CALCULS D'AIRES ET DE VOLUMES

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1 CALCULS D'AIRES ET DE VOLUMES Exercice 1 : Une «boule japonaise» est une suspension en papier. Sachant que son diamètre est de 42 cm, quelle est son aire en cm²? Donner son arrondi au cm². Exercice 2 : Une boîte parallélépipédique de dimensions 4 dm, 40 cm et 800 mm contient deux boules de rayon 0,2 m. Calculer le volume de l'espace laissé libre par les deux boules, en dm³, puis donner son arrondi au dm³. Problème 3 : Un restaurant propose en dessert des coupes de glace, composées de trois boules supposées parfaitement sphériques, de diamètre 4,2 cm. Le pot de glace au chocolat ayant la forme d'un parallélépipède rectangle est plein, ainsi que le pot de glace cylindrique à la vanille. Le restaurateur veut constituer des coupes avec deux boules au chocolat et une boule à la vanille. a) Montrer que le volume d'un pot de glace au chocolat est cm³. b) Calculer la valeur arrondie au cm³ du volume d'un pot de glace à la vanille. c) Calculer la valeur arrondie au cm³ du volume d'une boule de glace. d) Sachant que le restaurateur doit faire 100 coupes de glace, combien doit-il acheter de pots au chocolat et de pots à la vanille? Exercice 4 : L'aquarium de Manu a la forme d'un parallélépipède rectangle. La hauteur d'eau est de 27 cm. Manu met des billes de 24 mm de diamètre dans l'aquarium. Combien de billes au maximum peut-il mettre avant que l'eau ne déborde? Exercice 5 : Maths in English A buoy is constitued of a cone and a hemisphere of the same radius 15 cms. The height of the cone is 32 cms. Calculate the exact volume and the curvature in the cm³ of the volume of this buoy. Problème 6 : Chaque jour, un ballon surveille la qualité de l'air ambiant dans Paris. Il emporte aussi des passagers. Déterminer le nombre maximal de personnes de 75 kg que ce ballon peut emporter sachant que le diamètre du ballon, gonflé à l'hélium, est 22,5m, que 1 m³ d'hélium permet de soulever 1 kg, qu'on garde 1,5 tonne de lift dans le câble pour contrer la force du vent et que le ballon et la nacelle pèsent environ 2 tonnes. Exercice 7 : La pyramide ci-contre est à base carrée. Toutes ses faces latérales sont superposables. Calculer l'aire totale de cette pyramide.

2 Exercice 8 : Énoncé : Une citerne est constituée de deux demi-sphères de 1,5 m de diamètre et d'un cylindre de 2,5 m de long. Est-il vrai qu'elle peut contenir litres? Copie de Clara : Rédiger cette solution en tenant compte des remarques du correcteur. Problème 9 : On pose une boule métallique de rayon 6 cm au fond d'un cylindre de hauteur 15 cm et de rayon 8 cm, puis on remplit le cylindre entièrement d'eau. On retire ensuite la boule du cylindre. Calculer la hauteur d'eau dans le cylindre? Problème 10 : Tâche complexe La situation-problème Thomas qui vient d'acheter une waterball de 2 m de diamètre se demande combien de temps il peut rester dans cette bulle sans éprouver de problèmes respiratoires. Il attend donc votre réponse pour continuer à «buller» en toute sécurité. Doc.1 : les connaissances de Thomas Thomas considère qu'il effectue 30 inspirations (et donc 30 expirations) par minute de 0,80 L. Dans 100 cm³ d'air inspiré expiré Oxygène 21 cm³ 16 cm³ Doc. 3 : photo de Thomas dans sa waterball. Dioxyde de carbone traces 5 cm³ Azote 79 cm³ 79 cm³ Doc. 2 : les normes de sécurité - Seuil maximal acceptable de dioxyde de carbone : 0,6 % - Seuil minimal acceptable d'oxygène dans l'air : 17 % Exercice 11 : Le rayon d'une balle de ping-pong réglementaire est 20 mm. Calculer l'aire de la surface extérieure d'une balle de ping-pong réglementaire. Donner sa valeur exacte puis son arrondi au millimètre carré près. Exercice 12 : Une cloche à fromages a la forme d'une demi-sphère de diamètre 31 cm. Calculer l'arrondi au centimètre carré près de l'aire de la demi-sphère. Exercice 13 : a) Calculer le volume d'un cube de côté 18 mm. b) Calculer le volume d'un pavé droit dont les dimensions sont 7 cm, 8 cm et 4,5 cm. c) Calculer le volume d'une boule de billard américain de rayon 2,85 cm. Donner la valeur exacte puis son arrondi au millimètre cube près.

3 Problème 14 : d'après DNB Sur le schéma ci-contre : * la boule de centre O a pour rayon OS avec OS = 3 cm. * la pyramide SEFGH a pour hauteur 3 cm et pour base le carré EFGH de côté 6 cm. * ces deux solides sont placés dans le pavé droit EFGHIJKL tel que EI = 9 cm. a) Calculer le volume de la pyramide SEFGH. b) Calculer l'arrondi au centimètre cube près du volume de la boule. c) Calculer une valeur approchée du volume non occupé par ces deux solides dans le pavé droit. Problème 15 : Quatre balles de tennis sont rangées dans une boîte ayant la forme d'un cylindre de révolution. Les balles ont un rayon de 33 mm. La boîte est la plus petite possible. a) Quelles sont les dimensions intérieures de cette boîte? b) Calculer une valeur approchée au millimètre cube près du volume de la boîte non occupée par les balles de tennis. Problème 16 : Le solide (S) ci-contre est constitué d'un cylindre de révolution surmonté d'une demi-boule et est fermé par un disque à sa base. Les points O et O' sont les centres des bases du cylindre. Le segment [OA] est un rayon du cylindre. On a : OO' = 13 cm et OA = 6 cm. a) Calculer le volume du solide (S). Donner sa valeur exacte puis son arrondi au centimètre cube près. b) Calculer l'arrondi au centimètre carré près de l'aire de la surface extérieure du solide (S). Problème 17 : Maths et Histoire Le savant grec Archimède fut le premier à faire un lien entre sphère et cylindre. Par exemple, il a démontré la propriété suivante : «La surface d'une sphère à la même mesure que la surface latérale du cylindre dans lequel elle est inscrite». a) On note r la rayon de la sphère. Déterminer le rayon et la hauteur du cylindre en fonction de r. b) Quelle est donc la formule de l'aire d'une sphère? Problème 18 : Maths et Histoire Archimède fut aussi le premier à calculer le volume d'une boule. On note r le rayon de la demi-boule (Solide 1). Le cylindre a le même rayon que la demi-boule. Sa hauteur est aussi égale au rayon r. Un cône de révolution est inscrit dans le cylindre. La base du cône coïncide avec la base supérieure du cylindre. Son sommet coïncide avec le centre de la base inférieure. a) Déterminer le volume du cylindre en fonction de r. b) Déterminer le volume du cône de révolution en fonction de r. c) Archimède démontra que le volume de la demi-boule était égal au volume du solide 2 (formé par le cylindre dans lequel est creusé le cône). Déterminer le volume de la demi-boule puis de la boule en fonction de r.

4 Problème 19 : Voici une coupe d'une balle de base-ball de de diamètre égal à 7 cm. Le cœur de cette balle est un noyau en liège d'un diamètre de 1,2 cm. Il est recouvert d'une couche de caoutchouc d'une épaisseur de 0,6 cm. a) Calculer le volume exact de liège contenu dans cette balle. Puis donner la valeur arrondie au millimètre cube. b) Calculer le volume exact de caoutchouc contenu dans cette balle. Puis donner la valeur arrondie au millimètre cube. c) Calculer la surface exacte de cuir recouvrant cette balle. Préciser la valeur arrondie au millimètre carré. Problème 20 : d'après DNB a) Dessiner un pavé droit en perspective cavalière. b) Calculer le volume d'un aquarium qui a la forme d'un pavé droit de longueur 40 cm, de largeur 20 cm et de hauteur 30 cm. c) Combien de litres d'eau cet aquarium peut-il contenir? d) Parmi les formules suivantes, quelle est celle qui donne le volume, en centimètres cubes, d'une boule de diamètre 30 cm? 4 3 * π * 303 4π * 15² 4 3 * π * 153 e) Un second aquarium contient un volume d'eau égal aux trois quarts du volume d'une boule de 30 cm de diamètre. On verse son contenu dans le premier aquarium. A quelle hauteur l'eau monte-t-elle? Problème 21 : d'après DNB Pour attirer davantage de visiteurs dans sa ville, un maire décide de faire construire l'aquarium du Pacifique. Les architectes prévoient de poser un énorme aquarium à l'entrée, dont la vitre a une forme sphérique. La figure ci-contre représente la situation. Elle n'est pas en vraie grandeur. a) Calculer le volume en mètres cubes d'une boule de rayon 5 m. Donner l'arrondi à l'unité près. b) En réalité, l'aquarium est implanté dans le sol. La partie supérieure (visible) est une «calotte sphérique». La partie inférieure (enfouie) abrite les machines. Quelle est la nature géométrique de la section entre le plan horizontal du sol et l'aquarium? c) Le point O désigne le centre de la sphère. On donne les dimensions suivantes : OH = 3 m, RO = 5 m et HR = 4 m où H et R sont les points placés sur le sol. Le triangle OHR est-il rectangle? d) T est le point de la sphère tel que les points T, O, H soient alignés. Calculer la hauteur HT de la partie visible de l'aquarium. π h ² e) Le volume d'une calotte sphérique de rayon 5 m est donné par la formule : V = * ( 15 3 h) où h désigne sa hauteur (HT). Calculer le volume en litres de cette calotte sphérique. f) Pour cette question, on prendra comme volume de l'aquarium L. Des pompes délivrent à débit constant de l'eau de mer pour remplir l'aquarium vide. En 2 h de fonctionnement, les pompes réunies y injectent L d'eau de mer. Au bout de combien de temps de fonctionnement les pompes auront-elles rempli l'aquarium?

5 Problème 22 : d'après DNB Pour une recette, on utilise un bol. On considère qu'il a la forme d'une demi-sphère. La quantité de pâte nécessite un récipient de 4 L. Pour savoir si le bol convient, James mesure le périmètre du bord supérieur du bol. Il trouve 94 cm. Ce bol est-il adapté? Problème 23 : d'après DNB Sur un parking, une commune veut regrouper 6 conteneurs à déchets du même modèle A ou B. Les deux modèles sont fabriqués dans le même matériau qui a partout la même épaisseur. Le conteneur A est un pavé droit à base carrée de côté 1 m et de hauteur 2 m. Le conteneur B est constitué de deux demi-sphères de rayon 0,58 m et d'un cylindre de même rayon et de hauteur 1,15 m. a) Vérifier que les deux conteneurs ont à peu près le même volume. b) Calculer l'aire totale des 6 faces du conteneur A. c) Vérifier que, pour le conteneur B, l'aire totale, arrondie à 0,1 m² près, est 8,4 m². d) Quel sera le conteneur le plus économique à fabriquer? Problème 24 : d'après DNB Un moule à muffins est constitué de 9 cavités. Toutes les cavités sont identiques. Chaque cavité a la forme d'un tronc de cône (cône coupé par un plan parallèle à sa base) représenté ci-contre. a) Montrer que le volume d'une cavité est d'environ 125 cm³. b) Léa a préparé 1 L de pâte. Elle veut remplir chaque cavité du moule au 3/4 de son volume. A-telle suffisamment de pâte pour les 9 cavités du moule? Problème 25 : Tâche complexe Naranja presse vingt-quatre oranges identiques. Elle verse le jus obtenu dans un pichet en forme de cylindre. Le pichet est-il assez grand? Doc. 1 : les oranges Doc. 2 : le pichet Exercice 26 : Associer chaque objet concret avec l'objet géométrique qui lui correspond le mieux. Problème 27 : Une boule de pétanque est-elle creuse ou pleine?