Chapitre 9: Introduction aux tests statistiques

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Chapitre 9: Introduction aux tests statistiques"

Transcription

1 Chapitre 9: Introduction aux tests statistiques 1. Approche 2. Formalisme général d un test statistique 3. P-value 4. Intervalle de confiance 5. Test bilatéral et test unilatéral 1

2 1. Approche Procédé qui permet de faire la part des choses entre le hasard de l échantillonnage et les vraies caractéristiques de la population observée. Dans notre exemple introductif (lancers d une pièce): Population: l ensemble (infini) de tous les lancers possibles de la pièce Caractéristique de la population: P (Pile) = p (inconnu) Echantillon: 6 lancers de la pièce, tous Pile Dans l échantillon, le pourcentage de Pile est égal à 100% La pièce est-elle déséquilibrée? Ce résultat est-il dû au hasard de l échantillonnage? 2

3 Eclairage de la statistique: La statistique permet de calculer la probabilité d un résultat aussi extrême ou plus extrême que le résultat observé, sous une certaine hypothèse. Dans notre exemple: Hypothèse: la pièce est équilibrée. Quelle est alors la probabilité d observer un résultat aussi extrême que 6 Pile sur 6 jets? Si la pièce est équilibrée, P (Pile) = 0.5 et la probabilité d obtenir six fois Pile est de (0.5) 6 = Il y a un autre événement aussi extrême: obtenir 6 fois Face (même probabilité). La probabilité d obtenir un résultat aussi extrême que le résultat observé est donc de Cette probabilité est faible. Les observations ne soutiennent donc pas l hypothèse selon laquelle la pièce est équilibrée et on décide de la rejeter. 3

4 2. Formalisme général d un test statistique De façon générale, un test statistique se fonde sur les quatre éléments suivants: Hypothèses On formule deux hypothèses: l hypothèse nulle, notée H 0, et l hypothèse alternative, notée H 1. L hypothèse nulle est une hypothèse précise, permettant de faire des calculs. l hypothèse alternative est en général la négation de l hypothèse nulle. Statistique de test Une fonction des observations qui mesure la distance entre les observations et l hypothèse nulle. Echantillon Echantillon d observations, permettant de calculer la valeur observée de la statistique de test. Règle de décision Suivant la valeur de la statistique de test, on rejette ou ne rejette pas l hypothèse nulle en faveur de l hypothèse alternative. 4

5 Dans notre exemple Hypothèses H 0 : P (pile) = 0.5 H 1 : P (pile) 0.5 Statistique de test N P = Nombre de Pile Echantillon 6 lancers de pièce Règle de décision Rejeter H 0 si N P = 6 5

6 Dans notre exemple Hypothèses H 0 : P (pile) = 0.5 H 1 : P (pile) 0.5 Statistique de test N P = Nombre de Pile Echantillon 6 lancers de pièce Règle de décision Rejeter H 0 si N P = 6 6

7 Dans notre exemple Hypothèses H 0 : P (pile) = 0.5 H 1 : P (pile) 0.5 Statistique de test: distance entre H 0 et les observations N P = Nombre de Pile Echantillon 6 lancers de pièce Règle de décision Rejeter H 0 si N P = 6 7

8 Dans notre exemple Hypothèses H 0 : P (pile) = 0.5 H 1 : P (pile) 0.5 Statistique de test: distance entre H 0 et les observations N P = Nombre de Pile Echantillon 6 lancers de pièce Règle de décision Rejeter H 0 si N P = 6 8

9 Dans notre exemple Hypothèses H 0 : P (pile) = 0.5 H 1 : P (pile) 0.5 Statistique de test: distance entre H 0 et les observations N P = Nombre de Pile Echantillon 6 lancers de pièce Règle de décision Rejeter H 0 si N P = 6 ou N P = 0 9

10 Ici, la règle de décision est fixée de sorte que si H 0 est vraie, elle aura une probabilité égale à 0.03 d être rejetée. De manière générale, on définit le niveau (ou seuil) d un test comme P (rejeter H 0 H 0 vraie), la probabilité de rejeter l hypothèse nulle dans le cas où elle est vraie. On utilise la notation P 0 (rejeter H 0 ). Dans notre exemple, le niveau du test est donc de En règle générale, on fixe la règle de décision d un test de façon à ce que le niveau soit inférieur à Le fait de rejeter une hypothèse nulle correcte s appelle une erreur de première espèce. Ainsi, le niveau d un test est égal à la probabilité de commettre une erreur de première espèce, si H 0 est vraie. 10

11 Plus précisément, deux types d erreurs sont possibles: Rejeter une hypothèse nulle vraie: Erreur de type I Ne pas rejeter une hypthèse nulle fausse: Erreur de type II H 0 vraie H 0 fausse Rejeter H 0 Erreur de type I OK Ne pas rejeter H 0 OK Erreur de type II Le fait de déterminer la règle de décision de façon à ce que le niveau soit inférieur à une certaine limite (souvent 0.05) permet de contrôler la probabilité de commettre une erreur de type I, i.e. assurer que P 0 (rejeter H 0 ) limite. 11

12 Pour ce qui est de l erreur de type II, on voudrait idéalement poser une limite sur P 1 (ne pas rejeter H 0 ), la probabilité ne pas rejeter H 0 dans le cas où H 1 est vraie. Problème: généralement H 1 n est pas précisément spécifiée. Dans notre exemple, H 1 est P (pile) 0.5. Pour pouvoir calculer P 1 (ne pas rejeter H 0 ), il faudrait spécifier précisément H 1, par exemple poser H 1 : P (pile) = 0.8. Dans la pratique, on calcule la quantité 1 P 1 (ne pas rejeter H 0 ), appelée puissance du test, pour différentes spécifications plausibles de H 1. La puissance est la probabilité de rejeter H 0 si H 1 est vraie. On souhaite donc quelle soit la plus élevée possible. 12

13 Autre exemple: poissons du lac On souhaite tester l hypothèse selon laquelle les poissons du lac Léman ont une taille moyenne µ de µ 0 = 5 cm. On pose donc H 0 : µ = µ 0 et H 1 : µ µ 0. On dispose d un échantillon aléatoire de 30 poissons, x 1,..., x 30, dont la moyenne est ˆµ = 7 cm. Grâce au théorème central limite, on sait que ˆµ N ( µ, σ2 n où σ 2 est la variance des tailles des poissons du lac. σ 2 est inconnu, mais on peut l estimer par la variance de l échantillon: ˆσ 2 = 1 n 30 i=1 ) (x i ˆµ) 2 = 20.3 cm 2. En standardisant ˆµ avec cette estimation, on obtient une variable qui a approximativement une distribution normale sandard: ˆµ µ ˆσ/ N (0, 1). n Ici, µ est toujours la vraie taille moyenne (inconnnue) des poissons du lac., 13

14 Si H 0 : µ = µ 0 = 5 cm est vraie, alors on obtient que Z = ˆµ µ 0 ˆσ/ n N (0, 1). La variable Z définie ci-dessus est la différence standardisée entre ˆµ et µ 0. C est donc une mesure de la distance entre les observations (ˆµ) et l hypothèse nulle (µ 0 ). Une grande valeur (en valeur absolue) de Z indique donc que les observations ne soutiennent pas H 0 et qu il faut la rejeter. Soit z la valeur observée de Z sur l échantillon. La règle de décision pour ce test sera donc de la forme Rejeter H 0 si z > c pour une certaine valeur critique c. Nous allons à présent fixer c pour avoir un niveau égal à 0.05, c est-à-dire de façon à ce que P 0 (rejeter H 0 ) = P 0 ( Z > c) = Sous H 0 (i.e. si H 0 est vraie) Z a une distribution N (0, 1) et donc le but ci-dessus est atteint en fixant c = z /2 = z = 1.96, où z est le quantile d ordre de la distribution normale standard. 14

15 On a la situation suivante pour la distribution de Z sous H 0 : ϕ P 0 ( Z >c) = 5 % c = c = 1.96 Que vaut z, la valeur observée de Z sur l échantillon? On a z = ˆµ µ 0 ˆσ/ n = / 30 = 2.43 Comme z > c, on rejette H 0. On dit alors que la taille moyenne des poissons du lac est significativement supérieure à 5 cm. Le domaine [, c] [c, ] est appelé le domaine de rejet de l hypothèse nulle. 15

16 En résumé Hypothèses H 0 : µ = µ 0 = 5 cm H 1 : µ µ 0 Statistique de test: distance entre H 0 et les observations Echantillon Z = ˆµ µ 0 ˆσ/ n 30 poissons Règle de décision Rejeter H 0 si z > z 1 α/2, où α est le niveau du test (dans notre exemple, α = 0.05). 16

17 3. P-value Reprenons l exemple des poissons du lac. Quelle est la probabilité, sous H 0, d obtenir un résultat aussi extrême ou plus extrême que le résultat observé? ϕ P 0 ( Z >c) = 5 % c = c = 1.96 La valeur observée de la statistique de test est z = 2.43 Un résultat aussi ou plus extrême serait z La probabilité correspondante est P ( Z 2.43) = 1.5%. Cette probabilité s appelle la P-value. 17

18 3. P-value Reprenons l exemple des poissons du lac. Quelle est la probabilité, sous H 0, d obtenir un résultat aussi extrême ou plus extrême que le résultat observé? ϕ P 0 ( Z >c) = 5 % z = 2.43 c = c = 1.96 z = 2.43 La valeur observée de la statistique de test est z = Un résultat aussi ou plus extrême serait z La probabilité correspondante est P ( Z 2.43) = 1.5%. Cette probabilité s appelle la P-value. 18

19 3. P-value Reprenons l exemple des poissons du lac. Quelle est la probabilité, sous H 0, d obtenir un résultat aussi extrême ou plus extrême que le résultat observé? ϕ P 0 ( Z >c) = 5 % z = 2.43 c = c = 1.96 z = 2.43 La valeur observée de la statistique de test est z = Un résultat aussi ou plus extrême serait z La probabilité correspondante est P ( Z 2.43) = 1.5%. Cette probabilité s appelle la P-value. 19

20 3. P-value Reprenons l exemple des poissons du lac. Quelle est la probabilité, sous H 0, d obtenir un résultat aussi extrême ou plus extrême que le résultat observé? ϕ P 0 ( Z >c) = 5 % P value = 1.5 % z = 2.43 c = c = 1.96 z = 2.43 La valeur observée de la statistique de test est z = Un résultat aussi ou plus extrême serait z La probabilité correspondante est P ( Z 2.43) = 1.5%. Cette probabilité s appelle la P-value. 20

21 Définition générale de la P-value: Dans une procédure de test statistique, la P-value est la probabilité sous H 0 que la statistique de test prenne une valeur aussi extrême ou plus extrême que la valeur observée sur l échantillon. A la lumière des considérations des pages précédentes, on voit qu on peut formuler la règle de décision de façon tout à fait équivalente de la façon suivante: Rejeter H 0 si la P-value est inférieure au niveau α du test. Cette équivalence est tout à fait générale, et applicable à toute procédure de test: Soit α le niveau d un test et z la valeur observée de la statistique de test, alors P-value α z domaine de rejet de H 0. On pourrait donc mener une procédure de test sans définir de domaine de rejet de H 0, simplement en calculant la P-value. Cependant, la définition du domaine de rejet est nécessaire pour le calcul de la probabilité d erreur de deuxième espèce, et donc pour les calculs de puissance d un test. 21

22 De plus, il est utile d avoir en tête la valeur de z 0.975, le quantile d ordre 97.5% de la distribution normale standard, qui est la limite du domaine de rejet de H 0 dans l exemple des poissons. En effet, dans de nombreuses procédures de test la statistique de test a approximativement une distribution normale standard. Ainsi, en retenant que z = , on peut avoir immédiatement une idée du résultat d un test de niveau 5% dès qu on connaît la valeur observée z de la statistique de test: si z dépasse largement 2 en valeur absolue, H 0 sera rejetée. En outre, cette valeur permet souvent de contruire facilement, de tête, des intervalles de confiance, concept que nous introduisons à la page suivante. 22

23 4. Intervalle de confiance Reprenons l exemple des poissons. Nous avons vu que la variable ˆµ µ ˆσ/ n, où µ est la vraie taille moyenne des poissons dans la population, avait approximativement une distribution N (0, 1) en vertu du théorème central limite. Ceci implique que P ( z ˆµ µ ˆσ/ n z ) (Faire un dessin pour s en convaincre.) A partir de l équation ci-dessus, en manipulant l intérieur de la parenthèse de façon à ce que µ se retrouve au milieu, on obtient P ( ˆµ z ˆσ n µ ˆµ + z ˆσ n )

24 En effet, on a que z ˆµ µ ˆσ/ n z z ˆσ n ˆµ µ z ˆσ n ˆµ z ˆσ n µ ˆµ + z ˆσ n ˆµ + z ˆσ n µ ˆµ z ˆσ n ˆµ z ˆσ n µ ˆµ + z ˆσ n 24

25 Reprenons le résultat que P ( ˆµ z ˆσ n µ ˆµ + z ˆσ n ) 0.95 et considérons l intervalle IC = [ ˆµ z ˆσ n, ˆµ + z ˆσ n ]. Il s agit d un intervalle aléatoire: il dépend des variables aléatoires ˆµ et ˆσ. La probabilité que la vraie taille moyenne µ se trouve dans cet intervalle est de 95%. Il faut comprendre cela de la façon suivante: si on tirait un grand nombre d échantillons de la population et qu on calculait à chaque fois l intervalle IC, alors 95% en moyenne de ces intervalles contiendraient la vraie valeur µ. L intervalle IC s appelle un intervalle de confiance à 95% pour le paramètre µ. 25

26 Dans notre exemple des poissons, on obtient IC = = [ [ ] ˆσ ˆσ ˆµ z n, ˆµ + z n = [5.39, 8.61] ] , On interprète cet intervalle comme un ensemble de valeurs plausibles pour la vraie valeur de la taille moyenne des poissons dans la population. Un IC fournit donc une idée de la précision avec laquelle un échantillon permet d estimer un paramètre: plus l intervalle est étroit, plus la précision est grande. On voit que cette précision dépend de la variabilité des données, estimée par ˆσ: plus la variabilité est grande, plus la précision est faible de la taille de l échantillon n: plus n est grand, plus la précision est élvée 26

27 La largeur d un intervalle de confiance dépend encore du degré de confiance que l on souhaite avoir. Dans ce qui précède, nous avons défini un intervalle de confiance à 95%. En suivant la même logique, on peut définir un intervalle de confiance à 99% comme IC = [ ˆµ z ˆσ n, ˆµ + z ˆσ n ]. Avec un tel intervalle, on aurait la propriété suivante: si on tirait un grand nombre d échantillons de la population et qu on calculait à chaque fois l intervalle IC, alors 99% en moyenne de ces intervalles contiendraient la vraie valeur µ. Cet intervalle sera donc évidemment plus large que l intervalle de confiance à 95%. On obtient en effet, en insérant z = 2.58 dans l équation ci-dessus, l intervalle qui est plus large que le précédent. IC = [4.88, 9.12], 27

28 NB: l intervalle de confiance que nous venons de définir est basé sur une approximation valable pour des tailles d échantillon suffisamment grandes (théorème central limite). La taille d échantillon à partir de laquelle l intervalle peut-être considéré comme valide, i.e. à partir laquelle la probabilité que l intervalle à 95% contienne la vraie valeur est vraiment de 95%, dépend de la distribution des données. 28

29 Considérons encore l intervalle de confiance à 95% IC = [ ] ˆσ ˆσ ˆµ z n, ˆµ + z n et remarquons (ou souvenons-nous) que sd(ˆµ), l écart-type de l estimateur ˆµ est égal à σ n, ce que l on peut estimer par ŝd(ˆµ) = ˆσ n. z = On obtient alors que l intervalle de confiance à 95% pour ˆµ est environ égal à IC = [ˆµ 2 ŝd(ˆµ), ˆµ + 2 ŝd(ˆµ) ]. Cette dernière formule est assez générale et s applique à n importe quel estimateur asymptotiquement normal, i.e. dont la distribution s approche de plus en plus d une distribution normale lorsque la taille de l échantillon devient grande, comme c est le cas pour la moyenne arithmétique ˆµ. Comme la plupart des estimateurs utilisés en statistique ont cette propriété, cette méthode peut presque toujours être utilisée. Elle s appelle la méthode de Wald, et l intervalle de confiance obtenu est appelé un intervalle de confiance de Wald. On voit donc que, comme annoncé, la connaissance de la valeur de z permet de calculer de tête un intervalle de confiance lorsqu on connaît l écart-type d un estimateur. 29

30 De façon plus générale, l intervalle de confiance de Wald de niveau de couverture 1 α pour un estimateur ˆθ d un paramètre θ est donné par IC = [ ˆθ z 1 α ŝd(ˆθ), 2 ] ˆθ + z 1 α ŝd(ˆθ). 2 Ce n est pas par hasard que l on parle de niveau de couverture 1 α, en utilisant la même notation α que pour le niveau d un test. Il y a en effet une relation directe entre un intervalle de confiance et un test statistique: L intervalle de confiance au niveau de couverture 1 α pour un paramètre θ contient toutes les valeurs qui ne sont pas rejetées par un test de niveau α. 30

31 Pour s en convaincre, il suffit de considérer à nouveau la relation dont on est parti pour définir l intervalle de confiance: P ( z 1 α 2 ˆµ µ ˆσ/ n z 1 α 2 ) 1 α. (1) On avait défini l IC en manipulant l intérieur de la parenthèse pour trouver quelles valeurs de µ satisfont cette équation. Mais en se souvenant que Z = ˆµ µ 0 ˆσ/ n est notre statistique de test pour tester H 0 : µ = µ 0 et que la règle de décision pour un test au niveau α est de rejeter H 0 si z > z 1 α 2, on voit que les valeurs de µ qui satisfont (1) sont bien celles qui ne sont pas rejetées par le test. Ce lien renforce l idée qu un intervalle de confiance contient un ensmble de valeurs plausibles pour un paramètre, étant donné un échantillon. 31

32 Le lien entre intervalle de confiance et test statistique implique qu un intervalle de confiance donne le résultat du test statistique correspondant pour n importe quelle valeur µ 0 du paramètre sous H 0. En effet, si µ 0 est à l intérieur de l IC, H 0 : µ = µ 0 n est pas rejetée; si µ 0 est à l extérieur de l IC, H 0 : µ = µ 0 est rejetée. Dans ce qui précède, nous avons calculé les IC à 95% et à 99% pour la taille moyenne des poissons du lac. Nous avons obtenu IC à 95%: [5.39, 8.61] IC à 99%: [4.88, 9.12] Le premier résultat est en accord avec le fait qu au début de cet exemple nous avions rejeté l hypothèse H 0 : µ = 5 avec un test au niveau 5% (p. 15). Le deuxième résultat implique qu un test au niveau 1% ne rejetterait pas H 0 : µ = 5, puisque 5 est à l intérieur de l IC à 99%. En fait, nous le savions déjà, puisque nous avons calculé la P-value de ce test et avons trouvé la valeur de 1.5% (p. 20). Comme 1.5% > 1%, le test au niveau 1% ne rejette pas H 0. 32

33 Commentaire à propos de l intervalle de confiance de et de la P-value: En règle générale un intervalle de confiance est plus informatif qu une P-value. En effet, un intervalle de confiance donne une idée de la valeur du paramètre d intérêt ce que ne fournit pas la P-value. De plus, la P-value dépend beaucoup de la taille de l échantillon. On peut rejeter à peu près n importe quelle hypothèse nulle en prenant un échatillon suffisammenent grand, mais l importance du résultat peut-être très faible au niveau pratique. Pour reprendre l exemple des poissons, imaginons qu on ait tiré un échantillon de de poissons et trouvé l estimation ˆµ = 5.01 cm, avec la même variabilité que précédemment, i.e. ˆσ 2 = 20.3 cm 2. La P-value correspondante pour tester H 0 : µ = 5 cm est P ( Z ˆµ 5 ˆσ/ n ) = P ( Z 2.22) = 0.03 et on en déduit que la taille moyenne des poissons du lac est significativement supérieure à 5 cm. Va-t-on pour autant changer de filet? 33

34 L intervalle de confiance à 95% est ici de IC = [ ˆµ 1.96 ˆσ n, ˆµ ˆσ n ] = [5.001, 5.02]. On voit donc que la différence avec 5 cm, quoique significative, est infime, et ne justifie aucune action en conséquence. Dans la recherche biomédicale, on a parfois tendance à accorder trop d importance à la P-value, sans considérer l importance pratique du résultat. 34

35 5. Test bilatéral et test unilatéral Nous avons vu que classiquement on définit les hypothèses d un test statistique sur la valeur d un paramètre de population θ comme H 0 : θ = θ 0 et H 1 : θ θ 0. On remarque qu on peut formuler H 1 comme Le test correspondant est dit bilatéral. H 1 : [ θ < θ 0 ou θ > θ 0 ]. Parfois, il peut arriver que l une des deux parties de l hypothèse alternative ci-dessus soit impossible, ou ne nous intéresse absolument pas. On pourra alors mener une procédure de test unilatéral en posant par exemple H 1 : θ > θ 0. Le test est mené de façon similaire à un test bilatéral. La statistique de test est la même, mais la règle de décision sera différente: dans le cas ci-dessus, on ne rejettera H 0 que pour des grandes valeurs positives de la statistique de test. Pour un test au niveau α, la règle sera donc: Rejeter H 0 si z > z 1 α. De façon analogue, dans un test de H 0 contre H 1 : θ < θ 0, on rejettera H 0 si z < z 1 α. 35

36 L avantage de faire un test unilatéral est qu on augmente la probabilité de détecter l hypothèse alternative si elle est vraie, i.e. on augmente la puissance du test. Dans l exemple des poissons, si par exemple seule la situation où la taille moyenne µ est supérieure à 5 cm est intéressante (par exemple, il ne faut changer de filet que si les poissons ont grandi, pas s ils sont devenus plus petits), on peut mener le test unilatéral H 0 : µ = 5 cm contre H 1 : µ > 5 cm. Au niveau 1%, on rejettera H 0 si z > z 0.99 = On a vu plus haut que z, la valeur observée de la statistique de test est ici égale à 2.43 (p. 15), et le test au niveau 1% rejette donc H 0. Rappelons-nous que le test bilatéral à 1% ne rejette pas H 0. En renonçant à détecter une moyenne inférieure à 5 cm, on a donc augmenté la puissance de notre test et on a pu montrer que la taille moyenne des poissons est significativement supérieure à 5 cm au niveau 1%. 36

37 La situation est la suivante: ϕ P 0 (Z>cu) = 1 % P value = 0.75 % 0 cu=2.33 cb=2.58 z=2.43 Dans ce graphique apparaissent cu = z 0.99 = 2.33, la valeur critique pour le test unilatéral à 1% cb = z = 2.58, la valeur critique pour le test bilatéral à 1% z = 2.43, la valeur observée de la statistique de test N.B.: Dans un test unilatéral, la P-value est divisée par deux par rapport à un test bilatéral, car on ne considère qu un seul côté. 37

38 Nous avons vu que le test unilatéral se distingue du test bilatéral par le fait qu on ne considère qu un côté pour l hypothèse alternative. Cela se traduit par un changement au niveau du domaine de rejet de l hypothèse nulle: Test bilatéral (H 1 : µ µ 0 ): Rejeter H 0 si z < z 1 α 2 ou z > z 1 α 2 Test unilatéral à gauche (H 1 : µ < µ 0 ): Rejeter H 0 si z < z 1 α Test unilatéral à droite (H 1 : µ > µ 0 ): Rejeter H 0 si z > z 1 α Par contre, les intervalles de confiance que nous avons vus sont tous de type bilatéral. On peut définir des intervalles de confiance unilatéraux; ils sont caractérisés par le fait qu une des bornes est égale à ou. En particulier, on n obtient pas un IC unilatéral en remplaçant z 1 α 2 par z 1 α dans la formule correspondante. (On obtient alors un IC bilatéral de niveau de couverture 1 2α). Les IC unilatéraux sont plus rares dans la pratique et ne seront pas abordés dans ce cours. 38

Chapitre 2. Test de comparaison d une moyenne à une valeur théorique. Test bilatéral pour une population de loi normale et d écart-type connu

Chapitre 2. Test de comparaison d une moyenne à une valeur théorique. Test bilatéral pour une population de loi normale et d écart-type connu Chapitre 2 Test de comparaison d une moyenne à une valeur théorique I Test bilatéral pour une population de loi normale et d écart-type connu 24 Exemple 1 Score d Achenbach : mesure les problèmes comportementaux

Plus en détail

III - INTRODUCTION AUX TESTS STATISTIQUES

III - INTRODUCTION AUX TESTS STATISTIQUES III - INTRODUCTION AUX TESTS STATISTIQUES J-P. Croisille Université de Lorraine UEL - Année 2012/2013 1-PRINCIPE DES TESTS D HYPOTHESE HYPOTHESE NEUTRE ET HYPOTHESE ALTERNATIVE: Une hypothèse est une affirmation

Plus en détail

Chapitre 6 : Tests d hypothèses

Chapitre 6 : Tests d hypothèses U.P.S. I.U.T. A, Département d Informatique Année 2008-2009 Chapitre 6 : Tests d hypothèses Les statistiques peuvent être une aide à la décision permettant de choisir entre deux hypothèses. Par exemple,

Plus en détail

Démarche de statistique inférentielle. par opposition à l estimation qui est une opération de quantification

Démarche de statistique inférentielle. par opposition à l estimation qui est une opération de quantification Test d hypothèses Démarche de statistique inférentielle Opération de validation par opposition à l estimation qui est une opération de quantification Principe Formuler une hypothèse sur la population,

Plus en détail

TUTORAT UE4 2010-2011 Biostatistiques Séance n 4 - Colle Semaine du 1/11/2010

TUTORAT UE4 2010-2011 Biostatistiques Séance n 4 - Colle Semaine du 1/11/2010 TUTORAT UE4 2010-2011 Biostatistiques Séance n 4 - Colle Semaine du 1/11/2010 Séance préparée par les tuteurs de l UE4 Sauf mention contraire, les tests sont réalisés en bilatéral avec α=5% QCM n 1 : Concernant

Plus en détail

COURS DE STATISTIQUE TD - FEUILLE N 3

COURS DE STATISTIQUE TD - FEUILLE N 3 Université Paris 1 Magistère d Economie - 1ère année COURS DE STATISTIQUE TD - FEUILLE N 3 Généralités Exercice 1 Le nombre mensuel d accidents sur un parcours routier peut être considéré comme la réalisation

Plus en détail

Tests d hypothèses. Tronc Commun 1ère Année. 2 novembre 2015. AgroParisTech. TC-1A (AgroParisTech) Tests d hypothèses 2 novembre 2015 1 / 22

Tests d hypothèses. Tronc Commun 1ère Année. 2 novembre 2015. AgroParisTech. TC-1A (AgroParisTech) Tests d hypothèses 2 novembre 2015 1 / 22 Tests d hypothèses Tronc Commun 1ère Année AgroParisTech 2 novembre 2015 TC-1A (AgroParisTech) Tests d hypothèses 2 novembre 2015 1 / 22 Problématique Questions La nature brouille ses messages : l interprétation

Plus en détail

Mathématiques appliquées à la gestion - TESTS PARAMÉTRIQUES ET NON PARAMÉTRIQUES

Mathématiques appliquées à la gestion - TESTS PARAMÉTRIQUES ET NON PARAMÉTRIQUES IMBS3 - ISCID-CO, site de Dunkerque, 2015/2016 Mathématiques appliquées à la gestion - TESTS PARAMÉTRIQUES ET NON PARAMÉTRIQUES Fiche de Mathématiques 2 - Notions générales sur les tests. 1 Notions générales

Plus en détail

L3 Eco Statistiques Appliquées 2013-2014 TRAVAUX DIRIGÉS 5

L3 Eco Statistiques Appliquées 2013-2014 TRAVAUX DIRIGÉS 5 TRAVAUX DIRIGÉS 5 Exercice 1 Une entreprise met en boîte une marque de céréales. Le procédé de remplissage est ajusté de telle sorte que les contenants pèsent en moyenne 400 grammes. On a établi également

Plus en détail

Corrigé examen atelier de statistiques Cogmaster

Corrigé examen atelier de statistiques Cogmaster Corrigé examen atelier de statistiques Cogmaster Tous documents autorisés. Durée de l épreuve = 2h 1 Questions 1. La moyenne d un échantillon de 10 nombres distribués selon une loi normale centrée réduite

Plus en détail

Brevet de technicien supérieur Opticien lunetier session 2010

Brevet de technicien supérieur Opticien lunetier session 2010 Brevet de technicien supérieur Opticien lunetier session 2010 A. P. M. E. P. Exercice 1 11 points Les deux parties A et D peuvent être traitées indépendamment des parties B et C A. Ajustement affine Une

Plus en détail

Econométrie. février 2008. Boutin, Rathelot

Econométrie. février 2008. Boutin, Rathelot 2ème séance Xavier Boutin Roland Rathelot Supélec février 2008 Plan Inférence Hypothèse de normalité Même sous les hypothèses de Gauss-Markov, la distribution de ˆβ est susceptible d avoir n importe quelle

Plus en détail

Statistique - Tests d hypothèses. Exercices

Statistique - Tests d hypothèses. Exercices Module 2101 Statistique - Tests d hypothèses Exercices Fabrice Heitz Septembre 2013 1 Tests sur une seule population (comparaison par rapport à une référence) Exercice 1 : Test sur la moyenne : réglage

Plus en détail

Université de Franche-Comté - IREM. Un exemple de calcul de risques de première et de seconde espèces Séminaire IREM - Yves DUCEL - 21 juin 2013

Université de Franche-Comté - IREM. Un exemple de calcul de risques de première et de seconde espèces Séminaire IREM - Yves DUCEL - 21 juin 2013 Université de Franche-Comté - IREM Un exemple de calcul de risques de première et de seconde espèces Séminaire IREM - Yves DUCEL - 21 juin 2013 1 L expérience de la pièce de Buffon Illustrons cette démarche

Plus en détail

R-Commander : Notions du chapitre 3. Estimation et tests d hypothèses : problèmes à un échantillon. 1) Présentation du jeu de données 2

R-Commander : Notions du chapitre 3. Estimation et tests d hypothèses : problèmes à un échantillon. 1) Présentation du jeu de données 2 R-Commander : Notions du chapitre 3 Estimation et tests d hypothèses : problèmes à un échantillon 1) Présentation du jeu de données ) Estimation et test sur une moyenne μ..3 a) Test bilatéral et intervalle

Plus en détail

La démarche de tests, populations gaussiennes

La démarche de tests, populations gaussiennes Introduction au modèle linéaire La démarche de tests, populations gaussiennes L3 BI Université d Evry semestre de printemps 2016 http://julien.cremeriefamily.info/teachings_l3bi_msv601.html 1 Plan Tests

Plus en détail

CHAPITRE V INEGALITES

CHAPITRE V INEGALITES CHAPITRE V INEGALITES COURS 1) Inégalités... p 1 ) Inéquations du premier degré à une inconnue. p ) Systèmes d inéquations... p 5 4) Encadrements.... p 6 EXERCICES.. p 10 COURS 1) Inégalités Rappelons

Plus en détail

Principe des tests statistiques : Application à la comparaison d une moyenne à une valeur de référence

Principe des tests statistiques : Application à la comparaison d une moyenne à une valeur de référence 1 / 57 Principe des tests statistiques : Application à la comparaison d une moyenne à une valeur de référence M-A Dronne 2016-2017 2 / 57 Introduction Remarques préliminaires Etablir un plan d expérience

Plus en détail

Inférence sur les paramètres. a) Les filles sont-elles plus grandes que leurs mères en moyenne?

Inférence sur les paramètres. a) Les filles sont-elles plus grandes que leurs mères en moyenne? Corrigé - Série 2 Inférence sur les paramètres Exercice 1 - Les enfants qui dépassent leurs parents a) Les filles sont-elles plus grandes que leurs mères en moyenne? H 0 : µ filles = µ mères H 1 : µ filles

Plus en détail

Taille d un effet Puissance d un test

Taille d un effet Puissance d un test Taille d un effet Puissance d un test Exemple introductif On se place dans une situation de comparaison de deux groupes indépendants, avec une VD numérique. Ces deux groupes sont issus de deux populations

Plus en détail

Chapitre 2 L INTENSITÉ DU COURANT

Chapitre 2 L INTENSITÉ DU COURANT Chapitre 2 L INTENSITÉ DU COURNT Expérience Réaliser un circuit en boucle simple comportant une pile (4.5 V), un interrupteur et une lampe (6 V 100 m). Questions 1. Quel est le symbole normalisé d un ampèremètre?

Plus en détail

Chapitre 10: Tests et intervalles de confiance pour proportions

Chapitre 10: Tests et intervalles de confiance pour proportions Chapitre 10: Tests et intervalles de confiance pour proportions 1. Test statistique pour une proportion 2. Intervalle de confiance pour une proportion 3. Test statistique pour deux proportions 1 1. Test

Plus en détail

Chapitre 12: Tests et intervalles de confiance pour moyennes

Chapitre 12: Tests et intervalles de confiance pour moyennes Chapitre 12: Tests et intervalles de confiance pour moyennes 1. Test statistique pour une moyenne 2. Intervalle de confiance pour une moyenne 3. Tests statistiques pour deux moyennes 4. Intervalle de confiance

Plus en détail

Test statistique. 1 Introduction. 2 Région critique et hypothèse alternative

Test statistique. 1 Introduction. 2 Région critique et hypothèse alternative Test statistique 1 Introduction Le problème d'eectuer un test statistique se pose dès lors l'on cherche à décider si une valeur arbitrairement choisie d'un paramètre populationnel (la moyenne, la médiane,

Plus en détail

Correction de l épreuve de Statistiques et Informatique appliquées à la Psychologie

Correction de l épreuve de Statistiques et Informatique appliquées à la Psychologie Université de Bretagne Occidentale Année Universitaire 2011-2012 U.F.R. de Lettres et Sciences Humaines CS 93837-29238 BREST CEDEX 3 Section : Psychologie - Licence 3è année Enseignant responsable : F.-G.

Plus en détail

Les Tests Statistiques

Les Tests Statistiques Les Tests Statistiques Idées: notion d un test; les hypothèses nulle et alternative; statistique de test; niveau de signification; relation avec les intervalles de confiance; test de chi-deux. Reference:

Plus en détail

Tests non-paramétriques

Tests non-paramétriques Frédéric Bertrand 1 & Myriam Maumy 1 1 IRMA, Université de Strasbourg Strasbourg, France Master 1 re Année 2011-2012 2 ème partie Tests non paramétriques : Le test de Kruskal-Wallis Sommaire Contexte du

Plus en détail

Chapitre 8 : Intervalles de confiance et tests

Chapitre 8 : Intervalles de confiance et tests Probabilités Elémentaires Licence Chapitre 8 : Intervalles de confiance et tests Dans le chapitre précédent, nous avons vu comment estimer les paramètres d une loi de probabilité à partir d un échantillon.

Plus en détail

À propos de la percolation critique en dimension 2

À propos de la percolation critique en dimension 2 À propos de la percolation critique en dimension 2 Pierre Nolin effectué sous la direction de Wendelin Werner 1 2 Table des matières 1 Présentation de la percolation 5 1.1 Motivations.........................................

Plus en détail

Niveau. Situation étudiée. Type d activité. Durée. Objectifs. Organisation. Seconde.

Niveau. Situation étudiée. Type d activité. Durée. Objectifs. Organisation. Seconde. INQUIÉTUDES À WOBURN Niveau Seconde. Situation étudiée Dans la petite ville américaine de Woburn la population s interroge : elle a connu 3 cas de leucémies chez des jeunes filles et 9 chez de jeunes garçons

Plus en détail

Sujets. Formulaire. mai 2011. Amérique du Nord. novembre 2011. Nouvelle-Calédonie. mai 2012. BTS Métopole (B1) mai 2013.

Sujets. Formulaire. mai 2011. Amérique du Nord. novembre 2011. Nouvelle-Calédonie. mai 2012. BTS Métopole (B1) mai 2013. LOIS CONTINUES Sujets mai 2011 novembre 2011 mai 2012 mai 2013 Amérique du Nord Nouvelle-Calédonie BTS Métopole (B1) BTS Métropole (D) Formulaire LOIS CONTINUES 1 Amérique du Nord mai 2011. EXERCICE 2

Plus en détail

Def Spec Est Valid Prev Appli Inter. ARMA models. Laurent Ferrara. Master 2 EIMPC Université Paris Ouest Octobre 2011

Def Spec Est Valid Prev Appli Inter. ARMA models. Laurent Ferrara. Master 2 EIMPC Université Paris Ouest Octobre 2011 ARMA models Laurent Ferrara Master 2 EIMPC Université Paris Ouest Octobre 2011 Overview 1. Définition 2. Spécification 3. Estimation 4. Tests 5. Prévision 6. Applications 6.1 Stock prices : BNP-Paribas

Plus en détail

Test de Kruskal-Wallis

Test de Kruskal-Wallis Frédéric Bertrand 1 & Myriam Maumy 1 1 IRMA, Université de Strasbourg France DUS2 20-06-2011 Sommaire 1 Généralités 2 Conditions d application 3 Statistique de test Règle de décision et conclusion du test

Plus en détail

5 Chapitre 5. Pseudo-primalité

5 Chapitre 5. Pseudo-primalité Chapitre 5 Chapitre 5. Pseudo-primalité Nous poursuivons l investigation autour de la réciproque du théorème de Fermat : après avoir vu le théorème de Lehmer dans le chapitre précédent, nous nous intéressons

Plus en détail

Intervalles de confiance et tests portant sur la moyenne et la variance d une loi gaussienne

Intervalles de confiance et tests portant sur la moyenne et la variance d une loi gaussienne Master de mathématiques 011/01 Intervalles de confiance et tests portant sur la moyenne et la variance d une loi gaussienne Table des matières A Intervalle de confiance 1 B Intervalles de confiance et

Plus en détail

L INDUCTION STATISTIQUE

L INDUCTION STATISTIQUE L INDUCTION STATISTIQUE L'induction statistique a pour but de faire émerger des propriétés d'un ensemble de variables. Elle s'appuie sur les résultats de la statistique mathématique, qui applique des calculs

Plus en détail

PSYQR19A Statistiques

PSYQR19A Statistiques PSYQR19A Statistiques Lotje van der Linden l.vanderlinden@cogsci.nl Séance 2 Comparer deux moyennes Le test t de Student 2 Emploi du temps Séance Date Thème 1 04/02/2016 Introduction Les statistiques descriptives

Plus en détail

Loi faible des grands nombres

Loi faible des grands nombres SQ20 - ch5 Page 1/7 Convergences et approximations Dans tout ce chapitre, (Ω, T, P ) est un espace probabilisé. I Loi faible des grands nombres I.1 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev Théorème 1 Soit X :

Plus en détail

Psy1004 Section 13: Puissance d'un test

Psy1004 Section 13: Puissance d'un test Psy1004 Section 13: Puissance d'un test Plan du cours: Varia 13.1: Efficacité d'un test 13.2: Puissance d'un test 13.3: Comment rendre un test plus puissant 13.4: Méthode de Cohen 13.5: Exemples 13.6:

Plus en détail

Benjamin.Putois@univ-lyon2.fr. Clotilde de Vaux (1815-1846) Auguste Comte (1798-1856) Cours de Benjamin Putois bputois@yahoo.

Benjamin.Putois@univ-lyon2.fr. Clotilde de Vaux (1815-1846) Auguste Comte (1798-1856) Cours de Benjamin Putois bputois@yahoo. Benjamin.Putois@univ-lyon2.fr Clotilde de Vaux (1815-1846) Auguste Comte (1798-1856) bputois@yahoo.fr 27 1 «Il n'est pas possible d'instituer une expérience sans une idée préconçue ; instituer une expérience,

Plus en détail

Construction d une table des lois de Student

Construction d une table des lois de Student Construction d une table des lois de tudent Construction d une table. Comme la table de la loi normale centrée réduite N(0;1), présentée dans le bulletin n 1 du G.R.E., cette table est construite avec

Plus en détail

MQT1183 Méthodes statistiques

MQT1183 Méthodes statistiques MQT1183 Méthodes statistiques Sébastien Blais Département des sciences administratives, UQO 20 mars 2017 Rappels Exercice 8.35. Aujourd hui Chapitre 9: Test d hypothèses 1 Introduction 2 Hypothèses nulle

Plus en détail

Chapitre 6 Les probabilités

Chapitre 6 Les probabilités Chapitre 6 Les probabilités A) Rappels de première 1) Vocabulaire a) Expérience aléatoire : C'est une expérience dont le résultat (alea = dé en latin) dépend du hasard. b) Issue C est un résultat possible

Plus en détail

Annexe 4 : Réponses aux exercices

Annexe 4 : Réponses aux exercices Annexe 4 : Réponses aux exercices Section 1. La statistique et les statistiques 1. d. e; le mot important est population 3. a 4. b 5. b 6. d 7. e 8. a; un recensement mesure toute la population 9. d 10.

Plus en détail

Fiche TD 6 - L2 Économie-Gestion

Fiche TD 6 - L2 Économie-Gestion UNIVERSITE de NICE - SOPHIA ANTIPOLIS Institut Supérieur d Economie et de Management ANNÉE UNIVERSITAIRE : 2013-2014 REF. ANNÉE D ÉTUDE : L2 MATIÈRE : PROBABILITÉS, STATISTIQUES ENSEIGNANT : Julien BARRÉ

Plus en détail

Reconnaissance de forme: Rappels de probabilités et de statistiques

Reconnaissance de forme: Rappels de probabilités et de statistiques Reconnaissance de forme: Rappels de probabilités et de statistiques 1 er février 2010 Plan 1 Introduction : pourquoi des probabilités? 2 Notions de probabilités 3 Statistiques et estimation Introduction

Plus en détail

Estimateur et Estimation Prof Franck Bonnetain Unité de méthodologie & de qualité de vie en cancérologie (EA3181) CHRU Besançon

Estimateur et Estimation Prof Franck Bonnetain Unité de méthodologie & de qualité de vie en cancérologie (EA3181) CHRU Besançon PACES - APEMK UE 4 Evaluation des méthodes d analyses appliquées aux sciences de la vie et de la santé Estimateur et Estimation Prof Franck Bonnetain Unité de méthodologie & de qualité de vie en cancérologie

Plus en détail

Bac S 2015 Métropole - Correction épreuve de mathématiques.

Bac S 2015 Métropole - Correction épreuve de mathématiques. Bac S 2015 Métropole - Correction épreuve de mathématiques. Exercice 1 : 6 points Commun à tous les candidats Les résultats des probabilités seront arrondis à 10 3 près. Partie 1 : 1 ) Soit X une variable

Plus en détail

Eléments de statistique Liste de questions de théorie

Eléments de statistique Liste de questions de théorie Eléments de statistique Liste de questions de théorie Louis Wehenkel Département d Electricité, Electronique et Informatique - Université de Liège B24/II.93 - L.Wehenkel@ulg.ac.be MATH0487-1 : 3BacIng,

Plus en détail

L incertain. Plan. Agir dans l incertitude. Agir dans l incertain; Probabilités; Distributions de probabilités jointes; Indépendance.

L incertain. Plan. Agir dans l incertitude. Agir dans l incertain; Probabilités; Distributions de probabilités jointes; Indépendance. L incertain 1 Plan Agir dans l incertain; Probabilités; Distributions de probabilités jointes; Indépendance. 2 Agir dans l incertitude Les approches logiques que l on a vues aux chapitres précédents permettent

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat ES Asie 16 juin 2015

Corrigé du baccalauréat ES Asie 16 juin 2015 Corrigé du baccalauréat ES Asie 16 juin 015 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats Aucune justification n était demandée dans cet exercice. 5 points 1. On lance une pièce de monnaie bien équilibrée 10

Plus en détail

Quelques tests... IUT Carquefou. Année

Quelques tests... IUT Carquefou. Année Quelques tests... IUT Carquefou Année 2008-2009 segolen.geffray@univ-nantes.fr Exemple introductif Situation : L entreprise Métalex fabrique des tiges métalliques. L un des clients exige que les tiges

Plus en détail

Chapitre 5. Inéquations. 5.1 Introduction

Chapitre 5. Inéquations. 5.1 Introduction Chapitre 5 Inéquations 5.1 Introduction Jusqu à présent, nous avons surtout étudié la résolution d équations du premier degré (comme l équation +3 = 11), du deuième degré ou de degré supérieur. Le but

Plus en détail

IFT3245. Simulation et modèles

IFT3245. Simulation et modèles IFT 3245 Simulation et modèles DIRO Université de Montréal Automne 2012 Lois non uniformes Supposons que nous disposons d un bon générateur fournissant des variables aléatoires i.i.d. U(0, 1), comme décrit

Plus en détail

Loi d une variable aléatoire réelle

Loi d une variable aléatoire réelle Licence Math et MASS, MATH504 : probabilités et statistiques Loi d une variable aléatoire réelle On introduit la notion de variable aléatoire dans le cas réel ainsi que la notion fondamentale de loi d

Plus en détail

Mathématiques Statistiques

Mathématiques Statistiques IUT de Mesures Physiques de Caen DUT ème année Mathématiques Statistiques Corrigé Travaux Dirigés Feuille 4 Sujet : Loi du χ, estimation de la variance d une population. Exercice 1 : Rappel de cours sur

Plus en détail

Chapitre 3 : INFERENCE

Chapitre 3 : INFERENCE Chapitre 3 : INFERENCE 3.3 LES TESTS D HYPOTHESE 3.3.1 Formuler des hypothèses 3.3.2 Erreurs de 1 e et 2 e espèce 3.3.3 Test sur la moyenne d une population 3.3.4 Puissance du test 3.3.5 Proportion 3.3.6

Plus en détail

Chapitre 9. Analyse de la variance

Chapitre 9. Analyse de la variance 1 Chapitre 9. Analyse de la variance Dans ce chapitre nous étudions comment l analyse de la variance de Y permet de tester l égalité des moyennes conditionnelles de cette variable numérique dans les sous-populations

Plus en détail

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire Statistiques Descriptives

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire Statistiques Descriptives UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2017 2018 L1 Économie Cours de B. Desgraupes Statistiques Descriptives Séance 04: Indicateurs de dispersion Table des matières

Plus en détail

Notions de probabilités et de statistiques

Notions de probabilités et de statistiques Notions de probabilités et de statistiques. Généralités Événement. Notons Ω l ensemble des événements élémentaires pouvant résulter d un phénomène aléatoire. Un événement ω est un sous-ensemble de Ω constitué

Plus en détail

Initiation à l algorithmique... et à la programmation

Initiation à l algorithmique... et à la programmation IREM Clermont-Ferrand Année 2009-2010 Journée d information Malika More sur les nouveaux programmes de Seconde Initiation à l algorithmique... et à la programmation Contenu de l atelier Des algorithmes

Plus en détail

MQT1183 Méthodes statistiques

MQT1183 Méthodes statistiques MQT1183 Méthodes statistiques Sébastien Blais Département des sciences administratives, UQO 28 mars 2017 Rappels Hypothèse sur la moyenne, σ connu (théorie) Hypothèse sur la moyenne, σ inconnu Hypothèse

Plus en détail

La significativité statistique : aspects conceptuels et signification dans la pratique clinique

La significativité statistique : aspects conceptuels et signification dans la pratique clinique La significativité statistique : aspects conceptuels et signification dans la pratique clinique Jacques Juhel Centre de Recherches en Psychologie, Cognition, Communication (EA 1285) Centre de Formation

Plus en détail

Université de Picardie Jules Verne UFR des Sciences. Licence mention Mathématiques - Semestre 3 Statistique. Tests non paramétriques

Université de Picardie Jules Verne UFR des Sciences. Licence mention Mathématiques - Semestre 3 Statistique. Tests non paramétriques S3 Maths 013-014 Statistique Tests non paramétriques Université de Picardie Jules Verne 013-014 UFR des Sciences Licence mention Mathématiques - Semestre 3 Statistique Tests non paramétriques Dans une

Plus en détail

Modèle stochastique et simulation. 5. Modèles stochastiques (cours 2) Jeu de hasard (suite) Exemple : jeu de hasard

Modèle stochastique et simulation. 5. Modèles stochastiques (cours 2) Jeu de hasard (suite) Exemple : jeu de hasard Modèle stochastique et simulation IFT575 Modèles de recherche opérationnelle (RO) 5. Modèles stochastiques (cours 2) Système stochastique : évoluant de manière probabiliste dans le temps Exemple : un centre

Plus en détail

I. La modélisation 3. x it+1 = f(x 1t,x 2t,...,x nt )

I. La modélisation 3. x it+1 = f(x 1t,x 2t,...,x nt ) I. La modélisation 3 l approche dynamique de la modélisation. Dynamique temporelle en général, mais aussi dynamique que l on qualifiera de «contingente» quand on veut tester un système quelconque pour

Plus en détail

Chapitre 4: Notions sur les statistiques d ordre et les distributions d échantillonnage

Chapitre 4: Notions sur les statistiques d ordre et les distributions d échantillonnage Chapitre 4: Notions sur les statistiques d ordre et les distributions d échantillonnage Léonard Gallardo 1 Statistiques d ordre d un échantillon 1.1 Généralités On a vu dans le chapitre 2 pourquoi la notion

Plus en détail

Chapitre 4. Quelques types de raisonnement

Chapitre 4. Quelques types de raisonnement Chapitre 4 Quelques types de raisonnement 1. Aide à la rédaction d un raisonnement 1.1. Analyse du problème La première chose est de distinguer les hypothèses (= propositions vraies) de la question (=proposition

Plus en détail

L'aire du domaine limité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations 4 et 16 est d'environ 0,95 unités d'aire.

L'aire du domaine limité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations 4 et 16 est d'environ 0,95 unités d'aire. T ES/L DEVOIR SURVEILLE 6 24 MAI 2013 Durée : 3h Calculatrice autorisée NOM : Prénom : «Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse,

Plus en détail

Tests non paramétriques. M1 IMSV Etienne Birmelé

Tests non paramétriques. M1 IMSV Etienne Birmelé Tests non paramétriques M1 IMSV Etienne Birmelé I. TESTS STATISTIQUES Test Definition Un test statistique est une procédure de décision entre deux hypothèses concernant un ou plusieurs échantillons. Exemple

Plus en détail

Les approches statistiques de l incertitude : tout ce que vous avez toujours voulu savoir sur les valeurs de p et les intervalles de confiance

Les approches statistiques de l incertitude : tout ce que vous avez toujours voulu savoir sur les valeurs de p et les intervalles de confiance Les approches statistiques de l incertitude : tout ce que vous avez toujours voulu savoir sur les valeurs de p et les intervalles de confiance Nous avons déjà défini, dans un précédent Bloc-Notes statistique,

Plus en détail

fonctions homographiques

fonctions homographiques fonctions homographiques Table des matières 1 aspect numérique et algébrique 3 1.1 activités.................................................. 3 1.1.1 activité 1 : différentes écritures.................................

Plus en détail

Probabilités - Exercices corrigés

Probabilités - Exercices corrigés Probabilités - Exercices corrigés Y. Morel Exercice 1 Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [ 5; ]. Calculer : a P X La fonction densité de probabilité de la loi uniforme sur [ 5;

Plus en détail

Calcul du nombre de sujets nécessaires. Puissance d une expérience. Objectifs du cours. Lectures à recommander. Test statistique : conclusion

Calcul du nombre de sujets nécessaires. Puissance d une expérience. Objectifs du cours. Lectures à recommander. Test statistique : conclusion Calcul du nombre de sujets nécessaires Puissance d une expérience Objectifs du cours Comprendre la notion de puissance Connaître les paramètres qui entre dans le calcul d un nombre de sujets et savoir

Plus en détail

Lois de distributions

Lois de distributions Lois de distributions La loi normale La loi normale repose sur l'estimation de deux paramètres de la population statistique: la moyenne µ l'écart type σ La courbe (appelée "fonction de densité de probabilité")

Plus en détail

Enquête.sba Procédure Tableaux croisés

Enquête.sba Procédure Tableaux croisés Enquête.sba Procédure Tableaux croisés Tris croisés p. 27 «Cette procédure est conçue pour le calcul et l édition massive de tableaux croisés. On obtient à partir de cette procédure des tableaux de contingence,

Plus en détail

Régression linéaire multiple

Régression linéaire multiple 1 1 IRMA, Université de Strasbourg France ESIEA 08-03-2012 Régression linéaire simple Exemple Affiner le modèle Exemple : Issu du livre «Statistiques avec R», P.A. Cornillon, et al., Deuxième édition,

Plus en détail

Tests statistiques (3): Tests non-paramétriques

Tests statistiques (3): Tests non-paramétriques Tests statistiques (3): Tests non-paramétriques A. Latouche 1 / 23 Tests Non-paramétrique On considère 2 échantillons : x 1,..., x n et y 1,..., y m Ne nécessitent pas l estimation de la moyenne (ou de

Plus en détail

Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites

Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R, x 0 R, f est une fonction définie sur son domaine de définition D f à valeurs réelles. C f désigne

Plus en détail

Corrigé de l examen de Probabilités et statistique (MATH 046)

Corrigé de l examen de Probabilités et statistique (MATH 046) Corrigé de l examen de Probabilités et statistique (MATH 046) Série 1 09 juin 2005 Question 1 Pour chacune des 5 questions ci-dessous, cocher la case de la bonne réponse. On ne demande pas de justification.

Plus en détail

Chapitre 5 ESTIMATION ET INTERVALLES DE CONFIANCE

Chapitre 5 ESTIMATION ET INTERVALLES DE CONFIANCE Thierry Foucart 1 http://foucart.thierry.free.fr Chapitre 5 ESTIMATION ET INTERVALLES DE CONFIANCE 1. DES PROBABILITÉS À LA STATISTIQUE. hypothèse intuitive élaborée à partir d expériences diverses : convergence

Plus en détail

Tests statistiques. Définitions et principes généraux des tests statistiques

Tests statistiques. Définitions et principes généraux des tests statistiques Tests statistiques Définitions et principes généraux des tests statistiques Présentation générale Un test d hypothèse est une règle de décision. La décision est un pari et comporte toujours des risques

Plus en détail

Chapitre 3 - Comparaison de plusieurs moyennes pour des échantillons indépendants

Chapitre 3 - Comparaison de plusieurs moyennes pour des échantillons indépendants Université Paris X - Nanterre UFR SPSE-Master1 PMPSTA21 Méthodes Statistiques pour l analyse de données en psychologie Chapitre 3 - Comparaison de plusieurs moyennes pour des échantillons indépendants

Plus en détail

Epi Info Analyse Univariée

Epi Info Analyse Univariée analyse data Importation des données read import Epi Info-analyse univariée 1 Type de fichier (excel, epi info ) Chemin d accès Si epi info : view, si excel : feuille nombre de patients Epi Info-analyse

Plus en détail

Quelques conseils pour rédiger questions de cours et exercices

Quelques conseils pour rédiger questions de cours et exercices FACULTE DES SCIENCES ECONOMIQUES Introduction à la Microéconomie Licence 1 Economie-Gestion, 1 er Semestre Eric Darmon eric.darmon@univ-rennes1.fr http://perso.univ-rennes1.fr/eric.darmon Quelques conseils

Plus en détail

CONTEXTE GSB - MISSION NUMBER TEN ETUDE d un outil de SUPERVISION (PRTG)

CONTEXTE GSB - MISSION NUMBER TEN ETUDE d un outil de SUPERVISION (PRTG) CONTEXTE GSB - MISSION NUMBER TEN ETUDE d un outil de SUPERVISION (PRTG) Préambule M10 GSB veut choisir un outil pour superviser son réseau. Il hésite entre différentes solutions. PRTG est une solution

Plus en détail

Scénario d usage, timing 1

Scénario d usage, timing 1 Scénario d usage, timing 1 La séance va sûrement durer plus d une heure (environs 1h15-1h30 suivant les réactions de la classe). J espère malgré tout arriver à la phase 8. Phase Description de la phase

Plus en détail

11. Tests d hypothèses (partie 2/2)

11. Tests d hypothèses (partie 2/2) 11. Tests d hypothèses (partie 2/2) MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal A2016 (v1) MTH2302D: tests d hypothèses 1/39 Plan 1. Introduction 2. Tests d hypothèses avec 2 échantillons 3.

Plus en détail

TUTORAT UE Biostatistiques Séance n 6 Semaine du 19/11/2012

TUTORAT UE Biostatistiques Séance n 6 Semaine du 19/11/2012 TUTORAT UE 4 2012-2013 Biostatistiques Séance n 6 Semaine du 19/11/2012 Correction d'annales Séance préparée par l'équipe du TSN QCM n 1 : La randomisation dans un essai thérapeutique (comparaison de deux

Plus en détail

PLAN GÉNÉRAL DU COURS

PLAN GÉNÉRAL DU COURS PLAN GÉNÉRAL DU COURS 1 - La méthode Statistique en Médecine 2 - Statistique Descriptive 3 - Statistique Déductive Ø Liaisons entre caractères qualitatifs Ø Liaisons entre caractères qualitatifs et quantitatifs

Plus en détail

On verra ensuite le concept de fonction de transfert, et comment on peut s en servir pour l analyse de circuits.

On verra ensuite le concept de fonction de transfert, et comment on peut s en servir pour l analyse de circuits. Chapitre 2 Analyse de circuits La transformée de Laplace a deux caractéristiques qui la rende intéressante pour l analyse de circuits. En premier, elle permet de transformer une série d équations linéaires

Plus en détail

QCM chapitre 4 (cf. p. 116 du manuel) Pour bien commencer

QCM chapitre 4 (cf. p. 116 du manuel) Pour bien commencer QCM chapitre 4 (cf. p. 116 du manuel) Pour bien commencer Pour chaque question, il y a une ou plusieurs bonnes réponses. Tableaux de variations et tableaux de signes Les exercices 1 et se réfèrent au graphique

Plus en détail

Calcul numérique : opérations avec les nombres relatifs

Calcul numérique : opérations avec les nombres relatifs Calcul numérique : opérations avec les nombres relatifs François Meria 1 Introduction La définition d un nombre relatif est vue en classe de sixième et la somme et la soustraction de deux nombres relatifs

Plus en détail

Comparer > 2 moyennes d'une seule VI L'analyse de variance à un facteur

Comparer > 2 moyennes d'une seule VI L'analyse de variance à un facteur Comparer > 2 moyennes d'une seule VI L'analyse de variance à un facteur Lotje van der Linden l.vanderlinden@cogsci.nl Emploi du temps Séance Date Thème 1 04/02/2016 Introduction Les statistiques descriptives

Plus en détail

1 Introduction. 2 Où chercher les solutions?

1 Introduction. 2 Où chercher les solutions? 1 Introduction Une équation algébrique est une équation mettant en jeu une inconnue x qui n intervient que par ses puissances. Par exemple, les équation x 2 +5x = 7 et x 6 = x 5 +1 sont algébriques, mais

Plus en détail

VALEUR CRITIQUE DE Z OU DE t DANS LE CAS D UNE VÉRIFICATION BILATÉRALE Seuil de signification de 10 % 0.9 (90 %)

VALEUR CRITIQUE DE Z OU DE t DANS LE CAS D UNE VÉRIFICATION BILATÉRALE Seuil de signification de 10 % 0.9 (90 %) P brincipe des tests d hypothèses sur les moyennes Rappel : vous devez procéder en 5 étapes : 1. Formuler une hypothèse de recherche (H1) 2. Formuler une hypothèse nulle (H0) dont l objectif est de la

Plus en détail

Caractéristiques d une v.a. Espérance Conditionnelle. Chapitre 4 Espérance, Variance et Espérance Conditionnelle

Caractéristiques d une v.a. Espérance Conditionnelle. Chapitre 4 Espérance, Variance et Espérance Conditionnelle Chapitre 4 Espérance, Variance et Espérance Conditionnelle Variables Aléatoires et Fonctions indicatrices Rappel Une fonction à valeurs réelles X : Ω R définie sur un univers fini Ω est appelé variable

Plus en détail

Résumé de probabilités et inférence statistique. Cours de 2ème BAC aux FUNDP

Résumé de probabilités et inférence statistique. Cours de 2ème BAC aux FUNDP Résumé de probabilités et inférence statistique Cours de 2ème BAC aux FUNDP 01/06/2008 TABLE DES MATIERES PARTIE I : PROBABILITES PARTIE I : PROBABILITES... 5 CHAPITRE 1 : INTRODUCTION... 5 1. STATISTIQUE

Plus en détail

LIVRET DE MATHÉMATIQUES ENTRÉE EN SECONDE Lycée Jean-Paul II (Sartrouville) Année 2014-2015

LIVRET DE MATHÉMATIQUES ENTRÉE EN SECONDE Lycée Jean-Paul II (Sartrouville) Année 2014-2015 LIVRET DE MTHÉMTIQUES ENTRÉE EN SECONDE Lycée Jean-Paul II (Sartrouville) nnée 204-205 Pourquoi ce livret? Les vacances d été sont longues et la mise en route en septembre souvent difficile. fin de mieux

Plus en détail

L espace de probabilités (Ω,A,P )

L espace de probabilités (Ω,A,P ) L espace de probabilités (Ω,A,P ) 1 Introduction Le calcul des probabilités est la science qui modélise les phénomènes aléatoires. Une modélisation implique donc certainement une simplification des phénomènes,

Plus en détail