Agrégation de Préférences Exercices d'application

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1 Agrégation de Préférences Exercices d'application Antoine Rolland Université Lumière Lyon 2 M2 ECD/IIDEE / Relations binaires Exercice 1 Soit B une relation binaire sur l'ensemble {a, b, c, d, e, f} dénie en extension par : aba abb abc abd abe abf bbb bbc bbd bbe cbc cbd cbe cbf dbd dbe ebd ebe ebf fbe fbf dbc dbf 1. représenter graphiquement la relation B 2. la relation B est-elle réexive? 3. la relation B est-elle symétrique? 4. la relation B est-elle asymétrique? 5. la relation B est-elle transitive? 6. la relation B est-elle semi-transitive? 7. comment peut-on qualier la relation B? Exercice 2 On considère la relation binaire B suivante sur l'ensemble N = {a, b, c, d, e, f}. abb, abc, abd, abe, abf, bba, bbc, bbd, bbe, bbf, cbb, cbd, cbe, cbf, dbb, dbc, dbe, dbf, ebc, ebf et xbx x X. 1. la relation B est-elle réexive? symétrique? asymétrique? 2. soit B la partie asymétrique de B et B la partie symétrique de B. Décrire en extension ces relations. 3. la relation B est-elle transitive? quasi-transitive? 4. la relation B est-elle de Ferrers? 5. comment peut-on qualier la relation B? 1

2 2 Fonctions d'utilité Exercice 3 Soient les 4 actions x, y, z, t décrites par les 4 critères A, B, C, D comme indiqué dans le tableau ci-dessous : actions A B C D x y z t dénir les valeurs prises par les utilités sur chacun des critères pour chaque action sachant que : toutes les utilités sont normalisées entre 0 et 1 (on arrondira à 10 2 ) l'utilité sur le critère A est linéaire, le minimum possible est 0 et le maximum possible est obtenu par l'action x l'utilité sur le critère B est linéaire, le minimum possible est 0 et le maximum possible est 50. l'utilité sur le critère C est exponentielle : u(x C ) = e (x C 5) /10 l'utilité sur le critère D est logarithmique : u(x D ) = ln(x D /100) 2. calculer le classement des alternatives par la méthode de la moyenne pondérée en sachant que ω A = 0, 3, ω B = 0, 25, ω C = 0, 1, ω D = 0, calculer le classement des alternatives par la méthode OWA en sachant que ω (1) = 0, 35, ω (2) = 0, 3, ω (3) = 0, 25, ω (4) = 0, 1 (les poids sont donnés dans l'ordre croissant des valeurs des critères) 4. calculer le classement des alternatives par l'intégrale de Choquet avec les valeurs suivantes : ensemble a b c d ab ac ad bc bd cd valeur ensemble abc abd acd bcd abcd valeur en fait, on décide de normaliser l'utilité du critère A non pas par rapport au maximum obtenu (x) mais par rapport au maximum possible pour ce critère qui est 10. Redénir les valeurs prises par les utilités des 4 actions, et recalculer le classement par moyenne pondérée. Qu'en dites-vous? Exercice 4 A l'approche de Noël, le petit Kenneth hésite entre les papillotes et les pâtes de fruits. Soit (x 1, x 2 ) les couples (nombre de papillotes, nombre de pâtes de fruit) qui lui sont proposé. On suppose que ses préférences sur l'espace des possibles sont représentables par une utilité additivement décomposable U = (U 1, U 2 ). 1. Sachant que (11, 6) (10, 7) et (13, 6) (10, 9), peut on prévoir son classement de (11, 9) par rapport à (13, 7)? 2. Peut-on imposer U 1 (10) = 10, U 1 (13) = 13 et U 2 (7) = 7? 3. Si oui, que peut-on déduire du fait que (12, 7) (10, 8) et (12, 8) (13, 7)? 2

3 3 Opérateurs d'agrégation Exercice 5 Soient les alternatives suivantes : x c 1 c 1 c 1 c 1 a b c d Calculer les valeurs obtenues par agrégation avec les fonctions f suivantes : 1. minimum 2. maximum 3. Moyenne arithmétique 4. Moyenne quadratique 5. Moyenne harmonique 6. OWA avec le jeu de poids (0 ;0,5 ;0,5 ;0) : à quelle moyenne cela correspond-il? Exercice 6 On considère un espace bicritère. Soit a l'élément (6, 4), b l'élément (4, 6) et c l'élément (7, 3). 1. on suppose que les préférences du décideur sont telles que a b. Peut-on représenter cette préférence à l'aide d'une somme pondérée? Pourquoi? Si oui donner un exemple de poids. Avec une somme pondérée, on a f(a) = αa 1 + βa 2. Ici, a b 6α + 4β > 6α + 4β ce qui entraine α > β, ce qui est possible quand α ]0.5; 1] Peut-on représenter cette préférence à l'aide de OWA? Pourquoi? Si oui donner un exemple de poids. Avec OWA, on a f(a) = ω 1 min(a 1, a 2 ) + ω 2 max(a 1, a 2 ). Ici, comme min(a 1, a 2 ) = min(b 1, b 2 ) et max(a 1, a 2 ) = max(b 1, b 2 ), cela veut dire que f(a) = f(b) et donc a b 2. On suppose de plus que a c. Peut-on représenter ces préférences à l'aide d'une somme pondérée? Pourquoi? Si oui donner un exemple de poids. a c 6α+4β > 7α + 3β ce qui entraine β > α, ce qui est incompatible avec la question précédente : la somme pondérée ne peut pas représenter en même temps a b et a c. 3. On apprend aussi que b c. On souhaite modéliser l'ensemble des préférences du décideur par une intégrale de Choquet. Est-ce possible? Pourquoi? Si oui donner un exemple de capacité. Avec une intégrale de Choquet, on a f(a) = 4 + (6 4)µ({1}), f(b) = 4 + (6 4)µ({2}) et f(c) = 3 + (7 3)µ({1}). On obtient donc le système suivant : 4 + 2µ({1}) > 4 + 2µ({2}) 4 + 2µ({1}) > 3 + 4µ({1}) 4 + 2µ({2}) > 3 + 4µ({1}) 3

4 Ce qui est équivalent à µ({1}) > µ({2}) 0, 5 > µ({1}) µ({2}) > 2µ({1}) 1/2 On voit que par exemple le couple µ({1} = 0, 39, µ({2} = 0, 3 est possible. Exercice 7 Soit 4 alternatives a, b, c, d décrites sur 4 critères à maximiser notés 1, 2, 3, 4 comme dans le tableau ci-dessous : a b c d On veut agréger ces préférences par la méthode OWA (les poids sont donnés dans l'ordre croissant de la valeur des critères). 1. Quel est l'ordre de préférence si le vecteur des poids est (1, 0, 0, 0)? A quel opérateur d'agrégation se ramène OWA dans ce cas? 2. Quel est l'ordre de préférence si le vecteur des poids est (0, 0, 0, 1)? A quel opérateur d'agrégation se ramène OWA dans ce cas? 3. Quel est l'ordre de préférence si le vecteur des poids est (0.1, 0.2, 0.3, 0.4)? Exercice 8 On considère X un espace à quatre critères c 1, c 2, c 3, c 4 prenant leurs valeurs sur l'intervalle [0, 10]. Soient x, y, z trois alternatives de X décrites ci-dessous : c 1 c 2 c 3 c 4 x y z Calculer le score global obtenu par chaque alternative x, y, z à l'aide d'une moyenne pondérée avec les poids suivants : ω 1 = 0.3, ω 2 = 0.2, ω 3 = 0.1, ω 4 = Calculer le score global obtenu par chaque alternative x, y, z à l'aide de la méthode OWA avec les poids suivants, donnés par ordre croissant des valeurs : ω (1) = 0.4, ω (2) = 0.2, ω (3) = 0.3, ω (4) = Donner un jeu de poids tel que x obtienne un meilleur score que y et z par la méthode OWA - justier. Exercice 9 On cherche à eectuer l'évaluation de 3 fournisseurs F1, F2, F3 par la méthode AHP. On retient 3 critères : taux de non-conformité (NC) service après-vente (SAV) respect des délais (RD) 4

5 1. en interrogeant le décideur, on constate que pour lui, le critère (NC) est deux fois plus important que le critère (RD), qui lui même est deux fois plus important que le critère (RD). Construire la matrice de comparaison des critères. Quel est le poids de chaque critère? 2. On évalue les performances des 3 fournisseurs sur une échelle ABC, ce qui donne la matrice suivante : NC SAV RD F 1 A B C F 2 B C B F 3 C B A Construire les matrices d'évaluation des fournisseurs critère par critère en supposant que A est 3 fois meilleur que B, B 3 fois meilleur que C, et A 5 fois meilleur que C. 3. calculer les valeurs nales obtenues par chaque fournisseur. 4 Méthodes de vote Exercice 10 Soient les préférences suivantes sur 4 candidats x, y, z et t option A B C D E nb de votants x y t t z 2 y z x y y 3 z x y x t 4 t t z z x 1. quel est le vainqueur du scrutin majoritaire à un tour? à deux tours? 2. quel est le vainqueur de Borda (avec les poids 4,3,2,1)? le perdant de Borda? 3. en fait, le perdant de Borda s'est retiré juste avant le vote. Quel est le nouveau vainqueur de Borda (coef 3,2,1) 4. quel est le vainqueur de Condorcet? Exercice 11 Une association étudiante souhaite élire sa présidente ; Trois personnes sont candidates : Anne, Barbara et Carole. Au moment du vote, les membres de l'association se répartissent en 4 groupes : le groupe G1 comportent 10 personnes, le groupe G2 comporte 7 personnes, le groupe G3 comporte 5 personnes et le groupe G4 comporte 8 personnes. Les préférences de chaque groupe sont les suivantes : G1 G2 G3 G4 choix 1 A B B C choix 2 B A C A choix 3 C C A B 1. existe-t-il un vainqueur de Condorcet? Si oui quel est-il? 2. quel est le vainqueur du scrutin avec une règle de vote de Borda (poids 3, 2, 1)? 5

6 5 Méthodes de surclassement Exercice 12 Une entreprise souhaite implanter un nouvel entrepôt en région Rhône- Alpes. 5 sites ont été sélectionnés et évalués sur les critères suivants : C 1 : prix du foncier C 2 : facilité d'accès C 3 : marché du travail C 4 : surface disponible C 5 : environnement Chaque site a été évalué sur chacun des critères sur l'échelle : A (excellent), B (très bon), C (bon), D (mauvais) et E (très mauvais). tel que présenté dans le tableau suivant : ] C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 Lyon E A A D A Valence A B C B C St Etienne B C D A E Grenoble D C B C A Bourgoin B B C A C Après discussion, les importances des critères ont été xées à : C 1 C 2 C 3 C 4 C complétez la matrice des degrés de concordance S(i, j) ci-dessous avec les poids des critères normalisés (recopiez entièrement la matrice sur votre copie). L V StE G B L V StE G B On calcule pour chaque paire de ville et chaque critère k un indice de discordance D k (i, j) = 1 C k (j) = A etc k (i) = E, et D k (i, j) = 0 sinon. Donner les éléments D k (i, j) égaux à un 3. calculez la matrice des degrés de surclassement S (i, j) = S(i, j) Π 5 k=1 (1 D k(i, j). 4. supposons que l'on choisisse un seuil de 0,6. Quelle relation de préférence obtienton? 5. supposons que l'on choisisse un seuil de 0,8. Quelle relation de préférence obtienton? 6. au nal, Quel est le choix que vous recommandez? Exercice 13 Une personne souhaite louer un appartement. Elle a sélectionné 4 critères : 6

7 le prix c p (en euros), qu'elle cherche à minimiser la surface c s (en m 2 ), qu'elle cherche à maximiser le quartier c q dont elle note l'ambiance en "+", "=" et "-" la distance c d à parcourir pour rejoindre son travail, à minimiser également. Elle a sélectionné 5 appartements a, b, c, d, e, et compte sur la méthode ELECTRE pour l'aider à faire son choix : c p c s c q c d a pas cher 80 m 2 = loin b cher 70 m 2 = près c très cher 80 m 2 + loin d pas cher 60 m 2 près e très cher 90 m 2 = loin On notera qu'il manque une donnée : l'évaluation du quartier de l'appartement d est inconnue. Après discussion, les importances des critères ont été xées à : c p c s c q c d calculez la matrice des degrés de surclassement S(i, j). On supposera qu'il n'y a pas de relation de discordance (veto). 2. supposons que l'on choisisse un seuil de 0,6. Quelle relation de préférence obtienton? Quel est le choix que vous recommandez? 3. supposons que l'on choisisse un seuil de 0,8. Quelle relation de préférence obtienton? Quel est le choix que vous recommandez? 4. après réexion, il apparaît que la surface est assez importante, et qu'un appartement de faible surface ne pourra être préféré à un appartement beaucoup plus grand. Cela se traduit par l'équation D(i, j) = 1 c s (j) c s (i) 20. Donnez les éléments D(i, j) égaux à calculez la matrice des degrés de surclassement S (i, j) = S(i, j) (1 D(i, j). 6. supposons que l'on choisisse un seuil de 0,6. Quelle relation de préférence obtienton? Quel est le choix que vous recommandez? Vaut-il mieux prendre un seuil de 0,8? 6 Exercice : comparaison de diérentes méthodes Exercice proposé par Ph. Vallin et D ; Vanderpooten. An de pourvoir un poste, un cabinet de recrutement fait subir 3 tests aux 6 candidats qui se sont présentés : un test d'évaluation des compétences (g 1 ) un test de culture générale (g 2 ) un test de motivation (g 3 ) 7

8 g 1 g 2 g 3 a a a a a a λ j v j Table 1 Tableau des performances Ces tests sont notés sur une échelle de 0 à 20. Les résultats des candidats aux tests sont indiqués dans le tableau des performances Table?? : Le cabinet souhaite eectuer le recrutement en comparant 2 approches : une approche par somme pondérée une approche de surclassement de type ELECTRE I 6.1 Relation de dominance Avant de tester chaque approche, on examine attentivement les résultats des 6 candidats. 1. Parmi les 6, quels sont les candidats qui sont non dominés (au sens de Pareto)? 2. Pour tout candidat dominé, s'il en existe, peut-on l'éliminer si : a) l'on souhaite choisir un candidat b) l'on souhaite classer les candidats 6.2 Somme pondérée Considérant à nouveau les 6 candidats, on applique un critère de somme pondérée, g λ, déni pour tout candidat a comme suit : 3 g λ (a) = λ j g j (a) (1) j=1 3. a) Selon les premiers dires des recruteurs, le test d'évaluation des compétences (g 1 ) est jugé le plus important, le test de motivation (g 3 ) est non négligeable et le test de culture générale (g 2 ) est secondaire. Ils décident donc d'utiliser les poids λ j (j = 1, 2, 3) indiqués dans le tableau Table??. Indiquer les résultats de l'utilisation de la somme pondérée associée aux poids λ j. b) Déterminer le système de poids λ j (j = 1, 2, 3) en considérant les propositions suivantes reprenant un changement de point de vue des recruteurs : le test d'évaluation des compétences (g 1 ) a 2 fois plus d'importance que le test de culture 8

9 générale (g 2 ) tandis que le test de motivation (g 3 ) a le même poids que le test de culture générale (g 2 ). Déduire les résultats de l'utilisation de la somme pondérée associée au système de poids λ j. Commenter les résultats en comparaison de ceux obtenus avec le jeu de poids λ j. Considérant les 6 candidats à nouveau, on applique cette fois-ci un critère de type OWA, h w, déni pour tout candidat a comme suit : h w (a) = 3 w j g τ(j) (a) (2) j=1 où τ est tel que g τ(1) (a) g τ(2) (a) g τ(3) (a) et w est tel que w 1 = 0.5; w 2 = 0.3; w 3 = a) Indiquer les résultats de l'utilisation de la fonction OWA associé au système de poids w j. b) Expliquez (en quelques phrases) la sémantique de l'opérateur OWA associé au système de poids w j. 6.3 Relation de surclassement Considérant les 6 candidats, on applique maintenant une méthode de surclassement (méthode de type ELECTRE I). Tous les critères sont dotés de seuils de veto v j (j = 1, 2, 3) indiqués dans le tableau des performances Table??. On utilisera une relation de surclassement valuée représentée par un degré σ(a, b) traduisant la crédibilité du surclassement de a sur b. Ce degré de crédibilité est déni par : σ(a, b) = C(a, b) (1 D(a, b)) (3) où C(a, b) et D(a, b) représentent respectivement l'indice de concordance globale et l'indice de discordance globale, eux-mêmes dénis par : C(a, b) = 3 j=1 λ j c j (a, b) ; D(a, b) = max j=1,2,3 {d j(a, b)} (4) où λ j sont les poids associés aux critères, c j (a, b) et d j (a, b) représentent respectivement les indices de concordance et de discordance associés au critère g j (j = 1, 2, 3). 5. a) Déterminer la matrice de concordance b) Déterminer la matrice de discordance c) Déterminer la matrice des degrés de crédibilité du surclassement Il convient d'exploiter la matrice des degrés de crédibilité an de proposer une sélection des meilleurs candidats. A cet eet, on déduira de la matrice précédente une relation de surclassement nette S µ : as µ b σ(a, b) µ. 6. a) On choisit le seuil µ 1 = 0.7. Déterminer la relation correspondante S 1 et construire le graphe associé G 1. 9

10 b) La relation S 1 est-elle réexive? symétrique? asymétrique? transitive? sans circuit? c) Proposer une sélection. 7. Proposer un seuil µ 2 correspondant à une relation plus riche. Construire les graphes associés et proposer dans chaque cas une sélection. 8. Sur la base de ces sélections, proposer et argumenter le choix d'un candidat. 6.4 Conclusion Au terme de ces analyses, le cabinet de recrutement doit fournir ses conclusions. Il revient sur sa première stratégie qui consiste à attribuer les importances aux critères d'évaluation relatives aux poids λ j. 9. Comparer ainsi les résultats fournis par la méthode de la question 3.a) et ceux fournis par la méthode de surclassement ELECTRE I à la question 8. 10