a a 2j... a 2p... a a n2... a nj A=(a ij

Transcription

1 I Matrices : exemple et définition Voici les productions (en milliers) de deux usines de cycles appartenant à une même enseigne pour le premier semestre de l'année 2012 : Premier semestre 2012 VTT Adultes VTC BMX Vélos de course Usine 1 12,99 5,58 1,53 1,95 Usine 2 4,62 2,16 0,51 0,78 On peut représenter ces valeurs sous forme d'un tableau de nombres que l'on appelle matrice : 12,99 5,58 1,53 1,95 4,62 2,16 0,51 0,78 On désigne généralement une matrice par une lettre majuscule et on note a i j le nombre situé à l intersection de la i-ème ligne et de la j-ième colonne Par exemple, dans la matrice A ci dessus, a 11 = a 2 3 = a 14 = A est une matrice rectangulaire à 2 lignes et 4 colonnes Définition : Soit A une matrice à n lignes et p colonnes a11 a12 a1j a1p a 21 a 22 a 2j a 2p a A=( i1 a i2 a ij a ip a n1 a n2 a nj a np) Notation : on écrit la matrice A de manière plus condensée a i j est appelé terme général de la matrice A Cas particuliers : Soit A une matrice n p a 2 Si p = 1, A est une matrice colonne A= a1 n a A=(a ij ) 1 i n 1 j p Si n = 1, A est une matrice ligne A= a 1 a 2 a n - 1 -

2 Si n = p, A est une matrice carrée Les coefficients a ii sont appelés coefficients diagonaux La matrice n p dont tous les coefficients sont nuls s'appelle la matrice nulle, on la note A = 0 Exemples : La production de l'usine 1 pour le premier semestre peut être représentée par la matrice ligne M = (12,99 5,58 1,53 1,95) La production des VTT adultes dans les 2 usines peut être représentée par la matrice colonne N = 12,99 4,62 II Calcul matriciel 1 Égalité de matrices Propriété : Les matrices A= a ij et B= b ij de dimension n p sont égales si et seulement si a ij =b ij pour tous i, j 2 Addition Les productions (en milliers) de deux usines de cycles appartenant à une même enseigne pour le deuxième semestre de l'année 2012 : Deuxième semestre 2012 VTT Adultes VTC BMX Vélos de course Usine 1 11,79 4,38 1,29 1,59 Usine 2 3,78 2,4 0,51 0,66 On peut représenter ces données grâce à la matrice B = On note C la matrice représentant la production annuelle pour ces deux usines, C = A + B C = Propriété : Somme de deux matrices de même taille Si A= a ij et B= b ij sont deux matrices n p, on définit la somme A + B comme étant la matrice C= c ij de taille n p telle que c ij =a ij b ij pour tous i, j - 2 -

3 3 Multiplication d'une matrice par un réel On note D la matrice représentant la production moyenne par mois dans ces deux usines, D= 1 12 C D = Propriété : Multiplication par un réel Si A= a ij et λ R, on définit λa comme étant la matrice D= d ij telle que d ij =λa ij pour tous i, j Exercice : On considère les matrices : Calculer A= et B= A + B = 3A = 2B = 3A 2B = 4 Multiplication de deux matrices Une association de consommateurs compare les prix de cinq produits p 1, p 2, p 3, p 4 et p 5 distincts dans trois magasins différents Les observations fournissent les données suivantes : - 3 -

4 Prix des produits à l'unité en euros Produit p 1 Produit p 2 Produit p 3 Produit p 4 Produit p 4 Magasin Magasin 2 1,1 4,7 1,8 3,1 3,8 Magasin 3 0,9 5,1 1,9 3,2 4 On peut stocker les prix des produits sous la forme d'une matrice : A = Pour comparer la dépense d'une ménagère selon les magasins, on considère un «panier» indiquant pour chaque produit la quantité achetée Un panier est ainsi décrit par la donnée de 5 entiers, par exemple, 2, 1, 3, 3, 2 signifie que la ménagère a acheté deux produit de type 1, un de type 2, 3 de type 3, La panier de la ménagère peut donc être représenté sous la forme d'une matrice colonne Q = Le prix R d'un panier dans chacun des 3 magasins se calcule de la façon suivante : On peut traduire les relations précédentes par l'égalité matricielle suivante : ,1 4,7 1,8 3,1 3,8 3 0,9 5,1 1,9 3, r1 r 3 = 2 r Propriété : Multiplication de deux matrices Soit A= a ij de taille n p et B= b jk de taille p q, on définit le produit A B (aussi noté AB) comme étant la matrice C= c ik définie par c ik = p j=1 a ij b jk pour 1 i n et 1 k q - 4 -

5 Exercices : 1 Calculer A B= = Calculer B A Que remarque-t-on? 2 On donne les matrices : 4 1 0,1 A= ,2 et 6 2 0,1 Calculer les matrices AA' et A'A A '=

6 3 On donne les matrices : B= 1 et 2 1 Calculer BC Que peut-on remarquer? C= On considère les matrices : A= et Démontrer que A 2 3 A I =0 = I En remarquant que A = AI, vérifier que l'égalité précédente peut s'écrire I =A 1 2 A 3 2 I En déduire qu'il existe une matrice A' telle que A A' =I Remarques : Si A et B sont deux matrices : le produit n est défini que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B de manière générale, AB BA La multiplication matricielle n'est pas commutative la matrice notée A 1 vérifiant A A 1 =I est appelée l'inverse de A La matrice notée I, constituée de 1 sur la diagonale et de 0 partout ailleurs, est appelée matrice unité C'est l'élément neutre pour la multiplication - 6 -