THÈSE. pour l obtention du Grade de

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1 THÈSE pour l obtention du Grade de Docteur de l Université de Poitiers École Nationale Supérieure de Mécanique et d Aérotechnique & Faculté des Sciences Fondamentales et Appliquées (Diplôme National - Arrêté du 7 août 2006) École Doctorale : Sciences Pour l Ingénieur & Aéronautique Secteur de Recherche : Mécanique des Solides, des Matériaux, des Structures et des Surfaces Présentée par : Sophie DARTOIS ******************************************** Prise en compte de l évolution de l endommagement anisotrope dans une modélisation par transition d échelle pour des composites particulaires fortement chargés. ******************************************** Directeur de thèse : André DRAGON Co-Encadrement : Damien HALM, Carole NADOT ******************************************** Soutenue le 07 Mars 2008 ******************************************** JURY D. AUBRY Professeur à l École Centrale de Paris (LMSSMat) Président D. KONDO Professeur à l Université des Sciences et Technologies de Lille I (LML) Rapporteur J.-J. MARIGO Professeur à l Université Pierre et Marie Curie - Paris VI (LMM) Rapporteur C. FOND Professeur à l Université de Strasbourg I (ICS) Examinateur A. DRAGON Directeur de Recherche CNRS - Poitiers (LMPM) Examinateur D. HALM Maître de Conférences à l ENSMA - Poitiers (LMPM) Examinateur C. NADOT Maître de Conférences à l ENSMA - Poitiers (LMPM) Examinateur A. FANGET Ingénieur de Recherche au Centre d Études de Gramat (DGA) Examinateur

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3 REMERCIEMENTS

4 C est très sincèrement que je tiens à remercier chaleureusement la plupart des personnes qui m ont apporté leur soutien scientifique bien sûr, mais aussi et surtout moral et amical. Tout d abord c est logiquement vers mon équipe encadrante que je me tourne. Je parle d équipe encadrante car j ai eu la chance de travailler en étroite collaboration avec plusieurs personnes qui ont décidé de créer ce projet, de le soutenir et de consacrer une bonne part de leur temps à des discussions tantôt prolixes tantôt laborieuses mais, je l espère, toujours passionnantes. Je commencerai par Carole Nadot puisque c est elle qui a suivi mon baptême dans le vaste monde de la recherche, lorsque j ai commencé mon DEA. Je la considère donc logiquement comme ma marraine dans ce métier. Si je garde un souvenir ému de mes premiers pas au LMPM (et de la découverte de la mécanique "Christoffersenienne", je dois avouer que l épanouissement de ces travaux s est accompagné de très nombreux bons moments. Pour n en citer que quelques-uns je repense à l obtention émouvante des premières visualisations issues de travaux que Carole défend depuis plusieurs années ou encore à la grande aventure que fut la rédaction, période ou son enthousiasme inébranlable s est exprimé pleinement! Je repense aussi aux différentes soirées, aux heures de route sur la N147 avec programmation musicale adéquate, et bien sûr à cette mythique mission du 18 février 2008 dont je n ose ici reporter les péripéties. J espère avoir encore beaucoup d aussi bons moments scientifiques et amicaux à partager avec elle. Un mot maintenant au sujet de Damien Halm. Un seul mot est-ce bien possible? C est sans prétention, mais plutôt avec admiration que j ose dire qu il est à la fois l enseignant et le chercheur que je voudrais être en plus d être un ami. Je considère comme un privilège d avoir pu tester pour vous chacune de ces trois facettes. Compétent, disponible, et avec des qualités humaines incomparables, ce fut un véritable plaisir. Toujours au LMPM, mon parcours a bien sûr bénéficié de la direction éclairée d André Dragon. Il sait toute l admiration que je lui porte, et je le remercie de m avoir fait profiter des qualités qui sont les siennes comme son goût prononcé pour la rigueur scientifique, et d avoir voulu me les transmettre. Je lui suis

5 5 aussi reconnaissante de son souci permanent de préparer ses thésards à leur avenir d enseignant-chercheur en leur faisant bénéficier de sa longue expérience dans le domaine. Je m écarte désormais quelques instants du LMPM pour me tourner vers Gramat et un autre trio de choc emmené par Alain Fanget, et complété par Gérald Contesse et Patrick Delcor. Je tiens à remercier Alain pour la confiance qu il nous a témoignée ainsi que ses capacités d écoute qui m ont encouragée à me lancer dans de grands débats sur l endommagement de ces fameux propergols solides. Quant à Gérald et Patrick, ils ont donné un visage à mes résultats numériques, et rien que pour cela ils méritent de chaleureux remerciements. Il reste que tous ont fait de cette belle région lotoise une terre hospitalière dont je n hésiterai pas à revenir fouler le sol lors de visites plus amicales que professionnelles. Ce manuscrit a aussi bénéficié de l oeil critique des membres de mon jury qui non seulement ont eu la gentillesse de bien vouloir me lire, mais ont réussi la prouesse de faire de ma soutenance un moment que j ai autant apprécié que je l ai craint, ce qui n est pas peu dire... Je les remercie donc pour cette agréable discussion autour de mon travail et pour tout l intérêt qu ils y ont porté en général. Petit retour au LMPM pour envoyer un message amical à tous ceux que j appellerai "les anciens". En particulier j adresse un petit signe complice à Sylvie, Pat, Yves et Xavier, en souvenir de leur accessibilité et de tous les bons moments musicaux, culinaires et autres partagés ensemble. Dans l ordre chronologique j aurais une pensée pour les exilés dans les locaux du LCD, au facétieux Laurent, à Bayonne le thésard le plus serviable de la terre, et à Florent parti apprendre à jouer au palet à nos cousins d Outre-Atlantique, et enfin à Jonathan et Benjamin. Mais aussi et bien sûr une pensée particulière pour Twingo dont l oreille compréhensive (et pour cause!) et le soutien quasi quotidien dans les moments difficiles m ont particulièrement touchée, ce travail lui doit beaucoup. Merci aussi à Léo et Yoann avec qui j ai partagé -entre autres!- des moments de détente "nutsiesques" et "sériesques" particulièrement réjouissants. Merci bien sûr à mon fabuleux bureau 39 et ses occupants successifs, Cédric, mon petit Nam et la ravissante Minh, Olivier et maintenant Maxime. J espère entretenir avec vous le rituel sacré des repas de bureau franco-vietnamiens qui

6 6 ont égayé ces années de thèse. Je vous remercie aussi de m avoir supportée durant tout ce temps, en particulier dans les périodes de haut comme de bas. Merci encore à Pierre et Marion, notamment pour le climat de confiance et de soutien mutuel plutôt que de compétition que cette dernière a su construire entre nous. Merci enfin à Hicham, notre maître à tous, qui m a appris à garder confiance quoiqu il advienne et qui je dois beaucoup de mes plus belles tranches de rigolades. Il me reste encore un certain nombre de mercis à envoyer, et ceux-là concernent ceux qui sont restés. Bien que chacun de leurs noms me rappellent d excellentes anecdotes qui ont fait tout le charme de ces années de thèse, je n ai pas la place de m étendre ici, et me contenterai de joindre aux mercis des encouragements sincères pour le travail qu il leur reste à accomplir, encouragements qui je l espère seront bientôt obsolètes. Courage donc à Loïc mon voisin préféré et grand enflammeur du dancefloor du Bal des Pisteurs à Aussois, à Fred, Thomas, Romain, Michael, François, Jean-Charles, Leang, et Huy pour les plus anciens. Mais aussi merci à la relève : Laurent, Claire, Thang, Bert, Gaëlle, Sébastien, Talib et les autres à venir. Et puis il y a aussi toutes les autres personnes du laboratoire que je me retiens de citer une par une car je sens que je me suis déjà pas mal étendue... J adresse un merci général à tous les chercheurs et autres ingénieurs passés et présents du laboratoire qui ont su apporter une ambiance de travail agréable et amicale. Je ne résiste néanmoins pas à l envie d embrasser Guillaume, Céline et Mickael. Une pensée particulière aussi pour les petites fées du secrétariat Brigitte, Eliane, Pascale et Francine, ainsi que pour le gentilhomme de ces dames : Patrick. Je clôturerai cette page de remerciements en ayant évidemment une pensée pour les gens qui me sont le plus proche et qui, jusqu à la dernière minute, ont eu pour moi des attentions qui se sont révélées indispensables à la réalisation de ce travail. Ma famille bien sûr puisque j ai la chance d avoir autour de moi des gens qui croient en moi (souvent plus que moi!) et dont le soutien est permanent et infaillible ce qui, j en suis consciente, est un trésor très précieux. Mais également Mathieu dont la patience, les sacrifices, la compréhension et le soutien ont tout simplement été extraordinaires.

7 Table des matières REMERCIEMENTS 3 NOTATIONS 11 INTRODUCTION 17 I CADRE DE L ETUDE ET OPTIONS RETENUES POUR LA MODELISATION 21 I.1 Problématique globale soulevée au Centre d Études de Gramat I.1.1 Motivation : caractériser la vulnérabilité d une classe de composites énergétiques I.1.2 Présentation succincte de la classe de composites visée I.2 De l intérêt d un modèle construit par transition d échelle I.2.1 Discussion autour des différentes techniques de modélisation. 27 I.2.2 Principe général d une transition d échelle I.3 Éléments bibliographiques sur la modélisation de l endommagement par décohésion entre constituants I.3.1 Choix de l échelle d étude de la décohésion I.3.2 Modèles construits à l aide d outils numériques I.3.3 Modèles construits à l aide de méthodes d estimation I.3.4 Bilan et enjeux par rapport aux exigences liées à la modélisation de l endommagement dans les composites énergétiques.. 45 I.4 Choix de l approche morphologique et chronologie des travaux antérieurs

8 8 TABLE DES MATIÈRES II L APPROCHE MORPHOLOGIQUE POUR UN ETAT D EN- DOMMAGEMENT FIXE : PRESENTATION ET ANALYSE 53 II.1 Extension des travaux de Christoffersen en présence d endommagement 56 II.1.1 Schématisation de la microstructure II.1.2 Approche du problème local II Cinématique II Relations de passage micro-macro II Principe de résolution II.2 Résultats en élasticité : présentation, analyse et approche complémentaire II.2.1 Préliminaires II.2.2 Expression des champs locaux II.2.3 Expression de la contrainte homogénéisée II.2.4 Procédure de localisation-homogénéisation complémentaire.. 77 II.3 Positionnement par rapport aux autres méthodes d estimation II.3.1 Bilan synthétique par rapport aux objectifs de modélisation de l endommagement II.3.2 Interaction entre morphologie locale et endommagement II.3.3 Hétérogénéité intraphase et accès aux champs locaux II.3.4 Réflexion sur la prise en compte d autres non-linéarités II.3.5 Perspectives offertes par le modèle III OUTILS POUR LA PRISE EN COMPTE DE L EVOLUTION DE L ENDOMMAGEMENT 91 III.1 Signification et forme de l évolution de l endommagement dans l AM. 93 III.2 Proposition d un critère de nucléation de défauts III.2.1 Quelques éléments bibliographiques III Les critères de nucléation en contrainte maximale et énergie de décohésion III Les modèles cohésifs III.2.2 Formulation cinématique du critère

9 TABLE DES MATIÈRES 9 III Analyse préliminaire du champ de déplacement local 100 III Expression du critère de nucléation III Détermination du saut moyen de déplacement pour les défauts ouverts III.3 Formulation de critères de fermeture et de ré-ouverture de défauts III.3.1 Expression du critère de fermeture III.3.2 Identification des paramètres de distorsion III.3.3 Critère pour la réouverture IV EVALUATION DE L AM : MISE EN OEUVRE ET SIMULA- TIONS NUMERIQUES 113 IV.1 Procédure numérique discrète IV.1.1 Principe général IV.1.2 Algorithme de prédiction-correction IV Intérêt et principe IV Détermination pratique du séquençage des nucléations de défauts IV.1.3 Discussion IV.2 Simulations numériques IV.2.1 Description et obtention de la microstructure d étude IV.2.2 Caractéristiques communes aux essais simulés IV.2.3 Chargement en extension/contraction IV Phase d extension IV Première analyse de la réponse homogénéisée 136 IV Visualisation des défauts IV Analyse de la déformation locale IV Trajet complet extension/contraction IV Première analyse de la réponse homogénéisée 146 IV Anisotropie induite et effets unilatéraux IV.2.4 Essai d extension/glissement/contraction IV Effets résiduels dus à la distorsion des défauts fermés 155

10 10 TABLE DES MATIÈRES IV Anisotropie induite et effets unilatéraux IV.2.5 Chargement "cyclique" avec glissement IV Première analyse de la réponse homogénéisée IV Analyse de la déformation locale IV.3 Bilan des résultats obtenus V EXTENSIONS DE L APPROCHE MORPHOLOGIQUE 165 V.1 Réflexions autour de la continuité de la contrainte homogénéisée V.2 Préparation à l extension à d autres non-linéarités V.2.1 Extension à la viscoélasticité V.2.2 Extension aux transformations finies V.2.3 Bilan CONCLUSION 183 A Principe général d une transition d échelle 189 B Éléments concernant la procédure discrète de résolution numérique193 C Préparation à la comparaison aux Eléments Finis 201 D Procédures d inversion de certains tenseurs d ordre quatre 207 E Évolution de la répartition spatiale du module d Young 213 LISTES 217

11 NOTATIONS

12 Liste de notations Sont ici répertoriées les principales notations utilisées tout au long de ce manuscrit. Références aux couches α nom générique donné à n importe quelle couche du matériau. β nom générique donné à n importe quelle couche du matériau avec des microdéfauts ouvertes à ses interfaces. f nom générique donné à n importe quelle couche du matériau avec des microdéfauts fermées à ses interfaces. α h α n α d α c α A α nom générique donné à n importe quelle couche décollée du matériau, i.e. ayant des défauts ouverts ou fermés à ses interfaces. Paramètres morphologiques initiaux épaisseur de la couche α normale à la couche α vecteur reliant les centroïdes des grains entourant la couche α vecteur reliant les barycentres des interfaces de la couche α avec les grains qui l entourent aire projetée de la couche α I α i i=1,2 interface i de la couche α Π α T tenseur du second ordre témoin de la morphologie de la couche α tenseur du quatrième ordre représentatif de la texture morphologique du composite (morphologie et arrangement spatial des grains)

13 Grandeurs cinématiques F gradient de déplacement macroscopique f 0 f 0(r) f 0(d) f α f αd F u 0 u α b α I α i gradient de déplacement des grains partie réversible du gradient de déplacement des grains contribution de l ensemble des défauts dans le matériau au gradient de déplacement des grains gradient de déplacement de la couche α contribution des défauts présents aux interfaces de la couche α sur son gradient de déplacement incrément de gradient de déplacement macroscopique champ de déplacement des grains champ de déplacement de la couche α saut moyen de déplacement sur l interface Ii α de la couche α

14 Déformations et rotations E déformation macroscopique ɛ 0 ɛ α ɛ 0(r) ɛ α(r) ɛ 0(d) ɛ α(d) ɛ αd ω αd r αd E nuc α E ferm α déformation des grains déformation totale de la couche α partie réversible de la déformation des grains partie réversible de la déformation de la couche α influence de l ensemble des défauts présents dans le matériau sur la déformation des grains influence de l ensemble des défauts présents dans le matériau sur la déformation de la couche α contribution des défauts potentiellement présentes aux interfaces de la couche α sur sa déformation contribution des défauts potentiellement présentes aux interfaces de la couche α sur sa rotation déformation induite dans la couche α par l ouverture résiduelle des défauts à ses interfaces si elle est décollée quand E = 0 Valeur de la déformation macroscopique correspondant à la nucléation de défauts aux interfaces de la couche α. Valeur de la déformation macroscopique correspondant à la fermeture des défauts présents aux interfaces de la couche α. Contraintes Σ contrainte homogénéisée Σ (d) Σ (d)1 Σ (d)2 σ 0 σ α part induite par l endommagement dans la contrainte macroscopique homogénéisée contribution des défauts ouverts dans Σ (d) contribution des défauts fermés dans Σ (d) contrainte dans les grains contrainte de la couche α

15 L 0 Tenseurs de rigidité et principaux autres tenseurs matrice de rigidité des grains L (e)l matrice de rigidité de la matrice L (e) (1 c)l L (e)l A α h α V V L α matrice de rigidité du matériau homogénéisé (après approche de localisationhomogénéisation complémentaire) D, D tenseurs d ordre 2 et 4, paramètres d endommagement C 0, C α Tenseurs de localisation pour les grains et pour la couche α respectivement E( m) module d Young du composite dans la direction m Tenseurs identité et opérateurs spécifiques δ symbole de Kronecker Id tenseur identité d ordre 4 classique défini comme suit : Id ijkl = 1(δ 2 ikδ jl +δ il δ jk ) Id 1 tenseur identité d ordre 4 défini comme suit : Id 1 ijkl = δ il δ jk : double contraction tensorielle. V moyenne sur le volume

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17 INTRODUCTION Les composites particulaires énergétiques sont très largement utilisés dans les domaines du spatial, de la défense et de l aéronautique. Ils interviennent dans des phases aussi essentielles que délicates comme le lancement, la propulsion, ou encore le guidage d engins divers. En amont de ces applications fonctionnelles, il faut assurer la sécurité de leur acheminement, de leur manipulation et de leur stockage sur site. En effet, durant ces étapes les composites peuvent se trouver soumis à des sollicitations accidentelles ou malveillantes. En raison de la nature pyrotechnique des matériaux en question, ce type de sollicitations peut conduire rapidement à des fonctionnements non-nominaux inattendus entraînant la destruction complète des composites et de leur environnement. Il semble donc nécessaire de mieux caractériser et anticiper le comportement potentiellement dangereux de ces matériaux. Parce qu ils permettent de s affranchir de séries de tests longues et coûteuses, un certain nombre de modèles visant à prédire le comportement des composites énergétiques ont vu le jour. Dans ce contexte, le Centre d Études de Gramat (CEG - DGA), et le Laboratoire de Mécanique et de Physique des Matériaux (LMPM - UMR CNRS n 6617) travaillent en étroite collaboration depuis plusieurs années afin de construire un modèle de comportement mécanique pour des propergols solides (élastomères très fortement chargés) destinés à la propulsion spatiale. L objectif final du CEG est d obtenir un outil de prédiction de la vulnérabilité de ces matériaux. Cet outil devra contenir le modèle de comportement en question, en aval duquel seront intégrés des modèles réactifs. 17

18 La complexité de la morphologie des composites considérés et son influence sur leur comportement macroscopique ont une importance capitale. C est pourquoi une technique de transition d échelle permettant de prendre en compte de nombreuses informations microstructurales et de décrire les mécanismes en jeu à l échelle microscopique a été choisie comme socle des travaux de modélisation. Plus précisément, il s agit d une méthode d estimation initialement proposée par Christoffersen pour l étude de composites sains à fort taux de charges et dont les constituants ont un comportement élastique linéaire isotrope. Deux types d extensions de cette méthode, qualifiée dans ce document d "approche morphologique" (AM), ont ensuite été menées à bien en parallèle afin d introduire de manière progressive les différentes non-linéarités caractéristiques du comportement des élastomères très fortement chargés considérés. L une des deux séries de travaux concerne les matériaux demeurant sains. L AM a ainsi été enrichie afin de prendre en compte le caractère viscoélastique de la matrice (Nadot et al. [56]) et a été transposée dans le cadre des transformations finies (Guiot et al. [27], [28] et Touboul et al. [73], [74]). Elle a même fait l objet d une campagne d évaluation dans le cadre physiquement et géométriquement non-linéaire de la viscohyperélasticité dans les travaux de Touboul. La seconde série de travaux a permis de prendre en compte l endommagement par décohésion aux interfaces grains/matrice (Nadot et al. [54]). La prise en compte de défauts d interface dans la formulation de l AM a été effectuée pour des matériaux dont la matrice présente un comportement élastique et/ou viscoélastique isotrope. Toutefois, la transition d échelle ainsi obtenue n est applicable que pour un état et une configuration d endommagement donnés (i.e. pour un nombre total de défauts donné et pour des proportions respectives de défauts ouverts et fermés fixes). L objectif des présents travaux est de construire tous les ingrédients nécessaires à la description de l évolution de l endommagement puis, de proposer une évaluation de l approche ainsi complétée, le tout dans le cadre préliminaire de l élasticité HPP. La synthèse de ce travail s articule autour de cinq chapitres. Le premier sera consacré à une description plus approfondie du cadre de l étude. Après un bref

19 rappel des caractéristiques mécaniques des matériaux étudiés, et notamment de leurs mécanismes d endommagement, on présentera les grandes lignes retenues en matière de modélisation. En particulier on justifiera l utilisation d un modèle construit par transition d échelle. On s intéressera ensuite plus en détail à la modélisation de l endommagement par décohésion aux interfaces entre constituants. À travers une étude bibliographique, on fera ressortir les différents enjeux concernant la description de ce type d endommagement en s intéressant plus particulièrement à l influence de la morphologie locale. Le second chapitre rassemble dans un premier temps les ingrédients essentiels de l AM étendue en présence d endommagement par Nadot et al. [54]. Les résultats obtenus aux deux échelles pour des composites à grains et matrice élastiques linéaires isotropes sont également présentés. En plus de présenter les relations principales du modèle, ce rappel sert de tremplin à une discussion approfondie permettant de positionner l AM par rapport à d autres méthodes d estimation. Plus précisément, on dressera un bilan des points forts et faibles de l approche par rapport aux enjeux soulevés à la fin du chapitre I. Enfin, on discutera également de la façon dont l AM se positionne vis-à-vis des enjeux liés à la prise en compte des autres non-linéarités caractéristiques des élastomères fortement chargés (viscoélasticité, grandes déformations). Une réflexion sur la forme et signification de l endommagement dans l AM ouvrira le chapitre III. Elle sera suivie d une courte étude bibliographique sur les différents critères de décohésion qui servira d introduction à la formulation à proprement parler au sein de l AM des critères permettant de suivre l évolution de l endommagement dans le matériau. Ces critères seront au nombre de trois. On proposera tout d abord un critère de nucléation pour gérer l apparition de nouveaux défauts. Puis on formulera un critère de fermeture et un critère de réouverture permettant de faire évoluer la configuration des défauts existants. Le chapitre IV sera quant à lui consacré à une première évaluation de l AM

20 ainsi complétée. L objectif sera ici de tester sur quelques trajets de chargement significatifs, les capacités de l approche à décrire qualitativement la forme prise par l endommagement (position, orientation, morphologie des défauts...) ainsi que ses effets aux deux échelles (effets unilatéraux, redistributions des déformations,...). À cet effet une procédure numérique discrète de résolution est mise en place, permettant un séquençage précis de l ensemble des nucléations, fermetures et ouvertures de défauts. Dans le cas des nucléations, un algorithme de prédiction-correction est même proposé afin d obtenir un pilotage auto-adaptatif permettant de suivre avec plus de précision encore, l ordre des nucléations et leurs effets sur les événements ultérieurs. Enfin, le cinquième et dernier chapitre proposera un certain nombre de réflexions qui devraient servir de point de départ pour de nouvelles extensions de l AM. On s intéressera en particulier à deux extensions directes des présents travaux de thèse, à savoir la prise en compte du caractère viscoélastique de la matrice, et la transposition au cadre plus réaliste des transformations finies étant donné les applications envisagées. On s attachera à montrer que l on peut facilement transposer à ces nouveaux cadres les trois critères formulés au chapitre III pour suivre l évolution de l endommagement.

21 Chapitre I CADRE DE L ETUDE ET OPTIONS RETENUES POUR LA MODELISATION

22 Sommaire I.1 Problématique globale soulevée au Centre d Études de Gramat I.1.1 Motivation : caractériser la vulnérabilité d une classe de composites énergétiques I.1.2 Présentation succincte de la classe de composites visée.. 24 I.2 De l intérêt d un modèle construit par transition d échelle 27 I.2.1 Discussion autour des différentes techniques de modélisation 27 I.2.2 Principe général d une transition d échelle I.3 Éléments bibliographiques sur la modélisation de l endommagement par décohésion entre constituants I.3.1 Choix de l échelle d étude de la décohésion I.3.2 Modèles construits à l aide d outils numériques I.3.3 Modèles construits à l aide de méthodes d estimation I.3.4 Bilan et enjeux par rapport aux exigences liées à la modélisation de l endommagement dans les composites énergétiques 45 I.4 Choix de l approche morphologique et chronologie des travaux antérieurs

23 I.1 Problématique globale soulevée au Centre d Études de Gramat 23 Comme évoqué dans l introduction générale, les présents travaux de thèse s inscrivent dans un vaste programme de modélisation du comportement de composites particulaires fortement chargés tels que les propergols solides utilisés dans le domaine de la propulsion spatiale. Leur comportement réel inclut de nombreuses sources de non-linéarité telles que les grandes déformations, la viscosité et l endommagement. Progressivement le CEG et le LMPM ont développé des modèles de plus en plus riches, de façon à s approcher le plus près possible du comportement réel de ces matériaux. Le but de ce chapitre est de présenter les grandes lignes retenues en termes de modélisation pour répondre à la problématique globale proposée par le CEG. Après un bref rappel des motivations de cette étude et des propriétés mécaniques de la classe de matériaux envisagée ( I.1), on justifiera le choix d un modèle construit par une technique de transition d échelle ( I.2). On tentera ensuite de mettre en lumière, à l aide de quelques travaux issus de la littérature, les différents enjeux relatifs à la modélisation de l endommagement par décohésion entre les différents constituants ( I.3). Enfin, ce chapitre se clôturera ( I.4) sur un bilan des travaux effectués jusqu à présent en collaboration avec le CEG selon une approche progressive des difficultés (prise en compte incrémentale des non-linéarités). I.1 Problématique globale soulevée au Centre d Études de Gramat I.1.1 Motivation : caractériser la vulnérabilité d une classe de composites énergétiques Travailler avec des matériaux énergétiques exige de se plier à certaines règles de sécurité strictes. En effet leur manipulation et leur stockage peuvent induire des sollicitations accidentelles ou malveillantes entraînant leur endommagement. Or, la création de défauts dans ces matériaux augmente leur réactivité. En effet, les défauts créés peuvent être assimilés à des volumes de vide susceptibles de devenir le siège

24 24 CADRE DE L ETUDE ET OPTIONS RETENUES POUR LA MODELISATION de réactions chimiques, à l origine de l initiation et de la propagation de flammes au sein du matériau. Par ailleurs, l initiation d une telle réaction chimique peut être catalysée par l échauffement local induit par la dissipation liée à l endommagement (phénomène dit de "points chauds"). La relative instabilité de ces matériaux lorsqu ils sont endommagés justifie donc une étude détaillée de leur comportement le cas échéant. Plus particulièrement, la modélisation mécanique doit pouvoir fournir les données d entrée des modèles réactifs qui permettent de prédire l apparition éventuelle de flammes et donc un possible fonctionnement non-nominal (par exemple la modification de poussée d un moteur), ou encore la perte d intégrité du matériau (transition rapide vers une détonation). Les données de ces modèles réactifs sont en général de plusieurs types. Il peut s agir tout d abord de données morphologiques, comme la position et l orientation des défauts. La surface et le volume des vides créés interviennent également explicitement dans l estimation des risques d initiation de réactions critiques et de la vitesse de propagation des flammes qu elles génèrent. Des données mécaniques sont aussi requises comme les niveaux locaux de déformation et de contrainte qui, s ils sont élevés, favorisent aussi l apparition de réactions chimiques (voir Kumar et Kuo [37], Tarver et Tran [71], Dienes et al. [15]). I.1.2 Présentation succincte de la classe de composites visée Les composites énergétiques que l on souhaite étudier sont constitués de grains quasi-rigides aléatoirement répartis dans une matrice élastomère au comportement viscohyperélastique. Un autre de leurs dénominateurs communs est leur fort taux de charges, pouvant aller jusqu à près de 90% en volume pour les explosifs. Les fractions volumiques de grains les plus élevées sont atteintes lorsque ces derniers présentent une dispersion de taille (voir Fig.(I.1)). Étant donné l objectif des présents travaux plutôt consacrés à la modélisation de l endommagement, nous nous contenterons de rappeler ci-après les principaux mécanismes de dégradation observés dans ces matéraiux. Le lecteur intéressé par une présentation plus complète du comportement viscohyperélastique en réponse à diverses sollicitations et en lien avec la nature élastomère du liant pourra se référer aux thèses de Trumel [75], Martin [45], Touboul[73], Funfschilling [21], ou encore à l article de Trumel [76].

25 I.1 Problématique globale soulevée au Centre d Études de Gramat 25 A) B) Fig. I.1 Micrographie de PBX (Polymer Bonded explosives) après polissage montrant le fort taux de charges et la dispersion granulométrique de ce type de composite. (Rae et al. [62] et [61]) Pour de faibles vitesses de sollicitation (ou à haute température, ou encore pour de faibles pressions), l endommagement se caractérise par une décohésion entre grains et matrice comme on peut l observer sur la Fig.(I.2). Ce type d endommagement favorise l apparition de "points chauds" et entraine la formation de volumes de vides propices à la propagation de flammes. Fig. I.2 Illustration du phénomène d endommagement par décohésion aux interfaces grains/matrice (image SNPE tirée de Funfschilling [21]) Lorsque les composites sont constitués de particules de taille variable, l endommagement apparaît préférentiellement autour des grains de grande taille. Ceci est mis en évidence sur les micrographies Fig.(I.3) et Fig.(I.4) avec une coalescence de plusieurs défauts. Par ailleurs, l endommagement peut présenter une orientation préférentielle selon le chargement, à l origine d une anisotropie induite (voir Martin [45] et Trumel [76]). Lorsque le matériau est sollicité à faible vitesse, (ou à basse température, ou

26 CADRE DE L ETUDE ET OPTIONS RETENUES POUR LA MODELISATION 26 A) B) Fig. I.3 A) Micrographie de l IEX3 -équivalent inerte de l octorane-, Cagnoux [7] ; B) reconstitution artificielle de la micrographie A) B) Fig. I.4 Illustration de la germination préférentielle de défauts aux interfaces de gros grains dans le PBX-9501, avec phénomène de coalescence des défauts, Rae et al. [61] encore à haute pression), l endommagement prend la forme de fissurations transgranulaire. Ceci est dû à un changement de comportement de la matrice qui dans ces conditions entre dans un état vitreux et perd ses qualités d accommodation. La Fig.(I.5) est une illustration de ce phénomène sur un échantillon d IEX3 (composite inerte équivalent de l octorane) soumis à un impact de plaque. Dans la suite de ce manuscrit, nous ne nous intéresserons qu à un endommagement diffus dans le matériau par décohésion aux interfaces grains/matrice.

27 I.2 De l intérêt d un modèle construit par transition d échelle 27 Fig. I.5 Fragmentation transgranulaire dans un échantillon d IEX3 soumis à un impact de plaque, Cagnoux [7] I.2 De l intérêt d un modèle construit par transition d échelle I.2.1 Discussion autour des différentes techniques de modélisation Les sujets de recherche qui gravitent autour de la mécanique ont souvent pour but de prédire ou d assurer la tenue en service des structures et assemblages. L objectif le plus en aval d un travail de modélisation est donc d obtenir une loi de comportement macroscopique répondant aux sollicitations d usage et pouvant être utilisée pour du calcul sur pièces à grande échelle. Pour obtenir cette loi, on peut distinguer deux grands types de démarches : les démarches purement macroscopiques, et les techniques de transition d échelle. Les modèles macroscopiques s intéressent uniquement aux effets des mécanismes microscopiques sur la réponse macroscopique et ne s attardent pas à décrire précisément l ensemble des évolutions microstructurales. Ils ont donc théoriquement une formulation mathématique plus simple facilitant leur insertion dans les codes de calcul de structures. Néanmoins, si l on cherche à décrire

28 28 CADRE DE L ETUDE ET OPTIONS RETENUES POUR LA MODELISATION l ensemble des phénomènes complexes qui régissent le comportement d un matériau (plasticité, viscoplasticité, endommagement, et autres...) la formulation de ces lois peut devenir assez lourde. C est notamment le constat qu a fait Trumel [75] et [76] après avoir cherché à modéliser le comportement de l IEX3, thermomécaniquement représentatif de la classe des composites énergétiques fortement chargés. Ces travaux avaient pour objectif de contribuer à quantifier au moyen de calculs par éléments finis, l échauffement résultant de la dissipation mécanique lors de la pénétration dans le composite d un projectile sphérique animé d une vitesse d impact initiale de l ordre de 1110m.s 1. L intérêt était bien évidemment d évaluer les risques d initiation de l explosif. Pour ce faire, un modèle phénoménologique a été écrit en 3-D, en transformations finies, et dans le cadre de la thermodynamique des processus irréversibles. Ce modèle inclut plusieurs processus dissipatifs (viscoélasticité, plasticité, écrouissage, compaction et endommagement) et rend compte de leurs couplages. En premier lieu, on peut déplorer une certaine lourdeur mathématique dans la formulation du modèle, mais on notera surtout que son identification a demandé de nombreux essais de laboratoire, qui devront être renouvelés si l on étudie un autre matériau que l IEX3. Par ailleurs, cette identification a été effectuée pour une gamme de vitesses de sollicitations correspondant à celle de l application visée et il faudra également renouveler l étape d identification si l on souhaite travailler dans une gamme de vitesses différente. En conclusion, le modèle n a pas véritablement de pouvoir prédictif dans la mesure où il n est pas exploitable en dehors de son domaine d identification ni pour un autre matériau. Ce dernier point est véritablement handicapant lorsque l on considère l enjeu initial à savoir la modélisation du comportement d une classe entière de composites. En effet, on doit pouvoir être capable de retrouver le comportement d un matériau quelle que soit la combinaison de liants (polybutadiène, polyuréthane, silicone,...) et de charges (aluminium-perchlorate d ammonium, octorane,...) entrant dans sa composition, et quelles que soient la taille et la forme que prennent les charges. Par ailleurs, comme nous l avons précisé plus en avant, un modèle macroscopique ne décrit pas l évolution microstructurale. En particulier, dans le

29 I.2 De l intérêt d un modèle construit par transition d échelle 29 modèle de Trumel [75], l endommagement n est traduit que par ses conséquences macroscopiques, et notamment par la dissipation qu il génère. A aucun moment la forme que prend l endommagement à l échelle microstructurale n est décrite. On ne connaît donc ni la position ni l orientation des défauts, ni la surface décollée ou les volumes de vide créés, etc...or dans le cas des matériaux énergétiques, nous avons vu ( I.1.1) que ces données sont essentielles pour prévoir les risques de fonctionnement non nominal. En conclusion, il semble que la formulation et la mise en pratique des modèles phénoménologiques ne soient pas si simples lorsque le comportement couple de nombreuses non-linéarités. Une autre lacune des modèles phénoménologiques est leur manque de pouvoir prédictif. En effet, ils ne permettent pas de prévoir le comportement du matériau quelle que soit la morphologie du matériau ou encore quelle que soit la vitesse de sollicitation appliquée, mais requièrent une série d essais pour décrire chaque situation. Enfin, ils ne peuvent pas fournir les données requises par les modèles réactifs nécessaires à l étude des composites énergétiques. Pour toutes ces raisons, les modèles phénoménologiques n apparaissent pas comme de bons candidats pour décrire la classe de matériaux visée. C est pourquoi le CEG s est plutôt orienté vers la recherche de modèles construits par transition d échelle et s appuyant sur une description microstructurale forte. I.2.2 Principe général d une transition d échelle Les techniques de transition d échelle s attachent non seulement à prendre en compte la morphologie du matériau, mais aussi et surtout à décrire l interaction entre les différents constituants, dans le volume ou aux interfaces. Ainsi, les modèles qui en résultent donnent une bonne représentation des effets de la microstructure sur le comportement global du matériau et rendent possibles des études paramétriques moins coûteuses que des caractérisations expérimentales. Toutefois l enjeu est de taille. En effet, il faut pouvoir valider un certain nombre d étapes que nous allons brièvement rappeler ci-dessous. Le lecteur désireux d en savoir plus sur chacune de

30 30 CADRE DE L ETUDE ET OPTIONS RETENUES POUR LA MODELISATION ces étapes pourra se référer à l Annexe A où il trouvera un récapitulatif des difficultés et enjeux liés à chacune d elles. 1. Le premier point est de choisir une échelle pertinente de description. Le paramètre qui gouverne ce choix est la taille des hétérogénéités structurales prises en compte, lui-même conditionné par les propriétés que l on cherche à décrire. Une fois ce choix arrêté, il s agit de définir un Volume Élémentaire Représentatif (VER) du matériau à étudier. Pour les matériaux aléatoires comme ceux que nous souhaitons étudier, celui-ci doit être supérieur à la taille des hétérogénéités que l on souhaite prendre en compte et inférieur à la taille de la structure envisagée. 2. Une fois l échelle de l étude déterminée, on passe à l étape de représentation du VER qui comporte deux étapes. Tout d abord, la morphologie réelle du composite (forme et arrangement des constituants) est décrite par le biais d objets spécifiques. Une fois la géométrie de la microstructure obtenue, on s intéresse aux aspects "matériaux", en affectant à chacun des constituants une loi de comportement qu il aura fallu modéliser et identifier au préalable. La qualité des prévisions du comportement macroscopique dépendra beaucoup de cette étape de représentation, puisque c est via cette dernière que l information microstructurale est prise en compte. 3. L étape suivante est la formulation d un problème local sur le VER. Cette analyse mécanique doit tenir compte des conditions aux limites du VER et de la géométrie du matériau telle qu elle a été représentée à l étape précédente. 4. Logiquement, l étape suivante consiste à résoudre ce problème local afin d obtenir une estimation des champs locaux de déformation et de contrainte. 5. Enfin, on remonte généralement au comportement macroscopique à l aide de formules de moyenne sur les grandeurs additives. Lorsque l on a effectué chacune de ces étapes, on est capable d accéder à une estimation du comportement global du matériau en ayant véritablement pris en compte ses caractéristiques microscopiques.

31 I.3 Éléments bibliographiques sur la modélisation de l endommagement par décohésion entre constituants 31 I.3 Éléments bibliographiques sur la modélisation de l endommagement par décohésion entre constituants Les matériaux que l on souhaite étudier s endommagent par perte de cohésion aux interfaces grains/matrice. La microstructure même du composite joue donc un rôle important dans sa dégradation. L objectif de cette section est de faire ressortir les difficultés liées à la bonne description de l influence de la morphologie locale sur l endommagement dans le matériau. La mise en lumière de ces enjeux passe par une présentation succincte de quelques travaux issus de la littérature qui semblent représentatifs des dernières avancées dans le domaine. Certains des modèles qui vont être présentés sont mis en oeuvre sur des composites à fibres, mais les problématiques soulevées et les réponses apportées peuvent très bien être transposées aux composites particulaires. Par ailleurs, nous choisirons, dès que cela sera possible, des modèles véritablement dédiés à ces derniers, et plus particulièrement aux composites énergétiques. À l issue de cette étude bibliographique, nous serons aptes à dresser un bilan non seulement des enjeux en termes de modélisation de l endommagement, mais également de leurs connexions avec les exigences de la problématique plus large dans laquelle s inscrit cette étude (fort taux de charge, modèle 3-D, besoin d accès à certaines données etc...). I.3.1 Choix de l échelle d étude de la décohésion L endommagement par décohésion aux interfaces particules/matrice ou fibres/matrice peut être envisagé sur une gamme d échelle très large. Govindjee et Simo [26] ont par exemple fait le pari audacieux de décrire ce phénomène en partant de l échelle moléculaire (rupture de chaînes polymères), pour atteindre ses manifestations à l échelle macroscopique. Ils proposent ainsi un modèle multi-échelles permettant d obtenir une relation entre contrainte et déformation macroscopiques pour des polymères faiblement ren-

32 32 CADRE DE L ETUDE ET OPTIONS RETENUES POUR LA MODELISATION forcés par des particules de carbone. Plus précisément, l objectif de leurs travaux est d obtenir ces relations en dérivant deux fois l énergie libre hyperélastique de la matrice par rapport à la déformation macroscopique (l énergie libre des particules n étant pas prise en compte car ces dernières sont supposées rigides). L énergie libre macroscopique de la matrice est obtenue par moyenne de différentes contributions locales correspondant aux différentes configurations des chaînes de polymères. Dans la configuration initiale, on considère deux catégories de chaînes : celles qui relient directement des particules de carbone, et celles qui servent de pont entre les autres chaînes. Les liaisons aux extrémités des chaînes reliant les particules peuvent ensuite être brisées créant ainsi de l endommagement dans le matériau. Dans l estimation de l énergie libre macroscopique de la matrice, la répartition des particules et leur état (décollé ou non) sont décrits à l aide de lois statistiques. L endommagement est donc directement pris en compte dans l expression de la relation entre contrainte et déformation macroscopiques Ainsi, bien que s appuyant sur l estimation de grandeurs locales, ce modèle ne permettrait pas de décrire des phénomènes tels que l apparition d une anisotropie induite par endommagement. Par ailleurs la mise en oeuvre du modèle dans un cadre 3-D, et sur des chargements plus complexes qu une simple traction uniaxiale, nécessite la formulation d hypothèses restrictives et même le retour à une démarche phénoménologique dans la formulation de l énergie libre macroscopique et pour la prise en compte des effets retard dûs à la viscosité du matériau. Dans la suite de ce manuscrit, on ne descendra pas à l échelle moléculaire. La prise en compte de l endommagement dans les références bibliographiques qui vont suivre se fera donc exclusivement à l échelle des constituants. I.3.2 Modèles construits à l aide d outils numériques Dès les années 80, le développement de l homogénéisation asymptotique pour des milieux à bords périodiques (Sanchez-Palencia [64], Léné et Leguillon [42], Fish et al. [20]) permet de résoudre de manière rigoureuse (existence d une solution unique) les problèmes de localisation-homogénéisation. Le problème de localisation est formulé grâce à des développements asymptotiques, il est ensuite résolu

33 I.3 Éléments bibliographiques sur la modélisation de l endommagement par décohésion entre constituants 33 donnant ainsi accès aux champs locaux. Ces derniers sont enfin classiquement utilisés pour obtenir la réponse macroscopique du matériau. Dans la littérature, des méthodes en champs complets comme les éléments finis sont souvent utilisées pour résoudre le problème de localisation. Nous allons en voir quelques-unes permettant de décrire un endommagement par décohésion aux interfaces entre grains (ou fibres) et matrice. Raghavan et al. [63] proposent ainsi de traiter de manière numérique le cas de matériaux 2-D renforcés par des fibres qui se décollent de la matrice. Leur but est de formuler un modèle macroscopique, mais dont l identification des paramètres est effectuée grâce à l analyse préalable des phénomènes à l échelle locale. Dans leurs travaux, le problème de localisation est posé grâce aux développements asymptotiques, et sa résolution est effectuée numériquement à l aide des éléments finis. Plus précisément, le VER aux bords duquel sont appliquées des conditions aux limites périodiques est un agrégat de cellules de base (élément Voronoi Cell Finite Element Model -VCFEM- développé par Ghosh et al. [24]) constituées chacune d une fibre entourée de liant. Les deux constituants (fibres et matrice) ont des lois de comportement linéaires, et sont reliés par une loi cohésive bilinéaire 1 (voir Fig.(I.6)). À l issue de l étape d homogénéisation, la loi de comportement obtenue pour le VER est utilisée pour proposer une extension intéressante du modèle d endommagement anisotrope de Simo et Ju [66]. En effet, cette étude microstructurale sert à identifier les paramètres entrant dans la formulation macroscopique de la surface de charge et de la loi d évolution régissant l endommagement du matériau. L objectif final est donc d utiliser un modèle de formulation macroscopique (donc facilement implantable dans un code de calcul) dont les variables d endommagement sont les témoins d une réalité microscopique (et en particulier de l origine de l anisotropie 1 Les modèles cohésifs sont très utilisés en matière de modélisation numérique (Needleman [57], Tvergaard [78], Pandolfi [58]). Leur principe consiste à attribuer une loi de comportement en (vecteur contrainte/différence de déplacement) à des éléments d interface. Cette loi particulière permet d identifier la décohésion entre les deux phases. Nous reviendrons plus en détails sur ce concept au début du chapitre (III).

34 34 CADRE DE L ETUDE ET OPTIONS RETENUES POUR LA MODELISATION Fig. I.6 Schématisation d un VER aux bords périodiques composé de cellules de Voronoi spécifiques d après Raghavan et Ghosh [23] induite par endommagement). Les résultats obtenus grâce à cette technique semblent convaincants mais son champ d application reste pour l instant limité en particulier parce qu elle n est mise en oeuvre que sur des cas 2-D. Par ailleurs, cette technique n est utilisable que pour l étude de milieux où l on peut définir un VER aux bords duquel des conditions aux limites périodiques peuvent être appliquées. Dans les cas où il est impossible de définir un VER aux bords périodiques (en particulier en présence de localisation de l endommagement), Raghavan et Ghosh [23] ont récemment proposé une technique s appliquant aux milieux localement périodiques faisant une nouvelle fois appel à une résolution par éléments finis à différentes échelles. Ils définissent ainsi différentes zones dans le matériau voir Fig.(I.7) : celles où l on associe aux éléments la loi de comportement macroscopique obtenue par enrichissement du modèle de Simo et Ju précédemment établi (Raghavan et al. [63]). celles où une résolution par éléments finis est effectuée à l échelle en dessous à l aide de cellules VCFEM. et enfin une zone constituée d éléments assurant la compatibilité entre les deux précédentes et permettant donc de "raccorder" les échelles. Dans cette zone, la théorie d homogénéisation asymptotique est utilisée pour découpler les équations gouvernant le modèle macroscopique et les équations gouvernant

35 I.3 Éléments bibliographiques sur la modélisation de l endommagement par décohésion entre constituants 35 le problème microscopique. Fig. I.7 Représentation schématique des différentes techniques mises en oeuvre pour la modélisation de composites à fibres s endommageant aux interfaces fibres/matrice en présence de localisation de l endommagement d après Raghavan et Ghosh [23] L idée d utiliser successivement plusieurs transitions d échelle avait été retenue par Barnejee et Adams [2] pour l étude de composites particulaires fortement chargés sains (type Polymer Bonded explosives -PBX-, dont les charges occupent 90% du volume). Ils ont ainsi proposé d associer la résolution d un problème local à l aide d outils numériques avec une méthode récursive (Recursive Cell Method). Le principe est de décomposer le VER en différents blocs dont on détermine dans un premier temps le comportement homogénéisé à l aide de l une des trois méthodes suivantes : Une analyse par éléments finis (FEM). Les auteurs se placent alors dans un cadre 2-D, sous l hypothèse des déformations planes. Par ailleurs, des conditions aux limites périodiques sont appliquées sur chaque bloc. Une technique d homogénéisation D-EMT (Differential Effective Medium Theory, voir Markov [44] ou Garbozci and Berryman [22]) où les grandeurs homogénéisée sur chaque bloc sont obtenues grâce à une extrapolation vers les

36 36 CADRE DE L ETUDE ET OPTIONS RETENUES POUR LA MODELISATION milieux fortement chargés, des résultats obtenus sous l hypothèse des milieux dilués. Une méthode numérique généralisée (Generalized Method of Cells homogenization) qui se révèle moins coûteuse qu une analyse par EF mais nécessite l ajout de quelques hypothèses cinématiques (notamment la linéarité des champs locaux). Une fois la réponse homogène de chaque bloc obtenue, elle est introduite comme donnée pour la résolution du problème d homogénéisation à l itération suivante. Ces étapes sont donc répétées jusqu à ce qu un seul bloc homogène équivalent émerge. La Fig.(I.8) synthétise ces différentes étapes. Fig. I.8 Schématisation de la méthode récursive par bloc -RCM- utilisée sur un PBX d après Barnejee et Adams [2] Les résultats obtenus par Barnejee et Adams [2] à l aide de la RCM couplée avec chacune des techniques d homogénéisation sont comparés à des simulations effectuées exclusivement à l aide des éléments finis sur l ensemble du VER et qui constituent la solution de référence. Il apparaît que la RCM couplée à la GMC soit la technique offrant les meilleurs résultats.

37 I.3 Éléments bibliographiques sur la modélisation de l endommagement par décohésion entre constituants 37 Cette technique avait été proposée pour l étude de PBX étant donné l exceptionnel taux de charge qu ils présentent et donc l utilisation problématique des méthodes d estimation classiques. Pour l instant la méthode n a été testée que pour des matériaux sains dont les grains sont élastiques linéaires isotropes, et la matrice viscoélastique, et ne donne des résultats satisfaisants que pour un taux de charge inférieur à 80%. Si l on souhaitait utiliser ce type d approche en prenant en compte la décohésion des particules, les enjeux relatifs à la modélisation de l endommagement se situeraient notamment au niveau de l étape préliminaire (voir Fig.(I.8)). Plus prometteurs semblent les travaux de Matouš et al. [49]. Ces auteurs proposent un outil dédié à l étude des composites énergétiques. Cet outil rassemble un algorithme de génération de volumes aléatoires contenant environ 60 particules et dont les bords sont périodiques (voir Fig.(I.9)). L étude d un de ces volumes commence par la formulation du problème de localisation grâce à des développements asymptotiques. Ce dernier est résolu à l aide des éléments finis en prenant soin de raffiner le maillage dans les zones où les interactions entre les divers constituants semblent concentrées, et en introduisant des éléments cohésifs pour décrire le décollement progressif des particules. Il est à noter que le comportement effectif du matériau finalement obtenu à l issue de l étape d homogénéisation est formulé dans un cadre 3-D. L outil se révèle donc assez puissant mais les auteurs déplorent son coût en terme de ressources informatiques (bien souvent le modèle n est finalement mis en oeuvre que sur des microstructures 2-D), et s interrogent sur la validité du choix de la taille du volume aux bords duquel sont appliquées les conditions aux limites périodiques, comparée à la taille supposée d un VER pour un composite énergétique réel. D autres études similaires faisant intervenir une résolution purement numérique à l aide d éléments finis se limitent à des VER 2-D (voir González et LLorca par exemple [25]). En revanche, sous réserve de disposer d une grande capacité de calcul, l outil développé par Matouš et al. [49] est tridimensionnel. De plus, il semble pouvoir être étendu au cadre des transformations finies, la résolution numérique du problème local dans ce cadre ayant déjà été abordée par Matouš et

38 38 CADRE DE L ETUDE ET OPTIONS RETENUES POUR LA MODELISATION Geubelle dans de précédents travaux [48].

39 I.3 Éléments bibliographiques sur la modélisation de l endommagement par décohésion entre constituants 39 Fig. I.9 Vue en coupe d un VER 3-D généré et maillé automatiquement selon une procédure développée par Matouš et al. [49] I.3.3 Modèles construits à l aide de méthodes d estimation Les méthodes d estimation permettent de construire des modèles dans un cadre 3-D dont la résolution n est en général pas freinée par un manque de puissance de calcul. Dans la littérature, on trouve ainsi de nombreuses tentatives pour introduire l endommagement par décohésion entre les différents constituants. Les modèles diffèrent bien sûr par la méthode d estimation choisie, mais aussi par la façon dont la décohésion est décrite. Un premier exemple est la prise en compte de l endommagement directement au niveau de la modélisation des lois de comportement des phases. Voyiadjis et al. [81] procèdent de cette manière pour décrire l endommagement dans des composites à fibres. Le décollement de la matrice sur les fibres est pris en compte dans le problème d homogénéisation par le biais d une phase supplémentaire correspondant à l interface entre la fibre et la matrice et qui s endommage par microfissuration. Ainsi dans un premier temps, chaque phase (particules, interfaces, matrice), est considérée comme un milieu microfissuré et une loi de comportement élastique endommageable est construite pour chacune des phases. Cette modélisation se fait à l aide d outils classiques de la mécanique de l endommagement (concept de contrainte effective,

40 40 CADRE DE L ETUDE ET OPTIONS RETENUES POUR LA MODELISATION principe d équivalence d énergie, etc...) et du concept de tenseurs de texture ("fabric tensors") développé par Kanatani [35], puis adapté aux matériaux endommagés par Lubarda et Krajcinovic [36]. Ces tenseurs de texture sont construits à partir d une fonction de probabilité de densité de défauts. Ils interviennent dans la formulation du problème en contrainte effective et dans l expression de la surface de charge permettant de décrire l évolution de l endommagement dans chacune des phases. La dernière étape consiste à choisir une technique d estimation pour obtenir les grandeurs macroscopiques souhaitées. L ensemble de ces étapes est récapitulé sur la Fig.(I.10). Fig. I.10 Principe de modélisation de l endommagement par décohésion dans un composite à fibres d après Voyiadjis et al. [81] (M i = matrice représentative des effets de l endommagement -voir Cordebois [13]-) Il est important de noter que la phase additionnelle représentant l interface fibres/matrice possède comme les autres sa propre loi de comportement endommageable, son propre critère d endommagement et surtout son propre tenseur de texture soit la possibilité de décrire une répartition particulière des défauts dans la phase. On peut néanmoins déplorer que le niveau de microfissuration de cette phase

41 I.3 Éléments bibliographiques sur la modélisation de l endommagement par décohésion entre constituants 41 additionnelle correspondant physiquement à la décohésion complète des fibres ne soit pas clairement identifié. Par ailleurs, il semble que l identification des expressions des tenseurs de texture qui constituent le lien avec la réalité physique de l endommagement soit particulièrement délicate. Ceci explique pourquoi ce type de modèle n est pour l instant mis en oeuvre que pour des répartitions de défauts très spécifiques (alignement unidirectionnel des défauts dans chacune des phases par exemple). Pour décrire l endommagement de propergols, Funfschilling [21] propose d utiliser la technique de Mori-Tanaka pour des microstructures qui, dans un premier temps, présentent un état d endommagement fixé. Plus précisément, il s agit de l étude d un composite triphasé constitué : de particules élastiques, de cavités (particules dont le tenseur de rigidité est nul), et d une matrice viscoélastique. Dans un deuxième temps, une proposition est faite pour prendre en compte le déchaussement des particules. Ce dernier n est pas progressif, il est modélisé en remplaçant directement les particules décollées par des cavités. L évolution de la fraction volumique des vides est alors pilotée par une loi de germination. Nous reviendrons succinctement sur la forme que prennent ces lois au paragraphe (III.2.1.1) lors d une discussion concernant les critères de nucléation de défauts présents dans la littérature et adaptés à la description de la décohésion entre constituants. Zhao et Weng [84] utilisent également la technique de Mori-Tanaka pour l étude d une autre classe de composites particulaires. Il s agit de composites à matrice élastoplastique qui s endommagent également par décohésion aux interfaces grains/matrice. Afin de simuler le décollement partiel des grains, Zhao et Weng [84] proposent de remplacer les grains partiellement décollés non pas par des cavités mais par des renforts isotropes transverses. Nous y reviendrons également au paragraphe (III.2.1.1). Tan et al. [69] et [70] proposent d intégrer directement l interface grain/matrice comme une nouvelle phase dans le schéma de Mori-Tanaka (voir Fig.(I.11) 2 ). Cette 2 Pour des raisons de simplicité, le composite réel est ici représenté avec des particules de même forme et taille. De même l inclusion du problème à résoudre présente une forme sphérique alors qu il devrait plutôt s agir d une ellipsoïde dont les proportions sont choisies en fonction de la morphologie locale du matériau.

42 42 CADRE DE L ETUDE ET OPTIONS RETENUES POUR LA MODELISATION nouvelle phase est décrite au moyen d une loi de comportement cohésive bilinéaire ajustée grâce à des expériences sur un explosif particulier : le PBX Une présentation plus complète des lois cohésives sera effectuée lors du paragraphe (III.2.1.2) Fig. I.11 Représentation schématique de la théorie des milieux dilués et de la méthode de Mori-Tanaka en présence d une loi cohésive représentant l interface. Cette dernière avancée permet donc de prendre véritablement en compte la nature physique de l endommagement à savoir le décollement des grains et de la matrice. Dans les travaux de Tan et al. [69], deux types de simulations sont menées à bien. Tout d abord, pour une fraction volumique fixée, une confrontation est effectuée entre les résultats fournis par des microstructures présentant des particules de rayon élevé d une part, et des particules de rayon faible d autre part. Les résultats obtenus montrent une décohésion plus précoce sur les particules de rayon élevé, entraînant rapidement la ruine du matériau. Dans un deuxième temps,

43 I.3 Éléments bibliographiques sur la modélisation de l endommagement par décohésion entre constituants 43 des simulations sont effectuées sur des microstructures présentant une dispersion de tailles de particules. Une fois encore, l endommagement s amorce préférentiellement sur les particules de grande taille, ce qui est conforme aux observations expérimentales (observations du décollement prioritaire des gros grains sur des micrographies -voir micrographies Fig.(I.3) et suivantes-, etc...). Récemment Inglis et al. [32] ont réalisé une étude visant à confronter les résultats obtenus par la technique d homogénéisation proposée Matouš et Geubelle [49] (voir ( I.3.2)), et faisant intervenir la résolution par éléments finis d un problème de localisation formulé grâce à des développements asymptotiques, avec les résultats obtenus par Tan et al. [70] à l aide du schéma de Mori-Tanaka. Ils proposent de prendre comme support de l étude un volume constitué de particules sphériques aléatoirement réparties et dont les bords sont périodiques, de façon à pouvoir utiliser le modèle de Matouš et al. [49]. La confrontation est effectuée dans le cadre des petites perturbations (HPP), pour des chargements équibiaxiaux, sur des matériaux fortement contrastés et dont chacun des constituants au comportement élastique linéaire isotrope est relié à l autre au moyen d une loi cohésive bi-linéaire. Le volume servant de socle à la comparaison est construit en 2-D et on y applique l hypothèse des déformations planes. Les résultats obtenus montrent que le schéma de Mori-Tanaka donne une bonne estimation du comportement global pour un temps CPU faible tant que les interactions entre particules ne sont pas trop importantes, soit pour des fractions volumiques de particules inférieures à 50%. Ce type d approche ne conviendra donc pas pour la classe de matériau envisagée. Par ailleurs, cette technique ne permet pas de prendre en compte des fluctuations intraphase dans l estimation du comportement global, aspect pourtant important pour l éventuelle extension à des comportements de phase non linéaires. Nous reviendrons sur ce point au paragraphe (II.3.3). La richesse des résultats obtenus par une résolution par éléments finis du problème local en font bien entendu une méthode plus performante de ce point de vue. Il faut également souligner qu un plus grand nombre de chargements peut être envisagé. Toutefois on peut regretter, à l heure actuelle, la restriction de leur champ d appli-

44 44 CADRE DE L ETUDE ET OPTIONS RETENUES POUR LA MODELISATION cation à des VER 2-D dûs à la mise en oeuvre assez lourde qu ils exigent et à la longueur des temps CPU, mais l on peut raisonnablement être optimiste sur la levée des ces verrous techniques au vu des dernières avancées en matière de puissance de calcul. Pour décrire la réalité physique d un endommagement par décohésion aux interfaces grains/matrice ou fibres/matrice, quelques auteurs ont adapté la technique TFA (Transformation Field Analysis) initialement proposée par Dvorak et Benveniste [17]. Le principe est de reformuler le problème de décohésion en un problème d homogénéisation élastique équivalent qui peut ensuite être classiquement résolu. Ainsi, les effets de la décohésion sont pris en compte dans le problème équivalent sous forme de déformations élastiques additionnelles (eigenstrains), puis par extension sous la forme de contraintes résiduelles (voir Dvorak et Zhang [18] pour une formulation en contraintes, et Matouš [47] pour une formulation en déformation, toutes deux appliquées à des élastomères renforcés de particules de verre). Toutefois, l identification des déformations additionnelles équivalentes s avère une étape délicate nécessitant parfois l utilisation de calculs numériques, par éléments finis par exemple (Dvorak et al. [16]). La prise en compte de l endommagement via une technique TFA a initialement été utilisée pour des matériaux dont les constituants ont tous des lois de comportement élastique à l état sain. Par la suite, elle a été étendu à des matériaux dont les constituants présentent un comportement non-linéaire (élastoviscoplastique chez Chaboche et al. [10] par exemple), ouvrant ainsi la voie à de plus grandes applications. Dans ce cas, une étape de linéarisation des lois de comportement locales s avère nécessaire. À cet effet, Chaboche et al. [10] proposent une alternative aux techniques de linéarisation classiques (sur lesquelles nous reviendrons au chapitre suivant ( II.3.4)) utilisant la TFA. Ainsi les effets de chaque source de non-linéarité (endommagement + non-linéarité du comportement des constituants), est prise en compte par le biais de déformations additionnelles élastiques équivalentes.

45 I.3 Éléments bibliographiques sur la modélisation de l endommagement par décohésion entre constituants 45 I.3.4 Bilan et enjeux par rapport aux exigences liées à la modélisation de l endommagement dans les composites énergétiques Comme nous l avons vu, pour de faibles sollicitations, la classe de matériaux considérée s endommage par décohésion aux interfaces grains-matrice (voir I.1.2). La morphologie à l échelle locale du composite a donc un rôle crucial dans le positionnement, l orientation et la morphologie des défauts qui apparaissent. La connaissance de ces informations peut non seulement permettre d améliorer la qualité des réponses macroscopiques qui en sont déduites, mais peut également revêtir une importance supplémentaire selon l application choisie. Dans le cas des composites énergétiques (voir Dienes et al. [15], Tarver et Tran [71], Chen et al. [11]) ces données, ainsi que l évaluation des champs locaux de déformation et de contrainte, constituent les points d entrée des modèles réactifs comme précisé au paragraphe (I.1). Il convient donc de choisir un modèle capable de fournir ces données avec le plus de précision possible. C est cette volonté de prendre en compte de manière précise la morphologie du matériau (forme et arrangement des charges) qui motive le choix d une technique de transition d échelle aux dépends des modèles phénoménologiques. Si l étape de représentation de la morphologie locale du composite sain (i.e. non endommagé) est de qualité, et en particulier la restitution de l orientation des interfaces grains/matrice alors on pourra d une certaine façon qualifier le modèle de déterministe. En effet, on saura dès l instant initial quelles seront les orientations possibles des futurs microdéfauts. A ce critère discriminant de représentation de la morphologie locale, il faut rajouter quelques enjeux plus classiques de la mécanique de l endommagement sur lesquels nous ne sommes passés que brièvement et qu il faudra bien sûr relever. Tout d abord, la présence de défauts dans le matériau induit une dégradation des différents modules. Celle-ci s accompagne en général de l apparition d une anisotropie globale induite par l endommagement. Une bonne modélisation doit pouvoir rendre compte de cet effet ainsi que des couplages avec une éventuelle anisotropie initiale

46 46 CADRE DE L ETUDE ET OPTIONS RETENUES POUR LA MODELISATION du matériau. Une fois encore, une étape de représentation de la morphologie du matériau de qualité favorise cette prise en compte. Un autre défi est de pouvoir décrire correctement les effets unilatéraux dûs à la refermeture des défauts au cours du chargement. Une bonne appréciation des phénomènes physiques à l échelle locale favorise une prise en compte correcte de ce phénomène. La modélisation par transition d échelle retenue doit répondre à cet enjeu. Enfin le modèle choisi doit être adapté à la description de composites fortement chargés ce qui n est pas le cas de nombreux modèles d homogénéisation existants. Les modèles d homogénéisation en champs moyens permettent une prise en compte de l anisotropie et des effets unilatéraux, mais les estimations qu ils fournissent se détériorent avec l augmentation du taux de charges (voir les travaux de Inglis et al. [32], ou encore Funfschilling [21], résumés au ( I.3.3) par exemple). Les interactions entre particules doivent donc demeurer faibles. Aussi pour des matériaux dépassant 70% de taux de charges, ces méthodes ne sont plus applicables directement. Par ailleurs, les méthodes en champs moyens qui négligent les fluctuations intraphase dans l estimation du comportement global ne permettent pas en général de décrire l influence de ces fluctuations sur l initiation de l endommagement ni de prendre en compte les fluctuations induites par l endommagement lui-même. Nous avons vu que les modèles proposant une résolution numérique du problème de localisation, à l aide des éléments finis par exemple, sont performants de ce point de vue. Ils permettent une prise en compte réelle de la microstructure, un accès aux déformations et contraintes locales, et une bonne description de la décohésion entre grains et matrice grâce à l utilisation des éléments finis cohésifs par exemple. Toutefois, ils nécessitent la définition d un VER aux bords périodiques et sont de gros consommateurs de puissance de calcul, si bien qu ils ne sont pour l instant utilisés efficacement que sur des problèmes 2-D. Enfin, bien que l évolution de l endommagement puisse parfois être traitée finement à l échelle locale, cette description ne sert finalement qu à identifier les paramètres de lois d évolutions macroscopiques. En particulier, il n y a pas de retour sur les effets de l endommagement à l échelle microscopique.

47 I.4 Choix de l approche morphologique et chronologie des travaux antérieurs 47 I.4 Choix de l approche morphologique et chronologie des travaux antérieurs La technique de transition d échelle proposée par Christoffersen [12] pour décrire le comportement de composites particulaires sains fortement chargés a été choisie comme socle de l ensemble des travaux menés entre le CEG et le LMPM en vue de construire une modélisation apte à fournir, à terme, les données d entrée des modèles réactifs. Il s agit d une méthode d estimation qui introduit une schématisation directe et explicite de la microstructure adaptée à la morphologie granulaire des matériaux concernés dans cette étude, et en particulier à leur très fort taux de charges. Dans la suite de ce manuscrit, nous la qualifierons d "approche morphologique" (AM). En particulier une bonne description des interfaces grains-matrice est proposée, ce qui est crucial pour la prise en compte de l endommagement par décohésion de ces interfaces. En raison de l aspect direct de la schématisation microstructurale réelle, elle peut être considérée comme une alternative aux méthodes plus classiques décrivant les microstructures par le biais de fonctions de probabilité. Un autre avantage de la technique de transition d échelle choisie est qu elle permet d obtenir moyennant quelques hypothèses cinématiques, une estimation des champs locaux qui, dans la matrice, se trouvent directement influencés par la morphologie locale. En HPP, il s agit même d expressions analytiques. Enfin, elle offre un moyen de prendre en compte une certaine hétérogénéité de déformation dans la phase matrice dans l estimation du comportement global. Chacune des étapes d une modélisation par transition d échelle constitue un problème scientifique plus ou moins délicat à résoudre. L enjeu est d autant plus grand que les non-linéarités que l on veut restituer sont nombreuses. Compte-tenu du comportement réel des élastomères chargés dont le CEG veut obtenir une caractérisation (grandes déformations, viscoélasticité, endommagement), une modélisation construite par palier à partir des travaux de Christoffersen a été entreprise. Chaque palier correspond soit à l introduction d une nouvelle non-linéarité, soit au déblocage

48 48 CADRE DE L ETUDE ET OPTIONS RETENUES POUR LA MODELISATION d un verrou scientifique. Une série de travaux a tout d abord été lancée sur le composite sain. Les travaux de Christoffersen ne traitent que de composites dont l ensemble des constituants (grains + matrice) présentent un comportement élastique linéaire. Une première étape à donc été réalisée par Nadot et al. [45] et [56]) pour prendre en compte le caractère viscoélastique de la matrice, toujours dans le cadre des petites perturbations (HPP). Les résultats obtenus aux deux échelles témoignent de l aptitude de la transition d échelle à décrire la nature spatio-temporelle des interactions locales entre les constituants de même que la manifestation macroscopique de ces dernières qualifiée d effet mémoire-longue (Suquet [68]). Il s agit là d un des enjeux principaux que se doit de relever une transition d échelle en viscoélasticité (voir Zaoui et Raphanel [83]) La seconde étape du travail sur le matériau sain a été d étendre au cadre des transformations finies (TF) l ensemble des ingrédients propres à la technique de Christoffersen et nécessaires à la formulation du problème local. Ce travail a été effectué lors de la thèse de Guiot [27] (voir aussi [28]). Le problème local a ensuite été formulé pour un comportement viscohyperélastique de la matrice, et une première tentative de résolution a été amorcée en s efforçant de pousser les développements analytiques le plus loin possible. D un point de vue pratique, Guiot a mis en oeuvre l approche sur un composite périodique simple à constituants hyperélastiques de manière à illustrer les points saillants de cette nouvelle approche (accès aux champs locaux, hétérogénéité intraphase,...). La résolution du problème de localisation-homogénéisation hyperélastique a finalement été effectuée de manière numérique (voir [28]). À la suite de ces travaux, Touboul [73] a entrepris dans le cadre de sa thèse un large travail d évaluation de l approche morphologique (AM) ainsi construite. Elle a tout d abord achevé la résolution du problème de localisation-homogénéisation viscohyperélastique sur des microstructures aléatoires générées numériquement, prouvant ainsi son applicabilité concrète à ce cadre exigeant. Puis dans un second temps elle a testé les performances quantitatives du modèle en réalisant des confrontations entre l approche morphologique (AM) et des calculs réalisés par la

49 I.4 Choix de l approche morphologique et chronologie des travaux antérieurs 49 technique des éléments finis (EF). Elle a ainsi pu dégager le potentiel et les limites de l AM appliquée non seulement à des microstructures périodiques, mais aussi à la microstructure d un matériau énergétique réel, la butalite 400. La proximité des estimations EF et AM sur l exemple d un essai de compression hydrostatique apparaît particulièrement encourageante. Enfin, ses travaux mettent en place un protocole détaillé relatif à l ultime phase de validation de l AM pour le matériau sain par confrontation à des résultats expérimentaux. Parallèlement à ces travaux sur le matériau sain, une réflexion a été menée sur la prise en compte de l endommagement par décohésion aux interfaces grains/matrice. Cette nouvelle source de non-linéarité a été introduite par Nadot et al. (voir [45] et [54]) dans le cadre des petites perturbations et pour des matériaux dont les grains ont un comportement élastique et la matrice un comportement viscoélastique. Dans le cas de composites exclusivement élastiques, le modèle a été complété d une approche de localisation-homogénéisation complémentaire indispensable pour déterminer les dernières grandeurs non identifiées caractérisant l influence directe des défauts sur leur entourage (voir Nadot et al. [54]). C est à la suite de ces travaux que s inscrit notre travail. En effet la transition d échelle en deux étapes construite par Nadot et al. [54] ne permet pas de prendre en compte l évolution de l endommagement dans le matériau. Elle est formulée pour un état d endommagement fixé (nombre total de défauts fixé) et pour une configuration de l endommagement fixée (proportions respectives de défauts ouverts et fermés fixées pour un nombre de défauts donné). Les travaux présentés dans ce manuscrit auront donc pour principal but de pallier cette lacune. Ce faisant, il ne faudra pas oublier que le travail se situe dans une démarche plus globale et envisager dès le départ une extension des travaux présentés à un nombre plus grand de non-linéarités afin de se rapprocher du comportement véritable des composites énergétiques (comportement viscoélastique de la matrice, grandes déformations,...). L ensemble des travaux déjà effectués visant à modéliser le comportement nonlinéaire des composites énergétiques est récapitulé sur le schéma (I.12).

50 50 CADRE DE L ETUDE ET OPTIONS RETENUES POUR LA MODELISATION Fig. I.12 Bilan des différents travaux effectués en collaboration avec le CEG pour modéliser le comportement de composites énergétiques Dans le chapitre suivant nous nous proposons de rappeler les grandes lignes de l extension de l approche morphologique (AM) en présence d endommagement et qui constitueront le socle de ces travaux de thèse. Ce chapitre se clôturera sur un nouveau bilan qui permettra de revenir plus en détails sur les solutions apportées par la technique de modélisation choisie par rapport aux enjeux que nous avons déjà

51 I.4 Choix de l approche morphologique et chronologie des travaux antérieurs 51 évoqués.

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53 Chapitre II L APPROCHE MORPHOLOGIQUE POUR UN ETAT D ENDOMMAGEMENT FIXE : PRESENTATION ET ANALYSE

54 54 L APPROCHE MORPHOLOGIQUE POUR UN ETAT D ENDOMMAGEMENT FIXE : PRESENTATION ET ANALYSE Sommaire II.1 Extension des travaux de Christoffersen en présence d endommagement II.1.1 Schématisation de la microstructure II.1.2 Approche du problème local II Cinématique II Relations de passage micro-macro II Principe de résolution II.2 Résultats en élasticité : présentation, analyse et approche complémentaire II.2.1 Préliminaires II.2.2 Expression des champs locaux II.2.3 Expression de la contrainte homogénéisée II.2.4 Procédure de localisation-homogénéisation complémentaire 77 II.3 Positionnement par rapport aux autres méthodes d estimation II.3.1 Bilan synthétique par rapport aux objectifs de modélisation de l endommagement II.3.2 Interaction entre morphologie locale et endommagement. 84 II.3.3 Hétérogénéité intraphase et accès aux champs locaux II.3.4 Réflexion sur la prise en compte d autres non-linéarités.. 87 II.3.5 Perspectives offertes par le modèle

55 55 En 1983, Christoffersen [12] a proposé une technique de description du comportement des composites granulaires sains dont le taux de charge est élevé. Plus précisément, il a défini un cadre géométrique et cinématique, formulé sur cette base une approche du problème de localisation-homogénéisation et enfin obtenu les résultats aux deux échelles pour des constituants (grains/matrice) élastiques linéaires. Les travaux de Nadot et al. publiés en 2006 [54] se présentent comme une extension de ce modèle aux composites souffrant d endommagement par décohésion aux interfaces grains/matrice. Dans ce chapitre, le rappel des grandes étapes de cette méthodologie étendue ( II.1) sera suivi de la présentation des principaux résultats obtenus aux deux échelles pour des matériaux dont tous les constituants présentent un comportement élastique linéaire, et pour une configuration d endommagement donnée (i.e. pour un nombre donné de défauts ouverts et un nombre donné de défauts fermés, sans que ces paramètres puissent évoluer) ( II.2). Une discussion autour de la méthodologie de Christoffersen étendue et de ses résultats nous amènera également à présenter la procédure de localisation-homogénéisation complémentaire proposée par Nadot et al. pour expliciter certaines grandeurs directement liées à l influence des défauts dans l estimation des déformations locales ( II.2.4). Un bilan critique de l ensemble de ces résultats nous permettra finalement de dégager les points positifs et négatifs de l approche morphologique (AM) ainsi obtenue par rapport aux enjeux en matière de description de l endommagement et dans l optique d une extension au traitement de phases au comportement non-linéaire ( II.3). Nous verrons enfin les limites d application de cette technique, ce qui nous poussera à définir une liste de nouveaux outils à prévoir pour dépasser le cadre restreint d un état d endommagement fixe.

56 56 L APPROCHE MORPHOLOGIQUE POUR UN ETAT D ENDOMMAGEMENT FIXE : PRESENTATION ET ANALYSE II.1 Extension des travaux de Christoffersen en présence d endommagement II.1.1 Schématisation de la microstructure La représentation de la microstructure aléatoire sur laquelle repose l AM a initialement été proposée par Christoffersen [12] pour une classe de composites particulaires à fort taux de charge. La première étape consiste en une polyédrisation, des grains du matériau réel. Cette étape est réalisée de sorte que les grains forment au final un agrégat dense de polyèdres dont les interfaces en regard sont parallèles. (voir Fig.(II.1)) Fig. II.1 Polyédrisation d une microstructure aléatoire réalisée au CEG En conséquence, les grains sont séparés les uns des autres par de fines couches de matrice d épaisseur constante notée h α pour la couche α. Les interfaces grains/matrice sont caractérisées par leur normale unitaire notée n α pour la couche α. La répartition spatiale des grains est prise en compte par l intermédiaire des vecteurs reliant les centroïdes des grains. Ainsi le vecteur d α relie les centroïdes des deux grains entourant la couche α. Ces trois premiers paramètres sont récapitulés sur la représentation 2-D de la Fig.(II.2). Un dernier paramètre, qualifié d aire projetée et permettant de préciser la notion de couche, est défini comme suit. En réalisant la projection des deux facettes de grains entourant une couche sur le plan médian de cette dernière, on récupère deux

57 II.1 Extension des travaux de Christoffersen en présence d endommagement 57 Fig. II.2 Paramètres morphologiques d une couche de liant selon Christoffersen [12] aires projetées. On calcule alors la moyenne de ces deux aires. L aire résultante notée A α, aire projetée pour la couche α considérée, est alors affectée à cette dernière. (voir Fig.II.3) Fig. II.3 Définition de l aire projetée d une couche de liant En résumé, la couche α est le volume initial de liant V α = A α h α auquel on affecte l orientation n α. La couche α ne correspond donc pas exactement à la zone de matrice confinée entre les deux facettes en regard ; elle peut notamment déborder dans les zones adjacentes non strictement comprises entre les facettes (voir zones encerclées sur la Fig.(II.4)). La caractérisation précise des orientations des interfaces proposée par cette méthode est un atout majeur pour la description de l endommagement qui apparaîtra précisément à ces interfaces. On remarquera toutefois que la portée de cette description directe et explicite de la morphologie locale du matériau est dépendante de la qualité de l étape de polyédrisation qui la précède. En effet, plus

58 58 L APPROCHE MORPHOLOGIQUE POUR UN ETAT D ENDOMMAGEMENT FIXE : PRESENTATION ET ANALYSE Fig. II.4 Définition d une couche de liant la polyédrisation sera fine, plus on se rapprochera de la microstructure réelle. Cette étape de polyédrisation, dont nous reparlerons au Chapitre (IV), fait actuellement l objet d une optimisation au Centre d Études de Gramat. Enfin on aura noté que l ensemble des paramètres morphologiques définis (A α, h α, n α,...) se rapportent à la configuration initiale du matériau en conformité avec l extension de l AM aux transformations finies réalisée par Guiot ([27] et [28]) dans un cadre lagrangien (voir aussi Touboul [73]). Dans la suite, on notera I α 1, respectivement I α 2, l interface de la couche α de normale n α (i.e. avec le grains de centre A), respectivement de normale n α (i.e. avec le grains de centre B), voir Fig.(II.4). II.1.2 Approche du problème local On va maintenant présenter la formulation du problème local dans sa version étendue, c est à dire en présence d endommagement. On s attachera à distinguer ce qui est issu des travaux de Christoffersen sur le matériau sain, de ce qui constitue une extension aux matériaux endommagés et qui a été formulé par Nadot et al. [54]. Pour plus de lisibilité, on limitera la présentation aux seuls aspects méthodologiques et aux formules essentielles à la suite de la thèse. Le lecteur intéressé par plus de détails pourra se référer à Nadot et al. [54] pour les développements intermédiaires ayant conduit aux expressions présentées.

59 II.1 Extension des travaux de Christoffersen en présence d endommagement 59 II Cinématique L approche du problème local s appuie sur un cadre cinématique simplificateur qui s articule autour de quatre hypothèses initialement formulées par Christoffersen [12] pour l étude de composites sains. Nadot et al. [54] ont introduit les défauts aux interfaces grains/matrice de manière compatible avec ce cadre cinématique. Les hypothèses en question sont conservées en présence d endommagement et sont rappelées ci-dessous : 1. Les centroïdes des grains sont supposés avoir un mouvement d ensemble défini par le gradient de déplacement global F (donnée du problème). 2. Tous les grains du VER ont un gradient de déplacement homogène et identique noté f Chaque couche α possède un gradient de déplacement homogène sur son volume mais variable d une couche à l autre. Il est noté f α pour la couche α. 4. Les perturbations localisées dans les zones environnant les coins et arêtes des grains, zones de recouvrement éventuel des couches, sont négligées en raison de la finesse des couches. De ce fait, chaque couche n est sollicitée que par ses interfaces avec les deux grains qu elle sépare (voir Fig.II.5). On notera que la deuxième hypothèse sera d autant mieux vérifiée que le contraste entre grains et matrice sera grand (grains quasi-rigides), et que le taux de charge sera élevé (favorisant un mouvement d ensemble). L hypothèse 3 semble quant à elle acceptable compte-tenu de la faible épaisseur des couches. Pour obtenir les champs de déplacement locaux au coeur du matériau sain, Christoffersen [12] utilise les conditions de continuité au travers des interfaces grains/couches en tenant compte des hypothèses rappelées ci-dessus. Le gradient de déplacement d une couche α est ainsi obtenu en fonction du gradient de déplacement global F (la donnée du problème local), du gradient de déplacement des grains f 0 et de la géométrie locale : f α ij = f 0 ij + (F ik f 0 ik) dα k nα j h α (II.1)

60 60 L APPROCHE MORPHOLOGIQUE POUR UN ETAT D ENDOMMAGEMENT FIXE : PRESENTATION ET ANALYSE Fig. II.5 Transmission des informations cinématiques dans la microstructure selon Christoffersen [12] Comme le gradient de déplacement de la couche α dépend de ses caractéristiques géométriques propres : (h α, n α, et d α ), son gradient de déplacement lui sera propre également, de même que sa déformation et sa rotation que l on obtient par extraction de la partie symétrique et antisymétrique respectivement. Ainsi ce modèle permet de prendre en compte l influence de la microstructure sur la déformation locale au sein de la phase matrice, et par la suite d obtenir une certaine hétérogénéité de déformation dans l estimation du comportement homogénéisé. En revanche, comme on l a vu, le modèle ne pourra pas décrire d hétérogénéité dans la phase grain ce qui encore une fois est acceptable si l on étudie le comportement de matériaux à fort contraste uniquement (voir thèse Touboul [73]). L expression du gradient de chaque couche α témoigne de l absence d interaction directe possible entre les couches. En effet, c est uniquement via la présence de f 0 qu une couche α ressentira la présence des autres couches contenues dans le VER conformément à ce qui est décrit Fig.(II.5). Enfin, on remarquera que la seule connaissance de f 0 permet d avoir accès à l ensemble des déformations et rotations dans les différentes couches, les paramètres morphologiques ainsi que le gradient de déplacement macroscopique F étant des données du problème. Ainsi, f 0 apparaît comme l inconnue principale du problème de localisation-homogénéisation. Sa détermination sera décrite au

61 II.1 Extension des travaux de Christoffersen en présence d endommagement 61 paragraphe (II.1.2.3). En présence d endommagement, les microdéfauts sont introduits dans l AM par Nadot et al.[54] sous forme de sauts de déplacement aux interfaces grains/matrice concernées. Toutefois, la continuité du champ de déplacement aux interfaces des couches saines est conservée et utilisée pour exprimer leur gradient de déplacement. Ce dernier aura donc la forme (II.1), mais en revanche il sera influencé par la présence d endommagement ailleurs dans le matériau comme nous le verrons à partir du paragraphe (II.2.2) (modification de l expression de f 0 en présence d endommagement). Le cadre cinématique adopté a des répercussions sur la forme des sauts de déplacement qui sont introduits. Tout d abord, il implique que les vecteurs représentatifs de la discontinuité de déplacement le long des interfaces décollées sont nécessairement des fonctions affines des coordonnées spatiales. La démonstration de ce point est rappelée dans Nadot et al. [54]. Ainsi la description cinématique de Christoffersen [12] ne permet pas de décrire une décohésion partielle des interfaces. Par ailleurs, l hypothèse imposant un gradient de déplacement homogène et identique pour les grains implique qu il existe seulement deux configurations possibles pour une couche α. Ainsi, soit aucune de ses interfaces I1 α et I2 α n est décollée, soit les deux le sont simultanément (voir Fig.(II.6)). Afin de rendre acceptable cette double décohésion le cas échéant, le cadre géométrique initialement proposé par Christoffersen a été restreint par Nadot et al. [54] via l ajout d une nouvelle contrainte à satisfaire lors de la polyédrisation de la microstructure. Ainsi deux interfaces opposées doivent désormais avoir des propriétés géométriques (forme et surface) proches. Les auteurs parlent de compromis nécessaire pour pouvoir conserver en présence d endommagement le cadre cinématique au départ de l AM et à l origine de ses principaux atouts. Avec l hypothèse géométrique précédente et étant donné le parallélisme des interfaces en regard en cours de déformation (hypothèse 2), Nadot et al. supposent alors les vecteurs moyens de discontinuité de déplacement b α i [1, 2] de signe I α i

62 62 L APPROCHE MORPHOLOGIQUE POUR UN ETAT D ENDOMMAGEMENT FIXE : PRESENTATION ET ANALYSE Fig. II.6 Représentation schématique de la double décohésion des interfaces grains/couche, pour une couche de matrice α localement sollicitée en traction. opposé. Au final, l écriture des conditions de saut de déplacement aux interfaces d une couche α décollée (en considérant une forme affine simplifiée du saut : b α i = f αd ij y j ) permet d obtenir son gradient de déplacement sous la forme suivante (voir Nadot et al. [54] pour les détails) : avec : f α ij = f 0 ij + (F ik f 0 ik) dα k nα j h α + f αd ij (II.2) b α i I α 1 = b α i I α 2 = 1 2 f αd ij c α j (II.3) où c α est le vecteur qui relie les barycentres des deux interfaces I1 α et I2 α. Le terme supplémentaire dans (II.2) -par rapport à (II.1) pour une couche aux interfaces saines- représente la contribution directe des deux défauts présents aux interfaces de la couche α considérée sur son gradient de déplacement. Comme pour le matériau sain, la connaissance de f 0 permettra d avoir accès à la déformation et à la rotation de chacune des couches matrice, via (II.1), respectivement (II.2), pour les couches dont les interfaces sont saines, respectivement décollées. Avant de présenter les relations de passage entre les échelles micro et macro qui vont permettre d achever la résolution du problème local, il est important de

63 II.1 Extension des travaux de Christoffersen en présence d endommagement 63 récapituler les différentes étapes du raisonnement qui ont finalement conduit à la forme (II.2). C est l objectif de la figure (II.7) qui permet en outre de distinguer les conséquences des hypothèses cinématiques au départ de l AM sur la prise en compte de l endommagement des hypothèses qui ont été explicitement rajoutées par Nadot et al. [54]. Cette vue d ensemble nous permettra par ailleurs de nous positionner par rapport aux autres techniques de modélisation ( II.3). Enfin, on donne ci-après l expression en fonction de F et f 0 du champ de déplacement au sein du matériau endommagé. Il est défini à un déplacement global constant près noté u c. Pour un grain quelconque de centroïde A, on a (en vertu des hypothèses cinématiques 1 et 2) : u 0 i ( y) = u c i + (F ij f 0 ij)y A j + f 0 ijy j (II.4) Ensuite, pour une couche α, le raisonnement précédemment résumé ayant conduit à (II.1) et (II.2) fournit également : u α i ( y) = u c i+(f ij fij)y 0 j A +fijy 0 j +(F ik fik) 0 dα k nα j h (y 0 si la couche α est saine j y B1 α j )+ fij αd y j sinon (II.5) où A est le centroïde du grain A et B1 le centroïde de l interface I α 1.

64 64 L APPROCHE MORPHOLOGIQUE POUR UN ETAT D ENDOMMAGEMENT FIXE : PRESENTATION ET ANALYSE Fig. II.7 Récapitulatif de l ensemble des hypothèses servant à la formulation du problème local.

65 II.1 Extension des travaux de Christoffersen en présence d endommagement 65 II Relations de passage micro-macro L établissement du système d équations permettant de déterminer l inconnue f 0 est effectué en ayant recours aux relations de passage micro-macro suivant une méthodologie analogue à celle de Christoffersen [12] pour le matériau sain. La compatibilité entre la cinématique locale décrite dans la partie précédente, et le mouvement global décrit par la donnée de F est assurée au sens de la relation de moyenne sur le gradient de déplacement. En présence d endommagement la contribution de chacun des microdéfauts présents au sein du VER y est incluse par le biais des sauts de déplacement b k : F ij = f ij V + 1 V { k I k 1 b k i n k j da I k 2 b k i n k j da } (II.6) où l indice de sommation "k" fait référence à l ensemble des couches dont les interfaces sont décollées (que les défauts soient ouverts ou fermés). où V est la somme des volumes des grains et de toutes les couches du VER. où f ij V = (1 c)f 0 ij + 1 V fija α α h α α (II.7) et où c désigne la concentration volumique des couches par rapport au volume V. c = 1 V A α h α α (II.8) La nécessité de satisfaire la relation (II.6) donne naissance à une condition de compatibilité portant sur la morphologie du composite schématisé (voir Nadot et al. [54] pour plus de détails) : 1 V d α i n α j A α = δ ij α (II.9) avec δ ij symbole de Kronecker. Il est à noter que cette condition de compatibilité est déjà nécessaire pour décrire le matériau sain. Elle implique la taille du volume considéré, mais aussi des conditions sur les paramètres morphologiques identifiés à l issue de la polyédrisation, et

66 66 L APPROCHE MORPHOLOGIQUE POUR UN ETAT D ENDOMMAGEMENT FIXE : PRESENTATION ET ANALYSE par conséquent sur le matériau réel. On peut très bien imaginer des composites pour lesquels, quelle que soit la taille du volume V considéré, (II.9) ne soit jamais satisfaite. Dans ce cas la compatibilité entre mouvement local et global n est pas assurée, si bien que l AM ne leur est pas applicable. Ainsi la condition (II.9) est un critère d applicabilité de l AM à un composite donné. Bien entendu (II.9) fait également office de critère de choix de VER "mécanique" associé à l AM intervenant en amont de conditions plus classiques telles que la stabilisation de la propriété à estimer. Le lecteur intéressé pourra se référer aux travaux de Touboul [73] pour plus de détails sur la détermination du VER dans le cas d un matériau sain. Pour le matériau endommagé, le lemme de Hill généralisé associé à des conditions aux limites homogènes en contraintes est écrit de manière conforme à la discrétisation géométrique et cinématique introduite. Il permet alors d aboutir -comme pour le matériau sain depuis le principe de macrohomogénéité de Hill-Mandel- au système suivant (Voir Martin [45] et Nadot et al. [54] pour plus de détails) : avec : Σ ij = σ ij V = (1 c)σij σ V ija α α h α α Σ ij = 1 t α i d α j = 1 t α j d α i V V α α t α j = σ α kjn α k A α (II.10) (II.11) et où Σ représente la contrainte macroscopique, σ 0 la contrainte moyenne sur le volume total des grains, σ α la contrainte moyenne sur le volume de la couche α, et t α la force totale transmise à travers la couche α. La première des deux équations du système (II.10) est une relation de moyenne classique, alors que la seconde est propre à l AM mettant l accent sur la description du caractère granulaire du matériau. Elle rend compte du fait que la transmission des effets au sain du matériau se fait conformément à la Fig.(II.5). Pour les couches aux interfaces décollées, deux cas sont alors considérés. Si les défauts aux interfaces de la couches sont ouverts, alors le vecteur t α est nul. En revanche, si les défauts sont fermés, alors l intégralité de t α est transmise comme dans le cas des couches saines.

67 II.1 Extension des travaux de Christoffersen en présence d endommagement 67 En effet, pour une approche progressive des difficultés Nadot et al. [54] ont supposé un coefficient de frottement infini des lèvres de défauts de sorte qu aucun glissement n est possible. Relaxer cette hypothèse constitue clairement l une des perspectives de ce travail. II Principe de résolution La connaissance de l ensemble des gradients de déplacement dans les grains et dans les différentes couches de matrice du matériau via (II.1) ou (II.2) ne dépend plus que de la résolution du système (II.10). C est à ce niveau qu il faut choisir les lois de comportement des constituants (matrice et grains). En pratique, la résolution du système (II.10) en présence d un endommagement fixé et pour un coefficient de frottement infini s effectue selon le même principe que pour le matériau sain, c est à dire en considérant f 0 comme l inconnue principale du problème. Les étapes sont les suivantes : 1. On réécrit le système (II.10) pour en extraire une unique équation : (1 c)σ 0 ij + 1 V α σ α ija α h α 1 V t α i d α j = 0 α (II.12) où la deuxième somme porte seulement sur les couches dont les interfaces avec les grains qu elles séparent sont saines ou avec des défauts fermés. 2. Il faut ensuite insérer les lois de comportement pour chacun des constituants dans (II.12). La loi constitutive des grains donne σ 0 = g I (f 0 ), celle de la matrice donne σ α = g II (f 0, f αd, F, n α, d α, A α, h α ) ou σ α = g III (f 0, F, n α, d α, A α, h α ) grâce à la relation (II.2) ou (II.1) selon que la couche α possède ou non des défauts à ses interfaces. On obtient ainsi une équation dont l inconnue principale est f 0, et où F et les paramètres morphologiques sont des données. Cette équation est néanmoins paramétrée par l ensemble de tenseurs { f αd} relatifs aux défauts présents au sein du VER. 3. La résolution de l équation (II.12) ainsi formulée permet alors d exprimer f 0 en fonction des données et des paramètres { f αd}.

68 68 L APPROCHE MORPHOLOGIQUE POUR UN ETAT D ENDOMMAGEMENT FIXE : PRESENTATION ET ANALYSE 4. Enfin on peut finalement remonter aux gradients de déplacement de toutes les couches, via (II.1) ou (II.2). Par passage à la partie symétrique, on obtient ensuite le champ de déformation local. Grâce aux lois de comportement des constituants, on accède alors au champ de contrainte local. Et par moyenne (Eq.(II.10)), on récupère enfin la contrainte homogénéisée Σ. L ensemble de ces étapes est récapitulé sur la figure (II.8). Pour terminer, on notera que les conditions aux limites en contraintes homogènes ne sont utilisées que d un point de vue théorique pour la mise en place du système (II.10) depuis l écriture du lemme de Hill. Dans la pratique, elles ne sont pas explicitement appliquées aux frontières du volume schématisé ; la résolution du problème de localisation-homogénéisation, conformément au principe précédemment résumé, est pilotée en gradient de déplacement macroscopique F, considéré comme la donnée caractéristique du "chargement" imposé.

69 II.1 Extension des travaux de Christoffersen en présence d endommagement 69 Fig. II.8 Principe de résolution du problème de localisation-homogénéisation de Christoffersen étendu en présence d un état d endommagement fixé, d après Nadot et al. [54]. Il apparaît clairement sur ce schéma que la résolution du problème de localisation-homogénéisation est pour l instant partielle. En effet, les grandeurs locales (déformations, contraintes) de même que la contrainte homogénéisée seront exprimées en fonction de l ensemble de tenseurs { f αd}, plus particulièrement de l ensemble de leur partie symétrique { ɛ αd}. Cela tient au fait, que mise à part la linéarité du saut de déplacement aux interfaces décollées, conséquence directe de la description cinématique (voir Fig.(II.8)), rien n a été formulé concernant la dépendance de ce saut (même moyen) au chargement imposé. Il s agit d un choix

70 70 L APPROCHE MORPHOLOGIQUE POUR UN ETAT D ENDOMMAGEMENT FIXE : PRESENTATION ET ANALYSE qui confère à la formulation et au principe de résolution du problème de localisation-homogénéisation étendu par Nadot et al. [54] en présence d endommagement, un caractère général, indépendant du comportement envisagé pour les grains et la matrice. Cela conserve l un des aspects essentiels des travaux originels de Christoffersen. De plus, par rapport à une stratégie qui aurait consisté à incorporer, en amont de la résolution, d éventuelles expressions des sauts de déplacement ou des { f αd} en fonction du chargement macroscopique, la stratégie adoptée favorisera la lisibilité des résultats obtenus. En effet, elle permettra d identifier de manière explicite les contributions des défauts. Bien entendu, une étape complémentaire, utilisant le comportement des constituants, devra être rajoutée pour expliciter certaines de ces contributions. Notons que pour un composite constitué de grains élastiques linéaires isotropes baignant dans une matrice viscoélastique, la résolution précédente s opère de manière entièrement analytique (voir Nadot et al. [54] ou encore le paragraphe (V.2.1)). Dans le prochain paragraphe, nous allons nous intéresser aux résultats obtenus dans le cas particulier où les constituants (grains et matrice) sont élastiques linéaires isotropes, cadre dans lequel une étape de localisation-homogénéisation complémentaire a justement été proposée par Nadot et al. [54] pour expliciter une partie des inconnues restantes. II.2 Résultats en élasticité : présentation, analyse et approche complémentaire II.2.1 Préliminaires La matrice qui constitue les couches telles que décrites au ( II.1.1) est ici considérée comme élastique linéaire isotrope. La matrice de rigidité correspondante sera notée L (e)l dans toute la suite du document. Les propriétés mécaniques de la matrice sont considérées homogènes, soit les mêmes pour toutes les couches. Ainsi, dans chaque couche de matrice, on aura la relation suivante : σ α = L (e)l : ɛ α, avec ɛ α la

71 II.2 Résultats en élasticité : présentation, analyse et approche complémentaire 71 déformation homogène de la couche α, partie symétrique de f α. En revanche, ɛ α est, comme f α, différent d une couche à l autre. σ α devient donc à ce stade la contrainte homogène dans la couche α, mais variable d une couche à l autre. Les grains présentent eux aussi un comportement linéaire élastique isotrope et leur matrice de rigidité, homogène, sera notée L 0. De fait, la contrainte moyenne σ 0 coïncide avec la contrainte homogène dans les grains et est donnée par σ 0 = L 0 : ɛ 0. Ainsi le choix de propriétés mécaniques homogènes associée à l existence d un champ de déplacements linéaire par morceaux implique l homogénéité par morceaux du champ de contraintes. Il en résulte que le champ de contraintes estimé ne vérifiera pas la continuité du vecteur contrainte aux interfaces grains/matrice. Notons qu il en était déjà de même pour le matériau sain avec des propriétés mécaniques homogènes par phase (voir Christoffersen [12] et Touboul [73]).

72 72 L APPROCHE MORPHOLOGIQUE POUR UN ETAT D ENDOMMAGEMENT FIXE : PRESENTATION ET ANALYSE II.2.2 Expression des champs locaux On rappelle que l inconnue principale du problème de localisation est le gradient de déplacement des grains f 0. Celui-ci est obtenu en résolvant l équation (II.12) après y avoir inséré les lois de comportement des différents constituants, conformément au principe décrit au ( II.1.2.3). La solution obtenue est de la forme suivante (voir Nadot et al. [54]) : f 0 ij = (Id 1 B 1 : A ) ijkl F lk B 1 ijuv L(e)l mukl avec : { 1 Π f V vmɛ fd lk Af h f 1 + δ vm V f β } {{ } f 0(d) ij (II.13) ɛ βd lk Aβ h β } A ijkl = L(e) ijkl V L (e)l mjkl (δ im D im ) et A ijkl = L (e) ijkl V L (e)l ijkl (II.14) B ijkl = A ijkl L (e)l mjkl (δ im D im ) + L (e)l mjnl (T imkn D imkn ) (II.15) Π α = δ d α n α /h α et T ijkl = 1 V d α i n α j d α k n α l α A α h α (II.16) D ij = 1 V D ijkl = 1 V β β d β i nβ j Aβ d β i nβ j dβ k nβ l A β h β (II.17) Dans les relations précédentes, les indices α, β, f impliqués dans les sommations désignent respectivement, n importe quelle couche (avec ou sans défauts à leurs interfaces), les couches avec des défauts ouverts, celles avec des défauts fermés. Dans (II.13), ɛ fd et ɛ βd sont respectivement les parties symétriques de f fd et f βd. Ces derniers sont les pendants de f αd tels que définis dans l équation

73 II.2 Résultats en élasticité : présentation, analyse et approche complémentaire 73 (II.2), selon que les défauts aux bords de la couche concernée sont ouverts (β) ou fermés (f ). Le tenseur B a été inversé par rapport au tenseur identité Id 1 défini comme suit (voir Annexe D) : Id 1 ijkl = δ il δ jk (II.18) de sorte que : B 1 : B = B : B 1 = Id 1 (II.19) Le tenseur Π α décrit la morphologie d une couche α quelconque, tandis que T caractérise la morphologie globale du matériau (formes et répartition spatiale initiales des grains au sein du VER). D et D sont deux paramètres tensoriels qui émergent naturellement lors de la résolution du problème. Ils décrivent la dégradation du composite relative à la configuration d endommagement considérée. Nous reviendrons plus en aval ( II.2.3) sur une description plus fine des tenseurs D et D ainsi que sur leurs influences aux deux échelles et leur couplage avec la grandeur T. Avant de poursuivre, il convient de faire un point sur les différentes contributions intervenant dans l expression de f 0. En effet comme la transmission des effets se fait dans toutes les couches via cet unique terme, il est important de bien connaître ses dépendances et ce qu elles impliquent. Tout d abord, on remarquera que f 0 est la somme de deux termes. Le premier est linéaire par rapport au gradient de déplacement macroscopique F. Le second fait intervenir l ensemble { ɛ fd} et l ensemble { ɛ βd} relatifs au effets respectifs des défauts fermés et ouverts. Ainsi f 0 va contenir les informations concernant l influence de toutes les décohésions présentes à l intérieur du VER. Les deux termes sont par ailleurs affectés par la présence des tenseurs D et D (voir A et B ). Le gradient de déplacement à l intérieur de chacune des couches est ensuite obtenu en remplaçant f 0 par son expression dans (II.2) ou (II.1) selon que la couche présente ou non des défauts à ses interfaces. Par suite, le champ de déformation local est obtenu par passage à la partie symétrique. Il revêt la forme additive suivante :

74 74 L APPROCHE MORPHOLOGIQUE POUR UN ETAT D ENDOMMAGEMENT FIXE : PRESENTATION ET ANALYSE ɛ( y) = ɛ (r) ( y) + ɛ (d) ( y) + ɛ D ( y) (II.20) avec : y les coordonnées d un point quelconque à l intérieur des grains ou des couches de matrice. On distingue : 1. Une partie réversible, linéaire par rapport au tenseur de déformation macroscopique E = Sym(F), et dégradée par D et D. ɛ (r) ( y) = C( y, D, D) : E (II.21) où le tenseur de localisation C vérifiant C V = Id est donné par : C ijkl ( y, D, D) = Cijkl 0 (D, D) = (Id Id : B 1 : A ) ijkl si y grains Cijkl α (D, D) = Id ijkl Id ijuv (B 1 : A ) vmkl Π α mu si y couche α α (II.22) Id est ici le tenseur identité classique : Id ijkl = 1 2 (δ ikδ jl + δ il δ jk ) (II.23) 2. Un terme représentant la contribution de l ensemble des défauts présents dans le VER (qu ils soient ouverts ou fermés) sur la déformation des grains ou de la couche considérée : ɛ (d) ij ( y) = ɛ 0(d) ij ( { ɛ βd}, { ɛ fd}, D, D) = Id ijkl f 0(d) lk si y grains ɛ α(d) ij ( { ɛ βd}, { ɛ fd}, D, D) = Id ijkl f α(d) lk = Id ijuv fvm 0(d) Π α mu si y couche α α (II.24) où l on rappelle que f 0(d) ( { ɛ βd}, { ɛ fd}, D, D) est donné par (II.13). 3. Un terme représentant la contribution des défauts potentiellement présents aux interfaces de la couche considérée sur sa propre déformation :

75 II.2 Résultats en élasticité : présentation, analyse et approche complémentaire 75 ɛ αd si y couche α avec des défauts à ses frontières ɛ D ( y) = 0 sinon (II.25) Ainsi, la déformation d une couche α de matrice quelconque est influencée par le chargement global E, par l endommagement global du matériau, via D, D et via ɛ α(d) qui fait intervenir les effets de tous les defauts présents au sein du VER (effets transmis via f 0(d) ), et enfin par son éventuel état d endommagement (i.e. ses propres défauts d interface), via le terme ɛ D. Selon la terminologie de Nadot et al. [54], on utilisera deux qualificatifs différents pour distinguer les deux contributions à la déformation d une couche α dont les interfaces sont décollées. La première, ɛ αd, sera qualifiée de "locale" et la seconde, ɛ α(d), de "non locale", au sens où elle intègre l effet de tous les défauts présents au sein du VER, c est-à-dire aux interfaces des autres couches en plus de ceux situés à ses propres interfaces. On précise toutefois qu il ne s agit pas de non localité au sens classique du terme d où l emploi des guillemets. D ailleurs, on pourra remarquer que la contribution, dite "non locale", des défauts aux interfaces des autres couches sur la déformation d une couche α, ne fait pas intervenir la distance séparant les défauts en question de la couche particulière que l on regarde. Le terme ɛ α(d) (issu de f 0(d) ) est en effet identique pour toutes les couches au coefficient de pondération Π α près caractéristique de la morphologie locale (voir (II.24)). II.2.3 Expression de la contrainte homogénéisée L utilisation des lois de comportement définies en (II.2.1) et l insertion de la forme (II.13) dans la première relation de moyenne du système (II.10) permet d obtenir la contrainte homogénéisée sous la forme additive suivante : où Σ = L(D, D) : E + Σ (d) ( { ɛ βd}, { ɛ fd}, D, D) L(D, D) = L (e) V A : B 1 : A (II.26) (II.27)

76 76 L APPROCHE MORPHOLOGIQUE POUR UN ETAT D ENDOMMAGEMENT FIXE : PRESENTATION ET ANALYSE et Σ (d) ij = { (Id A : B 1 ) : L (e)l} 1 ijkl V β } {{ } (d)1 ij 1 (A : B 1 ) ijuv L (e)l ɛ βd lk Aβ h β mukl Π f V vmɛ fd lk Af h f + L (e)l 1 ijkl ɛ fd lk V Af h f f f } {{ } (d)2 ij (II.28) La contrainte macroscopique est donc composée de deux termes : une partie réversible et une partie induite par l endommagement (Σ (d) ), qui dépendent toutes les deux des tenseurs D et D. On notera que seuls D et D, construits par sommations sur les couches avec défauts ouverts uniquement, interviennent dans l expression des tenseurs A, B, C, et par suite dans celle du tenseur de rigidité macroscopique L. En effet, on rappelle que les lèvres des défauts fermés sont ici supposées avoir un coefficient de frottement infini. Ce type de défauts ne dégrade donc pas les propriétés mécaniques du matériau. Le second terme, Σ (d), est lui-même décomposé en deux parties. Σ (d)1 correspond à la contribution des défauts ouverts dans le VER, tandis que Σ (d)2 représente la contrainte résiduelle due au blocage des lèvres des défauts fermés. On remarquera également que la morphologie initiale du matériau ainsi que ses éventuelles anisotropies, sont prises en compte par l intermédiaire du tenseur morphologique T donné par (II.16). En effet, ce dernier intervient dans l expression de B. Comme il est précisé dans les travaux de Christoffersen [12], T reflète la texture éventuelle du composite considéré et rend compte des fluctuations en termes de formes de grains et d épaisseurs de couche de matrice. Par ailleurs, on constate que les tenseurs D et D émergeant naturellement aux deux échelles reflètent aussi le caractère granulaire de la microstructure considérée dans la façon dont elle est dégradée. En effet non seulement l orientation des défauts apparaît grâce aux vecteurs n β, mais on note également l intervention des vecteurs d β reliant les centroïdes des grains. De fait, D et D ne sont pas symétriques et donc l anisotropie induite par endommagement peut être complexe (plus générale qu une forme d orthotropie). Enfin, on notera que tous les vecteurs n β et d β intervenant dans D et D sont identifiés

77 II.2 Résultats en élasticité : présentation, analyse et approche complémentaire 77 dans la configuration de référence, ce qui confère à ces deux tenseurs un caractère véritablement lagrangien. Ainsi, l AM permet dans un contexte 3-D de décrire des effets de couplage entre une éventuelle anisotropie primaire et une anisotropie induite par un endommagement lui-même conditionné par la morphologie granulaire initiale considérée. Dans les travaux de Nadot et al. [54] les tenseurs D et D ne sont pas considérés comme des variables d endommagement au sens thermodynamique. Ils apparaissent comme paramètres reflétant la dégradation induite par le nombre de défauts ouverts considérés. D ailleurs, dans les présents travaux, nous n allons pas leur attribuer de loi d évolution à proprement parler. L évolution de l endommagement sera traitée à l échelle locale sous forme d une succession discrète de nucléations. Les tenseurs D et D resteront des paramètres reflétant la dégradation induite. Nous reviendrons sur ces aspects au paragraphe (III.1). Enfin, quand le nombre de défauts ouverts est nul, i.e. quand il n y a que des défauts fermés, la partie réversible du champ de déformation et de la contrainte homogénéisée deviennent identiques à celles du matériau sain, et ɛ (d) de même que Σ (d) à l échelle globale, rendent compte des effets de distorsion dus au blocage des défauts fermés. La modélisation est ainsi potentiellement apte à rendre compte de l effet unilatéral, autrement dit de la restauration des propriétés mécaniques par refermeture des défauts ouverts, moyennant bien sûr la formulation ultérieure d un critère de fermeture (voir III.3.1). Si il n y a pas de défauts, les expressions coïncident avec celles du matériau sain confirmant la cohérence méthodologique préservée entre les deux modélisations. II.2.4 Procédure de localisation-homogénéisation complémentaire Les résultats présentés dans les deux précédents paragraphes sont issus de la résolution du problème de localisation-homogénéisation conformément au principe décrit au ( II.1.2.3) et résumé sur la Fig.(II.8). Il s agit là d une résolution partielle

78 78 L APPROCHE MORPHOLOGIQUE POUR UN ETAT D ENDOMMAGEMENT FIXE : PRESENTATION ET ANALYSE dans laquelle f 0 était l inconnue principale à exprimer en fonction des grandeurs connues (chargement, paramètres morphologiques) et des paramètres tensoriels f αd considérés comme des données, relatifs aux effets des défauts au sein du VER. C est donc tout naturellement que ces grandeurs, et plus particulièrement leurs parties symétriques ( { ɛ βd} et { ɛ fd} ), apparaissent dans les expressions obtenues aux deux échelles. Étant donnée l hypothèse de coefficient de frottement infini pour les défauts fermés, chaque grandeur de l ensemble { ɛ fd} est indépendante de la déformation macroscopique E en raison de ce qu elle représente physiquement, c est-à-dire une déformation induite par le blocage des défauts fermés aux interfaces de la couche f. L ensemble acquiert en conséquence le statut de variables d état macroscopiques rendant compte des effets des défauts fermés. En revanche, ɛ βd traduisant à l échelle locale l effet sur la déformation d une couche β de l ouverture des défauts présents à ses interfaces a physiquement toutes les raisons de dépendre de la sollicitation appliquée et donc de la variable E. Ceci s avère confirmé par l expression (II.27) du tenseur L dépourvu des symétries majeure et mineure gauche suggérant que Σ (d)1 dans (II.28) doit dépendre de E via chaque ɛ βd. Une autre confirmation, intimement liée à la précédente, est donnée par l analyse du potentiel thermodynamique homogénéisé (voir Nadot et al. [54]) dont le terme explicitement quadratique en E n est pas suffisant pour dériver la partie linéaire de la contrainte, sauf dans le cas où il n y a que des défauts fermés. Ainsi, le caractère partiel de la résolution se manifeste notamment par le fait que la dépendance des ɛ βd en E n est encore pas explicite. En effet, on rappelle que rien n a été formulé, ni même postulé, en amont de la résolution pour exprimer en fonction de E les sauts moyens de déplacement associés aux défauts ouverts ou encore les f βd induits. Ainsi, la précédente transition d échelle a été complétée par une seconde étape, qualifiée par Nadot et al. [54] d approche de localisation-homogénéisation complémentaire, visant à établir la dépendance explicite des déformations ɛ βd en fonction de E, qui permettra (via Σ (d)1 ) de compléter la partie linéaire de la contrainte et par

79 II.2 Résultats en élasticité : présentation, analyse et approche complémentaire 79 suite l expression des modules effectifs. Notons que cette approche ne consiste toujours pas à formuler (ou à postuler) directement l expression des sauts (en admettant que cela soit possible?) en fonction de E. En utilisant plutôt la thermodynamique comme guide, elle est de plus généralisable en viscoélasticité (voir les travaux déjà amorcés par Nadot [53] dont nous reparlerons au chapitre V). En élasticité, ɛ βd pour une couche β arbitraire est ainsi recherchée sous forme linéaire de E de sorte que loi d élasticité macroscopique Σ = w V E (II.29) soit explicitement satisfaite, avec Σ = σ V donnée par (II.10) et w V la moyenne de l énergie libre locale. La solution générique obtenue est alors la suivante (voir Nadot et al. [53] ou [54] pour les détails) : ɛ βd ij = Id ijmu d β v n β m h β ((B 1 : A ) K ) uvkl E lk + r βd ij pour toute couche β avec des défauts ouverts à ses frontières. (II.30) avec : K = (B + t (A A)) 1 : t (A A) : B : A (II.31) Le tenseur r βd est constant par rapport à E et représente la déformation résiduelle induite dans la couche considérée par l ouverture des défauts qui subsiste à ses interfaces après décharge complète, soit pour E = 0. La déformation induite dans une couche β par les défauts ouverts à ses propres interfaces dépend également de la configuration de l endommagement considérée au sein du composite par le biais des tenseurs D et D (via A et B ) et de la morphologie de la couche considérée. Grâce à l expression de ɛ βd précédemment obtenue, on peut formuler les champs locaux (déformation et contrainte) et la contrainte homogénéisée en fonction de la déformation macroscopique E, du tenseur morphologique T (via B ) des paramètres tensoriels d endommagement D et D, des variables de distorsion { ɛ fd} et des déformations résiduelles { r βd}. La contrainte macroscopique revêt alors la forme suivante :

80 80 L APPROCHE MORPHOLOGIQUE POUR UN ETAT D ENDOMMAGEMENT FIXE : PRESENTATION ET ANALYSE Σ = L(D, D) : E + Σ (d) ( { ɛ fd}, D, D) (II.32) avec : L(D, D) = où : et : L (e) V + t (B 1 : A K ) : (H t (A A) (A A)) : (B 1 : A K ) (II.33) H ijkl = L (e)l mjnl D imkn B ijkl (II.34) 1 mukl Π f V vmɛ fd lk Af h f + L (e)l 1 ijkl ɛ fd lk V Af h f f f } {{ } Σ (d)2 ( { ɛ fd}, D, D) r βd lk V Aβ h β + L (e)l 1 ijkl r βd lk V Aβ h β Σ (d) ij = A ijpq B 1 qpuvl (e)l + A ijpq B 1 qpuvl (e)l vukl : 1 β } {{ } Σ (d)1 (D, D, { r βd} ) β (II.35) On peut montrer que les modules effectifs, désormais accessibles de manière directe, ont toutes les symétries requises. Les commentaires réalisés à l issue de la première phase de la transition d échelle dans le paragraphe (II.2.2) et (II.2.3) restent bien entendu d actualité (couplages entre anisotropies primaire éventuelle et induite, effet unilatéral etc...). Les grandes lignes de la transition d échelle en deux étapes réalisée par Nadot et al. [54] pour un composite à constituants élastiques endommagé sont résumées sur la Fig.(II.9).

81 II.2 Résultats en élasticité : présentation, analyse et approche complémentaire 81 Fig. II.9 Méthodologie et principe de résolution de l AM en présence d endommagement (état fixé) dans un composite à constituants élastiques, d après Nadot et al. [54]

82 82 L APPROCHE MORPHOLOGIQUE POUR UN ETAT D ENDOMMAGEMENT FIXE : PRESENTATION ET ANALYSE L ensemble des expressions obtenues, qui sont directement utilisables pour estimer le comportement local et global du composite, sont récapitulées dans le tableau suivant, elles seront utilisées au Chapitre IV pour la mise en oeuvre numérique de l AM. Gradient de déplacement local des grains f 0(d) ij = B 1 ijuv L(e)l mukl f 0 = (Id 1 B 1 : A ) : F + f { 0(d) 1 V f Π f vmɛ fd lk Af h f + δ vm 1 V Déformations locales ɛ 0 = Id ijkl f 0 lk ɛ α = ɛ α(r) + ɛ α(d) + ɛ αd ɛ α(r) = C(D, D) : E ɛ α(d) ij ( { ɛ fd}, D, D) = Id ijuv fvm 0(d) Π α mu β ɛ βd lk Aβ h β } avec pour une couche β décollée avec des défauts ouverts : ɛ βd ij d α v n α m = Id ijmu h α ((B 1 : A ) K ) uvkl E lk + rij αd Contrainte homogénéisée Σ = L(D, D) : E + Σ (d) ( { ɛ fd}, D, D) Σ (d) = A ijpq B qpuvl 1 (e)l 1 mukl Π f V vmɛ fd lk Af h f + L (e)l 1 ijkl ɛ fd lk V Af h f f f +(Id A ijpq B 1 ) qpuv L (e)l vukl : 1 r βd lk V Aβ h β β Tab. II.1 Rappel des principales équations de l AM en présence d endommagement II.3 Positionnement par rapport aux autres méthodes d estimation À travers la présentation et l analyse des travaux de Nadot et al. [54] en présence d endommagement, nous avons mis en relief les principaux ingrédients de l AM. Bien que certaines de ses qualités majeures aient déjà été évoquées, il convient de discuter de manière plus approfondie sur les aspects liés à notre objectif global (description

83 II.3 Positionnement par rapport aux autres méthodes d estimation 83 de l endommagement, inscription dans un cadre de modélisation non-linéaire plus large,...). Nous avons déjà montré au chapitre I que les méthodes qui consistent à modéliser la microstructure par éléments finis et à décrire l endommagement par le biais de modèles cohésifs, répondent de manière optimale à un certain nombre d objectifs en termes de modélisation. En effet, on peut envisager grâce à ces méthodes de travailler sur une représentation extrêmement fidèle de la microstructure réelle et de son endommagement. Toutefois, ceci nécessite en amont, outre un travail d extraction des données morphologiques, la réalisation de maillages complexes du VER. À ceci s ajoutent des contraintes liées à la nécessité d avoir des conditions aux limites périodiques aux bords du VER. C est pourquoi bien souvent les microstructures étudiées sont finalement générées numériquement. Par ailleurs, les temps de calcul requis pour ce type de modélisations, déjà conséquents pour des constituants élastiques, peuvent devenir considérables en présence de non-linéarités, sans parler des investigations liées à la recherche d un VER nécessairement de taille plus élevée. C est pourquoi, nous allons plutôt nous positionner tout au long de ce paragraphe par rapport à des stratégies reposant sur l utilisation de méthodes d estimation souvent plus économes. II.3.1 Bilan synthétique par rapport aux objectifs de modélisation de l endommagement Tout d abord, nous rappelons que le modèle a été construit par une technique de transition d échelle. Il possède donc les avantages inhérents à ce type de modèle, comme par exemple la possibilité de changer de microstructure afin de pouvoir prédire le comportement d une classe entière de matériaux et non plus d un seul composite. Ensuite, rappelons que nous nous intéresserons ici plus particulièrement à la modélisation de l endommagement dans les propergols solides. À ce titre, nous avons dressé au paragraphe (I.4) un certain nombre d enjeux. Nous avons vu en décrivant le modèle qu il répond à un certains d entre eux :

84 84 L APPROCHE MORPHOLOGIQUE POUR UN ETAT D ENDOMMAGEMENT FIXE : PRESENTATION ET ANALYSE 1. L AM est adaptée à l étude de la classe de matériaux visée puisqu elle a été formulée spécifiquement pour des composites particulaires à très fort taux de charge. 2. L AM prend en compte de manière directe et explicite, la microstructure réelle du matériau. Cette description directe lui permet, non seulement de rendre compte finement de l influence de la morphologie du matériau à l échelle microscopique sur l endommagement qui se crée et ce dans un cadre 3-D, mais aussi de décrire l endommagement comme la véritable décohésion des interfaces grain-matrice (sous réserve d une polyédrisation optimisée). 3. La description morphologique au départ de l approche permet également de voir émerger naturellement dans la formulation du modèle, la prise en compte de couplages éventuels entre anisotropie primaire ( T) et anisotropie induite (D et D). On notera en particulier une influence de la morphologie sur la dégradation des propriétés du composite (voir les paramètres tensoriels D et D qui témoignent de cette dégradation, et dont la forme reflète le caractère granulaire du matériau). 4. L approche morphologique (AM) permet de prendre en compte une certaine hétérogénéité de déformation dans la phase matrice dans l estimation du comportement homogénéisé et d accéder à une estimation des champs locaux. Ceci constituera un atout majeur comme nous allons le voir au chapitre III pour modéliser la germination de nouveaux défauts ou la fermeture de défauts ouverts existants. 5. Enfin, nous avons montré que le modèle est potentiellement capable de décrire les effets unilatéraux dus aux refermetures de défauts. II.3.2 Interaction entre morphologie locale et endommagement Revenons plus en détail sur les points n 2 et n 3 du bilan précédent qui concernent l influence de la morphologie du composite sur l endommagement de ce dernier. Tout d abord, nous avons vu que l AM est capable de fournir une bonne représentation

85 II.3 Positionnement par rapport aux autres méthodes d estimation 85 de la réalité physique de l endommagement du matériau à l échelle locale puisqu elle permet de décrire le véritable mécanisme mis en jeu, à savoir la décohésion aux interfaces grains/matrice. Par ailleurs, la caractérisation de ces interfaces permet par la suite de prendre en compte explicitement les orientations des défauts dans l estimation du comportement homogénéisé. Un autre point fort de l AM, est sa capacité à rendre compte de la distribution spatiale des défauts en plus de leur orientation. Cet atout est une conséquence du caractère direct de l AM et notamment de sa schématisation géométrique. Toutefois, rappelons une fois encore que la pertinence de la caractérisation de l endommagement ainsi obtenue (positions, orientations mais aussi morphologie des défauts liée à celles interfaces) est conditionnée par la qualité de l étape de schématisation de la microstructure, et en particulier par l optimisation de l étape de polyédrisation des grains tout en respectant les contraintes associées (parallélisme des interfaces en regard,...). Il s agit là du prix à payer pour une bonne représentativité de la dégradation du matériau Dans la plupart des méthodes d estimation, les informations microstructurales sont prises en compte par l intermédiaire d approches probabilistes ajustées à partir de l observation de microstructures réelles (Voir par exemple Jeulin et al. [33]). Les différents critères caractérisant une microstructure aléatoire comme la distribution des tailles ou la répartition spatiale des constituants, sont alors décrites par l intermédiaire d outils mathématiques (éléments structurants, fonction de covariance, etc...). Une alternative à ces outils mathématiques qui permet de gagner en finesse de représentation est le concept de motif morphologique représentatif (Morphologically Representative Pattern - MRP) développé par Stolz et Zaoui [5] pour des matériaux sains aux comportements linéaire et non-linéaire. Cela consiste en une partition de l espace en domaines simples (par exemple une sphère de matrice contenant un grain sphérique) où la répartition de modules est connue. Un matériau est alors défini par la connaissance de tous ses motifs morphologiques et de leur répartition spatiale. Cette technique n a pas été testée en présence d endommagement par décohésion aux interfaces grains-matrice. On citera néanmoins deux utilisations de cette technique. Tout d abord l étude de l endommagement de matériaux par croissance de cavités (les inclusions sont alors remplacées par des vides, voir Bilger et

86 86 L APPROCHE MORPHOLOGIQUE POUR UN ETAT D ENDOMMAGEMENT FIXE : PRESENTATION ET ANALYSE al. [4]). Puis la prise en compte dans cette modélisation d une phase supplémentaire représentant l interface qui pour l instant ne s endommage pas, mais dont on peut imaginer modifier la loi de comportement (voir motif à quatre phases Marcadon et al. [43]). II.3.3 Hétérogénéité intraphase et accès aux champs locaux Le point n 4 du bilan synthétique revient sur la possibilité qu offre l AM de prendre en compte une certaine hétérogénéité dans la phase matrice dans l estimation du comportement homogénéisé. Ceci constitue un point important en homogénéisation des milieux non-linéaires voir par exemple Moulinec et Suquet [51]. Les approches en champ moyen ne permettent pas dans leur formulation initiale d intégrer ce type d informations (voir les conclusions de Inglis et al. [32] sur la méthode de Mori-Tanaka). En effet, le comportement macroscopique n y est estimé qu à partir des seules moyennes par phase des champs locaux. Toutefois, on a vu dernièrement apparaître des outils (moments d ordre deux entre autres) permettant de prendre en compte au moins partiellement les fluctuations intraphases (voir par exemple Ponte-Castañeda [60] et Brenner et Masson [6]). C est encore une fois la double schématisation géométrique et cinématique au départ de l approche, dans laquelle la matrice est vue comme un assemblage de couches aux propriétés géométriques différentes, qui rend l AM apte à décrire une certaine hétérogénéité dans la matrice dépendant de la morphologie locale. Ceci est vrai quelque soit le comportement des constituants (grains et matrice). On notera qu en présence d endommagement, cette hétérogénéité est renforcée (voir le terme additionnel f αd dans l expression (II.2) de f α pour les couches avec des défauts aux interfaces). De plus, nous pourrons nous appuyer sur la connaissance des champs locaux, pour lesquels on dispose en HPP d expressions analytiques, pour construire des critères de nucléation de nouveaux défauts et d ouverture/fermeture de défauts existants. C est l hétérogénéité dans la matrice dépendant de la morphologie locale et influencée par l endommagement qui conditionnera la chronologie des événements constituant l évolution de l endommagement au sein du composite. Ceci sera illustré au chapitre

87 II.3 Positionnement par rapport aux autres méthodes d estimation 87 IV. Toutefois, l accès à l ensemble de ces données se fait au prix d un certain nombre d hypothèses sur la répartition des gradients de déplacement et qui sont rappelées au paragraphe (II.1.2.1). La quantification de la portée des hypothèses cinématiques de l AM a été effectuée pour le matériau sain dans le cadre de la thèse de M. Touboul [73]. Même dans le cas de composites dont les constituants ont des comportements non-linéaires, ces hypothèses semblent justifiées pour la classe de matériaux visée. II.3.4 Réflexion sur la prise en compte d autres non-linéarités Nous rappelons que le modèle permettant de décrire l endommagement doit pouvoir être étendu à des cadres plus larges que l élasticité HPP. L introduction de nouvelles non-linéarités sera d ailleurs amorcée et discutée au paragraphe (V.2). Il nous faut donc établir les points forts et les points faibles de l AM par rapport aux extensions envisagées (viscoélasticité de la matrice et grandes déformations caractéristiques des propergols solides). C est principalement la façon dont le problème local est posé et résolu qui permet de comparer les différentes techniques de transition d échelle. Dans le cas de constituants au comportement viscoélastique linéaire, la résolution du problème local, se fait classiquement dans l espace de Laplace où il prend une forme élastique symbolique. Dans cet espace, on peut ensuite appliquer une méthode d estimation classique : schéma auto-cohérent, méthode de Mori-Tanaka [50]...Ces méthodes se différencient essentiellement par les hypothèses simplificatrices qu elles imposent sur la répartition spatiale des particules, sur leurs interactions ou sur l homogénéité des champs mécaniques. Le retour à l espace-temps réel se fait au prix d un calcul fastidieux des transformées de Laplace-Carson inverses. C est pourquoi, un effort est actuellement mené pour rechercher des approches plus directes, voir notamment les récents travaux de Lahellec et Suquet [39] proposant une résolution dans l espace-temps réel. Lorsque le comportement du matériau est non-linéaire, le problème local est une fois encore reformulé de sorte à obtenir un système s apparentant à un problème d homogénéisation linéaire que l on sait résoudre par les méthodes classiques préci-

88 88 L APPROCHE MORPHOLOGIQUE POUR UN ETAT D ENDOMMAGEMENT FIXE : PRESENTATION ET ANALYSE tées. Il existe plusieurs techniques de linéarisation possibles : Pour les problèmes écrits en termes de relations entre contrainte et déformation, on peut citer : la linéarisation tangente (Hill [30]), la technique des modules sécants (Berveiller et Zaoui [3]), la linéarisation affine (Masson et al.[46], etc...). Notons qu une fois la technique de linéarisation arrêtée, il faut aussi choisir un état de déformation de référence ɛ ref dont vont dépendre les modules linéarisés. Enfin, si l on souhaite décrire des comportements viscoélastiques non-linéaires, l étape de linéarisation précède l homogénéisation sur l espace de Laplace. La résolution du problème devient alors très lourde, justifiant la nécessité de développer des approches "directes" telles que celle proposée par Lahellec et Suquet [39]. On peut également citer l approche variationnelle du second-ordre (Ponte- Castañeda [59]), consistant à approximer le potentiel thermodynamique dans une phase par son développement à l ordre deux en série de Taylor. Cette technique est plus rigoureuse d un point de vue thermodynamique. L approche morphologique permet une résolution directe du problème de localisation sans passer ni par une étape de linéarisation, ni par le choix d un schéma d homogénéisation linéaire modèle (comme en témoignent les travaux de Guiot [27] en hyperélasticité). Le caractère "direct" est particulièrement manifeste en viscohyperélasticité où la résolution s effectue dans l espace temps réel sans recours aux transformées de Laplace Carson et à la lourdeur mathématique qui en résulte (voir Touboul [73] et [74]). Enfin, en présence d endommagement il se manifeste à travers l obtention en HPP d expressions analytiques offrant une bonne lisibilité des différentes contributions des défauts aux deux échelles. Bien sûr, le caractère "direct" trouve sa source dans la schématisation géométrique mais aussi cinématique au départ de l approche, et à ce titre, certains points discutables peuvent être dégagés : On ne prend pas en compte d hétérogénéité dans la phase grain. Cette restriction est toutefois à nuancer au regard de l application en vue. En effet, les travaux d évaluation de Touboul [73] montrent que pour des matériaux présentant un fort contraste entre les phases, les fluctuations de la déformation sont faibles d un grain à l autre. Par ailleurs, le fort taux de charge favorise la

89 II.3 Positionnement par rapport aux autres méthodes d estimation 89 rotation d ensemble des grains. L AM ne contient pas de description cinématique correcte des zones de recouvrement des couches (zones encerclées sur la Fig.(II.4)). En effet, la compatibilité des champs n y est pas assurée. Enfin on notera que le champ de contraintes estimé se révèle non statistiquement admissible puisque la continuité du vecteur contrainte aux interfaces grains/matrice n est plus assurée dès lors que l on choisit des propriétés mécaniques homogènes par phase lors de la résolution du système (II.10) II.3.5 Perspectives offertes par le modèle A l issue des travaux de Nadot et al. [54], on a donc un modèle potentiellement capable de décrire le comportement d une classe de composites particulaires fortement chargés en présence d un état d endommagement fixé. Ses points forts et ses faiblesses ont été par ailleurs soulignés. Pour être utilisée, ce modèle doit impérativement être doté d outils lui permettant de gérer l évolution de l endommagement, à savoir : des modifications de l état d endommagement, c est-à-dire la création de nouvelles surfaces de décohésion. Il nous faudra dans ce but formuler un critère de nucléation de défauts dont l expression devra intégrer la richesse de description microstructurale offerte par le modèle. des modifications de la configuration de l endommagement, soit les proportions respectives de défauts ouverts et fermés pour un nombre de défauts donné. Pour ce faire, on formulera un critère de refermeture et d ouverture de défauts, lui aussi construit sur la base d éléments microstructuraux afin d améliorer l acuité des réponses macroscopiques et des effets en jeu (anisotropie induite, effets unilatéraux, etc...). Le chapitre suivant présente la construction et la formulation de ces nouveaux outils indispensables à la description de la réponse des matériaux sous une sollicitation quelconque. Ces outils serviront par suite à la mise en pratique de l AM par le biais de simulations numériques faisant directement appels à ces différents critères et qui seront présentées au chapitre IV.

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91 Chapitre III OUTILS POUR LA PRISE EN COMPTE DE L EVOLUTION DE L ENDOMMAGEMENT

92 92 OUTILS POUR LA PRISE EN COMPTE DE L EVOLUTION DE L ENDOMMAGEMENT Sommaire III.1 Signification et forme de l évolution de l endommagement dans l AM III.2 Proposition d un critère de nucléation de défauts III.2.1 Quelques éléments bibliographiques III Les critères de nucléation en contrainte maximale et énergie de décohésion III Les modèles cohésifs III.2.2 Formulation cinématique du critère III Analyse préliminaire du champ de déplacement local III Expression du critère de nucléation III Détermination du saut moyen de déplacement pour les défauts ouverts III.3 Formulation de critères de fermeture et de ré-ouverture de défauts III.3.1 Expression du critère de fermeture III.3.2 Identification des paramètres de distorsion III.3.3 Critère pour la réouverture

93 III.1 Signification et forme de l évolution de l endommagement dans l AM 93 III.1 Signification et forme de l évolution de l endommagement dans l AM Nous avons vu au chapitre I que la décohésion entre constituants peut être traitée suivant différents schémas. Par exemple, on peut utiliser des méthodes en champs complets comme les travaux menés à l aide d éléments finis exclusivement. L évolution de l endommagement est alors traitée à l échelle des constituants tout au long des simulations. Les méthodes d estimation proposent une démarche un peu différente. Si des outils sont bien mis en oeuvre à l échelle microscopique (introduction d une phase supplémentaire pour décrire l interface -milieu fissuré additionnel chez Voyiadjis et al. [80], loi cohésive chez Tan et al. [69]-), ils ne servent en général qu à l identification des paramètres intervenant dans l expression d une surface de charge s exprimant en fonction de variables internes dont les lois d évolution sont postulées. Les lois d évolution de l endommagement par décohésion entre constituants sont donc souvent des extrapolations sur l ensemble du matériau de phénomènes issus de l étude d une seule cellule constituée d un grain (ou d une fibre) enrobé de matrice. Les modèles construits sur ce schéma n offrent que rarement la possibilité de décrire (via une étape de relocalisation par exemple) ce qu il se passe réellement à l échelle de la microstructure (position, taille, morphologie des défauts, phénomènes locaux induits,...). Par ailleurs, les critères classiques d évolution de l endommagement sont parfois des critères de propagation de défauts existants (Voyiadjis et al. [80]) ou des critères d ouverture/fermeture de défauts. Il semble pourtant essentiel de pouvoir étudier le comportement du matériau depuis son état sain en incluant un critère de nucléation de nouveaux défauts par décohésion d interfaces saines. Grâce à sa prise en compte directe et explicite de la microstructure et des phénomènes locaux, l approche morphologique va nous permettre de décrire l évolution de l endommagement à l échelle des constituants par la création de nouvelles interfaces endommagées (critère de nucléation de défauts), et par le changement de configuration d interfaces préalablement créées (critère

94 94 OUTILS POUR LA PRISE EN COMPTE DE L EVOLUTION DE L ENDOMMAGEMENT d ouverture/fermeture de défauts). Nous aurons donc une vision locale de la progression de l endommagement en plus de ses effets à l échelle macroscopique. Nous avons vu que dans l AM, deux tenseurs D et D respectivement d ordre deux et quatre, témoignent de la dégradation induite dans le matériau par la présence de défauts ouverts : D ij = 1 V D ijkl = 1 V β β d β i nβ j Aβ d β i nβ j dβ k nβ l A β h β (III.1) (III.2) On rappelle que Nadot et al. ont supposé un frottement infini des lèvres de défauts fermés ; aussi seuls les défauts ouverts (couches de type "β") interviennent dans l expression des tenseurs D et D attestant de la dégradation du matériau. Dans la continuité de cette hypothèse, nous supposerons une décohésion des interfaces en mode normal. En conséquence, un défaut passe toujours par un état ouvert avant un état fermé Ainsi, dans l AM, l évolution de l endommagement peut correspondre soit à la décohésion simultanée des deux interfaces d une couche α saine i.e. la création d une nouvelle paire de défauts ouverts, soit à la fermeture ou la ré-ouverture de défauts existants. Ces deux cas de figure se traduisent par l ajout ou le retrait d éléments dans les sommations intervenant dans les expressions de D et D. Ce que nous allons proposer grâce à la nature même de l AM, c est tout d abord la formulation de critères de nucléation et d ouverture/fermeture de défauts à l échelle locale, permettant de statuer sur l état des interfaces. À chaque instant, on testera l ensemble des interfaces pour vérifier si elles remplissent l un de ces critères. Si c est le cas, alors l état ou la configuration de l endommagement dans le matériau évoluera, et les expressions de D et D seront modifiées en conséquence. Ces derniers sont donc des indicateurs qui résultent de l endommagement dans le matériau mais ne seront pas considérées comme des variables qui le contrôlent. C est pourquoi nous ne formulerons pas a priori de loi

95 III.2 Proposition d un critère de nucléation de défauts 95 d évolution pour D et D, nous suivrons leur progression en fonction des événements discrets se produisant à l échelle microscopique. Dans les paragraphes suivants, nous allons présenter la construction des critères proposés nécessaires au suivi de l endommagement. Dans un premier temps ( III.2) et après quelques éléments bibliographiques sur les critères de décohésion existants, nous nous intéresserons à la formulation au sein de l AM d un critère de nucléation de nouveaux défauts applicable depuis l état sain. Puis nous traiterons de la refermeture et de la possible réouverture de ces défauts grâce à deux critères supplémentaires ( III.3). III.2 Proposition d un critère de nucléation de défauts III.2.1 Quelques éléments bibliographiques Dans ce paragraphe, on présentera deux grands types de critères classiquement utilisés dans les problèmes de décohésion. Il s agit des critères faisant intervenir une contrainte maximale associée à une loi de probabilité de décohésion souvent utilisés au sein des méthodes d estimation, et des modèles cohésifs aussi bien utilisés dans les méthodes d estimation que dans les méthodes en champs complets. Dans le paragraphe suivant ( III.2.2) nous montrerons pourquoi nous ne souhaitons pas intégrer ces types de critères classiques dans l AM pour décrire la nucléation de nouveaux défauts dans le matériau. La solution alternative que nous avons choisie sera alors présentée. III Les critères de nucléation en contrainte maximale et énergie de décohésion Les critères de nucléation en contrainte maximale sont souvent utilisés dans le cadre des méthodes d estimation classiques inspirées du problème d inclusion original d Eshelby [19]. Le principe de ces critères est de comparer l une des

96 96 OUTILS POUR LA PRISE EN COMPTE DE L EVOLUTION DE L ENDOMMAGEMENT composantes du tenseur des contraintes dans l inclusion à une valeur critique. Par exemple, pour une nucléation en mode I, dès que la composante normale maximale à l interface du tenseur local des contraintes devient supérieure à cette valeur, alors il y a décohésion et l inclusion est remplacée par une cavité (déchaussement) ou par un renfort isotrope pour prendre en compte des décollements partiels (Zhao et Weng [84]). Dans ces modèles, la contrainte étant en général uniforme dans les inclusions, la formulation d un seuil en contrainte normale maximale est souvent complétée d une loi de probabilité de décohésion. Ainsi ces lois statistiques ont tout d abord été utilisées comme un outil permettant d éviter la décohésion simultanée de toutes les particules d un matériau lorsqu elles sont strictement identiques. Elles permettaient en effet de rendre compte artificiellement d une qualité d interface variable, ce qui s observe expérimentalement. Elles peuvent aussi être utilisées dans d autres cas d application pour rendre compte d effets comme la distribution de taille, de forme et la répartition des particules, ou encore de la vitesse de sollicitation. Ces lois de probabilité, qui fournissent par exemple la loi d évolution de la fraction volumique d inclusions décollées, peuvent revêtir une forme de type gaussienne (voir Funfschilling [21]), ou plus classiquement de type Weibull. Lorsque la loi prend une forme de type Weibull, elle fait en général directement intervenir la contrainte normale pour une décohésion en mode I et les contraintes tangentielles pour une décohésion en mode II (voir les travaux de Zhao et Weng [84], Ju et Lee [34], Tohgo et Itoh [72], Dvorak et Zhang [18], Babout et al. [1],...). Enfin on notera que certaines lois sont construites à partir de la contrainte hydrostatique (Lee et Simunovic [40]) ou de la contrainte de Tresca (Babout et al. [1]), avec des résultats qualitativement proches. Bonfoh et al. [52] introduisent un critère de nucléation de défauts dans un schéma autocohérent. Ils utilisent la continuité du vecteur contrainte pour proposer un critère de décohésion faisant intervenir cette fois-ci la contrainte dans la phase matrice. Cette contrainte est par ailleurs obtenue grâce aux opérateurs d interface développés par Hill et Walpole. Ce critère de nucléation en contrainte est assorti d un critère de propagation énergétique. Plus précisément, lorsque le critère de nucléation est at-

97 III.2 Proposition d un critère de nucléation de défauts 97 teint en un point de l interface, il y a création d un microdéfaut dont la propagation le long de l interface est gérée par un critère en énergie critique (de type Griffith par exemple, voir Bonfoh et al. [52]). Dans le cas de composites particulaires périodiques où la matrice a un comportement élasto-plastique, on peut noter que quelques tentatives ont été menées pour établir un critère faisant intervenir la déformation plastique équivalente. Dans les travaux de Tsui et al. [77], des calculs par éléments finis sont menés sur une cellule de base constituée d une particule sphérique, entourée d une matrice élasto-plastique. L interface particule/matrice est matérialisée par une fine couche d éléments sur lesquels est testé le critère de décohésion. Ainsi, le cumul de déformation plastique équivalente en chaque point de Gauss de ces éléments est comparé à une valeur critique. Les mêmes calculs sont réalisés à l aide d un critère en contrainte. Les résultats obtenus expérimentalement semblent être plus en accord avec ceux obtenus grâce au critère en contrainte justifiant ainsi l utilisation courante de ce dernier. Dans le prochain paragraphe, nous allons présenter un autre type d approche. Il s agit des modèles cohésifs qui consistent à considérer l interface comme une phase à part entière avec sa propre loi de comportement. III Les modèles cohésifs Pour décrire la décohésion entre deux constituants comme des grains ou des fibres dans une matrice, on utilise fréquemment des relations de type cohésif. Il s agit de considérer l interface entre les constituants comme une nouvelle phase de normale n, à laquelle on associe une loi de comportement. Cette dernière prend la forme de relations entre la composante normale ou tangentielle du vecteur contrainte σ. n, et les différences de déplacement associées selon que l on considère une nucléation en mode I ou II. On notera par la suite T n = n.σ. n la composante normale du vecteur contrainte considéré, et T t = t.σ. n sa composante tangentielle. Les lois cohésives sont en général constituées de trois relations, chacune caractérisant une étape dans la rupture de l interface. Elles sont dans un premier temps

98 98 OUTILS POUR LA PRISE EN COMPTE DE L EVOLUTION DE L ENDOMMAGEMENT élastiques par analogie avec une liaison de type "ressort" (voir Fig.III.1, étape 1), mais leur particularité réside dans l existence d un seuil à partir duquel l effort appliqué diminue tandis que la différence de déplacement augmente (étape 2) jusqu à la décohésion complète et l apparition d un saut de déplacement (étape 3). En général, les lois ainsi formulées sont ensuite intégrées de façon à remonter à l énergie de cohésion de l interface. Fig. III.1 Exemple de loi cohésive pour des nucléations en modes I et II De part et d autre des seuils T n max et T t max, les lois peuvent être linéaires (Raghavan et Ghosh [63], Tan et al. [70]), ou non (Pandolfi et al. [58], Needleman [57]). Le modèle de Needleman [57], initialement écrit pour des décohésions en mode I a été étendu par Tvergaard [78] et [79] afin de décrire des décohésions tangentielles. Il permet également de prendre en compte le glissement des lèvres de défauts fermés. Dans les travaux de Tvergaard [79], les lois de comportement de l interface sont définies à l aide des vecteurs contraintes normaux et tangentiels de la manière suivante : T n = u n δ n F (λ, T n max ) T t = α u t δ t F (λ, T t max ) (III.3) avec T t max = g(t n max ) et où λ est un paramètre adimensionnel défini comme suit : [ (un ) 2 λ = + δ n ( ut δ t ) 2 ] (III.4)

99 III.2 Proposition d un critère de nucléation de défauts 99 Il y a alors 4 paramètres à identifier (δ n, δ t, T n max et le coefficient α). Ils doivent être choisis de manière à ce que la décohésion soit le plus possible représentative du comportement du matériau quelle que soit la sollicitation. À noter que les travaux précités utilisent des lois cohésives indépendantes du temps, mais que quelques auteurs se sont penchés sur la formulation de lois viscoélastiques (voir Seidel et al. [65]), ce qui nécessite l identification de paramètres supplémentaires de relaxation. Même dans le cas élastique, l identification des paramètres d une loi cohésive représente un enjeu scientifique en soi comme le démontrent Tan et al. [70] pour le cas d un composite énergétique avec décohésions aux interfaces particule-matrice, le PBX9501. En effet, afin d obtenir les coefficients de ce matériau, ils mettent en œuvre une technique de corrélation d images qui leur donne accès au champ de déplacement local. Par ailleurs, si l on souhaite implémenter ces lois dans des codes éléments finis, il faut tenir compte lors de cette identification de la dépendance à la taille de maille (voir par exemple Caliez et al. [9]). Dans notre modélisation, nous n allons pas utiliser de loi cohésive à proprement parler pour décrire le décollement entre grains et matrice. Toutefois nous allons nous inspirer de cette technique. En effet, tirant partie du fait que l AM fournit une estimation du champ de déplacement local, nous allons estimer les différences de déplacement autour des interfaces sans toutefois définir de nouvelle phase ni de loi de comportement associée. Par ailleurs, nous allons conserver l idée de l existence d une valeur critique en termes de différence de déplacement qui mène à la décohésion. III.2.2 Formulation cinématique du critère Comme nous l avons déjà évoqué à plusieurs reprises, le champ de contraintes estimé via l AM ne vérifie pas les conditions statiques de continuité aux interfaces grains/matrice dès lors que les propriétés mécaniques sont choisies homogènes par phase. En revanche, l AM s appuie dès son point de départ sur la description cinématique des événements aux interfaces : respect des conditions de continuité aux interfaces saines ou de sauts de déplacement aux interfaces décollées, voir paragraphe (II.1.2). Aussi, afin de rester en conformité avec cette philosophie, on choisit pour la

100 100 OUTILS POUR LA PRISE EN COMPTE DE L EVOLUTION DE L ENDOMMAGEMENT formulation du critère de nucléation une approche cinématique (voir Dartois et al. [14]). III Analyse préliminaire du champ de déplacement local La formulation du critère de nucléation va faire appel à une analyse fine du champ de déplacement local avant nucléation. C est ce qu on se propose de présenter dans ce paragraphe préliminaire. On prend en considération une couche α saine. A l intérieur de cette couche le champ de déplacement, noté u α, est donné par (II.5). Le champ de déplacement à l intérieur des grains, noté u 0, est quant à lui donné par (II.4). On considère alors deux points P 1 et P 2 situés de part et d autre de l une des interfaces entre la couche α et le grain, par exemple I1 α (voir Fig.III.2). Fig. III.2 Définition des points P 1 et P 2 sur une coupe 2-D de la couche concernée et sur une vue 3-D d un des deux grains adjacents. Les deux points sont choisis équidistants de leur projection normale sur l interface I1 α. Cette projection est notée B1 et n est autre que le barycentre de l interface, ses coordonnées initiales seront ici notées Y αb1. En conséquence, les coordonnées initiales des points P 1 et P 2 avant chargement peuvent s écrire de la manière suivante : Y αp 1 = Y αb1 λ n α ; Y αp 2 = Y αb1 + λ n α (III.5) où λ est une constante inférieure à l épaisseur de la plus fine des couches du VER. La définition de ces deux points P 1 et P 2 peut être mise en parallèle avec la défi-

101 III.2 Proposition d un critère de nucléation de défauts 101 nition de l épaisseur de l interface dans les modèles de type cohésif (notée h chez Needleman [57]). En effet, on introduit bien une longueur caractéristique qui est ici 2λ. Toutefois, on le rappelle, à l inverse des modèles cohésifs, l interface n est pas ici considérée comme une phase à part entière ayant sa propre loi de comportement, et les deux points P 1 et P 2 sont assujettis au déplacement de la phase à laquelle ils appartiennent. La différence entre les vecteurs déplacements u α et u 0 associés respectivement aux deux points P 2 et P 1 s exprime alors en fonction de F, f 0 et des paramètres morphologiques de la couche de matrice considérée sous la forme suivante (voir (II.5) et (II.4)) : u i = u α i ( Y αp 2 ) u 0 i ( Y αp 1 ) = [ ] 2fij 0 + (F ik fik) 0 dα k nα j λn α h α j (III.6) III Expression du critère de nucléation Pour formuler le critère de nucléation, on s appuie sur les points P 1 et P 2 précédemment définis. On s intéresse à leurs coordonnées à l instant t, soit y αp 1 et y αp 2. On exprime alors la différence de position actuelle entre ces deux points ( y αp 2 y αp 1 ), qui dépend naturellement de leur distance initiale (2λ) et de la différence de leurs vecteurs de déplacement ( u). On projette ensuite cette différence sur la normale n α de l interface I1 α : ( y αp 2 y αp 1 ). n α. La distance ainsi obtenue est notée d α norm et s exprime de la manière suivante : d α norm = 2λ + u. n α (III.7) On considère alors que lorsque que cette distance atteint une certaine valeur critique, il y a décohésion de l interface I1 α et par suite nucléation d une paire de défauts aux interfaces de la couche α. Le critère de nucléation de défauts s écrit donc : d α norm = d critique décohésion (III.8)

102 102 OUTILS POUR LA PRISE EN COMPTE DE L EVOLUTION DE L ENDOMMAGEMENT Il est important d analyser la forme de d α norm. Elle dépend de la morphologie locale via les paramètres géométriques de la couche considérée présents dans l expression de u donnée par (III.6). Le terme u est par ailleurs dépendant via f 0 de l état d endommagement si d autres couches ont précédemment été décollées dans le VER, voir son expression (II.13) dans le paragraphe (II.2.2). Grâce à la présence de f 0, le critère prend donc en compte l influence des autres défauts (ouverts et fermés) présents au sein du matériau. Ceci témoigne de la richesse du critère de nucléation proposé. Notons que pour la nucléation de la première paire de défauts, l expression de f 0 est celle du matériau sain, (voir (II.13) sans défauts et avec D et D nuls). Remarques : 1. Pour obtenir la distance d α norm, on a réalisé une projection sur la normale. Cette opération a été réalisée afin d être en accord avec l hypothèse de nucléation en mode I. Une extension de ce modèle permettant de gérer des ouvertures en mode II exigerait le remplacement de cette projection normale par l évaluation de la norme classique v = i v2 i du vecteur ( y αp 2 y αp 1 ). 2. La valeur de d critique reflète les propriétés d adhésion de la matrice sur les grains et est directement liée au choix initial de la longueur caractéristique λ. Quant à la détermination de cette valeur, force est d admettre qu on ne pourra envisager dans un premier temps qu une détermination empirique. Étant données les échelles impliquées, on peut imaginer qu une tomographie in situ lors d un essai pourrait nous offrir des éléments de réponse. Le CEG a d ailleurs entrepris des démarches expérimentales à cet effet. Mais ce type d expérience est extrêmement lourd à mettre en place, et les post-traitements sont fastidieux et nécessitent de grosses puissances de calcul. À ce jour on ne dispose donc pas d informations directement exploitables. La dynamique moléculaire et atomique devrait pouvoir fournir quelques éléments de caractérisation des interfaces entre deux phases, mais elle ne couvre à cette date que des cas restreints -petits volumes chargés à de forts taux de déformation et dans un temps très court, interfaces souvent planes,...- (voir les conclusions de Kumar

103 III.2 Proposition d un critère de nucléation de défauts 103 et Curtin [38] pour les composites à matrice métallique principalement). Pour la validation qualitative de l approche qui sera présentée au chapitre suivant, la valeur de d critique sera choisie de façon arbitraire. III Détermination du saut moyen de déplacement pour les défauts ouverts Puisque la décohésion a été supposée prendre place en mode normal, une couche α pour laquelle (III.8) est satisfaite, devient nécessairement une couche de type β, c est à dire une couche avec des défauts ouverts à ses interfaces (voir les notations introduites au paragraphe (II.2.2)). Son gradient de déplacement est maintenant donné par la relation (II.2) (avec α = β). Toutefois, on notera que dans cette relation, l expression de f βd est partiellement connue. En effet, seule la partie symétrique de f βd, i.e. ɛ βd, a été déterminée via l approche complémentaire proposée par Nadot et al. [54] (voir (II.2.4)). Il convient donc d évaluer à présent la partie antisymétrique de f βd que nous noterons ω βd, telle que f βd = ɛ βd + ω βd. La connaissance de f βd est en effet nécessaire à l évaluation jusque là repoussée du vecteur moyen de discontinuité de déplacement : b β = b β (voir (II.3)), qui sera utilisé dans le critère de fermeture des défauts ouverts proposé au paragraphe (III.3). I β 1 I β 2 Dans le cadre des petites perturbations, les parties symétriques et antisymétriques du gradient de déplacement f βd sont liées par la condition de compatibilité suivante : ω βd ij,k = ɛβd ik,j + ɛβd kj,i (III.9) Comme ɛ βd est homogène sur la couche β, sa dérivée est nulle par rapport aux coordonnées spatiales, et donc ω βd est également homogène sur toute la couche. Sa matrice représentative aura donc la forme suivante dans la base globale associée au VER :

104 104 OUTILS POUR LA PRISE EN COMPTE DE L EVOLUTION DE L ENDOMMAGEMENT ω βd glob = 0 ω βd 12 ω βd 13 ω βd 12 0 ω βd 23 ω βd 13 ω βd 23 0 (III.10) Afin de déterminer les trois inconnues restantes ω βd 23, ω βd 13, et ω βd 12, on va employer une méthode présentant des analogies avec celle choisie pour construire le critère de nucléation de défauts. On se place avant la nucléation des défauts, lorsque la couche que l on considère est encore une couche α saine. On choisit deux points, N i 1 et N i 2, situés de part et d autre de la i-ème arête de l interface I α 1 (voir Fig.(III.3)). de la couche α considérée Fig. III.3 Définition des points N i j Leurs coordonnées respectives sont : Y αn 1 i = Y αm i + λ n α et Y αn 2 i = Y αm i λ n α, où Y αm i désigne les coordonnées du milieu M i de l arête i de l interface I1 α. Ainsi le point N1 i se situe dans le grain tandis que le point N2 i se trouve à l intérieur de la couche. En utilisant, comme pour établir (III.6), les expressions respectives (II.5) et (II.4) des champs u α et u 0, la différence des vecteurs déplacement pour ces deux points s écrit : u M i p = u α p ( Y αn i 2 ) u 0 p ( Y αn i 1 ) = 2λf 0 pq n α q +(F pk f 0 pk) dα k nα q h α avec f 0 donné par (II.13). [ (Y αm i ] Y αb1 ) q + λn α q (III.11) On calcule ensuite la norme classique de cette différence de déplacement pour chacune des arêtes u M i. Dans la suite, on suppose que l arête correspondant à la norme minimale est l axe de rotation local de la couche après décollement (voir

105 III.2 Proposition d un critère de nucléation de défauts 105 Fig.(III.4)). On assimile de plus cet axe à l axe de la rotation ω βd induite dans la couche par les défauts. Fig. III.4 Représentation schématique de la rotation d une couche α après décollement -i.e. couche β-. Cette hypothèse, qui peut paraître forte a priori, est à mettre en relation avec la forme affine du saut de déplacement, résultant rappelons-le des hypothèses cinématiques au départ de l AM (voir Fig.(II.7)), et rendant tout décollement partiel inenvisageable. Ceci implique qu après décollement, si un lien persiste entre la couche et le grain, il sera constitué au maximum d une arête. On construit alors une base locale dans laquelle nous allons exprimer la déformation ɛ βd et la rotation locale ω βd induites par les défauts ouverts aux interfaces de la couche concernée. Cette base locale est constituée des trois vecteurs suivants (voir Fig.(III.5) : 1. La normale à l interface comme premier vecteur : e β 1 = n β 2. On prend ensuite comme direction pour e β 2, l axe de rotation local de la couche précédemment défini. 3. e β 3 est construit afin que ( e β 1, e β 2, e β 3) soit une base orthonormée. Il est à noter que le sens du vecteur e β 2 est choisi de sorte que e β 3 soit dirigé vers l intérieur de l interface. Il est alors aisé de construire une matrice de passage P entre le repère global du VER et cette nouvelle base locale telle que : ω βd loc = P 1.ω βd glob.p. Dans la nouvelle base locale, la matrice représentative de ω βd, ω βd loc, a la forme suivante :

106 106 OUTILS POUR LA PRISE EN COMPTE DE L EVOLUTION DE L ENDOMMAGEMENT Fig. III.5 Définition de la base locale de la couche β ω βd loc = 0 0 ω βd ω βd (III.12) Il ne reste alors plus qu une seule inconnue à déterminer : ω βd 5. Pour l identifier, on revient encore une fois à la cinématique du modèle. En effet, comme évoqué au paragraphe (II.1.2.1), Nadot et al. ont supposé que les sauts des interfaces en regard de part et d autre de la couche sont de signe opposé. Ceci a une conséquence sur la forme du gradient de déplacement f βd. En effet, on peut montrer que la matrice représentative de cette contribution est nécessairement singulière : 1. Sur l interface I β 1, le saut moyen vaut : b β = f βd. Y βb1 avec Y βb1 = Y αb1 les coordonnées initiales du barycentre de l interface. De même, le saut moyen sur l interface en regard I β 2 vaut : b β = f βd. Y βb2 avec Y βb2 = Y αb2 les coordonnées initiales du barycentre de l interface. 2. Comme on a b β i = b β i, la sommation de ces deux sauts doit être I β 1 nulle. De ceci on tire : I β 2 I β 2 I β 1 f βd.( Y βb1 + Y βb2 ) = 0 (III.13) 3. Le vecteur ( Y βb1 + Y βb2 ) étant non nul, on en déduit que f βd est une matrice singulière. Le déterminant d une matrice est invariant par changement de base, on peut donc en déduire que le déterminant de f βd dans la base locale de la couche doit

107 III.2 Proposition d un critère de nucléation de défauts 107 être lui aussi nul. On écrit donc que det(f βd loc ) = det(ɛβd loc + ωβd loc ) = 0 et on en déduit l équation suivante à résoudre, où pour plus de lisibilité l indice "loc" a été supprimé : (ω βd 5 ) 2 = 1 ɛ 2.(ɛ 1 ɛ 2 ɛ 3 + 2ɛ 4 ɛ 5 ɛ 6 ɛ 1 ɛ 2 4 ɛ 2 ɛ 2 5 ɛ 3 ɛ 2 6) (III.14) où ɛ i, i = , sont les six composantes de la matrice représentative de ɛ βd donnée par (II.30) et exprimée dans la base locale : ɛ βd loc = ɛ 1 ɛ 6 ɛ 5 ɛ 6 ɛ 2 ɛ 4 (III.15) ɛ 5 ɛ 4 ɛ 3 La solution positive de (III.14) fournit ω βd 5 qui permet de remonter à ω βd dans le repère global, et par suite à f βd = ɛ βd + ω βd, autrement dit à b β = f βd. Y βb1. Lors de la mise en oeuvre de l AM, l existence d une solution à I β 1 l équation (III.14) fera l objet d un test portant sur la positivité de son second membre comme nous le verrons au paragraphe (IV.1). Notons qu une réponse négative à ce test signifierait que la nouvelle paire de défauts ne satisfait pas l hypothèse de sauts moyens opposés. À ce point, le modèle possède un critère de nucléation de défauts. L une des évolutions possibles de l endommagement -la création de nouveaux défauts-, peut désormais être décrite. On dispose également d une méthode de détermination de b β. On doit à présent s intéresser aux autres formes d évolution de I β 1 l endommagement : la fermeture et la ré-ouverture de défauts existants. Il nous faut donc définir de nouveaux critères. Pour ce faire, nous allons une fois de plus nous laisser guider par la cinématique.

108 108 OUTILS POUR LA PRISE EN COMPTE DE L EVOLUTION DE L ENDOMMAGEMENT III.3 Formulation de critères de fermeture et de réouverture de défauts On rappelle qu étant donné l hypothèse de décohésion en mode normal, une couche α pour laquelle (III.8) est satisfait est une couche de type β avec des défauts ouverts à ses interfaces. C est donc tout naturellement que l on commencera ( III.3.1) par s intéresser à l aspect fermeture. Puis nous aborderons ( III.3.2) l évaluation de la déformation induite dans cette même couche par les défauts une fois ceux-ci refermés. Enfin, au paragraphe (III.3.3) nous traiterons de l aspect ré-ouverture. III.3.1 Expression du critère de fermeture Soit donc une couche β avec des défauts ouverts à ses interfaces, et t un instant donné. Considérons le vecteur [ y βb1 y 0 B1], où y 0 B1 désigne les coordonnées actuelles du barycentre de l interface I β 1 côté grain, et y βb1, celles de ce même barycentre côté couche. En raison du caractère affine du saut, on peut dire que l on a refermeture du défaut sur I β 1 lorsque la composante normale de ce vecteur est nul : [ y βb1 y 0 B1]. n β = 0 refermeture (III.16) Les vecteurs y 0 B1 et y βb1 s expriment en fonction des coordonnées initiales Y βb1 du barycentre sous la forme : y βb1 = Y βb1 + u β et y 0 B1 = Y βb1 + u 0 Par suite, la condition (III.16) s écrit : [ u β ( Y βb1 ) u 0 ( Y ] βb1 ). n β = 0 soit b β I β 1. n β = 0 (III.17) Le critère de fermeture est ainsi finalement formulé en termes de saut moyen de déplacement normal : b β. n β sous la forme : I β 1

109 III.3 Formulation de critères de fermeture et de ré-ouverture de défauts Tant que b β ouverts. 2. Dès que ferment Sachant que b β b β I β 1 I β 1 I β 1. n β > 0, alors les défauts aux interfaces de la couche β restent. n β = 0, alors les défauts aux interfaces de la couche β se = f βd. Y βb1, avec f βd = ɛ βd + ω βd, il suffit pour mettre en oeuvre le critère précédent, d évaluer à chaque pas de calcul ɛ βd via (II.30) et ω βd solution de (III.14) en conservant l axe de rotation de la couche défini au moment de la nucléation des défauts à ses interfaces. Cette façon de procéder permet en outre une vérification systématique de la relation d opposition entre les sauts de déplacement moyens aux interfaces. Notons que les valeurs de ces derniers dépendent de la déformation macroscopique E et de l état de dégradation du matériau (via D et D) par le biais de l expression (II.30). On souligne enfin que la détermination de ω βd est dans son principe indépendante du comportement des grains et de la matrice. La dépendance au comportement des constituants se fait en effet uniquement via l expression de ɛ βd. Ainsi, la procédure de localisation-homogénéisation complémentaire permettant la détermination de ce dernier étant généralisable en viscoélasticité, il en est de même de la détermination de ω βd et par suite de celle du saut moyen b β = b β. Nous reviendrons sur le principe de cette généralisation au chapitre V. I β 1 I β 2 III.3.2 Identification des paramètres de distorsion Une fois la refermeture identifiée, il reste à évaluer la contribution des défauts à présent fermés aux bords de la couche considérée sur sa déformation, i.e. le tenseur ɛ fd, pour connaître la déformation totale de la couche désormais de type f. En effet, lors de la refermeture, si la composante normale du saut de déplacement est nulle, ce n est pas forcément le cas de la composante tangentielle. En raison de l hypothèse de nucléation en mode I, proposée dans la continuité de l hypothèse de frottement infini formulée par Nadot et al. [54], une paire de défauts est nécessairement ouverte avant d être fermée. On peut donc exprimer ɛ fd à partir du

110 110 OUTILS POUR LA PRISE EN COMPTE DE L EVOLUTION DE L ENDOMMAGEMENT tenseur ɛ βd évalué à l instant de la fermeture, c est à dire pour E = E fermeture de β : ɛ fd = ɛ βd (E fermeture de β ) (III.18) D où d après (II.30) : ɛ fd ij d β v n β m = Id ijmu h β ((B 1 : A ) K ) uvkl E lk fermeture de β + r βd ij (III.19) III.3.3 Critère pour la réouverture Le critère de fermeture proposé au paragraphe (III.3.1) et qui fait intervenir la composante normale du saut moyen de déplacement n est pas un bon candidat pour décrire la ré-ouverture des défauts en raison des hypothèses émises pour la résolution du problème de localisation. Plus précisément, nous allons voir que c est l hypothèse de frottement infini qui empêche l utilisation d un seul et même critère pour l ouverture et la fermeture des défauts. En interdisant le frottement des lèvres de défauts, on suggère leur distorsion permanente après refermeture dont l influence est caractérisée par ɛ fd. En effet, les lèvres de défauts ne pouvant pas glisser l une sur l autre, la distorsion est maintenue constante jusqu à la ré-ouverture des défauts. Au paragraphe précédent on a montré que l on peut évaluer ɛ fd en fonction de la valeur de ɛ βd à l instant de la fermeture. L obstacle à l utilisation d un critère en saut moyen vient du fait que l expression ainsi obtenue pour ɛ fd ne dépend plus de l évolution de E après la fermeture (voir (Eq. III.19)). La rotation ω fd dont les composantes seraient obtenues à partir de ɛ fd suivant la méthode décrite dans la sous-section (III.2.2.3), serait donc également indépendante de la déformation macroscopique appliquée. De ceci il découle que f fd = ɛ fd +ω fd n évoluerait plus avec E une fois les défauts refermés. On peut ainsi montrer que b f. n f resterait nul et qu on ne pourrait pas décrire la réouverture I f 1 des défauts par le retour de ce terme à une valeur strictement positive. Il faut donc trouver un autre témoin de la réouverture des défauts.

111 III.3 Formulation de critères de fermeture et de ré-ouverture de défauts 111 A priori, on sait que les défauts fermés aux interfaces d une couche f se réouvriront dès que cette dernière passera d un état de contraction à un état d extension dans la direction normale à l interface. En effet, la décohésion entre grain et matrice étant déjà effective, il n est plus besoin d apporter de l énergie pour dépasser la limite d adhésion entre les deux constituants. Au regard de ces deux remarques, on choisit donc un critère de ré-ouverture de la forme suivante : Dès que n f.ɛ f. n f > 0 il y a ré ouverture (III.20) En effet, la composante normale de la déformation totale de la couche f (ɛ f ) changera de signe à la réouverture des défauts. Par ailleurs, certaines de ses composantes (ɛ f(r),ɛ f(d) développées au II.2.2) dépendent de la déformation macroscopique E, ce qui permet de pallier les lacunes d un critère de fermeture formulé uniquement en saut moyen de déplacement évoquées au début de ce paragraphe. À l inverse, il est important de noter que l on n aurait pas pu a priori utiliser un critère en déformation normale pour décrire la fermeture d une couche β avec des défauts ouverts à ses interfaces. En effet on montrera dans le chapitre suivant relatant l exploitation de résultats à l échelle locale qu il existe une compétition entre les différentes contributions qui composent la déformation totale d une couche, et en particulier on montrera que l ouverture des défauts à ses interfaces peut induire un état général de contraction de cette dernière. Un état de contraction normal dans la couche n est donc pas synonyme de défauts fermés aux interfaces. À ce stade, tous les outils nécessaires à la description de l évolution de l endommagement par décohésion aux interfaces grains/matrice dans les composites particulaires considérés ont été mis en place. Plus précisément, le modèle est désormais capable de gérer la création de nouvelles surfaces de décohésion, ainsi que de prendre en compte les phénomènes unilatéraux liés à la fermeture de défauts et à leur pos-

112 112 OUTILS POUR LA PRISE EN COMPTE DE L EVOLUTION DE L ENDOMMAGEMENT sible ré-ouverture. Enfin, les paramètres de distorsion des défauts fermés ont été identifiés. Il faut donc maintenant construire une structure algorithmique permettant d utiliser le modèle enrichi de ces nouveaux outils pour l étude de l évolution discrète de l endommagement dans la classe de matériaux en jeu. La construction de cet algorithme ainsi que sa mise en pratique vont être présentées dans le chapitre suivant.

113 Chapitre IV EVALUATION DE L AM : MISE EN OEUVRE ET SIMULATIONS NUMERIQUES

114 114 EVALUATION DE L AM : MISE EN OEUVRE ET SIMULATIONS NUMERIQUES Sommaire IV.1 Procédure numérique discrète IV.1.1 Principe général IV.1.2 Algorithme de prédiction-correction IV Intérêt et principe IV Détermination pratique du séquençage des nucléations de défauts IV.1.3 Discussion IV.2 Simulations numériques IV.2.1 Description et obtention de la microstructure d étude IV.2.2 Caractéristiques communes aux essais simulés IV.2.3 Chargement en extension/contraction IV Phase d extension IV Première analyse de la réponse homogénéisée IV Visualisation des défauts IV Analyse de la déformation locale IV Trajet complet extension/contraction IV Première analyse de la réponse homogénéisée IV Anisotropie induite et effets unilatéraux 147 IV.2.4 Essai d extension/glissement/contraction IV Effets résiduels dus à la distorsion des défauts fermés IV Anisotropie induite et effets unilatéraux IV.2.5 Chargement "cyclique" avec glissement IV Première analyse de la réponse homogénéisée IV Analyse de la déformation locale IV.3 Bilan des résultats obtenus

115 IV.1 Procédure numérique discrète 115 Afin de tester les capacités de l AM à prendre en compte l évolution de l endommagement dans le matériau, un certain nombre de simulations numériques sont ici présentées. Plus précisément, on cherchera à montrer que la forme prise par l endommagement (position, orientation, morphologie des défauts,...) ainsi que ses effets aux deux échelles (effets unilatéraux, redistribution des déformations,...), sont qualitativement bien décrits. Pour ce faire, une procédure numérique discrète a été développée. Elle contient non seulement le modèle étendu de Nadot et al. présenté au Chapitre II (et en particulier l ensemble des équations principales recensées à la suite de la procédure complémentaire de localisation-homogénéisation -voir Tab.(II.1)-), mais aussi bien sûr l ensemble des outils servant à la description de l évolution de l endommagement et qui viennent d être présentés au chapitre précédent. Afin de mieux interpréter les résultats des simulations numériques, il convient de présenter succinctement le mode de fonctionnement de la procédure de résolution, et en particulier quelques outils numériques qui ont spécialement été développés afin d améliorer la qualité des réponses obtenues. Ceci fera l objet du paragraphe (IV.1). Par la suite, on présentera quelques unes des simulations numériques effectuées en s intéressant aux résultats obtenus aux deux échelles pour différents trajets de chargement ( IV.2). IV.1 IV.1.1 Procédure numérique discrète Principe général Comme annoncé précédemment, une procédure numérique discrète a été développée afin de réaliser des simulations visant à tester la capacité de l AM, enrichie des nouveaux critères, à décrire l évolution de l endommagement dans le matériau. Cette procédure a été intégralement codée en Fortran 90 et compilée sous Compaq V isual F ortran R. Les grandes étapes de la procédure de résolution proposée sont les suivantes, elles sont rappelées sur la figure (IV.1) : On soumet une microstructure aléatoire à grains polyédriques satisfaisant les

116 116 EVALUATION DE L AM : MISE EN OEUVRE ET SIMULATIONS NUMERIQUES critères de la schématisation géométrique de l AM à une sollicitation en se donnant la forme du gradient de déplacement macroscopique F associé. Ce gradient de déplacement est appliqué à la microstructure de manière incrémentale, l incrément étant noté F. À chaque nouveau pas, la connaissance de F permet de tester l ensemble des interfaces saines afin de déterminer si certaines vérifient le critère de nucléation présenté au paragraphe (III.2.2.2). Les paramètres d endommagement D et D sont ensuite actualisés en conséquence et toutes les déformations locales (ɛ 0 et {ɛ α } voir Tab.(II.1)) sont recalculées. Les couches dont les interfaces sont décollées avec des défauts ouverts (β) sont ensuite testées pour détecter la fermeture éventuelle de leurs défauts. Enfin, la réouverture des défauts fermés aux bords des couches de type f est testée. À l issue de chacune de ces deux étapes (test de fermeture et test de réouverture), les paramètres d endommagement sont réévalués suivant qu il y ait eu ou non modification de la configuration de l endommagement. Enfin, toutes les déformations locales sont recalculées si besoin est (modification éventuelle des ɛ αd des couches concernées par les fermeture/ré-ouverture et du champ ɛ (d) ). Lorsque toutes les évolutions possibles de l endommagement ont été testées, les contraintes locales sont obtenues en associant les lois de comportement des constituants aux déformations locales qui viennent d être réévaluées. Un passage à la moyenne permet enfin d estimer la réponse macroscopique Σ.

117 IV.1 Procédure numérique discrète 117 Fig. IV.1 Représentation schématique d un incrément de la procédure discrète de résolution numérique

118 118 EVALUATION DE L AM : MISE EN OEUVRE ET SIMULATIONS NUMERIQUES IV.1.2 IV Algorithme de prédiction-correction Intérêt et principe Comme précisé au paragraphe précédent, le pilotage du modèle se fait de manière discrète en termes de gradient de déplacement macroscopique F. Si l on se contente d appliquer à F un incrément fixe F, les valeurs qu il prendra seront espacées de manière égale, et les différentes nucléations supposées se produire entre les instants t n et t n+1 seront toutes détectées et prises en compte simultanément dans l estimation des champs locaux et du comportement global au pas n+1. Cependant, d un point de vue plus rigoureux ces nucléations sont censées se produire dans un ordre chronologique donné, c est à dire pour des niveaux de gradient de déplacement macroscopiques F nuc αi successifs compris entre F n et F n+1. (voir Fig.(IV.2), premier schéma). Or, on a vu que dans l AM, la déformation de chaque constituant (grains ou couches de matrice) dépend de celle des autres via le terme f 0. En particulier, la nucléation d une nouvelle paire de défauts aux interfaces d une couche aura une influence sur la déformation de chacun des autres constituants du matériau (via f 0(d) ). Il est donc important d avoir un séquençage précis des nucléations de défauts afin que les effets de chaque nouvelle nucléation soient pris en compte dans l estimation des champs locaux intervenant dans les tests d interfaces ultérieurs. Il faut donc corriger à tout instant le pilotage en F, afin de se positionner systématiquement au moment précis de chaque nouvelle nucléation de défauts. Le principe de l algorithme de prédiction-correction proposé, illustré sur le deuxième schéma de la figure (IV.2) dans le cas de deux nucléations successives, est le suivant. 1. On se place à F = F n et on impose un incrément F de chargement (pas n+1). 2. À F prédit n+1 = F n + F, on teste le critère de nucléation pour chacune des couches saines. Deux couches α1 et α2 sont telles que d α i norm d crit. 3. On retourne alors à la valeur précise F nuc α1 du gradient de déplacement macroscopique correspondant à la nucléation des défauts aux bords de la couche α1. Cette valeur devient donc F corrigé n+1. On actualise tous les champs locaux en

119 IV.1 Procédure numérique discrète 119 tenant compte de la nucléation des défauts aux interfaces de α1, et on mène la transition d échelle à bien jusqu à l estimation de la contrainte macroscopique Σ n On reprend le pilotage en F en imposant un nouvel incrément F à partir de F corrigé n+1 (pas n+2). 5. À F prédit n+2 = F corrigé n+1 + F, on teste le critère de nucléation pour chacune des couches saines. Seule la couche α2 vérifie d α 2 norm d crit. On notera que le niveau de gradient de déplacement pour lequel a lieu la nucléation est différent de celui qui avait été obtenu lors de la première incrémentation (F nuc α2 F nuc α2 ). En effet, ce nouveau test a pris en compte la redistribution de déformation, dans la couche α2 et ailleurs, due à la nucléation des défauts aux interfaces de la couche α1. 6. On se place à F corrigé n+2 = F nuc α2. On actualise tous les champs locaux en tenant compte de la nucléation des défauts aux interfaces de α2, et on mène la transition d échelle à bien jusqu à l estimation de la contrainte macroscopique Σ n On impose un nouvel incrément F (pas n+3). À F prédit n+3 = F corrigé n+2 + F, aucune couche ne vérifie le critère de nucléation. Ainsi, F n+3 = F prédit n+3. La transition d échelle est alors effectuée à endommagement fixé. On obtient Σ n+3.

120 120 EVALUATION DE L AM : MISE EN OEUVRE ET SIMULATIONS NUMERIQUES Fig. IV.2 Principe schématique de l algorithme de prédiction-correction (exemple pour deux nucléations successives)

121 IV.1 Procédure numérique discrète 121 IV Détermination pratique du séquençage des nucléations de défauts La mise en oeuvre au n + 1 ième pas de calcul de l algorithme de prédictioncorrection tel que décrit au paragraphe précédent nécessite la connaissance des valeurs précises du gradient de déplacement macroscopique correspondant aux décollements des couches αi telles que d αi norm(f prédit n+1, morpho.,... ) d crit. Pour chaque couche αi détectée, il s agit donc de déterminer la valeur F nuc αi comprise entre F n et F prédit n+1, solution de l équation : [ ] d αi norm(f, morpho.,... ) = d crit, F F n, F prédit n+1 (IV.1) Il y a donc autant d équations que de couches αi détectées à F prédit n+1. Le critère de nucléation ayant une forme scalaire, on va chercher les fractions η αi du pas F solutions des équations : d αi norm(f n + η αi F, morpho,... ) = d crit avec η αi [0, 1] (IV.2) On obtient alors des équations de type quadratique en η αi dont l expression est présentée en Annexe C. Pour chaque couche αi, η αi correspond à la plus petite des solutions positives de l équation correspondante. On prend enfin la plus petite valeur de l ensemble {η αi } et l on se place à F corrigé n+1 = F n + min {η αi } F où a lieu la nucléation des défauts aux bords la couche αj telle que η αj = min {η αi }. Remarque : Si plusieurs couches αj vérifient cette condition, elles seront décollées simultanément. Il faut ensuite s assurer que pour la (ou les) couche(s) satisfaisant cette première condition il existe une solution à l équation (III.14) permettant de trouver les rotations ω αjd correspondantes sous l hypothèse de sauts moyens opposés aux interfaces. Si tel n était pas le cas, la (ou les) couche(s) demeurerai(en)t saine(s), et l on envisagerait la nucléation des défauts aux interfaces non plus de(s) αj telle(s) que η αj = min {η αi }, mais de la couche αk dont le η αk est le minimum des η αi restants.

122 122 EVALUATION DE L AM : MISE EN OEUVRE ET SIMULATIONS NUMERIQUES Un schéma représentatif de la procédure discrète de résolution numérique enrichie de l algorithme de prédiction-correction est donné (Fig.(IV.3)).

123 IV.1 Procédure numérique discrète 123 Fig. IV.3 Algorithme représentatif de la procédure discrète de résolution numérique avec prédiction-correction (pour la nucléation). Bien que détaillée, cette représentation schématique de la procédure de résolution

124 124 EVALUATION DE L AM : MISE EN OEUVRE ET SIMULATIONS NUMERIQUES n est toutefois pas complète. En particulier, il n est pas précisé qu après chaque nouvelle nucléation de défauts et le recalcul des champs locaux associés, chacune des interfaces est à nouveau testée afin de vérifier que les effets de la dernière nucléation n ont pas entraîné la vérification du critère de nucléation pour d autres couches et donc des nucléations en chaîne (voir Fig.(IV.4)). Le programme n aborde donc le test du critère de fermeture que lorsque l on retrouve la condition : d α norm < d crit α saine microstructure (IV.3). On peut donc distinguer deux origines possibles pour des nucléations simultanées ou quasi-simultanées lors d un même pas de calcul : celles de couches αj qui vérifient simultanément la relation (IV.2) et possèdent le même η αj = min {η αi }, et celles qui ont lieu de manière instantanée après chaque nouvelle nucléation en raison d une redistribution des déformations locales.

125 IV.1 Procédure numérique discrète 125 Fig. IV.4 Illustration de la nucléation de nouveaux défauts après redistribution des déformations locales suite à une première nucléation.

126 126 EVALUATION DE L AM : MISE EN OEUVRE ET SIMULATIONS NUMERIQUES IV.1.3 Discussion Tout d abord, il convient de faire quelques remarques concernant les techniques de programmation choisies pour implanter l AM en présence d évolution de l endommagement. Puisque le programme doit être un outil permettant de prédire le comportement local et global de n importe quel matériau de la classe considérée, son architecture et ses éléments ont été définis de manière à faciliter d une part le changement de microstructure d étude, et d autre part l accès aux grandeurs locales. Pour répondre à ces objectifs, on a tout d abord doté le programme d une architecture modulaire. L un de ces modules collecte par exemple les données liées à la morphologie du composite ( d α, n α, h α,...). On a également opté pour la création d éléments complexes (usuellement nommés "types composites") permettant de regrouper l ensemble des caractéristiques propres à chaque constituant. Ainsi, on a pu définir l élément "couche" auquel sont rattachés non seulement ses paramètres morphologiques propres, mais aussi ses déformations et contraintes, un certain nombre de booléens caractérisant l état de ses interfaces, etc...ces outils ont de plus l avantage de favoriser par suite l analyse des champs locaux puisqu ils permettent d accéder directement à la déformation de chacune des couches en connaissant uniquement son "numéro". Remarque : L architecture modulaire présente d autres intérêts, comme par exemple la possibilité d encapsuler dans un module un certain nombre de routines comme les tests d interface à l aide des différents critères. L algorithme de prédiction-correction est lui aussi contenu dans un module indépendant que l on peut choisir d activer ou non afin de quantifier ses effets sur la réponse macroscopique par exemple. Comme on l a précisé au chapitre précédent, on n a pas postulé de loi d évolution pour les grandeurs D et D, témoins la dégradation induite dans le matériau par l état et de la configuration d endommagement considérés. On suit en réalité leur évolution en fonction des événements (nucléations, fermetures, etc...) se produisant à l échelle microscopique. En termes de programmation, l enjeu était donc

127 IV.1 Procédure numérique discrète 127 de pouvoir construire une procédure permettant de décrire n importe quel scenario d endommagement à l échelle microscopique. En effet, on ne peut pas prévoir la position exacte des couches qui vont se décoller ni l ordre de des nucléations. La procédure de résolution proposée répond donc bien à cet objectif d identification et de séquençage des différentes étapes de l endommagement au sein du matériau, en particulier avec la présence d un algorithme de prédiction-correction pour les nucléations. On précise par ailleurs que l on récupère à chaque pas de calcul une liste séquentielle de l ensemble des événements en matière d évolution de l endommagement comprenant la nature de l évolution, le numéro de la couche (et donc la position dans l espace pour visualisation), et l orientation des défauts associés (voir l exemple proposé Tab.(IV.1)).. N et donc position des défauts F 11 i orientation des défauts pas 21 nuc. défauts couche 1989 F 11 nuc. = 2, 08E 3 n α = (0, 99; 0, 04; 0, 05) nuc. défauts couche 615 F 11 nuc. = 2, 08E 3 n α = ( 0, 99; 0, 04; 0, 05) pas 22 ferm. défauts couche 2092 F 11 ferm. = 2, 74E 3 n α = (0, 02; 0, 99; 0, 03). Tab. IV.1 Exemple de relevé séquentiel des étapes dans l évolution de l endommagement Toutefois, on peut regretter que l algorithme de prédiction-correction ne concerne que les nucléations de nouveaux défauts. Avec les mêmes motivations, d autres algorithmes de prédiction-correction devraient accompagner les critères de fermeture et de réouverture des défauts. L idéal serait même d intégrer à la procédure de résolution, un seul et même algorithme de prédiction correction capable d opérer un séquençage de toutes les évolutions possible de l endommagement sans distinction de nature. Une représentation schématique d une version améliorée de la procédure se trouve en Annexe B. Cette version n a pas été programmée par manque de temps pour réaliser l étape délicate de construction d un algorithme de prédictioncorrection commun, mais constitue l une des perspectives à court terme de ce travail.

128 128 EVALUATION DE L AM : MISE EN OEUVRE ET SIMULATIONS NUMERIQUES IV.2 IV.2.1 Simulations numériques Description et obtention de la microstructure d étude Bien que l application directe du modèle d endommagement aux élastomères chargés ne soit encore qu une perspective en raison des lois de comportement et du cadre cinématique (HPP) choisis, on utilisera des données morphologiques proches de celles de ce type de matériaux pour réaliser des simulations numériques. L obtention du contenu morphologique d un matériau réel ainsi que sa schématisation sous forme d un assemblage de grains polyédriques séparés par de fines couches de matrice est une étape préliminaire cruciale et délicate dont on a déjà évoqué l importance auparavant (paragraphes (II.1.1) et (II.3.2)). Le CEG a récemment lancé une campagne d optimisation des étapes d extraction de données et de polyédrisation à partir d un matériau énergétique réel : la butalite 400 (voir Touboul [73]). La technique résultante devrait comprendre les étapes suivantes. Dans un premier temps, le matériau est placé dans un tomographe et sa morphologie réelle est reconstituée numériquement en 3-D. La microstructure ainsi obtenue est ensuite polyédrisée de sorte à respecter les hypothèses géométriques du modèle (voir Fig.(IV.5)). L étape de polyédrisation doit alors réaliser le meilleur compromis entre la forme initiale des grains, et la nécessité d avoir des interfaces grains-couches avec des propriétés géométriques (forme et surface) proches et parallèles deux à deux. La forme initiale des grains est importante car elle renferme les orientations des futurs défauts. Cette forme initiale sera d autant mieux restituée que le nombre d interfaces par grain polyédrique sera élevé (c est à dire plus les grains seront petits pour une concentration donnée). Un autre compromis est également à ne pas oublier, celui qui consiste à concilier représentativité des paramètres morphologiques identifiés après polyédrisation et respect de la condition de compatibilité (II.9). La polyédrisation d un matériau réel selon le principe précédent n est à ce jour pas encore optimisée. Aussi, pour l ensemble des simulations de manuscrit on a plutôt choisi de travailler sur des microstructures artificielles qui ont été générées

129 IV.2 Simulations numériques 129 Fig. IV.5 Polyédrisation d une microstructure réelle obtenue par tomographie R-X numériquement par Gérald Contesse au CEG de la manière suivante : Des points sont placés de manière aléatoire dans une boîte cubique. Une technique de croissance de sphères est ensuite appliquée jusqu à l obtention de l ensemble des plans de tangence des sphères qui deviendront des faces de polyèdres, et définiront ainsi l ensemble des orientations des couches. Cette opération se poursuit jusqu à ce que la totalité du volume de la boîte soit entièrement polyédrisée. Afin de faire apparaître les couches, une homothétie est appliquée aux polyèdres jusqu à ce que la concentration en grain désirée soit obtenue. De cette façon les interfaces des couches sont nécessairement parallèles deux à deux. Ces étapes sont récapitulées sur la Fig.(IV.6). À noter qu à l issue de l étape de polyédrisation, les données morphologiques nécessaires à la mise en oeuvre de l AM ( n α, d α, h α,...) sont identifiées par de simples mesures géométriques (voir (II.1.1)).

130 130 EVALUATION DE L AM : MISE EN OEUVRE ET SIMULATIONS NUMERIQUES Fig. IV.6 Technique de génération de microstructures artificielles polyédrisées répondant au cadre géométrique de l AM proposée par le CEG. Remarques : 1. Le travail sur microstructures artificielles générées numériquement est courant dans les phases de validation des modèles, en particulier lorsque des conditions de forme sont imposées pour les grains (particules sphériques par exemple). Parmi d autres, on pourra citer les travaux de Matouš et al. [49]. Ces derniers présentent une procédure automatisée de génération de microstructures représentatives de composites énergétiques fortement chargés appelée "Rockpack". Cette procédure permet de générer des microstructures constituées de particules sphériques n ayant pas de points de contact entre elles afin d être ensuite facilement maillées et utilisées pour réaliser des simulations numériques par éléments finis. Les particules sont obtenues par croissance de sphère à partir d un tirage aléaoire de points constituant leurs centres. Une distribution de taille des particules est également obtenue en pondérant les coefficients de croissance des sphères. Cette technique a récemment été étendue aux cas de particules ellipsoïdes, mais ne répond évidemment pas aux exigences du cadre géométrique de l AM. D autres travaux comme ceux de Leite et al. [41] proposent de rendre plus représentatives encore les microstructures, en appliquant des ro-

131 IV.2 Simulations numériques 131 tations et translations d ajustement à des ellipsoïdes obtenues par croissance à partir de points aléatoirement répartis. Enfin, pour un aperçu des récents travaux en matière de reconstruction 3-D de microstructures réelles dédiées à des analyses numériques, on pourra se référer aux travaux de Cailletaud et al. [8]. 2. La technique récapitulée sur la Fig.(IV.6) a également été mise en oeuvre en remplaçant l étape du tirage aléatoire des centroïdes des grains par une étape plus réaliste. Il s agit dans ce cas d extraire les positions réelles des centroïdes à partir d images tomographiques, et de les fournir en entrée de l algorithme de croissance de sphères. C est en particulier cette technique qui a été utilisée pour générer les microstructure utilisées dans les travaux de Touboul [73]. Le lien entre les microstructures réelle et polyédrisée est alors double : la concentration et la position des centroïdes, menant par suite à des d α représentatifs. La taille des grains ainsi que leur morphologie initiale (orientation privilégiée de certaines facettes) n est cependant pas correctement restituée. Or on rappelle que ces données sont cruciales en présence d endommagement puisque l orientation des facettes correspondra à l orientation des défauts créés. Ceci justifie donc que les travaux de polyédrisation soient toujours en cours d optimisation au CEG comme mentionné plus haut. Toutefois on pourra remarquer que pour la butalite 400, la forme des polyèdres obtenus après croissance de sphères à partir des centroïdes et homothétie est proche de la forme initiale des grains comme en témoigne la Fig.(IV.7), à l exception des grains frontaliers. Cette bonne adéquation est certainement due aux caractéristiques morphologiques de la butalite 400. En effet, il s agit d une microstructure à faible dispersion granulométrique, qui s accomode donc bien d une technique de croissance de sphère avec une vitesse homogène pour l ensemble des sphères. Ceci nous amène donc à une troisième remarque. 3. Pour générer des microstructures à granulométrie variable à partir d une répartition aléatoire des centroïdes, on pourrait s inspirer des travaux précités de Matouš et al. [49] et appliquer un algorithme de croissance de sphères en faisant varier la vitesse de croissance d une sphère à l autre. Ceci permettra en

132 132 EVALUATION DE L AM : MISE EN OEUVRE ET SIMULATIONS NUMERIQUES effet de faire varier la position des plans de tangence par rapport à une vitesse de croissance homogène, et par suite d obtenir des grains de taille différente. On rappellera toutefois que l AM étendue en présence d endommagement n est pas adaptée à l étude de matériaux avec une très forte dispersion granulométrique. En effet, on rappelle que pour rendre légitime la décohésion simultanée des deux interfaces en regard d une même couche imposée par la cinématique, une contrainte supplémentaire a été ajoutée à la schématisation. En effet, les interfaces en regard sont supposées - sauf cas isolé - avoir des surfaces et des formes proches. Ceci exclut donc la juxtaposition de grains de très petite et très grande tailles. En cas de forte dispersion granulométrique, par exemple si la phase matrice est elle même un composite particulaire, il serait plus opportun d utiliser une double transition d échelle, voir par exemple le cas de l IEX3, équivalent inerte de l octorane, composé de gros grains de Chlorure de Potassium ( µm) et d un liant constitué de petits grains (0-20 µm) de Silicate de Magnésium noyés dans une matrice polyuréthane, Fig.(IV.8)). Dans ce cas, l AM pourra être utilisée dans un premier temps pour décrire le comportement de la matrice très chargée en petits grains. Puis une autre technique de transition d échelle pourra être utilisée pour décrire le comportement du matériau qui sera alors vu comme un assemblage de gros grains présents en faible proportion d une part, et de la matrice homogénéisée via l AM d autre part.

133 IV.2 Simulations numériques 133 Fig. IV.7 Superpositions d une microstructure réelle (butalite 400) contenant environ 1200 grains (en rouge) et de son équivalent polyédrisé (en bleu) obtenu par croissance de sphères et homothétie à partir des positions des centroïdes réels. Fig.A) : microstructure complète. Fig. B) : la même microstructure une fois les grains frontaliers extraits. Fig. IV.8 Microstructure à l état sain de l IEX3. Vue globale à gauche. Détail de la matrice à droite.

134 134 EVALUATION DE L AM : MISE EN OEUVRE ET SIMULATIONS NUMERIQUES IV.2.2 Caractéristiques communes aux essais simulés Les simulations qui vont être présentées ont été effectuées sur une microstructure aléatoire d environ 400 grains polyédriques, soit près de 2700 couches de matrice. Les grains représentent 67% du volume total de la microstructure. Lors de ces premières simulations, les modules des différents constituants ainsi que les propriétés d adhésion entre la matrice et les grains (d crit ) ont été choisis arbitrairement. Les valeurs retenues sont toutes récapitulées dans le tableau (IV.2), elles seront utilisées pour l ensemble des simulations présentées dans ce paragraphe. Elles ne correspondent bien entendu pas à un matériau réel avec une application précise mais constitue un bon jeu de paramètres pour tester la microstructure dans le cadre HPP endommageable. Il s agit en fait de considérer les grains comme quasi-rigides et de rester dans le cadre HPP à l échelle locale. Remarque : Un test sur les déformations locales est introduit dans la procédure numérique afin de vérifier qu elles ne dépassent pas 10%. Grains Matrice Module d Young E 120 GPa 4 GPa Coefficient de Poisson ν d crit 3,548 µm Tab. IV.2 Caractéristiques mécaniques des différents constituants du matériau On suppose par ailleurs qu il n y a pas d ouverture résiduelle des défauts à la décharge complète du matériau ou qu elles sont négligeables. Ainsi, les déformations résiduelles r βd (Eq.(II.30)) ne seront pas prises en compte dans les simulations qui vont suivre. Une discussion sur la prise en compte de ces déformations résiduelles est par ailleurs amorcée dans le chapitre V. On insiste sur le fait que ces choix de modules et de valeurs critiques ne sont que temporaires. Il s agit d options retenues pour mettre en lumière le potentiel de l AM telle que présentée à ce stade. Des extensions ultérieures de l AM devraient en revanche permettre d effectuer de véritables confrontations entre simulations numériques et expériences.

135 IV.2 Simulations numériques 135 En résumé, l objectif des simulations qui vont être présentées dans ce paragraphe est de prouver qualitativement la pertinence de l approche morphologique en matière de description de l évolution de l endommagement. Pour ce faire, on montrera la richesse des résultats obtenus à l échelle microscopique, la capacité du modèle à décrire l évolution de l endommagement comme une séquence d événements (nucléation, fermeture, ré-ouverture,...) que l on sera capable de localiser à l aide de visualisations en 3D de la microstructure, et enfin la bonne restitution de ces phénomènes à l échelle macroscopique (anisotropie induite, effets unilatéraux,...). On notera par ailleurs que l ensemble des simulations ont été effectuées sur un PC portable équipé d un processeur Pentium 4 d une fréquence de 2GHz et doté d une mémoire vive de 512Mo. Les temps de calcul pour le trajet le plus long se situent autour de 20min, sachant qu ils augmentent avec le nombre de données demandées en écriture. IV.2.3 Chargement en extension/contraction Dans un premier temps, on choisit de simuler une extension dans la direction 1 couplée à une contraction identique dans les directions transverses 2 et 3. Le chargement macroscopique en contraction est choisi de sorte qu un rapport de 0, 3, constant au cours du chargement, existe entre l extension selon 1 et les contractions transverses selon 2 et 3. Cette valeur a été choisie car elle permet de se rapprocher d un chargement unidirectionnel sur un matériau sain isotrope qui aurait le même coefficient de Poisson que les grains qui sont majoritairement présents dans le composite. Dans un deuxième temps, on applique un chargement inverse du premier, c est-àdire une contraction dans la direction 1 couplée à une extension dans les directions transverses. On rappelle que l AM nécessite un pilotage en gradient de déplacement macroscopique F. Les chargements précédemment décrits sont ainsi caractérisés par F 22 = F 33 = 0, 3 F 11 comme indiqué sur la Fig.(IV.9). Remarque : Par la suite, on appellera par abus de langage "phase d extension" le trajet de chargement correspondant à l extension dans la direction 1 et contraction transverse, et "phase de contraction" le trajet de chargement correspondant à la

136 136 EVALUATION DE L AM : MISE EN OEUVRE ET SIMULATIONS NUMERIQUES A) B) Fig. IV.9 A) Chargement en extension dans la direction 1 et contraction transverse ; B) Chargement en contraction dans la direction 1 et extension transverse contraction dans la direction 1 et extension transverse. IV Phase d extension IV Première analyse de la réponse homogénéisée Les résultats obtenus à l échelle macroscopique pour l étape d extension sont reportés Fig. (IV.10). Sur cette courbe, chaque point correspond à un pas de calcul, c est-a-dire que chaque point correspond à une résolution complète du problème de localisationhomogénéisation. On observe tout d abord une partie linéaire élastique réversible jusqu à l apparition des premières nucléations. L apparition des premiers défauts dans le matériau se traduit comme attendu par une perte de linéarité de la réponse contraintedéformation. On remarquera également un rapprochement des points dû à une adaptation du pas de calcul. Ce phénomène correspond en effet à la mise en route automatique de l algorithme de prédiction-correction pour une description véritablement séquentielle des différentes nucléations de défauts permettant une description plus précise de l influence de chacune d entre elles sur la réponse macroscopique et sur l apparition des nucléations suivantes. La réponse en contrainte présente un maximum, et comme attendu pour ce type de matériaux granulaires, on observe un radoucissement après l apparition d un certain nombre de défauts (environ une quarantaine, c est-à-dire 1,7% de couches

137 IV.2 Simulations numériques 137 Fig. IV.10 Contrainte macroscopique Σ 11 en fonction des déformations macroscopiques E 11 et E 22 = E 33 pour l essai d extension suivant l axe 1 décollées). Lorsque l on diminue le contraste en faisant augmenter le module d Young de la matrice, on constate un radoucissement plus franc dû à une accélération dans l apparition des nucléations, elle-même certainement due à une moins bonne accommodation de la matrice (voir Fig.(IV.11)).

138 138 EVALUATION DE L AM : MISE EN OEUVRE ET SIMULATIONS NUMERIQUES Fig. IV.11 Comparaison de la réponse en extension du matériau en diminuant le contraste par une augmentation du module d Young de la matrice E mat.

139 IV.2 Simulations numériques 139 IV Visualisation des défauts L un des intérêts de l AM est qu elle permet d accéder à la chronologie des nucléations et à la position des défauts associés. En guise d illustration, on se propose de fournir sur la Fig.(IV.12), un certain nombre de vues 3-D en transparence de la microstructure, permettant de localiser les défauts qui se créent au cours du chargement. Ces visualisations ont été réalisées par Gérald Contesse au CEG, à partir des sorties fournies par la procédure de résolution de l AM telles que présentées au paragraphe (IV.1.3). Elles permettent de confirmer l interprétation de la courbe : Pendant la montée élastique linéaire (1) on n a pas de nucléation de défauts. La microstructure reste donc saine. Lorsqu on poursuit le chargement, la très légère perte de linéarité de la réponse est due à l apparition des premiers défauts (2). On constate également le rapprochement des points de calculs relatifs à la mise en œuvre de l algorithme de prédiction correction, qui constitue un détecteur du seuil d endommagement. On peut déjà constater que les normales des défauts nucléés sont colinéaires à l axe d extension. En (3) on peut remarquer une perte plus marquée encore de la linéarité et de nouveau un resserrement des points de calculs qui indique une accélération du phénomène de nucléation de défauts. Si l on regarde les vues 3-D en transparence, on voit désormais que les défauts sont bien situés dans des plans perpendiculaires à l axe d extension. Par ailleurs on se trouve au maximum de la courbe. On a donc atteint un niveau d endommagement du matériau qui induit ensuite un comportement radoucissant (4). Si l on poursuit encore le chargement (5), on commence à apercevoir le début d une saturation. Entre (5) et (6) l ensemble des interfaces de normale 1 sont désormais décollées, on commence alors à nucléer des défauts dont la normale forme un angle non négligeable avec l axe d extension. Les vues de faces correspondantes, obtenues en observant la microstructure suivant l axe 2 (Fig.(IV.13)), permettent d apercevoir la formation de sortes de "nappes" de défauts. Ceci semble indiquer que les interfaces de normale 1 sont toutes contenues dans des plans également de normale 1, régulièrement répartis sui-

140 140 EVALUATION DE L AM : MISE EN OEUVRE ET SIMULATIONS NUMERIQUES vant cette direction. Étant donnée la procédure d obtention des microstructures, et en particulier la croissance homogène de l ensemble des sphères à partir des centroïdes, ceci témoignerait du caractère non tout à fait aléatoire de la répartition initiale des centroïdes des grains. Ces derniers seraient en effet eux-même compris dans des plans de normale 1, régulièrement répartis suivant cette direction. Par ailleurs, si l on regarde une coupe sous forme d une tranche dans un plan de normale transverse (Fig.(IV.13), troisième schéma), on constate un "alignement" des défauts pouvant préfigurer une coalescence de ces derniers. Toutefois on précise que le modèle ne permet pas un traitement correct du phénomène physique de coalescence, en particulier en raison de la non description de la cinématique au niveau des zones de recouvrement des couches, comme précisé au paragraphe II Enfin, en présence d un comportement adoucissant se pose la question de l unicité de la solution. En effet, il est possible que la réponse estimée suive un chemin bifurqué. En conséquence, une perspective essentielle de ce travail sera d analyser cette éventualité et de proposer un moyen de régularisation. Ce dernier pourrait avantageusement s appuyer sur la richesse morphologique de l AM pour dégager et/ou introduire une ou plusieurs longueurs pertinentes.

141 IV.2 Simulations numériques 141 Fig. IV.12 Contrainte macroscopique Σ 11 en fonction de la déformation macroscopique E 11 - Visualisation spatiale des défauts ouverts (en magenta).

142 142 EVALUATION DE L AM : MISE EN OEUVRE ET SIMULATIONS NUMERIQUES Fig. IV.13 Répartition spatiale des défauts ouverts (en magenta). A) et B) : Vues de face de normale 2 pour 9, 2% et 12, 6% de couches décollées respectivement. C) : Tranche de la microstructure de normale 2 pour 9, 2% de couches décollées. IV Analyse de la déformation locale Un autre intérêt de l AM est qu elle permet d accéder simplement à une estimation du champ local de déformation. On va donc présenter les résultats obtenus pour l une des premières couches décollées lors de l essai d extension (il s agit de la couche numérotée 1413). Comme toutes les premières couches décollées, la normale n α de la couche en question est quasi colinéaire à l axe d extension. L évolution de la composante ɛ α 11 de la déformation totale de la couche α = 1413, ainsi que l évolution des différentes contributions qui la constituent sont reportées Fig.(IV.14) en fonction de la déformation macroscopique E 11. Pour une bonne distinction de ces différentes contributions, on rappelle leurs expressions dans le tableau Tab.(IV.3). Pour les simulations présentées ici, on rappelle que pour une couche α avec des défauts ouverts à ses interfaces, r αd ij est pour l instant pris nul. Si l on observe les courbes reportées Fig.(IV.14), on remarque que : Dans un premier temps, la déformation totale est strictement réversible : ɛ α 11 = ɛ α(r) 11 (phase ϕ1). En effet, il n y a pas encore d endommagement donc les termes ɛ α(d) 11 et ɛ αd 11 sont nuls. Puis on observe un resserrement des points (phase ϕ2) correspondant à une diminution du pas de calcul. Ceci correspond à l activation de l algorithme de prédiction-correction et donc à l apparition des premiers défauts ailleurs dans la microstructure. Le terme ɛ α(d) 11, traduisant les effets "non-locaux" de

143 IV.2 Simulations numériques 143 Déformations locales d une couche α quelconque ɛ α = ɛ α(r) + ɛ α(d) + ɛ αd ɛ α(r) = C(D, D) : E partie réversible ɛ α(d) ij ( { ɛ βd}, { ɛ fd}, D, D) = Id ijuv fvm 0(d) Π α mu représentant l influence de l ensemble des défauts dans le volume sur la déformation de la couche α (effet "non-local") { 1 Π f V vmɛ fd lk Af h f 1 + δ vm V avec : f 0(d) ij = B 1 ijuv L(e)l mukl ɛ αd ij f Si α décollée avec des défauts ouverts : = Id ijmu d α v n α m h α ((B 1 : A ) K ) uvkl E lk + r αd ij représentant l influence directe des défauts présents aux bords de la couche α (effet "local") β ɛ βd lk Aβ h β } Tab. IV.3 Rappel des différentes composantes de la déformation locale ɛ α d une couche α. l endommagement, devient donc non nul alors que le terme ɛ αd 11, représentant l effet d un endommagement aux interfaces de la couche concernée, le reste. Toutefois, il existe environ trois ordres de grandeur entre ɛ α(d) 11 ( 10 5 ) et ɛ α(r) 11 ( 10 2 ), c est pourquoi on ne distingue pas clairement l évolution de ɛ α(d) 11. La faiblesse de la valeur de ce dernier est due au fait que peu de couches sont décollées dans la microstructure à ce niveau de déformation macroscopique. Les apparitions successives de défauts ailleurs dans la microstructure induisent également une perte de linéarité du terme ɛ α(r) = C(D, D) : E puisque D et D évoluent par incrémentation à chaque nouvelle nucléation. Le saut dans la déformation totale ɛ α 11 correspond à la nucléation des défauts aux bords de la couche considérée (phase ϕ3). Après l instant de la nucléation, on remarque que la déformation totale n évolue pratiquement plus (phase ϕ4). Il y a en effet une compétition entre les termes ɛ α(r) 11 (en bleu) et ɛ αd 11 (en rouge). Le premier traduit une extension progressive de la couche due à la poursuite de l essai macroscopique d extension dans

144 144 EVALUATION DE L AM : MISE EN OEUVRE ET SIMULATIONS NUMERIQUES Fig. IV.14 Différentes contributions dans la déformation locale de la couche 1413 lors de l essai d extension la direction 1, et le second traduit une contraction de la couche dans cette direction en raison de l ouverture progressive des défauts à ses interfaces. La similitude entre les deux évolutions peut s expliquer par le fait que l ouverture des défauts aux interfaces de la couche est directement liée à l écartement dans la direction 1 des deux interfaces décollées (et donc dans une certaine mesure à ɛ α(r) 11 ), puisque que la couche demeure liée au grains par son axe de rotation. De la compétition entre ces deux termes et de la présence de ɛ β(d) 11 il résulte que la déformation totale de la couche dans la direction 1 est une extension mais décroit légèrement. L étude de la déformation à l échelle locale réalisée pour la couche α = 1413 peut être menée à bien sur n importe quelle autre couche de la microstructure puisque l AM propose une estimation de l ensemble des déformations locales des couches et des grains. À titre illustratif, on présente sur la figure (IV.15), l évolution de la déformation locale ɛ α 11 des couches 2270,244 et 1100 en plus de celle de la couche 1413 pour les 120 premiers pas de calcul. Les couches 2270 et 244 ont la même orientation que la couche 1413, en revanche la normale de la couche 1100 est proche de l axe 3.

145 IV.2 Simulations numériques 145 Fig. IV.15 Illustration de l hétérogénéité de déformation dans la phase matrice. Tout d abord, on remarque que la nucléation des défauts aux interfaces des couches de même orientation, i.e. 2270, 1413 et 244, se produit pour un niveau de déformation ɛ α 11 proche en raison de la forme du critère. On notera que la couche de normale 3 reste bien entendue saine. On remarque également que pour un même niveau de déformation macroscopique E 11, on a des déformations locales ɛ α 11 dispersées pour les trois couches de même orientation. Ceci témoigne d une certaine forme d hétérogénéité de déformation dans la phase matrice dès la montée élastique. Avant la première nucléation, cette différence de déformation résulte directement de la différence de morphologie des couches. En effet, bien que leurs normales soient identiques, les paramètres d α et h α diffèrent entre les trois couches. Après la première nucléation, l évolution de la déformation de chaque couche est également conditionnée par la présence des autres défauts. La forme des trajets empruntés pour arriver au niveau de déformation correspondant au décollement est alors différente d une couche à l autre. Ainsi, l évolution de ɛ jusqu à la nucléation des défauts à ses propres interfaces est quasi linéaire puisque le décollement a lieu alors que le matériau est très peu endommagé. En revanche, l évolution de ɛ jusqu à la nucléation des défauts à ses interfaces est non-linéaire car le décollement a lieu dans la phase de radoucissement macroscopique, c est à dire pour un niveau d endommagement global beaucoup plus élevé. Enfin, on remarquera qu une fois les couches décollées, l évolution de leur déformation ɛ α 11 est très faible et similaire (voir précédente description pour la couche

146 146 EVALUATION DE L AM : MISE EN OEUVRE ET SIMULATIONS NUMERIQUES 1413). IV Trajet complet extension/contraction IV Première analyse de la réponse homogénéisée Comme annoncé, on applique ensuite à la microstructure un chargement en contraction dans la direction 1 et une extension dans les directions transverses. Ce chargement est appliqué à partir du niveau de chargement en extension correspondant à un niveau d endommagement de 9,2% de couches décollées (point (5) de la Fig(IV.12)). À l échelle macroscopique ceci se traduit dans un premier temps par une décharge du matériau avec une pente constante mais dégradée par l endommagement donc inférieure à la pente initiale (Fig.(IV.16)). Fig. IV.16 Contrainte macroscopique Σ 11 en fonction de la déformation macroscopique E 11 pour l essai d extension/contraction suivant l axe 1 À la décharge complète du matériau (i.e. pour E 11 = 0), l ensemble des défauts se referment simultanément, entraînant une récupération des propriétés mécaniques dans l axe de chargement. Ceci se confirme en observant la réponse obtenue pour le

147 IV.2 Simulations numériques 147 chargement en contraction puisque la pente de la courbe à cet instant est bien la pente initiale du chargement du matériau sain. Le modèle est donc bien capable de prendre en compte les effets unilatéraux. On ne tiendra pas compte du point singulier situé juste après la décharge complète du matériau. Celui-ci est dû à l absence d algorithme de prédiction/correction pour gérer les fermetures, ce qui s avère particulièrement pénalisant lorsqu elles sont simultanées, couplée au fait que la discrétisation du chargement ne passe pas exactement par E 11 = 0. Ceci apparaît clairement lorsqu on regarde le bilan des événements se produisant. Le programme nécessite une petite stabilisation qui se traduit par la présence de ce point décalé qu il ne faut donc pas considérer et qui est sans conséquence sur les résultats postérieurs. Il est à noter que dans cet essai, il n y a pas prise en compte de l ouverture résiduelle des défauts (r βd = 0 β), ni de chargement hors plan. Ceci entraîne cette refermeture simultanée de tous les défauts pour E 11 = 0 et par suite une distorsion nulle des lèvres de défauts fermés (ɛ fd = 0 f conformément à (III.19)). D autres simulations numériques que l on détaillera dans les paragraphes suivants mettront en évidence ce type de contributions. Lorsqu on poursuit la contraction dans la direction 1, on observe ensuite une nouvelle série de nucléations qui concerne les défauts dont la normale est cette fois perpendiculaire à l axe de contraction (voir Fig.(IV.16)). IV Anisotropie induite et effets unilatéraux Après avoir visualisé la chronologie d apparition des défauts et leur position au sein de la microstructure, on va maintenant évaluer la dégradation des propriétés mécaniques causée par cet endommagement en s intéressant à la répartition spatiale du module d Young dans différents plans au cours des phases d extension et de contraction (Fig. IV.17 et suivantes). La définition du module d Young E( m) relatif à une direction de vecteur unitaire m est déduite de la matrice de rigidité ( L donnée par l équation (II.33)), de la manière suivante d après Hayes [29] :

148 148 EVALUATION DE L AM : MISE EN OEUVRE ET SIMULATIONS NUMERIQUES E( m) = [ ( m m) : L 1 : ( m m)] 1 (IV.4) Remarque : Dans le plan ( i, j), la direction m est associée à l angle ϕ = ( i, m). La figure (IV.17) représente la répartition spatiale du module d Young initial dans les plans ( 1, 2),( 1, 3) et ( 2, 3) issue de l expression (II.33) de L pour D et D nuls. Dans ce cas on rappelle que seul T, témoin de la morphologie initiale du matériau et de son anisotropie initiale éventuelle, intervient. On remarque tout d abord que la microstructure initiale est très légèrement anisotrope. Les résultats obtenus par Touboul [73] montrent que les composites générés numériquement selon le principe décrit au paragraphe (IV.2.1) présentent en effet une légère symétrie cubique tendant à disparaître au profit d une isotropie parfaite avec l augmentation du nombre de grains. Ces résultats se trouvent donc confirmés par le tracé de la répartition spatiale du module d Young initial : les courbes obtenues pour 400 grains sont presque confondues mais non tout à fait circulaires. Fig. IV.17 Répartition spatiale du module d Young initial dans les plans ( 1, 2),( 1, 3) et ( 2, 3) On regarde ensuite la répartition spatiale du module d Young dans les mêmes plans, à la fin de l étape d extension dans la direction 1 (voir Fig.IV.18). Si l on regarde les résultats obtenus dans les plans ( 1, 2) et ( 1, 3), on constate que le module

149 IV.2 Simulations numériques 149 d Young est fortement dégradé dans la direction d extension 1, et quasi inchangé dans les directions 2 ou 3, comme le confirme le tracé dans le plan ( 2, 3). Ceci reflète l orientation préférentielle des défauts dans les plans de normale 1, conformément au chargement appliqué. Rappelons qu une telle anisotropie induite est traduite via les tenseurs D et D présents dans l expression de L.

150 150 EVALUATION DE L AM : MISE EN OEUVRE ET SIMULATIONS NUMERIQUES Fig. IV.18 Répartition spatiale du module d Young initial et à l issue de la phase d extension.

151 IV.2 Simulations numériques 151 On s intéresse maintenant à la répartition du module d Young dans les différents plans, à la suite de la décharge, alors que E 11 devient négatif. Remarque : Pour faire les observations après la phase de décharge, on se place après le point singulier afin de s assurer que tous les défauts sont bien refermés et que la légère perturbation numérique liée à l absence d algorithme de prédiction/correction pour gérer les fermeture simultanée à E 11 = 0 n a plus d effet. On a montré que la rupture de pente indique une refermeture de l ensemble des défauts créés durant la phase d extension et une récupération des propriétés mécaniques dans la direction de chargement 1. On est à présent en mesure de confirmer cette interprétation. En effet, on constate sur les représentations des plans ( 1, 2) et ( 1, 3) de la Fig.(IV.19) que l on récupère exactement la valeur initiale du module d Young dans la direction 1 ce qui illustre la bonne restitution des effets unilatéraux. Cette récupération intégrale du module d Young est due au fait que les défauts étaient tous quasiment orthogonaux à l axe d extension. Néanmoins on rappelle que quelle que soit l orientation des défauts fermés, ils ne dégradent pas les propriétés mécaniques du matériau en raison de l hypothèse de frottement infini des lèvres de défauts (seuls les défauts ouverts interviennent dans l expression des tenseurs D et D qui interviennent à leur tour dans l expression du module homogénéisé).

152 152 EVALUATION DE L AM : MISE EN OEUVRE ET SIMULATIONS NUMERIQUES Fig. IV.19 Évolution de la répartition angulaire du module d Young : répartitions initiale, à l issue de la phase d extension et à la fin de la décharge du matériau.

153 IV.2 Simulations numériques 153 Enfin, à l issue de la phase de contraction (voir Fig.(IV.20)), le module d Young se trouve dégradé dans les directions transverses en raison de l apparition des premiers défauts dont la normale est perpendiculaire à l axe 1. On constate en outre une légère anisotropie entre les directions 2 et 3. Il semblerait en effet, qu un plus grand nombre d interfaces de normale 3 que d interfaces de normale 2 soient décollées pour un taux de défauts ouverts par rapport au nombre total d interfaces de 5,1%. Cette disparité devrait s estomper au fur et à mesure que le nombre de nouveaux défauts ouverts va croître. En conclusion, on peut dire qu à travers la représentation de la répartition spatiale du module d Young, on a pu mettre en évidence non seulement la bonne description de l anisotropie engendrée par la création de défauts préférentiellement orientés dans la microstructure, mais également de son interaction avec une potentielle anisotropie initiale. De plus on a montré la bonne restitution des propriétés mécaniques à la fermeture des défauts, soit les effets unilatéraux, de manière complémentaire à l étude de la pente de la courbe Σ 11 = f(e 11 ).

154 154 EVALUATION DE L AM : MISE EN OEUVRE ET SIMULATIONS NUMERIQUES Fig. IV.20 Évolution de la répartition angulaire du module d Young : répartitions initiale, et à l issue des phases d extension et de contraction.

155 IV.2 Simulations numériques 155 IV.2.4 IV Essai d extension/glissement/contraction Effets résiduels dus à la distorsion des défauts fermés On peut maintenant envisager un chargement plus complexe afin de vérifier la bonne prise en compte de certains phénomènes comme l influence des distorsions des lèvres de défauts fermés. Pour ce faire, on ajoute une étape au chargement précédent. Entre les phases d extension et de contraction dans la direction 1, on impose un chargement de glissement simple dans le plan ( 1, 2). F = 0 F (IV.5) Les résultats pour les premiers pas de calcul (courbe bleue Fig.(IV.21)) sont similaires à ceux obtenus pour le chargement sans glissement (Fig.(IV.10)) : partie linéaire élastique, perte de linéarité à l apparition des premiers défauts ouverts de normale n α = 1, etc... Fig. IV.21 Mise en évidence de la prise en compte des distorsions des lèvres de défauts - premiers pas du trajet de chargement

156 156 EVALUATION DE L AM : MISE EN OEUVRE ET SIMULATIONS NUMERIQUES Lors de la phase de glissement (segment en vert), on n a bien sûr plus d évolution de la composante E 11 de la déformation macroscopique. En revanche, la contrainte macroscopique Σ 11 diminue. En effet, des défauts continuent de se nucléer dans le matériau (interfaces en vert sur la Fig.(IV.22), schéma (3) et (4)), impliquant une modification des paramètres d endommagement entrant dans l expression de la contrainte macroscopique. La décharge du matériau jusqu à E 11 = 0 se fait avec une pente davantage dégradée par l endommagement que pour la décharge après une extension seule puisque de nouveaux défauts se sont créés durant la phase de glissement. Par ailleurs, on peut voir apparaître cette fois-ci une déformation et une contrainte résiduelles. Cette dernière est due au maintien du niveau de glissement macroscopique (E 12 non nul pour E 11 = 0 et donc L 1121 E 12 et L 1112 E 21 non nuls dans l expression de Σ 11 ), mais aussi à la présence de défauts fermés. En effet, la contrainte résiduelle Σ (d) 11 représentant, via l ensemble { ɛ fd}, l effet de blocage des défauts fermés est non nulle, voir l expression de Σ rappelée ci-après dans le cas où tous les r βd sont nuls : Σ = L(D, D) : E + Σ (d) ( { ɛ fd}, D, D) (IV.6) Ainsi contrairement au chargement d extension/contraction seul, des défauts nucléés durant l extension se sont ici refermés durant la phase de décharge. Une fois le matériau déchargé (E 11 = 0), on poursuit le chargement en contraction jusqu à 6, Ceci permet tout d abord d observer la fin de la refermeture progressive des défauts perpendiculaires à l axe 1, nucléés durant la phase d extension. Lorsque tous les défauts sont refermés, on récupère le module initial dans la direction de la contraction (Fig.(IV.21)). En poursuivant la contraction, on note pour E 11 = 4, , la nucléation de nouveaux défauts dont la normale est perpendiculaire à l axe de contraction (Fig.(IV.22), schéma (6)).

157 IV.2 Simulations numériques 157 Fig. IV.22 Mise en évidence de la prise en compte des distorsions des lèvres de défauts - trajet de chargement complet.

158 158 EVALUATION DE L AM : MISE EN OEUVRE ET SIMULATIONS NUMERIQUES IV Anisotropie induite et effets unilatéraux Comme pour le chargement précédent, on se propose ici de suivre l évolution du module d Young au cours du chargement (voir Fig.(IV.23) pour une vue d ensemble, et voir l Annexe E pour une représentation agrandie des différentes répartitions spatiale du module d Young). Cette fois-ci on ne s intéressera qu au plan ( 1, 2), plan dans lequel est effectué le glissement. Les étapes (1) et (2) concernent la phase d extension commune à l ensemble des chargements. On retrouve donc les mêmes résultats avec en particulier la perte des propriétés mécaniques dans la direction 1. Le schéma (3) de la Fig.(IV.23) permet de rendre compte de la répartition du module d Young dans le plan ( 1, 2) à l issue de la phase de glissement. On constate une forte anisotropie qui se traduit par un cintrage de l ellipse obtenue à l issue de la phase d extension. La courbe présente un minimum ce qui permet d identifier l angle entre la direction d extension et la normale à la direction préférentielle d endommagement en présence de glissement. On notera ensuite (schéma (4)) la légère récupération du module d Young à la fin de la décharge (pour E 11 = 0), confirmant que des défauts se sont fermés durant la phase de décharge. Au fur et à mesure que l on progresse dans la phase de contraction (Entre les points (4) et (5)), le cintrage de l ellipse s estompe, correspondant à la refermeture progressive des défauts. La courbe tend alors à rejoindre la répartition initiale du module d Young, qu elle atteint une fois l ensemble des défauts refermés. Enfin, le schéma (6) présente la répartition du module d Young à l issue de la phase de contraction. Si les propriétés mécaniques ont bien toutes été récupérées dans la direction de contraction, on voit que de nouveaux défauts se sont créés dont les normales sont les directions transverses, et on a une diminution du module d Young dans la direction 2.

159 IV.2 Simulations numériques 159 Fig. IV.23 Répartition spatiale du module d Young dans le plan ( 1, 2), au cours du chargement avec phase de glissement.

160 160 EVALUATION DE L AM : MISE EN OEUVRE ET SIMULATIONS NUMERIQUES IV.2.5 IV Chargement "cyclique" avec glissement Première analyse de la réponse homogénéisée À la suite du chargement évoqué au paragraphe précédent, on envisage une nouvelle extension dans la direction 1 et une contraction transverse. On réalise ainsi un cycle d extension/contraction/extension combiné à du glissement simple. La nouvelle phase d extension permet les refermetures successives des défauts nucléés lors de la phase de contraction, et la réouverture progressive de l ensemble des défauts perpendiculaires à l axe de sollicitation. Lorsque l on atteint la déformation maximale atteinte lors de la première phase d extension, on a une rupture de pente, la courbe quitte sa progression linéaire croissante pour reprendre une trajectoire adoucissante (voir Fig.(IV.24)) en raison de la nucléation de nouveaux défauts perpendiculaires à l axe d extension. Toutefois on constate que la nouvelle pente est différente de celle de la courbe correspondant à la première extension. En effet, cette fois-ci le matériau présente plus de défauts ouverts (notamment ceux nucléés lors de la phase de glissement), qui, on le rappelle, seuls dégradent les modules homogénéisés. Fig. IV.24 Contrainte macroscopique Σ 11 en fonction de la déformation macroscopique E 11 pour l essai "cyclique".

161 IV.2 Simulations numériques 161 IV Analyse de la déformation locale Si l on regarde maintenant la déformation locale de la couche précédemment étudiée (couche 1413), on obtient les résultats suivants (voir Fig.(IV.25)). Fig. IV.25 Evolution de la composante ɛ α 11 de la déformation locale de la couche α = 1413 au cours d un chargement d extension/contraction "cyclique" suivant l axe 1 La réponse obtenue dans la première partie du chargement, soit la première phase d extension -en bleu sur la courbe-, est similaire à celle évoquée précédemment : partie linéaire tout d abord (1), puis perte de linéarité avec l apparition des premiers défauts ailleurs dans le volume, discontinuité due à la nucléation des défauts aux interfaces de la couche considérée (2), puis compétition des effets d extension et de contraction dus respectivement au chargement et à l ouverture progressive des défauts aux interfaces de la couche (3)). On n observe ensuite pas d évolution pour la phase de glissement dans le plan (1,2) puisqu on se trouve sur la courbe ɛ α 11 = f(e 11 ) (voir (4)). Lors de la décharge (5) jusqu à E 11 = 0 on a toujours compétition entre les termes ɛ α(r) 11 et ɛ αd 11 et l évolution de la déformation totale de la couche est très faible. On remarquera que le terme traduisant les effets "non-locaux" des autres

162 162 EVALUATION DE L AM : MISE EN OEUVRE ET SIMULATIONS NUMERIQUES défauts, ɛ α(d) 11, est toujours faible par rapport aux autres contributions, de sorte que l on n observe pas de fluctuation majeure sur ɛ α 11 due à la nucléation, la fermeture ou la ré-ouverture de défauts ailleurs dans la microstructure. Par ailleurs, après la décharge du matériau (i.e. E 11 < 0), on observe une courte période pendant laquelle la couche est dans un état de contraction et les défauts à ses interfaces toujours ouverts. On illustre ainsi l impossibilité de choisir cet état de contraction comme un indicateur de la refermeture des défauts aux interfaces de la couche concernée. Ceci justifie l utilisation d un critère de fermeture faisant plutôt intervenir le saut de déplacement moyen sur l interface comme cela a été proposé au paragraphe (III.3). La refermeture des défauts aux interfaces de la couche se traduit par une rupture de pente marquée. En effet, le terme ɛ αd 11 est alors "gelé" (il prend et conserve la valeur ɛ fd = ɛ αd (E ferm )) et seuls évoluent durant la suite de la contraction (6), les termes ɛ α(r) 11 et ɛ α(d) 11. Dans la nouvelle phase d extension macroscopique (courbe violette), la ré-ouverture des défauts aux interfaces de la couche s accompagne par la reprise de l évolution du terme ɛ αd 11 qui entre à nouveau en compétition avec le terme ɛ α(r) 11. Ceci se traduit par une faible variation de la déformation totale de la couche pendant la phase (8). IV.3 Bilan des résultats obtenus À l issue de l ensemble de ces simulations, on peut dire que l on a qualitativement montré la capacité de l AM à prendre en compte l évolution de l endommagement dans le matériau comme une succession d événements (nucléation, fermeture de défauts, etc...). On a ainsi obtenu une chronologie de l histoire de l endommagement dans le composite. La présence d un algorithme de prédiction-correction permet de plus d adapter automatiquement le raffinement du pas de chargement afin que le séquençage des nucléations soit le plus précis possible. Les défauts en question sont par ailleurs positionnables au sein de la microstructure et leur orientation connue de même que leur morphologie (proche de celle de l interface concernée). Ces informations peuvent donc servir de base à

163 IV.3 Bilan des résultats obtenus 163 une représentation "cartographique" évolutive de l endommagement dans le matériau, comme illustré dans les visualisations proposées. De plus, on est capable d estimer la contribution de ces défauts dans la déformation des autres constituants de la microstructure, qu ils soient proches ou éloignés. Plus précisément, à l échelle locale, on est en mesure de décrire l histoire de la déformation de chacune des couches et d identifier les différentes contributions de l endommagement et leur évolution au cours du chargement. À l échelle macroscopique, le tracé de la composante Σ 11 a permis de mettre en lumière la bonne description de certains phénomènes comme la présence d une phase de radoucissement, l existence de déformations irréversibles dans le cas du glissement, ou encore la continuité de la contrainte à la refermeture des défauts. Par ailleurs, on a pu vérifier que dans ce dernier cas, on a bien une récupération du module dans la direction de sollicitation, ce qui était l un des objectifs initiaux. Ceci a également été illustré entre autres par des représentations spatiales du module d Young. Ce type de schéma a permis de suivre l évolution de l anisotropie macroscopique en cours de chargement en fonction des différents événements discrets (nucléation, fermeture, ré-ouverture) se produisant au sein de la microstructure. en outre de visualiser le type d anisotropie du matériau dont on peut distinguer les différentes origines : l anisotropie initiale, et l anisotropie engendrée par la création de défauts préférentiellement orientés dans la microstructure. Afin d évaluer les capacités de l AM d un point de vue quantitatif, une réflexion sur la possible confrontation des résultats obtenus via l AM à ceux issus de calculs réalisés par éléments finis est menée en Annexe C.

164

165 Chapitre V EXTENSIONS DE L APPROCHE MORPHOLOGIQUE

166 166 EXTENSIONS DE L APPROCHE MORPHOLOGIQUE Sommaire V.1 Réflexions autour de la continuité de la contrainte homogénéisée V.2 Préparation à l extension à d autres non-linéarités V.2.1 Extension à la viscoélasticité V.2.2 Extension aux transformations finies V.2.3 Bilan

167 V.1 Réflexions autour de la continuité de la contrainte homogénéisée 167 Dans ce chapitre, on présentera tout d abord ( V.1) plusieurs réflexions sur certains aspects de l AM afin d étudier la possible relaxation de quelques hypothèses précédemment formulées. Puis dans un deuxième temps ( V.2), on préparera l extension de l AM en présence d endommagement pour la prise en compte de nouvelles non-linéarités. Plus précisément, on montrera que les bases pour une utilisation de l AM pour décrire le comportement des composites dont la matrice est viscoélastique sont déjà posées. On discutera ensuite de l extension de l AM au cadre des transformations finies en présence d endommagement. On s intéressera en particulier à la transposition des critères dans ce nouveau cadre cinématique et à leur insertion dans la résolution du modèle. V.1 Réflexions autour de la continuité de la contrainte homogénéisée Au chapitre IV, on a présenté un certain nombre de résultats correspondant à des simulations numériques réalisées à l aide de l AM. Plus précisément, on a débuté par l analyse des résultats correspondant à un chargement en extension dans une direction et en contraction dans les directions transverses. Si la forme générale de la courbe Σ 11 = g(e 11 ) (Fig.(IV.10)) ainsi obtenue paraît satisfaisante dans son évolution générale, on peut toutefois remarquer qu elle présente quelques aspérités au lieu d un aspect lisse dès l apparition des premières nucléations. Il semblerait donc que la courbe en contrainte ne soit pas parfaitement continue lors des différentes créations de nouvelles paires de défauts. Afin de comprendre à quoi peut être dû ce phénomène, on se propose d écrire la condition de continuité de la contrainte macroscopique au moment de la nucléation du premier couple de défauts pour le chargement en extension, c est-à-dire lorsque la couche α1 devient la couche β1 (on identifiera par l indice nuc 1 tout ce qui se rapportera à la nucléation des défauts aux interfaces de cette couche). On rappelle que l instant correspondant au décollement de chacune des couches est précisément connu

168 168 EXTENSIONS DE L APPROCHE MORPHOLOGIQUE grâce à l algorithme de prédiction-correction développé au paragraphe (IV.1.2). On écrit donc la différence entre les expressions de Σ avant et après la nucléation des défauts aux bords de cette couche (données par (II.32)) : Σ aps nuc1 Σ avt nuc1 = ( Laps nuc1 L avt nuc1) : E nuc1 + ( Id A : B 1 aps nuc 1 ) : L (e)l : 1 (V.1) V rβ1d A β1 h β1 où Σ avt nuc1 et L avt nuc1 correspondent respectivement à la contrainte homogénéisée et au tenseur de rigidité du matériau sain. On constate que la relation obtenue fait intervenir la déformation résiduelle r β1d impliquée dans l expression de ɛ β1d (voir Eq.(II.30)), et représentant l influence de l ouverture résiduelle des défauts aux bords de la couche β1 après complet déchargement du matériau (i.e. pour E = 0). Pour les simulations numériques présentées au chapitre IV, on a fait l hypothèse r β1d = 0. Dans ce cas, la relation (V.1) s écrit donc : Σ aps nuc1 Σ avt nuc1 = ( Laps nuc1 L ) avt nuc1 : E nuc1 (V.2) Le membre de droite de l équation n est a priori pas nul ce qui signifie que le saut de contrainte lors de la nucléation des défauts aux interfaces de la couche β1, qui est la seule à se décoller pour cet état de déformation macroscopique, n est pas nul. On peut même quantifier ce saut pour la nucléation de la première paire de défauts lors de la simulation présentée au paragraphe (IV.2.3) : ( Laps nuc1 L avt nuc1) E nuc1 ji = 0, 13 MP a 11ij (V.3) Durant toute cette première phase d extension, cette valeur reste au maximum de l ordre du MPa au cours des différentes nucléations, ce qui justifie la relative régularité de la courbe (voir figure (IV.10)). Pour assurer la condition [Σ] = 0 au cours de la nucléation des défauts aux interfaces de la première couche décollée, on propose de relaxer l hypothèse r β1d = 0 et de chercher la forme de r β1d permettant d assurer la nullité du saut. Il vient : r β1d = V A β1 h β1 [ (Id A : B 1 aps nuc 1 ) : L (e)l] 1 : ( Lavt nuc1 L aps nuc1 ) : E nuc1 (V.4)

169 V.1 Réflexions autour de la continuité de la contrainte homogénéisée 169 On tente ensuite de construire une procédure itérative de détermination des r βd permettant d assurer systématiquement la continuité de la contrainte macroscopique lors de chaque nouvelle nucléation des défauts. Pour cela, on va tout d abord formuler l hypothèse suivante : une fois déterminé, chaque r βd n évolue plus avec D et D. Les r βd pourraient a priori dépendre des paramètres d endommagement (voir Nadot et al. [54]). Toutefois, l interprétation physique que l on peut donner à r βd nous conforte dans le choix de l hypothèse qui vient d être formulée. En effet, on rappelle que ce tenseur représente l influence des défauts ouverts aux interfaces de la couche β après complet déchargement du matériau. On peut donc imaginer que cette déformation résiduelle est due à un état de surface accidenté des lèvres de défauts. Physiquement, cet état est bien déterminé au moment de la nucléation des défauts, mais est ensuite conservé au cours du chargement. C est pourquoi nous allons déterminer r βd en fonction de l état d endommagement à la nucléation des défauts puis le considérer constant par la suite. Pour construire la procédure itérative de détermination des r βd, on considère une succession de nucléations de défauts à partir de l état sain, et on s intéresse à la nucléation de la n ieme paire de défauts. On considère de plus connu l ensemble des r βd correspondant aux couches décollées précédemment Pour cette nouvelle nucléation, on écrit la continuité de la contrainte macroscopique : Σ aps nucn Σ aps nucn = 0 (V.5) ( L aps nucn L avt nucn ) : E nucn + A : (B 1 avt nuc n B 1 aps nuc n ) : L (e)l : +(Id A : B 1 aps nuc n ) : L (e)l : 1 V rβnd A βn h βn = 0 On obtient alors l expression suivante pour r βnd : 1 V r βid A βi h βi i n (V.6)

170 170 EXTENSIONS DE L APPROCHE MORPHOLOGIQUE r βnd = V [ (Id A : B 1 A βn h βn aps nuc n ) : L (e)l] 1 : {( L avt nucn L aps nucn ) : E nuc n } +A : (B 1 aps nuc n B 1 avt nuc n ) : L (e)l 1 : r βid A βi h βi V i n (V.7) Il est à noter que r βnd dépend de l ensemble des r βid correspondant aux couches βi qui se sont décollées avant la couche βn (i n), et dont on suppose qu ils ont été déterminés précédemment lors de leur propre apparition. Les relations (V.4) et (V.7) constituent les ingrédients d une procédure de détermination itérative de l ensemble { r βd}, qui part de l état sain du matériau. On notera d ailleurs que les équations (V.6) et (V.7) montrent qu une détermination de n importe quel r βd à partir d un état donné d endommagement sans connaissance des valeurs des r βid correspondant aux couches préalablement décollées ne peut se faire à partir de la seule relation de continuité (V.6), d où la nécessité d utiliser une méthode itérative depuis l état sain. On précise que la procédure itérative reste valable dans le cas de décollements simultanés de plusieurs couches si l on suppose que toutes ces couches, qui se décollent au même moment, possèdent la même déformation résiduelle r βd. La procédure itérative de détermination des { r βd} a été implantée dans la procédure numérique discrète de résolution présentée au chapitre précédent. Les résultats obtenus sont toutefois relativement décevants. En effet, les valeurs atteintes par les déformations r βd semblent a priori trop élevées par rapport aux autres contributions constituant la déformation totale de chacune des couches. On a en effet pu observer des cas où r βd présente un ordre de grandeur de plus que ɛ (r) = C : E ce qui semble anormal étant donné l interprétation physique que l on peut donner à ces deux termes. De plus, la contrainte résiduelle après déchargement complet peut dans ce cadre s écrire de la manière suivante : Σ rés (E = 0) = (Id A : B 1 ) : L (e)l : 1 V r βd A β h β β (V.8) Si seule la première couche est décollée, en considérant l expression (V.4) de r β1d,

171 V.2 Préparation à l extension à d autres non-linéarités 171 cette contrainte s écrit ainsi : Σ rés (E = 0) = ( L avt nuc1 L aps nuc1 ) : E nuc1 (V.9) Les modules étant a priori dégradés par l apparition de la paire de défauts aux interfaces de la couche β1, il semble que selon la forme de E nuc1, Σ rés 11 puisse devenir positive ce qui n est pas acceptable d un point de vue thermodynamique. Pour résumer, il semble que la solution proposée visant à rechercher de manière itérative les r βd de sorte à assurer la continuité de la contrainte lors des différentes nucléations ne soit pas optimale. On rappelle également qu on a émis l hypothèse de r βd identiques pour des couches se décollant simultanément ce qui peut être discutable. La détermination des déformations résiduelles { r βd} nécessite donc a priori l ajout de données extérieures. On rappelle que l on peut physiquement relier les grandeurs r βd à l état de surface des lèvres de défauts instantanément après la nucléation de ces derniers. L étude expérimentale de la cohésion entre les différents constituants pourrait peut être fournir des informations dans ce sens. Éventuellement on pourrait même envisager d affecter à r βd un tenseur dont les composantes seraient directement déduites de la rugosité de l interface dans les différentes directions. V.2 Préparation à l extension à d autres nonlinéarités Dans ce paragraphe, on s intéressera à l extension de l AM en présence d endommagement et de nouvelles sources de non-linéarités afin de se rapprocher du comportement réel de la classe des élastomères fortement chargés considérée. Plus précisément on envisagera dans un premier temps ( V.2.1) d utiliser l AM pour décrire l endommagement de composites dont la matrice présente un comportement viscoélastique isotrope. Puis dans un deuxième temps, nous nous intéresserons à

172 172 EXTENSIONS DE L APPROCHE MORPHOLOGIQUE l extension de l AM au cadre des transformations finies, toujours en présence d endommagement ( V.2.2). Dans chacun de ces paragraphes, après un bref rappel des travaux existants, on prêtera une attention particulière à la transposition à ces nouveaux cadres des différents critères présentés au chapitre III servant à décrire l évolution de l endommagement. V.2.1 Extension à la viscoélasticité Dans de précédents travaux, Nadot et al. ont proposé une application de l AM à des composites dont la matrice présente un comportement viscoélastique et isotrope. Ces travaux ont tout d abord concerné les matériaux sains [56], puis endommagés [54]. On va s intéresser ici plus particulièrement aux grandeurs formulées dans ce cadre viscoélastique qui interviennent dans les différents critères de suivi de l évolution de l endommagement. Le comportement de la matrice est décrit dans ces travaux par une loi thermodynamique à variable interne, tensorielle d ordre deux, symétrique, et homogène à une déformation pour décrire le processus dissipatif de relaxation viscoélastique. Plus précisément, cette variable, notée γ, mesure le degré de relaxation de la matrice. Elle prend donc la valeur nulle pour un état parfaitement relaxé (i.e. à équilibre). La contrainte totale est supposée additive entre une partie purement réversible (à l équilibre) et une partie visqueuse (hors équilibre). Ces dernières dérivent du potentiel thermodynamique, l énergie libre volumique, respectivement par rapport à ɛ et γ. Le potentiel est lui-même supposé additif d une partie élastique instantanément récupérable par décharge et d une partie momentanément "bloquée" récupérable après complète relaxation. L évolution de la variable interne γ, qui peut être interprétée comme une déformation élastique retardée, est décrite par une loi d évolution à un temps de relaxation, noté τ. Elle assure l admissibilité thermodynamique du modèle (i.e. la positivité de la dissipation viscoélastique). Les équations de ce modèle sont résumées ci après :

173 V.2 Préparation à l extension à d autres non-linéarités 173 w = w (r) + w (v) σ = σ (r) + σ (v) σ (r) = w(r) ɛ = L(e)l : ɛ σ (v) = w(v) γ = L(v) : γ γ + 1 γ = ɛ γ(t = 0) = 0 τ (V.10) où L (v) représente le tenseur de rigidité visqueuse. Rappelons que dans l AM la matrice est schématisée par un assemblage de couches. Chacune posséde son propre gradient de déplacement homogène f α et par suite son propre état de déformation ɛ α. En conséquence chaque couche α est selon la loi d évolution présentée dans (V.10), dans un état de relaxation qui lui est propre caractérisé par un tenseur homogène noté γ α. Il y a donc autant de variables internes que de couches dans le VER schématisé. La résolution du système (II.10), selon le principe décrit au paragraphe (II.1.2.3), en présence d un état d endommagement fixé et pour un état de relaxation également fixé (par des valeurs figées des γ α ), permet alors d obtenir l expression suivante pour f 0 (voir Nadot et al. [54] pour plus de détails) : f 0 ij = (Id 1 B 1 : A ) ijkl F { lk } B 1 1 ijuv L(e)l mukl Π f V vmɛ fd lk Af h f 1 + δ vm ɛ βd lk V Aβ h β f β } {{ } f 0(d) ij { } B ijuv L(v) mukl Π α V vmγlk α A α h α + δ vm γ β lk V Aβ h β α β } {{ } f 0(v) ij (V.11) où la sommation sur α représente une sommation sur l ensemble des couches saines ou avec des défauts fermés à leurs interfaces. Les relations (II.1) et (II.2) sont ensuite utilisées pour exprimer f α et par passage à la partie symétrique, on obtient la forme suivante pour le champ de déformation : ɛ( y) = ɛ (r) ( y) + ɛ (d) ( y) + ɛ D ( y) + ɛ (v) ( y) (V.12)

174 174 EXTENSIONS DE L APPROCHE MORPHOLOGIQUE ɛ (r) ( y) et ɛ (d) ( y) sont les contributions définies au paragraphe (II.2.2) : et : ɛ (d) ij ( y) = ɛ (r) ( y) = C( y, D, D) : E ɛ 0(d) ij ( { ɛ βd}, { ɛ fd}, D, D) = Id ijkl f 0(d) lk si y grains ɛ α(d) ij ( { ɛ βd}, { ɛ fd}, D, D) = Id ijkl f α(d) lk = Id ijuv fvm 0(d) Π α mu si y couche α α (V.13) (V.14) tandis que ɛ (v) ( y) revêt la forme suivante : ɛ (v) ij ( y) = ɛ 0(v) ij ({γ α }, D, D) = Id ijkl f 0(v) lk si y grains ɛ α(v) ij ({γ α }, D, D) = Id ijkl f 0(v) lk Π α mu si y couche α α (V.15) avec f 0(v) donné par (V.11) En présence d une matrice au comportement viscoélastique, la procédure de localisation-homogénéisation complémentaire présentée au paragraphe (II.2.4), et visant à exprimer l influence des défauts ouverts aux interfaces d une couche β sur sa déformation, est à reprendre en tenant compte de l ensemble des variables internes de relaxation γ α. Ce travail résumé dans [53], a été effectué par Nadot et al. [55] en remplaçant simultanément l ensemble des γ α par une unique variable interne Γ pour décrire l état de relaxation du composite et ainsi simplifier la formulation du modèle. Encore une fois fondée sur la thermodynamique, l approche de localisationhomogénéisation complémentaire à deux volets proposée permet ainsi d établir deux types de relations. D une part, une relation entre chaque variable γ α et la nouvelle variable viscoélastique Γ, ainsi que la loi d évolution de Γ déduite de celles des γ α et d autre part, l expression de ɛ βd pour une couche β quelconque avec des défauts ouverts à ses interfaces, en fonction des grandeurs suivantes : ɛ βd = g(e, Γ, D, D, T, d β, n β, h β ) + r βd (V.16) Grâce à la nouvelle expression de ɛ βd, qui dépend de l état de relaxation du composite via Γ, on peut étudier la transposition des différents critères servant à

175 V.2 Préparation à l extension à d autres non-linéarités 175 suivre l évolution de l endommagement dans le matériau. Le critère de nucléation conserve la forme suivante : d α norm = d critique décohésion (V.17) avec d α norm = 2λ + u. n α (V.18) Dans l expression de d α norm, u s exprime toujours sous la forme (III.6) rappelée ci-après : u i = u α i ( Y αp 2 ) u 0 i ( Y αp 1 ) = [ ] 2fij 0 + (F ik fik) 0 dα k nα j λn α h α j (V.19) Toutefois, on remarquera que d α norm dépend ici de f 0 donné par (V.11) et prend donc en compte l état de relaxation du composite via la partie f 0(v), qui, connaissant le lien entre γ α et Γ, peut s exprimer en fonction de l unique variable Γ. Par suite, comme on reste dans le cadre des petites perturbations, on peut évaluer de manière analogue à celle présentée au chapitre III, ω βd pour chaque couche β en fonction de ɛ βd qui cette fois-ci dépend de l état de relaxation du matériau comme indiqué en (V.16). On peut alors évaluer l influence des défauts sur le gradient de déplacement de la couche : f βd = ɛ βd + ω βd. Ceci permet d estimer la composante normale du saut moyen de déplacement b β et d utiliser directement le critère de fermeture formulé au paragraphe (III.3.1) : 1. Tant que b β I β 1. n β > 0, alors les défauts aux interfaces de la couche β restent ouverts. 2. Dès que b β. n β = 0, alors les défauts aux interfaces de la couche β se ferment I β 1 Le critère de réouverture est enfin lui aussi conservé avec ɛ f donné par (V.12). I β 1

176 176 EXTENSIONS DE L APPROCHE MORPHOLOGIQUE On pourra retenir de cette analyse que tous les critères présentés au chapitre III sont directement utilisables dans le cas où la matrice a un comportement viscoélastique. L intégration dans la procédure discrète de résolution numérique de cette loi de comportement viscoélastique pour la matrice représente donc une extension directe des présents travaux de thèse. On notera à ce titre, qu en plus de l intégration des nouvelles expressions de f 0 et ɛ βd, il faudra prévoir l intégration de la loi d évolution de Γ à chaque pas de calcul ce qui sera sans doute la principale difficulté. V.2.2 Extension aux transformations finies Une autre extension possible de l AM en présence d endommagement consiste à quitter le cadre cinématique des petites perturbations pour entrer dans le cadre géométriquement non-linéaire des transformations finies afin de se rapprocher du comportement de la classe de matériaux visée. Tout d abord, rappelons succinctement les principales équations caractérisant l AM dans le cadre des transformations finies (TF) pour le matériau sain, telles qu elles ont été établies par Guiot ([27] et [28]), voir aussi les travaux ultérieurs de Touboul [73] et [74]. Le problème de localisation-homogénéisation est étendu aux transformations finies dans le cadre d une description lagrangienne du mouvement en conservant la même série d hypothèses cinématiques qu en HPP. La continuité du champ de déplacement aux interfaces grains/couches permet ainsi d exprimer le gradient de transformation f α d une couche α quelconque en fonction de celui des grains f 0 et du gradient de transformation macroscopique F considéré comme la donnée du problème caractéristique du chargement, de la manière suivante : f α ij = f 0 ij + (F ik f 0 ik) dα K nα J h α (V.20) La compatibilité entre mouvement local et global est assurée au sens de la relation de moyenne suivante portant cette fois sur le gradient de transformation : (1 c)f V 0 f α A α h α = F α (V.21)

177 V.2 Préparation à l extension à d autres non-linéarités 177 où V 0 désigne le volume des couches et des grains dans la configuration initiale du milieu schématisé. L insertion de (V.20) dans (V.21) fait émerger la condition de compatibilité (V.22) qui comme en HPP ne porte que sur les paramètres morphologiques initiaux, et se présente donc comme une condition de choix de composites dont le comportement peut être estimé par l AM : 1 V avec δ IJ est le symbole de Kronecker. d α I n α JA α = δ IJ α (V.22) Le principe de macrohomogénéité de Hill-Mandel généralisé aux grandes déformations (voir Stolz [67]), associé à des conditions aux limites homogènes en contraintes nominales permet d établir le système suivant : S Ji = s Ji V0 = (1 c) s0 Ji + 1 s α V 0 JiA α h α α S Ji = 1 t α i d α J V 0 α (V.23) avec S le tenseur des contraintes nominales macroscopiques, s 0 le tenseur des contraintes nominales moyennes dans les grains, s α le tenseur des contraintes nominales moyennes dans la couche α et t α i = s α Ii nα I Aα la force totale transmise via la couche α dans la configuration actuelle, exprimée dans la configuration initiale. Le système (V.23) est ensuite résolu de manière entièrement numérique selon un principe qui demeure toutefois analogue à celui mis en oeuvre en HPP (voir (II.1.2.3) en supprimant l ensemble { f αd} ). Le choix de la procédure numérique de résolution dépend de la forme de la loi de comportement choisie pour décrire le comportement de la matrice. En hyperélasticité, il s agit d un algorithme de Newton-Raphson. Le lecteur intéressé par plus de détails concernant l extension de l AM en TF pourra se référer à la thèse de Touboul [73] ou une discussion critique autour de chacune des étapes y est proposée en plus d une évaluation des résultats obtenus par confrontation à des simulations par éléments finis sur des microstructures périodiques d une part, et aléatoires à grains polyédriques d autre part. Comme

178 178 EXTENSIONS DE L APPROCHE MORPHOLOGIQUE déjà évoqué au paragraphe (II.3), les estimations aux deux échelles en hyperélasticité ou viscohyperélasticité s avèrent de bonne qualité pour la gamme de taux de charges élevés caractéristique des matériaux visés, prouvant le caractère acceptable des hypothèses cinématiques au départ de l approche. Les hypothèses cinématiques formulées en HPP ayant été généralisées en TF, leurs conséquences sur la prise en compte de l endommagement, caractère affine du saut par exemple, sont analogues. Aussi, l ensemble des développements réalisés en HPP pour un état d endommagement fixé dans les travaux de Nadot et al. [54], dont les résultats essentiels ont été présentés au paragraphe (II.1.2) (voir notamment paragraphe (II.1.2.1)), sont directement généralisables en transformations finies. Ceci constitue une nouvelle manifestation du caractère général de l extension en présence d endommagement des travaux de Christoffersen [12] réalisée par Nadot et al. [54]. Ainsi, en présence d endommagement, le gradient de transformation d une couche α s écrit tout d abord de la manière suivante : où f αd ij f α ij = f 0 ij + (F ik f 0 ik) dα K nα J h α + f αd ij (V.24) représente l influence des défauts potentiellement situés aux interfaces de la couche α sur son gradient de transformation. Puis on peut montrer que la condition de compatibilité (V.22), en vue d assurer la compatibilité entre mouvement local et global en présence de discontinuités, est conservée. Enfin, l application du principe de Hill généralisé en TF et en présence d endommagement associé à des conditions aux limites en contraintes nominales homogènes permet d aboutir à un système identique dans sa formulation au système (V.23) qu il faudra une fois encore résoudre de manière numérique. Comme en HPP on pourra tout d abord considérer l ensemble { f αd} comme des paramètres pour la résolution numérique du système (V.23), puis déterminer ces paramètres a posteriori. Lors de cette résolution, il faudra également insérer les critères de nucléation, de fermeture et de réouverture de défauts, afin de prendre en compte l évolution de l endommagement dans le matériau. Il est donc de nécessaire de reformuler ces derniers dans le cadre des transformations finies. On souhaite dans ce paragraphe

179 V.2 Préparation à l extension à d autres non-linéarités 179 rapporter quelques réflexions concernant la reformulation de ces différents critères. On s intéresse dans un premier temps à la transposition du critère de nucléation : d α norm = d critique décohésion (V.25) Si l on souhaite conserver comme critère la comparaison de d crit à d α norm il faut s intéresser à la forme de ce dernier, à savoir : d α norm = 2λ + u. n α (V.26) Dans cette expression, u représente la différence entre les vecteurs déplacement des points P 1 et P 2 situés initialement de part et d autre de l interface I1 α de la couche α tels que définis au paragraphe (III.2.2.1). n α représente la normale de l interface I1 α à l instant actuel t. Si, dans le cadre des petites perturbations, on pouvait supposer cette normale proche de la normale initiale n α, ce n est plus le cas dans le cadre des transformations finies. Il faut donc ici calculer la normale n α. I α 1 I α 1 Pour ce faire, on doit définir un petit élément de surface de l interface initiale de normale n α, en évaluer le transporté, qui sera un petit élément de l interface en configuration déformée, et dont la normale sera le vecteur n α recherché. Afin de définir le petit élément de surface initial, on considère par exemple deux vecteurs unitaires V α 1 et V α 2 de deux directions définies comme reliant le barycentre et deux sommets de l interface dans la configuration initiale (voir Fig.(V.1)). Fig. V.1 Définition des vecteurs unitaires V 1 α et V 2 α

180 180 EXTENSIONS DE L APPROCHE MORPHOLOGIQUE que : On a alors : ds n α = V α 1 V α 2 (V.27) La transportée de cette surface élémentaire, d aire ds et de normale n α, est telle ds n α = v α 1 v α 2 (V.28) où v α 1 et v α 2 sont les transportés des vecteurs V α 1 et V α 2 respectivement : avec f 0 le gradient de transformation des grains. On en déduit l expression de n α via (V.28) : v 1 α = f 0 V α 1 (V.29) v 2 α = f 0 V α 2 n α = f 0 V α 1 f 0 V α 2 f 0 V1 α f 0 V2 α (V.30) On pourra donc directement utiliser la forme (V.25) du critère de nucléation en évaluant la différence de vecteurs déplacement u, et en utilisant l expression (V.30) de la normale n α à l interface dans l estimation de d α norm (V.26). On souhaite également conserver une forme analogue à celle proposée dans le cadre HPP au paragraphe (III.3.1) pour le critère de fermeture de défauts. Il s agira de tester la positivité de la composante normale du saut moyen de déplacement b β. n β avec n β donnée par (V.30). L enjeu se situera donc au niveau de la I β 1 détermination du saut moyen de déplacement à partir des grandeurs cinématiques connues. Le critère de réouverture gardera également la forme générale qui lui a été attribuée dans le cadre HPP au paragraphe (III.3.3). Toutefois, la normale à l interface sera évidemment donnée par (V.30), et le tenseur des déformations de la couche α sera le tenseur de Green-Lagrange homogène dans la couche f, E f. Dès que n f.e f. n f > 0 il y a ré ouverture (V.31)

181 V.2 Préparation à l extension à d autres non-linéarités 181 V.2.3 Bilan La formulation des différents critères servant à la prise en compte de l évolution de l endommagement dans le cadre HPP et pour une matrice au comportement élastique linéaire isotrope, a été effectuée en s appuyant sur des considérations cinématiques qui constituent le coeur de l AM. On a par ailleurs veillé à ce que les expressions obtenues demeurent valables dans des cadres non-linéaires. Par une analyse rapide, nous avons montré que la forme générale des critères pourra être conservée pour l étude de composites à matrice viscoélastique isotrope d une part, et pour l extension de l AM au cadre des transformations finies d autre part. Dans ce dernier cas en particulier, certains enjeux demeurent concernant l évaluation des termes intervenant dans l expression des différents critères (notamment le saut moyen de déplacement relatif aux défauts ouverts impliqué dans le critère de fermeture). Pour les deux extensions précitées, il restera également un enjeu en terme d implantation numérique et de choix dans les méthodes de résolution. On peut en effet présager de nombreux couplages entre les différentes équations. Néanmoins il semble que ces deux extensions soient envisageables dans un avenir assez proche. Les extensions précédentes ne modifient en rien les fondements de l AM qui, comme on l a évoqué à plusieurs reprises, présentent des forces mais aussi un certain nombre de faiblesses. Aussi, d un point de vue plus fondamental, il serait aussi intéressant de revenir sur les bases mêmes de l approche. On pourrait par exemple revenir sur la non admissibilité statique du champ de contraintes estimé lorsque les propriétés mécaniques sont considérées homogènes par phase, faiblesse déjà présente en l absence d endommagement. En présence d endommagement et pour les mêmes raisons que pour la non continuité du vecteur contrainte, le champ de contraintes estimé ne vérifie pas non plus la propriété t β = 0 pour les couches β aux interfaces sièges de défauts ouverts. Cette propriété a pourtant été postulée en amont de la résolution du système (II.10) par Nadot et al. (voir (II.1.2.2)). Plus en amont encore et dans un premier temps en l absence d endommagement, on pourrait aussi

182 182 EXTENSIONS DE L APPROCHE MORPHOLOGIQUE envisager d enrichir la description cinématique par la prise en compte des effets au sein des zones médianes (zones de recouvrement des couches au voisinage des arêtes et coins des grains) afin d y assurer la compatibilité des déplacements et, par suite, améliorer l admissibilité cinématique du modèle.

183 CONCLUSION On rappelle que les présents travaux de thèse s inscrivent dans un vaste projet de caractérisation de la vulnérabilité de propergols solides destinés à la propulsion spatiale, mené à bien par le CEG en partenariat avec le LMPM. Pour atteindre cet objectif, des modèles réactifs permettant de prédire l initiation et la propagation de flammes, voire la transition rapide vers une détonation, doivent être élaborés. Les nombreuses sources de non-linéarité caractéristiques du comportement réel des propergols solides (élastomères fortement chargés), et la nécessité de décrire une classe entière de matériaux rendent complexe leur description au moyen de modèles phénoménologiques. De plus, les modèles réactifs nécessitent un certain nombre de données d entrée que seule une modélisation micromécanique peut fournir (position, orientation et morphologie des défauts, surface décollée et volumes de vide créés,...). Dans le cas de faibles vitesses de sollicitation, la décohésion des interfaces grains/matrice a été identifiée comme le mode d endommagement privilégié de ces matériaux. La morphologie locale de ces derniers a donc une influence importante sur leur dégradation, aspect qu il faut prendre en compte dans la modélisation. Si les méthodes en champs complets permettent de s appuyer sur une modélisation directe et précise de la microstructure réelle et d accéder avec acuité aux grandeurs locales, leurs exigences en terme de ressources informatiques, notamment en non linéaire, restent pour l instant trop élevées pour une utilisation systématique dans des cas 3-D. Les méthodes d estimation leur sont donc parfois préférées. Une technique de transition d échelle qualifiée d approche morphologique (AM), initialement proposée par Christoffersen [12] et permettant de répondre 183

184 directement à certains des enjeux liés à cette problématique, a donc été choisie comme socle des travaux de modélisation. Plus précisément, elle est dédiée à l étude des composites particulaires à forts taux de charges dès la formulation du problème local. De plus, elle permet d accéder à une estimation des champs locaux qui font partie des données nécessaires à l utilisation des modèles réactifs précités. Initialement formulée pour des matériaux sains dont les grains et la matrice sont élastiques isotropes, elle a progressivement été étendue de sorte à se rapprocher du comportement des élastomères fortement chargés, cibles de l étude : prise en compte de la viscoélasticité tout d abord en petites déformations (Nadot et al. [56]), puis du cadre des transformations finies (en hyperélasticité Guiot et al. [28] et viscohyperélasticité Touboul et al. [74]) et enfin de l endommagement en (visco)élasticité HPP (Nadot et al. [54]). Les travaux présentés dans cette thèse se situent directement dans la continuité de l extension de l AM proposée en HPP par Nadot et al. [54] en présence d un état d endommagement fixé et d un coefficient de frottement infini des lèvres de défauts fermés. Les fondements de l AM en présence d endommagement sont constitués d une schématisation explicite et directe de la microstructure réelle initiale sous forme d un assemblage de grains polyédriques séparés par de fines couches de matrice, suivie d hypothèses cinématiques et de la façon d intégrer les discontinuités de manière compatible avec ces hypothèses. Il est important de rappeler que la formulation et surtout la résolution du problème de localisation-homogénéisation sont ensuite effectuées selon un principe indépendant des lois de comportement choisies pour chacun des constituants (grains et matrice). Les résultats obtenus dans le cas particulier où ces derniers sont élastiques linéaires isotropes se présentent sous forme d expressions analytiques. Ces dernières offrent l avantage de dégager clairement les contributions respectives des défauts ouverts et fermés aux deux échelles. Ce rappel des travaux de Nadot et al. [54] a ainsi permis de mettre en lumière les capacités de l AM à rendre compte de l influence de la morphologie

185 locale sur la façon dont les champs locaux et les propriétés macroscopiques sont dégradés. On a également insisté sur l aptitude du modèle à rendre compte du couplage entre une éventuelle anisotropie primaire et l anisotropie induite par un endommagement orienté. Enfin, on a positionné l AM de manière plus générale vis-à-vis des enjeux en homogénéisation non linéaire en faisant un retour sur les travaux réalisés pour le matériau sain. On a ainsi mis en valeur le caractère "direct" de l AM (résolution du problème de localisation-homogénéisation sans procédure de linéarisation préalable des lois de comportement locales et dans l espace temps réel en viscohyperélasticité). Ce caractère direct trouve sa source dans la schématisation géométrique de la microstructure mais aussi dans les simplifications cinématiques postulées au départ de l approche et à ce titre certains points discutables ont été rappelées (non description des effets dans les zones de recouvrement de couches et ses conséquences en terme d admissibilité cinématique par exemple). Toutefois, on rappelle que le modèle obtenu à l issue des travaux de modélisation de Nadot et al. [54] n est formulé que pour un état d endommagement fixé. Aussi, en vue d une utilisation pratique, il était essentiel de construire tous les ingrédients nécessaires à la prise en compte de l évolution de l endommagement en cours de chargement puis, de proposer une première évaluation de l approche ainsi complétée dans le cas de constituants (grains et matrice) élastiques linéaires isotropes. Grâce à sa schématisation directe de la microstructure réelle et des phénomènes locaux, l AM permet de décrire l évolution de l endommagement à l échelle des constituants, c est à dire sous forme d événements discrets qui peuvent être successifs ou simultanés : création de nouvelles interfaces endommagées (nucléation de défauts), fermeture ou ré-ouverture de défauts préalablement ouverts ou fermés respectivement. Toutefois, les hypothèses cinématiques au départ de l AM impliquent un saut de déplacement affine aux interfaces ce qui interdit la modélisation d une décohésion partielle. Trois critères ont donc été proposés afin de traiter l ensemble des évolutions possibles de l endommagement. Un critère de nucléation a tout d abord été construit en tirant avantage de

186 l accès à une estimation du champ local de déplacement et de sa sensibilité à la morphologie locale et globale. Dans la continuité de l hypothèse de coefficient de frottement infini proposée par Nadot et al. [54], ce critère est ici formulé pour une décohésion en mode normal. Il consiste à comparer à une valeur critique (reliée aux propriétés d adhésion) la projection normale à l interface de la différence de position actuelle de deux points situés de part et d autre de cette dernière. La valeur de cette projection calculée grâce aux expressions connues du champ de déplacement de part et d autre de l interface, et par suite le critère proposé, dépendent de la morphologie locale au voisinage de l interface mais aussi de la morphologie globale du composite et de son état d endommagement. De nouveaux défauts pouvant ainsi être créés au sein de la microstructure, on s est ensuite intéressé à leur refermeture potentielle. On a alors formulé un critère de refermeture faisant intervenir la composante normale du saut moyen de déplacement sur l interface d une couche décollée avec des défauts ouverts. En raison de la forme affine du saut conséquente aux hypothèses cinématiques au départ de l AM, la nullité de cette composante implique la refermeture complète des défauts en question. La mise en œuvre de ce critère nécessite l évaluation du saut moyen en cours de chargement et à cet effet une méthode spécifique a été proposée. Le saut moyen de déplacement résultant est ainsi fonction de la déformation et de l état d endommagement macroscopiques, et de la morphologie locale environnant l interface. Enfin, sur la base d une étude de la déformation d une couche décollée après refermeture des défauts à ses interfaces, un critère de réouverture de défauts a été proposé faisant intervenir la composante normale de cette déformation. Une fois établi l ensemble des critères permettant de gérer l évolution de l endommagement dans le matériau (état et configuration), l AM ainsi enrichie a été mise en œuvre numériquement. Cette étape a nécessité la création d une procédure discrète de résolution. On a attiré l attention du lecteur sur la mise en place dans cette procédure d un algorithme de prédiction/correction permettant de raffiner automatiquement le pas de calcul pour une meilleure prise en compte séquentielle des nucléations de défauts. En effet, on a montré que l AM permet de

187 décrire une certaine influence de chaque défauts sur la déformation de l ensemble des grains et de chacune des couches de matrice, c est pourquoi un séquençage précis des nucléations est nécessaire afin de prendre en compte le plus précisément possible les différentes redistributions de déformation dans les tests de nucléation ultérieurs. La procédure discrète de résolution a été mise en oeuvre une microstructure aléatoire d environ 400 grains polyédriques, générée numériquement de sorte à vérifier le cadre géométrique imposé par l AM. Plusieurs chargements issus de combinaisons de trajets macroscopiques simples (extension, contraction, glissement) ont été traités. Ces simulations ont permis de mettre en lumière les aptitudes de l AM à décrire le comportement du matériau aux deux échelles en considérant l évolution de l endommagement comme une succession d événements (nucléations, refermetures, réouvertures, etc...). À l échelle microscopique, on est ainsi capable, de localiser et de visualiser les différents défauts dans la microstructure, d accéder à leur orientation et à leur morphologie, mais aussi d obtenir une estimation de leurs contributions sur la déformation des grains et des couches de matrice. À l échelle macroscopique, l algorithme de prédiction-correction permet de détecter précisément le seuil d endommagement. On observe ensuite la présence attendue d une phase de radoucissement, la bonne prise en compte de déformations irréversibles le cas échéant, mais aussi la continuité de la contrainte à la refermeture des défauts. Puisque le glissement des lèvres de défauts n est pas décrit, on observe également une récupération complète de la rigidité après refermeture de l ensemble des défauts. Plus généralement, des représentations de la distribution spatiale du module d Young ont permis de suivre l évolution de l anisotropie macroscopique au cours du chargement. En résumé, les critères d évolution de l endommagement et la procédure de résolution numérique proposés ont permis l utilisation pratique de l AM en présence d endommagement. L approche permet désormais de corréler efficacement la réponse macroscopique à un chargement aux événements discrets se produisant localement :

188 nucléations, fermetures, ré-ouvertures de défauts dont on connaît et visualise la position et les caractéristiques (orientation et morphologie). Enfin, on retiendra la pertinence qualitative des résultats obtenus confirmant non seulement la bonne approximation offerte par le socle cinématique de l AM, déjà appréciée pour le matériau sain (Touboul [73]), mais aussi les choix de modélisation en matière de description de l endommagement qui ne seraient pas des conséquences directes de ce socle. Les perspectives de ces travaux de thèse sont nombreuses, mais on s est attaché à dégager ce que pourraient être les extensions directes à moyen terme. En termes de modélisation on a en particulier posé les bases des extensions visant à prendre en compte de nouvelles non linéarités caractéristiques des élastomères chargés. On envisage ainsi de décrire tout d abord le caractère viscoélastique de la matrice en HPP, puis d étendre l AM en présence d endommagement au cadre des transformations finies. On a montré en particulier que la formulation cinématique des trois critères proposés, indépendante dans son principe des lois de comportement des constituants, devrait permettre leur utilisation directe pour les deux extensions précitées. En ce qui concerne la validation quantitative du modèle, on souhaiterait mener à terme les travaux de comparaison à des calculs éléments finis qui sont actuellement en cours au CEG. En travaillant sur la même microstructure polyédrisée et en utilisant les mêmes propriétés mécaniques on devraient ainsi proposer une validation cette fois quantitative du volet cinématique de l AM en présence d endommagement. À plus long terme, on pourrait envisager de revenir en amont sur les fondements de l AM, en particulier sur son cadre cinématique afin de l enrichir (description des champs dans les zones de recouvrement de couches). En matière de description de l endommagement, on pourrait également s intéresser à la possible prise en compte du glissement des lèvres de défauts fermés, ainsi qu à d autres modes de nucléation (II et III).

189 Annexe A Principe général d une transition d échelle Choix et représentation d un Volume Elémentaire Représentatif (VER) Traditionnellement, on définit la taille du VER par rapport à la taille des hétérogénéités qui composent le matériau et dont on souhaite prendre en compte les mécanismes de déformation dans l estimation du comportement global. Voir Zaoui [82]. Cette taille moyenne des hétérogénéités que l on notera d ne doit cependant pas être inférieur à la taille critique d 0 au-dessous de laquelle la mécanique des milieux continus n est plus efficiente. Ensuite on distingue deux cas différents : celui des milieux périodiques pour lesquels le VER est simplement le motif morphologique de base qui permet par translation d engendrer tout le matériau, et celui des milieux aléatoires. Pour ces derniers, on choisit la taille du VER de façon à assurer le principe de séparation des échelles, c est à dire que la taille l du VER doit être très supérieur à la taille des hétogénéités d (l échantillon est alors macroscopiquement continu), mais très très inférieure à la taille de la structure considérée L de sorte à assurer la macrohomogénéité au sens de Hill-Mandel [31]. 189

190 190 Principe général d une transition d échelle d << l << L (A.01) Enfin il faut que la longueurs d onde des sollicitations que l on souhaite appliquer soit supérieure à la taille l due VER. Si toutes ces conditions sont vérifiées, alors on pourra remplacer l échantillon par un matériau homogène fictif, équivalent en moyenne au précédent. Une fois les dimensions de la "boite-ver" choisies, il convient d en décrire au mieux l intérieur. C est ce qu on appelle l étape de "représentation" qui consiste plus précisément à choisir des outils permettant de rendre compte le plus fidèlement possible de la géométrie et de l agencement spatial des hétérogénéités choisies comme base de la description. Cette étape fastidieuse oblige souvent à faire certaines hypothèses simplificatrices conduisant à la perte de données morphologiques dont il faudra tenir compte dans l analyse des résultats de la modélisation. Localisation Cette étape consiste en l analyse mécanique du VER. Il s agit de déterminer les champs locaux à l intérieur de ce dernier (déformation ɛ, contrainte σ, etc..) à partir d un état macroscopique donné. Ces derniers doivent être solution du problème hétérogène suivant écrit sous l hypothèse des petites perturbations (HPP) : Lois de comportement Equilibre : σ y = 0 Compatibilité cinématique : ɛ = sym u Relations de moyenne : ɛ Ω = E ou σ Ω = Σ (A.02) ainsi que les conditions aux limites adéquates. Ces conditions aux limites doivent : 1. Respecter le principe de macrohomogénéité de Hill-Mandel défini comme suit : Pour tout champ de contrainte σ statiquement admissible avec Σ, et tout champ de déformation ɛ cinématiquement admissible avec E, tous deux vérifiant le système (A.02), on doit avoir :

191 191 σ : ɛ Ω = σ Ω : ɛ Ω = Σ : E (A.03) 2. Assurer l existence et l unicité de la solution du problème (A.02) On distingue alors deux cas : (a) Les conditions aux limites périodiques Elles découlent directement de la périodicité du milieu si la taille de l hétérogénéité d est proche de celle du VER l, et assurent le principe de macrohomogénéité de Hill-Mandel. σ. ν antipériodique sur Ω, contour du V ER u E. y périodique sur Ω, contour du V ER (A.04) Dans le cas ou l inégalité d << l est vérifiée, alors les conditions aux limites peuvent également être choisies comme celles d un matériau aléatoire. (b) Les autres conditions aux limites, dont les plus utilisées sont les suivantes : i. en contraintes homogènes : σ. ν = Σ. ν sur le contour du VER dont la normale est ν. ii. en déformations homogènes : u = E. y sur le contour du VER. Ces conditions ne sont justifiées que si la taille du VER vérifie la condition de séparation d échelle d << l. Dans ce cas, (σ Σ). ν ou u E. y fluctuent sur le pourtour du VER autour de valeurs moyennes nulles et de petite amplitude par rapport à l. Les effets de ces fluctuations sont ensuite négligés dans la majeure partie du VER. Le problème de localisation ainsi posé n a pas de solution immédiate (sauf dans quelques cas de microstructure périodique). Ceci est principalement dû au fait que le VER n est pas correctement décrit d un point de vue mécanique et géométrique, ainsi qu aux différentes non-linéarités du comportment. C est en général cette étape qui va différencier les différentes techniques de modélisation par transition d échelle.

192 192 Principe général d une transition d échelle Homogénéisation Dans cette dernière étape, on remonte au comportement global du matériau homogène équivalent. Pour ce faire, il suffit d utiliser des relations de moyennes appliquées aux lois de comportement locales. Dans le cas qui nous intéresse (à savoir la modélisation de l endommagement), cette étape d homogénéisation n est pas directement l objectif final. En effet, sans cesse il nous faudra revenir à la réponse locale du matériau afin de tester les différents critère de nucléation ou de fermeture de défauts. Les grandeurs homogénéisées obtenues serviront donc à résoudre un problème dit de relocalisation qui se situera à nouveau à l échelle microscopique.

193 Annexe B Éléments concernant la procédure discrète de résolution numérique Structure des éléments choisis pour la construction du programme de résolution Comme nous l avons vu au paragraphe (IV.1.3), nous avons utilisé des "types composites" pour définir et stocker l ensemble des informations nécessaires à la mise en oeuvre de l AM. On se propose ici de donner, à titre illustratif, une représentation schématique du type composite utilisé pour gérer l ensemble des informations concernant les couches. On appellera "interface de référence de la couche α" l interface sur laquelle est définie sa normale

194 194 Éléments concernant la procédure discrète de résolution numérique TYPE : : couche integer : :naretes REAL (KIND=8) : : A-alpha REAL (KIND=8) : : h-alpha REAL (KIND=8), DIMENSION (1 :3) : :n-alpha REAL (KIND=8), DIMENSION (1 :3) : :d-alpha REAL (KIND=8), DIMENSION (1 :3) : :bary.. REAL (KIND=8), DIMENSION (1 :3) : :bmoy REAL (KIND=8), DIMENSION (1 :3,1 :3) : :ea REAL (KIND=8), DIMENSION (1 :3,1 :3) : :sa. logical : :saine. END TYPE couche nombre d arêtes de l interface de référence de la couche α aire projetée de la couche α épaisseur de la couche α normale de la couche α vecteur reliant les centroïdes des grains entourant la couche α coordonnées du barycentre de l interfaces de référence de la couche α.. saut moyen de déplacement aux interfaces de al couche α déformation totale locale de la couche α contrainte totale locale de la couche α. exemple de booléen caractérisant l état de la couche α.

195 195 Équation à résoudre pour mettre en oeuvre l algorithme de prédiction-correction Dans le chapitre IV on a présenté un algorithme de prédiction-correction permettant de prendre en compte successivement les nucléations de défauts dans le matériau. Cet algorithme nécessite la connaissance précise du moment de la nucléation de chaque paire de défauts aux interfaces des couches α i concernées au pas n+1 : {F nuc αi }. Comme annoncé au paragraphe (IV.1.2.2), l obtention de chacun des F nuc αi se fait en résolvant une équation quadratique que l on se propose d expliciter ici. On choisit de chercher F nuc α correspondant à la nucléation des défauts aux interfaces de α, couche qui vérifie d α norm(f prédit n+1,... ) d critique. Il faut donc trouver le coefficient η α tel que F nuc α = F n + η α F. Afin d alléger les notations, on notera η α = η. Pour trouver η il faudra donc résoudre l équation : d α norm(f n + η F,... ) = d critique (B.01) Calcul préliminaire de E nuc α d α norm est une fonction de l inconnue η, mais aussi de F n, de F et d un certains nombre de paramètres qui sont considérés comme donnés (les paramètres morphologiques par exemple). E nuc α émerge naturellement dans l expression de d α norm. Il nous faut donc également l expliciter en fonction de l inconnue de l équation η et des données du problème. C est ce qu on se propose de faire dans ce paragraphe préliminaire. Bien que la procédure soit appliquée en HPP dans le cadre de cette thèse, les développements sont ici réalisés en transformations finies en vue d une extension ultérieure des travaux à ce cadre. On considère le gradient de transformation macroscopique au pas de calcul n noté G n. Par définition, il est tel que G n = F n + Id. On définit le tenseur C n = t G n G n, puis le tenseur des déformations de Green-Lagrange 1(C 2 n Id). En HPP, on peut

196 196 Éléments concernant la procédure discrète de résolution numérique bien entendu écrire la relation suivante : E n 1(C 2 n Id). On exprime alors le gradient de transformation macroscopique G nuc α tel que G nuc α = G n + η G, avec G = F. On définit ensuite comme précédemment C nuc α = t G nuc α G nuc α et E nuc α = 1(C 2 nuc α Id). Le développement des équations précédentes permet de réécrire l expression de E nuc α de la manière suivante : { 1 [ E nuc α = E n + η t ] G n G + t η [ GG n + t ] } GG n 2 2 } {{ } E(η) (B.02) où E n, G = F et G n = F n + Id sont connus. Équation à résoudre pour trouver F nuc α On cherche maintenant η tel que : d α norm(f n + η F, E n + η E(η),... ) = d critique (B.03) On rappelle l expression de d α norm : d α norm = 2λ + u. n α (B.04) Il faut donc détailler l expression de u. n α où d après (III.6) : u i = 2f ij(f, 0 E) + [ F fij(f, 0 E) ] d α k nα j ik } h{{ α λnα j } dn kj (B.05) avec F = F nuc α et E = E nuc α et où f 0 s écrit sous la forme (cf : Tab.(II.1) avec (II.30)) : f 0 = (Id 1 B 1 : A ) } {{ } P : F + K 0(d) : E + frés (B.06) f 0(d) rés ij = 1 B 1 ijuv L(e)l vukl V β i i<n r βi D lk A β h β B 1 ijuv L(e)l mukl 1 Π f V vmɛ fd lk Af h f f (B.07)

197 197 avec K donné par (II.31). En introduisant (B.06) dans (B.05) puis (B.05) dans (B.04) et (B.03), on obtient une équation de forme quadratique à résoudre où η est l inconnue : η 2 q7 + η(q3 + q6) + q1 (d crit 2λ) = 0 (B.08) dont les solutions sont : η 1 = (q3 + q6) + isc. 2q7 et η 2 = (q3 + q6) isc. 2q7 (B.09) avec : isc. = (q3 + q6) 2 4q7(q1 (d crit 2λ)) (B.010) Il s agit maintenant d expliciter les scalaires qi intervenant dans ces équations en fonction des données du problème. q7 = 1 2 { 2(K : [ t F. F ]) ij (K : [ t F. F ]) ik dn kj } λn α j n α i (B.011) q6 = 1 2 { 2(K : ( t G n. F + t F.G n )) ij (K : ( t G n. F + t F.G n )) ik dn kj } λn α j n α i (B.012) q3 = {2[P : F ] ij + [ F P : F ] ik dn kj } λn α j n α i (B.013) q1 = { 2[P : F n + K : E n + f 0(d) rés ] ij + [F n P : F n K : E n f 0(d) rés ] ikdn kj } λn α j n α i (B.014)

198 198 Éléments concernant la procédure discrète de résolution numérique Amélioration de l architecture de la procédure discrète de résolution On présente ici un schéma simplifié de ce que pourrait être la nouvelle architecture de la procédure discrète de résolution numérique en présence d un algorithme de prédiction-correction permettant le séquençage de l ensemble des événements concernant l évolution de l endommagement, et non plus seulement les nucléations de nouveaux défauts.

199 199 Fig. B.1 Algorithme simplifié représentatif de la procédure discrète de résolution numérique avec prédiction-correction permettant un séquençage global des étapes dans l évolution de l endommagement

200 200 Éléments concernant la procédure discrète de résolution numérique

201 Annexe C Préparation à la comparaison aux Eléments Finis Réflexion générale sur cette étape du processus de validation Pour mener à bien la validation complète de l approche morphologique en présence d endommagement, il faudra bien entendu comparer les résultats obtenus via cette dernière à des données expérimentales. On a vu que dans sa formulation actuelle, le modèle ne prend pas encore en compte l ensemble des non-linéarités intervenant dans l estimation du comportement réel de la classe de matériaux envisagée. C est pourquoi une comparaison directe à l expérience semble ici prématurée. Dans un premier temps, on va donc tenter de comparer les résultats obtenus avec l AM à ceux issus de simulations réalisées par la technique des éléments finis (EF). On espére ainsi obtenir une première estimation quantitative du potentiel de l approche. Il s agit d une procédure classique utilisée pour entamer la validation des modèles micromécaniques. En effet, la comparaison aux éléments finis offre plusieurs avantages. Premièrement, en travaillant à lois de comportement locales identiques (ici élastiques linéaires isotropes pour les grains et la matrice), on s affranchira des erreurs dues à une mauvaise modélisation et/ou identification du comportement des constituants. Deuxièmement, on va pouvoir comparer des 201

202 202 Préparation à la comparaison aux Eléments Finis résultats à l échelle locale. À l heure actuelle, il est en effet presque inenvisageable d obtenir expérimentalement ce type de résultats (voir les constatations de Inglis et al. [32]). Enfin, en lançant les calculs par EF sur la même microstructure que celle utilisée précédemment pour les simulations réalisées via l approche morphologique, on s affranchira des erreurs liées à l étape de schématisation géométrique d un matériau réel. À l inverse, on pourra estimer les erreurs dues aux hypothèses cinématiques, et surtout regarder si l état de déformation est homogène dans les différents constituants, en particulier une fois les interfaces décollées aux bords d une couche. Pour le matériau sain, une évaluation quantitative poussée a été réalisée par Touboul [73] en hyperélasticité et en viscohyperélasticité sur de telles microstructures aléatoires à grains polyédriques générées numériquement. Les résultats obtenus montrent une bonne concordance entre les différentes grandeurs (globales et locales), en particulier dans le cas de matériaux très contrastés. Ces résultats sont donc très encourageants pour mener à bien le même type de comparaisons en présence d endommagement. Les calculs par éléments finis en question sont en cours de réalisation au CEG. Les microstructures d études ont été préparées pour des calculs sous Abaqus (travaux de G. Contesse et P. Delcor). Grains et matrice ont été maillés à l aide d éléments tétraédriques (voir Fig.C.1), et le critère de nucléation de défauts a été incorporé à l aide de nouveaux éléments. Dans le prochain paragraphe on se propose de présenter la manière dont les caractéristiques du critère de nucléation développé pour l AM ont été traduites en vue d utiliser des éléments propres à Abaqus. Traduction du critère de nucléation de défauts Au niveau des interfaces entre grains et matrice, des éléments cohésifs ont été insérés. La loi de comportement de ces éléments est la même pour l ensemble des

203 203 Fig. C.1 Illustration du maillage des grains d une microstructure à grains polyédriques interfaces, et est dans sa définition initiale linéaire par morceaux. On rappelle cidessous la forme générale de la loi cohésive (voir (III.2.1.2)) : Fig. C.2 Exemple de loi cohésive pour des nucléations en modes I et II Cette loi de comportement est implantée dans Abaqus sous forme d une subroutine VUINTER. L objectif est ici de transposer le critère de nucléation de l AM et ses données sous forme de paramètres d entrée de la subroutine. Les paramètres principaux du programme sont au nombre de six, ils sont définis comme suit : props(1) = contrainte de traction maximum a l interface (mode I), T n max. props(2) = déplacement relatif cumulé correspondant au debut de la décohésion (mode 1), déplacement correspondant à T n max. props(3) = déplacement relatif cumulé correspondant à la décohésion effective

204 204 Préparation à la comparaison aux Eléments Finis (i.e. saut de déplacement non nul) (mode 1), δ n. props(4) = contrainte de cisaillement maximum a l interface (mode II) T t max. props(5) = déplacement relatif cumulé correspondant au debut de la décohésion (mode 2), déplacement correspondant à T t max. props(6) = déplacement relatif cumulé correspondant à la décohésion effective (mode 2), δ t. Cas de la nucléation en mode I : Le critère de nucléation de l AM tel qu il a été formulé au paragraphe (III.2.2) fait intervenir deux points P 1 et P 2 situés de part et d autre de l interface grain/couche susceptible de se décoller. On regarde ensuite la différence de position actuelle entre ces deux points que l on projette sur la normale à l interface. Dans les éléments cohésifs, les noeuds reliés aux éléments constituant le grain et les noeuds reliés aux éléments constituant la matrice sont tous confondus à l origine. On peut donc imaginer que l utilisation d éléments cohésifs correspond, pour notre critère, au cas limite où la distance initiale entre les deux points P 1 et P 2 servant au test est nulle.on peut donc envisager de prendre le déplacement critique props(3) comme la distance critique définie pour l AM (d crit ) à laquelle on retire la distance initiale (2λ) entre les points test P 1 et P 2. Props(3) devient donc : props(3) = d crit 2λ. Dans l AM, on ne travaille pas avec un critère en contrainte maximale puisqu en raison de l hypothèse de contrainte homogène dans chacune des couches et dans les grains, on n a pas la continuité du vecteur contrainte aux interfaces. On pourrait donc a priori prendre n importe quelles valeurs pour props(1) et props(2). Toutefois, fixer ces valeurs revient à fixer l énergie nécessaire à la décohésion (aire sous la courbe). On choisira donc d identifier props(1), comme la valeur moyenne de la composante normale σnn α de la contrainte homogène de la couche α estimée via l AM. Enfin, comme il n y a pas de décohésion progressive de l interface, on choisira de confondre les valeurs de props(2) et props(3). la loi cohésive approchant le critère de nucléation de défauts de l AM prend alors la forme présentée sur la figure (C.3).

205 205 Fig. C.3 Loi cohésive correspondant au critère de nucléation de défauts de l AM implantée dans la subroutine VUINTER. Cas de la nucléation en mode II : Dans l AM on n a pour l instant pas envisagé la possibilité de nucléer des défauts en mode II. On doit donc priver les éléments cohésifs de cette possibilité. Pratiquement cela consiste à donner aux paramètres props(4), props(5) et props(6) une valeur infinie.

206 206 Préparation à la comparaison aux Eléments Finis

207 Annexe D Procédures d inversion de certains tenseurs d ordre quatre Cette annexe a pour but de présenter les méthodes non-classiques qui ont été utilisées pour réaliser l inversion de certains tenseurs d ordre quatre présentés dans le manuscrit, notamment ceux dépourvus des symétries usuelles (majeure ou mineures). Ces procédures ont été mises en place dans le cadre de la thèse de Martin [45]. Elles sont ici rappelées afin que l ensemble des outils de résolution du modèle soient présents dans le manuscrit. Elles font appel à une notation réduite proposée par Christoffersen [12] que l on se propose de rappeler dans un premier temps. Présentation de la notation réduite de Christoffersen [12] La notation de Christoffersen rappelée ici a pour but de réduire la notation d un tenseur d ordre quatre quelconque (i.e. même dépourvu des symétries usuelles), sous forme d une matrice carrée. Son principe est le suivant : Soit C un tenseur d ordre quatre, et p et q deux tenseurs d ordre deux non nécessairement symétriques mais tels que : p = C : q soit p ij = C ijkl q lk (D.01) 207

208 208 Procédures d inversion de certains tenseurs d ordre quatre La notation de Christoffersen permet d écrire ce produit doublement contracté sous forme du produit matrice/vecteurs suivant, où ˆp et ˆq sont des vecteurs à neuf composantes, et où Ĉ est la matrice réduite (9*9) de C : ˆp = Ĉ.ˆq soit ˆp i = Ĉij ˆq j (D.02) Les vecteurs ˆp et ˆq sont construits de la manière suivante : avec : ˆp = p 1 p 2 (D.03) p 1 = (p t 11, p 22, p 33, 1 2 (p 23 + p 32 ), 1 2 (p 31 + p 13 ), 1 ) 2 (p 12 + p 21 ) ( 1 p 2 = t 2 (p 23 p 32 ), 1 2 (p 31 p 13 ), 1 ) (D.04) 2 (p 12 p 21 ) et : avec : ˆq = q 1 q 2 (D.05) (3*3). q 1 = (q t 11, q 22, q 33, 1 2 (q 23 + q 32 ), 1 2 (q 31 + q 13 ), 1 ) 2 (q 12 + q 21 ) ( 1 q 2 = t 2 (q 32 q 23 ), 1 2 (q 13 q 31 ), 1 ) (D.06) 2 (q 21 q 12 ) Les composantes de Ĉ sont quant à elles réparties de la manière suivante : Ĉ = C 11 C 12 C 21 C 22 (D.07) avec : C 11 matrice (6*6), C 12 matrice (6*3), C 21 matrice (3*6) et C 22 matrice Remarques : L application décrite ci-dessus permettant d associer à un tenseur C d ordre quatre sa matrice réduite Ĉ est une bijection.

209 209 Pour un tenseur possédant les symétrie mineures gauche et droite, on a C 22 = C 12 = C 21 = 0. Si de plus le tenseur possède la symétrie majeure, alors C 11 est symétrique. Dans la notation de Christoffersen un tenseur d ordre quatre L est isotrope si sa matrice réduite ˆL est de la forme : ˆL = L (D.08) avec : L 11 = a + 2b a a a a + 2b a a a a + 2b b b b (D.09) Inversion des tenseurs d ordre quatre, Martin [45] Cas des tenseurs n ayant que la symétrie majeure Dans ce cas, l inversion se fait par rapport au tenseur identité Id 1 défini comme suit : Id 1 ijkl = δ il δ jk (D.010) Soit N un tenseur d ordre quatre n ayant que la symétrie majeure et inversible par rapport à Id 1. Le tenseur N 1 est défini par : N : N 1 = N 1 : N = Id 1. On peut montrer qu il vérifie la relation suivante : N 1 = Id 1. ˆN 1. Id 1 (D.011) Pour inverser le tenseur N, il faut suivre les étapes ci-dessous : 1. Calcul des matrices réduites ˆN et Id 1 dans la notation de Christoffersen.

210 210 Procédures d inversion de certains tenseurs d ordre quatre 2. Inversion de ˆN dans le corps des matrices (9*9) inversibles afin d obtenir ˆN Calcul de la matrice Id 1. ˆN 1. Id Calcul du tenseur d ordre quatre N 1 tel que N 1 == Id 1. ˆN 1. Id 1 par une procédure "réciproque" utilisant la propriété de bijection de l application définissant la notation réduite de Christoffersen. Ce principe a par exemple été appliqué à l inversion du tenseur B défini par (II.15). Cas des tenseurs n ayant que les symétries mineures gauche et droite Dans ce cas, l inversion se fait par rapport au tenseur identité Id défini comme suit : Id ijkl = 1 2 (δ ikδ jl + δ il δ jk ) (D.012) Soit N un tenseur d ordre quatre n ayant que les symétries mineures droite et gauche et inversible par rapport à Id. Sa forme réduite avec la notation de Christoffersen est : ˆN = N (D.013) Le tenseur N 1 est défini par : N : N 1 = N 1 : N = Id. On peut montrer qu il vérifie la relation suivante : N 1 = N (D.014) où N 1 11 est l inverse dans le corps des matrices (6*6) inversibles de N 11. La procédure d inversion est alors la suivante : Calcul de la matrice N. Inversion de N 11.

211 211 Formation de la matrice. N Calcul du tenseur d ordre quatre N 1 par la procédure "réciproque" précédemment mentionnée et appliquée à la matrice N Ce deuxième principe a également été utilisé pour inverser les tenseurs possédant toutes les symétries comme L.

212 212 Procédures d inversion de certains tenseurs d ordre quatre

213 Annexe E Évolution de la répartition spatiale du module d Young Cette annexe présente l évolution de la répartition spatiale du module d Young dans le plan ( 1, 2), au cours du chargement "Extension/Glissement/Contraction". Il s agit simplement d agrandissements des schémas présentés sur la Fig.(IV.23) visant à en faciliter la lecture et par suite l interprétation. Fig. E.1 (1) Répartition spatiale initiale du module d Young dans le plan ( 1, 2). 213

214 214 Évolution de la répartition spatiale du module d Young Fig. E.2 (2) Répartition spatiale du module d Young dans le plan ( 1, 2) initiale (en noir) et à l issue de la phase d extension (en bleu). Fig. E.3 (3) Répartition spatiale du module d Young dans le plan ( 1, 2) initiale (en noir) et à l issue de la phase de glissement (en vert).

215 215 Fig. E.4 (4) Répartition spatiale du module d Young dans le plan ( 1, 2) initiale (en noir), à l issue de la phase de glissement (en vert), et à la décharge du chargement en extension (en rouge). Fig. E.5 (5) Répartition spatiale du module d Young dans le plan ( 1, 2) initiale (en noir) et lorsque la quasi totalité des défauts nucléés durant la phase d extension sont refermés (en rouge).

216 216 Évolution de la répartition spatiale du module d Young Fig. E.6 (6) Répartition spatiale du module d Young dans le plan ( 1, 2) initiale (en noir) et à l issue de la phase de contraction (en rouge).

217 TABLES & LISTES 217

218

219 Table des figures I.1 Micrographie de PBX (Polymer Bonded explosives) après polissage montrant le fort taux de charges et la dispersion granulométrique de ce type de composite. (Rae et al. [62] et [61]) I.2 Illustration du phénomène d endommagement par décohésion aux interfaces grains/matrice (image SNPE tirée de Funfschilling [21]) I.3 A) Micrographie de l IEX3 -équivalent inerte de l octorane-, Cagnoux [7] ; B) reconstitution artificielle de la micrographie I.4 Illustration de la germination préférentielle de défauts aux interfaces de gros grains dans le PBX-9501, avec phénomène de coalescence des défauts, Rae et al. [61] I.5 Fragmentation transgranulaire dans un échantillon d IEX3 soumis à un impact de plaque, Cagnoux [7] I.6 Schématisation d un VER aux bords périodiques composé de cellules de Voronoi spécifiques d après Raghavan et Ghosh [23] I.7 Représentation schématique des différentes techniques mises en oeuvre pour la modélisation de composites à fibres s endommageant aux interfaces fibres/matrice en présence de localisation de l endommagement d après Raghavan et Ghosh [23] I.8 Schématisation de la méthode récursive par bloc -RCM- utilisée sur un PBX d après Barnejee et Adams [2] I.9 Vue en coupe d un VER 3-D généré et maillé automatiquement selon une procédure développée par Matouš et al. [49]

220 I.10 Principe de modélisation de l endommagement par décohésion dans un composite à fibres d après Voyiadjis et al. [81] (M i = matrice représentative des effets de l endommagement -voir Cordebois [13]-). 40 I.11 Représentation schématique de la théorie des milieux dilués et de la méthode de Mori-Tanaka en présence d une loi cohésive représentant l interface I.12 Bilan des différents travaux effectués en collaboration avec le CEG pour modéliser le comportement de composites énergétiques II.1 Polyédrisation d une microstructure aléatoire réalisée au CEG II.2 Paramètres morphologiques d une couche de liant selon Christoffersen [12] II.3 Définition de l aire projetée d une couche de liant II.4 Définition d une couche de liant II.5 Transmission des informations cinématiques dans la microstructure selon Christoffersen [12] II.6 Représentation schématique de la double décohésion des interfaces grains/couche, pour une couche de matrice α localement sollicitée en traction II.7 Récapitulatif de l ensemble des hypothèses servant à la formulation du problème local II.8 Principe de résolution du problème de localisation-homogénéisation de Christoffersen étendu en présence d un état d endommagement fixé, d après Nadot et al. [54] II.9 Méthodologie et principe de résolution de l AM en présence d endommagement (état fixé) dans un composite à constituants élastiques, d après Nadot et al. [54] III.1 Exemple de loi cohésive pour des nucléations en modes I et II III.2 Définition des points P 1 et P 2 sur une coupe 2-D de la couche concernée et sur une vue 3-D d un des deux grains adjacents III.3 Définition des points Nj i

221 III.4 Représentation schématique de la rotation d une couche α après décollement -i.e. couche β III.5 Définition de la base locale de la couche β IV.1 Représentation schématique d un incrément de la procédure discrète de résolution numérique IV.2 Principe schématique de l algorithme de prédiction-correction (exemple pour deux nucléations successives) IV.3 Algorithme représentatif de la procédure discrète de résolution numérique avec prédiction-correction (pour la nucléation) IV.4 Illustration de la nucléation de nouveaux défauts après redistribution des déformations locales suite à une première nucléation IV.5 Polyédrisation d une microstructure réelle obtenue par tomographie R-X IV.6 Technique de génération de microstructures artificielles polyédrisées répondant au cadre géométrique de l AM proposée par le CEG IV.7 Superpositions d une microstructure réelle (butalite 400) contenant environ 1200 grains (en rouge) et de son équivalent polyédrisé (en bleu) obtenu par croissance de sphères et homothétie à partir des positions des centroïdes réels. Fig.A) : microstructure complète. Fig. B) : la même microstructure une fois les grains frontaliers extraits IV.8 Microstructure à l état sain de l IEX3. Vue globale à gauche. Détail de la matrice à droite IV.9 A) Chargement en extension dans la direction 1 et contraction transverse ; B) Chargement en contraction dans la direction 1 et extension transverse IV.10Contrainte macroscopique Σ 11 en fonction des déformations macroscopiques E 11 et E 22 = E 33 pour l essai d extension suivant l axe IV.11Comparaison de la réponse en extension du matériau en diminuant le contraste par une augmentation du module d Young de la matrice E mat

222 IV.12Contrainte macroscopique Σ 11 en fonction de la déformation macroscopique E 11 - Visualisation spatiale des défauts ouverts (en magenta).141 IV.13Répartition spatiale des défauts ouverts (en magenta). A) et B) : Vues de face de normale 2 pour 9, 2% et 12, 6% de couches décollées respectivement. C) : Tranche de la microstructure de normale 2 pour 9, 2% de couches décollées IV.14Différentes contributions dans la déformation locale de la couche 1413 lors de l essai d extension IV.15Illustration de l hétérogénéité de déformation dans la phase matrice IV.16Contrainte macroscopique Σ 11 en fonction de la déformation macroscopique E 11 pour l essai d extension/contraction suivant l axe IV.17Répartition spatiale du module d Young initial dans les plans ( 1, 2),( 1, 3) et ( 2, 3) IV.18Répartition spatiale du module d Young initial et à l issue de la phase d extension IV.19Évolution de la répartition angulaire du module d Young : répartitions initiale, à l issue de la phase d extension et à la fin de la décharge du matériau IV.20Évolution de la répartition angulaire du module d Young : répartitions initiale, et à l issue des phases d extension et de contraction IV.21Mise en évidence de la prise en compte des distorsions des lèvres de défauts - premiers pas du trajet de chargement IV.22Mise en évidence de la prise en compte des distorsions des lèvres de défauts - trajet de chargement complet IV.23Répartition spatiale du module d Young dans le plan ( 1, 2), au cours du chargement avec phase de glissement IV.24Contrainte macroscopique Σ 11 en fonction de la déformation macroscopique E 11 pour l essai "cyclique" IV.25Evolution de la composante ɛ α 11 de la déformation locale de la couche α = 1413 au cours d un chargement d extension/contraction "cyclique" suivant l axe

223 V.1 Définition des vecteurs unitaires V α 1 et V α B.1 Algorithme simplifié représentatif de la procédure discrète de résolution numérique avec prédiction-correction permettant un séquençage global des étapes dans l évolution de l endommagement C.1 Illustration du maillage des grains d une microstructure à grains polyédriques C.2 Exemple de loi cohésive pour des nucléations en modes I et II C.3 Loi cohésive correspondant au critère de nucléation de défauts de l AM implantée dans la subroutine VUINTER E.1 (1) Répartition spatiale initiale du module d Young dans le plan ( 1, 2). 213 E.2 (2) Répartition spatiale du module d Young dans le plan ( 1, 2) initiale (en noir) et à l issue de la phase d extension (en bleu) E.3 (3) Répartition spatiale du module d Young dans le plan ( 1, 2) initiale (en noir) et à l issue de la phase de glissement (en vert) E.4 (4) Répartition spatiale du module d Young dans le plan ( 1, 2) initiale (en noir), à l issue de la phase de glissement (en vert), et à la décharge du chargement en extension (en rouge) E.5 (5) Répartition spatiale du module d Young dans le plan ( 1, 2) initiale (en noir) et lorsque la quasi totalité des défauts nucléés durant la phase d extension sont refermés (en rouge) E.6 (6) Répartition spatiale du module d Young dans le plan ( 1, 2) initiale (en noir) et à l issue de la phase de contraction (en rouge)

224

225 Liste des tableaux II.1 Rappel des principales équations de l AM en présence d endommagement IV.1 Exemple de relevé séquentiel des étapes dans l évolution de l endommagement IV.2 Caractéristiques mécaniques des différents constituants du matériau. 134 IV.3 Rappel des différentes composantes de la déformation locale ɛ α d une couche α

226

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