Probabilités. 1 Mots clés - Notations - Formules Vocabulaire Notations Formules... 5

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1 Probabilités Table des matières 1 Mots clés - Notations - Formules Vocabulaire Notations Formules q.c.m préliminaire énoncé énoncé réponses petite évaluation loi des grands nombres activité à retenir probabilité activité corrigé activité à retenir exercices corrigés exercices probabilités et opérations sur les événements activité activité activité activité activité 4 : tables de vérité corrigé activité corrigé activité corrigé activité corrigé activité à retenir exercices corrigés exercices probabilités et expériences aléatoires composées activité activité activité activité activité corrigé activité à retenir exercices corrigés exercices

2 7 exercices 50 8 devoir maison corrigé devoir maison corrigé devoir maison évaluations évaluation corrigé évaluation révision 61

3 1 Mots clés - Notations - Formules 1.1 Vocabulaire Il faut connaître la signification des mots ou expressions suivantes : 1. une expérience aléatoire 2. l univers d une expérience aléatoire 3. les issues d une expérience aléatoire 4. les événements élémentaires d une expérience aléatoire 5. les événements éventualités d une expérience aléatoire 6. probabilité d un événement élémentaire 7. probabilité d un événement quelconque 8. cas de l équiprobabilité 9. événement favorable 10. sous ensemble d un ensemble 11. sous ensemble inclu dans un ensemble 12. événement contraire d un événement 13. intersection d événements 14. ensembles disjoints 15. événement incompatibles 16. événement impossible 17. événement certain 18. réunion d événements 19. expérience aléatoire composée 20. arbre de dénombrement

4 1.2 Notations Il faut connaître la signification des notations mathématiques suivantes : 1. p 2. p(a) 3. p(x i ) 4. U 5. Ω 6. x i Ω 7. A Ω 8. A B 9. A B 10. A 11.

5 1.3 Formules Il faut connaître par coeur les résultats suivants : 1. U = {x 1 ;x 2 ;...;x n } Une probabilité p définie sur U est une fonction de U vers [0;1] qui à chaque x i associe un nombre p(x i ) compris entre 0 et 1 et telle que : p(x 1 )+p(x 2 )+...+p(x n ) = 1 (la somme des probabilités des issues vaut 1) 2. Soit un l univers U = {x 1 ;x 2 ;...;x n } sur lequel est défini une probabilité p Soit A une partie de U Si A est constituée des issues x i1 ;...;x ik (A = {x i1 ;...;x ik }) alors la probabilité de A est le nombre noté p(a) avec : p(a) = p(x i1 )+...+p(x ik ) (p(a) est la somme des issues qui constituent A) Si A = alors p(a) = 0 on dit que A est un événement "impossible" si p(a) = 1 on dit que A est un événement "certain" 3. Soit l univers U = {x 1 ;x 2 ;...;x n } constitué de n > 0 issues et p une probabilité (1) Si p(x 1 ) = p(x 2 ) =... = p(x n ) = 1 alors on dit qu il y a "équiprobabilité" n (toutes les éventualités ont la même probabilité) (2) Soit A une partie de U constituée des k événements élémentaires x i1 ;...;x ik S il y a équiprobabilité alors p(a) = k n ou encore nombre de cas favorables pour A p(a) = nombre de cas au total 4. Soit un univers U = {x 1 ; x 2 ;...; x n } Soient A U un sous ensemble de U Soient B U un sous ensemble de U (1) pour A le contraire de A on a : p(a) = 1 p(a) (2) pour A B la réunion de A et B on a : p(a B) = p(a)+p(b) p(a B) (3) si A B = (A et B incompatibles) on a : p(a B) = p(a)+p(b)

6 2 q.c.m préliminaire 2.1 énoncé 1

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9 2.2 énoncé 2 Questionnaire de probabilités 1. On joue à "pile ou face" avec une pièce de monnaie équilibrée Quelle est la probabilité de faire "Pile"? 2. On lance un dé usuel équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6 Quelle est la probabilité de faire 1 point? 3. On dispose d un dé non équilibré pour lequel on a les informations suivantes résultat total probabilité 0, 1 0, 05 0, 2 0, 3 0, 02 0, 6 1 On lance ce dé, quelle est la probabilité d obtenir un score "Pair"? 4. On choisit une carte dans un jeu usuel de 32 cartes (8coeurs, 8 carreaux, 8 trèfles, 8 piques) (4 rois, 4 reines,... ) (16 rouges, 16 noires) (a) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Roi"? (b) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Coeur"? (c) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Roi et Coeur "? (d) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Roi ou Coeur "? (e) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Non Roi "? 5. On dispose du tableau suivant concernant une classe On choisit au hasard un élève de cette classe Garçon Fille Total Gauchers Droitiers total (a) Quelle est la probabilité que l élève soit "Fille"? (b) Quelle est la probabilité que l élève soit "Droitier"?

10 (c) Quelle est la probabilité que l élève soit "Fille ET Droitier "? (d) Quelle est la probabilité que l élève soit "Fille OU Droitier "? (e) On choisit au hasard un élève de cette classe parmi les Gauchers Quelle est la probabilité que l élève soit "Fille"? (f) On choisit au hasard un élève de cette classe parmi les Filles Quelle est la probabilité que l élève soit "Gaucher"? 6. Une urne contient 2 billes vertes et 1 bille rouge (V1, V2 et R1) On choisit une bille au hasard, ON LA REMET dans l urne, On choisit à nouveau une bille dans l urne (a) Quelle est la probabilité d obtenir "2 billes vertes"? (b) Quelle est la probabilité d obtenir "2 billes rouges "? 7. Une urne contient 2 billes vertes et 1 bille rouge (V1, V2 et R1) On choisit une bille au hasard, ON NE LA REMET PAS dans l urne, On choisit à nouveau une bille dans l urne (a) Quelle est la probabilité d obtenir "2 billes vertes"? (b) Quelle est la probabilité d obtenir "2 billes rouges "? 8. On lance deux fois de suite un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6 Quelle est la probabilité d obtenir un "double 6"?

11 2.3 réponses question résultat méthode 1 p(pile) = 1 nombre de cas f avorables 2 nombre de cas total 2 p(1) = 1 nombre de cas f avorables 6 nombre de cas total 3 p(2) = 1 nombre de cas f avorables 6 nombre de cas total 4 p(pair) = p(2)+p(4)+p(6) = 0,95 somme des probabilités des cas f avorables 5 p(roi) = 4 nombre de cas f avorables 32 nombre de cas total 6 p(coeur) = 8 nombre de cas f avorables 32 nombre de cas total 7 p(roi et coeur) = 1 nombre de cas f avorables 32 nombre de cas total 8 p(roi ou coeur) = = 11 p(a B) = p(a)+p(b) p(a B) 32 9 p(roi) = = = 28 p(a = 1 p(a) p(fille) = 17 nombre de cas f avorables 30 nombre de cas total 11 p(droitier) = 25 nombre de cas f avorables 30 nombre de cas total 12 p(filleetdroitier) = 15 nombre de cas f avorables 30 nombre de cas total 13 p(filleoudroitier) = = 27 p(a B) = p(a)+p(b) p(a B) p Gaucher (Fille) = 2 nombre de cas f avorables 5 nombre de cas total 15 p Fille (Gaucher) = 2 nombre de cas f avorables 17 nombre de cas total 16 p(2 vertes) = 4 nombre de cas favorables 9 arbre1 et nombre de cas total 17 p(2 rouges) = 1 nombre de cas favorables arbre1 et 9 nombre de cas total 18 p(2 vertes) = 2 nombre de cas favorables arbre2 et 6 nombre de cas total nombre de cas favorables 19 p(2 rouges) = 0 arbre2 et nombre de cas total 20 p(2 six) = 1 nombre de cas favorables arbre3 et 36 nombre de cas total arbre 3 arbre 1 V1 V2 R1 V1 V2 R1 V1 V2 R1 V1 V2 R1 V1V1 V1V2 V1R1 V2V1 V2V2 V2R1 R1V1 R1V2 R1R1 4 cas pour 2 vertes 9 cas au total 1 cas pour 2 rouges arbre 2 V1 V2 R1 V2 R1 V1 R1 V1 V2 V1V2 V1R1 V2V1 V2R1 R1V1 R1V2 2 cas pour 2 vertes 6 cas au total 0 cas pour 2 rouges = 36 cas au total cas pour 2 six

12 2.4 petite évaluation

13 petite évaluation de probabilités 1. On joue à "pile ou face" avec une pièce de monnaie équilibrée Quelle est la probabilité de faire "Pile"? 2. On joue à "pile ou face" avec une pièce de monnaie non équilibrée avec laquelle la probabilité de faire "pile" est de 20% Quelle est la probabilité de faire "Face"? 3. On lance un dé usuel équilibré à 8 faces numérotées de 1 à 8 Quelle est la probabilité de faire 1 point? 4. On dispose d un dé non équilibré pour lequel on a les informations suivantes résultat total probabilité 0, 05 0, 1 0, 2 0, 3 0, 6 0, 02 1 On lance ce dé, quelle est la probabilité d obtenir un score "Pair"? 5. On choisit une carte dans un jeu usuel de 32 cartes (8coeurs, 8 carreaux, 8 trèfles, 8 piques) (4 rois, 4 reines,... ) (16 rouges, 16 noires) (a) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Reine"? (b) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Rouge"? (c) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Reine et Rouge "? (d) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Reine ou Rouge"? (e) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Non Carreau "?

14 6. On dispose du tableau suivant concernant une classe Garçon Fille Total Gauchers On choisit au hasard un élève de cette classe Droitiers total (a) Quelle est la probabilité que l élève soit "Garçon"? (b) Quelle est la probabilité que l élève soit "Gaucher"? (c) Quelle est la probabilité que l élève soit "Garçon ET Gaucher"? (d) Quelle est la probabilité que l élève soit "Garçon OU Gaucher"? (e) On choisit au hasard un élève de cette classe parmi les Droitier Quelle est la probabilité que l élève soit "Garçon"? (f) On choisit au hasard un élève de cette classe parmi les Garçon Quelle est la probabilité que l élève soit "Droitier"? 7. Une urne contient 1 bille Blanche et 2 bille Noire (B1, N1 et N2) On choisit une bille au hasard, ON LA REMET dans l urne, On choisit à nouveau une bille dans l urne (a) faire un arbre au verso (b) Quelle est la probabilité d obtenir "2 billes blanches"? (c) Quelle est la probabilité d obtenir "1 bille blanche "? 8. Une urne contient 1 bille Blanche et 2 bille Noire (B1, N1 et N2) On choisit une bille au hasard, ON NE LA REMET PAS dans l urne, On choisit à nouveau une bille dans l urne (a) faire un arbre au verso (b) Quelle est la probabilité d obtenir "2 billes blanches"? (c) Quelle est la probabilité d obtenir "1 bille blanche "? 9. On lance deux fois de suite un dé équilibré à 8 faces numérotées de 1 à 8 Quelle est la probabilité d obtenir un "double 8"?

15 3 loi des grands nombres 3.1 activité

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17 3.2 à retenir définition 1 : (expérience aléatoire et univers) { on connaît tous les résultats qui peuvent arriver (1) Une expérience est aléatoire si : on ne connaît pas le résultat qui va arriver (2) L ensemble U des "résultats" possibles est appelé "l univers" de l expérience aléatoire Exemples : a. lancer d une pièce : U = {P;F} b. lancer d une dé à six faces : U = {1;2;3;4;5;6} c. choix d une carte dans un jeu usuel de 32 cartes : U = {as de coeur;...;7 de pique} d. jouer au loto (7 nombres différents de 1 à 49) : U = {(1;2;3;4;5;6;7);(1;2;3;4;5;6;8);...;(43;44;45;46;47;48;49)} Remarques : a. chaque résultat est aussi appelé "issue", "événement élémentaire" ou "éventualité" b. l univers est aussi noté Ω (grand oméga) c. à notre niveau, l univers U aura toujours un nombre n entier et fini d éléments on pourra alors noter U = {x 1 ;x 2 ;...;x n } propriété 1 : (loi des grands nombres) Etant donnée une expérience aléatoire d univers U = {x 1 ;x 2 ;...x n } On répète k fois cette expérience aléatoire Soit f k (x i ) la proportion de fois où l on obtient le résultat x i U parmi les k expériences c est à dire : f k (x i ) = nombre de fois où on obtient x i nombre d expériences Quel que soit x i U : (1) plus f k (x i ) se rapproche d une certaine valeur p i plus k est grand et (2) plus les "fluctuations" des valeurs de f k (x i ) sont petites Remarques : a. Plus on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois et plus la fréquence d apparition du résultat auquel on s intéresse se rapproche d une certaine valeur Exemples : a. pièce équilibrée : f k (P) se rapproche de 0,5 = 50% quand k grandit b. dé à six faces équilibré : f k (1) se rapproche de 1 16,7% quand k grandit 6 c. jeu de 32 cartes : f k (Roi) se rapproche de 4 12,5% quand k grandit 32

18 4 probabilité 4.1 activité g f activité 1 h e 1. le jeu consiste à faire tourner cette roue équilibrée qui se stabilise sur un des 12 petits secteurs i 1 5 d (a) donner l univers U des résultats possibles (b) donner la valeur de la probabilité de chacun des résultats possibles (p(a) =...) (c) on reçoit le nombre R d euros indiqué selon le grand secteur i. donner la probabilité p(r = 5) de recevoir 5 euros puis p(r = 1) et p(r = 2) ii. déterminer les probabilités p(r 2) et p(r < 2) et interpréter les résultats 2. on fait tourner deux fois la roue qui se stabilise consécutivement sur deux petits secteurs (a) combien y a t-il de résultats possibles? (penser à un arbre de dénombrement) (b) combien y a t-il de cas où l on reçoit 10 euros au total? (c) en déduire la probabilité de recevoir 10 euros au total (d) quelle est la probabilité de recevoir 2 euros au total? (e) quelle est la probabilité de recevoir 4 euros au total? 3. en fait, pour jouer à ce jeu (1 lancer de roue), il faut payer au préalable la somme de 2 euros, le "gain" du jeu est alors X = R 2 ( par exemple : X = 5 2 = 3) (a) compléter le tableau suivant somme reçu : R 5 total gain du jeu : X 3 total probabilité j k l 2 a b c (b) quelle est la probabilité p(x > 0) de gagner de l argent à ce jeu? (c) quelle est la probabilité p(x < 0) de perdre de l argent? (d) calculer le gain moyen de faisant la moyenne des gains avec pour coefficients les probabilités (e) ce jeu est-il à l avantage du joueur ou de l organisateur? 4. dans le cas où l on fait tourner la roue 2 fois de suite (a) quelle est la probabilité d avoir un gain total nul (b) quelle est la probabilité d avoir un gain total strictement négatif? activité 2 pour ce dé à 6 faces non équilibré : résultat : X total probabilité 0, 1 0, 1 0, 2 0, 3 0, 25 0, 05 1 calculer : i. p(xpair) ii. p(x 3) iii. p(x < 3)

19 4.2 corrigé activité g f corrigé activité 1 h e 1. le jeu consiste à faire tourner cette roue équilibrée qui se stabilise sur un des 12 petits secteurs i 1 5 d (a) U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l} (b) p(a) = p(b) = p(c) =... = p(k) = p(l) = (c) on reçoit le nombre R d euros indiqué selon le grand secteur i. p(r = 5) = 3 12 = 1 p(r = 1) = = 1 p(r = 2) = ii. p(r 2) = 8 12 = 2 la probabilité de gagner au moins 2 euros est de 67% 3 p(r < 2) = p(r = 1) = 1 3 la probabilité de gagner strictement moins de 2 euros est de 33% 2. on fait tourner deux fois la roue qui se stabilise consécutivement sur deux petits secteurs (a) il y a = 144 résultats possibles (voir l arbre partiel ci dessous) a b c d(5) e(5) f(5) b c g d(5) h i e(5) j a f(5) k g l h i j k l (b) nombre de cas où l on reçoit 10 euros (5 puis 5) au total : 3 3 = 9 cas 9 (c) probabilité de recevoir 10 euros au total : 144 = 6,25% 4 4 (d) probabilité de recevoir 2 euros (1 puis 1) au total : 144 = ,1% 5 5 (e) probabilité de recevoir 4 euros (2 puis 2) au total : 144 = ,4% 3. en fait, pour jouer à ce jeu (1 lancer de roue), il faut payer au préalable la somme de 2 euros, le "gain" du jeu est alors X = R 2 ( par exemple : X = 5 2 = 3) (a) (b) (c) somme reçu : R total gain du jeu : X total probabilité p(x > 0) = p(x = 3) = 3 12 p(x < 0) = p(x = 1) = 4 12 j k l a b c

20 (d) gain moyen = 4 12 ( 1) = ,42 euros (e) ce jeu est à l avantage du joueur car le gain moyen est positif. (0,42 > 0) 4. dans le cas où l on fait tourner la roue 2 fois de suite (a) probabilité d avoir un gain total nul : p(double 2) = = ,3% (b) probabilité d avoir un gain total strictement négatif : p( double 1 ou 1 puis 2 ou 2 puis 1 ) = = % corrigé activité 2 pour ce dé à 6 faces non équilibré : résultat : X total probabilité 0, 1 0, 1 0, 2 0, 3 0, 25 0, 05 1 calculer : i. p(xpair) = p(x = 2)+p(X = 4)+p(X = 6) = 0,1+0,3+0,05 = 0,45 = 45% ii. p(x 3) = p(x = 3)+p(X = 4)+p(X = 5)+p(X = 6) p(x 3) = 0,2+0,3+0,25+0,05 = 0,8 = 80% iii. p(x < 3) = p(x = 1)+p(X = 2) = 0,1+0,1 = 0,2 = 20%

21 4.3 à retenir définition 2 : (expérience aléatoire et univers) { on connaît tous les résultats qui peuvent arriver (1) Une expérience est aléatoire si : on ne connaît pas le résultat qui va arriver (2) L ensemble U des "résultats" possibles est appelé "l univers" de l expérience aléatoire Exemples : a. lancer d une pièce : U = {P;F} b.lancer d un dé à six faces : U = {1;2;3;4;5;6} c. choix d une carte dans un jeu usuel de 32 cartes : U = {as de coeur;...;7 de pique} d. jouer au loto (7 nombres différents de 1 à 49) : U = {(1;2;3;4;5;6;7);(1;2;3;4;5;6;8);...;(43;44;45;46;47;48;49)} Remarques : a. chaque résultat est aussi appelé "issue", "événement élémentaire" ou "éventualité" b. l univers est aussi noté Ω (grand oméga) c. à notre niveau, l univers U aura toujours un nombre n entier et fini d éléments on pourra alors noter U = {x 1 ;x 2 ;...;x n } définition 3 : (probabilité et événement élémentaire ) Soit un univers U = {x 1 ;x 2 ;...;x n } Une probabilité p définie sur U est une fonction de U vers [0;1] qui à chaque x i associe un nombre p(x i ) compris entre 0 et 1 et telle que : p(x 1 )+p(x 2 )+...+p(x n ) = 1 (la somme des probabilités des issues vaut 1) Remarques : a. le nombre p(x i ) compris entre 0 et 1 est appelé la "probabilité" de x i b. La somme des probabilités des éléments de U est égale à 1 Exemples : a. dé à 6 faces équilibré : b. dé à 6 faces non équilibré : résultat total probabilité résultat total probabilité 0, 1 0, 1 0, 2 0, 3 0, 25 0, 05 1 définition 4 : (probabilité et événement quelconque ) Soit un l univers U = {x 1 ;x 2 ;...;x n } sur lequel est défini une probabilité p Soit A une partie de U Si A est constituée des issues x i1 ;...;x ik (A = {x i1 ;...;x ik }) alors la probabilité de A est le nombre noté p(a) avec : p(a) = p(x i1 )+...+p(x ik ) (p(a) est la somme des issues qui constituent A) Si A = alors p(a) = 0 on dit que A est un événement "impossible" si p(a) = 1 on dit que A est un événement "certain"

22 propriété 2 : (cas de l équiprobabilité) Soit l univers U = {x 1 ;x 2 ;...;x n } constitué de n > 0 issues et p une probabilité (1) Si p(x 1 ) = p(x 2 ) =... = p(x n ) = 1 alors on dit qu il y a "équiprobabilité" n (toutes les éventualités ont la même probabilité) (2) Soit A une partie de U constituée des k événements élémentaires x i1 ;...;x ik S il y a équiprobabilité alors p(a) = k n ou encore nombre de cas favorables pour A p(a) = nombre de cas au total Exemples : i. dé à 6 faces équilibré : résultat : X total probabilité p(xpair) =... p(x 3) =... p(x < 3) =... ii. dé à 6 faces non équilibré : résultat : X total probabilité 0, 1 0, 1 0, 2 0, 3 0, 25 0, 05 1 p(xpair) =... p(x 3) =... p(x < 3) =...

23 4.4 exercices exercice 1 : le jeu consiste à faire tourner cette roue équilibrée qui se stabilise sur un des 12 petits secteurs 2e 5e on reçoit le nombre d euros indiqué (a) donner les probabilités suivantes i. p(r = 0), p(r = 2) et p(r = 5) de recevoir respectivement 0e, 2e et 5e, ii. p(r > 0) (interpréter le résultat par une phrase) iii. p(r < 5) (interpréter le résultat par une phrase) (b) combien reçoit-on en moyenne si on prend pour coefficients les probabilités? (c) sachant qu il faut payer 2 euros pour jouer, ce jeu est-il à l avantage du joueur ou de l organisateur? 0e exercice 2 : une pièce de monnaie est truquée la probabilité de faire pile avec cette pièce est estimée à p(pile) = 3 21 donner la valeur exacte de p(face) ainsi que cette valeur en % à 1% près par excès si 5 exercice 3 : un dé à 6 faces est tel que score S : total probabilité 0,1 0,05 0,15 0,02 0,28 i. compléter les deux cases vides et préciser si le dé est truqué ou non ii. calculer les probabilités suivantes A. p(pair) (probabilité que le score S soit Pair) B. p(s 3) C. p(s > 3) exercice 4 : Trois personnes, Ali, Bernard et Claude ont chacune un sac contenant des billes. Chacune tire au hasard une bille de son sac. i. Le contenu des sacs est le suivant : Sac d Ali : Sac de Bernard : Sac de Claude : 5 billes rouges 10 billes rouges et 30 billes noires 100 billes rouges et 3 billes noires Laquelle de ces personnes a la probabilité la plus grande de tirer une bille rouge? ii. On souhaite qu Ali ait la même probabilité que Bernard de tirer une bille rouge. Avant le tirage, combien de billes noires faut-il ajouter pour cela dans le sac d Ali?

24 exercice 5 : on dispose du tableau ci dessous concernant un lycée Garçon Fille Total Seconde Première Terminale total (a) on choisit au hasard un des élèves calculer les valeurs des probabilités des événements suivants à 1% près. i. A : l élève est une fille ii. B : l élève est en première iii. C : l élève est un garçon et est en terminale iv. E : l élève n est pas en première (b) i. on choisit au hasard une fille, quelle est la probabilité qu elle soit en première? ii. on choisit un élève de première, quelle est la probabilité que ce soit une fille? exercice 6 : Un sac contient six boules : quatre blanches et deux noires. Ces boules sont numérotées : Les boules blanches portent les numéros 1; 1; 2 et 3 et les noires portent les numéros 1 et Question Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche? Quelle est la probabilité de tirer une boule portant le numéro 2? Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche numérotée 1? Quelle est la probabilité d obtenir au moins deux point? Quelle est la probabilité d obtenir au plus deux point? A B C exercice 7 : Au stand d une fête foraine, un jeu consiste à tirer au hasard un billet de loterie dans un sac contenant exactement 180 billets. 4 de ces billets permettent de gagner un lecteur MP3. 12 permettent de gagner une grosse peluche. 36 permettent de gagner une petite peluche. 68 permettent de gagner un porte-clés. Les autres billets sont des billets perdants. Quelle est la probabilité pour un participant : (a) de gagner un lecteur MP3? (b) de gagner une peluche (grande ou petite)? (c) de gagner quelque chose? (d) de ne rien gagner?

25 exercice 8 : Pierre a lancé dix fois un dé cubique (non truqué). À chaque fois, il a obtenu 6. Il lance ce dé une 11 e fois. Quelle est la probabilité d obtenir 6 au 11 e lancer? exercice 9 : Dans une classe, un sondage a été fait auprès des élèves pour connaître leur animal préféré. Les résultats sont illustrés dans le graphique ci-dessous chien chat dauphin perroquet araignée lion On tire au hasard un élève de cette classe,calculer les probabilités suivantes : (a) p(chat) (la probabilité que l élève ait un chat pour animal préféré) (b) p(félin) (c) p(4 pattes) exercice 10 : On lance une fléchette dans le rectangle ABCD ci dessous où chacun des rectangles hachuré en bleu ( dans le rectangle P 1 P 2 P 3 P 4 ) a une probabilité deux fois plus grande d être atteint que chacun des rectangles hachuré en vert (ceux en dehors du rectangle P 1 P 2 P 3 P 4 ). Quelle est la probabilité d atteindre la cible rouge (rectangle de diagonale C 1 C 2 ) ( arrondir à 1% par excès si 5 ) (Aide : Poser et résoudre une équation avec x = probabilité d une case verte, trouver ainsi la probabilité d une case verte puis d une bleue puis...)

26 4.5 corrigés exercices corrigé exercice 1 : le jeu consiste à faire tourner cette roue équilibrée qui se stabilise sur un des 12 petits secteurs 2e 5e on reçoit le nombre d euros indiqué (a) probabilités suivantes nb cas favorables i. p(r = 0) = = 7 0,58 58% nb cas total 12 p(r = 2) = 2 12 = 1 0,17 17% 6 p(r = 5) = 3 12 = 1 = 25% de chances de recevoir 5e 4 ii. p(r > 0) = p(r = 2)+p(R = 5) = = % soit 42% de chances de recevoir un nombre d euros positif strict 0e iii. p(r < 5) = p(r = 0) 58% de chances de recevoir strictement moins de 5 e (b) combien reçoit-on en moyenne si on prend pour coefficients les probabilités? moyenne = E(R) = p i x i = = ,42e (c) sachant qu il faut payer 2 euros pour jouer, ce jeu est-il à l avantage du joueur ou de l organisateur? le jeu est à l avantage du joueur car il reçoit en moyenne plus qu il ne dépense pour jouer ( 2,42 > 2) corrigé exercice 2 : une pièce de monnaie est truquée la probabilité de faire pile avec cette pièce est estimée à p(pile) = 3 21 p(face) = 1 p(face) = 1 p(pile) = = = = 6 0,86 86% 7 corrigé exercice 3 : un dé à 6 faces est tel que score S : total probabilité 0,1 0,05 0,15 0,02 0,28 x y i. y = 1 x = 1 (0,1+0,05+0,15+0,02+0,28) = 0,4 le dé est truqué car les 6 faces n ont pas pour probabilités respectives 1 6 ii. calculer les probabilités suivantes A. p(pair) = p(s = 2)+p(S = 4)+p(S = 6) = 0,05+0,02+0,4 = 0,47 B. p(s 3) = p(s = 3)+p(S = 4)+p(S = 5)+p(S = 6) = 0,15+0,02+0,28+0,4 = 0,85 C. p(s > 3) = p(s = 4)+p(S = 5)+p(S = 6) = 0,02+0,28+0,4 = 0,7

27 corrigé exercice 4 : Trois personnes, Ali, Bernard et Claude ont chacune un sac contenant des billes. Chacune tire au hasard une bille de son sac. i. Le contenu des sacs est le suivant : Sac d Ali : Sac de Bernard : Sac de Claude : 5 billes rouges 10 billes rouges et 30 billes noires 100 billes rouges et 3 billes noires Laquelle de ces personnes a la probabilité la plus grande de tirer une bille rouge? p Ali (Rouge) = 5 5 = 1 = 100% p Bernard (Rouge) = = = 25% p Claude (Rouge) = = % c est donc Ali avec 100% de chances de tomber sur une rouge ii. On souhaite qu Ali ait la même probabilité que Bernard de tirer une bille rouge. soit x le nombre de billes noires à ajouter dans le sac d Ali, on a donc : 5 5+x = x = (5+x) = x = 200 x = = = 15 Avant le tirage, il faut ajouter 15 billes noires dans le sac d Ali

28 corrigé exercice 5 : on dispose du tableau ci dessous concernant un lycée Garçon Fille Total Seconde Première Terminale total (a) on choisit au hasard un des élèves calculer les valeurs des probabilités des événements suivants à 1% près. i. A : l élève est une fille p(a) = = 30% ii. B : l élève est en première p(b) = = 50% iii. C : l élève est un garçon et est en terminale p(c) = = 15% iv. E : l élève n est pas en première p(e) = 1 p(e) = 1 p(b) = 1 0,5 = 50% (b) i. on choisit au hasard une fille, quelle est la probabilité qu elle soit en première? p fille (1) = = 30% ii. on choisit un élève de première, quelle est la probabilité que ce soit une fille? p 1 (fille) = = 18% corrigé exercice 6 : Un sac contient six boules : quatre blanches et deux noires. Ces boules sont numérotées : Les boules blanches portent les numéros 1; 1; 2 et 3 et les noires portent les numéros 1 et Question A B C 2 6 Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche? Quelle est la probabilité de tirer une boule portant le numéro 2? Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche numérotée 1? Quelle est la probabilité d obtenir au moins deux point? Quelle est la probabilité d obtenir au plus deux point? 6 6 6

29 corrigé exercice 7 : Au stand d une fête foraine, un jeu consiste à tirer au hasard un billet de loterie dans un sac contenant exactement 180 billets. 4 de ces billets permettent de gagner un lecteur MP3. 12 permettent de gagner une grosse peluche. 36 permettent de gagner une petite peluche. 68 permettent de gagner un porte-clés. Les autres billets sont des billets perdants. on a pour probabilités pour un participant : (a) p(mp3) = % (b) p(peluche) = = % (c) p(gagner) = = % (d) p(perdre) = 1 p(perdre) = 1 p(gagner) = = %

30 corrigé exercice 8 : Pierre a lancé dix fois un dé cubique (non truqué). À chaque fois, il a obtenu 6. Il lance ce dé une 11 e fois. Quelle est la probabilité d obtenir 6 au 11 e lancer? p(6) = % corrigé exercice 9 : Dans une classe, un sondage a été fait auprès des élèves pour connaître leur animal préféré. Les résultats sont illustrés dans le graphique ci-dessous chien chat dauphin perroquet araignée lion On tire au hasard un élève de cette classe,calculer les probabilités suivantes : 5 (a) p(chat) = = 5 20 = 25% (b) p(félin) = p(chat)+p(lion) = = 8 20 = 40% (c) p(4pattes) = p(chien)+p(chat)+p(lion) = = 70%

31 corrigé exercice 10 : On lance une fléchette dans le rectangle ABCD ci dessous où chacun des rectangles hachuré en bleu ( dans le rectangle P 1 P 2 P 3 P 4 ) a une probabilité deux fois plus grande d être atteint que chacun des rectangles hachuré en vert (ceux en dehors du rectangle P 1 P 2 P 3 P 4 ). Quelle est la probabilité d atteindre la cible rouge (rectangle de diagonale C 1 C 2 ) ( arrondir à 1% par excès si 5 ) (Aide : Poser et résoudre une équation avec x = probabilité d une case verte, trouver ainsi la probabilité d une case verte puis d une bleue puis...) Posons : p(petit rectangle vert) = x donc : p(petit rectangle bleu) = 2x de plus : p(zone rouge de diagonale C 1 C 2 ) = p(carrés bleus de la zone rouge) + p(carrés verts de la zone rouge) ainsi : p(zone rouge de diagonale C 1 C 2 ) = 10 2x+26 x soit : p(zone rouge de diagonale C 1 C 2 ) = 46x il reste à trouver la valeur de x or : p(rectangle bleu) + p(tout sauf le rectangle bleu) = 1 par conséquent : 20 2x+80 x = 1 ce qui donne : 120x = 1 d où : x = conclusion : p(zone rouge de diagonale C 1 C 2 ) = 46x = = 46 0,383 38% 120

32 5 probabilités et opérations sur les événements 5.1 activité activité 1 Un groupe A de 10 amis dont on ne connaît que les initiales des prénoms est tel que : d et e pratiquent un sport et d un instrument de musique a, b, c pratiquent un sport uniquement f et g jouent d un instrument de musique uniquement h,i et j ne font ni l un ni l autre S A M 1. compléter le schéma à bulle donné appeler M l ensemble des "musiciens", S celui des "sportifs" 2. on choisit une de ces personnes au hasard (a) quelle est la probabilité p(m) qu elle soit musicienne? (b) quelle est la probabilité p(s) qu elle soit sportive? (c) quelle est la probabilité p(s M) qu elle soit sportive et musicienne? (d) quelle est la probabilité p(s M) qu elle soit sportive ou musicienne? (donner 2 méthodes dont une à partir des trois résultats précédents ) (e) quelle est la probabilité p(s) qu elle ne soit pas sportive? (donner deux méthodes) (f) quelle est la probabilité p(m) qu elle ne soit pas musicienne? (donner deux méthodes) (g) quelle est la probabilité p(s M)? (donner la phrase d interprétation) (h) quelle est la probabilité p(s M)? (donner la phrase d interprétation) activité 2 on dispose du tableau ci dessous concernant un lycée Garçon Fille Total Seconde Première Terminale total on choisit au hasard un des 2000 élèves calculer les valeurs des probabilités des événements suivants à 1% près. (a) F : l élève est une fille (b) P : l élève est en première (c) G T : l élève est un garçon et est en terminale (d) G T : l élève est un garçon ou est en terminale (e) P : l élève n est pas en première 2.(a) définir l événement F P par une phrase et donner sa probabilité à 1% près (b) définir l événement S T par une phrase et donner sa probabilité que dire de l événement S T? que dire des événements S et T? (c) définir l événement S T par une phrase et donner sa probabilité (d) définir l événement F P par une phrase et donner sa probabilité à 1% près (e) définir l événement F par une phrase et donner sa probabilité 3.(a) on choisit au hasard une fille, quelle est la probabilité qu elle soit en première? (b) on choisit un élève de première, quelle est la probabilité que ce soit une fille?

33 5.1.3 activité 3 R 1 R 2 R 3 R 4 B 2 B 1 B 3 V 1 V 2 V 3 On tire au hasard une bille avec équiprobabilité Déterminer quel est l événement le plus probable parmi les événements suivants et justifier 1. rouge 2. non rouge 3. impair 4. rouge et impair 5. rouge ou impair 6. rouge et vert 7. rouge ou vert

34 5.1.4 activité 4 : tables de vérité 1. Table de vérité pour la négation (NON) x A x A V F A A U 2. Table de vérité pour l intersection (ET) U U U x A x B x A B F F B A B V F F V A A B B A A B V V A B = 3. Table de vérité pour la réunion (OU) U U U x A x B x A B F F B A B A B B V F F V A A B A A B V V 4. Contraire du OU A B A B A B A B A B F F V F V F V V comparer les deux dernières colonnes, qu en déduire pour A B et A B? : Contraire du ET A B A B A B A B A B F F V F V F V V comparer les deux dernières colonnes, qu en déduire pour A B et A B? :...

35 5.2 corrigé activité corrigé activité 1 1. schéma A 2. on choisit une de ces personnes au hasard (a) p(m) = 4 S c 10 = 40% a (b) p(s) = 5 b 10 = 50% (c) p(s M) = 2 10 = 20% (d) p(s M) = 7 10 = 70% p(s M) = p(s)+p(m) p(s M) = 50%+40% 20% = 70% (e) p(s) = 5 10 = 50% p(s) = 1 p(s) = 1 0,5 = 0,5 = 50% (f) p(m) = 6 10 = 60% p(m) = 1 p(m) = 1 0,4 = 0,6 = 60% (g) p(s M) = 3 10 = 30% (h) p(s M) = p(s)+p(m) p(s M) = 50%+60% 30% = 80% i d e h f g M j

36 5.2.2 corrigé activité 2 on dispose du tableau ci dessous concernant un lycée 1.(a) p(fille) = p(f) = = 0,3 (b) p(première) = p(p) = = 0,5 (c) p(garçon et terminale) =p(g T) = = 0,15 (d) p(garçon ou terminale) =p(g T) = autre méthode avec la "formule du ou" Garçon Fille Total Seconde Première Terminale total = = 0,89 p(g T) = p(g)+p(t) p(g T) = = = 0,89 (e) p(pas en première) = p(p) = 1 p(p) = 1 0,5 = 0,5 2.(a) F P : l élève est une fille et est en première ; p(f P) = = 0,09 (b) S T : l élève est en seconde et est en terminale ; p(s T) = = 0 (c) S T : l élève est en seconde ou est en terminale ; p(s T) = = = 0,5 autre méthode avec la "formule du ou" p(s T) = p(s)+p(t) p(s T) = = = = 0,5 (d) F P : l élève est une fille ou est en première ; p(f P) = (e) F : l élève n est pas une fille ; p(f) = 1 p(f) = 1 0,3 = 0,7 = 0,71 3.(a) p fille (premiere) = = 0,3 (b) p premiere (fille) = = 0,18

37 5.2.3 corrigé activité 3 R 1 R 2 R 3 R 4 B 2 B 1 B 3 V 1 V 2 V 3 On tire au hasard une bille avec équiprobabilité Déterminer quel est l événement le plus probable parmi les événements suivants et justifier 1. p(rouge) = 4 10 = 0,4 = 40% 2. p(non rouge) = 1 - p(rouge) = 1-0,4 = 0,6 = 60% 3. p(impair) = 6 10 = 0,6 = 60% 4. p(rouge et impair) = 2 10 = 0,2 = 20% 5. p(rouge ou impair) = p(rouge) + p(impair) - p(rouge et impair) p(rouge ou impair) = 40% + 60% - 20% = 80% 6. p(rouge et vert) = 0 10 = 0 = 0% 7. p(rouge ou vert)= p(rouge) + p(vert) - p(rouge et vert) = 40% % = 0,7 = 70% l événement le plus probable est "rouge ou impair" avec une probabilité de 80%

38 5.3 à retenir définition 5 : (événement contraire) Soit un univers U = {x 1 ;x 2 ;...;x n } Soit A U un sous ensemble de U (un "événement") A A "L événement contraire" de A est noté A où A est le sous ensemble de U constitué de tous les éléments de U qui ne sont pas dans A U Remarques : a. U =, = U, U = U Exemples : a. lancer d une pièce : U = {P; F}, le contraire de "pile" est "face" b. lancer d une dé à six faces : U = {1; 2; 3; 4; 5; 6} le contraire de "six"= {6} est "tout sauf six"= {1; 2; 3; 4; 5} le contraire de "pair"= {2; 4; 6} est "impair"= {1; 3; 5} le contraire de "Score > 3"= {4; 5; 6} est "Score 3"= {1; 2; 3} c. choix d une carte dans un jeu usuel de 32 cartes : U = {as de coeur;...;7 de pique} le contraire de "roi" est "tout sauf roi" définition 6 : (intersection d événements) Soit un univers U = {x 1 ; x 2 ;...; x n } Soient A U un sous ensemble de U Soient B U un sous ensemble de U B A U A B U A B B A U A B A B = "L intersection de A avec B est notée A B ("A inter B") où A B est constitué de tous les éléments de U qui sont à la fois dans A et dans B si A etb n ont aucun éléments en commun on note alors : A B = et on dit que A et B sont "disjoints" ou encore "incompatibles" (cas 2 ci dessus) Remarques : a. A B se lit aussi "A et B" Exemples : a. lancer d une pièce : U = {P; F} : pile f ace =, "pile" et "face" sont incompatibles b. lancer d une dé à six faces : U = {1; 2; 3; 4; 5; 6} [Score > 3] [Score pair] = {4; 6} [Score 3] [Score impair] = {1; 3} c. choix d une carte dans un jeu usuel de 32 cartes : U = {as de coeur;...; 7 de pique} roi as = roi coeur = {roi de coeur}

39 U U U définition 7 : (réunion d événements) Soit un univers U = {x 1 ; x 2 ;...; x n } Soient A U un sous ensemble de U Soient B U un sous ensemble de U B A A B A B A B B A A B "la réunion " des ensembles A et B est notée A B ("A union B") où A B est constitué des éléments de U qui sont dans au moins un des ensembles A ou B Remarques : a. A B se lit aussi "A ou B" Exemples : a. lancer d une pièce : U = {P; F} pile face = {P; F} = U b. lancer d une dé à six faces : U = {1; 2; 3; 4; 5; 6} [Score > 3] [Score pair] = {2; 4; 5; 6} [Score 3] [Score impair] = {1; 2; 3; 5} c. choix d une carte dans un jeu usuel de 32 cartes : U = {As ;...; 7 } roi as = {R ; R ; R ; R ; As ; As ; As ; As } propriété 3 : Soit un univers U = {x 1 ; x 2 ;...; x n } Soient A U un sous ensemble de U Soient B U un sous ensemble de U (1) pour A le contraire de A on a : p(a) = 1 p(a) (2) pour A B la réunion de A et B on a : p(a B) = p(a)+p(b) p(a B) (3) si A B = (A et B incompatibles) on a : p(a B) = p(a)+p(b) Exemples : a. choix d une carte dans un jeu usuel de 32 cartes : U = {As ;...; 7 } p(roi ) = p(roi)+p( ) p(roi ) p(roi ) = = b. lancer d une dé à six faces : U = {1; 2; 3; 4; 5; 6} p([score > 3] [Score pair]) = p(score > 3)+p(Score pair) p([score > 3] [Score pair]) p([score > 3] [Score pair]) = = 4 6

40 5.4 exercices 7 6 exercice 11 : le jeu consiste à faire tourner cette roue équilibrée qui se stabilise sur un des 12 petits secteurs (a) calculer les probabilités suivantes i. p(pair), p(gris) ii. p(gris) iii. p(pair et gris) iv. p(pair ou gris) v. p(pair et gris) vi. p(pair ou gris) vii. p(pair et gris) viii. p(pair ou gris) (b) pair et gris sont-ils incompatibles? (c) gris et S 9 sont-ils incompatibles? exercice 12 : dans une classe de terminale, pour l année suivante : 80% ont fait un dossier de B.T.S 60% ont fait un dossier d I.U.T 50% ont fait les deux calculer les probabilités suivantes et interpréter chaque valeur par une phrase i. p(iut), p(bts) ii. p(iut BTS) iii. IU T et BT S sont-ils incompatibles? exercice 13 : un dé à 6 faces est tel que score S : total probabilité 0,2 0,15 0,05 0,1 0,3 0,2 1 i. calculer les probabilités suivantes A. p(impair), p(s > 3) B. p(impair), p(s > 3) C. p(s > 3 et impair) D. p(s > 3 ou impair) E. S > 3 et impair sont-ils incompatibles?

41 exercice 14 : on dispose du tableau ci dessous concernant un lycée Garçon : G Fille :F Total Seconde : S Première : P Terminale : T total (a) on choisit au hasard un des 2000 élèves calculer les valeurs des probabilités des événements suivants à 1% près et donner une phrase d interprétation. i. p(g) ii. p(s) iii. p(s) iv. p(g S) v. p(t S) vi. p(g S) vii. p(t S) viii. p(g F) (b) G et S sont-ils incompatibles? (c) T et S sont-ils incompatibles?

42 5.5 corrigés exercices

43 6 probabilités et expériences aléatoires composées 6.1 activité activité 1 on joue à pile ou face avec une pièce de monnaie équilibrée 1. on lance la pièce deux fois soit X le nombre de fois où l on a obtenu "pile" (a) proposer une valeur pour la probabilité p(x = 2) d obtenir deux fois pile (b) utiliser l arbre de dénombrement suivant pour déterminer p(x = 1) (c) déterminer p(x = 0) (d) en déduire p(x > 0) et interpréter cette valeur P F P : X = 2 F : X = 1 P : X = 1 F : X = 0 2. on lance la pièce trois fois (a) construire un arbre de dénombrrement (b) déterminer la probabilité p(x = 0) (c) en déduire la probabilité p(x > 0) et interpréter le résultat 3. on lance la pièce n fois où n > 0 (a) esquisser un arbre de dénombrrement (b) exprimer p(x = 0) en fonction de n (c) en déduire p(x > 0) en fonction de n (d) déterminer le plus petit nombre de lancer à effectuer pour que la probabilité d obtenir "au moins une fois pile" soit de 99% activité 2 une personne choisit au hasard un pantalon parmi trois pantalons (un blanc, un rouge et un noir) puis une chemise au hasard (blanche, jaune ou rouge) calculer les probabilités suivantes : 1. elle est tout de blanc vêtue 2. elle porte du blanc 3. elle porte du blanc et du rouge 4. elle porte du blanc ou du rouge 5. elle n est pas tout de blanc vêtue B R N B R J B R J B R J

44 6.1.3 activité 3 on choisit au hasard deux élèves distincts dans ce groupe d élèves Garçon Fille Total Seconde Première Terminale total déterminer les probabilités suivantes 1. les deux élèves sont des filles 2. les deux élèves sont des premières 3. il y a un garçon puis une fille 4. il y a un garçon et une fille activité 4 on choisit au hasard deux élèves distincts dans ce lycée Garçon Fille Total Seconde Première Terminale total déterminer les probabilités suivantes 1. les deux élèves sont des filles 2. les deux élèves sont des premières 3. il y a un garçon et une fille

45 6.2 corrigé activité activité 1 on joue à pile ou face avec une pièce de monnaie équilibrée (a) on lance la pièce deux fois soit X le nombre de fois où l on a obtenu "pile" i. ii. iii. p(x = 2) = 1 = 25% d obtenir deux fois pile 4 p(x = 1) = 2 4 = 50% p(x = 0) = 1 4 = 25% iv. p(x > 0) = 1 p(x = 0) p(x > 0) = 1 0,25 = 0,75 = 75% Il y a 75% de chance de faire au moins une fois "pile" P F P : X = 2 F : X = 1 P : X = 1 F : X = 0 (b) on lance la pièce trois fois soit X le nombre de fois où l on a obtenu "pile" i. ii. p(x = 0) = 1 8 = 12,5% p(x > 0) = = 87,5% P F P F P F P F P F P F P F (c) on lance la pièce n fois où n > 0 i. p(x = 0) = 1 2 n = (1 2 )n = 0,5 n ii. p(x > 0) = 1 0,5 n iii. le plus petit nombre de lancer à effectuer pour que la probabilité d obtenir "au moins une fois pile" soit de 99% est n = 7 car : u n = 1 0,5 n défini une suite numérique strictement croissante (admis) n ,5 n 0,98 0,992

46 activité 2 (a) (b) (c) (d) une personne choisit au hasard un pantalon parmi trois pantalons (un blanc, un rouge et un noir) puis une chemise au hasard (blanche, jaune ou rouge) calculer les probabilités suivantes : p(elle est tout de blanc vêtue) = 1 9 p(elle porte du blanc) = 5 9 p(elle porte du blanc et du rouge) = 2 9 p(elle porte du blanc ou du rouge) = 8 9 (e) p(pas tout de blanc vêtue) = = 8 9 B B R R N J B R J B R J activité 3 on choisit au hasard deux élèves distincts dans ce lycée Garçon Fille Total Seconde Première Terminale total déterminer les probabilités suivantes (a) (b) (c) p(2 filles ) = = % p(2 premières) = = % p(un garçon et une fille) = = %

47 6.3 à retenir définition 8 : (expérience aléatoire composée) (1) une expérience est composée si elle est constituée d au moins deux expériences aléatoires consécutives (2) pour dénombrer l univers U d une expérience aléatoire composée (calculer les nombre de cas possibles) ou tout autre événement A on peut utiliser un arbre de dénombrement Exemples : a. série de deux lancers d une pièce équilibrée donc 2 2 = 4 cas au total b. série de trois lancers d un dé à six faces équilibré donc = 196 cas au total c. série de trois cartes distinctes dans un jeu usuel de 32 cartes donc = cas au total d. série de 7 numéros distincts parmi 49 donc = cas au total

48 6.4 exercices exercice 15 : on lance deux fois un dé équilibré à 8 faces (a) calculer les probabilités suivantes i. on obtient un double huit ii. on obtient aucune fois 8 iii. on obtient au moins une fois 8 (b) combien de fois lancer le dé pour que la probabilité d avoir au moins une fois 8 soit d au moins 99 % (c) calculer la probabilité que la somme des deux scores soit égale à 12 exercice 16 : on choisit au hasard deux élèves distincts dans ce lycée déterminer les probabilités suivantes (a) les deux élèves sont des garçons (b) les deux élèves sont des terminales (c) il y a un première et un terminale Garçon Fille Total Seconde Première Terminale total exercice 17 : une urne contient 4 billes rouges et 8 vertes on choisit au hasard et avec remises deux billes dans l urne calculer les probabilités suivantes A. les deux billes sont vertes B. les deux billes sont rouges C. les deux billes sont de couleurs différentes exercice 18 : une urne contient 4 billes rouges et 8 vertes on choisit au hasard et sans remises deux billes dans l urne calculer les probabilités suivantes A. les deux billes sont vertes B. les deux billes sont rouges C. les deux billes sont de couleurs différentes

49 6.5 corrigés exercices

50 7 exercices exercice 1 : dans le Q.C.M. suivant, il n y a q une seule bonne réponse par question, une bonne réponse rapporte 1 point, une mauvaise enlève 0, 5 points, aucune réponse n enlève ni ne rapporte aucun point (un score négatif est ramené à 0) 1. avec une pièce de monnaie équilibrée, p(pile) =? réponse A : 0 réponse B : 1 3 réponse C : 1 2 réponse D : autre 2. avec un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6, p(2 points) =? réponse A : 1 réponse B : 2 6 réponse C : 1 6 réponse D : 6 3. avec le dé suivant, score total probabilités 0, 1 0, 05 0, 2 0, 03 0, 02?? p(pair) =? réponse A : 0,05 réponse B : 0,08 réponse C : 0,68 réponse D : pour un jeu de 32 cartes (8, 8, 8, 8 ), (4 rois, 4 reines,... ),(16 rouges, 16 noires) dans lequel on choisit une carte au hasard (a) p(roi) =? réponse A : 1 4 réponse B : réponse C : 4 réponse D : (b) p(coeur) =? réponse A : 1 8 réponse B : 1 4 réponse C : 32 8 réponse D : 8 (c) p(roi et coeur) =? réponse A : 1 32 réponse B : réponse C : réponse D : 11 (d) p(roi ou coeur) =? réponse A : 1 32 réponse B : réponse C : réponse D : 11 (e) p(roi) =? réponse A : 4 32 réponse B : réponse C : 87,5% réponse D : 28% 5. on choisit au hasard un élève dans la classe suivante (a) p(f ille) =? réponse A : 2 30 (b) p(droitier) =? réponse A : (c) p(fille et droitier) =? réponse A : réponse B : réponse B : garçons filles total gaucher droitier total réponse C : 2 5 réponse B : réponse C : réponse D : 17 réponse C : réponse D : réponse D : (d) p(filleou droitier) =? réponse A : réponse B : réponse C : réponse D : 15 (e) l élève est choisit parmi les gauchers, quelle est la probabilité qu il soit une "fille"? p G (fille) =? réponse A : réponse B : réponse C : réponse D : (f) l élève est choisit parmi les filles, quelle est la probabilité qu il soit " gaucher"? p fille (gaucher) =? réponse A : réponse B : réponse C : réponse D :

51 6. Une urne contient 2 billes vertes V 1 et V 2 ainsi qu une rouge R 1 On choisit une bille au hasard, ON LA REMET dans l urne, On choisit à nouveau une bille dans l urne On pourra s aider d un des arbres de dénombrement donnés ci dessous (a) p(2vertes) =? réponse A : 1 4 réponse B : 2 6 réponse C : 1 2 réponse D : 4 9 (b) p(2rouges) =? réponse A : 1 4 réponse B : 0 réponse C : 1 9 réponse D : Une urne contient 2 billes vertes V 1 et V 2 ainsi qu une rouge R 1 On choisit une bille au hasard, ON NE LA REMET PAS dans l urne, On choisit à nouveau une bille dans l urne On pourra s aider d un des arbres de dénombrement donnés ci dessous (a) Quelle est la probabilité d obtenir "2 billes vertes"? réponse A : 1 4 réponse B : 2 9 réponse C : 1 2 réponse D : 2 6 (b) Quelle est la probabilité d obtenir "2 billes rouges"? réponse A : 1 4 réponse B : 0 réponse C : 1 9 réponse D : On lance deux fois de suite un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6 On pourra s aider d un des arbres de dénombrement donnés ci dessous p(double 6) =? réponse A : 1 36 réponse B : 6 réponse C : 1 6 réponse D : 2 6 arbres pour les trois dernières questions arbre 1 V1 V2 R1 V1 V2 R1 V1 V2 R1 V1 V2 R1 arbre 2 V1 V2 R1 V2 R1 V1 R1 V1 V2 arbre