Développer le calcul mental

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1 Développer le calcul mental MAI 2013

2 Participants au projet : Le présent projet a été possible grâce à la collaboration des personnes suivantes : Julie Cléroux, enseignante à l école secondaire Pierre- Brosseau, CSMV Geneviève Rousselle, enseignante à la polyvalente Chanoine- Armand- Racicot, CSDHR Jean- Luc D amour, enseignant à l école Ste- Madeleine, CSTL Sarah Larochelle, enseignante à l école Paul VI, CSP Èveline Labrie, enseignante à l école Bonnier, CSDGS Benoit Brosseau, conseiller pédagogique, CSMV Jean- François Michaud, conseiller pédagogique, CSDHR Isabelle Gendron, conseillère pédagogique, CSTL Christian Bourbeau, conseiller pédagogique, CSP Jean- François Blanchet, conseiller pédagogique, CSDGS 1

3 Introduction Les stratégies de calcul mental sont à la base de l apprentissage en mathématiques. Elles permettent aux élèves de calculer, d estimer ou de valider des opérations de façon efficiente. Au primaire, «Au fur et à mesure qu il développe son sens du nombre et des opérations, l élève sera appelé à construire des processus personnels et à utiliser des processus conventionnels pour effectuer diverses opérations Il apprendra aussi, à partir de ces processus et des propriétés des opérations, à faire des approximations de résultats et à déterminer des résultats exacts, mentalement ou par écrit.» (progression des apprentissages au primaire p.11). Au secondaire, le programme de formation de l école québécoise du premier cycle inclut aussi le calcul mental parmi les processus à utiliser afin de développer le sens du nombre. Les progressions des apprentissages au primaire et au secondaire font référence aux stratégies de calcul mental sans toutefois les décrire. Nous ne disposons donc d aucun continuum de développement de stratégies de calcul mental. Dans ce document, vous trouverez des outils permettant aux enseignants de guider leurs élèves dans le développement de stratégies de calcul mental, et ce, principalement au deuxième cycle et au troisième cycle du primaire ainsi qu au premier cycle du secondaire. Voici quelques définitions qui vous permettront de distinguer différents types de calculs mobilisés par les élèves : Calcul posé : Calcul effectué par écrit à l'aide d'un algorithme, toujours le même quels que soient les nombres en jeu. Calcul réfléchi : Calcul qui met en œuvre des procédures mentales personnelles, différentes du calcul posé. Calcul automatisé : Mémorisation de résultats de base comme les tables de multiplication, les complémentaires, etc (répertoire mémorisé). Calcul mental : Processus de calcul qui englobe le calcul réfléchi et le calcul automatisé. Calcul instrumenté : Calcul effectué avec l'aide de la technologie (calculatrice, ordinateur, etc.) Le présent ouvrage se concentrera sur le développement du calcul réfléchi, en tenant pour acquis que les élèves possèdent une base suffisante de calcul automatisé. 2

4 Pourquoi est- il important de développer ses compétences en calcul mental? Dans le cadre de notre travail, de nos loisirs, des transactions que nous effectuons et d autres situations de la vie de tous les jours, nous avons des calculs ou des estimations à effectuer. Le calcul mental devient alors un avantage de taille. En plus de nous permettre de gagner en rapidité, il nous affranchi du recours obligé à la calculatrice ou au papier- crayon qui ne sont pas toujours disponibles à portée de main. Selon Butlen et al (2000), «le calcul mental permet d enrichir les conceptions numériques des élèves. D autre part, plusieurs de nos recherches ont montré qu une pratique régulière de calcul mental peut aider à la résolution de problèmes numériques.» De plus, «une pratique régulière de calcul mental libère de l espace mental pour résoudre des problèmes. Elle permet d accroître les capacités d initiative des élèves : ceux- ci, en faisant des essais, peuvent explorer rapidement différentes voies de résolution d un problème.» Le calcul mental permet aussi de développer le sens du nombre et des opérations et offre de belles occasions de voir l'utilité des propriétés des opérations (commutativité, distributivité et associativité). Selon le document Calcul mental, mathématiques- secondaire 1 produit par Éducation, Citoyenneté et Jeunesse Manitoba, 2004 p. XI (ECJM), «Les capacités de calcul mental sont au cœur de la numératie. Les résultats de la recherche suggèrent qu'il existe des liens entre le calcul mental et le sens du nombre, particulièrement les propriétés des nombres de base, la valeur de position, l'estimation et les opérations mathématiques». ECJM ajoute que «Ne connaissant pas bien les techniques du calcul mental, les élèves ont souvent tendance à utiliser des algorithmes typiquement reliés au calcul écrit. Or, ceux- ci sont souvent peu efficaces pour le calcul mental.» Comment développer le calcul mental en classe? «Le calcul mental exige une attention constante et ne peut pas se faire d'une manière mécanique, comme c'est souvent le cas dans le calcul écrit. [ ] C'est pourquoi les exercices de calcul mental devraient être fréquents et courts. Ils devraient être fréquents, vu leur grande utilité. Ils devraient être courts, à cause qu'ils exigent une attention soutenue.» (Éducation, Citoyenneté et Jeunesse Manitoba, 2004, p. X) 3

5 Lorsque l élève effectue du calcul mental, il choisit une procédure plutôt qu une autre dans un souci d économie tenant compte de sa pratique et de sa familiarisation avec certains algorithmes. Comme les élèves utilisent des procédures personnelles, il est alors intéressant de comparer celles- ci lors de «séances de réflexion et de discussion. Durant ces sessions, l'enseignant devrait inciter les élèves : à présenter les diverses bonnes réponses possibles au même problème; à expliquer les différentes méthodes utilisées pour arriver à la bonne réponse; à présenter les stratégies qui n'ont pas fonctionnées et à expliquer pourquoi.» (Éducation, Citoyenneté et Jeunesse Manitoba, 2004, p. XIII) Généralement, les exercices de calcul mental ne font pas l'objet d'une évaluation et ne sont pas utilisés pour déterminer la note des élèves au cours de mathématiques. Les exercices de calcul mental devraient se faire dans un climat de classe où les élèves se sentent à l'aise de prendre des risques sans avoir peur d'être pénalisés lorsqu'ils font des erreurs. L emphase doit être mise sur le processus (comprendre comment on l a trouvé) plutôt que sur la réponse. En cours d apprentissage, il faut éviter de mettre l'accent sur la rapidité des calculs. C est avec le temps et la pratique que l élève sera en mesure d améliorer son efficacité face à ces différentes stratégies. Il serait par ailleurs intéressant que l élève soit en mesure d évaluer sa progression dans la maitrise des stratégies expérimentées. Suite aux expérimentations vécues en classe, voici trois phases que nous jugeons incontournables dans l acquisition de stratégies de calcul mental : 1 La découverte par l exploration et par l explicitation des différentes stratégies; 2 L appropriation des stratégies jugées les plus efficaces par les élèves; 3 L entraînement afin d augmenter l efficacité. Il est important de ne pas présenter les stratégies de calcul mental comme des «trucs» à mémoriser. Il faut offrir l occasion aux élèves de construire leurs propres stratégies et de s enrichir de celles de ses pairs et/ou de celles présentées par l enseignant. L enseignement des stratégies de calcul mental sera facilité si les élèves ont acquis le sens des opérations à l aide de matériel de manipulation. L enseignant pourra alors faire référence à ce matériel afin de donner du sens aux stratégies de calcul mental. Lorsque la complexité des calculs devient plus importante, le recours à l algorithme conventionnel prend alors tout son sens. 4

6 Comme certains élèves éprouvent de la difficulté à choisir une stratégie plutôt qu'une autre face à un exemple donné, il est important d'insister sur les conditions qui font en sorte qu'une stratégie est plus efficiente (efficace et économique) qu'une autre. Vous retrouverez aux pages suivantes une progression des stratégies de calcul mental échelonnée du primaire au secondaire ainsi qu un continuum de développement. De plus, un répertoire de stratégies que nous avons jugées plus pertinentes d utiliser avec des élèves vous est présenté. Ces dernières portent sur les 4 opérations de plusieurs ensembles de nombres. Progression des stratégies de calcul mental (primaire-secondaire) PRIMAIRE SECONDAIRE L élève apprend à le faire avec l intervention de l enseignante ou de l enseignant. L élève le fait par lui-même à la fin de l année scolaire. 2 e cycle 3 e cycle 1er cycle L élève réutilise cette connaissance 3e 4e 5e 6e 1re 2e 1. Stratégies de calcul mental avec des nombres entiers naturels (voir continuum) 2. Stratégies de calcul mental avec des fractions (addition et soustraction dont un des dénominateurs est un multiple de l autre) 3. Stratégies de calcul mental avec des fractions (multiplication et division) 4. Stratégies de calcul mental avec des nombres entiers relatifs 5. Stratégies de calcul mental avec des nombres décimaux (addition, soustraction, multiplication d un nombre décimal par un entier naturel et division d un nombre décimal par un entier naturel) 6. Stratégies de calcul mental avec des nombres décimaux (multiplication et division de nombres décimaux) 7. Stratégies de calcul mental avec des pourcentages 5

7 CONTINUUM DE DÉVELOPPEMENT DU CALCUL MENTAL LES NOMBRES NATURELS LES NOMBRES DÉCIMAUX Note : La division au primaire est une division par un nombre naturel inférieur à 10. LES FRACTIONS 6

8 LES NOMBRES ENTIERS RELATIFS LES POURCENTAGES Note : Le pourcentage d'un nombre au primaire est travaillé seulement avec des pourcentages remarquables (ex : 10%, 25%, etc.) Les affiches qui suivent pourraient faire l objet d un enseignement explicite, mais devraient plutôt palier à un manque de diversité ou simplement permettre de nommer les processus personnels développés par les élèves. 7

9 EN RÉSUMÉ LES EXERCICES DE CALCUL MENTAL DEVRAIENT : ÊTRE FRÉQUENTS ET COURTS FAVORISER LA MISE EN COMMUN DES STRATÉGIES PERMETTRE AUX ÉLÈVES DE COMPARER LEURS STRATÉGIES SE FAIRE AUX RYTHMES DES ÉLÈVES EN COURS D APPRENTISSAGE ÉVITER DE METTRE L EMPHASE SUR LA RAPIDITÉ ÊTRE ÉVALUÉES DE FAÇON FORMATIVE SE FAIRE PAR ÉCRIT AU DÉPART FAIRE PARTIE DU QUOTIDIEN (SAISIR LES OCCASIONS PLUTÔT QUE LES CRÉER) 8

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11 Addition (Nombres naturels) Compléter et réajuster Additionner les parties Additionner par la gauche Faire le pont à la dizaine Additionner par bonds Créer des nombres compatibles = = = =

12 Soustraction (Nombres naturels) Soustraire les parties Soustraire par la gauche Créer des nombres compatibles Soustraire par bonds Compléter et réajuster Faire le pont à la dizaine Équilibrer les deux termes

13 Multiplication (nombres naturels) Distributivité (somme) (10 + 3) 21 (10 21) + (3 21) (20 + 1) (13 20) + (13 1) Distributivité (différence) (20 1) (26 20) (26 1) Distributivité (partir d un résultat connu) Par multiplications successives Multiplier par la gauche (12 + 1) (12 12) + (12 1) =? = = =

14 Multiplication (nombres naturels) Multiplier par 5 : 5 est la moitié de Multiplier par 25 : 25 est le quart de Couper et coller les zéros =? 12 5 et 3 zéros 60 et 3 zéros

15 Division (Nombres naturels) Diviser les parties (800 8) + (40 8) Diviser le dividende et le diviseur par le même facteur (équivalent à simplifier des fractions) Diviser par divisions successives Couper et coller les zéros ((840 2) 2) 2 (420 2) centaines 6 4 centaines Diviser par un diviseur remarquable

16 15

17 Addition (Fractions décimales et nombres décimaux) Additionner par la gauche Additionner les parties 25,6 + 13, = = = ,3 25,6 + 13, ,3 6, , = = = ,967 25,6 + 13,7 25, ,7 38,6 + 0,7 39,3 Multiplier par 10, 100, 1000 puis diviser par 10, 100, 1000 Compléter à l entier le plus près et réajuster 1,7 + 2,2 1,7 10 2, = ,9 4,74 + 1,37 4,74 + 1,26 + 0, ,11 6,11 4,74 + 1,37 4,75 0,1 + 1,25 + 0,12 4,75 + 1,25 0,1 + 0, ,11 6,11 Créer des nombres compatibles 16,65 + 2,99 16, ,01 19,64 16, ,989 16, ,011 18,449 16

18 Soustraction (Fractions décimales et nombres décimaux) Soustraire par la gauche 3,8 2,5 3 2 = = = = 1,3 3,39 2, = 1 0,30 0,50 = 0,20 0,09 0,04 = 0,05 1 0,20 + 0,05 = 0,85 Soustraire les parties 3,5 2, = = 0, ,89 2,54 3,89 2 0,50 0,04 1,89 0,50 0,04 1,39 0,04 1,35 Compléter Compléter à l entier le plus près et réajuster 20 14,35 14,35 +? = 20 14,35 + 0,65 = = 20 0, = 5,65 12,99 8, ,01 8, , ,46 5 0,46 4,54 7,6 2,8 2,8 +? = 7,6 2,8 + 0,2 = = ,6 = 7,6 0, ,6 = 4,8 18,761 3,998 18, ,002 14, ,002 14,763 Créer des nombres compatibles 4,37 1, , = 4,37 1,49 4,37 1,37 0,12 3 0,12 2,88 17

19 Multiplication (Fractions décimales et nombres décimaux) Transformer en fraction décimale ou réduite Transformer en nombre naturels et replacer la virgule 0,9 x 1, ,08 0,9 x 1,2 (2 chiffres) 9 x ,08 (2 chiffres) 2,96 0,5 1 2,96 2 2,96 2 1,48 Distributivité (somme) Distributivité (différence) Distributivité (partir d un résultat connu) 4,2 0,21 4,2 x (0,2 + 0,01) = ,882 2,96 7 (3 0,04) 7 (3 7) (0,04 7) 21 0,28 20, ,27 12 (0,25 + 0,02) ,24 3,24 4,2 0,21 4,2 (0,2 + 0,01) (4,2 0,2) + (4,2 0,01) 0,84 + 0,042 0,882 3,9 1,2 (4 0,1) 1,2 (4 1,2) (0,1 1,2) = ,68 18

20 Division (Fractions décimales et nombres décimaux) Multiplier le dividende et le diviseur par le même facteur ,6 0, , Diviser par un nombre décimal remarquable (0,01; 0,05; 0,1; 0,125; 0,2; 0,25; 0,3; 0,5; 0,75; 0,8) 1,5 0,01 1, , ,5 0,125 1,5 0,05 1, , ,2 0,2 1,5 0,1 1, , ,5 0,25 Exemple de verbalisation Pour diviser un nombre par 0,5, il suffit de le multiplier par 2. 1,5 0,333 1, , ,5 0,5 1, , ,5 0,75 1, , ,2 0,8 1, ,5 3 4,5 1, , , , ,5 4 = 2 1, , ,3 5 = 1,5 Diviser les parties 4, = 2 0,6 2 = 0, ,3 = 2,3 19

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22 Nombres entiers relatifs Les stratégies de calcul mental pour les nombres entiers relatifs sont les mêmes que pour les nombres naturels. Cependant, avant de référer aux différentes stratégies, l emphase doit absolument être mise sur la compréhension du sens des opérations avec les nombres entiers relatifs. À cette fin, nous vous proposons différents modèles qui, nous l espérons, permettra aux élèves de mieux s approprier le sens des opérations pour les entiers relatifs : Addition et soustraction : Méthode des jetons (vidéo de Gilles Jobin : «Les jobinneries»); Méthode de la droite numérique ou du thermomètre. Multiplication et division : Méthode des gains et des pertes; Méthode de l opposé; Méthode des réservoirs. Fractions Pour l addition et la soustraction de deux fractions, l algorithme conventionnel s avers le processus le plus efficace. Le calcul mental est à privilégier lorsque le dénominateur d une fraction est un multiple du dénominateur de l'autre et que l on demeure dans des cas simples. Lorsque nous sommes en présence d addition et de soustraction de nombres entiers fractionnaires, les stratégies suivantes peuvent être transférées avec les élèves. 21

23 Addition (Fractions) Additionner les parties = = = Créer des fractions compatibles pour faire le pont à l'entier = = =

24 Soustraction (Fractions) = 3 Soustraire les parties = Créer des fractions compatibles pour faire le pont à l'entier

25 Multiplication et division (Fractions) Pour la multiplication et la division de deux fractions, l algorithme conventionnel s avers le processus le plus efficace. Cependant, dans les cas où on multiplie ou divise par une fraction remarquable telles que ½, ¼, etc. il serait intéressant de faire remarquer à l élève qu il n a qu à diviser ou multiplier par l inverse soit 2, 4, etc. Diviser par une fraction remarquable Lorsque nous sommes en présence de nombres entiers fractionnaires, il pourrait être intéressant de transférer les stratégies utilisant la distributivité Distributivité 3 ( ) 3 x

26 25

27 Pourcentages Pour calculer 100 % d une quantité, il suffit de prendre cette quantité 100 % de 34 = 34 Pour calculer 1 % d une quantité, il suffit de diviser cette quantité par 100 1% =!!"" 1 % de 695 = = 6,95 Pour calculer 50 % d une quantité, il suffit de prendre la moitié de cette quantité. 50% =!! 50 % de 34,5 = la moitié de 34,5 = 34,5 2 = 17,25 Pour calculer 25 % d une quantité, il suffit de prendre le quart de cette quantité 25% =!! 25 % de 56 = le quart de 56 = 56 4 = 56 4 = 14 Pour calculer 75 % d une quantité, il suffit de tripler les 25 % de cette quantité, soit tripler le quart de cette quantité. 75% = 3 x 25% =!! 75 % de 48 = le triple de 25 % de 48 = le triple du quart de 48 = le triple de 48 4 = le triple de 12 = 3 12 =36 26

28 Pourcentages Pour calculer 33! % d une quantité, il! suffit de prendre le tiers de cette quantité 33!! % = 33,3 % =!! 33 1 % de 21,3 3 = le tiers de 21,3 = 21,3 3 = 7,1 Pour calculer 66! % d une quantité, il! suffit de doubler le tiers de cette quantité 66!! % = 2 x 33!! % =!! 66! % de 21,3! = 2 fois le tiers de 21,3 = 2 x 21,3 3 = 2 x 7,1 = 14,2 Pour calculer 10 % d une quantité, il suffit de diviser cette quantité par 10 10% =!!" Pour calculer 5 % d une quantité, il suffit de prendre la moitié de 10 % de cette quantité 5% est la moitié de 10%. 10 % de 695 = = 69,5 5 % de 340 = la moitié de 10 % de 340 = la moitié de 34 = 34 2 = 17 Pour calculer 15 % d une quantité, il suffit de prendre 10 % de cette quantité et 5 % de cette quantité 15% = 10% + 5% 15 % de 23 = 10 % de % de 23 = 2,30 + 2,30 2 = 2,30 + 1,15 = 3,45 27

29 Pourcentages Pour calculer 20 % d une quantité, il suffit de doubler les 10 % de cette quantité 20% = 2 x 10% 20 % de 420 = le double de 10 % de 420 = le double de 42 = 84 Pour calculer un %, décomposer le % donné en un % clé qui facilite les calculs 30 % de 400 = 3 10 % de 400 = 3 40 = % de 340 = 100 % de % de 340 = = % de 800 = 25 % de % de 800 = = = 208 Pour calculer un %, on peut utiliser la propriété suivante : a % de b = b % de a Commutativité de la multiplication 32 % de 25 = 25 % de 32 = 32 4 = 8 28

30 CONCLUSION : Tel que mentionné dans nos intentions de départ, nous avons été en mesure de constater que les stratégies de calcul mental sont très peu connues et enseignées par les enseignants. Nous savions que le calcul mental est à la base de l apprentissage des mathématiques mais ce projet nous a permis de constater à quel point celui- ci vient consolider le sens du nombre et des opérations. Nous sommes même en mesure d affirmer que le calcul mental devrait se développer de lui- même à travers diverses activités permettant la création de processus personnels des élèves dans l apprentissage du sens des opérations. L enseignement précoce d algorithmes peut nuire au développement des processus de calcul mental des élèves. Pour cette raison le calcul mental devrait précéder l enseignement d algorithmes. Comme mentionné précédemment à la page 7, les affiches qui ont été produites peuvent faire l objet d un enseignement explicite, mais devraient plutôt palier à un manque de diversité ou simplement permettre de nommer les processus personnels développés par les élèves. Le temps consacré à ce projet nous a permis de produire un répertoire de stratégies destiné aux enseignants, mais aussi d accompagner ceux- ci en classe avec les élèves dans la découverte et l appropriation de ces stratégies. Cette expérimentation nous a permis de constater la puissance d une telle pratique sur la compétence et la fluidité des élèves en calcul mental, et ce, à très court terme. 29

31 Bibliographie : Butlen, D et al (2000). Calcul mental et résolution de problèmes numériques au début du Collège, REPERES - IREM. N 41 - octobre 2000, télé- accessible au irem.fr/commissions/reperes/consulter/41butlen.pdf Daoui, A et al (2004). Calcul mental mathématiques secondaire 1. Éducation, Citoyenneté et Jeunesse Manitoba. Télé- accessible au Fontaine E, Acquérir des compétences en calcul mental grâce au jeu. Académie de Caen. Télé- accessible au EXEMPLES DE SITES INTERNETS PERTINENTS POUR L EXERCICE DU CALCUL MENTAL : fr.net/game/725/jeu- de- calcul- mental- gratuit- calculations.html add.html lille.fr/calculatice/spip.php?rubrique lille.fr/calculatice/serveur/main.php?init= fiche tuxmath.html 14 aventure.aspx Autres ouvrages intéressants: La collection Calcul en tête de Jack A. Hope, Barbara J. Reys, Robert E. Reys, Chenelière éducation 30

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33 Addition Additionner les parties Compléter et réajuster Additionner par la gauche = = = = 375 Ta stratégie 32

34 Soustraction Soustraire les parties Soustraire par la gauche Créer des nombres compatibles Ta stratégie Bibliographie 33

35 Multiplication Distributivité (12 10) + (12 3) Multiplications successives est la moitié de Ta stratégie. 34

36 Division Diviser les parties ( ) 8 (800 8) + (40 8) Diviser le dividende et le diviseur par le même facteur (simplifier des fractions) Couper et coller les zéros centaines 6 4 centaines Diviser par un diviseur remarquable Ta stratégie