation de notre approche dans le cadre de la Simulations aux Grandes Echelles. Dans un premier temps, présentation de l écoulement que nous avons choisi afin de mener cette validation et les hypothèses que nous avons faites pour l étudier. Puis nous présentons l ensemble de nos réalisations, en les comparant entre-elles, et avec des données issues de la littérature. le chapitre 5 présente une Simulation aux Grandes Echelles de l écoulement d une couche de mélange en interaction avec un cylindre. Pour cette étude il s agit de montrer, par comparaison avec les résultats des expériences de Heitz [26], que l utilisation de la Simulation aux Grandes Echelles dans le cadre industriel est envisageable sous certaines contraintes.

26 26 Introduction

27 Chapitre 2 Méthodes numériques et configurations des écoulements Autrefois, seules deux approches étaient possibles pour étudier les phénomènes physiques tels que la turbulence. Elles consistaient : soit à les analyser d un point de vue théorique en faisant des hypothèses simplificatrices ; soit à les reproduire sous forme d expériences, afin de mettre en évidence des évènements, ou une typologie d écoulement (expérience de Reynolds). Si ces deux approches bénéficient de qualités évidentes (support mathématique solide pour l une, et observation des réalités des phénomènes pour l autre), elles se heurtent, parfois, à la nature tridimensionnelle et imprévisible de la turbulence. Avec le développement de l informatique, les méthodes numériques sont apparues comme un outil supplémentaire et complémentaire à la compréhension et à l analyse de la turbulence. Les progrès sont tels que dans certains cas, elles sont devenues une véritable alternative à l approche théorique et/ou expérimentale. Au cours de ce travail, nous nous sommes limités à l utilisation de deux méthodes numériques : la Simulation aux Grandes Echelles 1 ; la Simulation Numérique Directe 2. La seconde approche est la méthode qui modélise le plus fidèlement la turbulence. En effet elle consiste à résoudre toutes les échelles de la turbulence rencontrées dans l écoulement, ce qui lui confère une qualité de modélisation très élevée. Cependant, vouloir prendre en compte toutes les échelles de la turbulence a un coût important en terme de maillage. Ce coût implique une forte restriction sur la valeur du nombre de Reynolds. Ainsi on estime couramment que le nombre de points N nécessaire à un calcul est relié au nombre de Reynolds de l écoulement par la relation suivante Re 9/4 N. L importance de réaliser des Simulations Numériques Directes à des nombres de Reynolds réels n est pas forcément toujours évidente. En effet, certains mécanismes de la turbulence ne sont pas liés directement à un nombre de Reynolds. Cependant, pour notre étude, nous avons dû étudier des configurations où il fallait conserver un nombre de Reynolds réel, et où la Simulation Numérique Directe ne pouvait pas être utilisée. En effet, la dynamique des écoulements étudiés 1 en anglais LES pour Large Eddy Simulation 2 en anglais DNS pour Direct Numerical Simulation 27

28 28 Méthodes numériques et configurations des écoulements est fonction du nombre de Reynolds. Afin d étudier ces configurations, nous avons donc choisi d utiliser la Simulation aux Grandes Echelles. Cette approche consiste à résoudre directement les grosses structures de la turbulence, et à utiliser une modélisation pour les effets liés aux petites structures. Elle permet, dans de nombreux cas, pour un effort de calcul nettement inférieur à celui d une Simulation Numérique directe, d avoir une information détaillée de l écoulement. Cette approche est restée longtemps confinée au domaine de la recherche fondamentale, depuis quelques années on observe un net interêt du monde industriel pour cette dernière. Le fait que de nombreux codes de calcul commerciaux (tels que Fluent ou Star CD par exemple) offrent, depuis peu, la possibilité de réaliser des Simulations aux Grandes Echelles témoigne de cet intérêt. Dans ce chapitre nous allons tout d abord présenter les équations utilisées dans le code de calcul, ensuite les schémas de discrétisation spatiale, ainsi que le modèle d intégration temporelle. Enfin, dans la dernière partie, nous présentons le modèle sous-maille utilisé. 2.1 Les équations du mouvement Nous étudions le mouvement d un fluide newtonien, de masse volumique constante dans un repère cartésien (, x, y, z), dont la dynamique est modélisée par les équations de Navier-Stokes : u t + ω u = 1 ρ p m + ν 2 u, (2.1).u =, (2.2) où u(x, y, z, t) est le vecteur vitesse, ν la viscosité cinématique (constante), ρ la masse volumique (constante), p m (x, y, z, t) le champ de pression modifié défini tel que : ω(x, y, z, t) est le champ de vorticité obtenu à partir de : p m (x, t) = p ρ u.u. (2.3) ω = u. (2.4) Dans la suite de ce document, nous allons écrire les équations (2.55) comme suit : où F est définie comme : Le terme non-linéaire H est écrit sous sa forme rotationnelle : 2.2 Conditions limites u t = F 1 ρ p m, (2.5) F = H + ν 2 u. (2.6) H = ω u. (2.7) La définition de conditions aux limites réalistes est un enjeu en simulation numérique. L utilisation d un domaine de calcul borné impose la définition de conditions aux limites suffisamment correctes pour permettre une reproduction convenable de l écoulement étudié. Dans la suite, de

29 Conditions limites 29 ce document nous utilisons plusieurs types de conditions suivant la direction considérée et la nature de l écoulement. Dans les directions transverses de l écoulement nous utilisons soit des conditions périodiques soit de glissement. Pour chaque configuration étudiée nous précisons le type de condition limite utilisée dans les directions transverses. Conditions d entrée A l exception du chapitre V, une condition d écoulement constant est toujours appliquée en entrée de domaine. Dans le cadre particulier du chapitre V une technique particulière est mise en œuvre. Elle consiste à superposer au profil de vitesse d une couche de mélange, un champ de perturbation. Dans le but de conserver une corrélation temporelle du bruit, la perturbation est calculée en considérant les trois directions y, z et t. Soit (u x, u y, u z ) ce champ de perturbation défini tel que : u x(y, z, t) = ny 2 1 j= ny 2 ny 2 1 u y (y, z, t) = u z(y, z, t) = j= ny 2 ny 2 1 j= ny 2 nz 2 1 k= nz 2 nz 2 1 k= nz 2 nz 2 1 k= nz 2 n t 2 1 l= n t 2 n t 2 1 l= n t 2 n t 2 1 l= n t 2 K 2 e K2 φ x1 (k y, k z, k t )e ι2πφx 2 (ky,kz,kt) e ι(kyy+kzz+ktt), (2.8) K 2 e K2 φ y1 (k y, k z, k t )e ι2πφy 2 (ky,kz,kt) e ι(kyy+kzz+ktt), (2.9) K 2 e K2 φ z1 (k y, k z, k t )e ι2πφz 2 (ky,kz,kt) e ι(kyy+kzz+ktt). (2.1) Avec k y, k z et k t les nombres d ondes dans les directions y, z et t donnés par : k y = 2π L y j, (2.11) k z = 2π L z k, (2.12) k t = 2π τ l. (2.13) τ correspond au temps de la simulation. K donne la forme du spectre d énergie de la perturbation. Il est défini par : K 2 = k2 y koy 2 + k2 z koz 2 + k2 t kot 2. (2.14) k ot correspond à la fréquence d excitation de l écoulement. Fréquence déduite, en général, d étude de stabilité linéaire ou mesures expérimentales. φ x2 (k y, k z, k t ),..., φ z2 (k y, k z, k t ) sont des nombres aléatoires compris entre et 1, et spécifiant la phase et l amplitude de chacun des modes (k y, k z, k t ). Une alternative, que nous n avons pas utilisée, à cette approche existe. Il s agit d utiliser en entrée de domaine des données expérimentales instantannées. Présenté de façon générale, il s agit de réaliser une interface entre une expérience et une simulation. Concrètement, si on se place dans le cas d un écoulement fortement convectif, une telle interface peut être assimilée à

30 3 Méthodes numériques et configurations des écoulements un plan normal à la direction principale de l écoulement. La procédure à suivre pour réaliser l interface consiste alors à recueillir expérimentalement des informations sur l écoulement réel, ces informations étant ensuite directement utilisées pour définir la condition d entrée du calcul relatif à l évolution avale de l écoulement reproduit par simulation. Pour plus d information le lecteur pourra consulter l article de Bonnet et al. [7] Condition de sortie La condition de sortie utilisée est une simple équation de convection appliquée à chaque composante de la vitesse, de la forme : u t + U u c =. (2.15) x La vitesse de convection U c est prise constante égale à la vitesse de convection moyenne de l écoulement. La légère dégradation occasionnée par cette condition reste cantonnée au voisinage de la frontière de sortie. 2.3 Discrétisation spatiale La discrétisation spatiale est faite sur un maillage collocalisé, c est à dire un maillage dans lequel les noeuds de vitesse et de pression sont identiques. Il est connu que l utilisation d un maillage collocalisé peut amener des oscillations parasites du champ de pression. Une méthode répandu pour éviter ce type de phénomène est de décaler les noeuds de vitesse et de pression. Cette technique s avère trés efficace pour des schémas d ordre 2, mais l extension de cette technique à des schémas d ordre plus élevé s avère peu performante aussi bien en termes de précision que de coût en calcul. Dans notre cas, l utilisation de schémas compact nous assure une maîtrise des oscillations de pression Nous estimons les termes de dérivations spatiales à l aide de schémas aux différences finies hermitiens (appelées schémas compacts). Ces schémas ont un comportement quasi-spectral, c està-dire que pour une large gamme de longueurs d onde, l approximation de la dérivée est très proche de la valeur exacte. De plus, ils ont comme avantage par rapport aux schémas classiques, d avoir un domaine de dépendance réduit pour un ordre donné. Enfin, les erreurs d anisotropie sont limitées, ainsi que les erreurs de troncature. Lele [38] dresse une étude complète des propriétés des schémas compacts Généralités Les schémas compacts sont des schémas implicites, qui lient la valeur de la dérivée en un point à la dérivée aux points voisins. Soit une distribution de points sur une grille uniforme ξ i = (i 1) ξ avec i = 1,..., n et ξ = x, y ou z, il existe une relation entre l approximation de la dérivée f i = f (ξ i ) = df(ξ i) dξ et les valeurs de f i, données par : αf i+1 + f i + αf i 1 = af i+1 f i 1 ξ La dérivée seconde au point i peut se calculer de la manière suivante : + b f i+2 f i 2. (2.16) ξ αf i+1 + f i + αf i 1 = af i+1 2f i + f i 1 ξ 2 + b f i+2 2f i + f i 2 ξ 2. (2.17)

31 Discrétisation spatiale 31 Sur les frontières du domaine, lorsque les conditions aux limites ne sont pas périodiques ou semi-périodiques, nous utilisons des schémas décentrés d ordre 3, tels que : f 1 + α 1f 2 = 1 ξ (a 1f 1 + b 1 f 2 + c 1 f 3 ), (2.18) f 1 + α 1 f 2 = 1 ξ 2 (a 1f 1 + b 1 f 2 + c 1 f 3 + d 1 f 4 ). (2.19) La précision du schéma utilisé dépend de la valeur des coefficients des équations (2.16) et (2.17). Ainsi pour α =, a = 1/2 et b = on obtient un schéma centré d ordre 2 conventionnel Formulation matricielle des schémas compacts Les système d équations (2.16) et (2.17) peut s écrire sous la forme matricielle suivante : A ξ f = 1 Bf, (2.2) ξ A ξ f = 1 ξ 2 B f, (2.21) où A ξ, A ξ, B et B sont des matrices carrées de taille n ξ n ξ, n ξ est le nombre de points dans la direction ξ = x, y, ou z. Les vecteurs f, f et f sont de taille n ξ. Ils ont respectivement pour composantes les valeurs de la fonction f, de sa dérivée première f et de sa dérivée seconde f aux points i du domaine discrétisé. Les matrices A ξ et A ξ sont tridiagonales (ou tridiagonales cycliques suivant le type de condition limite utilisé) et les matrices B ξ et B ξ sont pentadiagonales (ou pentadiagonales cycliques). Les trois types de conditions aux limites utilisés sont : 1. Condition périodique : On suppose f nξ +1 = f 1 et f = f nξ. A ξ et B ξ sont respectivement des matrices tridiagonales et pentadiagonales cycliques, et pour la dérivée première, elles s écrivent : A ξ = 1 α α α 1 α α 1 α α α 1 et B ξ = a b b a a a b b b a a b b a a b b b a a a b b a 2. Condition de glissement : Cette condition peut être considérée comme une condition de symétrie ( ou d antisymétrie suivant la composante du champ de vitesse considérée) à la frontière du domaine. On distingue deux cas de figures : soit la fonction f est paire, soit f est impaire. Dans ces deux cas les matrices A ξ et B ξ sont respectivement des matrices tridiagonales et pentadiagonales (condition importante, car l inversion d une matrice tridiagonale prend moins de temps que l inversion d une matrice cyclique). La figure 2.1 illustre les deux cas

32 32 Méthodes numériques et configurations des écoulements Fonction paire Fonction impaire Fig. 2.1 Illustration des deux types de conditions aux limites rencontrées dans le cas du glissement libre. rencontrés. Cette condition peut être assimilée à une condition de symétrie, ou d antisymétrie suivant la composante de vitesse considérée, à la frontière du domaine Quand f est paire, les matrices A ξ et B ξ s écrivent : A ξ = 1 α 1 α α 1 α 1 et B ξ = a b a b b a a b b a a b b a b a Quand f est impaire, les matrices A ξ et B ξ s écrivent : A ξ = 1 2α α 1 α α 1 α 2α 1 et B ξ = 2a 2b a b a b b a a b b a a b b a b a 2b 2a. 3. Condition d entrée-sortie : dans ce cas, on impose les schémas décentrés (2.18) et (2.19) sur les premiers et les derniers nœuds du domaine, ainsi que des schémas centrés d ordre 4 sur les deuxièmes et avant-derniers nœuds. Cette condition est appliquée sur la composante principale de l écoulement, et les matrices de dérivation s écrivent alors :

33 Intégration temporelle 33 B ξ = A ξ = 1 α 1 α 2 1 α 2 α 1 α α nξ 1 1 α nξ 1 α nξ 1 a 1 b 1 c 1 a 2 a 2 b a a b b a a b, a nξ 1 a nξ 1 c nξ b nξ a nξ Les coefficients des matrices, pour les schémas décentrés d ordre 3 en entrée et en sortie, centrés d ordre 4 et 6 sur le reste du domaine sont fournis pas Lele [38] : Dérivée première : α 1 = α nξ = 2, a 1 = a nξ = 5 2, b 1 = b nξ = 2, c 1 = c nξ = 1 2, α 2 = α nξ 1 = 1 4, a 2 = a nξ 1 = 3 4, α = 1 3, a = 7 9, b = Dérivée seconde : α 1 = α nξ = 11, a 1 = a nξ = 13, b 1 = b nξ = 27, c 1 = c nξ = 15, d 1 = d nξ = 1, 2.4 Intégration temporelle α 2 = α nξ 1 = 1 1, a 2 = a nξ 1 = 6 5, α = 2 11, a = 12 11, b = Le schéma d Adams-Bashforth d ordre 2 est utilisé pour l intégration temporelle des équations de Navier-Stokes. Soit u n i la valeur du champ de vitesse à l instant t n, et t le pas de temps. On intègre l équation (2.5) entre les temps t n et t n+1 : Soit : tn+1 t n u t dt = tn+1 t n F dt 1 ρ tn+1 tn+1. t n p m dt. (2.22) p m = 1 p m dt. (2.23) t t n La discrétisation de l équation (2.22) par un schéma d Adams-Bashforth d ordre 2 s écrit : u n+1 u n = 3 t 2 Fn 1 2 Fn 1 1 p m. (2.24) ρ

34 34 Méthodes numériques et configurations des écoulements Afin de résoudre l équation (2.24), on tient compte de la condition d incompressibilité. Pour ce faire, on scinde cette équation en deux et on introduit le champ de vitesse intermédiaire u i, d où : u u n t u n+1 u t = 3 2 Fn 1 2 Fn 1, (2.25) = 1 ρ p m. (2.26) Enfin pour résoudre l équation (2.26), il faut lui appliquer l opérateur divergence, puis tenir compte de l équation de conservation de la masse pour faire apparaître l équation de Poisson. Le champ de pression est alors solution de : 2.5 Résolution de l équation de Poisson 1 ρ. p m = 1 t.u (2.27) Dans le but de préserver la condition d incompressibilité à chaque pas de temps, on doit résoudre l équation de Poisson (2.27). Plusieurs méthodes ont été développées afin de résoudre ce type d équation. La méthode que nous utilisons consiste à écrire cette équation partiellement dans l espace spectral et partiellement dans l espace physique. Cette méthode, proposée par Lamballais [34], permet de vérifier la condition d incompressibilité jusqu au zéro machine. L utilisation de condition périodique ou quasi-périodique dans les directions transverses permet de se servir de méthodes spectrales pour le calcul des dérivées. Chaque variable de l espace physique peut se développer en série de Fourier discrète de la forme : f(x, y, z) = ny 2 1 j= ny 2 nz 2 1 k= nz 2 ˆf(x, k y, k z )e ι(kyy+kzz), (2.28) où k y et k z sont les nombres d onde dans les directions y et z définies par k y = 2π L y j, k z = 2π L z k. (2.29) Si on considère cette décomposition, on constate qu une dérivation dans l espace physique revient à une multiplication dans l espace spectral : f y = ιk y ˆf, f z = ιk z ˆf. (2.3) Afin de conserver la précision des schémas compacts lors de la résolution de l équation de Poisson (2.27), on introduit les nombres d ondes modifiés k y et k z fournis par Lele [38] : k y y = 2a sin (k y y) + 2b sin (2k y y), 1 + 2α cos (k y y) (2.31) k z z = 2a sin (k z z) + 2b sin (2k z z) α cos (k z z) (2.32)

35 Simulation aux Grandes Echelles 35 La dérivation dans l espace physique en utilisant des schémas compacts précis à l ordre 6 est alors strictement équivalente dans l espace spectral à : f y = ιk y ˆf, f z = ιk z ˆf. (2.33) L équation (2.27) devient alors, après transformation, dans l espace spectral : ( ) 1 1 x 2 A 1 x B x A 1 x B x (k y 2 + k z 2 )I p m = 1 t D, (2.34) ρ où D correspond à l écriture formelle du terme de droite de l équation (2.27) écrit dans l espace spectrale. La méthode utilisée pour résoudre ce système linéaire, proposée par Lamballais [34], consiste à reformuler le système (2.34) de la façon suivante : 1 ρ B x p m 1 ρ ((k 2 y + k 2 z ) xa x pm = x t A x D, (2.35) xa x p m B x p m =. (2.36) Dans cette formulation les inconnus du problème sont les vecteurs p m et p m. L écriture finale du problème est obtenue en créant un vecteur V de dimension 2n x dont les composantes sont constituées alternativement des composantes des vecteurs p m et p m : V = V 1 V V 2(nx 1) V 2nx puis en écrivant l équation matricielle, vérifiée par V p m1 p m 1. =... p mnx p m nx CV = E (2.37) où la matrice C et le vecteur E sont construits de la façon analogue à V, c est à dire avec la même alternance des vecteurs p m et p m. L avantage de cette formulation : l inversion de la matrice C peut se faire grâce à une méthode directe, cette matrice ne comprenant que onze diagonales centrales non nulles. 2.6 Simulation aux Grandes Echelles Comme nous l avons écrit auparavant, la Simulation Numérique Directe, bien qu elle soit la méthode numérique la plus fiable pour étudier la turbulence, a un coût (en terme de temps de calcul, et de mémoire) trop élevé pour être utilisée dans le contexte d écoulements industriels. Le principe de base de la Simulation aux Grandes Echelles consiste à séparer, à partir d une opération de filtrage, les grandes échelles de la turbulence responsable de la dynamique de l écoulement, des petites échelles dont le rôle est limité à la dissipation.

36 36 Méthodes numériques et configurations des écoulements E(K) Echelles résolues Echelles modélisées E(x) K c K c x Fig. 2.2 Représentation symbolique de l opération de filtrage. A gauche spectre d énergie cinétique turbulent dans l espace spectral. A droite signal de l énergie cinétique turbulent dans l espace physique Séparation d échelles : opération de filtrage Pour simplifier, nous limiterons notre discussion au cadre des filtres 3 homogènes. Ces filtres ont comme propriétés d être indépendants de la localisation spatiale. L application d un filtre permet de séparer les petites échelles des grandes. Cette opération revient à éliminer les échelles inférieures à la largeur caractéristique du filtre. L opération de filtrage est représentée dans l espace physique comme un produit de convolution et comme une multiplication dans l espace spectral. Dans la suite du document la quantité (.) signifiera quantité filtrée. La figure 2.2 illustre l opération de filtrage. Le choix du filtre repose sur la configuration de l écoulement et sur les schémas numériques utilisés. En pratique notre filtre est implicite, lié au maillage du calcul. La longueur de coupure est évaluée au moyen de la proposition de Deardorff telle que : c = ( x y z) 1/3. (2.38) Une fois l opération de filtrage effectuée, les équations de Navier-Stokes filtrées s écrivent : u i t + (u i u j ) = 1 p x j ρ x i + ν 2 u i x j x j + T ij x j. (2.39) où T ij représente l influence des échelles sous-maille sur la dynamique du champ total. T ij est le tenseur sous maille et s écrit : T ij = u i u j u i u j. (2.4) La modélisation sous-maille consiste à évaluer la valeur de ce tenseur. Il existe deux familles de modèles qui permettent d estimer T ij : les modèles cherchant à déterminer chaque composante du tenseur ; les modèles basés sur le concept de viscosité turbulente ν t (x, t). 3 Des filtres inhomogènes existent. Mais leurs actions et définitions restent un sujet de recherche ouvert au sein de la communauté scientifique voir la discussion de Sagaut [61]

37 Simulation aux Grandes Echelles 37 Pour notre étude, nous avons utilisé un modèle basé sur le concept de viscosité sous-maille. En ayant recours à l hypothèse de Boussinesq, on peut exprimer le tenseur sous-maille comme : où T ij 1 3 T kkδ ij = 2ν t S ij, (2.41) S ij = 1 2 ( ui + u ) j. (2.42) x j x i Le tenseur complémentaire 1 3 T kkδ ij est additionné au terme de pression statique p et ne nécessite en conséquence aucune modélisation. Π la pression modifié qui tient compte de ce tenseur, s exprime comme : Π = p T kk (2.43) Les équations à résoudre deviennent alors : ( u i t + (u i u j ) = 1 p + ν 2 u i + ( ui ν t + u ) ) j (2.44) x j ρ x i x j x j x j x j x i Pour l évaluation de ν t (x, t) nous utilisons le modèle fonction structure d ordre Modèle sous-maille : Fonction structure d ordre 2 de la vitesse La modélisation sous-maille utilisée dans cette étude est une transposition dans l espace physique du modèle spectral de viscosité effective. La viscosité sous-maille est calculée à partir de l énergie de la plus haute fréquence résolue. L existence des échelles sous-maille est vérifiée lorsque l énergie cinétique à la coupure est différente de zéro. Lesieur et Métais [4] proposent d évaluer cette énergie à la coupure E(k c ) au moyen de la fonction de structure d ordre 2 de la vitesse. Cette fonction peut s écrire dans le cas de la turbulence homogène comme : F 2 (x, c, t) =< u(x, t) u(x + r, t) 2 > r = c = 4 kc [ E(k) 1 sin (k c) c ] dk. (2.45) En respectant un spectre de Kolmogorov E(k) = C k ε 2/3 k 5/3, la viscosité turbulente prend la forme suivante : [ 1/2 ν t (x, t) =.15C 3/2 k c F 2 (x, c, t)], (2.46) avec C k la constante de Kolmogorov. Ce modèle donne des résultats satisfaisants pour la turbulence homogène. Cependant il souffre quelques défauts. Ainsi, comme l information contenue dans le modèle est locale en espace, donc non locale en fréquence, cela implique une mauvaise estimation de l énergie cinétique à la coupure. Afin d améliorer le modèle, Ducros et al [15] proposent une technique qui permet de mieux prédire l énergie cinétique à la coupure. Cela consiste à mieux déterminer si le champ exacte est entièrement résolue, auquel cas le modèle sous-maille doit être réduit à zéro, ou s il existe des échelles sous mailles qu il faut prendre en compte par l intermédiaire du modèle. Afin de mieux prédire l existence d échelles sous maille, ils proposent d appliquer un filtre passe-haut en fréquence au champ de vitesse résolue. Le champ de vitesse filtré obtenu sert par la suite au calcul du modèle sous maille. Cette approche apporte des améliorations mais des difficultés spécifiques à la zone de proche paroi demeurent.

38 38 Méthodes numériques et configurations des écoulements U e δ Zone externe.2δ Zone interne Paroi Fig. 2.3 Profil moyen de vitesse longitudinale pour le cas d une couche limite turbulente et canonique. Spécificités de la zone de proche paroi Afin d illustrer les difficultés propres à la modélisation de la couche limite, nous nous plaçons dans le cadre idéal d une couche limite de plaque plane, turbulente, sans gradient de pression. Le sens de l écoulement extérieur est suivant l axe (Ox), la direction normale à la paroi est la direction (Oz). La vitesse extérieure est notée U e. Soit δ : l épaisseur de couche limite. La couche limite se divise en deux parties, une zone interne ( z <.2δ) et une zone externe (.2δ z δ), comme l illustre la figure 2.3. La zone interne se subdivise en trois parties : la sous-couche laminaire : z + 5 ; la région de transition ou région tampon : 5 < z + 3 ; la couche de Prandtl ou région inertielle logarithmique : 3 < z + ; z <.2δ. Avec z + = zu τ /ν, où u τ est la vitesse pariétale. Piomelli et Balaras [56], dans leurs revues bibliographiques sur les lois de paroi, montrent que la difficulté majeure réside dans la prédiction des phénomènes inhérents à la zone interne. En effet la nature de la turbulence rencontrée dans cette zone échappe aux modèles sous-mailles connus. Deux options sont alors envisageables : Résoudre directement la dynamique de la turbulence proche paroi en utilisant un maillage adapté aux tailles des phénomènes rencontrés. Chapman [12] estime que la résolution directe de la couche interne, qui contribue pour environ 1% à l épaisseur de la couche limite complète (pour le régime de Reynolds qui nous concerne), nécessite O(Re 2.4 ) degrés de liberté, alors qu il ne faut que O(Re.4 ) pour représenter la couche externe ; Utiliser un modèle de loi de paroi afin de reproduire la dynamique de l écoulement de la zone interne de la couche limite. Cette méthode présente l avantage de diminuer considérablement le coût des simulations (en nombres de points de discrétisations spatiales) mais présente l inconvénient d être une source potentielle d erreur supplémentaire. Ce type d approche ne peut modéliser que des couches limites turbulentes.

39 Critères d identification tourbillonnaire Critères d identification tourbillonnaire L utilisation de la Simulation Numérique Directe et aux Grandes Echelles nous permet d avoir facilement accès à toutes les valeurs calculées en chaque point de la grille et à chaque instant. Ceci autorise l étude de la turbulence dans un cadre complet. Pour étudier la topologie des écoulements rencontrés, nous nous sommes intéressés à deux critères qui permettent de détecter les structures cohérentes des écoulements turbulents. Lesieur [39] définit les structures cohérentes comme étant une région de l espace où les 2 propriétés suivantes sont respectées : 1. Préservation de la forme géométrique durant un temps supérieur au temps de retournement ω 1 ; 2. Caractère non prédictible équivalent à une forte sensibilité à de faibles perturbations sur la condition initiale. Le premier critère utilisé pour visualiser les structures cohérentes est la vorticité, elle s exprime comme : ω = u = ω x x + ω y y + ω z z. (2.47) Par la suite, les structures les plus énergétiques de la turbulence seront visualisées principalement avec la norme de la vorticité, noté ω n, et défini : ω n = ωx 2 + ωy 2 + ωz. 2 (2.48) L inconvénient majeur de ce critère est qu une valeur non-nulle de ω n n est pas nécessairement la signature d un tourbillon, mais peut être la présence d un cisaillement. Un soin particulier doit être apporté sur les niveaux de vorticité visualisés, si un niveau important doit être donné à ω n pour visualiser une structure tourbillonnaire, elle n indique pas obligatoirement la présence d un tourbillon. L autre critère retenu est le critère Q. Il s agit d observer les régions positives du second invariant Q du tenseur gradient de vitesse u. La valeur de Q est donnée par : avec : Q = 1 2( u 2 i x 2 i u i x j u j x i ), = 1 u i u j, (2.49) 2 x j x i = 1 2 ( Ω 2 S 2 ), S = [tr(ss t ] 1/2, (2.5) Ω = [tr(ωω t ] 1/2. (2.51) S et Ω sont respectivement les parties symétriques et antisymétriques du tenseur gradient de vitesse. Soit : S ij = 1 ( ui + u ) j, (2.52) 2 x j x i ( ui Ω ij = u ) j. (2.53) x j x i

40 4 Méthodes numériques et configurations des écoulements Q peut aussi s écrire en fonction du laplacien de la pression tel que : Q = 1 2 p. (2.54) 2 x i x i On aura une valeur positive de Q quand le taux de rotation (Ω 2 ) sera supérieur à la tension (S 2 ), qui indiquera une zone tourbillonnaire. Ainsi l association de ces 2 critères met en évidence l ensemble des structures cohérentes parce que principalement tourbillonnaires des écoulements étudiés.

41 Ecoulement principal : sillage 41 II V U > U III U IV V I I V III U < U II U > U Fig. 2.4 Zone de l écoulement de sillage uniforme. Inspiré de Zdravkovich [73] 2.8 Ecoulement principal : sillage Le sillage est un écoulement classiquement étudié en mécanique des fluides et ce depuis de nombreuses années. Townsend [66], Gerrard [22], [23], Coutanceau et Bouard [13], Zdravkovich [73], Williamson [71] et Roshko [6] ont réalisé des travaux détaillés qui ont permis de fournir une description d une partie ou de la totalité de cet écoulement. Dans ce paragraphe nous proposons une étude topologique succincte de l écoulement, puis à partir du travail de Zdravkovich [73], nous présentons une hiérarchisation de l écoulement, enfin nous explorons plus en détail les différents régimes que nous étudions Topologie de l écoulement Les perturbations de l écoulement sont dues à des variations importantes de l intensité et de la direction de la vitesse locale. La vitesse locale moyenne (moyenne temporelle) peut être soit supérieure, égale, ou inférieure à la vitesse de convection de l écoulement. Cet écoulement peut être scindé en plusieurs zones. La figure 2.4 montre les six zones importantes de l écoulement qui sont : I : Zone de Stagnation. Lieu où le fluide est fortement ralenti. Cette zone de l écoulement est sujette à de fortes fluctuations spatiales de la vitesse ; II : Zone des Couches limites. Elles subissent un gradient de pression favorable suivi d un gradient de pression adverse avant leurs décollements de l obstacle ; III : Zone des Couches cisaillées. Elles commencent à partir du point de décollement des couches limites et sont dues aux gradients de vitesse entre les zones IV et V. Elles sont à l origine du sillage derrière le cylindre ; IV : Culot du cylindre. Entre les deux couches cisaillées on observe la présence d une ou deux bulles de re-circulation collées au cylindre. Cette zone est sensible au conditions limites. Le culot du cylindre est une zone de l écoulement où de nombreuses formes d instabilités apparaissent. Une des instabilités les plus étudiées (voir par exemple Provensal et al [58]) engendre un lâcher tourbillonnaire régulier de tourbillons contra-rotatifs de part et d autre du cylindre. Il se forme alors, une allée de tourbillons disposés en quinconce appelée allée de Bénard-Von Kármán dans la zone de sillage ;

42 42 Méthodes numériques et configurations des écoulements Fig. 2.5 Allée de Bénard-Von Kármán en aval d un cylindre V : Zone de Sur-vitesse. Cette zone de l écoulement reste peu étudiée car elle est souvent affectée par les conditions limites ; V I : Zone du Sillage. Il s agit de la zone de l écoulement la plus étudiée. La nature du sillage rencontré dépend de l état de l écoulement qui est soit laminaire, transitionnel ou turbulent. Cet écoulement se caractérise par plusieurs grandeurs caractéristiques, que nous utiliserons dans la suite de ce document : 1. Le nombre de Reynolds (Re = U c D/ν, avec U c la vitesse de convection et D le diamètre du cylindre) traduit le rapport des forces d inertie sur celles de viscosité mises en jeu autour de l obstacle. Par la suite, le nombre de Reynolds est le paramètre qui nous permet de caractériser notre écoulement afin de réaliser nos simulations numériques ; 2. Le nombre de Strouhal. On peut définir une fréquence caractéristique de ce sillage f et une fréquence adimensionnelle appelée nombre de Strouhal St = fd/u c. Les nombreuses études de cet écoulement ont permis de classer les différents régimes de l écoulement suivant l évolution du nombre de Strouhal par rapport au nombre de Reynolds (cf. Fig. 2.7) ; 3. La longueur de recirculation L r est définie comme la distance sur la ligne centrale entre la frontière du cylindre et le point où la composante longitudinale de la vitesse moyenne change de signe ; 4. La composante longitudinale de la vitesse moyenne minimum au sein de la bulle de recirculation (U min ) Les différents régimes du sillage Régime stationnaire Re < 47 Régime d écoulement laminaire, avec présence de deux bulles de re-circulation symétriques et contra-rotatives. La longueur de la zone de recirculation augmente linéairement en fonction du Reynolds.

43 Ecoulement principal : sillage 43 Fig. 2.6 Sillage périodique laminaire : (a) Re = 54, (b) Re = 65, (c) Re = 12. Cliché de Homann, répertorié par Zdravkovich [73] Régime périodique laminaire 47 < Re < 18 Pour ce régime, des instabilités se situent en fin de zone de recirculation. Pour des nombres de Reynolds proches de la valeur critique Re = 47, on observe des oscillations importantes mais pas de lâcher tourbillonnaire (cf. Fig. 2.6,(a)). Si on augmente légèrement le nombre de Reynolds Re = 6 7, on observe des lâchers tourbillonnaires (cf. Fig. 2.6,(b)). Une augmentation plus importante provoque l apparition d un plus grand nombre de tourbillons (cf. Fig. 2.6,(c)). Les lâchers tourbillonnaires ont lieu en majorité de façon parallèle au cylindre. Régime de transition du sillage. TrW. 18 < Re < 35 4 A partir de ce régime, l écoulement est tridimensionnel. La transition du régime laminaire vers la turbulence est associée à deux types d instabilités décrites par Williamson [69, 71]. Ces deux discontinuités sont mises en évidence quand on observe l évolution du nombre de Strouhal en fonction du nombre de Reynolds sur (cf. Fig. 2.7). On peut donc distinguer deux parties, associées à la présence de ces deux discontinuités : TrW1. Instabilité de type Mode-A : 18 < Re < 25. Transition des structures laminaires dans le sillage. Présence de paires de structures tourbillonnaires longitudinales assez grosses. La taille de ces paires de structures tourbillonnaires est d environ 3 4 diamètres ; TrW2. Instabilité de type Mode-B : 25 < Re < 4. Lâcher tourbillonnaire oblique dans le sillage. La distance qui sépare deux tourbillons longitudinaux diminue, et est de l ordre du diamètre.

44 44 Méthodes numériques et configurations des écoulements Fig. 2.7 Relation entre les nombres de Strouhal et de Reynolds à travers le régime laminaire et de transition. Le régime de transition est caractérisé par deux types de discontinuité. Figure numérisée sur la publication de Williamson [71] Régime de transition des couches cisaillées. Régime sous critique. TrSL. 4 < Re < Cette seconde transition se situe dans les couches cisaillées, tandis que les couches limites restent dans un régime parfaitement laminaire. La transition, le long des couches cisaillées, se découpe en trois parties : TrSL1 : 4 < Re < Développement d ondes de transition le long des couches cisaillées ; TrSL2 : < Re < Remontée de la transition laminaireturbulente dans les couches cisaillées vers l obstacle ; TrSL3 : < Re < Etat turbulent des couches cisaillées. La transition apparaît en premier lieu comme une ondulation des couches cisaillées. Au fur et à mesure que le nombre de Reynolds augmente, la zone de transition se rapproche du cylindre, et finalement laisse place à la turbulence. Régime de Transition de la couche limite. Régime critique. TrBL < Re <? Ce dernier régime ne fait pas partie de notre étude. Nous présentons rapidement les cinq décompositions que Zdravkovich [73] propose pour ce régime : TrBL : < Re < Régime sous-critique. Ce régime se caractérise par un recollement de la couche limite et une nette réduction de l épaisseur du sillage ;

45 Ecoulement principal : sillage 45 TrBL1 : < Re < Régime à une bulle. L écoulement est fortement asymétrique. On observe une seule bulle de re-circulation très courte proche du cylindre ; TrBL2 : < Re < Régime à deux bulles ; TrBL3 : < Re < 3, Régime super-critique. Régime d écoulement à nouveau symétrique ; TrBL4 : 3, < Re <?. Régime post-critique. Régimes étudiés L écoulement autour d un cylindre a fait l objet de nombreuses études expérimentales et numériques. Dans la majeure partie du temps, ces expériences ont été réalisées pour des régimes de Reynolds modérés. Nous nous sommes surtout intéressés aux régimes de transition du sillage (TrW2) et au régime de transition des couches cisaillées (TrSL2). Ces deux régimes offrent le double avantage d être d une part fortement documentés et d autre part abordables à l aide de nos approches numériques. Pour le régime (TrW2), Williamson [71] estime que les lâchers tourbillonnaires sont en majorité parallèles au cylindre. Eisenlohr et Eckelmann [16] observent une séparation des tourbillons au cours d un lâcher tourbillonnaire le long du cylindre. C est un peu plus tard, que Williamson [7] donne à ce type de phénomène le nom de dislocation. Il semble que ces phénomènes ne soient perceptibles que lorsqu il y a des lâchers tourbillonnaires obliques. Prasad et Williamson [57] montrent que pour un régime d écoulement supérieur à Re = 26, la fréquence d apparition de lâchers obliques est nulle. Ils montrent que sous la condition de forcer l apparition du mode oblique (à l aide de plaque de bout par exemple), on observe des dislocations. Enfin des tourbillons longitudinaux sont présents et une grande diversité de taille et de forme de tourbillons sont rapportés dans la littérature. Depuis une dizaine d années, des études numériques ont été réalisées pour étudier l écoulement autour d un cylindre pour un nombre de Reynolds plus important, régime (TrSL2). Dans le chapitre IV nous reviendrons en détail sur ce régime. Il faut noter que pour ce régime, la présence de structures tourbillonnaires longitudinales est importante, et ce même loin du cylindre. Beaudan et Moin [6], sont les premiers, à notre connaissance, dès 1994, à réaliser plusieurs Simulations aux Grandes Echelles de l écoulement autour d un cylindre circulaire pour un nombre de Reynolds Re = 39. Ils étudient l influence de la dissipation numérique occasionnée par des schémas de discrétisations spatiales décentrés. Ils étudient aussi l influence du modèle sous-maille utilisé en comparant les résultats obtenus à partir d une simulation aux grandes échelles sans modèle sous maille, avec le modèle de Smagorinsky et le modèle de Smagorinsky dynamique. Ils ont, dans l ensemble, un assez bon accord avec les résultats expérimentaux de Lourenco et Shih [2], et Ong et Wallace [5], même si des écarts sont notés. Ils constatent que l utilisation de schémas décentrés, dans le cadre de Simulations aux Grandes Echelles, est à éviter tant que cela est possible, car la dissipation numérique occasionnée par de tels schémas est importante. Mittal et Moin [45], ainsi que Breuer [9] arrivent à une conclusion similaire. La comparaison des résultats entre les deux modèles sous mailles, montrent que dans la zone de recirculation le modèle dynamique apporte des améliorations, mais qu en dehors de cette zone, les différences sont négligeables. Breuer [9] et Tremblay [67] arrivent à la même conclusion. Il

46 46 Méthodes numériques et configurations des écoulements Fig. 2.8 Exemple d une instabilité de Kelvin-Helmholtz dans la nature semble donc que l influence du modèle sous-maille, ne soit importante que dans la zone proche du cylindre. Schématiquement, l influence, quand il y a une influence, porte sur l estimation de la longueur de recirculation. Le modèle dynamique permet à Beaudan et Moin [6] et Breuer [9] d avoir une estimation de L r /D en meilleur accord avec les données de expérimentales. Tremblay [67] n observe pas ce gain. En 2, Kravchenko et Moin [31] re-visitent cet écoulement. Pour ce faire, ils réalisent des Simulations aux Grandes Echelles avec des schémas de discrétisation spatiale d ordre élevé. Ces simulations ont toutes été réalisées à partir du modèle de Smagorinsky Dynamique. Ils obtiennent des résultats en bon accord avec les résultats de Ong et Wallace [5]. Ils mettent en évidence l existence de structures tourbillonnaires longitudinales très fines loin de l obstacle. Ils observent l existence de deux états de convergence des statistiques dans la zone de recirculation. Il s agit de deux formes caractéristiques du profil vertical de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Une forme en U et une autre en V. Moin et ces collaborateurs [6, 45, 31], qui utilisent toujours des schémas de hautes précisions, observent toujours une convergence vers un profil en U. A l inverse, à notre connaissance, les auteurs qui utilisent des schémas d ordre 2 observent en majorité des profils en V. Tremblay [67], Breuer [9] et Fröhlich [21] en sont un exemple. Nous reviendrons plus en détails sur ces régimes dans les chapitres III et IV. 2.9 Ecoulement secondaire : couche de mélange plane Dans cette partie nous présentons les grandeurs caractéristiques de cet écoulement. Soit une couche de mélange plane incompressible, qui se développe entre deux écoulements parallèles de vitesses différentes U 1 et U 2, tel que U 1 > U 2. Une telle discontinuité de la vitesse est instable et développe une région turbulente en aval du point de rencontre des deux écoulements. L expansion de cette zone est linéaire pour les cas où le gradient de pression est nul. L analyse dimensionnelle montre que l épaisseur de la couche de mélange δ ω à la distance x ne dépend que de U = U 1 U 2 /2 et de x. Il vient que δ ω U α x β. Hors [L] = [L] α+β [T ] α donc α = et β = 1, ce qui prouve bien que δ ω croît proportionnellement à x.

47 Ecoulement secondaire : couche de mélange plane δ ωi u(y) Basse-Vitesse Haute-Vitesse U 2 U y Fig. 2.9 Profil de vitesse moyenne de la couche de mélange plane et épaisseur de vorticité en entrée δ ωi De faibles perturbations, en amont du point de rencontre des deux écoulements, entraînent des oscillations de la nappe tourbillonnaire. Cette instabilité donne naissance à des tourbillons dont l axe principal est dirigé suivant la direction transverse. Cette instabilité dîtes de Kelvin- Helmholtz (cf. Fig. 2.8), engendre des tourbillons qui portent le même nom. Le problème de la couche de mélange relève de l approximation de couche mince, qui amène les caractéristiques suivantes sur l écoulement : La direction longitudinale est la direction principale de l écoulement ; la direction transverse est le lieu de fort gradient. Dans le but de répondre à ces deux caractéristiques de l écoulement, nous imposons sur le profil de la composante longitudinale de la vitesse moyenne u(y) en entrée de domaine (cf. Fig. 2.9), la condition suivante : u(y) = U 1 + U U 2y tanh( ), (2.55) 2 2δ ωi avec δ ωi l épaisseur de vorticité de la couche de mélange en entrée de domaine. δ ωi a pour définition : U δ ωi =. (2.56) u(x = ) / y max On définit de façon plus générale l épaisseur de vorticité de la couche de mélange à la position longitudinale x comme : U δ ω =. (2.57) u(x) / y max Nous caractériserons notre couche de mélange à partir des deux nombres adimensionnels suivants : 1. Le nombre de Reynolds basé sur la différence de vitesse U, l épaisseur de vorticité en entrée de domaine δ ωi et sur la viscosité cinématique ν tel que : Re δωi = Uδ ω i ; (2.58) ν

48 48 Méthodes numériques et configurations des écoulements 2. Le rapport de vitesse λ : λ = U 1 U 2 U 1 + U 2. (2.59) Il est important de noter que l évolution spatiale de la couche de mélange est fortement conditionnée par les conditions amonts et/ou initiales. Pour réaliser la simulation d une couche de mélange il est nécessaire d exciter certaines fréquences de cette dernière. La méthodologie à mettre en œuvre est très clairement expliquée par Lardeau [36]. Un soin particulier a donc été apporté pour ce faire. 2.1 Interaction d une couche de mélange plane-sillage A notre connaissance seul Heitz [26] et Braud [8] ont mené une étude de cet écoulement pour le régime qui nous intéresse. Lamballais et Silvestrini [35] se sont, eux aussi, intéressés à cet écoulement mais pour un nombre de Reynolds bien plus modéré. Heitz [26], Lamballais et Silvestrini [35] et Braud [8] ont montré que cette combinaison d écoulement devait être analysée comme un sillage perturbé par une couche de mélange. Pour mieux comprendre les mécanismes de cet écoulement il faut le scinder en deux zones : la zone autour du cylindre (zones I, II, III et IV sur la figure 2.4) et la zone du sillage (zone V I sur la figure 2.4). Ecoulement autour du cylindre Heitz [26] a mis en évidence que près du cylindre la couche de mélange partage l écoulement en deux sillages. Il caractérise ces deux sillages avec les sillages équivalents en terme de nombre de Reynolds plongés dans un écoulement uniforme. Les deux sillages ont donc les caractéristiques suivantes : 1. Le sillage coté Basse-Vitesse. La comparaison avec un sillage classique équivalent en nombre de Reynolds montre que : la longueur de formation reste la même, le coefficient de traîner et le nombre de Strouhal augmentent ; 2. Le sillage coté Haute-Vitesse. La comparaison avec un sillage équivalent montre que : La longueur de formation diminue, le coefficient de traînée diminue et le nombre de Strouhal diminue. Il a ainsi mis en évidence le fait que cet écoulement ne devait pas être vu comme une juxtaposition de deux sillages. Il a montré l existence d interactions suivant l envergure du cylindre par la présence de fortes singularités. Il a prouvé l existence de quatre cellules de fréquence constante qui confirment l action séparateur jouée par la couche de mélange, et l effet de bout qui affecte le coté Basse-Vitesse dans le cadre de son expérience. L ensemble de ces conclusions ont été vérifiées par Braud [8], et Lamballais et Silvestrini [35]. L expérience numérique de Lamballais et Silvestrini [35], bien qu elle soit réalisée pour un nombre de Reynolds moindre (Re = 75 dans le cas de Heitz et Re = 4 dans le cas de Lamballais et Silvestrini), met en évidence les mêmes caractéristiques. Ecoulement dans le sillage Plus loin de l obstacle, dans la zone de sillage, trois écoulements se développent autour d une zone d interaction : Les sillages Haute- et Basse-vitesse et la couche de mélange partagée, de

49 Interaction d une couche de mélange plane-sillage 49 manière symétrique, de chaque côté des sillages. Il est observé un renforcement des grandeurs turbulentes de la couche de mélange, que l on peut expliquer par le biais d un effet de confinement de l écoulement dû à la présence des deux sillages. Les sillages subissent, quant à eux, une réorganisation très importante. Il est observé au niveau de la zone d interaction, un transfert important de fluide de la Basse-Vitesse vers la Haute-Vitesse.

50 5 Méthodes numériques et configurations des écoulements

51 Chapitre 3 Méthode de modélisation d un obstacle par une force Le recours aux simulations numériques en mécanique des fluides est devenu de plus en plus fréquent, grâce notamment à la nette amélioration des performances des ordinateurs et des méthodes numériques. Malgré cela, réaliser des simulations d écoulement turbulent autour d objets complexes demeure un défi pour la Simulation Numérique Directe, ainsi que pour la Simulation aux Grandes Echelles. Pour réaliser ce type d études numériques, deux approches sont envisageables : La première méthode, la plus connue, consiste à réaliser un maillage qui s adapte en épousant parfaitement les contours de l obstacle. Pour ce faire plusieurs types de maillages s offrent à l utilisateur et le choix du type de maillage est crucial sur la qualité des résultats. Fröhlich et al. [2] dressent un comparatif complet entre une simulation faite à partir d un maillage structuré et la même simulation faite à partir d un maillage non-structuré. Cependant, nous pensons que même si toutes les précautions d usage sont prises, de fortes distorsions de maillage demeurent (essentiellement dans la zone proche paroi) et nuisent à la précision des résultats tout en augmentant le coût du calcul de façon significative (temps de calcul, mémoire...) ; La seconde méthode consiste à garder un maillage cartésien indépendant de la géométrie de l obstacle, et à rajouter une force extérieure dans les équations de Navier-Stokes qui modélise l obstacle au sein de l écoulement. Le code de calcul utilisé est écrit avec des schémas de discrétisations spatiales quasi-spectrales et a une longue expérience dans la simulation d écoulements cisaillés libres (Druault [14], Lardeau [36, 37]). Toutefois, l utilisation de ce type de schémas nous soumet à des contraintes. En effet, il ne nous permet pas d envisager le cas d écoulement autour d obstacles. L enjeu de ce travail consiste à allier une méthode de modélisation d obstacles, tout en conservant l avantage des schémas de hautes précisions. Dans la littérature, ce type d approche possède différents formalismes et noms. Dans ce chapitre, nous allons présenter une revue nonexhaustive de ces formalismes. Enfin nous présenterons la méthode que nous avons retenue, ainsi que les améliorations apportées. 51

52 52 Méthode de modélisation d un obstacle par une force Ω 2 Ω 2 Ω 2f Ω 1 Ω 1f Ω f Fig. 3.1 Vue schématique de deux types de domaines solides Ω 1 et Ω 2 au sein d un milieu fluide Ω f, le tout considéré dans le domaine de calcul Ω = Ω f Ω 1 Ω Revue bibliographique L idée générale, commune à l ensemble des méthodes que nous allons décrire, est d ajouter un terme de forçage volumique au sein des équations de Navier-Stokes afin de mimer les effets d un obstacle solide mobile ou inerte au sein d un écoulement. Par la suite, nous nous intéresserons uniquement au cas de solide inerte avec des parois fixes au sein d un fluide. La présence de parois dans un écoulement peut être définie à l aide de sous-domaine Ω i dont la frontière Ω i désigne, soit une partie, soit l ensemble d une surface physique en contact avec le fluide. Le schéma de la figure 3.1 illustre les deux cas de géométrie que l on peut rencontrer. Sur le schéma 3.1 le domaine Ω 1 est entièrement dans le fluide ce qui signifie que sa frontière Ω 1 est entièrement en contact avec le fluide. Dans le second cas, Ω 2, seule une partie du solide est en contact avec le fluide, donc seule une partie de sa frontière Ω 2f est en contact. L idée des méthodes que nous allons décrire est d imposer les conditions limites sur Ω 1 et Ω 2f en ajoutant un champ de force sur une partie ou sur la totalité des domaines Ω 1 et Ω 2. Par la suite, nous noterons Ω if l ensemble des frontières en contact avec le fluide sur lesquelles des conditions aux limites sont imposées via le forçage Concepts communs Forçage volumique Pour modéliser l effet d un obstacle au sein d un écoulement, un terme de forçage volumique est ajouté aux équations de Navier-Stokes. Pour ce faire, il est d usage de faire apparaître une force volumique f(x, t) dans l équation de quantité de mouvement : u t + ω u = 1 ρ p m + ν 2 u + f, (3.1).u =. (3.2) Par la suite f(x, t) prend des formes diverses selon la méthode employée, mais cela revient toujours à ajouter un terme de forçage, dans l équation (3.1). Afin de localiser le forçage, il est

53 Revue bibliographique 53 courant d introduire un champ de scalaire ε(x, t) destiné à masquer son action dans la région du fluide. On suppose que ε(x, t) ne peut prendre que deux valeurs : si x Ω f, ε(x, t) = 1 si x Ω i. Des subtilités peuvent être apportées sur le choix de la valeur de ε(x, t) en dehors de la zone fluide. En effet, on ne veut imposer des conditions que sur la frontière Ω if de l obstacle. Une possibilité, par exemple, consiste à imposer ε = 1 uniquement aux bords du domaine et à le laisser nul partout ailleurs. Quoi qu il en soit, la force des méthodes de modélisation d obstacles tient dans cette facilité à définir un tel champ de scalaire, y compris dans le cas de géométrie très complexe (par comparaison avec les méthodes classiques où le maillage s adapte à la géométrie). Champ cible À l exception de la méthode des frontières immergées, où le mouvement du fluide agit sur les parois (et réciproquement), le rôle du forçage est d imposer des valeurs au champ de vitesse u(x, t) dans les régions où l on désire modéliser un obstacle. De façon générale, on définit un champ cible u (x, t) portant les valeurs à prescrire sur le champ de vitesse u(x, t). A partir de cette notation, le champ de vitesse peut s écrire symboliquement : [ ] u(x, t) = u(x, t) + ε(x, t) u (x, t) u(x, t). (3.3) Dans le contexte le plus simple, modélisation de parois immobiles, on impose u (x, t) =. Dans tous les cas de figure, en dehors de la frontière Ω if, le champ cible a pour unique contrainte de respecter soit la condition de conservation d incompressibilité (3.2) dans le cas d un fluide, soit la propriété d indéformabilité dans le cas d un solide rigide. Nous verrons ensuite que ces conditions peuvent être contournées. Dans la majeure partie de ce chapitre, le champ cible est assimilé à une donnée du problème indépendante de la solution. Finalement, nous verrons que dans la section liée à l amélioration de la méthode de Forçage Direct, ce principe n est plus respecté. Nous allons maintenant présenter par ordre chronologique un ensemble de méthodes qui permettent de modéliser un obstacle au sein d un écoulement Méthode des Frontières Immergées Dès le début des années 197, Peskin [52, 53] modélise un obstacle au sein d un écoulement via un forçage. Dans le cadre de sa recherche en Biomécanique, et plus précisément pour le cas de la simulation de l écoulement du sang dans le coeur, Peskin a développé une méthodologie où les parois sont déformables et peuvent subir de grands mouvements. Principe L idée générale de la méthode est d assimiler une paroi à une surface courbe immergée dans un fluide qu elle suit dans son mouvement, la déformation propre de cette paroi servant à exprimer

54 54 Méthode de modélisation d un obstacle par une force Ω 1f Ω Ω f Fig. 3.2 Vue schématique de l approche mixte Eulérienne/Lagrangienne. La résolution des équations de Navier-Stokes s effectue de façon Eulérienne sur la grille fixe (Ω f ), tandis que le suivi de la frontière ( Ω 1f ) est de nature Lagrangienne. la force qu elle exerce sur le fluide. Nous ne présentons que la méthode dans un cas 2D. La description de la méthode sous une forme généralisée en 3D est fournie par Peskin et McQueen [54]. Pour prendre en compte l interaction entre la frontière du domaine et le fluide, la méthode repose sur une description mixte Eulérienne/Lagrangienne. Sur le schéma de la figure 3.2, on considère la frontière Ω 1f de l obstacle Ω 1 immergé dans le fluide Ω f, la coordonnée curviligne s permettant de repérer une position sur Ω 1f. Les coordonnées de l ensemble des points (s de 1 à 17 sur le schéma de la figure 3.2) qui constituent la frontière sont notées X(s, t). La longueur de la frontière du domaine est notée L. Pour exprimer les interactions entre la frontière et le fluide, la méthode des frontières immergées s appuie sur des fonctions de Dirac. La force volumique f(x, t) exercée par la frontière sur le fluide s exprime alors : f(x, t) = L F(s, t)δ(x X(s, t))ds, (3.4) où F(s, t) correspond à une loi de comportement mimant les déformations des parois. Si on suppose que l obstacle à modéliser est immobile en restant repérable par rapport à des positions fixes X e (s, t), que l on note κ l indice de compression de la paroi, F(s, t) peut s exprimer 1 par une simple loi de Hook de la forme : F(s, t) = κ(x e (s) X(s, t)). (3.5) En supposant que la paroi du solide suit le mouvement du fluide, on peut écrire l équation d évolution des points matériels constituants la frontière immergée comme : X(s, t) t = u(x(s, t), t). (3.6) 1 D autres lois de comportement sont envisageables. Nous nous sommes placés volontairement dans le cas qui nous intéresse, à savoir un obstacle inerte au sein d un écoulement avec des parois rigides.

55 Revue bibliographique 55 L expression (3.6) pour un solide fixe avec des parois rigides devient : X e (s) X(s, t) = t u(x(s, t ), t )dt. (3.7) Dans le cas d un obstacle ayant des parois élastiques la connaissance des vitesses sur les points matériels est déduite en utilisant à nouveau une fonction de Dirac : u(x(s, t), t) = u(x, t)δ(x X(s, t))dx. (3.8) Ω Enfin, dans le cas particulier de la modélisation d un obstacle immobile avec des parois rigides F(s, t) prend la forme suivante : F(s, t) = κ t u(x(s, t ), t )dt. (3.9) Remarque : La fonction de Dirac de l équation (3.4) est 1D, tandis que celle de l équation (3.8) est 2D, et dans les faits les fonctions de Dirac sont approximées par des fonctions delta discrètes. Avantages et inconvénients Quand la frontière est en interaction avec le fluide, la méthode donne dans l ensemble, des résultats satisfaisants. Cette méthode provoque aujourd hui encore un engouement important au sein de la communauté des Biomécaniciens. Lai et Peskin [32] dressent une revue bibliographique complète de cette méthode, et de son utilisation dans divers domaines d applications. Cependant, quand la frontière n est pas en interaction avec le fluide, voire reste immobile, des difficultés de mise en œuvre (liées à son caractère mixte Eulérien/Lagrangien) apparaissent. Afin de palier ces difficultés, des méthodes spécifiques au cas des parois fixes ont été développées Méthode de Pénalisation La méthode de Pénalisation a été pensée dans le cadre d études sur les milieux poreux, plus précisément sur l étude des conditions limites à l interface entre un milieu fluide et un milieu poreux. Afin de tenir compte du changement local de la nature du milieu, Arquis et Caltagirone [3] proposent d ajouter un terme de pénalisation dans l équation de quantité de mouvement. Principe L idée d Arquis et Caltagirone [3] est de décrire, par une équation unique, le passage d un milieu à l autre, en utilisant le concept de zone intermédiaire. En pratique, dans l équation de quantité de mouvement la force volumique f(x, t) a pour expression : f(x, t) = K(x, t)u(x, t), (3.1) où K(x, t) est le paramètre de pénalisation correspondant à la perméabilité du milieu considéré. On peut définir le paramètre K(x, t) comme une fonction du champ de scalaire ε(x, t) et de la constante de perméabilité de chaque milieu η, tel que : K(x, t) = ε(x, t). (3.11) η

56 56 Méthode de modélisation d un obstacle par une force Pour modéliser une paroi solide, il suffit de faire tendre la valeur de K(x, t) vers. L évolution globale de l écoulement est gouvernée par les équations de Navier-Stokes (2.55, 2.56) dans le milieu fluide et par une loi de Darcy dans le milieu solide avec : [ ] K(x, t) u(x, t) u (x, t) = p, (3.12).u =. (3.13) Cette combinaison, entre les équations de Navier-Stokes et de Darcy, est parfois désignée sous le nom d équation de Brinkman. Avantages et inconvénients Un avantage de cette méthode est la nature algébrique du terme de forçage, qui a permis à Angot et al. [1], ainsi que Kevlahan et Ghidaglia [27], d établir les fondements mathématiques de cette dernière. Ils [1, 27] justifient mathématiquement la méthode de pénalisation en examinant le comportement asymptotique de la solution fournie par les équations (3.1,3.2) forcées par l expression (3.6) quand K(x, t) tend vers, par rapport à une solution obtenue par les équations de Navier-Stokes sans forçage et avec un jeu de conditions limites exactes sur les parois. Un autre avantage réside dans la facilité du calcul des efforts sur l obstacle, comme le montre Caltagirone [1]. La contrainte supplémentaire sur le pas de temps qu elle impose de l ordre de t η, quand le terme de forçage est intégré de façon explicite, est un inconvénient. Nous allons voir, dans le paragraphe suivant, que cet inconvénient est commun avec la méthode des Frontières Virtuelles. De plus, Kevlahan et Ghidaglia [27] mettent en évidence la présence d oscillations numériques statiques (phénomène de Gibbs) en amont d un cylindre à Re = 2. Remarque : associée avec des codes de simulation à base d ondelettes adaptatives, la méthode fournit des résultats satisfaisants. Schneider et Farge [62, 63] ainsi que Kevlahan et al. [28] en sont des exemples Méthode des Frontières Virtuelles L idée de cette approche est d utiliser un forçage de type rétro-actif afin de modéliser un obstacle immobile au sein d un écoulement. Principe Goldstein et al. [24, 25] proposent l expression suivante pour la force volumique : f(x, t) = ε(x, t)α t [u(x, t ) u (x, t )]dt + ε(x, t)β[u(x, t) u (x, t)], (3.14) où α et β sont des constantes négatives à calibrer. Pour comprendre ce type de forçage une approche consiste à supposer que le terme de forçage devient prépondérant dans l équation de quantité de mouvement (2.55), on a alors : u t = ε(x, t)α t [u(x, t ) u (x, t )]dt + ε(x, t)β[u(x, t) u (x, t)]. (3.15)

57 Revue bibliographique 57 Soit q(x, t) = [ ] u(x, t) u (x, t). (3.16) On a q t = u t u t. (3.17) On suppose que si l obstacle est mobile, il a une vitesse constante, donc u t =. (3.18) Par la suite, L équation (3.15) devient : q t = εα q t = u t. (3.19) t qdt + εβq. (3.2) On se place volontairement dans le cas ε = 1 (soit dans le solide), alors l équation (3.2) en chaque point du forçage correspond à celle d un oscillateur amorti (de type masse-ressort) tel que : 2 q t 2 β q αq =. (3.21) t On remarque que α et β permettent de contrôler respectivement la fréquence des oscillations et leurs amortissements, c est pour cela qu on donne le nom de forçage rétro actif ( en anglais feed back forcing) parfois à cette méthode. Avantages et inconvénients A partir de l équation (3.21) on constate qu il faut donner des valeurs pour α et β suffisamment grandes (en valeur absolue) pour imposer la valeur du champ cible u en ε(x, t) = 1. Cependant le choix donné à (α, β) implique, quand le traitement de l intégration temporelle est explicite, une restriction sur le pas de temps et donc, un coût supplémentaire sur le calcul. Goldstein et al. [24] proposent le critère de stabilité suivant : t < β β 2 2αk, (3.22) α avec k une constante du problème dont la valeur est proche de 1. L expression (3.22) montre que si (α,β) prennent des valeurs trop importantes, l impact sur le pas de temps est dramatique. Mais si, par ailleurs, le couple prend des valeurs trop faibles, le forçage devient négligeable au sein de l équation de quantité de mouvement. Un choix judicieux sur la valeur des deux constantes est donc primordial pour réaliser une simulation de qualité. Le tableau 3.1 donne, pour différentes valeurs de α et β, la valeur du résidu qui est la norme L 2 entre la valeur de l écoulement interne dans l obstacle (notée : u) et la valeur du champ cible désiré (notée : u ), que l on note u u et les valeurs maximales prisent par t. L ensemble de ces valeurs sont obtenues à partir d une simulation 2D d un sillage de cylindre, pour un régime de Reynolds Re = 4. Les dimensions du domaine sont L x L y = 12D 6D,

58 58 Méthode de modélisation d un obstacle par une force α β u u t -5-1,43,1-5 -1,4, ,1,1-5 -1,1,8 Tab. 3.1 Tableau comparatif de l influence des termes α et β sur la valeur du résidu et sur le pas de temps t. n x n y = L ensemble des résultats sont obtenus avec la méthode des Frontières Virtuelles sans aucune amélioration spécifique. Il est clair que la tolérance sur le résidu u u est arbitraire, ce qui constitue le point faible de cette méthode. Pour palier cet inconvénient, Fadlun et al. [17] proposent de rendre implicite une partie du forçage, mais les gains obtenus restent insuffisants. Lamballais et Silvestrini [35] ont proposé, quant à eux, une alternative séduisante basée sur une méthode à pas fractionnaire (en 3 étapes), où la première étape est intégrée à l aide d un schéma d Euler avancé. Cette technique permet, elle aussi, d enlever des contraintes sur le pas de temps, mais là encore dans des proportions insuffisantes. Un autre inconvénient est la présence d oscillations numériques proches de l obstacle. Afin d enlever ces oscillations statiques Goldstein et al. [24] proposent d utiliser une Gaussienne qui répartit sur plusieurs points autour de la frontière Ω fi l intensité du forçage. Cette technique est efficace, elle réduit sensiblement la quantité d oscillations numériques et permet de localiser précisément la frontière de l obstacle. Mais, son utilisation implique une indétermination sur la taille de l obstacle. Nous reviendrons sur cette technique dans le paragraphe Prise en compte de la géométrie par le forçage volumique Méthode de Forçage Direct Cette méthode est la plus brutale pour imposer la condition voulue. Elle consiste à appliquer directement sur la solution le champ cible souhaité en s affranchissant de toute prédétermination de la forme du terme de forçage et de ses temps de réponse. La première impression est donc que cette méthode semble déconcertante de facilité. Une fois ce premier a priori dépassé, on constate que la mise en œuvre et l utilisation de cette méthode restent délicates. Principe Mohd-Yusof [46, 47] est l initiateur de cette approche. Afin d examiner le fonctionnement de la méthode il est préférable de discrétiser l équation (3.1) : u n+1 u n t = 3 2 Fn 1 2 Fn 1 1 ρ p n+1 m + f n+1, (3.23) avec F = ω u + ν 2 u. (3.24)

59 Revue bibliographique 59 L expression du terme de forçage intégré est : f n+1 = 1 t tn+1 t n fdt. (3.25) Pour cette méthode l expression de la force volumique prend la forme suivante : ( f n+1 = ε 3 2 Fn Fn p n+1 m ρ u n ). (3.26) t + un+1 La philosophie de cette méthode est de prescrire le forçage directement sur u n+1. Ceci est impossible, nous allons voir la technique mise en place pour contourner cette difficulté. Dans le but de pouvoir faire cela, nous avons choisi une méthode de projection en trois étapes. L équation (3.23) devient : u u n t u u t u n+1 u t = 3 2 Fn 1 2 Fn 1 1 ρ p n m + f, (3.27) = 1 ρ p n m, (3.28) = 1 ρ p n+1 m. (3.29) Il faut remarquer que malgré l utilisation d une méthode de projection, on ne peut pas imposer nos conditions limites sur u n+1 car il nous est impossible de connaître la valeur de p n+1 m et de u n+1 au même instant dans (3.29). Une possibilité consiste à imposer notre champ cible u sur u. La force volumique prend alors la forme suivante : Avantages et inconvénients ( f = ε 32 Fn + 12 Fn 1 + 1ρ p nm un+1 u n t ). (3.3) En pratique le fait de ne pas imposer la force volumique sur u n+1 a des répercussions. En effet cette concession nous interdit de vérifier exactement la condition aux limites attendue. Le résidu u u occasionné évolue en principe comme l erreur de fractionnement, dans notre cas u u t 2. Un avantage de cette méthode est qu elle n occasionne aucune restriction supplémentaire sur le pas de temps. De plus, sa mise en œuvre est relativement simple. Enfin cette méthode est la seule, à notre connaissance, à avoir été utilisée dans le cadre de Simulation aux Grandes Echelles. L ensemble de ces éléments font, qu elle suscite un intérêt croissant depuis ces dernières années Liens entre les différentes méthodes A la lumière de cette revue bibliographique, de fortes similarités entre les méthodes apparaissent. Dans ce paragraphe, nous allons proposer une analogie rapide entre la méthode des Frontières Virtuelles et les trois autres méthodes. La méthode des frontières virtuelles semblent être la méthode qui offre le formalisme le plus général, et qui permet donc, via des simplifications ou des approximations, de revenir à l une des trois autres méthodes.

60 6 Méthode de modélisation d un obstacle par une force Similitude entre les méthodes des Frontières Virtuelles et de Pénalisation C est très certainement le lien le plus facile à faire. En effet si on reprend le formalisme de la méthode des Frontières virtuelles : f(x, t) = ε(x, t)α t [u(x, t ) u (x, t )]dt + ε(x, t)β[u(x, t) u (x, t)], on s aperçoit que si on pose α = et β = 1/η on obtient alors la méthode de pénalisation. On peut conclure que la grande différence entre ces deux méthodes tient dans le terme rétro-actif : α. Ce terme est important car il permet d accélérer notablement la réponse du modèle. L expérience que nous avons de ces deux modèles, nous apprend que pour maintenir un résidu u u équivalent pour les deux méthodes, il faut mettre un coefficient η beaucoup plus faible dans le cas de la pénalisation, et donc fortement réduire le pas de temps. Dans le cas de l utilisation de ces deux méthodes avec une intégration temporelle explicite des équations, il est donc préférable d utiliser la méthode des Frontières Virtuelles. Toutefois, il faut remarquer que la méthode de pénalisation est la seule méthode (à notre connaissance) à avoir fait l objet d une étude de convergence rigoureuse, ce qui lui confère un avantage. Analogie entre les méthodes des Frontières Virtuelles et des Frontières Immergées Lai et Peskin [32] ont su mettre en évidence une similarité entre les deux méthodes. On ne peut pas parler d équivalence stricte. Cependant si on se positionne dans le cas d une modélisation d un obstacle immobile avec des parois fixes, ils ont montré que l on pouvait approximer l équation (3.9) par : f(x, t) ε(x, t)κ t u(x, t )dt. (3.31) Ceci correspond donc au cas de la méthode des Frontières Virtuelles avec α = κ et β =, et pour une frontière immobile dont u =. Ainsi la méthode des Frontières Immergées peut être interprétée, dans ce cas particulier, comme une méthode des Frontières Virtuelles purement rétro-active. Notre expérience de la méthode des Frontières Virtuelles avec β =, nous apprend que la méthode est très instable, et ne donne pas des résultats satisfaisants. Cette analogie nous conforte dans l idée que la méthode des Frontières Immergées n est pas adaptée à la modélisation d obstacle immobile avec des parois fixes. Similitude entre les méthodes des Frontières Virtuelles et de Forçage Direct Dans ce cas, la similitude entre les deux méthodes se fait par le biais d une discrétisation un peu particulière de la méthode des Frontières Virtuelles. Lamballais et Silvestrini [35] proposent d intégrer une partie du terme de forçage avec un schéma d Euler avancé. Ils établissent que dans le cas où le terme d amortissement est intégré séparément par un schéma d Euler avancé, et que la valeur de β tend vers l infini, on obtient alors un formalisme équivalent à celui du Forçage Direct. Finalement, il semble que le comportement des trois dernières méthodes (Pénalisation, Frontières Virtuelles et Forçage Direct) sont très proches, du moins dans le cadre d une utilisation sans aucune amélioration.

61 Prise en compte de la géométrie par le forçage volumique 61 Fluide Solide Oscillations numériques Fig. 3.3 Illustration des phénomènes d oscillations numériques autour d un obstacle. 3.2 Prise en compte de la géométrie par le forçage volumique Les méthodes de forçage volumique produisent des discontinuités sur la dérivée première de la vitesse. Notre association méthode de forçage-schéma de haute précision nous est défavorable lors du traitement des singularités sur la dérivée première de la vitesse. En effet, l utilisation de schéma de nature quasi-spectrale fait ressortir de façon plus importante les oscillations numériques autour de l obstacle comme l illustre la figure 3.3. La force des méthodes de forçage volumique tient dans l indépendance du maillage vis à vis de la géométrie traitée. Le plus simple consiste à appliquer le forçage directement sur l ensemble des points du maillage adjacents à la frontière de l obstacle. Toutefois, cette solution implique une incertitude sur la position de la frontière, ces discontinuités sur la dérivée première de la vitesse sont toujours importantes et les oscillations numériques ne sont pas atténuées. En outre, la valeur du résidu u u reste importante et implique une mauvaise estimation du gradient de la vitesse à la paroi, comme illustrée sur la figure 3.7,(a). Afin de supprimer les oscillations numériques, Goldstein et al. [24] proposent d utiliser une fonction Gaussienne qui distribue l intensité de la force sur les points adjacents à la frontière dans le fluide (cf. Fig 3.4 pour un cas 1D). Cette technique permet de lisser le champ de vitesse, et par conséquent de supprimer une partie des oscillations numériques disgracieuses. L utilisation de cette technique est délicate. En effet, une répartition de l intensité de la force sur un trop grand nombre de points extérieurs de l obstacle provoque un gel du fluide et augmente la taille de l obstacle. Goldstein et al. [24] conseillent d appliquer la Gaussienne uniquement sur les deux premiers points adjacents la frontière et que seule 3% de la force soit appliquée sur ces points. Malgré cela, Lamballais et Silvestrini [35] notent une incertitude de l ordre de 5% sur la dimension du diamètre de leur cylindre. Cette technique permet d avoir une valeur du résidu u u proche de zéro, mais l estimation du gradient de la vitesse à la paroi reste mauvaise (3.7,(b)) et l écoulement de proche paroi (couche limite) est fortement perturbé. Des méthodes d interpolation pour appliquer le forçage sont également utilisées, voir figure 3.5. Ce type d approche est très utilisé et de nombreux auteurs y ont apporté des améliorations. Fadlun et al. [17] sont les premiers à fournir des résultats intéressants à partir de ce genre d approche. Piomelli et Balaras [55], puis Balaras [5] montrent qu un traitement d interpolation et

62 62 Méthode de modélisation d un obstacle par une force Intensité de la force Fluide Solide 1 X Fig. 3.4 Distribution de la force volumique sur les points adjacents de la frontière par une Gaussienne dans un cas 1D. Solide Vitesse désirée Vitesse interpolée Fluide Vitesse connue Fig. 3.5 Méthodes d interpolation utilisées pour appliquer le forçage. d extrapolation proche de la surface de l obstacle donne satisfaction. Cette technique permet de localiser exactement la frontière du domaine. Le système d interpolation permet de lisser les discontinuités sur le champ de vitesse, et donc de supprimer une partie des oscillations numériques. Cela permet d avoir une valeur nulle sur le résidu : u u. Enfin cela permet d avoir une estimation plus précise du gradient de vitesse à la paroi (3.7,(c)). Dans le but de ne pas introduire d erreur supplémentaire trop importante sur le champ de vitesse, il faut veiller à utiliser des méthodes d interpolation d ordre assez proche de celui des schémas de discrétisation spatiale. Cependant, d une part la localisation des points adjacents et d interpolation peut devenir délicat dans le cadre de géométrie complexe. D autre part, le fait de modifier l écoulement de proche paroi nous semble dangereux. Mohd-Yusof [46] propose d utiliser un écoulement miroir. Cette approche consiste, dans le cas où l on souhaite modéliser un obstacle inerte, à inverser la vitesse sur le premier point adjacent à l extérieur de l obstacle et à l appliquer sur le premier point du maillage dans l obstacle comme l illustre la figure 3.6. Cette approche offre l avantage de pouvoir localiser exactement la frontière du domaine. L erreur commise sur l estimation du gradient de vitesse est d ordre 2 (3.7,(d)). Cette approche offre l avantage supplémentaire de ne pas modifier explicitement l écoulement proche paroi. Cette technique permet de supprimer en partie les oscillations numériques

63 Amélioration de la méthode de Forçage Direct 63 Vitesse interpolée Solide Vitesse désirée Vitesse calculée Fluide Fig. 3.6 Méthode d écoulement inverse pour appliquer le forçage. proches de l obstacle. Quand les points du maillage à l intérieur de l obstacle ne coïncident pas avec des points à l extérieur par le jeu de la symétrie par rapport à la frontière de l obstacle, une méthode d interpolation est utilisée afin de lever cette difficulté. Au final, malheureusement, aucune de ces techniques ne permet d enlever complètement les oscillations numériques autour de l obstacle. Cependant, l ordre élevé de nos schémas de discrétisation spatiale et la volonté d introduire un minimum d erreur supplémentaire sur le champ de vitesse nous ont décidé à utiliser l approche qui utilise un écoulement miroir. Dans la suite nous allons présenter les améliorations que nous avons apportées à la méthode de Forçage Direct dans le cadre de notre code de calcul. 3.3 Amélioration de la méthode de Forçage Direct Afin d avoir une meilleure description de l écoulement de proche paroi, et d améliorer la régularité de la solution sur les points adjacents la frontière de l obstacle, nous avons fait le choix de donner une nouvelle définition au champs cible u (x, t). Afin d expliquer notre approche nous nous plaçons dans le cas d un écoulement autour d un cylindre. Exprimée dans le système de coordonnées cylindriques (r, θ, z), la condition d adhérence à la paroi s écrit : u(d/2, θ, z, t) =. (3.32) Nous avons construit notre champ cible, comme l inverse du champ de vitesse à l extérieur de l obstacle. Cela correspond à une extension sur l ensemble des points de l obstacle de la notion d écoulement miroir proposée par Mohd-Yusof [46]. Dans ce cadre, le champ cible s exprime en fonction du champ de vitesse extérieure u(r, θ, z, t), comme : u (r, θ, z, t) = u(d r, θ, z, t). (3.33) D autre possibilités sont envisageables, comme l illustre la figure 3.8. Nous avons constaté que le fait d inverser les deux composantes du champ de vitesse (cf. Fig. 3.8,(a)), ou seulement la

64 64 Méthode de modélisation d un obstacle par une force Fluide Y Fluide Y (a) U (b) U Frontière de l obstacle U U Solide Solide Fluide Y U Fluide Y U (c) U interpolé (d) Frontière de l obstacle Frontière de l obstacle Solide U Solide Fig. 3.7 Représentation de l erreur d estimation du gradient de vitesse à la paroi : (a) sans aucune correction, (b) avec une correction par une gaussienne, (c) avec une interpolation sur le point adjacent à l extérieur de l obstacle, (d) avec écoulement miroir. ( ) Valeur exacte du gradient de vitesse et ( ) valeur approchée. composante tangentielle en annulant la composante normale (cf. Fig. 3.8,(b)) donne des résultats similaires. Cependant à l usage, l inversion complète du champ de vitesse s avère plus simple. Par ailleurs, le fait d inverser la composante tangentielle et de conserver la composante normale (cf. Fig. 3.8,(c)), ne permet pas d assurer la condition d imperméabilité. Cette dernière possibilité est donc à exclure. Comme nous l avons déjà évoqué, afin de prescrire le champ cible, une interpolation est nécessaire. Pour ce faire, nous utilisons une simple interpolation multi-linéaire. Bien que l ordre formel de ce type d interpolation soit de 2, nous verrons un peu plus loin que l utilisation de schéma de discrétisation spatiale d ordre élevé reste bénéfique. Dans le but d assurer la meilleure régularité possible sur le champ cible et notamment éviter la création d une singularité en r =, nous utilisons une fonction de modulation f(r) tel que le champ cible s exprime comme : avec u (r, θ, z, t) = f(r)u(d r, θ, z, t), (3.34) ( 2πr 2 ) f(r) = sin. (3.35) Le choix sur l expression de f(r) est partiellement arbitraire, mais répond à trois exigences : 1. f() =, afin de supprimer la singularité au milieu du cylindre ; 2. f(r) doit être une fonction strictement croissante pour r D/2 ; 3. f(d/2) = 1, pour assurer l écoulement inverse proche de la paroi. D 2

65 Amélioration de la méthode de Forçage Direct 65 (a) u tang u norm u tang u norm u tang u norm (b) u tang u norm u tang u norm u tang u norm u tang (c) u tang u tang u norm u tang u norm u tang u norm u tang u norm Fig. 3.8 Illustration des trois possibilités d écoulement miroir. Avec u tang : composante tangentielle de la vitesse et u norm : composante normale. (a) Les deux composantes sont inversées. (b) La composante tangentielle est inversée, la composante normale est annulée. (c) La composante tangentielle est inversée, la composante normale est conservée.

66 66 Méthode de modélisation d un obstacle par une force Cette nouvelle définition du champ cible nous amène donc à repenser localement la condition de divergence nulle. En effet, l écoulement interne que nous avons choisi de définir ne respecte pas de façon intrinsèque la condition de divergence nulle. Deux choix s offrent alors à nous. Soit, on choisit d assurer la condition de conservation du débit volumique sur l ensemble du domaine de calcul, y compris sur l écoulement cible. L utilisation de cette approche s avère alors désastreuse : Le fait de vouloir tenir compte de l écoulement miroir dans le calcul de la pression génère progressivement une accumulation d oscillations numériques, qui entraîne une divergence complète du code de calcul. Cette approche est donc inutilisable. Soit la condition de divergence nulle n est pas assurée au sein de l obstacle. Ainsi la condition de divergence nulle (3.2) devient :.u = q, (3.36) avec q un champ de scalaire défini tel que : q =.(εu ). (3.37) Une autre définition de q est proposée par Kim et al. [29] et Tremblay [67] : q = ε.u. (3.38) A l usage, nous avons remarqué, sans pouvoir l expliquer, que la définition (3.37) semble réduire de façon plus efficace les oscillations numériques disgracieuses générées par le forçage. A l exception de ce changement, on résout toujours les équations (3.27), (3.28) et (3.29). Comme nous l avons déjà évoqué précédemment, le traitement temporel de u n+1 et de la pression sont deux points délicats de notre méthode. En effet, on ne peut pas estimer directement la valeur du champ cible par (3.34), car la valeur du champ de vitesse u n+1 n est pas connue à l étape (3.27). Hors c est à cet instant que l on en a besoin afin d estimer f. Afin de lever cette ambiguïté, nous estimons le champ cible par l approximation suivante : p n+1 m u n+1 (r, θ, z, t) = f(r)u (D r, θ, z, t). (3.39) Cette approximation laisse invariant l ordre temporel final de la méthode. Cela revient à appliquer la condition de régularité sur u au lieu de u n+1. Le deuxième point délicat concerne le calcul de la pression. Afin d estimer la valeur de la pression p n+1 m, on applique l opérateur de divergence sur l étape (3.29) et on obtient l équation de Poisson suivante : Avec l approximation (3.39), on obtient alors : 1. p ρ m n+1 =.u.(εu n+1 t ). (3.4) 1. p n+1 m ρ =.u.(εu ). (3.41) t Pour une raison inexpliquée, l utilisation de cette équation de Poisson ne donne pas satisfaction. En effet, un phénomène d accumulation de petites erreurs vient contaminer lentement le voisinage du barreau en générant des oscillations numériques parasites. L examen de la relation (3.41), permet d observer le cas où ε = 1, pour laquel on a : 1. p n+1 m ρ = (u u ). (3.42) t

67 Amélioration de la méthode de Forçage Direct 67 Hors, d après (3.28) cela revient à :. p n+1 m =. pn m. (3.43) La transformation au sein de l obstacle de l équation de Poisson en une simple affectation ne nous semble pas judicieux et pose des problèmes théoriques et numériques. Ceci n est qu un début de réponse et ne trouve aucune autre justification aux phénomènes d oscillations numériques. La divergence s estime par :.(εu n+1 ) =.(εu ), (3.44) ce qui revient à résoudre l équation de Poisson suivante : 1. p n+1 m ρ = [(1 ε).u ]. (3.45) t Les résultats obtenus à partir de cette hypothèse (3.44) sont, dans l ensemble, satisfaisants. Une alternative proche de la nôtre a été proposée par Tremblay [67]. La méthode repose sur une technique de masquage des noeuds de pression qui revient à résoudre l équation de Poisson suivante : 1. p n+1 m = (1 ε). [u ]. (3.46) ρ t Et l étape de correction de vitesse (3.29) et remplacée par : u n+1 u t (1 ε) = p n+1 m ρ. (3.47) Nous savons que nos deux hypothèses (3.39) et (3.44) ne sont pas en accord avec l étape (3.29). En effet nous prescrivons l écoulement miroir sur u et nous estimons la divergence à partir de u. Comme nous l avons déjà évoqué, cette étape n est qu un compromis, et devra être améliorée dans le futur. Nous allons à présent présenter une validation de cette méthode dans le cadre de Simulations Numériques Directes.

68 68 Méthode de modélisation d un obstacle par une force 3.4 Validation par la Simulation Numérique Directe La Simulation Numérique Directe, quand elle est utilisable, est la méthode numérique la plus précise pour étudier la physique un écoulement. Elle permet, dans de nombreux cas, de réaliser des données de références. La rigueur de cette méthode, ainsi que la haute qualité des résultats obtenus, en font un outil idéal pour valider les améliorations que nous avons apportées à la méthode de Forçage Direct. Dans ce paragraphe nous essayons de montrer les améliorations que nous avons apportées à la méthode de Forçage Direct dans le cadre de schémas de discrétisations spatiales de hautes précisions. Nous allons comparer les résultats obtenus avec et sans nos modifications sur un écoulement stationnaire. Puis nous allons étudier pour un régime d écoulement turbulent (Reynolds Re = 3), l influence de l écoulement miroir sur la qualité des résultats, ainsi que l importance de l ordre de schémas de discrétisation spatiale. L ensemble du travail présenté dans la suite de ce chapitre a fait l objet de la publication [51] fournit en annexe de ce document Sillage stationnaire à Re = 4 Tout d abord, nous avons réalisé deux simulations numériques sur un écoulement stationnaire. Nous avons cherché à déterminer le gain qualitatif et quantitatif qu apporte l utilisation d un écoulement miroir dans le cadre de l utilisation de schémas de hautes précisions. Nous avons donc étudié l écoulement autour d un cylindre de section cylindrique pour le régime d écoulement Re = 4. Paramètres des simulations Les deux simulations numériques sont réalisées sur le domaine de calcul schématisé sur la figure 3.9. Le domaine de calcul (L x L y ) = (2D 12D) est discrétisé avec n x n y = L x U y x x cyl D L y Fig. 3.9 Vue schématique du domaine de calcul Le cylindre est situé à cinq diamètres de l entrée du domaine de calcul (x cyl = 5D). Une condition de non-glissement est imposée sur les faces latérales du domaine de calcul (y = 6D, y = 6D). Afin de mettre en évidence les gains obtenus grâce à nos améliorations sur la méthode de Forçage Direct, nous avons réalisé deux simulations à partir du même code de calcul :

69 Validation par la Simulation Numérique Directe 69 L r /D Ye et al. [72] 2, 27 AEM 2, 3 ±, 3D SEM 2, 5 ±, 3D Tab. 3.2 Longueur de recirculation pour Reynolds Re = 4 La première simulation est effectuée avec la méthode de forçage direct sans aucune amélioration et sans écoulement miroir. Par la suite : Sans Ecoulement Miroir (SEM) (cf. Fig. 3.11) ; La deuxième simulation est réalisée à partir de l ensemble des améliorations décrites dans le chapitre III, et donc avec un écoulement miroir. Par la suite : Avec Ecoulement Miroir (AEM) (cf. Fig. 3.11). Résultats L observation du profil vertical de la composante longitudinale de la vitesse (cf. Fig. 3.1) montre clairement l aspect plus réaliste de l écoulement proche du cylindre quand les discontinuités sur la dérivée première de la vitesse sont supprimées. L impression que l écoulement proche paroi est plus réaliste lorsqu on utilise un écoulement miroir, se confirme quand on observe les champs de vorticité des deux simulations sur la figure On note en particulier la nette réduction des oscillations numériques disgracieuses en amont du cylindre Fig. 3.1 Profil vertical de la vitesse longitudinale u x au centre du cylindre (x cyl = 5D, y). : SEM, : AEM Dans le tableau 3.2 on note que l utilisation d un écoulement miroir permet une meilleure estimation de la longueur de recirculation (L r /D). Si on prend pour référence l estimation de Ye et al. [72], on observe que l utilisation de l écoulement miroir entraîne une légère surestimation de l ordre, alors que ne pas l utiliser, entraîne une nette surestimation de l ordre de 1%. Les remarques précédentes montrent clairement que l utilisation d un écoulement amène de nettes améliorations tant d un point de vue qualitatif, que quantitatif. Nous avons constaté, sur

70 7 Méthode de modélisation d un obstacle par une force Fig En haut : Champ de vitesse ; En bas : Champ de vorticité des deux simulations. A gauche AEM, à droite SEM des résultats que nous ne présentons pas, que l utilisation d une taille de maille deux fois plus petites dans les deux directions de l espace, permet de gommer en partie les différences observées ci dessus Sillage instationnaire à Reynolds Re = 3 Comme nous l avons déjà évoqué dans le chapitre 2, l écoulement autour d un cylindre pour un nombre de Reynolds Re = 3 est fortement tridimensionnel, Quatre simulations qui combinent deux méthodes de forçage différentes avec des schémas de discrétisations spatiales d ordre 2 et 6 sont comparées. La Simulation Numérique Directe réalisée par Lamballais et Silvestrini [35] à partir de la méthode des frontières virtuelles permet de comparer, sur un même code de calcul, deux méthodes de forçage volumique. Paramètres généraux Les cinq simulations numériques sont réalisées sur le domaine de calcul schématisé sur la figure Le domaine de calcul (L x L y L z ) = (2D 2πD 12D) est discrétisé avec n x n y n z = Le cylindre est situé à cinq diamètres de l entrée du calcul (x cyl = 5D). Une condition périodique est imposée sur les faces latérales du domaine de calcul (y = πd, y = πd et z = 6D, z = 6D). Pour l ensemble des simulations étudiées, après une période de transition qui permet l établissement du sillage derrière le cylindre, les données statistiques sur la turbulence sont calculées sur une période de temps équivalent à environ douze lâchers tourbillonnaires. Afin

71 Validation par la Simulation Numérique Directe 71 L y (périodique) L x (non périodique) x cyl z y x L z périodique Fig Vue schématique du domaine de calcul Simulation DNSI DNSII DNSIII DNSIV DNSII Forçage Direct Direct Direct Direct Frontières Virtuelles (*) Ecoulement miroir oui non oui non non Ordre des schémas ξ 6 ξ 6 ξ 2 ξ 2 ξ 6 Tab. 3.3 Paramètres des simulations. ξ représente indifféremment x, y ou z. (*) [35] d améliorer la convergence de nos statistiques, en plus de la moyenne temporelle, nous avons réalisé une moyenne spatiale dans la direction y. Configurations étudiées Le tableau 3.3 donne l ensemble des configurations étudiées. DN SI sert de simulation de référence. Avec DN SII nous observons la dégradation des résultats l écoulement miroir est annulée. Avec DNSIII et DNSIV nous testons l influence de l ordre des schémas de discrétisation spatiale. DNSII est la simulation faîte par Lamballais et Silvestrini [35] à partir de la méthode des Frontières Virtuelles. Ils utilisent le même code de calcul que nous, mais avec la méthode des Frontières virtuelles. Cette comparaison permet de mettre en évidence le gain obtenu par on utilise la méthode de forçage direct dans le cadre de schémas de hautes précisions. Analyse des résultats Comme nous l avons déjà évoqué dans le chapitre 2, pour ce régime d écoulement, Williamson [71] et Mittal et Balachandar [44] ont mis en évidence la présence d instabilité, qu ils appellent instabilité de type mode-b. Cela se traduit dans l écoulement par la présence de structures tourbillonnaires fines au sein de l écoulement et par la présence de tourbillons longitudinaux. Sur la figure 3.13, qui propose une comparaison de la norme de la vorticité entre la simulation DN SI et DN SII, on observe la présence de ces structures tourbillonnaires. On note en particulier, que les lâchers tourbillonnaires sont bien parallèles à l écoulement, comme Williamson [71] le prédit. On note dans les deux cas une grande diversité de taille et de forme des structures tourbillonnaires, cependant, dans la zone très proche du cylindre, l utilisation d un écoulement miroir entraîne

72 72 Méthode de modélisation d un obstacle par une force une représentation plus réaliste de l écoulement. En particulier, on note la très nette réduction des oscillations numériques en amont du barreau. Il apparaît que l utilisation d un écoulement Fig Iso-surface de la norme de la vorticité ω n = 1, 5U/D. Vue de perspective. A gauche DNSI, à droite DNSII miroir avec des schémas d ordre 6, permet d avoir une modélisation de l écoulement proche paroi plus réaliste. La figure 3.14 propose une comparaison entre la simulation DNSI et DNSIII. Dans le cas de la DNSI, nous observons prés du cylindre une grande diversité dans la nature des structures tourbillonnaires rencontrées, et la présence importante de tourbillons longitudinaux. Tourbillons longitudinaux que l on observe, toujours, loin du cylindre. En revanche dans le cadre de la simulation DN SIII, pour le niveau de vorticité que nous avons sélectionné, on observe une grande régularité dans la forme des tourbillons, et une quasi-inexistence de tourbillons longitudinaux. De plus on note, la présence d oscillations numériques en amont du cylindre. A l examen des Fig Iso-surface de la norme de la vorticité ω n = 1, 5U/D. Vue dans le plan x y. A gauche DNSI, à droite DNSIII deux figures 3.13 et 3.14, il apparaît d une part, que l utilisation d un écoulement miroir avec des

73 Validation par la Simulation Numérique Directe 73 Simulation Expérience DNSI DNSII DNSIII DNSIV DNSII [3] [44] [48] Re St, 26, 196, 211, 213, 2, 23, 23 L Rxx /D 1, 38 1, 55 1, 22 1, 27 1, 64 1, 45 L Ryy /D 1, 22 1, 38 1, 15 1, 18 1, 31 L Rzz /D 1, 77 2, 5 1, 61 1, 66 2, 14 2, 1 L Rxy /D 1, 72 1, 94 1, 5 1, 55 2, 3 1, 84 maxr xx /Uc 2, 26, 2, 32, 31, 19 maxr yy /Uc 2, 25, 38, 1, 7, 34 maxr zz /Uc 2, 5, 48, 72, 66, 44 maxr xy /Uc 2, 15, 13, 16, 16, 12 Tab. 3.4 Comparaison des valeurs maximales des composantes du tenseur de Reynolds, des longueurs de formations associées. Avec Kravchenko et al. [3], Mittal et Balachandar [44] et Noca et al.[48] schémas d ordre 6 entraîne une amélioration notable de la description de l écoulement proche du cylindre. D autre part, il semble que l utilisation d un écoulement miroir avec des schémas d ordre 2, ne permettent pas de réduire les oscillations numériques en amont du cylindre. Afin de quantifier nos améliorations, nous avons donc étudié certaines grandeurs statistiques de l écoulement et nous les avons comparées avec des résultats issus de la littérature. Le tableau 3.4 montre que l utilisation de la méthode de Forçage Direct apporte toujours un mieux par rapport à la méthode des Frontières Virtuelles, et que le gain est d autant plus important qu on utilise des schémas d ordre 6 avec un écoulement miroir. De plus l utilisation d un écoulement miroir, avec des schémas d ordre 6, entraîne un gain sur l estimation du nombre de Strouhal (note St). Cependant ce gain n existe pas lorsqu on utilise des schémas d ordre 2, et dans ce cas, la valeur du nombre de Strouhal est toujours surestimée (de l ordre de 5%). 1,5,4 1,5,2 u /Uc -,5-1 -1,5-2 u u /U 2 c -,2 -,4-2,5-3 -,6-3,5-2 -1,5-1 -,5,5 1 1,5 2 -,8-2 -1,5-1 -,5,5 1 1,5 2 Fig A gauche : Profil vertical de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. A droite : Profil vertical des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. A différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas. Symboles : : DNSI, : DNSII, Simulation spectrale de Mittal et Balachandar [44]

74 74 Méthode de modélisation d un obstacle par une force L estimation des longueurs L Rij (définie comme étant la position où la composante du tenseur de Reynolds associée est maximum) est environ 1% mieux prédite grâce à l utilisation d un écoulement miroir avec des schémas d ordre 6. Il faut remarquer que les valeurs de référence de Noca et al. [48] sont obtenues pour un nombre de Reynolds Re = 39. Hors, pour la gamme de Reynolds qui nous intéresse, ils [48] montrent que les longueurs de formation L Rij évoluent comme le nombre de Reynolds. Ainsi, il nous semble cohérent de trouver avec la simulation DN SI des estimations toujours légèrement inférieures à celles de Noca et al. [48]. La comparaison de la composante longitudinale de la vitesse moyenne et de ses fluctuations sur la figure 3.15 montrent un très bon accord général entre les données issues de DNSI et les données de Mittal et Balachandar [44]. En particulier, on note le parfait accord sur le profil moyen de vitesse. Des différences importantes sont notées entre la simulation DN SII et les données de Mittal et Balachandar [44]. On observe en particulier la surestimation importante du déficit de vitesse sur la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Des écarts maximum de l ordre de 15% sont constatés. Il apparaît donc que l utilisation d un écoulement miroir avec des schémas d ordre élevé apporte de nettes améliorations sur l estimation des grandeurs statistiques de la turbulence. u /Uc 1,5 1,5 -,5-1 -1,5-2 -2,5-3 -3,5-2 -1,5-1 -,5,5 1 1,5 2 u u /U 2 c,4,2 -,2 -,4 -,6 -,8-2 -1,5-1 -,5,5 1 1,5 2 Fig A gauche : Profil vertical de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. A droite : Profil vertical des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. A différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas. Symboles : : DNSIII, : DNSIV, Simulation spectrale de Mittal et Balachandar [44] A l inverse, on remarque dans le tableau 3.4 que l utilisation d un écoulement miroir avec des schémas d ordre 2 n amène aucune amélioration. Ce constat se confirme sur la figure Les résultats obtenus à partir de schémas d ordre 2, et ce, avec ou sans écoulement miroir, sont éloignés des données de Mittal et Balachandar [44]. Enfin la comparaison entre les simulations DNSI et DNSIII sur la figure 3.17 montrent l importance de l utilisation des schémas d ordre élevé. On constate un meilleur accord avec les valeurs de référence quand on utilise des schémas d ordre élevé. L utilisation de schémas d ordre 2 amène une forte surestimation des fluctuations de la composante longitudinale (cf. Fig. 3.17) et verticale de la vitesse (environ deux fois plus forte que la valeur de référence) (cf. Fig. 3.18). Cette forte surestimation des fluctuations de la composante verticale de la vitesse et une preuve de la nature fortement bidimensionnelle de l écoulement quand on utilise des schémas d ordre 2. Il est donc évident que l utilisation des schémas d ordre élevé avec un écoulement miroir apporte des bénéfices, et ce malgré l utilisation d un modèle d interpolation d ordre 2 pour calculer

75 Validation par la Simulation Numérique Directe 75 1,5,4 1,5,2 u /Uc -,5-1 -1,5-2 u u /U 2 c -,2 -,4-2,5-3 -,6-3,5-2 -1,5-1 -,5,5 1 1,5 2 -,8-2 -1,5-1 -,5,5 1 1,5 2 Fig A gauche : Profil vertical de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. A droite : Profil vertical des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. A différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas. Symboles : : DNSI, : DNSIII, Simulation spectrale de Mittal et Balachandar [44] 1,5 w w /U 2 c -,5-1 -1, ,5-1 -,5,5 1 1,5 2 Fig Profils verticaux de la fluctuation de la composante verticale de la vitesse à différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas. Symboles : : DNSI, : DNSIII, Simulation spectrale de Mittal et Balachandar [44]

76 76 Méthode de modélisation d un obstacle par une force l écoulement miroir Sillages instationnaires sur des géométries complexes Nous venons de mettre en évidence les améliorations que nous avons apportées à la méthode de Forçage Direct. Comme nous l avons déjà expliqué en début de chapitre, la grande force des méthodes de forçage volumique est qu elles permettent de prendre en compte très facilement des obstacles ayant des géométries complexes sur un maillage cartésien. Dans le but de confronter notre méthode à des configurations plus complexes, nous avons réalisé les deux simulations de la figure La première configuration, notée Conf 1, consiste en un écoulement cisaillé en contact avec un barreau cylindrique (figure 3.19 à gauche). Cet écoulement cisaillé est défini tel que le profil de vitesse U(y) évolue tel que U 2 < U(y) < U 1, avec U 2 = U c /2 et U 1 = 3U c /2. La seconde configuration, notée Conf 2, consiste en un écoulement constant en contact avec un barreau fuselé (figure 3.19 à droite). Le barreau fuselé est défini par un diamètre D(y) qui varie entre deux valeurs telles que D 2 < D(y) < D 1, avec D 2 = D c /2 et D 1 = 3D c /2. Pour les deux configurations U(y) et D(y) varient linéairement entre y = L y/2 et y = L y/2, de sorte qu il y existe une équivalence du nombre de Reynolds entre les deux configurations. Si on définit un nombre de Reynolds local tel que Re = U(y)D(y)/ν, on a pour les deux écoulements 1 < Re < 3. Soit f la fréquence de lâcher tourbillonnaire local et St = fd(y)/u(y) le Re=1 U 2 D=D c Re=1 U=U c D 2 L U y c Ly Ly L y D c Re=3 U 1 Re=3 D 1 Fig Comparaison de la norme de la vorticité. A Gauche : Ecoulement cisaillé sur un barreau cylindrique. A Droite : Ecoulement constant sur un barreau fuselé nombre de Strouhal local associé. Une première analyse des deux configurations montre que dans le cas de la configuration Conf1 le nombre de Reynolds local le plus fort (réciproquement faible) coïncide avec le nombre de Strouhal le plus fort ( réciproquement faible) et dans le cas de la configuration Conf 2 on observe l opposé. Cette analyse est imparfaite car il existe une forte dépendance du nombre de Strouhal suivant la direction verticale y. Cette analyse imparfaite

77 Validation par la Simulation Numérique Directe 77 montre qu il existe une similitude du nombre de Reynolds mais que pour autant la dynamique des deux écoulements est différente. Sur la figure 3.19 on voit qu il existe une similarité entre les deux écoulements. Ainsi on observe la présence de lâchers tourbillonnaires obliques, et de nombreuses dislocations dans les deux cas. Mais l inclinaison des tourbillons, le nombre de dislocation et leurs localisations sont très différents d un écoulement à l autre. Pour l instant l étude quantitative de ces deux écoulements est en cours. Cette étude quantitative permettra de mieux identifier les similitudes et les différences qui existent. L ensemble de cette étude sera présentée lors du prochain TSFP-4 (Williamsburg, Virginie) Synthèse et conclusion Les modifications que nous avons apportées à la méthode de forçage direct amènent de nets progrès, tant d un point de vue quantitatif que qualitatif. L étude de l écoulement laminaire nous apprend que l utilisation d un écoulement miroir permet de réduire notablement les discontinuités sur la dérivée première de la vitesse. Une conséquence visuelle est le caractère plus réaliste de l écoulement proche paroi et une nette réduction des oscillations numériques en amont du cylindre. D un point de vue qualitatif on observe : 1. une meilleur description de l écoulement proche du cylindre ; 2. une réduction importante des oscillations numériques disgracieuses en amont du cylindre une meilleure description de l écoulement proche du cylindre. L étude réalisée à Reynolds Re = 3 nous apprend que d un point de vue quantitatif : 1. l utilisation d un écoulement miroir permet de mieux prédire les grandeurs moyennes et fluctuantes de l écoulement ; 2. l utilisation d un écoulement miroir avec des schémas d ordre 2 n apporte aucune amélioration ; 3. l utilisation de schémas de discrétisations spatiales de haute précision dans le cadre de modélisation d obstacles par une méthode de forçage avec nos améliorations, permet d obtenir de meilleurs résultats que si on utilise des schémas d ordre 2 conventionnels. Nous avons conscience qu une étude de convergence formelle manque dans cette analyse. Cette étude est en cours et sera fournie par Laizet [33].

78 78 Méthode de modélisation d un obstacle par une force

79 Chapitre 4 Ecoulement autour d un cylindre à Reynolds Re = 39 Dans ce chapitre nous présentons les résultats issus de la Simulation aux Grandes Echelles d un écoulement autour d un cylindre pour un régime Re = 39. Pour un tel régime d écoulement, la Simulation Numérique Directe ne peut plus être utilisée avec les caractéristiques de notre code de calcul. Une estimation grossière d un tel calcul est de l ordre de 5 millions de degrés de liberté, avec les caractéristiques de notre code de calcul. Afin de diminuer le coût du calcul, tout en conservant la meilleure description de la turbulence, nous utilisons la méthode de Simulation aux Grandes Echelles qui permet de modéliser une partie des échelles de la turbulence. L objectif de ce chapitre est de mettre en évidence le potentiel de l association de la méthode de Forçage Direct et de la Simulation aux Grandes Echelles. Dans un premier temps nous présentons l ensemble des réalisations que nous avons effectuées. Puis une étude des champs instantanés est fournie, elle met en évidence certaines tendances générales. Enfin une étude statistique sur les moments d ordre 1 et 2 est réalisée. 4.1 Paramètres des simulations Paramètres généraux Dans cette partie, nous donnons les caractéristiques communes à l ensemble des simulations. Le domaine de calcul est illustré sur la figure 4.1. Il s étend sur 2 diamètres (L x = 2D) dans la direction longitudinale de l écoulement. Le centre du cylindre se situe à la position x cyl = 5D. La longueur du domaine suivant la direction transversale est prise égale à L y = πd, suivant les recommandations de Kravchenko et Moin [31]. En effet, dans la région proche barreau il faut tenir compte de la distribution, suivant l envergure de l obstacle, de structures tourbillonnaires longitudinales. La longueur d onde (λ y ) associée à cette répartition étant : λ y 1D. (4.1) Une condition de périodicité est appliquée sur les faces latérales (z = 1D et z = 1D) et verticales (y = πd/2 et y = πd/2) du domaine de calcul. La modélisation de la viscosité turbulente est assurée par le modèle fonction structure d ordre 2, que nous avons décrit dans le chapitre 2. Comme nous l avons évoqué dans le chapitre 2, 79

80 8 Ecoulement autour d un cylindre à Reynolds Re = 39 Ly (périodique) Lx (non périodique) z y x cyl x Lz (périodique) Fig. 4.1 Vue schématique du domaine de calcul une des limites de ce modèle est qu il est mal adapté au cas d écoulement proche paroi. Une estimation grossière de l épaisseur de la couche limite (notée : δ 99 ) autour du cylindre, peut-être faite à partir de la loi Blasius 1 : δ 99 x 5, (4.2) Rex avec : Re x = Ux ν = UD x ν D = Re x D. (4.3) En x = πd/2, l épaisseur de la couche limite à Re = 39 est : δ 99, 1D. (4.4) Comme nous l avons déjà dit dans le chapitre 2, la dynamique de la couche limite peut être envisagée sous deux approches. La méthode des lois de paroi permet pour un coût de maillage très faible de modéliser la couche limite. Mais pour le régime d écoulement que nous étudions la couche limite est laminaire. A notre connaissance, il n existe pas de loi de paroi qui permet de modéliser une couche limite laminaire sur une géométrie complexe. L alternative, souvent utilisée, consiste à se servir d une taille de maille très petite proche de la paroi. Ainsi l ensemble de la dynamique de la couche limite est résolue directement. Une telle approche n est pas envisageable dans notre cas, car elle engendre un coût de calcul trop important. Ayant à l esprit ces deux possibilités, et sans pouvoir nous servir d aucune d elles, nous choisissons de considérer que l influence de la couche limite sur la dynamique globale de l écoulement, à un tel régime d écoulement, est faible. Nous n avons donc pas fait d effort particulier pour modéliser ou pour mailler la couche limite. Nous avons conscience que ceci est une hypothèse forte dans notre travail et qu elle est contestable d un point de vue théorique. Cependant, pour le type de prédictions qui nous intéresse, les résultats sont, dans l ensemble, satisfaisants. 1 Ceci est une approximation car la loi de Blasius n est vérifiée que dans le cas d écoulement sans gradient de pression sur des plaques planes.

81 Visualisations des champs instantanés Configurations étudiées Le tableau 4.1 donne l ensemble des configurations étudiées. LESI sert de référence et permet de nous situer par rapport à la littérature. LESII permet d observer la dégradation des résultats en augmentant la taille des mailles dans les directions x et z. Puis, tout en gardant le même maillage que celui utilisé dans le cadre de LESII dans les directions x et z, nous avons affiné le maillage dans la direction y :LESIII. Ensuite, nous avons étudié l influence d un effet de confinement dans la direction z (noté :LESIV ) en vue de la simulation d une couche de mélange en interaction avec un cylindre du chapitre V. Enfin, nous avons testé l influence de l ordre des schémas de discrétisation spatiale : LESV. LESI LESII LESIII LESIV LESV Lx Ly Lz 2D πd 2D 2D πd 2D 2D πd 2D 2D πd 12D 2D πd 2D n x n y n z t, 3D/U c, 6D/U c, 45D/U c, 6D/U c, 6D/U c Ordre ξ 6 ξ 6 ξ 6 ξ 6 ξ 2 Tab. 4.1 Paramètres des simulations. ξ représente indifféremment x, y ou z. 4.2 Visualisations des champs instantanés La figure 4.2 montre deux coupes d isosurface de la norme de la vorticité ω n pour la simulation LESI. Sur la coupe (x z) de la figure 4.2, on voit nettement les couches cisaillées qui prennent naissance aux points de d écoulement de la couche limite et font apparaître une zone de recirculation instationnaire. Cette zone de recirculation est le lieu où les tourbillons, qui forment l allée de Kármán, apparaissent. Les tourbillons issus de l instabilité des couches cisaillées se mélangent pour donner naissance au premier tourbillon de l allée de Kármán. Sur la coupe (x y) de la figure 4.2 on voit la zone laminaire des couches cisaillées proche du cylindre, la zone de transition, et enfin le passage à la turbulence. En dehors de la zone de recirculation le sillage est fortement turbulent et tridimensionnel. Les structures rencontrées au sein de l écoulement sont de tailles diverses, comme le montre la coupe (x z) de la figure 4.2. Des petites structures, synonymes de petites fluctuations, sont présentes même loin du cylindre. La figure 4.3 montre pour les cinq simulations deux coupes d isosurfaces du critère Q définit dans le chapitre 2. Les plus petites structures de la turbulence sont moins présentes dans les quatre derniers cas par rapport à la simulation LESI, du moins avec le niveau du critère Q sélectionné. On remarque, notamment, que dans le cas de l utilisation de schémas centrés d ordre 2 (LESV ), il n y a pratiquement plus de structures tourbillonnaires au delà de cinq diamètres. On voit très nettement l allée de Kármán, mais la présence des tourbillons longitudinaux est très faible en comparaison avec LESII, voire inexistante au delà de x = 6D. Dans le cas des simulations LESII et LESIII, on observe que la zone de recirculation instationnaire est un peu plus importante que dans le cas de référence LESI, ainsi qu une légère augmentation de l épaisseur des couches cisaillées. Phénomènes que l on observe également sur

82 82 Ecoulement autour d un cylindre à Reynolds Re = 39 Plan x z Plan x y Fig. 4.2 Iso surface de la norme de la vorticité ω n = 6U c /D du cas de référence LESI. Avec de haut en bas : vue dans le plan x z et vue dans le plan x y.

83 Visualisations des champs instantanés 83 Fig. 4.3 Iso surface du critère Q = 6U 2 c /D2. A gauche vue dans le plan x z. A droite vue dans le plan x y. Avec de haut en bas : LESI, LESII, LESIII, LESIV et LESV

84 84 Ecoulement autour d un cylindre à Reynolds Re = 39 les figures 4.36 et Etude statistique Il faut environ un temps t = 25D/U c pour que le sillage derrière le cylindre prenne forme. Nous attendons alors une période de temps de 9D/U c avant de commencer à calculer nos statistiques. Nos moyennes sont réalisées sur un laps de temps de 6D/U c pour LESI et 12D/U c dans les quatre autres cas. Ces intervalles de temps correspondent, dans le cas LESI à environ 12 lâchers tourbillonnaires et afin d améliorer la convergence de nos statistiques, nous réalisons une moyenne suivant l axe transversal y. Dans le but de valider nos résultats nous nous sommes essentiellement appuyés sur des résultats les expériences numériques de : Beaudan et Moin [6], comme nous l avons déjà évoqué dans le chapitre 2, ces auteurs sont, à notre connaissance, les pionniers dans l étude de ce régime par la Simulation aux Grandes Echelles. Ils résolvent les équations de Navier-Stokes pour un écoulement faiblement compressible avec des schémas d ordre 5 décentrés amonts pour le terme convectif, des schémas centrés d ordre 6 pour le terme visqueux et l intégration temporelle est assurée par un schéma implicite du second ordre. Les simulations sont réalisées sur un maillage cylindrique (O-Type). Les dimensions du domaine sont R d L z = 3D πd, avec R d le rayon du domaine. Soit N r et N θ le nombre de point dans la direction radiale et circonférentielle, le domaine de calcul est discrétisé de la manière suivante : N r N θ N z = Différents modèles sous maille sont utilisés : sans modèle, modèle de Smagorinsky (noté par la suite Smg) et modèle de Smagorinsky dynamique (noté par la suite Dyn). Leurs résultats sont en bon accord général avec les données expérimentales de Lourenco et Shih [2], à l exception de ce qui ce passe dans la zone de recirculation ; Kravchenko et Moin [31] résolvent les équations de Navier-Stokes pour un fluide incompressible sur un domaine de dimension R d L z = 6 πd, discrétisé à l aide d un maillage cylindrique (O-Type) N r N θ N z = Les équations discrétisées sont résolues à l aide de la méthode B-splines et le modèle de Smagorinsky dynamique est utilisé pour modéliser les contributions des plus petites échelles de la turbulence. Un des objectifs de Kravchenko et Moin [31] est d essayer de comprendre la différence observée entre les simulations numériques et les données de Lourenco et Shih [2] ; Tremblay [67] il résout les équations de Navier-Stokes pour un fluide incompressible sur un maillage cartésien, à partir de la méthode des volumes finis (ordre 2). La modélisation de l obstacle est assurée par une méthode de forçage volumique. Les dimensions du domaine sont L x L y L z = 2D πd 2D. Il réalise une Simulation Numérique Directe (notée par la suite DNS) sur le maillage n x n y n z = et trois Simulations aux Grandes Echelles. Nos comparaisons sont faites avec sa DNS et la simulation aux grandes échelles la mieux résolue (n x n y n z = ) utilisant le modèle de Smagorinsky (notée LES I). Il observe un bon accord avec les résultats de Lourenco et Shih [2] ; Mahesh et al. [42]. Les équations de Navier-Stokes pour un fluide incompressible sont résolues sur un maillage non-structuré. L ordre des schémas de discrétisation spatiale est de 2. Les dimensions du domaine sont : L x L y L z = 65D πd 5D. Ils utilisent un total de 1, 5 millions de points pour discrétiser le domaine, et la modélisation sous maille

85 Etude statistique 85 est assurée par le modèle de Smagorinsky dynamique. En plus de ces résultats, nous nous servons des travaux expérimentaux de Lourenco et Shih [2] et dans une moindre mesure de ceux de Ong et Wallace [5]. Lourenco et Shih [2] ont réalisé leur expérience dans l eau, en utilisant la Velocimétrie par Image de Particule (en anglais Particle Image Velocimetry : PIV). Le cylindre a un diamètre de.195m et une longueur de.39 m. La vitesse de l écoulement est de.267 m/s et le nombre de Reynolds est de 39. L écoulement est ensemencé avec de fines particules et un plan de l écoulement est éclairé à l aide d un laser pulsé. Puis des photographies de ce plan sont réalisées à une fréquence de 6 Hz. A partir de ces photos les auteurs récupèrent les données concernant l écoulement. Beaudan et Moin [6] expliquent que les données fournies par Lourenco et Shih ne montrent pas le caractère symétrique et anti-symétrique de la vitesse dans le sillage. Afin de palier cet inconvénient un post-traitement a été effectué afin de les symétriser. Beaudan et Moin [6] rapportent que l erreur induite sur la composante longitudinale de la vitesse est de l ordre de 5% de la vitesse de convection pour x < 1D. Puis pour x 2D, l erreur sur l ensemble des composantes du tenseur de Reynolds est estimée à environ 2%, voir 3% pour 2, 5D < x < 4D. L expérience de Ong et Wallace [5] a été réalisée à l aide de la technique d anémométrie à fils chaud. Cette expérience est réalisée dans une soufflerie dont la veine d essai une section de 1, 2, 7 m 2. La vitesse de l écoulement est de 4, 2 m/s. Le diamètre du cylindre est de, 143 m Comparaison LESI avec résultats issus de la littérature Dans cette partie, nous comparons notre simulation la mieux résolue spatialement (LESI) à des résultats issus de la littérature. Données issues de U min L r /D St tu c /D exp Cardell issue de [31] 1, 4 ±, 1, 215 ±, 5 exp Lourenco et Shih issue de [31], 25 1, 19 ±, 1 Tremblay [67] (DNS), 25 1, 3, 22 3 Beaudan et Moin [6] (Dyn), 36 1, 36, 23 31, 22 Kravchenko et Moin [31] (LES), 37 1, 35, Mahesh et al. [42] (LES), 31 1, 35, Tremblay [67] (LES-I), 26 1, 4, 21 3 LESI, 32 1, 54, 21 6 Tab. 4.2 Paramètres du champ moyen. Comparaison LESI avec données de la littérature Sur le tableau 4.2 l estimation de la longueur de recirculation L r /D est environ 1% plus élevée que l expérience de Cardell et de l ordre de 15% avec les expériences numériques (à l exception de la Simulation aux Grandes Echelles de Tremblay [67]). On constate sur les lignes de courant de la figure 4.4 la présence de deux bulles de recirculation symétriques principales proches du cylindre, qui délimitent la zone de recirculation. Sur la figure 4.5, la composante longitudinale de la vitesse moyenne suivant l axe du sillage est présentée. Un bon accord général avec les résultats de Kravchenko et Moin [31] est constaté. Dans la zone très proche du cylindre (x 1D), l intensité des valeurs de la vitesse moyenne obtenue est supérieure à celles issues de la littérature.

86 86 Ecoulement autour d un cylindre à Reynolds Re = ,5 11 1,5 1 9,5 9 8, x/d Fig. 4.4 Lignes de courant du champ de vitesse moyenne. LESI Plus loin (1D < x 3D) le profil de vitesse moyenne est similaire à celui observé par Kravchenko et Moin [31] mais avec une légère sous estimation de l intensité de la vitesse. 1,8,6 u /Uc,4,2 -,2 -, Fig. 4.5 Composante longitudinale de la vitesse moyenne sur la ligne centrale du cylindre. Symboles : : LESI, + : DNS de Tremblay, LES Kravchenko et Moin [31], Lourenco et Shih [2] Les profils des composantes longitudinales (cf. Fig. 4.6) et verticales (cf. Fig. 4.7) de la vitesse moyenne, sont très similaires à ceux de Kravchenko et Moin [31]. En particulier, on observe le même profil en U de la composante longitudinale de la vitesse dans la zone de recirculation. Des écarts plus importants sont constatés avec les données de Tremblay qui observe un profil en V. Beaudan et Moin [6] estiment que les différences observées avec les données de Lourenco et Shih sont sans doute liées à l incertitude importante qui existe sur ces données.la longueur de recirculation dans notre cas est estimé à L r = 1, 54D. Cette estimation, un peu plus forte que celle de Kravchenko et Moin [31], explique la légère différence de forme observée sur le profil vertical, en x = 1, 54D, de la composante verticale de la vitesse moyenne (cf. Fig. 4.7). x/d

87 Etude statistique 87 1,5 u /Uc 1,5 -,5-1 -1,5-2 x/d = 1, 6 x/d = 1, 54 x/d = 2, 2-2, Fig. 4.6 Profils verticaux de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESI, + : DNS de Tremblay, LES Kravchenko et Moin [31], Lourenco et Shih [2],5 x/d = 1, 6 w /Uc -,5-1 -1,5-2 x/d = 1, 54 x/d = 2, 2-2, Fig. 4.7 Profils verticaux de la composante verticale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESI, + : DNS de Tremblay, LES Kravchenko et Moin [31], Lourenco et Shih [2]

88 88 Ecoulement autour d un cylindre à Reynolds Re = 39 u u /U 2 c,3,2,1 x/d = 1, 6 -,1 -,2 -,3 x/d = 1, 54 -,4 -,5 -,6 x/d = 2, 2 -, Fig. 4.8 Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. Symboles : : LESI, + : DNS de Tremblay, LES Kravchenko et Moin [31], Lourenco et Shih [2] Les intensités, ainsi que la forme des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse (cf. Fig. 4.8) sont très proches de ceux de Kravchenko et Moin [31]. On note un très léger écart avec ces auteurs en x = 1, 6D. Des écarts de 25%, en x = 1, 6D, sont observés avec les données de Tremblay [67], et les données expérimentales de Lourenco et Shih. Plus loin de l obstacle on observe à nouveau un très bon accord général. La comparaison des fluctuations de la composante verticale de la vitesse (cf. Fig. 4.9) montre une sous estimation de l ordre de 2% avec les données numériques de Tremblay et de 15% avec les données expérimentales. Les différences observées sur les fluctuations de la vitesse sont, d une part uniquement dans la zone de recirculation x < 1, 54D et d autre part uniquement avec Tremblay [67] et Lourenco et Shih [2]. En dehors de la zone de recirculation il y a un bon accord entre nos résultats et l ensemble des résultats de la littérature.,2 x/d = 1, 6 w w /U 2 c -,2 -,4 -,6 -,8-1 x/d = 1, 54 x/d = 2, 2-1, Fig. 4.9 Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Symboles : : LESI, + : DNS de Tremblay, Lourenco et Shih [2] En conclusion, il semble que notre choix de tenir que peu en compte la couche limite n a de

89 Etude statistique 89 conséquences que dans dans la partie très proche du barreau (x 1, 6D schématiquement). Cette zone de l écoulement est sous l influence des couches cisaillées. Couches cisaillées qui apparaissent de chaque coté du cylindre, au point de décollement de la couche limite et qui sont sensibles à divers paramètres. Ces paramètres peuvent modifier le point de transition vers la turbulence de ces dernières et modifier la longueur de la zone de recirculation. De nombreux auteurs ont analysé l influence de ces paramètres (voir Gerrard [23]). Beaudan et Moin [6] observent que l association de schémas de discrétisations spatiales d ordre élevé et le modèle de Smagorinsky, entraînent une surestimation importante de la longueur de recirculation (L r /D). Ils montrent que l utilisation d un modèle de Smagorinsky dynamique améliore l estimation de la longueur de recirculation, mais dans l ensemble ils montrent que l influence du modèle est faible. Comme nous l avons dit en début de chapitre, ils observent des différences avec les résultats de Lourenco et Shih [2] dans la zone de recirculation. Kravchenko et Moin [31] émettent l hypothèse que l estimation de la longueur de recirculation, ainsi que l intensité de la vitesse au sein de la bulle de recirculation dans l expérience de Lourenco et Shih [2] sont erronées. Tremblay [67] montre que l utilisation de schémas de discrétisations spatiales d ordre 2 avec un modèle de Smagorinsky ou de Smagorinsky dynamique laisse invariant ces résultats. Il constate une diminution de la zone de recirculation quand il augmente la période au cours de laquelle il effectue ces statistiques. Il estime que l écart observé par Beaudan et Moin [6], ainsi que Kravchenko et Moin [31], avec les résultats de Lourenco et Shih [2] est dû à un manque de convergence des données numériques. Franke et Frank [19], qui utilisent des conditions limites différentes, ainsi que Mahesh et al. [42], sur un maillage non-structuré, observent un comportement analogue à celui de Kravchenko et Moin [31], et ce pour un laps de temps proche de celui de Tremblay [67]. La taille du domaine dans la direction transversale, ainsi que les conditions limites peuvent aussi avoir une incidence sur les couches cisaillées. Cette brève revue bibliographique montre qu un nombre important de paramètres peuvent agir sur la phase de transition des couches cisaillées. Il nous semble complexe de vouloir classer les causes avec les conséquences. Cependant deux grandes tendances peuvent être décrites : 1. L utilisation de schémas de discrétisations spatiales d ordre élevé, avec une taille de maille trop importante peut entraîner un léger surdimensionnement de la longueur de recirculation. C est ce que nous allons observer avec la simulation LESII et LESIII ; 2. L utilisation de schémas d ordre 2 semble entraîner un léger sous dimensionnement de la longueur de recirculation. Ce phénomène s accentue lorsque l on augmente la taille des mailles. Cependant les répercussions sur la longueur de recirculation peuvent varier en fonction du modèle de viscosité sous maille utilisé. Ce constat va d ailleurs être confirmé avec la simulation LESV. Il serait intéressant de tester un autre modèle de viscosité sous maille afin de connaître l influence de ce paramètre dans notre cas. Le modèle Fonction Structure Filtrée semble être un bon candidat. Une telle tentative a déjà été menée mais des problèmes numériques, que nous n expliquons pas pour l instant, subsistent. A l exception de petits désaccords dans la zone très proche du cylindre, les résultats obtenus à partir de LESI sont en très bon accord avec les résultats de Moin et de ses collaborateurs [6, 45, 31, 42]. De ce point de vue, il nous semble que le choix de ne pas faire d effort particulier pour reproduire fidèlement la présence de la couche limite semble acceptable.

90 9 Ecoulement autour d un cylindre à Reynolds Re = Influence de la résolution du maillage suivant les axes x et z On observe, dans le tableau 4.3 et sur la figure 4.11, que l augmentation de la taille des mailles dans les directions x et z entraîne une augmentation de la longueur de recirculation (L r /D). On s aperçoit que la multiplication par deux de la taille des mailles dans les directions x et z implique une augmentation de la longueur de recirculation de l ordre de 15% par rapport à notre calcul le mieux résolu LESI, et une surestimation d environ 26% par rapport à l expérience de Cardell. Tremblay [67] observe une diminution de la longueur de recirculation de l ordre de 2% par rapport à sa simulation de référence quand il augmente la taille de ses mailles d environ 18%, et une sous estimation par rapport à l expérience de Cardell de l ordre de 26%. Dans notre cas, comme dans celui de Tremblay [67], le fait d augmenter la taille des mailles ne modifie pas la valeur minimale de la vitesse au sein de la bulle de recirculation. A ce stade il y a trop de paramètres différents entre les simulations de Tremblay et les nôtres pour que nous puissions établir une explication à la différence de comportement observé. Dans la suite du chapitre, nous essayerons d expliquer cette différence. Données issues de U min L r /D St tu c /D Exp Cardell issue de [31] 1, 4 ±, 1, 215 ±, 5 Exp Lourenco et Shih [2], 25 1, 19 ±, 1 Tremblay [67] (DNS), 25 1, 3, 22 3 Tremblay [67] (LES-I), 26 1, 4, 21 3 Beaudan et Moin [6] (smg), 33 1, 74, 29 31, 22 LESI, 32 1, 54, 21 6 LESII, 31 1, 76, Tab. 4.3 Paramètres du champ moyen de l écoulement. Comparaison LESI, LESII et données de la littérature ,5 11, ,5 1, ,5 9, ,5 8, x/d x/d Fig. 4.1 Lignes de courant du champ de vitesse moyenne. Avec à gauche LESII et à droite LESI La figure 4.12 montre les profils verticaux de la composante longitudinale de la vitesse moyenne en différents points de l espace. Dans la zone de recirculation (x = 1, 6D), les courbes sont très proches l une de l autre. On observe que si on s éloigne du cylindre (x = 2, 2D) la

91 Etude statistique 91 1,8,6 u /Uc,4,2 -,2 -, Fig Composante longitudinale de la vitesse moyenne sur la ligne centrale du cylindre. Symboles : : LESI, : LESII, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67], Lourenco et Shih [2] x/d simulation LESII surestime légèrement le déficit de vitesse. Loin du barreau un bon accord général est observé entre les résultats obtenus à partir de LESI et LESII. Sur la figure 4.13 on note que l estimation de la composante verticale de la vitesse moyenne semble en bon accord général avec les résultats de la simulation LESI. 1,5 u /Uc 1,5 -,5-1 -1,5-2 x/d = 1, 6 x/d = 1, 54 x/d = 2, 2-2, Fig Profils verticaux de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESI, : LESII, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67] L étude des fluctuations des composantes longitudinales (cf. Fig. 4.14) et verticales (cf. Fig. 4.15) de la vitesse, nous apprend que l utilisation d un maillage plus lâche entraîne une légère sous estimation de l intensité des couches cisaillées dans la zone de recirculation. Lorsqu on s éloigne du cylindre (x 2, 2D) l écart entre les données de LESI et LESII devient négligeable (cf. Fig. B.1, fig B.2). En conclusion, on observe que l utilisation de schémas d ordre élevé associés avec des tailles de mailles importantes, entraîne une augmentation de la longueur de recirculation de l ordre de 15%. Ceci n est pas toujours vrai. L utilisation d un modèle de viscosité sous maille peut

92 92 Ecoulement autour d un cylindre à Reynolds Re = 39,5 x/d = 1, 6 w /Uc -,5-1 -1,5-2 x/d = 1, 54 x/d = 2, 2-2, Fig Profils verticaux de la composante verticale de la vitesse moyenne.symboles : : LESI, : LESII, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67] u u /U 2 c,3,2,1 x/d = 1, 6 -,1 -,2 -,3 x/d = 1, 54 -,4 -,5 -,6 x/d = 2, 2 -, Fig Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse.symboles : : LESI, : LESII, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67]

93 Etude statistique 93,2 x/d = 1, 6 w w /U 2 c -,2 -,4 -,6 x/d = 1, 54 -,8 x/d = 2, Fig Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse.symboles : : LESI, : LESII,, + Tremblay [67] atténuer cette tendance. Dans l ensemble, à l exception de l écoulement très proche du cylindre, les résultats obtenus à partir de la simulation LESII sont proches de ceux de la simulation LESI. Cependant, lors de l utilisation d un tel maillage, il faut rester critique sur les résultats observés proche du cylindre, en particulier sur les fluctuations des différentes composantes de la vitesse. En dehors de la zone de recirculation, les tendances observées sont les bonnes Influence de la résolution du maillage suivant l axe y Données issues de U min L r /D St tu c /D exp Cardell issue de [31] 1, 4 ±, 1, 215 ±, 5 exp Lourenco et Shih [2], 25 1, 19 ±, 1 Tremblay [67] (DNS), 25 1, 3, 22 3 Tremblay [67] (LESI), 26 1, 4, 21 3 Beaudan et Moin [6] (smg), 33 1, 74, 29 31, 22 LESII, 31 1, 76, LESIII, 28 1, 77, Tab. 4.4 Paramètres du champ moyen de l écoulement. Comparaison LESIII, LESII et données de la littérature Il semble que le fait d utiliser des tailles de mailles plus petites dans la direction transversale y, n a que peu d influence. L observation des lignes de courant de la figure 4.16, les comparaisons d un ensemble de paramètres du champ moyen (cf. Tab. 4.4), ainsi que l étude de la composante longitudinale de la vitesse moyenne sur la ligne centrale du cylindre (cf. Fig. 4.17), nous apprend qu exceptée une légère augmentation de la vitesse minimum (U min ) au sein de la zone de recirculation, aucune différence n est observable entre la simulation LESII et LESIII. La comparaison des moments d ordre 1 (cf. Fig. 4.18, 4.19) et 2 (cf. Fig. 4.2, 4.21) montre une quasi-parfaite similitude entre les deux simulations. Kravchenko et Moin [31] ont mis en évidence qu une taille de maille trop importante dans

94 94 Ecoulement autour d un cylindre à Reynolds Re = 39 cette direction pouvait avoir une influence importante sur la zone de recirculation, ainsi que sur la présence des tourbillons longitudinaux au sein de l écoulement. La comparaison que nous venons d effectuer met donc en évidence le fait que la discrétisation spatiale avec 48 points dans la direction y est suffisante ,5 11, ,5 1, ,5 9, ,5 8, x/d x/d Fig Lignes de courant du champ de vitesse moyenne. Avec en gauche LESII et à droite LESIII 1,8,6 u /Uc,4,2 -,2 -, Fig Composante longitudinale de la vitesse moyenne sur la ligne centrale du cylindre. Symboles : : LESII, : LESIII, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67], Lourenco et Shih [2] x/d Influence de la longueur transversale Lz Il apparaît, dans le tableau 4.5 qu une diminution de la longueur Lz implique une forte diminution de la longueur de recirculation (L r /D), ainsi qu une augmentation de la vitesse minimale (U min ) au sein de la bulle de recirculation. On voit sur les lignes de courant (cf. Fig. 4.22) la présence des deux bulles de recirculation principales symétriques en aval du cylindre, ainsi que la présence de deux bulles de recirculation secondaires collées au cylindre. Breuer [9] et Tremblay [67] observent, eux aussi, ces deux bulles de recirculation secondaires proches du cylindre. Breuer [9] rapporte que des études expérimentales

95 Etude statistique 95 1,5 u /Uc 1,5 -,5-1 -1,5-2 x/d = 1, 6 x/d = 1, 54 x/d = 2, 2-2, Fig Profils verticaux de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESII, : LESIII, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67],5 x/d = 1, 6 w /Uc -,5-1 -1,5-2 x/d = 1, 54 x/d = 2, 2-2, Fig Profils verticaux de la composante verticale moyenne de la vitesse. Symboles : : LESII, : LESIII, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67] Données issues de U min L r /D St tu c /D exp Cardell issue de [31] 1, 4 ±, 1, 215 ±, 5 exp Lourenco et Shih [2], 25 1, 19 ±, 1 Tremblay [67] (DNS), 25 1, 3, 22 3 Tremblay [67] (LESI), 26 1, 4, 21 3 Beaudan et Moin [6] (smg), 33 1, 74, 29 31, 22 LESII, 31 1, 76, LESIV, 24 1, 3, Tab. 4.5 Paramètres du champ moyen de l écoulement. Comparaison LESIV, LESII et données de la littérature

96 96 Ecoulement autour d un cylindre à Reynolds Re = 39 u u /U 2 c,3,2,1 x/d = 1, 6 -,1 -,2 -,3 x/d = 1, 54 -,4 -,5 -,6 x/d = 2, 2 -, Fig. 4.2 Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. Symboles : : LESII, : LESIII, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67],2 x/d = 1, 6 w w /U 2 c -,2 -,4 -,6 x/d = 1, 54 -,8 x/d = 2, Fig Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Symboles : : LESII, : LESIII, + Tremblay [67]

97 Etude statistique 97 ont montré l existence de ces bulles de recirculation secondaires proches du cylindre pour des régimes d écoulement plus élevés (Re 5). On observe dans le tableau 4.5 et sur la figure 4.23 que la vitesse minimale (U min ) dans la zone de recirculation a augmenté. Pour x 4 les vitesses obtenues à partir de LESIV sont toujours plus importantes que celles obtenues avec LESII et sont plus proches des valeurs de Tremblay [67] et Lourenco et Shih [2]. L effet de confinement a donc pour conséquence d accélérer le fluide dans la zone de recirculation ,5 7, ,5 6,5 1 9,5 6 5, ,5 4, x/d x/d Fig Lignes de courant du champ de vitesse moyenne. Avec à gauche LESII et à droite LESIV 1,8,6 u /Uc,4,2 -,2 -, Fig Composante longitudinale de la vitesse moyenne sur la ligne centrale du cylindre. Symboles : : LESII, : LESIV, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67], Lourenco et Shih [2] x/d L analyse des lignes de courant du champ de vitesse moyenne (cf. Fig. 4.22) montre la réduction importante de la longueur de recirculation. La figure 4.24 montre la distribution de la composante longitudinale de la vitesse moyenne suivant l axe vertical. On observe que dans la zone de recirculation (x = 1, 6D), la forme du profil de vitesse n est pas la même entre la simulation LESII et LESIV. Avec la simulation LESIV on observe une forme en V, alors que la simulation LESII donne une forme en U. La présence d un profil de vitesse en V traduit la présence de fortes fluctuations de la vitesse dans la zone de recirculation ce que l on observe sur

98 98 Ecoulement autour d un cylindre à Reynolds Re = 39 la figure 4.26, tandis que la forme en U traduit l inverse. L ensemble des simulations faites par Moin et ses collaborateurs [6, 31, 45, 42] convergent vers une solution en forme de U. Tandis que Tremblay [67] et Breuer [9] convergent vers des solutions en forme de V. Il nous semble que la forme obtenue sur le profil de vitesse dépende de la longueur de la zone de recirculation (L r /D). Une zone de recirculation courte amène une forme en V, et une zone plus longue converge vers une forme en U, le tout pour une position en x fixe. Loin de l obstacle, il y a un bon accord entre les résultats. 1,5 u /Uc 1,5 -,5-1 -1,5-2 x/d = 1, 6 x/d = 1, 54 x/d = 2, 2-2, Fig Profils verticaux de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESII, : LESIV, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67],5 x/d = 1, 6 w /Uc -,5-1 -1,5-2 x/d = 1, 54 x/d = 2, 2-2, Fig Profils verticaux de la composante verticale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESII, : LESIV, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67] L observation de la composante verticale de la vitesse moyenne (cf. Fig. 4.25), montre que dans la zone de recirculation (x = 1, 6D) les profils de vitesses sont très différents. Plus loin de l obstacle les courbes coïncident à nouveau. On note que les fluctuations de vitesse plus fortes observées sur les deux composantes de la vitesse longitudinale (cf. Fig. 4.26) et verticale (cf. Fig. 4.27) sont localisées uniquement dans la zone de recirculation (x 1, 54D) (à l exception de w w où cela reste vrai pour x = 2, 2D). La surestimation importante de l intensité

99 Etude statistique 99 u u /U 2 c,3,2,1 x/d = 1, 6 -,1 -,2 -,3 x/d = 1, 54 -,4 -,5 -,6 x/d = 2, 2 -, Fig Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. Symboles : : LESII, : LESIV, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67],2 x/d = 1, 6 w w /U 2 c -,2 -,4 -,6 x/d = 1, 54 -,8 x/d = 2, Fig Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Symboles : : LESII, : LESIV, + Tremblay [67]

100 1 Ecoulement autour d un cylindre à Reynolds Re = 39 v v /U 2 c,1,5 x/d = 1, 6 -,5 -,1 -,15 x/d = 1, 54 -,2 -,25 -,3 -,35 x/d = 2, 2 -, Fig Profils verticaux des fluctuations de la composante transversale de la vitesse. Symboles : : LESII, : LESIV, + Tremblay [67] des fluctuations de la composante verticale de la vitesse (cf. Fig. 4.27) est la signature d une bidimensualisation de l écoulement. En conclusion, la réduction du domaine de calcul dans la direction z a pour conséquence de créer un phénomène de confinement, qui entraîne une accélération locale de l écoulement. Cette accélération artificielle de l écoulement se traduit par de fortes fluctuations de la vitesse au sein de la zone de recirculation, qui amène une réduction importante des couches cisaillées. On observe aussi à partir des fluctuations de la vitesse, que le sillage proche du cylindre est bidimensionnel. En dehors de la zone de recirculation, on observe des résultats qui sont dans l ensemble proche des valeurs des autres simulations, et des données de la littérature Influence de l ordre des schémas de discrétisations spatiales Données issues de U min L r /D St tu c /D exp Cardell issue de [31] 1, 4 ±, 1, 215 ±, 5 exp Lourenco et Shih [2], 25 1, 19 ±, 1 Tremblay [67] (DNS), 25 1, 3, 22 3 Tremblay [67] (LESI), 26 1, 4, 21 3 Beaudan et Moin [6] (smg), 33 1, 74, 29 31, 22 LESII, 31 1, 76, LESV, 22 1, 32, Tab. 4.6 Paramètres du champ moyen de l écoulement. Comparaison LESV, LESII et données de la littérature On observe que l utilisation, sur le même domaine de calcul de schéma de discrétisation spatiale d ordre 2, entraîne une réduction de 25% de la longueur de recirculation L r /D, ainsi qu une augmentation de la vitesse minimum (U min ) au sein de la bulle de recirculation (cf. Tab. 4.6 et fig 4.3). Tremblay [67] constate, lui aussi, que l utilisation d un maillage plus grossier avec des schémas de discrétisations spatiales d ordre 2, entraîne une diminution importante

101 Etude statistique ,5 11, ,5 1, ,5 9, ,5 8, x/d x/d Fig Lignes de courant du champ de vitesse moyenne. Avec à gauche LESII et à droite LESV. de sa longueur de recirculation (de l ordre de 2%). Même si nous constatons un comportement analogue à celui de Tremblay [67], nous avons une estimation bien plus forte que lui de la longueur de recirculation (L r /D), et proche des valeurs de références. La différence avec les résultats de Tremblay [67] (LESI) peut s expliquer par l utilisation de modèles sous maille différents. En effet, Tremblay utilise le modèle de Smagorinsky, avec comme valeur pour la constante du modèle Cs =, 1. La valeur choisie pour la constante est inférieure à la valeur théorique. Ma et al. [41] constatent que l utilisation d une constante forte (Cs =, 196) entraîne une surestimation de la longueur de recirculation (L r /D = 1, 76), tandis que l utilisation d une valeur plus faible (Cs =, 32) a un effet inverse (L r /D = 1, 28). On note sur les lignes de courant de la figure 4.29 la présence des deux bulles de recirculation primaire, ainsi que deux bulles de recirculation secondaires très proches du cylindre. Dans le cas de la simulation LESIV, la présence de ces bulles de recirculation secondaires sont imputables au confinement suivant la direction z. Dans le cas présent la cause est la même que pour Breuer [9], qui a montré que la présence de ces bulles est due à une taille de maille trop importante. Il a montré que l utilisation d une taille de maille grossière associée à des schémas d ordre 2 conventionnels produit ces bulles de recirculation secondaires. La composante longitudinale de la vitesse moyenne, ainsi que les fluctuations de cette même composante de la vitesse (cf. Fig. 4.36) laissent apparaître de très fortes oscillations numériques autour du cylindre dans le cas de la simulation LESV, ainsi qu une diminution de la longueur des couches cisaillées occasionnée par ces oscillations. Cette diminution de la longueur des couches cisaillées entraîne la diminution de la longueur de recirculation. On observe sur les fluctuations de la vitesse dans la direction transversale et verticale de fortes oscillations numériques (cf. Fig. 4.37). Ces oscillations numériques, ainsi que la taille et la forme des couches cisaillées montrent, là encore, que pour des schémas d ordre 2 la taille des mailles est trop importante. La figure 4.31 montre le profil vertical de la composante longitudinale de la vitesse moyenne en différents points de l espace. On note que la forme et l intensité de la composante longitudinale de la vitesse sont différentes de celles obtenues à partir de la simulation LESII. En particulier, on note que le profil de vitesse converge vers une forme en V proche des valeurs de Tremblay [67]. Un constat similaire est fait sur la composante verticale de la vitesse moyenne (cf. Fig. 4.32). On note une nette augmentation des intensités des fluctuations de la composante longitudi-

102 12 Ecoulement autour d un cylindre à Reynolds Re = 39 1,8,6 u /Uc,4,2 -,2 -, Fig. 4.3 Composante longitudinale de la vitesse moyenne sur la ligne centrale du cylindre. Symboles : : LESII, : LESV, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67], Lourenco et Shih [2] x/d 1,5 u /Uc 1,5 -,5-1 -1,5-2 x/d = 1, 6 x/d = 1, 54 x/d = 2, 2-2, Fig Profils verticaux de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESII, : LESV, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67]

103 Etude statistique 13 nale (cf. Fig. 4.33) et verticale (cf. Fig. 4.34) de la vitesse moyenne par rapport à la simulation LESII. On observe que dans les deux cas (cf. Fig. 4.34, fig 4.35) les résultats obtenus sont plus forts que ceux de Kravchenko et Moin [31], et tendent vers les estimations de Tremblay [67]. Ainsi lorsque nous utilisons des schémas de discrétisations spatiales d ordre 2, nous obtenons des résultats qui s approchent (tout en étant éloignés) de ceux obtenus par des auteurs qui utilisent des schémas d ordre 2. De plus, on observe une surestimation importante de l intensité des fluctuations de la composante verticale de la vitesse (cf. Fig. 4.34) est la signature d une bidimensualisation de l écoulement. L ensemble de ces remarques prouve que l utilisation de schémas d ordre 2, avec un maillage trop grossier, entraîne une forte bidimensualisation de l écoulement, constat similaire à celui fait dans le chapitre 3.,5 x/d = 1, 6 w /Uc -,5-1 -1,5-2 x/d = 1, 54 x/d = 2, 2-2, Fig Profils verticaux de la composante verticale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESII, : LESV, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67] u u /U 2 c,3,2,1 x/d = 1, 6 -,1 -,2 -,3 x/d = 1, 54 -,4 -,5 -,6 x/d = 2, 2 -, Fig Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. Symboles : : LESII, : LESV, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67] En conclusion, il semble que l utilisation de schémas d ordre 2 associée avec notre modèle sous maille, amène une réduction importante de la longueur de recirculation et de fortes oscillations numériques autour du cylindre. De plus, il apparaît que l écoulement est fortement

104 14 Ecoulement autour d un cylindre à Reynolds Re = 39,2 x/d = 1, 6 w w /U 2 c -,2 -,4 -,6 x/d = 1, 54 -,8 x/d = 2, Fig Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Symboles : : LESII, : LESV, + Tremblay [67] v v /U 2 c,1,5 x/d = 1, 6 -,5 -,1 -,15 x/d = 1, 54 -,2 -,25 -,3 -,35 x/d = 2, 2 -, Fig Profils verticaux des fluctuations de la composante transversale de la vitesse. Symboles : : LESII, : LESV, + Tremblay [67]

105 Synthèse 15 bidimensionnel. Pour une résolution aussi marginale, l utilisation de schémas de discrétisation spatiale d ordre 2 est, du moins nous le pensons, à éviter. Mittal [43] arrive à un constat similaire lors de l utilisation de schémas d ordre 2. Il estime que l utilisation d une taille de maille deux fois moins importante avec des schémas de discrétisations spatiales d ordre 2 est nécessaire pour obtenir des résultats similaires à ceux obtenus à partir de schémas de discrétisation spatiale d ordre Synthèse La tendance observée sur la longueur de recirculation (L r /D) entre les simulations LESI, LESII et LESIII est la même que celle observée par Moin et ses collaborateurs [6, 31, 45, 42]. L effet de confinement occasionné par la diminution de L z (LESIV ) entraîne une nette diminution de la longueur de recirculation par rapport à la simulation LESII pour un maillage identique. Cette diminution est telle que la longueur de recirculation (L r /D) est proche des valeurs de Cardell et Tremblay [67]. Le fait d utiliser des schémas de discrétisations spatiales d ordre 2 (LESV ) sur le même domaine de calcul que LESII entraîne une forte diminution de la longueur de recirculation (L r /D), proche des valeurs de référence de Cardell et Tremblay [67]. La vitesse minimum (U min ) dans la zone de recirculation est très proche des valeurs de Moin et ses collaborateurs [6, 45, 31, 42] dans le cas des simulations LESI, LESII et LESIII. Cette vitesse est plus importante avec les simulations LESIV, LESV, et proche des valeurs de Tremblay [67]. Données issues de U min L r /D St tu c /D exp Cardell issue de [31] 1, 4 ±, 1, 215 ±, 5 exp Lourenco et Shih issue de [31], 25 1, 19 ±, 1 Tremblay [67] (DNS), 25 1, 3, 22 3 Tremblay [67] (LES-I), 26 1, 4, 21 3 Beaudan et Moin [6] (dyn), 36 1, 36, 23 31, 22 Beaudan et Moin [6] (smg), 33 1, 74, 29 31, 22 Kravchenko et Moin [31] (LES), 37 1, 35, Mahesh et al. [42] (LES), 31 1, 35, LESI, 32 1, 54, 21 6 LESII, 31 1, 76, LESIII, 28 1, 77, LESIV, 24 1, 3, LESV, 22 1, 32, Tab. 4.7 Tableau comparatif de l écoulement moyen. Comparatif général Les figures 4.36, 4.37 montrent un bon accord entre les simulations LESI, LESII et LESIII, tandis que des oscillations numériques importantes sont observées dans le cas de la simulation LESV. La figure 4.38 montre la composante longitudinale de la vitesse moyenne sur la ligne centrale du cylindre. On note le bon accord général des simulations LESI, LESII et LESIII avec les résultats de Kravchenko et Moin [31]. Pour les simulations LESIV et LESV, on remarque que dans la zone de recirculation, les estimations de la vitesse sont proches de celle de Tremblay [67].

106 16 Ecoulement autour d un cylindre à Reynolds Re = ,5 11, ,5 1, ,5 9, ,5 8, x/d x/d ,5 11, ,5 1, ,5 9, ,5 8, x/d x/d ,5 11, ,5 1, ,5 9, ,5 8, x/d x/d 8 8 7,5 7, ,5 6, ,5 5, ,5 4, x/d x/d ,5 11, ,5 1, ,5 9, ,5 8, x/d x/d Fig A gauche : isocontours de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. u /U c =, 2;...; 1, 4 avec 17 valeurs. A droite : isocontours RMS des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. u u /U c = ;...;, 7 avec 29 valeurs. Avec de haut en bas : LESI, LESI, LESIII, LESIV et LESV

107 Synthèse ,5 11, ,5 1, ,5 9, ,5 8, x/d x/d ,5 11, ,5 1, ,5 9, ,5 8, x/d x/d ,5 11, ,5 1, ,5 9, ,5 8, x/d x/d 8 8 7,5 7, ,5 6, ,5 5, ,5 4, x/d x/d ,5 11, ,5 1, ,5 9, ,5 8, x/d x/d Fig A gauche : isocontours RMS des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. w w /U c = ;...; 1 avec 21 valeurs. A droite : isocontours RMS des fluctuations de la composante transversale de la vitesse. v v /U c = ;...;, 4 avec 21 valeurs. Avec de haut en bas : LESI, LESI, LESIII, LESIV et LESV

108 18 Ecoulement autour d un cylindre à Reynolds Re = 39 1,8,6 u /Uc,4,2 -,2 -, Fig Composante longitudinale de la vitesse moyenne sur la ligne centrale du cylindre. Symboles : : LESI, : LESII, : LESIII, : LESIV, : LESV, :Kravchenko et Moin [31], + DNS de Tremblay, Lourenco et Shih [2] x/d 1,5 u /Uc 1,5 -,5-1 -1,5-2 x/d = 1, 6 x/d = 1, 54 x/d = 2, 2-2, Fig Profils verticaux de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESI, : LESII, : LESIII, : LESIV, : LESV, :Kravchenko et Moin [31], + DNS de Tremblay, Lourenco et Shih [2]

109 Synthèse 19 La figure 4.39 montre la composante longitudinale de la vitesse moyenne pour toutes les simulations. Il existe un assez bon accord général entre les simulations LESI, LESII, LESIII et Kravchenko et Moin [31]. Les simulations LESIV et LESV tendent vers des estimations proches de celles de Tremblay [67] Sur la figure 4.4 on observe la composante verticale de la vitesse moyenne. Un assez bon accord général pour toutes les simulations est observé. Là encore, on remarque que les trois premières simulations sont proches des valeurs de Kravchenko et Moin [31].,5 x/d = 1, 6 w /Uc -,5-1 -1,5-2 x/d = 1, 54 x/d = 2, 2-2, Fig. 4.4 Profils verticaux de la composante verticale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESI, : LESII, : LESIII, : LESIV, : LESV, :Kravchenko et Moin [31], + DNS de Tremblay, Lourenco et Shih [2] u u /U 2 c,3,2,1 x/d = 1, 6 -,1 -,2 -,3 x/d = 1, 54 -,4 -,5 -,6 x/d = 2, 2 -, Fig Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. Symboles : : LESI, : LESII, : LESIII, : LESIV, : LESV, :Kravchenko et Moin [31], + DNS de Tremblay, Lourenco et Shih [2] L observation des fluctuations des vitesses sur les composantes longitudinales (cf. Fig. 4.41) et verticales (cf. Fig. 4.42) nous apprend, que les données de la simulation LESI sont très proches de celles de Kravchenko et Moin [31], et que le fait d utiliser des mailles plus grosses (LESII et LESIII) dans les directions (x) et (z) entraîne une nette diminution des fluctuations de la

110 11 Ecoulement autour d un cylindre à Reynolds Re = 39,2 x/d = 1, 6 w w /U 2 c -,2 -,4 -,6 -,8-1 x/d = 1, 54 x/d = 2, 2-1, Fig Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Symboles : : LESI, : LESII, : LESIII, : LESIV, : LESV, :Kravchenko et Moin [31], + DNS de Tremblay, Lourenco et Shih [2] vitesse au sein de la bulle de recirculation. L utilisation de schémas d ordre 2 (LESV ) amène une forte augmentation bidimensualisation de l écoulement. Ce constat est similaire à celui fait sur les Simulations Numériques Directes dans le chapitre Conclusion Il apparaît que la simulation LESI donne des résultats satisfaisants et proches des valeurs de Moin et de ses collaborateurs [6, 31, 45, 42], et ceci, malgré le fait de ne pas faire d effort particulier pour prendre en compte la présence de la couche limite sur le cylindre. Seules les couches cisaillées semblent un peu affectées par ce choix. Afin de déterminer le rôle joué par le modèle et d essayer d améliorer les résultats, des simulations avec le modèle Fonction Structure Filtrée devront être réalisées. Même si de nombreux auteurs (Beaudan et Moin [6], Breuer [9], Tremblay [67] par exemple) ont montré que l influence du modèle est faible, voire nulle. Dans l ensemble des cas que nous connaissons, les comparaisons ont été réalisées entre les modèles de Smagorinsky et de Smagorinsky dynamique. Il est possible que la comparaison entre le modèle Fonction Structure et Fonction Structure Filtrée n amène pas à la même conclusion. Quoiqu il en soit, nous pensons qu une telle étude devrait être entreprise. L approche qui consiste à ne pas faire d effort particulier pour faire une description fidèle de la couche limite dans nos simulations aux grandes échelles, à des limites. En effet, un tel raisonnement ne nous paraît pas envisageable pour des régimes d écoulements supérieurs à Reynolds Re = 2, car la couche limite sur le cylindre est alors turbulente. Dans ce cas, il semble que l utilisation de loi de paroi est, pour l instant, le seul recourt possible. Par exemple, Catalano et al. [11] étudient l écoulement autour d un cylindre de section circulaire à des nombres Reynolds importants (Re > 5 ) à partir d une Simulation aux Grandes Echelles avec une loi de paroi. Ils montrent que cette approche donne des résultats proches des données expérimentales. L utilisation d un maillage plus grossier (LESII) entraîne une dégradation de la qualité des résultats proches du cylindre. En particulier, l intensité des fluctuations dans la zone de recir-

111 Conclusion 111 culation est plus faible par rapport à la simulation LESI et à l ensemble données de référence. Malgré cela, les résultats restent acceptables au delà de x = 1, 54D. La simulation LESII donne des résultats proches de ceux de Beaudan et Moin [6] quand ils utilisent un modèle de Smagorinsky classique. Ils améliorent l estimation de la longueur de recirculation en utilisant un modèle dynamique. Il serait donc très intéressant, là encore, d utiliser le modèle Fonction de Structure Filtrée. Cette simulation montre que pour un coût de calcul moindre (6 fois moins important exactement), on obtient des résultats qui restent dans l ensemble très satisfaisants. Dans l optique de la simulation de l interaction d une couche de mélange avec un cylindre, nous savons que seule une taille de maille de l ordre de grandeur de celle utilisée dans ce calcul est envisageable. Cette simulation nous montre que pour des régimes d écoulement proche de Re = 39, l utilisation d un maillage aussi grossier donne des résultats dans l ensemble satisfaisants, même si dans la zone de recirculation des erreurs de l ordre de 15 2% sont prévisibles sur les fluctuations de la vitesse. La simulation LESIV montre qu une forte diminution de la longueur Lz amène un effet de confinement important, et une bidimensualisation de l écoulement. On observe des écarts significatifs avec les résultats de la simulation LESII près du cylindre. Plus loin de l obstacle, on remarque à nouveau un bon accord entre les résultats. Ce constat est important, car dans le cadre de la simulation d une couche de mélange en interaction avec un cylindre, les contraintes matérielles nous amènent à utiliser cette longueur dans cette direction. La simulation LESV permet d étudier l influence de l ordre des schémas de discrétisations spatiales. La conclusion faite dans le chapitre III, à savoir que l utilisation de schémas d ordre 2 amène une forte bidimensualisation de l écoulement, ainsi que de plus fortes oscillations numériques disgracieuses en amont du cylindre se confirme dans ce chapitre. Notre maillage grossier, nous semble très nettement défavorable aux schémas d ordre 2. Une étude du spectre temporel de la composante verticale de la vitesse (cf. Fig. 4.43) a été réalisée. Les spectres que nous présentons sont fortement bruités. En effet, ils ont été calculés à partir d une seule sonde fournissant une information sur 12.6 lâchers tourbillonnaires. Cependant quelques grandes tendances peuvent être observées. Ainsi, l ensemble des simulations LESI, LESII et LESV semblent avoir une zone de décroissance respectant la loi de Kolmogorov ( loi puissance 5/3 ). Si on se place plus loin du cylindre (x = 13D), on observe des différences entre les simulations LESII et LESV. Il nous semble que la zone de décroissance est plus courte dans le cas LESV. Nous pensons que cette diminution est probablement imputable à l ordre des schémas. Il semble donc, que l utilisation de la méthode de Forçage Direct, avec le modèle Fonction Structure, donne des résultats satisfaisants. Nous avons noté dans la littérature que l on pouvait regrouper les auteurs en deux groupes : 1. Les auteurs qui convergent vers un profil de la composante longitudinale de la vitesse près du cylindre en forme de U ; 2. Les auteurs qui convergent vers un profil de la composante longitudinale de la vitesse près du cylindre en forme de V. Nous remarquons que lorsque nous utilisons des schémas de discrétisations spatiales d ordre élevé, avec un domaine de calcul suffisamment grand, nous convergeons vers une forme en U. Lorsque nous utilisons un domaine de calcul qui confine notre écoulement, ou des schémas de discrétisations spatiales d ordre 2, nous convergeons vers une forme en V. Cette forme en U ou en V traduit une position dans la zone de recirculation. Il apparaît que la forme en U traduit

112 112 Ecoulement autour d un cylindre à Reynolds Re = (a) 1.1 (a) Eww/u 2 cd 1e 4 1e 6 1e 8 1e 1 1e ω/ω St (b) (d) (c) Eww/u 2 cd 1e 4 1e 6 1e 8 1e 1 1e 12 (b) (d) (c) ω/ω St Fig Spectres temporels de la composante verticale de la vitesse sur la ligne centrale du cylindre en y/d =. (a) : Loi puissance 5/3, (b) : LESI, (c) : LESII et (d) : LESV. A gauche en x = 4D, et à droite x = 13D une position au cœur de la zone de recirculation, tandis que celle en V traduit une position en sortie, voire en dehors de cette zone. Les différences observées par les auteurs amènent des discussions. Au vue de nos résultats, il semble que la longueur de recirculation de référence doit se situer autour de L r = 1, 5D et que la forme du profil vertical de la composante longitudinale de la vitesse soit en U dans la zone de recirculation. Une expérience réalisée à l aide de la méthode PIV au CEMAGREF-Rennes, par Carlier nous conforte dans notre analyse. L expérience a consisté à réaliser des mesures PIV 2D2C dans le plan x z immédiatement en aval du barreau. Le cylindre a un diamètre de, 12 m et une hauteur de, 28 m. Pour limiter les effets de bout, deux plaques de gardes ont été placées aux extrémités du barreau (à deux centimètres de la paroi de la soufflerie). La vitesse de l écoulement est de 4, 8 m/s de sorte que le nombre de Reynolds est de 39. Le taux de turbulence est de, 5%. 2 caméras ont été positionnées de part et d autre du plan laser et perpendiculairement à celui-ci mais à des distances différentes (36 cm et 23 cm). Les 2 caméras sont équipées d un objectif d une longueur focale de 5 mm si bien que leurs tailles de champs sont différentes (3, 6 2, 9 D 2, 1, 6 1, 3 D 2 ). 5 paires d images sont acquises chacunes avec un t = 6 microsecondes puis 5 autres avec un t = 25 microsecondes. Les images sont analysées par inter-corrélation calculée par transformée de Fourier dans un processus multi-grille à 3 itérations (64*64, 32*32 et 16*16) avec un recouvrement de 5%. Les pics d intercorrélation sont interpolés par une gaussienne sur 3 points. Les vitesses erronées sont identifiées par un test médian et sont remplacées par la moyenne des vitesses voisines. On observe sur les figures 4.44, 4.45, 4.46, 4.47 et 4.48 l excellent accord de u, w, u u et w w entre les données expérimentales de Carlier et les nôtres. La forme et l intensité de la composante longitudinale de la vitesse moyenne sont pratiquement identiques. Ainsi Carlier obtient une longueur de recirculation de 1, 5D ±, 1D, quand nous l estimons à 1.54D. Les différences observées avec les données de Lourenco et Shih [2] sont importantes. Comme le rapport d aspect dans les deux expériences est identique (2), nous attribuons ces désaccords à des conditions expérimentales très différentes. En effet, dans le cas de Lourenco et Shih, l expérience est réalisée dans l eau en déplaçant le cylindre, tandis que dans notre cas l étude est réalisée dans un écoulement d air avec un cylindre immobile. On note un léger désaccord sur le pic d intensité des fluctuations de la composante longitu-

113 Conclusion 113 1,8,6 u /Uc,4,2 -,2 -, Fig Composante longitudinale de la vitesse moyenne sur la ligne centrale du cylindre. Symboles : : LESI, : Kravchenko et Moin [31], : Lourenco et Shih [2], : expérience de Carlier x/d 1,5 u /Uc 1,5 -,5-1 -1,5-2 x/d = 1, 6 x/d = 1, 54 x/d = 2, 2-2, Fig Profils verticaux de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESI, : Kravchenko et Moin [31], : Lourenco et Shih [2], expérience de Carlier

114 114 Ecoulement autour d un cylindre à Reynolds Re = 39,5 x/d = 1, 6 w /Uc -,5-1 -1,5-2 x/d = 1, 54 x/d = 2, 2-2, Fig Profils verticaux de la composante verticale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESI, : Kravchenko et Moin [31], : Lourenco et Shih [2], expérience de Carlier u u /U 2 c,2 -,2 -,4 -,6 x/d = 1, 6 x/d = 1, 54 x/d = 2, Fig Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. Symboles : : LESI, : Kravchenko et Moin [31], : Lourenco et Shih [2], : expérience de Carlier

115 Conclusion 115,2 x/d = 1, 6 w w /U 2 c -,2 -,4 -,6 -,8 x/d = 1, 54 x/d = 2, Fig Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Symboles : : LESI, : Lourenco et Shih [2], : expérience de Carlier dinale de la vitesse u u en x = 1, 6D, de l ordre de 5%. La taille de la maille utilisée dans la simulation numérique semble trop importante pour reproduire ce pic. Toutefois, une incertitude liée à la méthode expérimentale est à prendre en compte au niveau de ce pic. Cette comparaison de notre simulation LESI avec cette expérience PIV conforte notre choix de ne pas faire d effort particulier pour avoir une description fidèle de la couche limite, dans le cadre de notre code de calcul.

116 116 Ecoulement autour d un cylindre à Reynolds Re = 39

117 Chapitre 5 Application exploratoire d une couche de mélange en interaction avec un sillage Ce chapitre est consacré à une étude numérique de l interaction d une couche de mélange avec un cylindre. Cette étude numérique découle directement d une problématique d ingénierie liée à la sécurité alimentaire. L objectif de ce travail est de vérifier qu une approche par la Simulation aux Grandes Echelles sur un écoulement aussi complexe, est envisageable et qu elle peut être un outil pour l ingénieur. Dans ce contexte, nous cherchons des paramètres dimensionnant l écoulement le plus proche possible du cas industriel étudié au CEMAGREF. Nous cherchons uniquement à confronter nos résultats avec les données issues des expériences antérieures de Heitz [26]. Nous essayerons de montrer les comportements similaires et les différences et, si possible, les expliquer. Ce chapitre se découpe en trois parties. La première partie est consacrée à la description des caractéristiques de notre simulation et à une comparaison avec celles de Heitz [26]. Puis une étude des grandeurs caractéristiques de l écoulement est fournie. Enfin, une conclusion sur cette étude, et des recommandations sur les travaux futurs à réaliser sont données. 5.1 Paramètres de la simulation On considère une couche de mélange plane qui se développe spatialement. Le cylindre est orienté suivant la direction y, et sa position par rapport à l entrée du domaine est notée x cyl (cf. Fig 5.1). Le profil de la composante longitudinale de la vitesse moyenne u(y) de la couche de mélange en entrée du domaine de calcul est : u(y) = U 1 + U U 1 U 2 2 ( ) 2y tanh, (5.1) δ ωi avec δ ωi l épaisseur de vorticité de la couche de mélange en entrée. La différence de vitesse et la vitesse convective sont notées respectivement U = (U 1 U 2 ) et U c = (U 1 + U 2 )/2, avec U 1 et U 2 les deux vitesses de la couche de mélange : U 1 = 1, 2U c, U 2 =, 8U c. (5.2) Afin d étudier un écoulement, il faut en connaître les paramètres fondamentaux. Les deux paramètres adimensionnels fondamentaux de cet écoulement sont : 117

118 118 Application exploratoire d une couche de mélange en interaction avec un sillage L z (condition périodique) x cyl U 2 y z x L y (condition de glissement) U 1 L x (condition non périodique) Fig. 5.1 Vue schématique de la configuration le rapport de vitesse : λ = U/2U c ; le nombre de Reynolds basé sur la vitesse de convection et le diamètre du cylindre : Re = U c D/ν. Lors de la simulation d une couche de mélange, l épaisseur de vorticité de la couche de mélange en entrée de domaine doit être définie. Dans notre cas nous avons pris δ ωi = D/2. Que l on peut écrire sous une forme de rapport 1 : H = D/δ ωi = 2. Le tableau 5.1 dresse une comparaison complète entre les paramètres de l expérience de Heitz [26] et les paramètres de la simulation numérique. Les dimensions de notre domaine de calcul sont calibrées pour respecter deux critères : être proches des dimensions de l expérience de Heitz [26] ; être telles que le calcul soit réalisable sur les super-ordinateurs à notre disposition. Lors de son expérience Heitz [26] positionne le cylindre de sorte que la couche de mélange ait une épaisseur d un diamètre quand elle impacte sur le barreau. Afin d estimer au mieux x cyl, nous nous sommes appuyés sur la loi d évolution de l épaisseur de vorticité de la couche de mélange dans la zone de similitude : dδ ω dx, 16λ. (5.3) Cette loi est valable uniquement dans la zone de similitude. Cependant elle nous permet de faire une approximation telle que x cyl = 16D. Nous verrons par la suite, que l erreur commise sur la position du cylindre est importante. Afin que la condition de sortie ne vienne pas perturber l écoulement, nous avons éloigné le cylindre de 15D. Soit, au final, une longueur L x = 31D. Heitz [26] utilise des plaques de garde afin de limiter l effet de bouts, et son rapport d aspect est de L/D = 2. Norberg [49] estime que pour les régimes que nous étudions (6 < Re < 9), un rapport d aspect minimum de 6D est nécessaire pour que les grandeurs des sillages uniformes ne soient pas affectées par les conditions d extrémité. 1 Ceci n est pas entièrement arbitraire. il conditionne la longueur L x de la boite de calcul. Afin de la limiter au maximum, nous avons fait ce choix. Nous verrons par la suite, que cela semble peu judicieux

119 Visualisation de champs instantanés 119 Paramètres Expérience Heitz [26] LES L x L y L z 8D 2D 2D 31D 16D 12D n x n y n z t, 6 r = U 2 /U 1, 67, 66 λ, 2, 2 Re Re 2 = U 1 D/ν 6 6 Re 1 = U 2 D/ν 9 9 Tab. 5.1 Paramètres de la Simulation aux Grandes Echelles comparés à l expérience de Heitz [26] Dans notre simulation, une condition limite de glissement libre est imposée dans la direction y et une condition de périodicité dans la direction z. La simulation LESIV du chapitre IV démontre qu un confinement dans la direction z amène une réduction importante de la longueur de la zone de recirculation, ainsi qu un effet de bidimensionnalisation de l écoulement. Le choix que nous avons fait pour L y et L z a des répercussions sur la dynamique de l écoulement, mais ces valeurs sont proches de celles de l expérience, ce qui nous garantit une certaine objectivité dans nos comparaisons. La taille et le nombre de mailles près de l obstacle sont insuffisants pour prétendre avoir une description fidèle de l écoulement de proche paroi (couche limite - couche cisaillée). Cependant, comme nous l avons constaté dans le chapitre IV, nous obtenons des résultats dans l ensemble proches des valeurs de référence. Nous savons que globalement, l intensité, ainsi que la taille des couches cisaillées sont mal estimées sur un maillage aussi grossier. La dynamique de l écoulement, et les grandeurs moyennes sont estimées avec une erreur maximale de l ordre de 15%. Quoiqu il en soit, un maillage plus fin n est pas envisageable pour l instant. A condition d avoir des objectifs en rapport avec ce maillage, nous pensons que cette simulation est pertinente. Enfin, une technique particulière, décrite dans le chapitre 2, est utilisée pour réaliser la simulation d une couche de mélange. 5.2 Visualisation de champs instantanés La figure 5.2 montre une vue en perspective de la norme de la vorticité. Pour des raisons techniques 2, aucune vue globale de cet écoulement n a été réalisée pour l instant. Nous avons fait le choix de ne montrer que la zone d interaction de la couche de mélange avec le cylindre, ainsi que le sillage. On observe sur cette figure (5.2) que lorsque la couche de mélange impacte sur le cylindre, son épaisseur de vorticité est telle que δ ω 4D. Ce qui est beaucoup plus fort que ce que l on souhaitait obtenir δ ω 1D. Cela s explique, en partie, par le motif suivant : l estimation de x cyl est basée sur la loi d évolution de l épaisseur de vorticité de la couche de mélange, valable uniquement dans la zone de similitude. Or nous sommes très proches de la zone d excitation de la couche de mélange. Ce qui nous amène à penser que nous ne sommes pas dans la zone de similitude. L utilisation de cette loi a donc pour conséquence, 2 coût en mémoire vive trop important sur les machines locales

120 12 Application exploratoire d une couche de mélange en interaction avec un sillage Basse-Vitesse Haute-Vitesse Fig. 5.2 Isosurfaces de la norme de la vorticité ω n = 14U/D de la simulation d une couche de mélange en interaction avec un cylindre. Vue de perspective arrière. Re = 75 dans notre cas, de sous-estimer l épaisseur de vorticité de la couche de mélange, et donc de surestimer la distance x cyl souhaitée ; Cette cause explique, en partie, le fait que l épaisseur de vorticité de la couche de mélange ne soit pas à la taille attendue au moment où elle impacte sur le cylindre. Afin de mieux positionner le cylindre, il faudrait réaliser une première simulation de la couche de mélange seule. Déterminer la position en x où l épaisseur de vorticité est égale à un diamètre du cylindre. Enfin, réaliser la simulation avec le cylindre à cette position. Pour des raisons de temps, et de coût, nous n avons pas mis en œuvre cette approche. Braud [8] montre qu une augmentation de δ ω entraîne une diminution de la longueur de formation en dehors de la région d impact. Elle montre que δ ω est la grandeur dimensionnant pour la localisation des singularités au culot du cylindre. Dans le sillage, on note la présence de structures tourbillonnaires de tailles diverses. On remarque en particulier du côté Haute-Vitesse, la présence de petites structures tourbillonnaires loin du cylindre (cf. Fig 5.2). Sur la figure 5.5 on peut voir une descente de fluide en aval du cylindre à l impact de la couche de mélange. Cette figure montre également la nature très complexe de cet écoulement, ainsi que la présence de structures tourbillonnaires obliques. 5.3 Etude statistique Etant donné le coût très important de ce calcul, la phase de transition de l état initial à la turbulence a été réalisée sur un maillage beaucoup plus grossier n x n y n z = ,

121 Etude statistique 121 Basse-Vitesse Haute-Vitesse Fig. 5.3 Isosurfaces de la norme de la vorticité ω n = 1U/D de la simulation d une couche de mélange en interaction avec un cylindre. Vue de dessus. Re = 75

122 122 Application exploratoire d une couche de mélange en interaction avec un sillage Basse-Vitesse Haute-Vitesse Fig. 5.4 Isosurfaces de la norme de la vorticité ω n = 8U/D de la simulation d une couche de mélange en interaction avec un cylindre. Vue de perspective. Re = 75

123 Etude statistique B.-V H.-V Fig. 5.5 Variation temporelle de la composante transversale (w) de la vitesse suivant l envergure du cylindre z, à la position x x cyl = 1D et sur une période de temps d environ 6D/U c. Puis une interpolation de ces données est réalisée pour que les données coïncident avec le maillage souhaité (cf. Tab. 5.1). La simulation se poursuit alors environ 2D/U c. Aprés ce dernier laps de temps nous accumulons l ensemble de nos données statistiques sur une période de temps 37D/U c. Cette période de temps est trop courte pour avoir une convergence des statistiques et nous le vérifions facilement avec l analyse des moments d ordre 1 et 2 (voir annexe C). Pour obtenir une convergence acceptable des statistiques, nous estimons qu un laps de temps minimum de 12D/U c serait nécessaire. Le but de cette étude est de vérifier que l approche numérique permet de retrouver les mêmes caractéristiques globales que l étude expérimentale, et ce pour le même régime d écoulement. Si l on observe une bonne adéquation entre les résultats numériques et ceux de Heitz [26], il faudra, alors, envisager de poursuivre cette simulation afin d étudier plus précisément les phénomènes instationnaires de ce dernier Evolution du nombre de Strouhal suivant l envergure du cylindre L observation de la variation temporelle de la composante transversale de la vitesse (cf. Fig. 5.5) montre très clairement que la zone de fort cisaillement de la couche de mélange est fortement agitée. A l inverse dans les zone de Haute et Basse vitesse le signal semble plus régulier. Heitz [26] et Braud [8] ont mis en évidence l existence de cellules au sein de l écoulement. En effet, il existe des paramètres tridimensionnalisant dans un sillage. Fiedler et al. [18] proposent les trois catégories suivantes : 1. la tridimensionnalisation par la nature intrinsèque de l écoulement ; 2. la tridimensionnalisation par la géométrie de l obstacle ; 3. la tridimensionnalisation par l écoulement incident. Dans le contexte de notre étude, seule la tridimensionalisation par l écoulement incident nous intéresse. Le laps de temps trop court au cours duquel nous réalisons nos statistiques ne nous permet pas de faire une analyse spectrale de cet écoulement. Cependant, on peut calculer de façon approximative un nombre de Strouhal local du côté Basse-Vitesse : St 1 = f 1 D/U 1, 17, (5.4)

124 124 Application exploratoire d une couche de mélange en interaction avec un sillage V U Basse. V itesse y/d Haute. V itesse x/d Fig. 5.6 Coupe de la composante verticale V de la vitesse, à la position = et du côté Haute-Vitesse : St 2 = f 2 D/U 2, 13. (5.5) La diminution de l intensité du nombre de Strouhal dans la zone de Haute-Vitesse, par rapport à ce que l on peut attendre dans le cas d un sillage classique (St =, 2) montre le lien important entre la couche de mélange et la zone de Haute-Vitesse. Cette hypothèse est renforcée par le fait que l on observe sur la figure (5.6) une très nette descente de fluide de la zone de Basse-Vitesse vers les Hautes-Vitesses. Du côté Basse-Vitesse on retrouve un Strouhal proche de la valeur d un sillage classique (St =, 2). L ensemble de ces remarques, est en accord avec les résultats de Heitz [26] et Braud [8], mais un plus grand nombre d échantillons est souhaitable pour étudier plus en détail l évolution du nombre de Stouhal suivant l envergure du cylindre Evolution de la longueur de formation suivant l envergure du cylindre Noca et al. [48] proposent plusieurs définitions de la longueur de formation. Ils montrent que l évolution de cette longueur, suivant le nombre de Reynolds, est la même quelle que soit la définition donnée. Nous avons choisi de prendre comme définition de cette longueur, car c est celui utilisé dans le cadre des travaux de Heitz [26] : la position longitudinale du maximum de la somme des tensions de Reynolds longitudinales et verticales ( u u ) max + ( v v ) max. On remarque sur la figure 5.7 que les déficits de vitesse ainsi que leurs positions sont différentes suivant que l on se situe du côté Basse-Vitesse ou Haute-Vitesse. On observe aussi que la longueur de recirculation est sensiblement plus importante du côté Haute-Vitesse que du côté

125 Synthèse, conclusion et perspectives u /Uc x/d Fig. 5.7 Profils de la composante longitudinale de la vitesse moyenne suivant l envergure du cylindre. Symboles : :Vitesse côté Basse.-Vitesse, Vitesse côté Haute.Vitesse., Vitesse au milieu de la couche de mélange (z = D) Basse-Vitesse, et qu elle est sensiblement la même du côté Basse-Vitesse et dans la couche de mélange. Ceci est en parfait accord avec les résultats de Heitz [26] qui note la présence de trois zones dans l évolution de la longueur de formation suivant l envergure du cylindre. Ces trois zones sont : 1. du côté Haute.-Vitesse, une zone où la valeur est constante, avec L f /D = 2, 4 ; 2. du côté Basse.-Vitesse, une seconde zone où la valeur est de nouveau constante mais inférieure telle que L f /D = 1, 7 ; 3. entre les deux précédentes, qui s étend sur environ un diamètre (soit environ sur l épaisseur de vorticité de la couche de mélange au niveau du barreau), une zone centrée en y/d = 1 où la valeur est L f /D = 1, 4. Comme le montre la figure (5.8), nous avons un assez bon accord général avec les données de Heitz [26]. Toutefois, plusieurs observations sont à noter. Tout d abord, une fois de plus, le manque de convergence de nos données nous fait défaut, et des fluctuations importantes sont observées. De plus, il nous semble que la position, ainsi que la taille de la troisième zone, sont différentes. Dans notre cas, il nous semble que cette zone soit centrée en y/d = 2, et que sa taille soit de l ordre de 4D. Une hypothèse pour expliquer cet écart est que l épaisseur de vorticité de la couche de mélange, quand elle impacte le cylindre, est plus importante dans le cas de la simulation numérique. Braud [8] a montré qu il existe un lien important entre la taille de cette zone de l écoulement et l épaisseur de vorticité de la couche de mélange au moment où elle impacte le cylindre. Etant donné le peu de convergence de nos données, il nous parait hasardeux de vouloir donner plus d explication. 5.4 Synthèse, conclusion et perspectives En conclusion, l observation du champ instantané de vorticité, nous apprend que le dimensionnement de notre simulation est un peu optimiste quant à la position du cylindre dans l écoulement. On y voit aussi la zone de pincement au niveau de l impact de la couche de mélange sur

126 126 Application exploratoire d une couche de mélange en interaction avec un sillage Re Lf/D H. V. B. V. y/d Re m =7 5, exp Heitz(1999) Re m =7 5, LES Fig. 5.8 Evolution de la longueur de formation (L f /D) suivant l envergure du cylindre. Comparaison avec les données de Heitz [26] le cylindre. Zone de pincement que l on retrouve très nettement quand on observe l évolution du Strouhal en fonction du Reynolds ou de la longueur de formation. De plus, l observation de la composante verticale de la vitesse moyenne (V ) montre l existence dans cette zone de l écoulement, d une descente de fluide. Il apparaît qu un ensemble d éléments et de caractéristiques propres à cet écoulement, mis en évidence par Heitz [26] et Braud [8], se retrouvent à partir de cette simulation numérique. Il est tentant, mais dangereux, de conclure sur la faisabilité d une étude complète d un tel écoulement à partir de notre approche. En effet notre approche souffre de nombreux défauts. D une part, une insuffisance notoire de convergence des statistiques empêche toutes analyses des moments d ordre 1 et 2 de l écoulement. D autre part, le choix de notre domaine de calcul, semble a posteriori peu pertinent. Il apparaît qu une distance plus courte sur x cyl soit obligatoire afin de respecter les critères de Heitz. Ce qui aura pour conséquence de réduire considérablement le coût de calcul, ou d utiliser un maillage plus fin. Enfin, il nous semble que l utilisation d un autre modèle sous maille permettrait de connaître la contribution de Heitz sur la dynamique des petites structures tourbillonnaires proches du cylindre.

127 Chapitre 6 Conclusions et perspectives Conclusions L étude numérique rapportée dans ce mémoire a été initiée dans le but de pouvoir répondre à trois questions : 1. Peut-on envisager l utilisation d une méthode de forçage volumique dans le cadre de code de calcul de hautes précisions? 2. Peut-on envisager des Simulations aux Grandes Echelles avec ce type d approche? 3. Est ce que l association méthode de Forçage Direct - Simulations aux Grandes Echelles est envisageable pour des études d ingénieries telles que l étude d une couche de mélange en interaction avec un barreau cylindre? La revue bibliographique que nous avons présentée dans le chapitre 2 montre que les méthodes de forçages volumiques ont plusieurs formalismes mathématiques. Nous ne pensons pas qu un formalisme soit universellement mieux qu un autre. D ailleurs, il existe des liens directs (ou presque) entre les méthodes. Néanmoins, la méthode de Forçage Direct est apparue comme la mieux adaptée à nos critères. Cependant, cette méthode, comme toutes les autres, doit être améliorée, ou du moins adaptée au cadre spécifique dans lequel on souhaite l utiliser. Silvestrini et Lamballais [64] ont en partie répondu à la première question et montrent que l utilisation de ce type de méthode avec les spécificités de notre code de calcul est envisageable. Toutefois ils parviennent à ces conclusions en utilisant la méthode des Frontières Virtuelles. Ils notent que de nombreuses améliorations doivent être apportées à cette méthode pour envisager l utilisation de la Simulation aux Grandes Echelles. Dans ce travail, nous utilisons la méthode de Forçage Direct et nous démontrons les avantages qu elle offre par rapport à la méthode des Frontières Virtuelles. Ainsi nous montrons dans un premier temps que nos améliorations apportent des bénéfices, tant d un point de vue qualitatif que quantitatif. De plus, nous montrons que ces améliorations sont inopérantes avec des schémas d ordre 2 et que l utilisation de schémas d ordre élevés apporte un réel bénéfice par rapport aux schémas d ordre 2. La deuxième question, a déjà fait l objet de plusieurs communications. Ainsi Verzicco et al. [68] sont les premiers, à notre connaissance, à utiliser une méthode de forçage volumique dans le cadre de Simulation aux Grandes Echelles. La qualité des résultats est satisfaisante. A notre 127

128 128 Conclusions et perspectives connaissance, l ensemble des études passées ont été réalisées avec des codes de calcul utilisant des schémas de discrétisations spatiales d ordre 2. L association de schémas d ordre élevé avec la méthode de Forçage Direct sans tenir compte, soit par une modélisation, soit par un maillage adapté, de la présence de la couche limite, sont les deux aspects innovants de notre travail. Les résultats obtenus sont encourageants et nous observons un bon accord avec l expérience PIV réalisée au Cemagref. Le troisième et dernier volet de notre travail consiste en une étude préliminaire de l interaction d une couche de mélange avec un barreau cylindrique : Modélisation d un bras (humain ou robotique) dans le dispositif de protection localisée Flux Progressif. L utilisation d un maillage grossier, et d une courde période de temps pour réaliser nos données statistiques sont pénalisants. Cependant les résultats obtenus sont en bon accord général avec les études expérimentales de Heitz [26] et Braud [8]. Il apparaît que l utilisation de la Simulation aux Grandes Echelles est envisageable. Cette approche nous semble particulièrement indiquée pour étudier l ensemble des phénomènes instationnaires de l écoulement et ainsi permettre un meilleur contrôle de ce dernier. Cependant il nous semble que le coût qu engendre ce calcul n est pas en adéquation avec les contraintes liées aux études d ingénieries. Perspectives Cette étude ouvre de nombreuses perspectives. Les améliorations que nous apportons à la méthode de Forçage Direct, donnent satisfaction mais les choix que nous avons faits au cours de ce développement sont facteurs de discussion. Notre définition de l écoulement miroir, qui dans le cadre de géométrie circulaire est bien adapté, doit être remis en question dans le cadre de géométrie plus complexe. En particulier, le traitement des angles est source de difficultés supplémentaires que notre définition de l écoulement miroir ne permet pas de traiter directement. La définition de l écoulement cible et notre méthodologie pour résoudre l équation de Poisson nous amène à faire des hypothèses qui, d un point de vue algorithmique, ne sont pas satisfaisantes. Dans ce travail, il s agit d un compromis. Il nous semble cependant que les améliorations les plus importantes qui restent à faire sont la suppression des oscillations numériques autour de l obstacle. Mais dans l avenir, nous pensons qu un soin particulier doit être apporté à cet aspect de la méthode. Une perspective possible de ce travail, consiste à étudier la présence d une paroi mobile au sein de l écoulement. Ce type d étude a été réalisé par H. Rafelanaharifera [59]. Il montre que dans le cadre de notre code de calcul, l utilisation d un écoulement miroir apporte de nettes améliorations et donne de bons résultats. Le choix de ne pas faire d effort particulier pour reproduire fidélement la couche limite, se révèle satisfaisant. Au vu des résultats, et de certaines divergences dans la littérature, il nous semble qu une étude des couches cisaillées pour ce régime d écoulement doit être réalisée. Il est évident que notre approche cavalière des couches limites n est pas envisageable pour des régimes turbulents. Tessicini et al. [65] montrent que l utilisation d une loi de paroi, avec une méthode de forçage volumique est envisageable dans le cadre de la Simulation aux Grandes Echelles. Cette voie doit être suivie si on souhaite étudier des écoulement à des nombres de Reynolds plus

129 129 importants (Re > 2 ). Notre étude souffre de l absence de comparaison entre plusieurs modèles sous maille. Cette étude est indispensable pour déterminer le rôle du modèle dans la dynamique des petites structures dans la zone de recirculation.

130 13 Conclusions et perspectives

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136 136 BIBLIOGRAPHIE

137 Annexe A Grandeurs turbulentes pour le sillage à Reynolds 3 Dans cette annexe, on retrouve l ensemble des grandeurs statistiques calculées à partir des DNS du chapitre 3. On compare les moments d ordre 1 ( u et w ) et les moment d ordre 2 ( u u et w w ) en différentes localisations de l espace. 137

138 138 Grandeurs turbulentes pour le sillage à Reynolds 3 1,5,4 u /Uc 1,5 -,5-1 -1,5-2 -2,5-3 w /Uc,2 -,2 -,4 -,6 -,8-1 -1,2-3,5-2 -1,5-1 -,5,5 1 1,5 2-1,4-2 -1,5-1 -,5,5 1 1,5 2 Fig. A.1 Profils verticaux des composantes longitudinales et verticales de la vitesse moyenne à différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas. Symboles : : DNSI, : DNSII, Simulation spectrale de Mittal et Balachandar [44],4,5,2 u u /U 2 c -,2 -,4 w w /U 2 c -,5-1 -,6-1,5 -,8-2 -1,5-1 -,5,5 1 1, ,5-1 -,5,5 1 1,5 2 Fig. A.2 Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse à différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas. Mêmes symboles que ceux de la figure (A.1)

139 139 1,5,4 u /Uc 1,5 -,5-1 -1,5-2 -2,5-3 w /Uc,2 -,2 -,4 -,6 -,8-1 -1,2-3,5-2 -1,5-1 -,5,5 1 1,5 2-1,4-2 -1,5-1 -,5,5 1 1,5 2 Fig. A.3 Profils verticaux des composantes longitudinales et verticales de la vitesse moyenne à différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas. Symboles : : DNSIII, : DNSIV, Simulation spectrale de Mittal et Balachandar [44],4 1,2,5 u u /U 2 c -,2 -,4 w w /U 2 c -,5-1 -,6-1,5 -,8-2 -1,5-1 -,5,5 1 1, ,5-1 -,5,5 1 1,5 2 Fig. A.4 Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse à différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas. Mêmes symboles que ceux de la figure (A.3)

140 14 Grandeurs turbulentes pour le sillage à Reynolds 3 1,5,4 u /Uc 1,5 -,5-1 -1,5-2 -2,5-3 w /Uc,2 -,2 -,4 -,6 -,8-1 -1,2-3,5-2 -1,5-1 -,5,5 1 1,5 2-1,4-2 -1,5-1 -,5,5 1 1,5 2 Fig. A.5 Profils verticaux des composantes longitudinales et verticales de la vitesse moyenne à différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas. Symboles : : DNSI, : DNSIII, Simulation spectrale de Mittal et Balachandar [44],4 1,2,5 u u /U 2 c -,2 -,4 w w /U 2 c -,5-1 -,6-1,5 -,8-2 -1,5-1 -,5,5 1 1, ,5-1 -,5,5 1 1,5 2 Fig. A.6 Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse à différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas.symboles : : DNSI, : DNSIII, Simulation spectrale de Mittal et Balachandar [44]

141 141 1,5,4 u /Uc 1,5 -,5-1 -1,5-2 -2,5-3 w /Uc,2 -,2 -,4 -,6 -,8-1 -1,2-3,5-2 -1,5-1 -,5,5 1 1,5 2-1,4-2 -1,5-1 -,5,5 1 1,5 2 Fig. A.7 Profils verticaux des composantes longitudinales et verticales de la vitesse moyenne à différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas. Symboles : : DNSI, : DNSII, : DNSIII, : DNSIV, Simulation spectrale de Mittal et Balachandar [44],4 1,2,5 u u /U 2 c -,2 -,4 w w /U 2 c -,5-1 -,6-1,5 -,8-2 -1,5-1 -,5,5 1 1, ,5-1 -,5,5 1 1,5 2 Fig. A.8 Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse à différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas. Mêmes symboles que ceux de la figure (A.7)

142 142 Grandeurs turbulentes pour le sillage à Reynolds 3

143 Annexe B Grandeurs turbulentes pour le sillage à Reynolds Re = 39 Dans cette annexe, on retrouve l ensemble des grandeurs statistiques calculées à partir des LES du chapitre 4. On compare les moments d ordre 1 ( u, v et w ) et les moments d ordre 2 ( u u, v v et w w ) en différentes localisations de l espace. 143

144 144 Grandeurs turbulentes pour le sillage à Reynolds Re = 39 1,5 u /Uc 1,5 -,5-1 -1,5-2 x/d = 1, 6 x/d = 1, 54 x/d = 2, 2-2, ,2 1 u /Uc,8,6,4,2 -,2 x/d = 3, x/d = 4, x/d = 5, u /Uc -, ,1 1,9 x/d = 6,,8,7,6 x/d = 7,,5,4,3 x/d = 1,,2, Fig. B.1 Profils verticaux de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESI, + : DNS de Tremblay, LES Kravchenko et Moin [31], Lourenco et Shih [2]

145 145,5 x/d = 1, 6 w /Uc -,5-1 -1,5-2 x/d = 1, 54 x/d = 2, 2-2, ,2,1 w /Uc -,1 -,2 -,3 -,4 x/d = 3, x/d = 4, x/d = 5, -, ,2 x/d = 6, w /Uc -,2 -,4 -,6 -,8 -,1 x/d = 7, x/d = 1, -, Fig. B.2 Profils verticaux de la composante verticale de la vitesse moyenne. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.1)

146 146 Grandeurs turbulentes pour le sillage à Reynolds Re = 39 u u /U 2 c,3,2,1 x/d = 1, 6 -,1 -,2 -,3 x/d = 1, 54 -,4 -,5 -,6 x/d = 2, 2 -, ,15,1 u u /U 2 c,5 -,5 x/d = 3, x/d = 4, x/d = 5, -, ,6 u u /U 2 c,4,2 -,2 -,4 -,6 -,8 x/d = 6, x/d = 7, x/d = 1, -, Fig. B.3 Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.1)

147 147,2 x/d = 1, 6 w w /U 2 c -,2 -,4 -,6 -,8-1 x/d = 1, 54 x/d = 2, 2-1, ,4,3,2 w w /U 2 c,1 -,1 -,2 -,3 x/d = 3, x/d = 4, x/d = 5, -, ,3,2 w w /U 2 c,1 -,1 -,2 x/d = 6, x/d = 7, x/d = 1, -, Fig. B.4 Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.1)

148 148 Grandeurs turbulentes pour le sillage à Reynolds Re = 39 1,5 u /Uc 1,5 -,5-1 -1,5-2 x/d = 1, 6 x/d = 1, 54 x/d = 2, 2-2, ,2 1 u /Uc,8,6,4,2 -,2 x/d = 3, x/d = 4, x/d = 5, u /Uc -, ,1 1,9 x/d = 6,,8,7,6 x/d = 7,,5,4,3 x/d = 1,,2, Fig. B.5 Profils verticaux de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESI, : LESII, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67]

149 149,5 x/d = 1, 6 w /Uc -,5-1 -1,5-2 x/d = 1, 54 x/d = 2, 2-2, ,2,1 w /Uc -,1 -,2 -,3 -,4 x/d = 3, x/d = 4, x/d = 5, -, ,2 x/d = 6, w /Uc -,2 -,4 -,6 -,8 -,1 x/d = 7, x/d = 1, -, Fig. B.6 Profils verticaux de la composante verticale de la vitesse moyenne. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.5)

150 15 Grandeurs turbulentes pour le sillage à Reynolds Re = 39 u u /U 2 c,3,2,1 x/d = 1, 6 -,1 -,2 -,3 x/d = 1, 54 -,4 -,5 -,6 x/d = 2, 2 -, ,15,1 u u /U 2 c,5 -,5 x/d = 3, x/d = 4, x/d = 5, -, ,6 u u /U 2 c,4,2 -,2 -,4 -,6 -,8 x/d = 6, x/d = 7, x/d = 1, -, Fig. B.7 Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.5)

151 151,2 x/d = 1, 6 w w /U 2 c -,2 -,4 -,6 x/d = 1, 54 -,8 x/d = 2, ,4,3,2 w w /U 2 c,1 -,1 -,2 -,3 x/d = 3, x/d = 4, x/d = 5, w w /U 2 c -, ,2,15,1 x/d = 6,,5 -,5 x/d = 7, -,1 -,15 -,2 x/d = 1, -,25 -, Fig. B.8 Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.5)

152 152 Grandeurs turbulentes pour le sillage à Reynolds Re = 39 1,5 u /Uc 1,5 -,5-1 -1,5-2 x/d = 1, 6 x/d = 1, 54 x/d = 2, 2-2, ,2 1 u /Uc,8,6,4,2 -,2 x/d = 3, x/d = 4, x/d = 5, u /Uc -, ,1 1,9 x/d = 6,,8,7,6 x/d = 7,,5,4,3 x/d = 1,,2, Fig. B.9 Profils verticaux de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESII, : LESIII, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67]

153 153,5 x/d = 1, 6 w /Uc -,5-1 -1,5-2 x/d = 1, 54 x/d = 2, 2-2, ,2,1 w /Uc -,1 -,2 -,3 -,4 x/d = 3, x/d = 4, x/d = 5, -, ,2 x/d = 6, w /Uc -,2 -,4 -,6 -,8 -,1 x/d = 7, x/d = 1, -, Fig. B.1 Profils verticaux de la composante verticale moyenne de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.9)

154 154 Grandeurs turbulentes pour le sillage à Reynolds Re = 39 u u /U 2 c,3,2,1 x/d = 1, 6 -,1 -,2 -,3 x/d = 1, 54 -,4 -,5 -,6 x/d = 2, 2 -, ,15,1 u u /U 2 c,5 -,5 x/d = 3, x/d = 4, x/d = 5, -, ,6 u u /U 2 c,4,2 -,2 -,4 -,6 -,8 x/d = 6, x/d = 7, x/d = 1, -, Fig. B.11 Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.9)

155 155,2 x/d = 1, 6 w w /U 2 c -,2 -,4 -,6 x/d = 1, 54 -,8 x/d = 2, ,4,3,2 w w /U 2 c,1 -,1 -,2 -,3 x/d = 3, x/d = 4, x/d = 5, w w /U 2 c -, ,2,15,1 x/d = 6,,5 -,5 x/d = 7, -,1 -,15 -,2 x/d = 1, -,25 -, Fig. B.12 Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.9)

156 156 Grandeurs turbulentes pour le sillage à Reynolds Re = 39 1,5 u /Uc 1,5 -,5-1 -1,5-2 x/d = 1, 6 x/d = 1, 54 x/d = 2, 2-2, ,2 1 u /Uc,8,6,4,2 -,2 x/d = 3, x/d = 4, x/d = 5, u /Uc -, ,1 1,9 x/d = 6,,8,7,6 x/d = 7,,5,4,3 x/d = 1,,2, Fig. B.13 Profils verticaux de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESII, : LESIV, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67]

157 157,5 x/d = 1, 6 w /Uc -,5-1 -1,5-2 x/d = 1, 54 x/d = 2, 2-2, ,2,1 w /Uc -,1 -,2 -,3 -,4 x/d = 3, x/d = 4, x/d = 5, -, ,2 x/d = 6, w /Uc -,2 -,4 -,6 -,8 -,1 x/d = 7, x/d = 1, -, Fig. B.14 Profils verticaux de la composante verticale de la vitesse moyenne. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.13)

158 158 Grandeurs turbulentes pour le sillage à Reynolds Re = 39 u u /U 2 c,3,2,1 x/d = 1, 6 -,1 -,2 -,3 x/d = 1, 54 -,4 -,5 -,6 x/d = 2, 2 -, ,15,1 u u /U 2 c,5 -,5 x/d = 3, x/d = 4, x/d = 5, u u /U 2 c -, ,8,6,4 x/d = 6,,2 -,2 x/d = 7, -,4 -,6 x/d = 1, -,8 -, Fig. B.15 Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.13)

159 159,2 x/d = 1, 6 w w /U 2 c -,2 -,4 -,6 x/d = 1, 54 -,8 x/d = 2, ,4,3,2 w w /U 2 c,1 -,1 -,2 -,3 x/d = 3, x/d = 4, x/d = 5, -, ,3,2 w w /U 2 c,1 -,1 -,2 x/d = 6, x/d = 7, x/d = 1, -, Fig. B.16 Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.13)

160 16 Grandeurs turbulentes pour le sillage à Reynolds Re = 39 v v /U 2 c,1,5 x/d = 1, 6 -,5 -,1 -,15 x/d = 1, 54 -,2 -,25 -,3 -,35 x/d = 2, 2 -, ,5 x/d = 3, v v /U 2 c -,5 -,1 x/d = 4, -,15 x/d = 5, -, ,4,2 x/d = 6, v v /U 2 c -,2 -,4 -,6 -,8 x/d = 7, x/d = 1, -, Fig. B.17 Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.13)

161 161 1,5 u /Uc 1,5 -,5-1 -1,5-2 x/d = 1, 6 x/d = 1, 54 x/d = 2, 2-2, ,2 1 u /Uc,8,6,4,2 -,2 x/d = 3, x/d = 4, x/d = 5, u /Uc -, ,1 1,9 x/d = 6,,8,7,6 x/d = 7,,5,4,3 x/d = 1,,2, Fig. B.18 Composante longitudinale de la vitesse moyenne sur la ligne centrale du cylindre. Symboles : : LESII, : LESV, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67]

162 162 Grandeurs turbulentes pour le sillage à Reynolds Re = 39,5 x/d = 1, 6 w /Uc -,5-1 -1,5-2 x/d = 1, 54 x/d = 2, 2-2, ,2,1 w /Uc -,1 -,2 -,3 -,4 x/d = 3, x/d = 4, x/d = 5, -, ,2 x/d = 6, w /Uc -,2 -,4 -,6 -,8 -,1 x/d = 7, x/d = 1, -, Fig. B.19 Profils verticaux de la composante verticale de la vitesse moyenne. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.18)

163 163 u u /U 2 c,3,2,1 x/d = 1, 6 -,1 -,2 -,3 x/d = 1, 54 -,4 -,5 -,6 x/d = 2, 2 -, ,15,1 u u /U 2 c,5 -,5 x/d = 3, x/d = 4, x/d = 5, u u /U 2 c -, ,8,6,4 x/d = 6,,2 -,2 x/d = 7, -,4 -,6 x/d = 1, -,8 -, Fig. B.2 Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.18)

164 164 Grandeurs turbulentes pour le sillage à Reynolds Re = 39,2 x/d = 1, 6 w w /U 2 c -,2 -,4 -,6 x/d = 1, 54 -,8 x/d = 2, ,4,3,2 w w /U 2 c,1 -,1 -,2 -,3 x/d = 3, x/d = 4, x/d = 5, -, ,3,2 w w /U 2 c,1 -,1 -,2 x/d = 6, x/d = 7, x/d = 1, -, Fig. B.21 Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.18)

165 165 v v /U 2 c,1,5 x/d = 1, 6 -,5 -,1 -,15 x/d = 1, 54 -,2 -,25 -,3 -,35 x/d = 2, 2 -, ,5 x/d = 3, v v /U 2 c -,5 -,1 x/d = 4, -,15 x/d = 5, -, ,4,2 x/d = 6, v v /U 2 c -,2 -,4 -,6 -,8 x/d = 7, x/d = 1, -, Fig. B.22 Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.18)

166 166 Grandeurs turbulentes pour le sillage à Reynolds Re = 39

167 Annexe C Grandeurs turbulentes. Comparaison SGE - Expérience de Heitz On trouve dans cette annexe des échantillons des grandeurs statistiques ( u et u u ) calculées à partir de la simulation aux grandes échelles. Elles sont présentées dans le plan y z et pour diffférentes positions longitudinales. 167

168 168 Grandeurs turbulentes. Comparaison SGE - Expérience de Heitz U U 2 U x x cyl = 1, 5 U U 2 U x x cyl = 1, y/d y/d U U 2 U x x cyl = 2, 5 U u 2 U x x cyl = 2, y/d y/d U U 2 U y/d x x cyl = 3, U u 2 U x x cyl = 3, y/d Fig. C.1 Evolution longitudinale de la vitesse moyenne pour 1, 5 x 3, 5. A gauche données numériques, à droite données de Heitz [26].

169 u U x x cyl = 1, 5 u U x x cyl = 1, y/d y/d u U x x cyl = 2, 5 u U x x cyl = 2, y/d y/d u U x x cyl = 3, 5 u U x x cyl = 3, y/d y/d Fig. C.2 Evolution longitudinale de la fluctuation de la vitesse pour 1, 5 x 3, 5. A gauche données numériques, à droite données de Heitz [26].

170 17 Grandeurs turbulentes. Comparaison SGE - Expérience de Heitz

171 Annexe D Article Combination of the immersed boundary method with compact schemes for DNS of flows in complex geometry Acte de congrès du cinquième Workshop Direct and Large-Eddy Simulation, Munich Août 23, Editeurs : R. Friedrich, B.J. Geurts et O. Métais. Publié par KLUWER ACADEMIC. 171

172 172 Article COMBINATION OF THE IMMERSED BOUNDARY METHOD WITH COMPACT SCHEMES FOR DNS OF FLOWS IN COMPLEX GEOMETRY Philippe Parnaudeau, Eric Lamballais, Dominique Heitz, Jorge H. Silvestrini Laboratoire d Etudes Aérodynamiques UMR 669, Université de Poitiers, ENSMA, CNRS Téléport 2 - Bd. Marie et Pierre Curie B.P Futuroscope Chasseneuil Cedex, France Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica, Faculdade de Engenharia, Pontificia Universidade Catolica do Rio Grande do Sul Av. Ipiranga 6681, Porto Alegre - RS, Brasil Cemagref, UR TERE, 17, avenue de Cucille, CS Rennes F-3544 France Abstract We present a direct forcing method better suited for the use of compact finite difference schemes in Direct Numerical Simulation. The new forcing creates inside the body an artificial flow preserving the no-slip condition at the surface but reducing the step-like change of the velocity derivatives across the immersed boundary. This modification is shown to improve results both qualitatively and quantitatively for conventional and complex flow geometries. 1. CONTEXT OF THE STUDY Despite the continual progress of computers, direct and large eddy simulation of turbulent flows in complex geometries remains a difficult task. For each flow configuration, a compromise must be specifically determined in order to correctly describe the physics of the flow for a reasonable computational cost (speed, memory requirement, code complexity). The choice of the computational grid is well known to be crucial for the determination of this compromise. In order to take accurately small details of the geometry into account, the most popular method is to generate a sophisticated grid following the body geometry, despite the fact that such grids are frequently strongly distorted, resulting in a degradation of the numerical accuracy associated with a significant increase of the global computational cost.

173 2 173 An alternative method to avoid the drawbacks of the body fitted approach consists in extending capabilities of codes based on simplified grids via the use of the immersed boundary method. The basic idea of this technique is to mimic the effect of a solid surface on the fluid through a forcing applied in the body region. This operation is performed by additional terms introduced in Navier-Stokes equations. Various formulations are proposed in the literature with various names like virtual boundary method, fictitious domain method or penalization method. Short review of immersed boundary methods. Here, we use the generic term immersed boundary method introduced by [9] where this idea was employed to consider the full interaction between elastic solids and the fluid. For more simplified situations where the motion of solid surfaces is a known of the problem, three types of forcing can be distinguished: (i) feedback forcing [4], (ii) algebraic forcing [2], (iii) direct forcing [13, 3]. The feedback forcing is based on an artificial term that can freeze efficiently the fluid in the body region through a damping oscillation process. The algebraic forcing is a simplified form of the feedback one where the time integral term is suppressed. With this simplification, it is possible to establish a physical analogy where the forcing can model realistically a porous medium, the limit case of a zero porosity corresponding to the modelling of a solid obstacle 1. Unfortunately, feedback and algebraic forcings have a common drawback related to their numerical stability properties. Schematically, both methods lead to a severe additional restriction on the time step to maintain very low residual velocities in locations where no-slip conditions are expected. In order to avoid this limitation (often very expensive in terms of computational cost), the use of the direct forcing technique is very attractive. In this third method, which introduces no additional numerical stability restriction, the boundary condition is ensured in a quite straightforward way by prescribing directly the velocity in forcing region at each step of the time integration. Finally, note that it can be easily shown [7] that feedback and algebraic methods can behave asymptotically (for a vanishing porosity ) like a forcing method when their common modelling term is time integrated with a forward (implicit) Euler scheme. Goals of the present study. In this paper, we are interested in the strategy where the direct forcing is combined with centred finite difference schemes of high accuracy. Such a combination is a priori problematic due to the dis- 1 This physical analogy can be exploited advantageously in order to interpret the meaning of the residual flow inside the modelled body (establishment of a d Arcy law where velocity and pressure gradient are proportional) and to make easier the computation of the associated drag and lift [11]. Another advantage of this second forcing is related to its algebraic nature that offers the possibility to study theoretically its asymptotic convergence towards the case of a purely solid wall [1, 5].

174 & ) 174 Article Immersed boundary method with compact schemes for DNS in complex geometry 3 continuities of the velocity derivatives created by the forcing. More precisely, the sudden application of the forcing inside the virtual boundary guarantees only the continuity of the solution whatever the spatial resolution is. The numerical code used for this study solves the incompressible Navier-Stokes equations discretized on a Cartesian collocated grid with the aid of th order compact schemes. Despite their very favourable accuracy properties, these finite difference schemes are a priori not well suited for the numerical treatment of a discontinuity, even if the jump condition concerns only the first derivative. This problem is related to the quasi-spectral behaviour of compact schemes that leads to spurious oscillations in a similar way as spectral methods in presence of discontinuities (Gibbs phenomenon). In preliminary calculations based on the same numerical code as here, [7] reported that the creation of spurious oscillations in the neighbourhood of the obstacle was increased when a direct forcing was used instead of a feedback one. Since this problem was not mentioned in previous studies based on second order accurate codes [13, 3, 1], it was concluded by [7] that the spurious oscillations were a consequence of the spectral-like nature of the spatial discretization. In this work, we propose a direct forcing method better suited for compact schemes. Basically, the idea is to create inside the body a flow preserving the no-slip condition at the surface but reducing the step-like change of the first derivative of velocities across the immersed boundary. This modification is shown to improve results both qualitatively and quantitatively. 2. FORMALISM Schematically, the direct method consists in the application of the velocity condition in the forcing region. The target velocity field is a priori a known of the problem, at least at the locations where boundary conditions are expected. The discrete integration of the incompressible Navier-Stokes equations with a Adams-Bashforth scheme gives % ) "!# $ &('! &(' +*,!.-/ (1) with ' 7!98;:< 25= >? ACBEDGFIH B D 1KJ (2) where 1 ML,NPO 2 RQS 3N is the modified pressure (L and O are the pressure and the constant density respectively) while 8 is the vorticity field. The direct forcing term takes simply the expression % ) 6 UTWV! &(' 2 &' +*,2 -/ 1 Y@!Z (3) [

175 D 7 4 with in the body region and everywhere else. Note that for simplicity, we consider only a motionless body surface (no time dependence of the mask function ). In this case, the simplest method to ensure no-slip conditions is to use a zero target velocity field, namely. As already discussed in the preceding section, this simplified forcing generates discontinuities on the first derivative of velocities that are problematic when spectral or spectral-like schemes are used. In order to avoid this difficulty, the approach proposed in this study consists in estimating a target velocity field that allows the no-slip condition at the boundary while reducing the presence of discontinuities. In order to do this, a first possibility is to estimate as the reverse to the flow immediately outside the body. For instance, for a circular cylinder of diameter, a quite natural choice for the target velocity is where! are cylindrical coordinates associated to the circular body geometry. This type of forcing has already been tested by previous authors [13, 3] but only for the prescription of the inner velocities at the closest grid points to the body surface. In the present context of compact schemes, such a selective action would not be efficient enough due to the nonlocal character of the derivative estimation. Then, we define a target velocity in the full body domain as where the modulation function " # %$ &' ( )*# (4) $ &+ -,./ :9 ;7< (5) is adjusted to ensure the regularity of inner velocities and to avoid the singularity at = >. Naturally, other choices of $ & are possible provided that the three following conditions are verified (i) $ 92?@ : accurate reverse condition near the body surface, (ii) $ &A : singularity cancellation and (iii) B $ &B with moderate first and second derivatives for =BC B 92. For instance, $ E & GFIH, 32546J9KML is another suitable modulation function. Here, we choose the expression (5) because it cancels slightly more rapidly the target velocity when ON, but it should be recognized that this choice is a partly arbitrary. Another point is that it is possible to apply the reverse condition only to the tangential component of the velocity, the normal component being simply cancelled. Such a forcing leads to concentric streamlines inside the cylinder. Note this cancellation of the normal velocity inside the body does not create additional discontinuities due to the incompressibility condition at the boundary that guaranties a zero normal derivative for this velocity component. In preliminary calculations (not presented here), we observed that both treatments of the internal normal velocity (reverse condition or cancellation) lead to equivalent results. In the data presented in the following, the normal inner velocity was 175

176 176 Article Immersed boundary method with compact schemes for DNS in complex geometry 5 maintained to zero except for the case of the tapered cylinder where the reverse condition was directly applied at the vectorial level. In complex geometry, the reverse condition is easier to implement because no projection of the velocity vectors is necessary in order to distinguish normal and tangential components. Naturally, the estimation of the target velocity using (4) on a Cartesian grid needs to perform interpolations. Here, we only use a multilinear interpolation to prescribe the internal flow from the knowledge of the external one. Despite the second order accuracy of such a procedure (which is significantly lower than to the formal accuracy of the numerical code itself), it will be shown in the following that important benefits can be obtained from the use of th order compact schemes. An important point is that the target velocity field is not a priori divergence free. For this reason, the verification of the incompressible condition must be discarded inside the body by allowing a mass source/sink in region where. Following the approaches proposed by [13, 6], a first possibility is to impose. Here, we use a slightly modified condition that was found to reduce more efficiently oscillations in the vicinity of the obstacle. In the framework of the fractional step method, several adjustments are necessary in order to eliminate the various couplings introduced by the forcing method. In this context, a three step advancement yields "#%$ #%$ &' ( *)! + -,. / (6) 12! 2 3! *) + 4 *) + (7) (8) with the associated forcing term./ 65 7"# $, # $ &', *) +, : 8 92 %! (9) where the target velocity is estimated by <;>=?3@A?CBA?D EGF ;H= D ;JI =?3@A?CBA?D (1) In first analysis, it can be expected that the splitting error introduced by the use of /. in (6) and in (1) instead of /. and respectively is only KCL without any consequence on the final order of the time advancement. The last step is to derive a Poisson equation compatible with the condition M. Here, we propose to use the approximation

177 $ 5 $ case without internal flow case with internal flow (a) Velocity field plots (b) Vorticity plots (c) Velocity profiles Figure 1. Comparison between two direct forcing methods with and without internal flow at!#"%$'&)( (65. The computational domain *,+-./+-21 * is discretized on :; =<>:;?6@ 7A<>3)79B grid points and the numerical code is based on CEDGF compact schemes. HJILK/MONQPRTSVU6WYXZH[IO\]M^NQ O` that leads to the pressure equation HJIaHZb c RTSVU X HJIOd,\fehg'Mi`NQ_8_kj lnm (11) where the conventional Poisson equation is recovered for M>Xpo whereas inside the body, the condition MqX e yields the Laplace equation. Note that other variations on the method are possible, especially concerning the correction step (8) that can be conditioned by M as in [13] where the pressure cells are explicitly masked (in this case, a two step splitting is only necessary). In this work, the correction by pressure gradients is performed everywhere in the computational domain via a fractional method in three steps. 3. RESULTS Steady 2D wake at rtsvu w-x. The benefit of the use of a non-zero target velocity is shown in figure 1 where a constant flow around a 2D cylinder is considered. Two cases are compared depending on the target velocity treatment that can be zero (no internal flow) or given by (4) for the tangential component. The comparison between both forcing methods shows clearly the improvement offered by the use of a reverse flow inside the body. First, the examination of the longitudinal velocity profiles (1c view) obtained in each case shows clearly the more realistic near-body behaviour of the velocity when the first derivative discontinuity is avoided. The improvement of the near-body data is confirmed by the examination of vorticity isocontours (1b view). Note in particular the reduction of spurious vorticity when a reverse flow is imposed

178 f 178 Article Immersed boundary method with compact schemes for DNS in complex geometry 7 Table 1. Comparison of statistical results obtained from various combinations between the forcing method and the numerical code accuracy. All DNS are performed using a computational domain discretized on "!#!# $&%' (!#)+*,!-./' grid points. Data of DNS II are from [7]. The streamwise location of the cylinder is DNS I II III IV II Forcing method direct direct direct direct feedback Internal flow yes no yes no no Scheme accuracy : 6;9: 6798 Strouhal number MaxACB D inside the cylinder. Quantitatively, by comparison to previous [14] or highly resolved results, we observe that the characteristic length scales of the flow are predicted more accurately when using the new forcing with the present spatial resolution. For instance, we verified that this new method allows a satisfactory prediction of the length of the wake bubble that is HJILKNMOQPSRUT (VWRXOYR2PST ), in good agreement with [14] who found H I K MOQM2Z[T. In contrast, the use of a zero target velocity field leads to an overestimation of 1%, i.e., H I K\MOQ]SR9T (VWR^O_R9PST ). Finally, note that we have verified that both forcing methods allow the convergence towards the correct length of the wake bubble while reducing considerably the spurious vorticity in the neighbourhood of the cylinder. Unsteady 3D wake at `badc ef f. In this section, we compare four DNS combining three different forcing methods with two numerical codes based on gih,j or gih=k (compact) centred finite difference schemes (see table 1 and its caption for more details about the simulation parameters). Concerning the length scale selection, similar trends as for lnmokqp2r are recovered for this unsteady case at higher Reynolds number. The formation length Hr / (deduced from the streamwise location where the Reynolds stress lts.s reaches its maximum) is better predicted using the forcing (4) whereas the use of u7vwk leads to a typical 1% overestimation, in agreement with previous observations of [7] based on DNS using the feedback forcing method. Compared to reference values, an improvement of the Strouhal number prediction is also obtained. However, the comparison between DNS III and IV shows that these improvements are not obtained when gih j schemes are used, this insensitivity to the forcing method (with or without internal flow) being consistent with the previous observations of [3]. Present conclusions can be confirmed by the examination of xzy s { and l s.s profiles presented in figure 2 for each case. The improvement offered by the use of gih k compact schemes is clearly shown,

179 Figure 2. Profiles of longitudinal velocity statistics at different streamwise locations "! #$ &% #'! "()#*! "% #'+)"(. : DNS I;,-,,,,, : DNS II; : DNS III;.. : DNS IV;. : reference data obtained by spectral DNS based on a cylindrical grid [8]. Figure 3. Isosurfaces of vorticity modulus /1 &%32. Left: DNS I, right: DNS III. especially when the forcing with internal flow is applied (DNS I). Conversely, the overestimation of the longitudinal velocity fluctuations obtained for both DNS III and IV emphasizes the interest of the use of highly accurate schemes, even if the formal accuracy is significantly lower due to the forcing method itself. Note that this present overestimation is in agreement with the results of [1] who used also a numerical code based on schemes. Physically, at marginal resolution, the combination of schemes with a direct forcing method seems to inhibit the 3D motions near the cylinder. This phenomenon can be shown not only by statistical results but also through instantaneous visualizations. For instance, figure 3 presents a comparison between isosurfaces of vorticity modulus obtained from DNS I and III. The artificial inhibition of 3D motions in DNS III is clearly confirmed, especially through the lack of longitudinal vortices (stretched between the Karman structures) compared to results from DNS I. Unsteady 3D wakes in complex geometry. In this section, two specific wake configurations are compared (see the caption of figure 4 for details about simulation parameters). The case A corresponds to a flow of constant velocity : ; :=< over a tapered cylinder with a diameter >@? ACB ranging from

180 F : E E E F : _ F C E E 18 Article Immersed boundary method with compact schemes for DNS in complex geometry 9 U=U c D 2 U 2 D=D c Ly L y D c L U y c Ly D 1 Case A U 1 Case B Figure 4. Comparison of instantaneous vorticity visualizations. The computational domain 12! " #%$&(') *$(+,*-/ ' is discretized on grid points with and 3. Data of Case B are from [12] who used a feedback forcing method. 7981: 7<;=?> to 7A@B: CD79;=?> 86F. The case B consists in a shear flow 8K: ;=D> (E E<GIH J with E and E ) over a cylinder of constant diameter 7 :N7 ;. For each case, 7 :PORQTSUD=?> GIH J or E<GIH J vary linearly from :VQ!SUW=?> ; H : ; 7 ; =?[ to H (see figure 4) and the common Reynolds number XZY is 2. Hence, both flow configurations 7\=?[ cover an equivalent range of local Reynolds number XZY with ]-^W^ XKY ^W^. Moreover, in both cases, a local adjustment of the vortex shedding frequency _ on the local diameter 7 G`HJ or velocity E<GIH J can be expected by limiting (in first analysis) 7\= the deviation of the local Strouhal number a#b from its value for a conventional wake. Note that such a local selection leads to high frequencies in the low XZY region for case A and the opposite situation for case B. Naturally, this selection cannot be purely local due to the preservation of the coherence of the flow motion in H -direction. The vortical organization obtained for each case is presented in figure 4. Despite the similarities between these two flow configurations, the local mechanisms of vortex shedding lead to the formation of well marked cells in case A whereas in case B, the main effects are linked to the selection of oblique structures (note however that a cellular pattern of vortex shedding can also be identified for case B by means of a frequency analysis [12]). The occurrence of dislocations (phase breaking, tearing of vortices) can be observed in both cases, but these phenomena are found to be more frequent

181 1 181 for case A. A quantitative comparison between these two flows (frequency analysis, mean and fluctuating motions) is currently in progress. Acknowledgments Calculations were carried out at the IDRIS. This study was partially supported by the Région Poitou-Charentes and the CNRS. References [1] P. Angot, C.-H. Bruneau, and P. Fabrie. A penalization method to take into account obstacles in incompressible viscous flows. Numer. Math., 81:497 52, [2] E. Arquis and J. P. Caltagirone. Sur les conditions hydrodynamiques au voisinage d une interface milieu fluide-milieu poreux : application à la convection naturelle. C. R. Acad. Sci., 299(1):1 4, S«erie II. [3] E. A. Fadlun, R. Verzico, P. Orlandi, and J. Mohd-Yusof. Combined immersed-boundary finite-difference methods for three-dimensional complex flow simulations. J. Comp. Phys., 161:35 6, 2. [4] D. Goldstein, R. Handler, and L. Sirovich. Modeling a no-slip boundary condition with an external force field. J. Comp. Phys., 15: , [5] N. K.-R. Kevlahan and J.-M. Ghidaglia. Computation of turbulent flow past an array of cylinders using a spectral method with brinkman penalization. Eur. J. Mech. B/Fluids, 2:333 35, 21. [6] J. Kim, D. Kim, and H. Choi. An immersed-boundary finite-volume method for simulations of flow in complex geometries. J. Comp. Phys., 171:132 15, 21. [7] E. Lamballais and J. Silvestrini. Direct numerical simulation of interactions between a mixing layer and a wake around a cylinder. J. Turbulence, 3:28, 22. [8] R. Mittal and S. Balachandar. On the inclusion of three-dimensional effects in simulations of two-dimensional bluff-body wake flows. In Proc. of ASME Fluids engineering division summer meeting, Vancouver, British Columbia, Canada, [9] C. S. Peskin. Flow patterns around heart valves: a numerical method. J. Comp. Phys., 1: , [1] U. Piomelli and E. Balaras. Numerical simulations using the immersed boundary technique. In Proc. third AFSOR International Conference on Direct and Large-Eddy Simulations, Arlington, Texas, USA, 22. [11] K. Schneider and M. Farge. Adaptative wavelet simulation of a flow around an impulsively started cylinder using penalisation. Appl. Comput. Harmon. Anal., 12:374 38, 22. [12] J. Silvestrini and E. Lamballais. Direct numerical simulation of oblique vortex shedding from a cylinder in shear flow. In Proc. 3 International Symposium on Turbulence and Shear Flow Phenomena, Sendai, Japan, 23. [13] F. Tremblay, M. Manhart, and R. Friedrich. DNS of flow around a circular cylinder at a subcritical reynolds number with cartesian grid. In Proc. of the 8th European Turbulence Conference, EUROMECH, Barcelona, Spain, 2. [14] T. Ye, R. Mittal, H. S. Udaykumar, and W. Shyy. An accurate cartesian grid method for viscous incompressible flow with complex immersed boundaries. J. Comp. Phys., 156:29 24, 1999.