Travaux Pratiques Traitement Numérique du Signal FILIERE TELECOMMUNICATIONS, 1 E ANNEE

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1 Travaux Pratiques Traitement Numérique du Signal FILIERE TELECOMMUNICATIONS, E ANNEE - 5

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3 TABLE DES MATIERES TRANSFORMEE DE FOURIER DES SIGNAUX DISCRETS OBJECTIFS RAPPELS SUR LA TRANSFORMEE DE FOURIER ET LE THEOREME DE SHANNON L échantillonnage Transormée de Fourier Continue (TFC Transormée de Fourier Discrète (TFD, ou DFT en anglais Théorème de l'échantillonnage de Shannon MISE EN PRATIQUE Fréquence analogique et réquence discrète TFD et enêtrage Comparaison des types de enêtres Spectrogramme... PARTIE N SYSTEMES A TEMPS DISCRET OBJECTIFS RAPPELS SUR LES SYSTEMES A TEMPS DISCRET Introduction Déinition d'un système à temps discret Système linéaire invariant Réponse impulsionnelle et produit de convolution Caractéristiques des signaux à temps discret Association de systèmes Transormée en Z MISE EN PRATIQUE : ETUDE DE FILTRES LINEAIRES Schéma bloc Transormée en Z : H( Réponse impulsionnelle Pôles p i et éros i, stabilité Association de systèmes... 8 PARTIE N 3 EFFETS FREQUENTIELS DU FILTRAGE OBJECTIFS RAPPELS Réponse réquentielle d'un iltre linéaire discret Lien entre réponse réquentielle et diagramme des pôles et éros Filtrage linéaire EXERCICES Eet réquentiel du iltrage Filtre à encoche... 3 PARTIE N 4 ANNEXES NOTION DE BRUIT BLANC GAUSSIEN DEBRUITAGE D UN SIGNAL DE PAROLE Caractérisation des voyelles et notions de ormants La réquence ondamentale Bilan Sur le rehaussement monovoie par atténuation spectrale à court terme FORMULAIRE... 3

4 INTRODUCTION Au travers de ces séances de Travaux Pratiques, nous traitons des bases du traitement numérique du signal et illustrons le cours de traitement numérique du signal. Les notions suivantes seront abordées : Transormée de Fourier des signaux discrets Caractéristiques des systèmes à temps discret : linéarité et non linéarité, invariance du système, causalité et stabilité, onction de transert En outre ces TP reposent sur le logiciel Matlab. Un rappel de cours ou une introduction aux notions étudiées est ait pour chaque thème. Page 4

5 TRANSFORMEE DE FOURIER DES SIGNAUX DISCRETS. Objectis Ce TP a pour objecti l'application de la transormée de Fourier à des signaux discrets. Sont en particulier abordées les notions suivantes: - Théorème de l'échantillonnage de Shannon - Lien entre Transormée de Fourier Continue (TFC d'un signal discret et Transormée de Fourier Discrète (TFD - Eet réquentiel du enêtrage (apodisation d'un signal. Rappels sur la Transormée de Fourier et le théorème de Shannon.. L échantillonnage Dans le cas du signal discret x[n] obtenu par échantillonnage du signal x(t à période T e, on dispose d une suite d'échantillons, représenté par le signal discret: x x[ n] k,..., x nt e k,..., Dans la suite, étant donné que l'on ne manipulera que le signal discret, on pourra noter x(n l'échantillon obtenu à l'instant t=nte, dans la mesure où cela ne prête pas à ambiguïté : les valeurs du signal continu d'origine x(t=x(nte seront toujours désignées en aisant igurer t ou Te, alors que les valeurs du signal échantillonné x(n se contenteront d'un indice entier n, m, etc..... Transormée de Fourier Continue (TFC Dans le cadre des signaux numérisés, l opération d échantillonnage transorme l expression de la transormée de Fourier d un signal continu en une expression qui dépend d'une somme discrète au lieu d'une intégrale continue. La variable réquentielle reste continue. Nous obtenons la Transormée de Fourier Continue d'un signal discret: n X e( x[ n]exp( j nt e (TFC Page 5

6 x[ n] e e/ e e/ X ( exp( jnt d e (TFCI Suite à l étude théorique de cette expression, on montre que la orme périodique de, de période e T e. ( X e est une onction En outre, elle est proportionnelle au spectre du signal continu (condition de Shannon, et peut s exprimer en réquence réduite par : avec n X ( x[ n]exp( j n e r e. 5, 5ou, et. Le calcul sur ordinateur d une telle quantité est bien évidemment exclu car - la série comporte un nombre inini de termes, - la réquence varie continûment. r Concernant le premier point, on se restreint en pratique à un nombre d'échantillons ini M, qui seul peut être stocké dans la machine. Tous les autres échantillons sont supposés nuls : on considère un signal à support temporel borné. M n X e( x[ n]exp( jnt e Concernant le second point, on va opérer une discrétisation dans le domaine réquentiel, qui conduit à la Transormée de Fourier Discrète...3 Transormée de Fourier Discrète (TFD, ou DFT en anglais Le principe de la TFD est le même que la TFC mais on introduit un pas d échantillonnage uniorme en réquence pour discrétiser l axe en réquence. Le nombre de points d'échantillonnage du spectre est noté N. Le spectre est donc calculé sur le domaine réquentiel e, avec un pas de quantiication de la réquence: ke N où e N r. On note k l'indice entier permettant de déterminer e est la réquence d'échantillonnage N est le nombre de pointspour le calcul de la TFD La Transormée de Fourier Discrète s'exprime ainsi de açon indépendante de la réquence d'échantillonnage: kn X[ k] x[ n]exp( j (TFD N M n Le spectre étant périodique, on prendra k=[..n-]. De la même açon que pour le signal temporel, on pourra noter X(k la transormée discrète, alors que X( correspond à la transormée continue. On a X TFD (k=x TFC ( pour =k e /N. Les noms de variables utilisés permettent de rendre non ambiguë la notation. Page 6

7 Si l'on attribue pour l'échantillonnage en réquence autant de points que pour le signal temporel (N=M, la TFD est réversible. On a dans ce cas: X[ k] N n kn x[ n]exp( j N N n (TFD réversible kn x[ n] X[ k]exp( j (TFDI N N L avantage de la TFD est que, de part sa structure, elle a permis de développer des algorithmes rapides appelés Transormée de Fourier rapide (TFR ou Fast Fourier Transorm (FFT. La diérence entre les deux est uniquement algorithmique; la TFD et la TFR calculent la même chose. Sous Matlab, la onction utilisée pour calculer la TFD s'appelle ainsi FFT. Les algorithmes rapides utilisent les propriétés de ain d'éviter la redondance des calculs. Par rapport à une programmation directe de la TFD, le temps de calcul est divisé par N/log (N : la méthode directe prend O(N, la méthode rapide O(N.log (N exp( jkn/ N Application : avec votre chargé de TP, détailler le rôle des onctions t et tshit sous Matlab...4 Théorème de l'échantillonnage de Shannon De nombreux paramètres ont une inluence sur l échantillonnage, notamment le pas de quantiication et le temps de réponse du système numérique tant lors de l acquisition que de la restitution. Cela dit, en augmentant la précision du CAN et en augmentant la rapidité des calculateurs, on peut pallier ces diicultés. Le choix de la réquence d échantillonnage joue aussi un rôle. Plus la réquence d échantillonnage est grande, plus on dispose d échantillons pour décrire le signal. En contrepartie, le traitement de ces données est plus lourd. Un compromis est à trouver. Soit un signal s à spectre S borné, i.e. max, S ; cette limitation du spectre est soit propre au signal traité, soit due à un pré-iltrage passe bas. Le théorème d échantillonnage de Shannon ixe le choix de la réquence d échantillonnage ain d éviter les distorsions du spectre échantillonné, les phénomènes dits de repliement. e emax e est appelée réquence de Shannon, ou encore réquence de Nyquist, ou de repliement. Page 7

8 S S e max Spectre à support borné du signal s Spectre du signal échantillonné Figure n : spectre du signal échantillonné du spectre S Repliement max e - max e e Figure n : phénomène de repliement Page 8

9 .3 Mise en pratique.3. Fréquence analogique et réquence discrète On suppose qu un signal obtenu comme la somme de plusieurs sinusoïdes a été échantillonné à kh. On traite les 5 premiers échantillons, en eectuant une transormée de Fourier discrète du bloc sur N=4 points. La transormée de Fourier Discrète contient des pics aux indices,, 94 et 984. s e n k 4. Charger le signal 'sommesinusoides.wav' sous Matlab (wavread. Vériier que la réquence d'échantillonnage est bien kh. Quelle est la durée du son en secondes? Calculer la TFD comme indiqué, et aicher son module. Faire un schéma sur papier du résultat obtenu, en aisant igurer l'échelle réquentielle en réquence discrète k.. Quelle est la relation qui existe entre la réquence (en H et la réquence discrète k de la TFD? Compléter le schéma en exprimant l'échelle réquentielle également en réquence réelle (en H, et en réquence réduite =/e. 3. Combien y a-t-il de sinusoïdes? Quelles sont leurs réquences réelles? Commentaires? Modiier l'aichage sous Matlab pour tracer la TFD centrée autour de la réquence. (tshit, voir iche technique. Modiier l'échelle réquentielle pour aire igurer les réquences en H..3. TFD et enêtrage Dans de nombreux cas en traitement du signal (notamment dans le cas du traitement de la parole, le débruitage, etc., on doit se placer dans des conditions de quasi stationnarité pour eectuer une analyse du signal sur des «trames» d une durée donnée. S e k trame trame trame 3 trame 4 Figure n 3 : Traitement par trame Page 9

10 Pour cela, on eectue un enêtrage du signal. Le signal enêtré du signal et de la enêtre de pondération : x w ( n x( n. w( n x w (n déini comme le produit où x(n est le signal à analyser et w(n une enêtre de pondération (ou enêtre temporelle de valeur nulle en dehors de l intervalle d observation [..M-].. Indiquer quelle relation théorique existe entre les Transormées de Fourier Continues X(, W( et X w ( des signaux discrets à support non bornés x(n, w(n et x w (n. Déduise-en la relation entre les Transormées de Fourier Discrètes calculées sur les M échantillons [..M-] où la enêtre est non nulle.. Déinisse un signal sinusoïdal de M=56 échantillons, et de période 3 échantillons (donc de réquence réduite x =/3=8/56. On supposera la réquence d'échantillonnage unitaire e =, ain de travailler directement en réquence réduite. Quelle serait la TFC théorique d'un tel signal s'il n'était pas limité (enêtré à l'intervalle [..M-]? Faire une igure. 3. Calcule et aiche la TFD du signal enêtré, calculé sur N=M=56 points, puis N points avec N>>M (on pourra prendre N>=48. Faites attention à l'échelle des réquences. Rappeler quelle est la TFC d'une enêtre carrée de largeur M. Expliquer l'allure du spectre dans chaque cas, à l'aide d'un graphique. 4. Modiier la réquence de la sinusoïde à x =8.5/56. Observe le signal enêtré et sa TFD pour la enêtre rectangulaire à N=M=56 points. Que peut-on constater? Expliquer le phénomène à l'aide d'un graphique. Rmq: On pourra aicher seulement une partie du spectre, ain de pouvoir l'observer de açon précise à l'échantillon près..3.3 Comparaison des types de enêtres On va ici comparer les propriétés de plusieurs enêtres: - la enêtre rectangulaire - la enêtre triangulaire (dite de Fejer, ou de Bartlett - la enêtre de Hamming - la enêtre de Hanning 5. Ecrire un script Matlab qui permet de visualiser les diérentes enêtres (onctions rectwin, triang, hamming, hanning. On prendra une taille de M=6 échantillons. (On pourra utiliser l'aide étendu Matlab: "doc triang". 6. Aicher en vis à vis leur spectres d'amplitude (en db, calculés sur N points avec N=4>>M. On utilisera ylim ain d'aicher tous les spectres avec la même échelle verticale. 7. Dans le contexte du calcul de la TFD d'une sinusoïde pure, quelle(s enêtre(s conseillerie-vous ain d'éviter que la orme de la TFD calculée sur N=M points soit radicalement diérente en onction de la réquence de la sinusoïde? Justiier. Page

11 .3.4 Spectrogramme Comme on l'a vu, la non stationnarité d'un signal impose de aire une analyse réquentielle par trame. Une telle analyse produit une TFD par trame, ce qui ne peut être acilement visualisé sous la orme d'un simple graphe. Une solution consiste à associer un code couleur aux amplitudes du module de la TFD, et à aicher l'ensemble des TFD sous la orme d'une image, dans laquelle chaque colonne correspond au spectre d'une enêtre du signal. 8. Charger le signal 'waiwaa.wav', et indiquer sur le spectrogramme les ones réquentielles qui caractérisent les //. Indiquer approximativement les ones ormantiques des voyelles prononcées. (voir annexe "Débruiter un signal de parole". Indication : Aichage du spectrogramme specgram(x,n,e; Page

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13 PARTIE N SYSTEMES A TEMPS DISCRET. Objectis Ce TP a pour objecti la déinition et l'étude de systèmes à temps discret, et plus particulièrement les systèmes linéaires temporellement invariants (iltres linéaires. Seront abordées les notions suivantes: - linéarité, invariance, causalité - réponse impulsionnelle d'un iltre linéaire - transormée en Z - stabilité, étude des pôles et des éros - association de systèmes en série ou en parallèle. Rappels sur les systèmes à temps discret.. Introduction Le signal numérique désigne une suite numérique obtenue après échantillonnage et quantiication selon la igure n 4. V e V e (nt e échantillonnage Quantiication V e (n (CAN Système numérique V s iltrage V s (nt e Restitution des signaux (CNA V s (n Figure n 4 : évolution du signal à travers une chaîne d acquisition où CAN désigne le Convertisseur Analogique Numérique, CNA, le Convertisseur Numérique Analogique et Te, la période d échantillonnage. Page 3

14 Diérents types de représentation du signal numérique peuvent être envisagés. La représentation onctionnelle, tabulée, séquentielle et graphique (diagramme «bâton». Parmi les exemples élémentaires de signaux numériques, on retiendra l'impulsion unité, ou suite de Dirac, également appelée «suite unité», ainsi que l échelon unité et la rampe unité. x(n x(n x(n n impulsion unité échelon unité rampe unité n n.. Déinition d'un système à temps discret Les systèmes à temps discret sont des systèmes, ou des opérateurs, qui transorment un signal d entrée discret en un signal de sortie discret : x n n n x n y n T y n xn A titre d exemples :,, l identité, le retard élémentaire et l avance élémentaire. y x..3 Système linéaire invariant Figure n 5 : signaux de réérence y n xn y n xn traduisent respectivement Un système peut avoir un certain nombre de caractéristiques. On s intéresse en général à la linéarité, l invariance, la causalité et la stabilité. Un système est dit linéaire si x, x et a, a, on a : T a ( ( ( ( x n a x n a T x n at x n Un système est dit invariant si la réponse d une entrée retardée de l échantillons est une sortie retardée de l échantillons, c'est-à-dire : xn y n et ce, quel que soit le signal d entrée T xn x n alors T x n l yn l et pour tout décalage temporel l. Cette propriété d invariance est importante mais sa vériication n est pas toujours évidente. Un système linéaire invariant porte habituellement le nom de iltre linéaire...4 Réponse impulsionnelle et produit de convolution Si l entrée d un système est l impulsion unité n impulsionnelle du système.,, la sortie est appelée la réponse Page 4

15 (n H h(n Figure n 6 : réponse impulsionnelle Un signal numérique quelconque peut s écrire comme une somme pondérée d impulsions unités translatées : x n k x k n k La sortie d un système linéaire invariant (SLI peut donc s exprimer sous la orme y n k x k h n k Cela correspond au produit de convolution entre l entrée et la réponse impulsionnelle : y n x( n h..5 Caractéristiques des signaux à temps discret Un système linéaire invariant est causal si seulement si sa sortie à n importe quel instant n (i.e., dépend seulement du présent et du passé (i.e.,,...,,, etc.. La sortie d un système causal satisait donc: y n n.. x n x n y n y n y( n F[ y( n,, x( n, x( n, x( n, ] où F est une onction arbitraire. Sa réponse impulsionnelle satisait alors h k pour k Un système est dit anticausal si sa sortie de rang n ne dépend que des entrées de rang supérieur ou égal à n. Un système linéaire invariant est stable si et seulement si sa réponse impulsionnelle satisait la condition suivante : k h k Une autre interprétation consiste à dire que si une entrée bornée conduit à une sortie bornée. Il s agit dans ce cas d une stabilité au sens large. La stabilité peut aussi être étudiée à partir de la transormée en de la réponse impulsionnelle. Si les pôles sont situés à l intérieur du disque unité dans le plan, le système causal est stable...6 Association de systèmes Lorsque l on associe plusieurs systèmes, on peut distinguer deux structures élémentaires : l association en série et celle en parallèle, représentée respectivement sur les igures 7 et 8: Page 5

16 x(n h (n s(n h (n y(n La réponse impulsionnelle du système Figure n 7 : association en série h n déinie par h n h n * h n h (n s (n x(n + y(n h (n s (n La réponse impulsionnelle du système..7 Transormée en Z Figure n 8 : association en parallèle h n déinie par h n h n h La transormée en Z est un outil central pour l'analyse des iltres linéaires et des signaux. La transormée en Z d'un signal x(n est déinie par: n X ( x( n La onction de transert en Z d'un iltre linéaire est déinie comme la transormée en Z de sa réponse impulsionnelle: n H ( h( n Pour un iltre RII d'équation aux diérences générale K k a( k y( n k L l n n b( l x( n l on peut montrer (en remplaçant x par une impulsion et y par h que sa onction de transert est H B( A( L l ( K k b( l a( k Pour un iltre RIF, A(=, H( est donc égal au polynôme B(. l k n. Page 6

17 .3 Mise en pratique : étude de iltres linéaires Les iltres linéaires peuvent être manipulés à travers plusieurs représentations diérentes, qu'il est important de maîtriser : - Equation aux diérences : coeicients a(n et b(n - Schéma numérique - Transormée en Z : H( - Réponse impulsionnelle : h(n - Pôles et éros : p i et i Nous manipulerons ces représentations à la ois à travers des calculs à la main et par la programmation sous Matlab. Notons T un système discret d'entrée x et de sortie y : y=t[x]. Nous allons étudier dans la suite 4 iltres T, T, T 3 et T 4, régis respectivement par les équations aux diérences suivantes:.3. Schéma bloc y( n x( n x( n y( n y( n x( n ( ( y ( n y( n x( n x( n ( y( n y( n x( n x( n (4 Pour chacun des iltres, dessine le schéma numérique correspondant à une implémentation causale du iltre, en aisant apparaître les éléments de gain, retard et addition..3. Transormée en Z : H( 9. Rappele l'équation liant un signal x(n à sa transormée en : X(. Rappele la déinition de la onction de transert en H( d'un iltre linéaire.. Calcule la transormée en Z des équations aux diérences relatives aux transormations précédentes. En déduire les onctions de transert en Z H (, H (, H 3 ( et H 4 (.. Détermine à partir de la transormée en Z quels iltres sont RIF (à réponse impulsionnelle inie et lesquels sont RII (à réponse impulsionnelle ininie..3.3 Réponse impulsionnelle. Rappele la déinition de la réponse impulsionnelle. Calcule à la main la réponse impulsionnelle des iltres à partir de l'équation aux diérences. Page 7

18 Pour démarrer le calcul de la séquence de sortie d un système, on considère que l on a x(n=y(n= pour n< (sau le cas particulier où l on dispose d inormations sur l initialisation du système. 3. Déduire des transormées en B( H( A( de chaque iltre les coeicients b(n et a(n associés au numérateur et dénominateur, que l'on utilisera pour déinir le iltre sous Matlab. 4. Calculer la réponse impulsionnelle de chaque iltre sous Matlab (voir iche pratique. L'entrée x (impulsion et la sortie y (réponse impulsionnelle du iltre seront aichées dans la même igure l'une en dessous de l'autre. Précise également les labels des axes, et le titre de chaque graphique. Vériie que les résultats obtenus correspondent aux calculs théoriques. 5. A quoi reconnaît-on un iltre RIF au niveau de sa réponse impulsionnelle? Comparer avec les coeicients b(n..3.4 Pôles p i et éros i, stabilité 6. Calcule à la main les pôles et les éros des iltres. 7. Aiche les pôles et les éros de chaque iltre avec Matlab. (voir iche pratique Calcule les valeurs numériques des pôles et des éros des iltres avec Matlab (voir iche pratique. Vériie que le graphique et les valeurs numériques sont conormes aux calculs théoriques. 8. Donner trois critères diérents pour la stabilité d'un iltre linéaire. Parmi les iltres étudiés, lesquels sont stables? Justiier de plusieurs manières diérentes. Expliquer pourquoi les iltres RIF sont toujours stables. 9. Construise un signal d'entrée borné qui soit un bruit blanc (x=rand(,n;, et iltre le. Que constate-vous au niveau de la sortie pour le iltre non-stable?.3.5 Association de systèmes On considère à présent les associations suivantes : T 34 =. T. et T 3+4= T, T 43= 3 T 4 4 T 3 T 3. T4. Calculer à la main les onctions de transert en Z de.. T,. 3 T 4 T et 4 T 3 T 3. T4. Calculer sous Matlab et aicher les réponses impulsionnelles des transormations. T., par iltrage d'une impulsion. T et 3 T 4. 3 T4.. Page 8

19 . Déterminer à la main la relation existant entre les coeicients b et a associés au iltre équivalent à T 34, et les coeicients b 3, a 3, b 4 et a 4 associés aux iltres T 3 et T 4. (Indice, utiliser la transormée en. 3. Calculer à l'aide de Matlab ces coeicients a et b (Rmq: le produit de deux polynôme est équivalent à la convolution de leurs coeicients. Fonction 'conv'. Vériier que la réponse impulsionnelle du iltre ainsi obtenu est conorme aux résultats précédents. 4. Faire de même pour T 3+4. Page 9

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21 PARTIE N 3 EFFETS FREQUENTIELS DU FILTRAGE 3. Objectis Ce TP a pour objecti d'étudier la notion de iltre linéaire d'un point de vue réquentiel. Sont en particulier abordés les notions suivantes: - Lien entre diagramme des pôles et éros et réponse réquentielle d'un iltre - Caractérisation d'un iltre discret passe-haut, passe-bas - Débruitage par élimination de réquences Est également abordée la notion de bruit aléatoire. 3. Rappels 3.. Réponse réquentielle d'un iltre linéaire discret La réponse réquentielle d'un iltre de onction de transert en Z H( est la TFC de la réponse impulsionnelle h[n] considérée à période d'échantillonnage T e : n H ( h[ n]exp( j nt e Cette réponse H( est périodique de période réquentielle e (à cause de l'échantillonnage à réquence e, et correspond exactement à la valeur de la onction de transert H( restreinte au sur le cercle unité: H( = H( pour exp j e 3.. Lien entre réponse réquentielle et diagramme des pôles et éros Pour un iltre rationnel général (RIF ou RII d'équation aux diérences K k a( k y( n k L l b( l x( n l on peut montrer (en remplaçant x par une impulsion et y par h que sa onction de transert est Page

22 H B( A( L l ( K k b( l a( k Pour un iltre RIF, A(=, H( est donc égal au polynôme B(. Cette écriture permet de mettre en évidence la orme de H( en onction des pôles et des éros du iltre: H( est aible à proximité des éros (racines de B(, et H( est élevé à proximité des pôles (racines de A(. En rapprochant ce ait du lien entre H( et H(, il est possible d'expliquer la orme générale de la réponse impulsionnelle en onction de la position des pôles et des éros. l k Exemple d'un iltre RIF passe bas: y(n = x(n + x(n- + x(n- : Impulse Response Imaginary Part db - Amplitude Real Part réquence réduite Exemple d'un iltre RIF passe-haut: y(n = x(n.4 x(n- +.7 x(n- : 5 5 n (samples Impulse Response Imaginary Part Real Part db réquence réduite Amplitude n (samples Exemple d'un iltre RII peigne (sélection de réquence: y(n = x(n -.4 x(n- +.7 x(n- +.5 y(n-.8 y(n- : 5.5 Impulse Response Imaginary Part db Amplitude Real Part 3..3 Filtrage linéaire réquence réduite n (samples x[n] X( H x[n] * h[n] X(H( Figure n : Réponse d'un iltre en réquence Page

23 3.3 Exercices Dans la suite, on va manipuler les iltres T 3 et T 4 du TP. Récupére le code permettant de déinir les coeicients de ces deux iltres Eet réquentiel du iltrage. Créer un signal de M=56 échantillons correspondant à la superposition de trois sinusoïdes de réquences diérentes (une basse réquence, une moyenne réquence, une haute-réquences: x( n cos( n cos( n cos( n Appliquer le iltre T 3 au signal x suivant. (Eectuer le iltrage dans le domaine temporel, c'est-à-dire en utilisant la onction ilter. Visualiser le signal d'origine x, et le signal iltré y, ainsi que leurs TFD respectives X(k et Y(k (on prendra une TFD à N=M=56 points. S'agit-t-il d'un iltre qui conserve les basses-réquences (passe-bas ou les hautesréquences (passe-haut? Comment cela se traduit-il dans le domaine temporel? 3. Aicher la réponse réquentielle du iltre (On era attention à calculer la réponse impulsionnelle sur un nombre suisant d'échantillons (N>=56. [H,W]=req(b,a,N,'whole'; plot(w,abs(h; Montre graphiquement que la relation suivante est vériiée sur l'exemple précédent de la somme des trois sinusoïdes. Y( = X( H( 4. Mêmes questions avec T Filtre à encoche Voici les onctions de transert de deux iltres à encoche du deuxième ordre: un iltre RIF et un iltre RII: H H ( cos cos ( s r cos s s r pour pour s (3 s,.9 r (4 Page 3

24 5. Montrer que H j s ( e et H j s ( e. Quelle est la position des pôles et des éros de chaque iltre? Résumer ce résultat à l'aide de diagrammes des pôles et des éros en aisant apparaître explicitement et r sur le schéma. 6. Aicher la réponse réquentielle de ces iltres pour =4H, en considérant une réquence d'échantillonnage e =8H. On prendra r=.95 pour le deuxième iltre. Comparer les deux iltres. 7. Charger un signal de parole et lui superposer un signal sinusoïdal pur de réquence connue =4H et d'amplitude. Aicher le spectrogramme correspondant au signal original et au signal bruité. Concevoir un iltre à encoche pour éliminer la réquence parasite, et l'appliquer. 8. Bruiter à présent le signal de parole avec un signal carré de même réquence. Aicher le spectrogramme correspondant. Expliquer. Comment pourrait-on éliminer un tel bruit en utilisant les iltres à encoches précédents? Quel en est l'inconvénient? Page 4

25 PARTIE N 4 ANNEXES 4. Notion de bruit blanc gaussien Une séquence Gaussienne de Bruit Blanc Gaussien Centré a trois propriétés caractéristiques Blanc La notion de blancheur implique que tous ses échantillons sont décorrélés, i.e. où ti,tj tj R BB ti, t j ti,, le symbole de Kronecker, est tel que ti, tj manière général, un processus blanc est stationnaire. On a donc si t t i j R BB et l ti, tj l. si t t i j (. De,,8,6,4 l R BB, l Centré Sa moyenne est nulle Figure n 9 : onction d autocorrélation du bruit blanc Gaussien Un processus aléatoire est un processus gaussien si pour tout ensemble d instantst, le vecteur ligne aléatoire correspondant X X,..., multidimensionnelle gaussienne - X X -. Chaque i t i X n X i possède une densité de probabilité marginale., a une densité de probabilité conjointe i TP Traitement numérique du signal Page 5

26 p Xi x exp xi mxi i Xi Xi ; ( si le processus est réel et N= (cas mono-dimensionnel, sa densité de probabilité est déinie par p x; t X t exp x m X X t t si le processus est complexe et N=, sa densité de probabilité est déinie par p x; t exp X t x m X X t t ; (3 ; (4 si le processus est réel et de dimension N, sa densité de probabilité est déinie par p x; t N C XX / exp x m X t C XX x m X t T ; (5 si le processus est complexe et de dimension N, sa densité de probabilité est déinie par p x; t exp x m t C x m t N C XX X XX X * T ; (6 C XX est la matrice d autocovariance. TP Traitement numérique du signal Page 6

27 4. Débruitage d un signal de parole Le rehaussement du signal de parole consiste en l amélioration d un ou de plusieurs aspects perceptis du signal vocal quand ce dernier est perturbé par un bruit dû à l environnement et/ou à la transmission. Un traitement de débruitage est ainsi souhaitable dans une voiture, lors de conversations main libre, dégradées par le bruit du moteur et les conditions du trajet (pluie, enêtre ouverte, etc.. La situation est comparable dans le domaine de l aéronautique, lors de communications entre le pilote et la tour de contrôle. C est aussi le cas dans les situations suivantes : les postes de téléphone situés dans des environnements où les bruits des conversations et des équipements inormatiques perturbent les communications ; les vidéophones et systèmes de téléconérence ; la restauration d enregistrements anciens ; les systèmes de reconnaissance utilisés dans des environnements bruités. Nous supposons ici qu un seul microphone est utilisé pour la prise de son et nous cherchons à réduire le bruit sans introduire de distorsion trop importante sur le signal utile. Signal de parole TRAITEMENT Bruit ambiant Figure n : débruitage du signal de parole Signal débruité Nous nous placerons dans le cas simple où le bruit additi est un bruit blanc. Ce document s organise de la manière suivante : dans un premier temps, quelques notions sur la parole sont données telles que les notions de voisement/non voisement, réquence ondamentale, etc. Puis, une présentation théorique de l approche de rehaussement est réalisée. 4.. Caractérisation des voyelles et notions de ormants Par essence, le signal de parole est non stationnaire ; cependant, on peut aire une hypothèse de quasi-stationnarité, notamment pour des voyelles, sur une durée de 4 ms. En enêtrant le signal de parole en trames de à 4 ms, on peut aire apparaître un caractère pseudopériodique ou/et aléatoire. Plusieurs cas peuvent être envisagés : les trames voisées qui présentent un caractère périodique ou pseudo périodique ; les trames non voisées ou aléatoires ; les «bruits voisés» qui sont une combinaison simultanée des deux cas précédents ; les trames mixtes représentant les ones de transition entre des sons voisé et non voisé. TP Traitement numérique du signal Page 7

28 Le spectre d un signal voisé est riche en réquences harmoniques de la réquence ondamentale. Si l on regarde la igure, on constate en outre que l enveloppe spectrale du signal analysé décroît doucement vers les hautes réquences. Ses résonances sont appelées ormants et notées F, F, etc. dans l ordre des réquences croissantes. Les deux premiers caractérisent en général la voyelle prononcée alors que les deux suivants sont plutôt liés au locuteur. Pour un locuteur masculin, tous les ormants sont inérieurs à 5 kh. F F F3 Figure : mise en évidence des trois premiers ormants pour le segment voisé analysé On peut aussi observer les ormants sur un spectrogramme. Le spectrogramme est une représentation graphique réquencetemps, qui traduit l évolution de la richesse spectrale du signal au cours du temps ; la présence de ormants correspond alors à ces gammes de réquence dont l'énergie est particulièrement élevée et qui apparaissent sous la orme de bandes sensiblement parallèles à l axe des abscisses. Quand le spectrogramme est en couleur, on adopte généralement une palette allant due rouge pour représenter une orte énergie au bleu pour représenter une aible énergie. C est notamment le cas à la igure La réquence ondamentale Lorsque les cordes vocales oscillent de açon quasi-périodique, le signal de parole émis est lui aussi quasi-périodique ; il est dit voisé, c est notamment le cas lorsque l on prononce des voyelles telles que le /a/. La période du signal est alors appelée période ondamentale. On nomme l'inverse de cette période, la réquence ondamentale ou pitch. La valeur moyenne du pitch est variable selon les locuteurs. Basse et de l ordre de 8 à H pour les hommes, elle peut atteindre 6 H pour les enants, la voix éminine ayant une réquence ondamentale comprise de manière générale entre 5 et 45 H. TP Traitement numérique du signal Page 8

29 Fréquence (H Amplitude Temps (s Temps (s Figure 3 : spectrogramme d un signal «waiwaa» mettant en évidence la présence de [] Nous remercions Matra et l ENST pour la base de données de signaux audio qu elles ont bien voulu nous ournir. TP Traitement numérique du signal Page 9

30 4..3 Bilan On retiendra de cette brève présentation du signal de parole deux de ses caractéristiques majeures : son caractère non-stationnaire (nécessitant un traitement par rames, et son éventuelle nature quasi-périodique, à laquelle se rapportent les notions de voisement et de non voisement. La parole est un moyen de communication au même titre que l écriture. On attend donc d un message vocal qu il soit intelligible, c est à dire acile à comprendre. Mais le signal de parole peut être dégradé par un bruit additi, notamment lors de communications longue-distance sur des lignes bruitées, ou lorsque l on utilise un téléphone portable dans une voiture. Des traitements de débruitage du signal peuvent alors être mis en œuvre. Dans le chapitre suivant, nous nous proposons de aire l état de l art des méthodes de rehaussement qui utilisent un unique microphone Sur le rehaussement monovoie par atténuation spectrale à court terme Les solutions élaborées pour le débruitage sont multiples. Certaines emploient plusieurs microphones ; on peut eectuer un rehaussement bivoie, en plaçant un premier microphone directionnel à proximité du locuteur alors qu un second microphone, omnidirectionnel, est positionné le plus près possible de la source de bruit. Ici, nous ocalisons notre attention sur une approche de rehaussement de type monovoie. Une des diicultés dans ce contexte est d obtenir une bonne approximation des données statistiques du bruit perturbateur. Les techniques de rehaussement par atténuation spectrale à court terme consistent à appliquer une atténuation spectrale, dépendant de l estimation du bruit additi, à chaque composante réquentielle. Plus précisément, ces méthodes nécessitent les opérations suivantes :. On eectue un traitement tous les N échantillons. La durée des tranches d analyse est comprise entre et 4 ms. Les blocs que l on traite successivement peuvent être en outre disjoints ou se recouvrir partiellement ; on adopte d ailleurs couramment un recouvrement de 5 %. Dans le contexte de la téléphonie, où le signal est échantillonné à 8 kh, on peut travailler sur des blocs de 56 échantillons dont le recouvrement s élève à 8 échantillons.. Puis, on applique une règle de suppression de bruit au spectre du signal bruité enêtré, que l on nomme aussi spectre du signal à court terme, pour en atténuer Y w ( chaque canal réquentiel et obtenir ainsi signal de parole original. ˆ S w (, l estimation du spectre à court terme du Sˆ w( H w(, B( Yw ( (7 Cette règle varie selon les méthodes utilisées et dépend de manière générale de la variance du bruit additi dont on ait une estimation préalable ; on peut tirer avantage des instants de «silence», où seul le bruit additi est présent, pour évaluer et/ou actualiser la variance du bruit. On en ait alors une approximation long terme, en supposant le bruit ergodique : «Ergodique au sens de la moyenne» revient à dire que l on peut approximer la moyenne d ensemble du processus, c est à dire l espérance mathématique par la moyenne temporelle. TP Traitement numérique du signal Page 3

31 3. Une transormation de Fourier inverse permet enin d avoir une estimation du signal enêtré. Puis on procède à la reconstruction du signal, en appliquant une méthode dite d addition-recouvrement (addition de l ensemble des signaux enêtrés débruités. Le schéma de principe de rehaussement par atténuation spectrale est donné à la igure 4. y w (k Transormée de Fourier à court terme Y w ( Atténuation dans chaque canal ˆ S w ( Transormée de Fourier inverse à court terme ˆ s w ( k Estimation pendant les périodes de silence E Règle de suppression B Figure 4 : schéma de principe de rehaussement par atténuation spectrale Parmi les méthodes qui obéissent à ce type de traitement, la soustraction spectrale est l une des techniques les plus employées par les traiteurs de signal de parole. d Trame Trame d analyse d analyse n Trame n 3 d analyse Figure n 5 : Traitement n par trame avec recouvrement d un signal TP Traitement numérique du signal Page 3

32 TP Traitement numérique du signal Page Formulaire On rappelle en outre que a a a N N n n, d où a a n n pour a. Domaine continu Domaine discret dt pt t x p X exp( ( ( n n n x X ( ( Equation diérentielle à coeicients constants l l L l l k k K k k dt t x d D dt t y d C ( ( Equation récurrentes ( ( ( ( l n x l b k n y k a L l K k réquence : j jw p réquence : / exp( exp( e e j jwt Fonction de Transert ( K k k k L l l l p C D p p H Fonction de Transert ( ( ( ( ( K k k L l l k a l b A B H Stabilité (système causaux : pôles à partie réelle négatives Stabilité (système causaux : pôles à l intérieure du cercle unité