Morphologie mathématique 2

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1 Morphologie mathématique RDMM - MR IMA UPMC P6

2 Morphologie Mathématique : Chapitre COMPLEMENTS THEORIQUES ET PRATIQUES FILTRAGE MORPHOLOGIQUE I Compléments théoriques et pratiques (a) Fondements algébriques (b) Algorithmes de base (c) Formalisme EDP (d) Aspects architecturaux II Filtrage morphologique (a) Filtres morphologiques (b) Analyse granulométrique (c) Filtres alternés séquentiels

3 Traitement d images linéaire : structure fondamentale Dans le cas du traitement d images linéaire, la structure fondamentale est celle d espace vectoriel. structure de base ESPACE VECTORIEL E espace vectoriel sur K opérateurs de base Ce sont ceux qui préservent la structure et commutent avec les lois de base : K, ( x, y) E : f( x) f( x) et f( x+ y) f( x) + f( y) isomorphismes d espace vectoriel Applications linéaires CONVOLUTIONS 3

4 Traitement linéaire : convolutions Filtre passe-bas Gradient vertical 4

5 Morphologie mathématique : structure fondamentale Dans le cas de la morphologie mathématique, la structure fondamentale est celle de treillis complet. structure de base TREILLIS COMPLET () Ensemble ordonné ( E, ) REFLEXIVE ANTI-SYMETRIQUE TRANSITIVE x x x y et y x x y x y et y z x z () Toute partie P de E admet : une borne sup une borne inf Sup : plus petit des majorants Inf : plus grand des minorants P P 5

6 Morphologie mathématique : opérateurs de base opérateurs de base Ceux qui préservent la structure... x y Φ( x) Φ( y) CROISSANCE...et commutent avec les lois de base : sup inf ( { xi} ) { Φ( xi )} ( { x }) { Ψ( x )} Φ Ψ i i DILATATION EROSION 6

7 Exemples de treillis complets Treillis des formules booléennes éléments : formules booléennes f,g,h relation d ordre : implication f g VRAI sup : OU logique inf : ET logique éléments extrêmes : FAUX Treillis ensembliste éléments : les parties d un ensemble S relation d ordre : inclusion S sup : Union inf : Intersection éléments extrêmes : Treillis des nombres éléments : nombres réels (ou nombres entiers) relation d ordre : (ordre total) + sup : max inf : min éléments extrêmes : 7

8 Exemples de treillis complets Treillis des fonctions éléments : les fonctions réelles ou numériques : ou f : S S R Z relation d ordre : f g x S, f ( x) g( x) { } sup : f i { } inf : f i définies par : ( { fi} )( x) { fi ( x) } ( { f })( x) { f ( x) } i i f g f g f g 8

9 Le principe de dualité Dans un treillis, les lois Sup et Inf jouent des rôles symétriques. On appelle involution l opérateur : E E qui permet d échanger leur rôle : P P et P P On dit que deux opérateurs Φ et Φ* sont duaux pour l involution si : Φ( x) Φ * ( x) 9

10 Exemples d involutions Treillis des formules booléennes Treillis des nombres NON logique : g g 0 0 opposé : 0 x -x Treillis ensembliste Complémentaire : S Treillis des fonctions dans [0,N] N f N - f : N f f X X c S \ X 0

11 Implantation des opérateurs de base Ex : élément structurant carré de coté c. Méthode triviale : DILATE (Image_IN X, Image_OUT Y,Elt_struct ) { Pour tout pixel p X { Y(p) 0; Pour tout b { Y(p) Y(p) OU X(p-b); } } } Complexité du calcul par pixel : c X δ ( X )

12 Elément structurant carré de coté c. Implantation des opérateurs de base c L L c/ fois (associativité de la dilatation) Complexité du calcul par pixel : 4c X δ ( X ) ( δ ( X )) δ ( X ) δ ( X ) δ δ ) (

13 Implantation des opérateurs de base Elément structurant carré de coté c. h v h v (décomposition des polyèdres de Steiner) Complexité du calcul par pixel : c X δ h ( X ) ( δ ( X )) δ ( X ) δ ( X ) δ δ v h ( ) v h 3

14 Erosions binaires et distances discrètes Pour les ensembles (images binaires), dans le cas où l élément structurant est une boule d une distance discrète, il est avantageux de calculer l érodé par seuillage de la transformée en distance : d ex : en effet : p ε ( X ) FX ( p) distance de la d transformée en distance FX : Z N 4-connexité c p a d( p, X ) d 4 ( a, b) xa xb + ya yb d de l ensemble X : Transformée en distance d 4 Erosion par une boule de d 4 4

15 Erosions binaires et distances discrètes ex : distance de la 8-connexité d 8 ( a, b) max( x x, y y ) a b a b Transformée en distance d 8 Erosion par une boule de d 8 5

16 Erosions binaires et distances discrètes ex : distance euclidienne (ou pseudo-euclidienne) d e ( a b) ( x x ) + ( y y ), a b a b Grâce aux techniques de calcul récursif de la transformée en distance, la complexité du calcul par pixel devient constante : (O()) Cf TP n Transformée en distance pseudo-euclidienne Erosion par une boule pseudo-euclidienne 6

17 Opérateurs de base en niveaux de gris L implantation de l érosion par calcul de la fonction distance n est valable que pour les opérateurs ensemblistes. Existe-t-il des algorithmes pour le calcul de l érosion en niveaux de gris, dont la complexité soit indépendante de la taille de l élément structurant? OUI! Dans le cas d élément structurant D (segment), nous détaillons ci-dessous l algorithme de Van Herk : Soit X une image D à valeurs numériques : Soit un segment de taille K (K p +). Supposons qu on souhaite calculer l érosion de X par. On «partitionne» X en segment de taille K : L algorithme de Van Herk comprend 3 phases : 7

18 Van Herk / extrema récursifs par blocs X E E Phase () : for (i 0; i < W ; i++) if (i % K 0) E [i] X[i]; else E [i] min(e [i-],x[i]); Phase () : for (i W-; i > 0 ; i--) if (i % K 0) E [i] X[i]; else E [i] min(e [i+],x[i]); Rq : les calculs de E et de E sont indépendants et peuvent être réalisés en parallèle. 8

19 Van Herk / Calcul érosion/dilatation X E E E Phase (3) : for (i 0; i < W ; i++) E[i] min(e [i+k/],e [i-k/]); 9

20 Van Herk / Conclusion Complexité : 3 min/max quelque soit la longueur de l élément structurant. Adapté à un calcul séquentiel, mais compatible avec un parallélisme de données. Adaptable à des éléments structurants rectilignes de n importe quelle orientation. [Van Herk 9] 0

21 Opérations sur les ensembles de niveau Par définition, la dilatation (resp. l érosion) fonctionnelle par un élément structurant plan g peut être calculée à partir des dilatations (resp. érosions) des sections du sous-graphe (ensembles de niveau) par le support de g. n { x / f ( x i} SG ( f ) R ) i i i SG i(h) h SG (h) SG( f ) f SG( f ) U i R SGi ( f ) {} i SG ( h) U i R SG i ( h) SG( h) h ε ( f g {} i ) SG i ( f ) i f SG ( f ) g SGi ( h) ε supp( g ) ( SG ( f )) i

22 Invariance par changement de contraste Une conséquence de la propriété précédente est l invariance par changement de contraste : les opérateurs morphologiques commutent avec les anamorphoses, c est-à-dire les transformations croissantes des niveaux de gris : a o f f Φ( ao f ) ao f aoφ ( f ) Φ( ao f ) f Φ( f )

23 Invariance par changement de contraste Une transformation invariante par contraste (i.e. une transformation morphologique) doit respecter les relations d inclusion ( ordre) des ensembles de niveau. On montre que cela correspond à un déplacement de lignes de niveau (i.e. frontière des ensembles de niveau) dans la direction de leur courbure, et proportionnellement au module du gradient. Exprimé en termes d équations aux dérivées partielles (EDP), cela se traduit par une équation de la forme : I I I I I G(curv ( I ), t) x I xx x x I où l on note I t I I xy x y I y I yy y y I I xx I y I xy I x I y + I yy I x curv ( I ) div Avec : et avec G(x,y) continue et croissante par rapport à x. 3 I ( I + I ) x y I Dilatation : G(x,y) ; I Erosion : G(x,y) -; t I t I La courbure de I au point z est égale à l inverse du rayon du cercle osculateur à la courbe isophote en z, c est-à-dire à la courbe de niveau : I I(z) {(x,y) / I(x,y) I(z)} curv ( I )( z) z courbe isophote de valeur I(z) L intérêt du formalisme EDP est de fournir un cadre rigoureux aux transformations utilisant des éléments structurants infinitésimaux, mais également de généraliser les filtres (espaces d échelles) morphologiques (cf. Chap. 3). [Alvarez et al 9] 3

24 Morphologie mathématique : le point de vue architectural TRAITEMENT LINEAIRE additionneur 3 bits MORPHOLOGIE MATHEMATIQUE a b ALU Routines arithmétiques ibliothèque de fonctions numériques données : flottants a b a portes logiques données : entiers booléens La morphologie mathématique épouse les structures les plus intimes des calculateurs numériques. 4

25 La rétine TCL Rétine numérique : machine massivement parallèle à entrée optique Rétine TCL (ernard - Zavidovique - Devos 993) : Matrice de 65x76 éléments composés d un photocapteur et d une unité de calcul de 3 bits par pixel : Plan d acquisition V ACQUISITION binaire : V s bit T Comparaisonduniveaude charge d une photodiode au temps T par rapport au seuil V s t 5

26 La rétine TCL Translation (éventuellement complémentation) sur le plan Calcul du ET logique sur le plan Calcul de monôme conjonctif : ex : x x x 3 Plan d acquisition x 4 x 5 x 6 x 8 x 9 x 7 y x x x 3 x4 x x x x x y Plan ET détection de la présence d une configuration dans l image binaire : bits Transformée en tout-ou-rien ε ( X) ε ( X H M c ) 6

27 La rétine TCL TCL Traitement Combinatoire Local c U[ εh ( X) εm ( X )] i i i Union de transformées en tout-ou-rien : détection de la présence d une parmi un ensemble de configurations dans l image binaire : ex : x x x 3 Plan d acquisition x 4 x 5 x 6 x 8 x 9 x 7 y y j ~ xi i Plan ET z z yj j Plan OU forme disjonctive 3 bits machine booléenne universelle! 7

28 La rétine NSIP Rétine Pvlsar (Paillet - ernard - Mercier 997) : Matrice de 8x8 éléments composés d un photocapteur, d une unité de codage analogique numérique et d une unité de calcul de 5 bits par pixel : V ACQUISITION numérique : Acquisition numérique sur n bits V s NSIP (Near sensor Image Processing, Eklund - Aström 993) : Procédé de codage numérique par multiseuillage t T T 7 Comparaisonduniveaude charge d une photodiode aux n temps T i par rapport au seuil V s 8

29 La rétine NSIP g mémoire numérique t SG(g) processeur élémentaire booléen PE PE PE PE ( f SG i ) Les traitements binaires effectués pendant l acquisition correspondent aux opérations ensemblistes effectuées sur les sections SG i (f) du sous-graphe de la fonction numérique f : i f t n { x / f ( x i} SG ( f ) R ) i et SG( f ) U i R SGi ( f ) { i} SG( f ) 9

30 e Partie : Filtrage morphologique analyse granulométrique Filtres morphologiques. Ouvertures et fermetures algébriques. Analyse granulométrique. Filtres alternés séquentiels. Pyramides et espaces d échelles morphologiques. 30

31 L approche morphologique du filtrage En traitement linéaire des images, filtrer, c est éliminer certaines composantes fréquentielles des images. Filtrage Convolution En morphologie mathématique, filtrer, c est simplifier l image en supprimant certaines structures géométriques (en général implicitement définies par un ou plusieurs éléments structurants). Le filtre morphologique simplifie l image en préservant la structure, mais il perd en général de l information ( Croissance). Le filtre morphologique est stable et possède une classe d invariance connue ( Idempotence). 3

32 Rappel : ouvertures et fermetures morphologiques l ouverture morphologique de X par. la fermeture morphologique de X par. ( ( ( X ) X o δ ( ε X X ( X ) X ε ( δ X X ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) X ( X ) ( X ) CROISSANCE x y ( x) ( y) ( x) ( y) IDEMPOTENCE ( ( x) ) ( x) ( ( x) ) ( x) EXTENSIVITE L ouverture est anti-extensive : La fermeture est extensive : ( x) x x (x) 3

33 Filtres morphologiques x Un filtre morphologique est un opérateur ψ croissant et idempotent : y ψ ( x) ψ ( y) ψ ( ψ ( x) ) ψ ( x) On peut construire différentes familles de filtres morphologiques à partir des filtres de base, l ouverture et la fermeture morphologiques : Combinaisons sup/inf Opérateurs géodésiques Filtres morphologiques ouv / ferm morphologiques sup d ouv / inf de ferm ouv / ferm par reconstruction Ouv /Ferm algébriques filtres alternés séquentiels nivellements Granulométries 33

34 Ouvertures et fermetures algébriques Les ouvertures et fermetures algébriques généralisent les ouvertures et fermetures morphologiques. Uneouverture algébrique est un filtre morphologique anti-extensif. Unefermeture algébrique est un filtre morphologique extensif. ex : PROPRIETE Un sup d ouvertures morphologiques est une ouverture algébrique Un inf de fermetures morphologiques est une fermeture algébrique Image originale Ouverture morpholoqique par un segment vertical Ouverture morpholoqique par un segment horizontal Ouverture algébrique par union des deux ensembles 34

35 Granulométries L analyse granulométrique est l étude de la taille des objets fondée sur le principe du tamisage : sélection des objets par un ensemble de tamis de différentes tailles. Formellement, une granulométrie peut être définie par une famille d ouvertures : ( ) 0 telle que : 0 ex : ( ) + R Ouvertures par des boules euclidiennes de rayon ex : ( ) N Ouvertures par une suite croissante de boules discrètes 35

36 Granulométrie et anti-granulométrie La famille des opérateurs duaux (fermetures de taille croissante) est une anti-granulométrie : granulométrie anti-granulométrie 36

37 Fonction de distribution granulométrique Soit µ une mesure bornée sur un treillis E (aire, intégrale ) Pour x E, on note x (resp. x - ) l image de x par l opérateur de granulométrie (resp.d anti-granulométrie) d indice. On note µ ( x F x ( ) µ ( ) ) la fonction de distribution sur x de la granulométrie ( ) x 0 F x () anti-granulométrie original granulométrie 37

38 Spectre granulométrique Le spectre granulométrique est la dérivée de la fonction de distribution granulométrique : f ( ) F ( ) x x f x () anti-granulométrie original granulométrie 38

39 L analyse granulométrique Etude quantitative des images par la mesure de la contribution de chaque composante à l image globale : Traitement linéaire : Transformée de Fourier Composantes sinusoïdes complexes Morphologie mathématique : Analyse granulométrique Composantes famille de boules v Ln( F(u,v) ) f x () u Historiquement : une des premières application de la morphologie mathématique était l étude quantitative des sols poreux par analyse granulométrique de coupes microscopiques. 39

40 Théorème Matheron 988 Construction des filtres alternés L ensemble des filtres sur un treillis complet E forme un treillis I Soient ξ,ψ I De plus, on a l équivalence : tels que ξ ψ L ensemble ci-contre est un sous-treillis de I : ψξ ξψ ψξψ ξψ ξψξ ψξ ξψ dem : () filtres (idempotence) : ξψ ξξξψ ξψξψ ξψψψ ξψ () ordres : ψ ξψξ ξξξξψξ ξψξξψξ ξψψψψξ ξ ψξψ ψξ ξψξ ψψξ ψξ ψξξ ξ ξξξ ξψξ ψξψ ψψψ ψ ξψψ ξψ ξξψ (3) plus petit majorant : soit ζ un filtre tel que et alors ζ ξψ ζ ψξ ξψξ ζ ζζ ψξξψ ψξψ (4) équivalence : ξψ ψξψ ξψ ψξξ ψξ et ψξ ξψ ψξψ ξψψ ξψ ξξψ ψξψ 40

41 ξ Exemple de filtres alternés ψ On prend : (ouverture morphologique) (fermeture morphologique) élément structurant I 4

42 Filtres alternés séquentiels ( ) 0 * Soit une granulométrie, et ( ) 0 l anti-granulométrie associée Alors les opérateurs suivants : Θ Ξ ( ) sont des filtres, dits filtres alternés séquentiels associés à la granulométrie 0 Propriétés d absorption : Θ Ξ Θ Θ Ξ Ξ mais mais Θ Ξ Θ Ξ Θ Ξ Serra 988 4

43 43 Filtres alternés séquentiels : démonstration des propriétés Filtre morphologique (idempotence) : ) ( (*) (*) et donc d où et Propriétés d absorption : ( )( )( ) ( )( ) Θ Θ Θ ( )( )( ) Θ Θ Θ + +

44 Application à la réduction du bruit Les filtres alternés séquentiels conduisent à une bonne réduction du bruit grâce à une élimination progressive des pics et des creux de faible surface. Original Application directe du filtre alterné 4 φ 4 Ξ Ξ Ξ 5 Ξ 8 44

45 Application à la réduction du bruit Original f(x) en d : Somme f(x)+ε(x) ruit ε(x) Application directe du filtre alterné φ 5 5 Θ Θ 3 Θ 4 Θ 5 45

46 Espace d échelle morphologique Une granulométrie induit un espace d échelle (scale-space), qui fournit une représentation des images à différents niveaux de détail. 46

47 Espace d échelle, EDP et filtrage morphologique Le filtrage morphologique peut être exprimé dans le formalisme des Equations aux Dérivées Partielles (EDP). Ici la simplification progressive de l image se traduit par un phénomène de diffusion. Le respect du principe d invariance par changement de contraste implique la contrainte suivante sur la forme de l équation : L une des équations de diffusion invariante par changement de contraste la plus simple dans le formalisme EDP est la diffusion par courbure moyenne I t I G(curv( I), t) (G(x,y) x) avec G(x,y) continue et croissante par rapport à x. curv ( I )( z) courbe isophote de valeur I(z) z diffusion par courbure moyenne I t I curv( I) 47