THESE. pour l obtention du Grade de

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1 THESE pour l obtention du Grade de DOCTEUR DE L UNIVERSITE DE POITIERS (Faculté des Sciences Fondamentales et Appliquées) (Diplôme National - Arrêté du 25 avril 22) Ecole Doctorale : Sciences Pour l Ingénieur Secteur de Recherche : Mécanique des Milieux Fluides Présentée par : Philippe Parnaudeau Etude numérique d un écoulement cisaillé turbulent complexe à basse vitesse : Application à la protection rapprochée Directeurs de thèse : Jean-Paul BONNET - Dominique HEITZ - Eric LAMBALLAIS Soutenue le 14 décembre 24 devant la Commission d Examen - JURY - C. BRUN Maître de Conférence, Polytech Orléans Examinateur J.P BONNET Directeur de Recherche, CNRS Poitiers Examinateur F. DUCROS Ingénieur, Directeur de laboratoire au CEA Grenoble Rapporteur D. HEITZ Chargé de Recherche, Cemagref Rennes Examinateur E. LAMBALLAIS Professeur, Université de Poitiers Examinateur M. NAAIM Directeur de Recherche, Cemagref Grenoble Rapporteur

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3 A ma femme, Miia, A mon fils, Nicolas, qui par ses rires a su me faire relativiser bien des choses, A mes parents, A tous mes proches. 3

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5 5 Avant-propos La présente étude a été réalisée au LEA 1 de Poitiers et à l unité de recherches TERE 2 du Cemagref de Rennes, sous la direction conjointe de J.-P. Bonnet, Directeur de Recherche au CNRS, Eric Lamballais, Professeur à l université de Poitiers, Dominique Heitz, Chargé de Recherche au Cemagref de Rennes et le soutien financier de la région Poitou-Charentes. Je tiens à remercier J.-P. Bonnet d avoir accepté la direction de cette thèse et de m avoir accueilli au sein du LEA. Je le remercie également pour la qualité de ses conseils. Je remercie très vivement E. Lamballais, co-directeur de cette étude, pour l ensemble des connaissances qu il a su me communiquer, pour sa disponibilité et ses conseils. Plus particulièrement, je le remercie pour ses qualités humaines et sa patience. Je remercie également D. Heitz, co-directeur de ce travail, pour ses précieux conseils. Je le remercie également pour sa disponibilité et sa bonne humeur qui ont su me remonter le moral à des périodes délicates d une thèse. J exprime ma profonde gratitude envers Messieurs F. Ducros, Directeur de Laboratoire au CEA, et M. Naaim, Directeur de Recherche au Cemagref, pour m avoir fait l honneur d accepter de porter un jugement sur mon travail en qualité de rapporteur. Ma reconnaissance s adresse également à A. Davenel, responsable de l unité TERE, pour avoir par son regard extérieur à la discipline, su apporter un éclairage nouveau sur ce travail. Que G. Arroyo, responsable de l équipe AEROBIO, soit également remercié pour sa disponibilité et ses qualités humaines. Je tiens à remercier Yohan Carlier, Ingénieur de Recherche au Cemagref, pour ses conseils et en général pour l ensemble des bons moments que nous avons passés ensemble. Mon travail de thèse n aurait pas été possible sans l ensemble des administrateurs réseaux que sont F. Boissonneau pour le LEA, A. Omar et V. Louveau pour le Cemagref. Qu ils soient par ces quelques lignes remerciés pour l ensemble du travail qu ils réalisent. Je remercie sincèrement C. Ecale, M.-C Marçais et Y. Petit Pierre de m avoir souvent soulagé de démarches administratives. Je remercie de façon générale l ensemble du personnel du LEA et du Cemagref. Enfin, je remercie l ensemble des thésards du LEA et du Cemagref avec qui j ai partagé beaucoup de bons moments. 1 Laboratoire d Etude Aérodynamique 2 Technologie des Equipements Agro-Alimentaires

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7 Imagination is more important than knowledge Albert Einstein 7

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9 Table des matières 1 Introduction 23 2 Méthodes numériques et configurations des écoulements Les équations du mouvement Conditions limites Discrétisation spatiale Généralités Formulation matricielle des schémas compacts Intégration temporelle Résolution de l équation de Poisson Simulation aux Grandes Echelles Séparation d échelles : opération de filtrage Modèle sous-maille : Fonction structure d ordre 2 de la vitesse Critères d identification tourbillonnaire Ecoulement principal : sillage Topologie de l écoulement Les différents régimes du sillage Ecoulement secondaire : couche de mélange plane Interaction d une couche de mélange plane-sillage Méthode de modélisation d un obstacle par une force Revue bibliographique Concepts communs Méthode des Frontières Immergées Méthode de Pénalisation Méthode des Frontières Virtuelles Méthode de Forçage Direct Liens entre les différentes méthodes Prise en compte de la géométrie par le forçage volumique Amélioration de la méthode de Forçage Direct Validation par la Simulation Numérique Directe Sillage stationnaire à Re = Sillage instationnaire à Reynolds Re = Sillages instationnaires sur des géométries complexes Synthèse et conclusion

10 1 TABLE DES MATIÈRES 4 Ecoulement autour d un cylindre à Reynolds Re = Paramètres des simulations Paramètres généraux Configurations étudiées Visualisations des champs instantanés Etude statistique Comparaison LESI avec résultats issus de la littérature Influence de la résolution du maillage suivant les axes x et z Influence de la résolution du maillage suivant l axe y Influence de la longueur transversale Lz Influence de l ordre des schémas de discrétisations spatiales Synthèse Conclusion Application exploratoire d une couche de mélange en interaction avec un sillage Paramètres de la simulation Visualisation de champs instantanés Etude statistique Evolution du nombre de Strouhal suivant l envergure du cylindre Evolution de la longueur de formation suivant l envergure du cylindre Synthèse, conclusion et perspectives Conclusions et perspectives 127 A Grandeurs turbulentes pour le sillage à Reynolds B Grandeurs turbulentes pour le sillage à Reynolds Re = C Grandeurs turbulentes. Comparaison SGE - Expérience de Heitz 167 D Article 171

11 Liste des tableaux 3.1 Tableau comparatif de l influence des termes α et β sur la valeur du résidu et sur le pas de temps t Longueur de recirculation pour Reynolds Re = Paramètres des simulations. ξ représente indifféremment x, y ou z. (*) [35] Comparaison des valeurs maximales des composantes du tenseur de Reynolds, des longueurs de formations associées. Avec Kravchenko et al. [3], Mittal et Balachandar [44] et Noca et al.[48] Paramètres des simulations. ξ représente indifféremment x, y ou z Paramètres du champ moyen. Comparaison LESI avec données de la littérature Paramètres du champ moyen de l écoulement. Comparaison LESI, LESII et données de la littérature Paramètres du champ moyen de l écoulement. Comparaison LESIII, LESII et données de la littérature Paramètres du champ moyen de l écoulement. Comparaison LESIV, LESII et données de la littérature Paramètres du champ moyen de l écoulement. Comparaison LESV, LESII et données de la littérature Tableau comparatif de l écoulement moyen. Comparatif général Paramètres de la Simulation aux Grandes Echelles comparés à l expérience de Heitz [26]

12 12 LISTE DES TABLEAUX

13 Table des figures 1.1 Principe du Flux Progressif. Dessin d après Process Magazine, Oct Modélisation par une couche de mélange en interaction avec un cylindre, de l effraction par un opérateur dans le Flux Progressif Illustration des deux types de conditions aux limites rencontrées dans le cas du glissement libre Représentation symbolique de l opération de filtrage. A gauche spectre d énergie cinétique turbulent dans l espace spectral. A droite signal de l énergie cinétique turbulent dans l espace physique Profil moyen de vitesse longitudinale pour le cas d une couche limite turbulente et canonique Zone de l écoulement de sillage uniforme. Inspiré de Zdravkovich [73] Allée de Bénard-Von Kármán en aval d un cylindre Sillage périodique laminaire : (a) Re = 54, (b) Re = 65, (c) Re = 12. Cliché de Homann, répertorié par Zdravkovich [73] Relation entre les nombres de Strouhal et de Reynolds à travers le régime laminaire et de transition. Le régime de transition est caractérisé par deux types de discontinuité. Figure numérisée sur la publication de Williamson [71] Exemple d une instabilité de Kelvin-Helmholtz dans la nature Profil de vitesse moyenne de la couche de mélange plane et épaisseur de vorticité en entrée δ ωi Vue schématique de deux types de domaines solides Ω 1 et Ω 2 au sein d un milieu fluide Ω f, le tout considéré dans le domaine de calcul Ω = Ω f Ω 1 Ω Vue schématique de l approche mixte Eulérienne/Lagrangienne. La résolution des équations de Navier-Stokes s effectue de façon Eulérienne sur la grille fixe (Ω f ), tandis que le suivi de la frontière ( Ω 1f ) est de nature Lagrangienne Illustration des phénomènes d oscillations numériques autour d un obstacle Distribution de la force volumique sur les points adjacents de la frontière par une Gaussienne dans un cas 1D Méthodes d interpolation utilisées pour appliquer le forçage Méthode d écoulement inverse pour appliquer le forçage Représentation de l erreur d estimation du gradient de vitesse à la paroi : (a) sans aucune correction, (b) avec une correction par une gaussienne, (c) avec une interpolation sur le point adjacent à l extérieur de l obstacle, (d) avec écoulement miroir. ( ) Valeur exacte du gradient de vitesse et ( ) valeur approchée

14 14 TABLE DES FIGURES 3.8 Illustration des trois possibilités d écoulement miroir. Avec u tang : composante tangentielle de la vitesse et u norm : composante normale. (a) Les deux composantes sont inversées. (b) La composante tangentielle est inversée, la composante normale est annulée. (c) La composante tangentielle est inversée, la composante normale est conservée Vue schématique du domaine de calcul Profil vertical de la vitesse longitudinale u x au centre du cylindre (x cyl = 5D, y). : SEM, : AEM En haut : Champ de vitesse ; En bas : Champ de vorticité des deux simulations. A gauche AEM, à droite SEM Vue schématique du domaine de calcul Iso-surface de la norme de la vorticité ω n = 1, 5U/D. Vue de perspective. A gauche DNSI, à droite DNSII Iso-surface de la norme de la vorticité ω n = 1, 5U/D. Vue dans le plan x y. A gauche DNSI, à droite DNSIII A gauche : Profil vertical de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. A droite : Profil vertical des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. A différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas. Symboles : : DNSI, : DNSII, Simulation spectrale de Mittal et Balachandar [44] A gauche : Profil vertical de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. A droite : Profil vertical des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. A différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas. Symboles : : DNSIII, : DNSIV, Simulation spectrale de Mittal et Balachandar [44] A gauche : Profil vertical de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. A droite : Profil vertical des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. A différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas. Symboles : : DNSI, : DNSIII, Simulation spectrale de Mittal et Balachandar [44] Profils verticaux de la fluctuation de la composante verticale de la vitesse à différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas. Symboles : : DNSI, : DNSIII, Simulation spectrale de Mittal et Balachandar [44] Comparaison de la norme de la vorticité. A Gauche : Ecoulement cisaillé sur un barreau cylindrique. A Droite : Ecoulement constant sur un barreau fuselé Vue schématique du domaine de calcul Iso surface de la norme de la vorticité ω n = 6U c /D du cas de référence LESI. Avec de haut en bas : vue dans le plan x z et vue dans le plan x y Iso surface du critère Q = 6U 2 c /D2. A gauche vue dans le plan x z. A droite vue dans le plan x y. Avec de haut en bas : LESI, LESII, LESIII, LESIV et LESV Lignes de courant du champ de vitesse moyenne. LESI

15 TABLE DES FIGURES Composante longitudinale de la vitesse moyenne sur la ligne centrale du cylindre. Symboles : : LESI, + : DNS de Tremblay, LES Kravchenko et Moin [31], Lourenco et Shih [2] Profils verticaux de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESI, + : DNS de Tremblay, LES Kravchenko et Moin [31], Lourenco et Shih [2] Profils verticaux de la composante verticale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESI, + : DNS de Tremblay, LES Kravchenko et Moin [31], Lourenco et Shih [2] Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. Symboles : : LESI, + : DNS de Tremblay, LES Kravchenko et Moin [31], Lourenco et Shih [2] Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Symboles : : LESI, + : DNS de Tremblay, Lourenco et Shih [2] Lignes de courant du champ de vitesse moyenne. Avec à gauche LESII et à droite LESI Composante longitudinale de la vitesse moyenne sur la ligne centrale du cylindre. Symboles : : LESI, : LESII, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67], Lourenco et Shih [2] Profils verticaux de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESI, : LESII, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67] Profils verticaux de la composante verticale de la vitesse moyenne.symboles : : LESI, : LESII, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67] Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse.symboles : : LESI, : LESII, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67] Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse.symboles : : LESI, : LESII,, + Tremblay [67] Lignes de courant du champ de vitesse moyenne. Avec en gauche LESII et à droite LESIII Composante longitudinale de la vitesse moyenne sur la ligne centrale du cylindre. Symboles : : LESII, : LESIII, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67], Lourenco et Shih [2] Profils verticaux de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESII, : LESIII, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67] Profils verticaux de la composante verticale moyenne de la vitesse. Symboles : : LESII, : LESIII, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67] Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. Symboles : : LESII, : LESIII, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67] Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Symboles : : LESII, : LESIII, + Tremblay [67] Lignes de courant du champ de vitesse moyenne. Avec à gauche LESII et à droite LESIV Composante longitudinale de la vitesse moyenne sur la ligne centrale du cylindre. Symboles : : LESII, : LESIV, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67], Lourenco et Shih [2]

16 16 TABLE DES FIGURES 4.24 Profils verticaux de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESII, : LESIV, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67] Profils verticaux de la composante verticale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESII, : LESIV, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67] Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. Symboles : : LESII, : LESIV, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67] Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Symboles : : LESII, : LESIV, + Tremblay [67] Profils verticaux des fluctuations de la composante transversale de la vitesse. Symboles : : LESII, : LESIV, + Tremblay [67] Lignes de courant du champ de vitesse moyenne. Avec à gauche LESII et à droite LESV Composante longitudinale de la vitesse moyenne sur la ligne centrale du cylindre. Symboles : : LESII, : LESV, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67], Lourenco et Shih [2] Profils verticaux de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESII, : LESV, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67] Profils verticaux de la composante verticale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESII, : LESV, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67] Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. Symboles : : LESII, : LESV, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67] Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Symboles : : LESII, : LESV, + Tremblay [67] Profils verticaux des fluctuations de la composante transversale de la vitesse. Symboles : : LESII, : LESV, + Tremblay [67] A gauche : isocontours de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. u /U c =, 2;...; 1, 4 avec 17 valeurs. A droite : isocontours RMS des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. u u /U c = ;...;, 7 avec 29 valeurs. Avec de haut en bas : LESI, LESI, LESIII, LESIV et LESV A gauche : isocontours RMS des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. w w /U c = ;...; 1 avec 21 valeurs. A droite : isocontours RMS des fluctuations de la composante transversale de la vitesse. v v /U c = ;...;, 4 avec 21 valeurs. Avec de haut en bas : LESI, LESI, LESIII, LESIV et LESV Composante longitudinale de la vitesse moyenne sur la ligne centrale du cylindre. Symboles : : LESI, : LESII, : LESIII, : LESIV, : LESV, :Kravchenko et Moin [31], + DNS de Tremblay, Lourenco et Shih [2] Profils verticaux de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESI, : LESII, : LESIII, : LESIV, : LESV, :Kravchenko et Moin [31], + DNS de Tremblay, Lourenco et Shih [2] Profils verticaux de la composante verticale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESI, : LESII, : LESIII, : LESIV, : LESV, :Kravchenko et Moin [31], + DNS de Tremblay, Lourenco et Shih [2]

17 TABLE DES FIGURES Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. Symboles : : LESI, : LESII, : LESIII, : LESIV, : LESV, :Kravchenko et Moin [31], + DNS de Tremblay, Lourenco et Shih [2] Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Symboles : : LESI, : LESII, : LESIII, : LESIV, : LESV, :Kravchenko et Moin [31], + DNS de Tremblay, Lourenco et Shih [2] Spectres temporels de la composante verticale de la vitesse sur la ligne centrale du cylindre en y/d =. (a) : Loi puissance 5/3, (b) : LESI, (c) : LESII et (d) : LESV. A gauche en x = 4D, et à droite x = 13D Composante longitudinale de la vitesse moyenne sur la ligne centrale du cylindre. Symboles : : LESI, : Kravchenko et Moin [31], : Lourenco et Shih [2], : expérience de Carlier Profils verticaux de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESI, : Kravchenko et Moin [31], : Lourenco et Shih [2], expérience de Carlier Profils verticaux de la composante verticale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESI, : Kravchenko et Moin [31], : Lourenco et Shih [2], expérience de Carlier Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. Symboles : : LESI, : Kravchenko et Moin [31], : Lourenco et Shih [2], : expérience de Carlier Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Symboles : : LESI, : Lourenco et Shih [2], : expérience de Carlier Vue schématique de la configuration Isosurfaces de la norme de la vorticité ω n = 14U/D de la simulation d une couche de mélange en interaction avec un cylindre. Vue de perspective arrière. Re = Isosurfaces de la norme de la vorticité ω n = 1U/D de la simulation d une couche de mélange en interaction avec un cylindre. Vue de dessus. Re = Isosurfaces de la norme de la vorticité ω n = 8U/D de la simulation d une couche de mélange en interaction avec un cylindre. Vue de perspective. Re = Variation temporelle de la composante transversale (w) de la vitesse suivant l envergure du cylindre z, à la position x x cyl = 1D Coupe de la composante verticale V de la vitesse, à la position = Profils de la composante longitudinale de la vitesse moyenne suivant l envergure du cylindre. Symboles : :Vitesse côté Basse.-Vitesse, Vitesse côté Haute.Vitesse., Vitesse au milieu de la couche de mélange (z = D) Evolution de la longueur de formation (L f /D) suivant l envergure du cylindre. Comparaison avec les données de Heitz [26] A.1 Profils verticaux des composantes longitudinales et verticales de la vitesse moyenne à différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas. Symboles : : DNSI, : DNSII, Simulation spectrale de Mittal et Balachandar [44]

18 18 TABLE DES FIGURES A.2 Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse à différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas. Mêmes symboles que ceux de la figure (A.1) A.3 Profils verticaux des composantes longitudinales et verticales de la vitesse moyenne à différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas. Symboles : : DNSIII, : DNSIV, Simulation spectrale de Mittal et Balachandar [44] A.4 Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse à différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas. Mêmes symboles que ceux de la figure (A.3) A.5 Profils verticaux des composantes longitudinales et verticales de la vitesse moyenne à différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas. Symboles : : DNSI, : DNSIII, Simulation spectrale de Mittal et Balachandar [44] A.6 Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse à différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas.symboles : : DNSI, : DNSIII, Simulation spectrale de Mittal et Balachandar [44] A.7 Profils verticaux des composantes longitudinales et verticales de la vitesse moyenne à différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas. Symboles : : DNSI, : DNSII, : DNSIII, : DNSIV, Simulation spectrale de Mittal et Balachandar [44] A.8 Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse à différentes localisations (x x cyl )/D = 1, 2; 1, 5; 2, ; 2, 5; 3, du haut vers le bas. Mêmes symboles que ceux de la figure (A.7) B.1 Profils verticaux de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESI, + : DNS de Tremblay, LES Kravchenko et Moin [31], Lourenco et Shih [2] B.2 Profils verticaux de la composante verticale de la vitesse moyenne. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.1) B.3 Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.1) B.4 Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.1) B.5 Profils verticaux de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESI, : LESII, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67] B.6 Profils verticaux de la composante verticale de la vitesse moyenne. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.5) B.7 Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.5) B.8 Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.5) B.9 Profils verticaux de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESII, : LESIII, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67]. 152

19 TABLE DES FIGURES 19 B.1 Profils verticaux de la composante verticale moyenne de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.9) B.11 Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.9) B.12 Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.9) B.13 Profils verticaux de la composante longitudinale de la vitesse moyenne. Symboles : : LESII, : LESIV, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67]. 156 B.14 Profils verticaux de la composante verticale de la vitesse moyenne. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.13) B.15 Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.13) B.16 Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.13) B.17 Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.13) B.18 Composante longitudinale de la vitesse moyenne sur la ligne centrale du cylindre. Symboles : : LESII, : LESV, : Kravchenko et Moin [31], + Tremblay [67] B.19 Profils verticaux de la composante verticale de la vitesse moyenne. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.18) B.2 Profils verticaux des fluctuations de la composante longitudinale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.18) B.21 Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.18) B.22 Profils verticaux des fluctuations de la composante verticale de la vitesse. Mêmes symboles que ceux de la figure (B.18) C.1 Evolution longitudinale de la vitesse moyenne pour 1, 5 x 3, 5. A gauche données numériques, à droite données de Heitz [26] C.2 Evolution longitudinale de la fluctuation de la vitesse pour 1, 5 x 3, 5. A gauche données numériques, à droite données de Heitz [26]

20 2 TABLE DES FIGURES Notations Paramètres généraux : x y z z + u v w u v w u v w L x L y L z n x n y n z x y z t c k x k y k z k x k y k z direction longitudinale direction transversale direction verticale coordonnée adimensionnée en unité de paroi Composante de la vitesse dans la direction x Composante de la vitesse dans la direction y Composante de la vitesse dans la direction z Composante de vitesse fluctuante dans la direction x Composante de vitesse fluctuante dans la direction y Composante de vitesse fluctuante dans la direction z Composante de vitesse moyenne dans la direction x Composante de vitesse moyenne dans la direction y Composante de vitesse moyenne dans la direction z Taille du domaine dans la direction x Taille du domaine dans la direction y Taille du domaine dans la direction z Nombre de points dans la direction x Nombre de points dans la direction y Nombre de points dans la direction z Pas d espace dans la direction x Pas d espace dans la direction y Pas d espace dans la direction z Pas de temps Longueur de coupure Nombre d onde dans la direction x Nombre d onde dans la direction y Nombre d onde dans la direction z Nombre d onde modifié dans la direction x Nombre d onde modifié dans la direction y Nombre d onde modifié dans la direction z Notations particulières : (.) Quantité filtrée (.) Quantité exprimée dans l espace de Fourier (.) Quantité fluctuante. Quantité moyennée en temps et en espace

21 TABLE DES FIGURES 21 Paramètres relatifs aux écoulements de base : D ν t U c Re St L r /D x cyl U 1 U 2 ω i δ ω δ 99 Diamètre du cylindre Viscosité turbulente Vitesse de convection Nombre de Reynolds basé sur le diamétre du cylindre et la vitesse de convection Nombre de Strouhal basé sur le diamétre du cylindre et la vitesse de convection Longueur de recirculation adimensionnée Position du barreau dans la direction x Haute.-Vitesse de l écoulement Basse.-Vitesse de l écoulement Valeur de la vorticité maximale du profil initial de l écoulement Epaisseur de vorticité de la couche de mélange à la position x Epaisseur de la couche limite λ Paramètre de vitesse λ = U 1 U 2 U 1 +U 2 H Rapport de forme H = D δ ωi β Paramètre de raideur β = 2λ H/D Re δωi Re U1 Re U2 Nombre de Reynolds basé sur l épaisseur de vorticité Nombre de Reynolds basé sur le diamétre du cylindre et la Haute.-Vitesse de l écoulement Nombre de Reynolds basé sur le diamétre du cylindre et la Basse.-Vitesse de l écoulement

22 22 TABLE DES FIGURES

23 Chapitre 1 Introduction Le mot turbulence fait songer à agitation, désordre, chaos. L évolution spatiale ou temporelle de nombreux phénomènes est caractérisée par l absence apparente d ordre, la coexistence d échelles très différentes, l impossibilité d une reproduction et d une prévision détaillées. Un tel comportement désordonné et chaotique est souvent qualifié de turbulent. On pense en particulier à l ensemble des phénomènes météorologiques, ou océanographiques. Mais des écoulements à des échelles plus petites offrent, eux aussi, une très grande complexité. De façon générale, l ensemble des écoulements en mécanique des fluides est turbulent. Pour l homme, le caractère turbulent d un écoulement peut être bénéfique (dissipation thermique au sein d un ordinateur) ou néfaste (traînée d un avion en régime de croisière). Dans tous les cas de figure, de sa précipitation ou de son retardement, de sa diminution ou de son augmentation, la compréhension et le contrôle de la turbulence sont essentiels. Dans le cadre de la maîtrise de la qualité de l air dans les industries agro-alimentaires, il s agit de la protection des aliments contre des sources de contaminations tels que le personnel, des machines, ou d autres produits biologiques. C est un enjeu de sécurité alimentaire, mais également économique car il permet d augmenter la durée de vie des aliments. L industrie agro-alimentaire est donc soumise à de fortes contraintes quant à la fabrication d aliments dans un environnement ultra-propre. Aujourd hui encore, la majeure partie des systèmes de production est installée dans des salles propres (nommés salles blanches) issues du monde hospitalier, qui coûtent extrêmement chères et s avèrent moins efficaces dans le monde de l industrie agro-alimentaire. En effet, le nombre de facteurs contaminants y est bien plus important. Afin de proposer une alternative au monde de l agro-alimentaire, le CEMAGREF a mis au point en 1996, la technique de Flux Progressif [4]. Il s agit d un mini-environnement (qui peut être mobile ou fixe) ultra propre, qui, par un procédé de balayage du plan de travail par de l air ultra propre recyclé, maintient, tout en étant ouvert sur l air ambiant, un niveau de protection supérieur à celui assuré par les techniques classiques (flux laminaire, gaines diffusantes...) (cf. Fig. 1.1). Cependant, même si cette technique apporte un progrès significatif en matière de protection rapprochée, elle serait encore plus efficace si le niveau de protection était conservé lors de l intervention d un opérateur. C est afin de mieux comprendre les mécanismes responsables de cette contamination au cours de l intervention d un opérateur, que le travail de Heitz [26], puis de Braud [8] a été initié entre le CEMAGREF et le Laboratoire d Etude Aérodynamiques. Pour étudier expérimentalement 23

24 24 Introduction Fig. 1.1 Principe du Flux Progressif. Dessin d après Process Magazine, Oct 97 Air ambiant contaminé Haute vitesse Couche de mélange Basse vitesse Cylindre Air ultrapropre Sillage Fig. 1.2 Modélisation par une couche de mélange en interaction avec un cylindre, de l effraction par un opérateur dans le Flux Progressif cet écoulement, Heitz a choisi de modéliser l interaction d un bras (humain ou robotique) par un cylindre, et le flux d air ultra propre par une couche de mélange (cf. Fig. 1.2). Enjeux de ce travail Depuis les quarante dernières années, les progrès importants faits dans le domaine de l informatique, permettent d envisager aujourd hui des simulations numériques d écoulements instationnaires complexes. Pour réaliser de telles études plusieurs méthodes numériques sont envisageables. Dans le cadre de ce travail nous nous sommes uniquement intéressés à la Simulation Numérique Directe et aux Grandes Echelles. L étude de géométrie complexe au sein d un écoulement peut se faire à partir de différentes approches. Le premier enjeu de ce travail consiste à mettre en œuvre et à améliorer une méthode numérique qui permet de modéliser un obstacle au sein d un écoulement, le tout sur un maillage cartésien. Pour réaliser cette première étape nous nous intéresserons à des écoulements plus fondamentaux et pour lesquels la Simulation Numérique Directe est envisageable. L utilisation de la Simulation Numérique Directe, nous permet de valider de façon robuste notre méthode. Le régime d écoulement qui nous intéresse n est pas, pour l instant, simulable via la Simu-

25 25 lation Numérique Directe. Le deuxième enjeu de ce travail consiste à valider notre méthode de modélisation dans le cadre de la Simulation aux Grandes Echelles. Enfin le dernier volet de ce travail consiste à réaliser une étude numérique la plus proche possible des grandeurs des expériences de Heitz [26] et Braud [8], et d observer dans quelle mesure l utilisation de la Simulation aux Grandes Echelles peut être envisagée dans le cadre de recherches ingénieriques dans l équipe Aérobio du CEMAGREF. Organisation du document Ce document s articule autour de 6 chapitres. Ce premier chapitre forme l introduction, le dernier la conclusion, le reste du document est organisé de la manière suivante : le chapitre 2 est consacré à la présentation des méthodes numériques employées dans cette étude, ainsi que des écoulements étudiés. On y présente tout d abord les schémas de discrétisations spatiales d ordre élevé et les conditions aux limites correspondantes. Nous donnons ensuite une description rapide du modèle de viscosité sous maille que nous employons. Enfin une description des écoulements étudiés est fournie. le chapitre 3 présente une revue bibliographique des méthodes de forçage volumique, la méthode que nous avons retenue et les améliorations apportées. Dans un premier temps nous expliquons l enjeu et le contexte d utilisation des méthodes qui permettent de modéliser une géométrie complexe sur un maillage simple. Puis nous présentons les méthodes les plus utilisées, leurs avantages, leurs inconvénients et leurs points communs. Enfin, nous expliquons les améliorations que nous avons apportées à la méthode de forçage directe, ainsi que la validation par des Simulations Numériques Directes. le chapitre 4 est une validation de notre approche dans le cadre de la Simulations aux Grandes Echelles. Dans un premier temps, présentation de l écoulement que nous avons choisi afin de mener cette validation et les hypothèses que nous avons faites pour l étudier. Puis nous présentons l ensemble de nos réalisations, en les comparant entre-elles, et avec des données issues de la littérature. le chapitre 5 présente une Simulation aux Grandes Echelles de l écoulement d une couche de mélange en interaction avec un cylindre. Pour cette étude il s agit de montrer, par comparaison avec les résultats des expériences de Heitz [26], que l utilisation de la Simulation aux Grandes Echelles dans le cadre industriel est envisageable sous certaines contraintes.

26 26 Introduction

27 Chapitre 2 Méthodes numériques et configurations des écoulements Autrefois, seules deux approches étaient possibles pour étudier les phénomènes physiques tels que la turbulence. Elles consistaient : soit à les analyser d un point de vue théorique en faisant des hypothèses simplificatrices ; soit à les reproduire sous forme d expériences, afin de mettre en évidence des évènements, ou une typologie d écoulement (expérience de Reynolds). Si ces deux approches bénéficient de qualités évidentes (support mathématique solide pour l une, et observation des réalités des phénomènes pour l autre), elles se heurtent, parfois, à la nature tridimensionnelle et imprévisible de la turbulence. Avec le développement de l informatique, les méthodes numériques sont apparues comme un outil supplémentaire et complémentaire à la compréhension et à l analyse de la turbulence. Les progrès sont tels que dans certains cas, elles sont devenues une véritable alternative à l approche théorique et/ou expérimentale. Au cours de ce travail, nous nous sommes limités à l utilisation de deux méthodes numériques : la Simulation aux Grandes Echelles 1 ; la Simulation Numérique Directe 2. La seconde approche est la méthode qui modélise le plus fidèlement la turbulence. En effet elle consiste à résoudre toutes les échelles de la turbulence rencontrées dans l écoulement, ce qui lui confère une qualité de modélisation très élevée. Cependant, vouloir prendre en compte toutes les échelles de la turbulence a un coût important en terme de maillage. Ce coût implique une forte restriction sur la valeur du nombre de Reynolds. Ainsi on estime couramment que le nombre de points N nécessaire à un calcul est relié au nombre de Reynolds de l écoulement par la relation suivante Re 9/4 N. L importance de réaliser des Simulations Numériques Directes à des nombres de Reynolds réels n est pas forcément toujours évidente. En effet, certains mécanismes de la turbulence ne sont pas liés directement à un nombre de Reynolds. Cependant, pour notre étude, nous avons dû étudier des configurations où il fallait conserver un nombre de Reynolds réel, et où la Simulation Numérique Directe ne pouvait pas être utilisée. En effet, la dynamique des écoulements étudiés 1 en anglais LES pour Large Eddy Simulation 2 en anglais DNS pour Direct Numerical Simulation 27

28 28 Méthodes numériques et configurations des écoulements est fonction du nombre de Reynolds. Afin d étudier ces configurations, nous avons donc choisi d utiliser la Simulation aux Grandes Echelles. Cette approche consiste à résoudre directement les grosses structures de la turbulence, et à utiliser une modélisation pour les effets liés aux petites structures. Elle permet, dans de nombreux cas, pour un effort de calcul nettement inférieur à celui d une Simulation Numérique directe, d avoir une information détaillée de l écoulement. Cette approche est restée longtemps confinée au domaine de la recherche fondamentale, depuis quelques années on observe un net interêt du monde industriel pour cette dernière. Le fait que de nombreux codes de calcul commerciaux (tels que Fluent ou Star CD par exemple) offrent, depuis peu, la possibilité de réaliser des Simulations aux Grandes Echelles témoigne de cet intérêt. Dans ce chapitre nous allons tout d abord présenter les équations utilisées dans le code de calcul, ensuite les schémas de discrétisation spatiale, ainsi que le modèle d intégration temporelle. Enfin, dans la dernière partie, nous présentons le modèle sous-maille utilisé. 2.1 Les équations du mouvement Nous étudions le mouvement d un fluide newtonien, de masse volumique constante dans un repère cartésien (, x, y, z), dont la dynamique est modélisée par les équations de Navier-Stokes : u t + ω u = 1 ρ p m + ν 2 u, (2.1).u =, (2.2) où u(x, y, z, t) est le vecteur vitesse, ν la viscosité cinématique (constante), ρ la masse volumique (constante), p m (x, y, z, t) le champ de pression modifié défini tel que : ω(x, y, z, t) est le champ de vorticité obtenu à partir de : p m (x, t) = p ρ u.u. (2.3) ω = u. (2.4) Dans la suite de ce document, nous allons écrire les équations (2.55) comme suit : où F est définie comme : Le terme non-linéaire H est écrit sous sa forme rotationnelle : 2.2 Conditions limites u t = F 1 ρ p m, (2.5) F = H + ν 2 u. (2.6) H = ω u. (2.7) La définition de conditions aux limites réalistes est un enjeu en simulation numérique. L utilisation d un domaine de calcul borné impose la définition de conditions aux limites suffisamment correctes pour permettre une reproduction convenable de l écoulement étudié. Dans la suite, de

29 Conditions limites 29 ce document nous utilisons plusieurs types de conditions suivant la direction considérée et la nature de l écoulement. Dans les directions transverses de l écoulement nous utilisons soit des conditions périodiques soit de glissement. Pour chaque configuration étudiée nous précisons le type de condition limite utilisée dans les directions transverses. Conditions d entrée A l exception du chapitre V, une condition d écoulement constant est toujours appliquée en entrée de domaine. Dans le cadre particulier du chapitre V une technique particulière est mise en œuvre. Elle consiste à superposer au profil de vitesse d une couche de mélange, un champ de perturbation. Dans le but de conserver une corrélation temporelle du bruit, la perturbation est calculée en considérant les trois directions y, z et t. Soit (u x, u y, u z ) ce champ de perturbation défini tel que : u x(y, z, t) = ny 2 1 j= ny 2 ny 2 1 u y (y, z, t) = u z(y, z, t) = j= ny 2 ny 2 1 j= ny 2 nz 2 1 k= nz 2 nz 2 1 k= nz 2 nz 2 1 k= nz 2 n t 2 1 l= n t 2 n t 2 1 l= n t 2 n t 2 1 l= n t 2 K 2 e K2 φ x1 (k y, k z, k t )e ι2πφx 2 (ky,kz,kt) e ι(kyy+kzz+ktt), (2.8) K 2 e K2 φ y1 (k y, k z, k t )e ι2πφy 2 (ky,kz,kt) e ι(kyy+kzz+ktt), (2.9) K 2 e K2 φ z1 (k y, k z, k t )e ι2πφz 2 (ky,kz,kt) e ι(kyy+kzz+ktt). (2.1) Avec k y, k z et k t les nombres d ondes dans les directions y, z et t donnés par : k y = 2π L y j, (2.11) k z = 2π L z k, (2.12) k t = 2π τ l. (2.13) τ correspond au temps de la simulation. K donne la forme du spectre d énergie de la perturbation. Il est défini par : K 2 = k2 y koy 2 + k2 z koz 2 + k2 t kot 2. (2.14) k ot correspond à la fréquence d excitation de l écoulement. Fréquence déduite, en général, d étude de stabilité linéaire ou mesures expérimentales. φ x2 (k y, k z, k t ),..., φ z2 (k y, k z, k t ) sont des nombres aléatoires compris entre et 1, et spécifiant la phase et l amplitude de chacun des modes (k y, k z, k t ). Une alternative, que nous n avons pas utilisée, à cette approche existe. Il s agit d utiliser en entrée de domaine des données expérimentales instantannées. Présenté de façon générale, il s agit de réaliser une interface entre une expérience et une simulation. Concrètement, si on se place dans le cas d un écoulement fortement convectif, une telle interface peut être assimilée à

30 3 Méthodes numériques et configurations des écoulements un plan normal à la direction principale de l écoulement. La procédure à suivre pour réaliser l interface consiste alors à recueillir expérimentalement des informations sur l écoulement réel, ces informations étant ensuite directement utilisées pour définir la condition d entrée du calcul relatif à l évolution avale de l écoulement reproduit par simulation. Pour plus d information le lecteur pourra consulter l article de Bonnet et al. [7] Condition de sortie La condition de sortie utilisée est une simple équation de convection appliquée à chaque composante de la vitesse, de la forme : u t + U u c =. (2.15) x La vitesse de convection U c est prise constante égale à la vitesse de convection moyenne de l écoulement. La légère dégradation occasionnée par cette condition reste cantonnée au voisinage de la frontière de sortie. 2.3 Discrétisation spatiale La discrétisation spatiale est faite sur un maillage collocalisé, c est à dire un maillage dans lequel les noeuds de vitesse et de pression sont identiques. Il est connu que l utilisation d un maillage collocalisé peut amener des oscillations parasites du champ de pression. Une méthode répandu pour éviter ce type de phénomène est de décaler les noeuds de vitesse et de pression. Cette technique s avère trés efficace pour des schémas d ordre 2, mais l extension de cette technique à des schémas d ordre plus élevé s avère peu performante aussi bien en termes de précision que de coût en calcul. Dans notre cas, l utilisation de schémas compact nous assure une maîtrise des oscillations de pression Nous estimons les termes de dérivations spatiales à l aide de schémas aux différences finies hermitiens (appelées schémas compacts). Ces schémas ont un comportement quasi-spectral, c està-dire que pour une large gamme de longueurs d onde, l approximation de la dérivée est très proche de la valeur exacte. De plus, ils ont comme avantage par rapport aux schémas classiques, d avoir un domaine de dépendance réduit pour un ordre donné. Enfin, les erreurs d anisotropie sont limitées, ainsi que les erreurs de troncature. Lele [38] dresse une étude complète des propriétés des schémas compacts Généralités Les schémas compacts sont des schémas implicites, qui lient la valeur de la dérivée en un point à la dérivée aux points voisins. Soit une distribution de points sur une grille uniforme ξ i = (i 1) ξ avec i = 1,..., n et ξ = x, y ou z, il existe une relation entre l approximation de la dérivée f i = f (ξ i ) = df(ξ i) dξ et les valeurs de f i, données par : αf i+1 + f i + αf i 1 = af i+1 f i 1 ξ La dérivée seconde au point i peut se calculer de la manière suivante : + b f i+2 f i 2. (2.16) ξ αf i+1 + f i + αf i 1 = af i+1 2f i + f i 1 ξ 2 + b f i+2 2f i + f i 2 ξ 2. (2.17)

31 Discrétisation spatiale 31 Sur les frontières du domaine, lorsque les conditions aux limites ne sont pas périodiques ou semi-périodiques, nous utilisons des schémas décentrés d ordre 3, tels que : f 1 + α 1f 2 = 1 ξ (a 1f 1 + b 1 f 2 + c 1 f 3 ), (2.18) f 1 + α 1 f 2 = 1 ξ 2 (a 1f 1 + b 1 f 2 + c 1 f 3 + d 1 f 4 ). (2.19) La précision du schéma utilisé dépend de la valeur des coefficients des équations (2.16) et (2.17). Ainsi pour α =, a = 1/2 et b = on obtient un schéma centré d ordre 2 conventionnel Formulation matricielle des schémas compacts Les système d équations (2.16) et (2.17) peut s écrire sous la forme matricielle suivante : A ξ f = 1 Bf, (2.2) ξ A ξ f = 1 ξ 2 B f, (2.21) où A ξ, A ξ, B et B sont des matrices carrées de taille n ξ n ξ, n ξ est le nombre de points dans la direction ξ = x, y, ou z. Les vecteurs f, f et f sont de taille n ξ. Ils ont respectivement pour composantes les valeurs de la fonction f, de sa dérivée première f et de sa dérivée seconde f aux points i du domaine discrétisé. Les matrices A ξ et A ξ sont tridiagonales (ou tridiagonales cycliques suivant le type de condition limite utilisé) et les matrices B ξ et B ξ sont pentadiagonales (ou pentadiagonales cycliques). Les trois types de conditions aux limites utilisés sont : 1. Condition périodique : On suppose f nξ +1 = f 1 et f = f nξ. A ξ et B ξ sont respectivement des matrices tridiagonales et pentadiagonales cycliques, et pour la dérivée première, elles s écrivent : A ξ = 1 α α α 1 α α 1 α α α 1 et B ξ = a b b a a a b b b a a b b a a b b b a a a b b a 2. Condition de glissement : Cette condition peut être considérée comme une condition de symétrie ( ou d antisymétrie suivant la composante du champ de vitesse considérée) à la frontière du domaine. On distingue deux cas de figures : soit la fonction f est paire, soit f est impaire. Dans ces deux cas les matrices A ξ et B ξ sont respectivement des matrices tridiagonales et pentadiagonales (condition importante, car l inversion d une matrice tridiagonale prend moins de temps que l inversion d une matrice cyclique). La figure 2.1 illustre les deux cas