LA THÉORIE DES POINTS FIXES ET SES APPLICATIONS EN ANALYSE

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1 LA THÉORIE DES POINTS FIXES ET SES APPLICATIONS EN ANALYSE JEAN LERAY Â la mémoire du profond mathématicien polonais JULES SCHAUDER, victime des massacres de I. INTRODUCTION 1. Soit <t>(x) une application continue d'un espace X en lui-même; on nomme points fixes de <j>(x) les solutions de l'équation (1) x = 0(a). Nous ne parlerons pas de Vétude locale de l'équation (1). Cette étude fut faite d'abord par E. Picard [11], à l'aide de la méthode des approximations successives; puis par E. Schmidt [15], à l'aide de développements en séries, <j)(x) étant supposée holomorphe.,la notion d'espace de Banach permit à T. H. Hildebrandt et L. M. Graves [3] de systématiser la méthode de E. Picard; il est aisé [9] de systématiser de même celle de E. Schmidt. C'est de Vétude globale de l'équation (1) que nous nous occuperons. Cette étude fut faite d'abord par Fredholm [4], F. Riesz [12], quand <t>(x) est linéaire et transforme les parties bornées de X en parties compactes; puis, quand (f>(x) n'est pas linéaire, par L. E. J. Brouwer [2], Birkhoff et Kellogg [1], Lefschetz [5], Schauder [14], Leray [6], [7], Rothe [13], Tychonoff [16], Nielsen [10], et Wecken [17] ; deux types d'hypothèses 1 furent utilisés et conduisirent à des théories bien différentes: certains auteurs supposèrent que X est un espace vectoriel et que 4>(x) prend ses valeurs dans un compact; d'autres supposèrent que X est compact et vérifie des hypothèses appropriées. Ces hypothèses compliquent ce second point de vue, que nous n'aurons pas le temps d'analyser en détail; c'est d'ailleurs le premier point de vue qui se présente quand on applique la théorie des points fixes à celle des équations aux dérivées partielles. Exposons-le d'abord, en résumant [9], qui synthétise [2], [1], [14], [6], [16], [10], [17]. IL LES POINTS FIXES D'UNE APPLICATION COMPLèTEMENT CONTINUE D'UN ESPACE VECTORIEL À VOISINAGES CONVEXES 2. Définitions. Soit X un espace vectoriel à voisinages convexes: c'est un espace vectoriel (sur le corps des nombres réels) possédant une topologie de Hausdorff, qui puisse être définie par un système fondamental de voisinages convexes. Soit V un voisinage symétrique de 0; les points x± et x 2 de X sont dits voisins d'ordre V quand xi x 2 V. 1 D'autres hypothèses furent utilisées avec succès par E. Rothe; nous ne disposons malheureusement pas de la place qu'exigerait l'exposé de ses recherches. 202,

2 POINTS FIXES ET APPLICATIONS EN ANALYSE 203 Soit (j)(x) une application de X en lui-même complètement continue, c'est-à-dire qui applique continûment X dans une partie compacte de X; nous posons (x) = x ()>(x). G désignera une partie ouverte de X, G sa frontière et G = G U G son adhérence. 3. Les propriétés de $(x), du point de vue de la topologie générale. $(F) est fermé, quand F est fermé (autrement dit: l'application $>(x) est fermée). $^(0) est compact, quand C est compact. 4. La définition du degré topologique de $ (x). Supposons X de dimension finie et ^>(x) linéaire par morceaux, c'est-à-dire linéaire au voisinage de tout point n'appartenant pas à la réunion d'un ensemble d'hyperplans P\, n'ayant pas d'élément d'accumulation. Ces hyperplans décomposent X en domaines, que nous noterons Dj, D p, Z>7 suivant que le déterminant de <ï>(x) y est >0, =0, <0. Soit y un point de X étranger aux < >(6r), $(Px), et $(D V ) ; soit p [et n] le nombre des $((? Pi D^) [et des$(g fi DJ)] contenant y; p n est une fonction de y constante sur chacun des domaines d en lesquels $(G) décompose X; sa valeur est nommée degré topologique sur d de la restriction de < > à G et est notée on définit *(*, O, d); d (* f G, y) = d (#, G,d) si y Ç D même si y appartient à $(A) ou $(öj). Supposons X de dimension finie et <t>(x) complètement continue; soit y $ $(G) ; soit Fi un voisinage convexe et symétrique de 0 tel que le voisinage d'ordre Vi de y soit étranger à < (#) ; soit $i(#) une application linéaire par morceaux telle que $(x) et $i(x) soient voisins d'ordre Vi ; d ($i, G, y) est indépendant des choix de Vi et $i ; c'est, par définition, d ($, G, y). Cas général. Soit y ( $(G) ; soit Vi un voisinage convexe et symétrique de 0, tel que le voisinage d'ordre Vi de y soit étranger à $(G) ; soit $i(x) une application complètement continue, voisine d'ordre Vi de </>(#) et telle que< i(x) appartienne à un sous-espace Xi de dimension finie, contenant y; d ($i, G fl Xi, y) est indépendant des choix de Vi, $i(x) = x #I(œ)> Xi ; c'est par définition d ($, G, y). 5. Les propriétés du degré topologique. PROPRIéTé 5.1. d 0 ($, G, y) est un entier positif, nul ou négatif, défini quand $(#) x est complètement continue et que y $ $(G); d ($, G, y) reste constant quand $>, G, y varient continûment, en sorte que y $ $(G). En particulier, d ($, G, y) ne dépend que de y et de la restriction de $ à G; on peut même, ce qu'utilise le 7, définir d ($, G, y) en supposant $ défini seulement sur G. PROPRIéTé 5.2. Si d ($, G, y) ^ 0, alors y G $(0).

3 204 JEAN LERAY PROPRIéTé 5.3. Si les G a sont des parties ouvertes de G, deux à deux sans point commun et telles que < >(#) ^ y quand x Ç. G, x $ G a, alors PROPRIéTé 5.4. Soit ty(x) x une seconde application complètement continue, définie sur 3>(G); soient d a les domaines en lesquels < ((r) décompose X [autrement dit: les d a sont les composantes connexes du complémentaire de $($)]; si y $ ^(G), alors on a a #( *, G, y) = E #(*, G, d a )-d (% d a, y). a PROPRIéTé 5.5. Supposons X somme directe de deux espaces Xi et X 2 : X = Xi + X 2 ; x = Xi + x 2 ; $(a?) = $i(a?) + $ 2 (x), où x a X«, $«6 X«; on a $i(x) = ^i(x±, x 2 ) ; supposons $ 2 (x) = $ 2 (x 2 ) fonction seulement de x 2. Soit Gx une partie ouverte de Xi et D 2 un domaine de X 2 ; si y\ $ 3?i(ffi, D 2 ) et y 2 $ 3> 2 (D 2 ) y alors #(*, Gx + D 2,2/1 + 2/2) = d ($i, (?i, 2/1) 'd (^2, A, 2/2), d ($i(xi, x 2 ), Gi, 2/1) devant être calculé en supposant que x 2 est un point fixe, arbitraire de D L'indice des points fixes d'une application complètement continue <t>(x). Soit F un ensemble isolé de point fixes de <t>(x) : F a un voisinage G ne contenant d'autres points fixes que les points de F; F est compact; d ($, G, 0) est indépendant du choix de G, est nommé indice de F et est noté i(f). Les propriétés du degré ont pour conséquences immédiates les propriétés suivantes de l'indice: PROPRIéTé 6.1. Soit F l'ensemble des points fixes de <ß(x) contenus dans une partie ouverte G de X; F est compact et i(f) est défini, quand G ne contient aucun point fixe; i(f) est un entier positif, négatif, ou nul, qui reste constant quand <l>(x) et G varient continûment, sans que G ne contienne jamais de point fixe de <ß(x). COROLLAIRE 6.1. i(f) ne dépend que de la restriction de <l>(x) à G. COROLLAIRE 6.2. Si <ß(x) possède au point fixe a une différentielle 2 complètement continue X(x a), telle que a + X(x a) ait pour seul point fixe a, alors a est un point fixe isolé de (j>(x) ayant les mêmes indices comme point fixe de <t>(x) et comme point fixe de a + X(x a). PROPRIéTé 6.2. F n'est pas vide, si i(f) ^ 0. PROPRIéTé 6.3. Si F est la réunion d'un nombre fini de compacts F a, deux à deux sans point commun, alors i(f) = y] a i(f a ). 2 \(y) est linéaire homogène; il existe un voisinage F de 0 tel que, si e est un nombre réel tendant vers 0, le transformé par _1 [0(rc) a \(x a)] du voisinage de a d'ordre ev tende vers 0.

4 POINTS FIXES ET APPLICATIONS EN ANALYSE 205 PROPRIéTé 6.4. Soient deux espaces Xi et X 2, une partie ouverte Gi de Xi, un domaine D 2 de X 2, une application complètement continue 0I(.TI, x 2 ) de Xi + X2 dans Xi et une application complètement continue <j>(x 2 ) de X 2 en lui-même. Supposons x\ T* <t>i(xi, x 2 ) pour xi G 1, x 2 G D 2 ; x 2 =é <l>(x 2 ) pour x 2 G t> 2 ; soit i Vindice des points fixes Xi + x 2 G 6?i + D 2 de <j>\(xi, x 2 ) + <j> 2 (x 2 ) ; soit ii l'indice des points fixes xi G Gi defa (x%, x 2 ), quand x 2 G D 2 ; soit i 2 l'indice des points fixes $2 G D 2 de (j> 2 (x 2 ). On a i = iv Ì2. Ces propriétés de l'indice permettent de prouver des théorèmes d'existence (d'après la propriété 6,2, il existe au moins un point fixe quand l'indice de l'ensemble des points fixes diffère de zéro; les propriétés 6.1 et 6.3 permettent de déterminer l'indice de l'ensemble des points fixes) et des théorèmes d'unicité (si l'indice de l'ensemble des points fixes est e = ± 1 et si le corollaire 6.2 et la propriété 9.1 permettent de prouver que chaque point fixe est isolé et a l'indice e, alors il existe un point fixe unique). 7. Le thêroème de Jordan-Brouwer. Soient F et F f deux parties fermées de X, entre lesquelles existe un homêomorphisme x <-> x f ; F et F' décomposent X en le même nombre de domaines, s'il existe un compact contenant toutes les valeurs prises par x x f. (On sait que cette hypothèse est essentielle: la sphère de Hilbert F: xl + x\ = 1 décompose l'espace en deux domaines; on peut l'appliquer isométriquement sur F f : x± = 0, x\ + #3 + = 1, dont le complémentaire constitue un seul domaine. PREUVE. Soient D\ et D M les domaines en lesquels F et F' décomposent X. Posons $(x) = x'^ty) = x; ona^$(«) = x et ^f(x f ) = œ'; d'après la propriété 5.4 les matrices d (<ï>, D\, D^) et d ($r, D M, Dx) sont inverses l'une de l'autre; elles sont donc carrées. On prouve de même : 8. L'invariance du domaine. L'image $(D) d'un domaine D par un homêomorphisme $>(x) est un domaine si $(x) x est complètement continue (hypothèse essentielle). 9. Les équations linéaires. Soit \(x) une application linéaire et homogène de X en lui-même, qui soit complètement continue sur un voisinage de l'origine convenablement choisi; soit p un nombre réel; soit A p (x) = x pk(x) t L'invariance du domaine a pour conséquence immédiate l'alternative de Fredholm: ou bien A p (x) a d'autres zéros que x = 0; ou bien A p (x) applique X sur lui-même. Il est aisé [8], en simplifiant des raisonnements de F. Riesz [12], d'en déduire les autres théorèmes de Fredholm. D'où:

5 206 JEAN LERAY PROPRIéTé 9.1. Soit n p la dimension de l'espace vectoriel constitué par les zéros de A p (x), Ap(A p (ao), ; soit n = X)O<P<I n p ; si x = 0 est le seul point fixe de X(#)> son indice est ( 1)". En particulier cet indice est le signe, pour p = 1, de la déterminante de Fredholm, si \(x) est une application du type de Fredholm: x(s) -> / K(s, t)x(t) dt. 10. Les classes de points fixes. Le procédé de Nielsen [10] et Wecken [17] permet de classer les points fixes de <j>(x) contenus dans G: les points fixes x\ et x 2 sont placés dans une même classe quand on peut les joindre par un chemin l tel que l et $(1) appartiennent à G et soient homotopes dans G. Chaque classe constitue évidemment un ensemble isolé de points fixes; donc son indice est défini et reste constant quand <ß(x) et G varient continûment, en sorte qu'aucun point fixe n'appartienne jamais à G. III. LES POINTS FIXES D'UNE APPLICATION CONTINUE D'UN COMPACT 11. Soit %(x) une application continue en lui-même d'un espace compact O; supposons que G soit un rétracte d'une partie ouverte G d'un espace vectoriel à voisinages convexes X: il existe une application continue ir(x) de G sur G dont la restriction à C, supposé intérieur à G, est l'identité. Il est clair que les points fixes de %(x) sont ceux de l'application complètement continue 0(#) = ir^(x): les point fixes de %(x) ont un indice possédant les propriétés énoncées au 6. Si X est l'espace de Hilbert, C est un espace LG*; rappelons les deux définitions équivalentes de ces espaces (Lefschetz): ce sont les compacts métrisables et localement connexes pour toutes les dimensions; ce sont les rétractes absolus de voisinages. [7] généralise et complète les résultats précédents: l'indice de l'ensemble des points fixes de (#) est le nombre de Lefschetz de %(x) ; plus généralement i(f) est le nombre de Lefschetz de restrictions convenables de %(x) quand / est l'ensemble des points fixes de %(x) contenus dans une partie ouverte g de C telle que lim 0 W (0) C g. n-*+oo On connaît le théorème de Lefschetz [5]: (x) a, au moins un point fixe quand son nombre de Lefschetz diffère de zéro. Ce théorème est une conséquence de la théorie précédente; mais il s'applique à certains espaces compacts auxquels cette théorie n'a pas été étendue. Le problème est ouvert de savoir si cette théorie est un cas particulier d'une théorie plus générale, applicable à tout espace compact. IV. LES APPLICATIONS DE LA THéORIE DES POINTS FIXES La théorie des points fixes a des applications variées: Équations intégrales non linéaires: [24, Chapitre I], Problème de Dirichlet pour les équations non linéaires, du type elliptique à deux variables indépendantes: [22]. Calcul des variations: [13], [22].

6 POINTS FIXES ET APPLICATIONS EN ANALYSE 207 Problème de Dirichlet posé par la théorie des fluides visqueux: [24, Chapitres ii, m]. Équations linéaires, du type elliptique, à conditions aux limites non linéaires: [20]. Problèmes de représentation conforme du type d'helmholtz posés par les écoulements de fluides parfaits avec jets ou sillages: [21], [23], [25], Problèmes posés par les écoulements des fluides parfaits et compressibles: [18], [19]. BIBLIOGRAPHIE La théorie des points fixes: 1. G. D. BIRKHOFF et O. D. KELLOGG, Invariant points in function space, Trans. Amer. Math. Soc. t. 23 (1922) pp L. E. J. BROUWER, Über Abbildungen von Mannigfaltigkeiten, Math. Ann. t. 71 (1912) pp , Beweis der Invarianz des n-dimensionalen Gebiets, Math. Ann. t. 71 (1912) pp T. H. HILDEBRANDT et L. M. GRAVES, Implicit functions and their differentials in general analysis, Trans. Amer. Math. Soc. t. 29 (1927) pp , I. FREDHOLM, Sur une classe d'équations fonctionelles, Acta Math. t. 27 (1903) pp S. LEFSCHETZ, Algebraic topology, Amer. Math. Soc. Colloquium Publications, vol. 27, New York, 1942, Chap. VIII, 5 et 6, pp J. LERAY et J. SCHAUDER, Topologie et équations fonctionnelles, Ann. École Norm» t. 51 (1934) pp J. LERAY, Topologie des espaces de Banach, C. R. Acad. Soi. Paris t. 200 (1935) pp J. LERAY, Sur les équations et les transformations, Journal de Mathématiques t. 24 (1945) pp , Valeurs propres et vecteurs propres d'un endomorphisme complètement continu d'un espace vectoriel à voisinages convexes, Acta Univ. Szeged, t. 12 (1950) pp , Théorie des équations dans les espaces vectoriels à voisinages convexes (à paraître; professé au Collège de France en ). 10. J. NIELSEN, Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen Flächen I, Acta Math. t. 50 (1927) pp U.E. PICARD, Traité d'analyse, t. 3, Chap. V. 12. F. RIESZ, Über lineare Funktionalgleichungen, Acta Math. t. 41 (1918) pp E. ROTHE, Über Abbildungsklassen von Kugeln des Hilbertschen Raumes, Compositio Math. t. 4 (1937) pp , Zur Theorie der topologischen Ordnung und der Vektorfelder in Banachschen Räumen, Compositio Math. t. 5 (1937) pp , Über den Abbildungsgrad bei Abblidungen von Kugeln des Hilbertschen Raumes, Compositio Math. t. 5 (1937) pp , The theory of topological order in some linear topological spaces, Iowa State College Journal of Science t. 13 (1939) pp , Gradient mappings and extrema in Banach spaces, Duke Math. J. t. 15 (1948) pp , Gradient mappings in Hilbert spaces, Ann. of Math. t. 47 (1946) pp , Completely continuous scalar and variational methods, Ann. of Math, t. 49 (1948) pp

7 208 JEAN LERAY 14. J. SCHAUDER, Der Fixpünktsatz in Funktionalräumen, Studia Mathematica t. 2 (1930) pp , Über den Zusammenhang zwischen der Eindeutigkeit und Lösbarkeit partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung von elliptischen Typus, Math. Ann. t. 106 (1932) pp E. SCHMIDT, Über die Auflösung der nichtlinearen Integralgleichungen und die Verzweigung ihrer Lösungen, Math. Ann. t. 65 (1908) pp A. TYCHONOFF, Ein Fixpunktsatz, Math. Ann. t. 111 (1935) pp F. WEGKEN", Fixpunktklassen, Math. Ann. t. 117 (1941) pp ; t. 118 (1943) pp , Les applications de la théorie des points fixes: 18. L. BERS, An existence theorem in two-dimensional gas dynamics, à paraître. 19. C. JACOB, Sur l'écoulement lent d'un fluide parfait, compressible, autour d'un obstaclecirculaire, Mathematica t. 17 (1941) pp , Sur les mouvements lents des fluides parfaits compressibles, Portugaliae Mathematica t. 1 (1939) pp , , Thèse (Paris), Mathematica t. 11 (1935) pp , 22 à J. KRAVTGHENKO, Thèse (Paris), Journal de Mathématiques t. 21 (1942). 22. J. LERAY, Discussion d'un problème de Dirichlet, Journal de Mathématiques t. 18 (1939) pp , Les problèmes de représentation conforme de Helmholtz, Comment. Math. Helv. t. 8 (1935) pp , Théorie des sillages et des proues, Comment. Math. Helv. t. 8 (1935) pp , Thèse, Journal de Mathématiques t. 12 (1933) pp ~ 25. J. LERAY et A. WEINSTEIN, Sur un problème de représentation conforme posé par la théorie de Helmholtz, C. R. Acad. Sci. Paris t. 198 (1934) pp COLLèGE DE FRANCE, PARIS, FRANCE.

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