FICHE CALCULATRICE : LOI NORMALE

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1 FICHE CALCULATRICE : LOI NORMALE I ] LOI NORMALE CENTREE REDUITE Calculs directes 1 :normalfdp( : permet de tracer la densité de probabilité, c'est-à-dire f(x) = 1 e 2π x² 2 Pour faire le dessin il suffit de faire : Permet aussi de tracer la densité de probabilité associée à une loi normale quelconque (cf. fin du document) 2 : normalfrép( : permet de calculer P(a X b) lorsque a et b sont des réels tels que a < b et X suit N (0 ;1) 3 : FracNormale( : connaissant c,, permet de trouver la valeur de k telle que P(X k) = c On retrouve les instructions relatives à la loi binomiale vue l année passée : (lignes 0 et A). Les autres instructions utilisent des distributions qui ne sont pas étudiées en classe de terminale (Loi de Student (lignes 4 et 5) Loi du Khi deux (χ²)(lignes 6 et 7), Loi de Fisher (lignes 8 et 9) Loi de Poisson (lignes B et et C) et loi géométrique (lignes D et E)) La calculatrice ne connaissant pas l infini, pour faire comprendre à la calculatrice que nous travaillons avec l infini, on peut utiliser l astuce suivante : on remplace - par c'est-à-dire et + par X suit N (0 ;1). Une autre astuce pour contourner ce problème est d utiliser la symétrie de la représentation graphique de f, c'est-à-dire sachant que l aire sous la courbe est 1, on peut en déduire que l aire sous la courbe sur ] - ; 0] et l aire sous la courbe sur [ 0 ; + [ [ valent toutes les deux 1 2. Ainsi pour calculer P(X 1,3) on peut faire : 0,5 + P( 0 X 1,3). (Les deux dernières décimales peuvent être différentes,, mais ça suffit largement pour répondre à toutes les questions )

2 Question Calculatrice Résultat P (- 1,5 X 2,2) P( X 1,3) ou P(X 0,22) On utilise les propriétés de f : P(X 0,22) = 1 P(X < 0,22) = 1 P(X 0,22) = 0,5 P(0 X 0,22) Résoudre des équations avec la loi normale centrée réduite EXERCICE 1 : La variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite. Les résultats seront arrondis au centième. 1 ) Déterminer le réel a tel que P(X a) = 0, ) Déterminer le réel b tel que P(X > b) = 0, ) Déterminer le réel c tel que P(0 X c) = 0, ) Déterminer le réel positif h tel que P( - h X h) = 0,95 Dans ce cas là il faut utiliser l instruction Toujours accessible via le menu distrib : Cette instruction renvoie la valeur du réel t tel que P(X t) = p où p est un réel de [0 ;1] donné par l utilisateur. Lorsque p = 1 ou p = 0 la calculatrice affiche : Ce qui est légitime étant donné que et et sont respectives les «+» et «-» de la la calculatrice.

3 QUESTIO N TRANSFORMATIONS RESULTATS 1 ) Rien à faire, c est un calcul direct P(X > b) = 1 P(X b) P(X > b) = 0, P(X b) = 0,1256 P(X b) = 0,8744 On peut aussi réfléchir un peu, et se souvenir que grâce à la symétrie de la densité de probabilité de la loi normale on a, pour tout réel t : P(X - t) = P(X t) 2 ) P(0 X c) = P( X c) P(X 0) = P(X c) 0,5 P(0 X c) = 0,1256 P(X c) 0,5 = 0,1256 P(X c) = 0,6256 Il faut se souvenir, toujours grâce à la symétrie de la densité de probabilité que P( X 0) = P(X 0) = 0,5 3 ) 4 ) P( - h X h ) = P(X h) P(X - h) or P(X - h ) = P(X h) = 1 P(X h) D où P( - h X h ) = P(X h) [1 P(X h)] = 2 P(X h) - 1 P( - h X h ) = 0,95 2 P(X h) 1 = 0,95 P(X h) = 0,975 On retrouve la valeur approchée u 0,95 1,96

4 I ] LOI NORMALE N (μ ; σ²) Utiliser les paramètres μ et σ Les instructions à utiliser sont les même, la seul différence est qu il faut préciser la valeur des deux paramètres. En effet, par défaut les instructions normalfrép( : et FracNormale( sont paramétrée pour faire des calculs avec la loi normale centrée réduite. Supposons que X suit N (μ ; σ²) Pour déterminer la valeur de P ( a X b) on saisie : normalfrép(a,b,μ,σ) Et pour déterminer le réel c tel que P ( X c ) = p (où p [ 0 ; 1]) on fait : FracNormale(c,μ,σ) EXERCICE 2 : (calculs directs) Une cantine sert des repas en nombre très important. Soit X la variable aléatoire qui donne le poids en grammes des rations de viande. On suppose que X suit la loi normale N (120 ; 225). Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche. 1 ) Quel est le poids moyen d une ration de viande? 2 ) Quelle est la probabilité pour que le poids d une ration de viande soit compris entre 110g et 135 g? 3 ) Le 19 septembre, la cantine a servi 850 repas. A combien peut-on évaluer le nombre de rations de viande dont le poids dépassait 130 g? 1 ) X suit N (120 ; 225), on a donc E(X) = 120. Le poids moyen d une ration de viande est donc de 120g. 2 ) On cherche à calculer P( 110 X 135) Avant d utiliser la calculatrice, il faut commencer par trouver σ. En effet les paramètres de la loi normale sont μ et σ² mais la calculatrice travaille avec μ et σ. σ² = 225 donc σ = 15 3 ) On commence par calculer P(X > 130). A la calculatrice on peut directement faire : On peut aussi faire la transformation : P(X > 130) = 0,5 P( 120 < X < 130) En utilisant la symétrie de la Gaussienne par rapport à la droite d équation x = μ. On retrouve : Donc en arrondissant au millième, on trouve que sur 850 repas, on a 850 x 0, repas dont la ration de viande dépassait 130g. Se ramener à la loi normale centrée réduite Lorsque X suit la loi N (μ ; σ²), il peut être nécessaire de se ramener à la loi normale centrée réduite. En effet, par définition X suit N (μ ; σ²) signifie que T = X µ σ suit N (0 ; 1).

5 EXERCICE 3 : (Résoudre une équation avec une loi normale) La variable aléatoire X suit la loi normale N (μ ; σ²) avec μ = 90 et σ = 20. Les résultats seront arrondis au dixième le plus proche. 1 ) Déterminer le réel k 1 tel que P(X < k 1 ) = 0,98. 2 ) Déterminer le réel k 2 tel que P(X > k 2 ) = 0,6. 3 ) Déterminer un intervalle I de centre μ tel que P(X I) = 0,85. 1 ) Il suffit de faire le calcul directement avec la calculatrice : On trouve k 1 131,1 2 ) Il faut commencer par se ramener à une formule du type : P( X t) = c, afin de pouvoir utiliser la calculatrice. On a : P(X > k 2 ) = 1 P(X k 2 ) D où P(X > k 2 ) = 0,6 1 P(X k 2 ) = 0,6 P(X k 2 ) = 0,4 On trouve k 2 84,9 3 ) Parfois la calculatrice ne peut pas nous aider avec une loi normale de paramètres μ et σ² quelconques, il faut donc utiliser la définition afin de se ramener à une loi normale centrée réduite. Par définition X suit N (90 ; 20²) signifie que T = X µ X = 90 suit N (0 ;1). σ 20 On cherche un intervalle de centre μ, c'est-à-dire on cherche le réel positif h tel que : P( μ h X μ + h) = 0,85 P( μ h X μ + h ) = 0,85 P( 90 h X 90 + h) = 0,85 On en déduit : h h 90 X h 90 P = 0, h h P T = 0, Φ h - 1 = 0,85 20 Φ h = 0, ,44, d où h = 28,8 donc I = [ 90 28,8 ; ,8] = [ 61,2 ; 118,8 ] Représentation graphique de la densité de probabilité associée à une loi normale de moyenne μ et d écart type σ. On utilise la fonction Dans le cas d une loi normale quelconque : N ( μ ; σ²) on fait : (Dans l exemple choisi, on a μ = 50 et σ = 2) Attention à bien régler la fenêtre graphique, la courbe doit être symétrique par rapport à x = μ