LA THÉORIE DES POINTS FIXES ET SES APPLICATIONS EN ANALYSE

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "LA THÉORIE DES POINTS FIXES ET SES APPLICATIONS EN ANALYSE"

Transcription

1 LA THÉORIE DES POINTS FIXES ET SES APPLICATIONS EN ANALYSE JEAN LERAY Â la mémoire du profond mathématicien polonais JULES SCHAUDER, victime des massacres de I. INTRODUCTION 1. Soit <t>(x) une application continue d'un espace X en lui-même; on nomme points fixes de <j>(x) les solutions de l'équation (1) x = 0(a). Nous ne parlerons pas de Vétude locale de l'équation (1). Cette étude fut faite d'abord par E. Picard [11], à l'aide de la méthode des approximations successives; puis par E. Schmidt [15], à l'aide de développements en séries, <j)(x) étant supposée holomorphe.,la notion d'espace de Banach permit à T. H. Hildebrandt et L. M. Graves [3] de systématiser la méthode de E. Picard; il est aisé [9] de systématiser de même celle de E. Schmidt. C'est de Vétude globale de l'équation (1) que nous nous occuperons. Cette étude fut faite d'abord par Fredholm [4], F. Riesz [12], quand <t>(x) est linéaire et transforme les parties bornées de X en parties compactes; puis, quand (f>(x) n'est pas linéaire, par L. E. J. Brouwer [2], Birkhoff et Kellogg [1], Lefschetz [5], Schauder [14], Leray [6], [7], Rothe [13], Tychonoff [16], Nielsen [10], et Wecken [17] ; deux types d'hypothèses 1 furent utilisés et conduisirent à des théories bien différentes: certains auteurs supposèrent que X est un espace vectoriel et que 4>(x) prend ses valeurs dans un compact; d'autres supposèrent que X est compact et vérifie des hypothèses appropriées. Ces hypothèses compliquent ce second point de vue, que nous n'aurons pas le temps d'analyser en détail; c'est d'ailleurs le premier point de vue qui se présente quand on applique la théorie des points fixes à celle des équations aux dérivées partielles. Exposons-le d'abord, en résumant [9], qui synthétise [2], [1], [14], [6], [16], [10], [17]. IL LES POINTS FIXES D'UNE APPLICATION COMPLèTEMENT CONTINUE D'UN ESPACE VECTORIEL À VOISINAGES CONVEXES 2. Définitions. Soit X un espace vectoriel à voisinages convexes: c'est un espace vectoriel (sur le corps des nombres réels) possédant une topologie de Hausdorff, qui puisse être définie par un système fondamental de voisinages convexes. Soit V un voisinage symétrique de 0; les points x± et x 2 de X sont dits voisins d'ordre V quand xi x 2 V. 1 D'autres hypothèses furent utilisées avec succès par E. Rothe; nous ne disposons malheureusement pas de la place qu'exigerait l'exposé de ses recherches. 202,

2 POINTS FIXES ET APPLICATIONS EN ANALYSE 203 Soit (j)(x) une application de X en lui-même complètement continue, c'est-à-dire qui applique continûment X dans une partie compacte de X; nous posons (x) = x ()>(x). G désignera une partie ouverte de X, G sa frontière et G = G U G son adhérence. 3. Les propriétés de $(x), du point de vue de la topologie générale. $(F) est fermé, quand F est fermé (autrement dit: l'application $>(x) est fermée). $^(0) est compact, quand C est compact. 4. La définition du degré topologique de $ (x). Supposons X de dimension finie et ^>(x) linéaire par morceaux, c'est-à-dire linéaire au voisinage de tout point n'appartenant pas à la réunion d'un ensemble d'hyperplans P\, n'ayant pas d'élément d'accumulation. Ces hyperplans décomposent X en domaines, que nous noterons Dj, D p, Z>7 suivant que le déterminant de <ï>(x) y est >0, =0, <0. Soit y un point de X étranger aux < >(6r), $(Px), et $(D V ) ; soit p [et n] le nombre des $((? Pi D^) [et des$(g fi DJ)] contenant y; p n est une fonction de y constante sur chacun des domaines d en lesquels $(G) décompose X; sa valeur est nommée degré topologique sur d de la restriction de < > à G et est notée on définit *(*, O, d); d (* f G, y) = d (#, G,d) si y Ç D même si y appartient à $(A) ou $(öj). Supposons X de dimension finie et <t>(x) complètement continue; soit y $ $(G) ; soit Fi un voisinage convexe et symétrique de 0 tel que le voisinage d'ordre Vi de y soit étranger à < (#) ; soit $i(#) une application linéaire par morceaux telle que $(x) et $i(x) soient voisins d'ordre Vi ; d ($i, G, y) est indépendant des choix de Vi et $i ; c'est, par définition, d ($, G, y). Cas général. Soit y ( $(G) ; soit Vi un voisinage convexe et symétrique de 0, tel que le voisinage d'ordre Vi de y soit étranger à $(G) ; soit $i(x) une application complètement continue, voisine d'ordre Vi de </>(#) et telle que< i(x) appartienne à un sous-espace Xi de dimension finie, contenant y; d ($i, G fl Xi, y) est indépendant des choix de Vi, $i(x) = x #I(œ)> Xi ; c'est par définition d ($, G, y). 5. Les propriétés du degré topologique. PROPRIéTé 5.1. d 0 ($, G, y) est un entier positif, nul ou négatif, défini quand $(#) x est complètement continue et que y $ $(G); d ($, G, y) reste constant quand $>, G, y varient continûment, en sorte que y $ $(G). En particulier, d ($, G, y) ne dépend que de y et de la restriction de $ à G; on peut même, ce qu'utilise le 7, définir d ($, G, y) en supposant $ défini seulement sur G. PROPRIéTé 5.2. Si d ($, G, y) ^ 0, alors y G $(0).

3 204 JEAN LERAY PROPRIéTé 5.3. Si les G a sont des parties ouvertes de G, deux à deux sans point commun et telles que < >(#) ^ y quand x Ç. G, x $ G a, alors PROPRIéTé 5.4. Soit ty(x) x une seconde application complètement continue, définie sur 3>(G); soient d a les domaines en lesquels < ((r) décompose X [autrement dit: les d a sont les composantes connexes du complémentaire de $($)]; si y $ ^(G), alors on a a #( *, G, y) = E #(*, G, d a )-d (% d a, y). a PROPRIéTé 5.5. Supposons X somme directe de deux espaces Xi et X 2 : X = Xi + X 2 ; x = Xi + x 2 ; $(a?) = $i(a?) + $ 2 (x), où x a X«, $«6 X«; on a $i(x) = ^i(x±, x 2 ) ; supposons $ 2 (x) = $ 2 (x 2 ) fonction seulement de x 2. Soit Gx une partie ouverte de Xi et D 2 un domaine de X 2 ; si y\ $ 3?i(ffi, D 2 ) et y 2 $ 3> 2 (D 2 ) y alors #(*, Gx + D 2,2/1 + 2/2) = d ($i, (?i, 2/1) 'd (^2, A, 2/2), d ($i(xi, x 2 ), Gi, 2/1) devant être calculé en supposant que x 2 est un point fixe, arbitraire de D L'indice des points fixes d'une application complètement continue <t>(x). Soit F un ensemble isolé de point fixes de <t>(x) : F a un voisinage G ne contenant d'autres points fixes que les points de F; F est compact; d ($, G, 0) est indépendant du choix de G, est nommé indice de F et est noté i(f). Les propriétés du degré ont pour conséquences immédiates les propriétés suivantes de l'indice: PROPRIéTé 6.1. Soit F l'ensemble des points fixes de <ß(x) contenus dans une partie ouverte G de X; F est compact et i(f) est défini, quand G ne contient aucun point fixe; i(f) est un entier positif, négatif, ou nul, qui reste constant quand <l>(x) et G varient continûment, sans que G ne contienne jamais de point fixe de <ß(x). COROLLAIRE 6.1. i(f) ne dépend que de la restriction de <l>(x) à G. COROLLAIRE 6.2. Si <ß(x) possède au point fixe a une différentielle 2 complètement continue X(x a), telle que a + X(x a) ait pour seul point fixe a, alors a est un point fixe isolé de (j>(x) ayant les mêmes indices comme point fixe de <t>(x) et comme point fixe de a + X(x a). PROPRIéTé 6.2. F n'est pas vide, si i(f) ^ 0. PROPRIéTé 6.3. Si F est la réunion d'un nombre fini de compacts F a, deux à deux sans point commun, alors i(f) = y] a i(f a ). 2 \(y) est linéaire homogène; il existe un voisinage F de 0 tel que, si e est un nombre réel tendant vers 0, le transformé par _1 [0(rc) a \(x a)] du voisinage de a d'ordre ev tende vers 0.

4 POINTS FIXES ET APPLICATIONS EN ANALYSE 205 PROPRIéTé 6.4. Soient deux espaces Xi et X 2, une partie ouverte Gi de Xi, un domaine D 2 de X 2, une application complètement continue 0I(.TI, x 2 ) de Xi + X2 dans Xi et une application complètement continue <j>(x 2 ) de X 2 en lui-même. Supposons x\ T* <t>i(xi, x 2 ) pour xi G 1, x 2 G D 2 ; x 2 =é <l>(x 2 ) pour x 2 G t> 2 ; soit i Vindice des points fixes Xi + x 2 G 6?i + D 2 de <j>\(xi, x 2 ) + <j> 2 (x 2 ) ; soit ii l'indice des points fixes xi G Gi defa (x%, x 2 ), quand x 2 G D 2 ; soit i 2 l'indice des points fixes $2 G D 2 de (j> 2 (x 2 ). On a i = iv Ì2. Ces propriétés de l'indice permettent de prouver des théorèmes d'existence (d'après la propriété 6,2, il existe au moins un point fixe quand l'indice de l'ensemble des points fixes diffère de zéro; les propriétés 6.1 et 6.3 permettent de déterminer l'indice de l'ensemble des points fixes) et des théorèmes d'unicité (si l'indice de l'ensemble des points fixes est e = ± 1 et si le corollaire 6.2 et la propriété 9.1 permettent de prouver que chaque point fixe est isolé et a l'indice e, alors il existe un point fixe unique). 7. Le thêroème de Jordan-Brouwer. Soient F et F f deux parties fermées de X, entre lesquelles existe un homêomorphisme x <-> x f ; F et F' décomposent X en le même nombre de domaines, s'il existe un compact contenant toutes les valeurs prises par x x f. (On sait que cette hypothèse est essentielle: la sphère de Hilbert F: xl + x\ = 1 décompose l'espace en deux domaines; on peut l'appliquer isométriquement sur F f : x± = 0, x\ + #3 + = 1, dont le complémentaire constitue un seul domaine. PREUVE. Soient D\ et D M les domaines en lesquels F et F' décomposent X. Posons $(x) = x'^ty) = x; ona^$(«) = x et ^f(x f ) = œ'; d'après la propriété 5.4 les matrices d (<ï>, D\, D^) et d ($r, D M, Dx) sont inverses l'une de l'autre; elles sont donc carrées. On prouve de même : 8. L'invariance du domaine. L'image $(D) d'un domaine D par un homêomorphisme $>(x) est un domaine si $(x) x est complètement continue (hypothèse essentielle). 9. Les équations linéaires. Soit \(x) une application linéaire et homogène de X en lui-même, qui soit complètement continue sur un voisinage de l'origine convenablement choisi; soit p un nombre réel; soit A p (x) = x pk(x) t L'invariance du domaine a pour conséquence immédiate l'alternative de Fredholm: ou bien A p (x) a d'autres zéros que x = 0; ou bien A p (x) applique X sur lui-même. Il est aisé [8], en simplifiant des raisonnements de F. Riesz [12], d'en déduire les autres théorèmes de Fredholm. D'où:

5 206 JEAN LERAY PROPRIéTé 9.1. Soit n p la dimension de l'espace vectoriel constitué par les zéros de A p (x), Ap(A p (ao), ; soit n = X)O<P<I n p ; si x = 0 est le seul point fixe de X(#)> son indice est ( 1)". En particulier cet indice est le signe, pour p = 1, de la déterminante de Fredholm, si \(x) est une application du type de Fredholm: x(s) -> / K(s, t)x(t) dt. 10. Les classes de points fixes. Le procédé de Nielsen [10] et Wecken [17] permet de classer les points fixes de <j>(x) contenus dans G: les points fixes x\ et x 2 sont placés dans une même classe quand on peut les joindre par un chemin l tel que l et $(1) appartiennent à G et soient homotopes dans G. Chaque classe constitue évidemment un ensemble isolé de points fixes; donc son indice est défini et reste constant quand <ß(x) et G varient continûment, en sorte qu'aucun point fixe n'appartienne jamais à G. III. LES POINTS FIXES D'UNE APPLICATION CONTINUE D'UN COMPACT 11. Soit %(x) une application continue en lui-même d'un espace compact O; supposons que G soit un rétracte d'une partie ouverte G d'un espace vectoriel à voisinages convexes X: il existe une application continue ir(x) de G sur G dont la restriction à C, supposé intérieur à G, est l'identité. Il est clair que les points fixes de %(x) sont ceux de l'application complètement continue 0(#) = ir^(x): les point fixes de %(x) ont un indice possédant les propriétés énoncées au 6. Si X est l'espace de Hilbert, C est un espace LG*; rappelons les deux définitions équivalentes de ces espaces (Lefschetz): ce sont les compacts métrisables et localement connexes pour toutes les dimensions; ce sont les rétractes absolus de voisinages. [7] généralise et complète les résultats précédents: l'indice de l'ensemble des points fixes de (#) est le nombre de Lefschetz de %(x) ; plus généralement i(f) est le nombre de Lefschetz de restrictions convenables de %(x) quand / est l'ensemble des points fixes de %(x) contenus dans une partie ouverte g de C telle que lim 0 W (0) C g. n-*+oo On connaît le théorème de Lefschetz [5]: (x) a, au moins un point fixe quand son nombre de Lefschetz diffère de zéro. Ce théorème est une conséquence de la théorie précédente; mais il s'applique à certains espaces compacts auxquels cette théorie n'a pas été étendue. Le problème est ouvert de savoir si cette théorie est un cas particulier d'une théorie plus générale, applicable à tout espace compact. IV. LES APPLICATIONS DE LA THéORIE DES POINTS FIXES La théorie des points fixes a des applications variées: Équations intégrales non linéaires: [24, Chapitre I], Problème de Dirichlet pour les équations non linéaires, du type elliptique à deux variables indépendantes: [22]. Calcul des variations: [13], [22].

6 POINTS FIXES ET APPLICATIONS EN ANALYSE 207 Problème de Dirichlet posé par la théorie des fluides visqueux: [24, Chapitres ii, m]. Équations linéaires, du type elliptique, à conditions aux limites non linéaires: [20]. Problèmes de représentation conforme du type d'helmholtz posés par les écoulements de fluides parfaits avec jets ou sillages: [21], [23], [25], Problèmes posés par les écoulements des fluides parfaits et compressibles: [18], [19]. BIBLIOGRAPHIE La théorie des points fixes: 1. G. D. BIRKHOFF et O. D. KELLOGG, Invariant points in function space, Trans. Amer. Math. Soc. t. 23 (1922) pp L. E. J. BROUWER, Über Abbildungen von Mannigfaltigkeiten, Math. Ann. t. 71 (1912) pp , Beweis der Invarianz des n-dimensionalen Gebiets, Math. Ann. t. 71 (1912) pp T. H. HILDEBRANDT et L. M. GRAVES, Implicit functions and their differentials in general analysis, Trans. Amer. Math. Soc. t. 29 (1927) pp , I. FREDHOLM, Sur une classe d'équations fonctionelles, Acta Math. t. 27 (1903) pp S. LEFSCHETZ, Algebraic topology, Amer. Math. Soc. Colloquium Publications, vol. 27, New York, 1942, Chap. VIII, 5 et 6, pp J. LERAY et J. SCHAUDER, Topologie et équations fonctionnelles, Ann. École Norm» t. 51 (1934) pp J. LERAY, Topologie des espaces de Banach, C. R. Acad. Soi. Paris t. 200 (1935) pp J. LERAY, Sur les équations et les transformations, Journal de Mathématiques t. 24 (1945) pp , Valeurs propres et vecteurs propres d'un endomorphisme complètement continu d'un espace vectoriel à voisinages convexes, Acta Univ. Szeged, t. 12 (1950) pp , Théorie des équations dans les espaces vectoriels à voisinages convexes (à paraître; professé au Collège de France en ). 10. J. NIELSEN, Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen Flächen I, Acta Math. t. 50 (1927) pp U.E. PICARD, Traité d'analyse, t. 3, Chap. V. 12. F. RIESZ, Über lineare Funktionalgleichungen, Acta Math. t. 41 (1918) pp E. ROTHE, Über Abbildungsklassen von Kugeln des Hilbertschen Raumes, Compositio Math. t. 4 (1937) pp , Zur Theorie der topologischen Ordnung und der Vektorfelder in Banachschen Räumen, Compositio Math. t. 5 (1937) pp , Über den Abbildungsgrad bei Abblidungen von Kugeln des Hilbertschen Raumes, Compositio Math. t. 5 (1937) pp , The theory of topological order in some linear topological spaces, Iowa State College Journal of Science t. 13 (1939) pp , Gradient mappings and extrema in Banach spaces, Duke Math. J. t. 15 (1948) pp , Gradient mappings in Hilbert spaces, Ann. of Math. t. 47 (1946) pp , Completely continuous scalar and variational methods, Ann. of Math, t. 49 (1948) pp

7 208 JEAN LERAY 14. J. SCHAUDER, Der Fixpünktsatz in Funktionalräumen, Studia Mathematica t. 2 (1930) pp , Über den Zusammenhang zwischen der Eindeutigkeit und Lösbarkeit partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung von elliptischen Typus, Math. Ann. t. 106 (1932) pp E. SCHMIDT, Über die Auflösung der nichtlinearen Integralgleichungen und die Verzweigung ihrer Lösungen, Math. Ann. t. 65 (1908) pp A. TYCHONOFF, Ein Fixpunktsatz, Math. Ann. t. 111 (1935) pp F. WEGKEN", Fixpunktklassen, Math. Ann. t. 117 (1941) pp ; t. 118 (1943) pp , Les applications de la théorie des points fixes: 18. L. BERS, An existence theorem in two-dimensional gas dynamics, à paraître. 19. C. JACOB, Sur l'écoulement lent d'un fluide parfait, compressible, autour d'un obstaclecirculaire, Mathematica t. 17 (1941) pp , Sur les mouvements lents des fluides parfaits compressibles, Portugaliae Mathematica t. 1 (1939) pp , , Thèse (Paris), Mathematica t. 11 (1935) pp , 22 à J. KRAVTGHENKO, Thèse (Paris), Journal de Mathématiques t. 21 (1942). 22. J. LERAY, Discussion d'un problème de Dirichlet, Journal de Mathématiques t. 18 (1939) pp , Les problèmes de représentation conforme de Helmholtz, Comment. Math. Helv. t. 8 (1935) pp , Théorie des sillages et des proues, Comment. Math. Helv. t. 8 (1935) pp , Thèse, Journal de Mathématiques t. 12 (1933) pp ~ 25. J. LERAY et A. WEINSTEIN, Sur un problème de représentation conforme posé par la théorie de Helmholtz, C. R. Acad. Sci. Paris t. 198 (1934) pp COLLèGE DE FRANCE, PARIS, FRANCE.

Applications linéaires

Applications linéaires Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Table des matières. Applications linéaires.

Table des matières. Applications linéaires. Table des matières Introduction...2 I- s et exemples...3 1-...3 2- Exemples...4 II- Noyaux et images...5 1- Rappels : images directes et images réciproques...5 a- s...5 b- Quelques exemples...5 2- Ker

Plus en détail

Un tout petit peu d homotopie

Un tout petit peu d homotopie Vincent Beck On note I = [ 0, 1 ]. Un tout petit peu d homotopie 0.1 Homotopie Définition 1 Applications homotopes. Soient X, Y deux espaces topologiques et f, g : X Y deux applications continues. On dit

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale 22 septembre 2015 Généralités Dans tout ce qui suit V désigne un espace de Hilbert réel muni d un produit scalaire x, y. Définition Soit A une application

Plus en détail

ŒUVRES DE LAURENT SCHWARTZ

ŒUVRES DE LAURENT SCHWARTZ ŒUVRES DE LAURENT SCHWARTZ LAURENT SCHWARTZ Sur le théorème du graphe fermé C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B, 263 (1966), p. A602-A605. Extrait des Œuvres de Laurent Schwartz publiées par la Société mathématique

Plus en détail

1 - INTERPOLATION. J-P. Croisille. Semestre S7, master de mathématiques M1, année 2008/2009. Université Paul Verlaine-Metz

1 - INTERPOLATION. J-P. Croisille. Semestre S7, master de mathématiques M1, année 2008/2009. Université Paul Verlaine-Metz 1 - INTERPOLATION J-P. Croisille Université Paul Verlaine-Metz Semestre S7, master de mathématiques M1, année 2008/2009 1- INTRODUCTION Théorie de l interpolation: approximation de f(x) par une fonction

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Première partie. Deuxième partie

Première partie. Deuxième partie PC 96-97 correction épreuve X97 Première partie. f étant convexe sur l intervalle [t, t 2 ], sa courbe représentative est en dessous la corde joignant les points (t, f(t )) et (t 2, f(t 2 )). Comme f(t

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications linéaires

Espaces vectoriels et applications linéaires Espaces vectoriels et applications linéaires Exercice 1 On considère l'ensemble E des matrices carrées d'ordre 3 défini par,,, 1) Montrer que est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des matrices

Plus en détail

Exo7. Formes quadratiques. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr

Exo7. Formes quadratiques. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr Exo Formes quadratiques Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés Énoncé Soit E un espace vectoriel sur IK (IK = IR ou lc). Soit f un endomorphisme de E. On pose f 0 = Id E, et pour tout entier k 1, f k = f f k 1. 1. Montrer que (Im f k ) k 0 et (Ker f k ) k 0 forment

Plus en détail

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE P. Pansu 16 mai 2005 1 Qu est-ce que la topologie? C est l étude des propriétés des objets qui sont conservées par déformation continue. Belle phrase, mais qui nécessite d

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Dédié à Ky Fan, en témoignage de notre profonde admiration

Dédié à Ky Fan, en témoignage de notre profonde admiration Topological Methods in Nonlinear Analysis Journal of the Juliusz Schauder Center Volume 5, 1995, 261 269 FAMILLES SÉLECTANTES Paul Deguire Marc Lassonde Dédié à Ky Fan, en témoignage de notre profonde

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation «Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se

Plus en détail

' L'idée de décomposer un volume en (( tranches )) et de ramener une NOTE HISTOKIQUE

' L'idée de décomposer un volume en (( tranches )) et de ramener une NOTE HISTOKIQUE NOTE HISTOKIQUE (N.-B. - Les chiffres romains renvoient à la hibliographie placée à la fin de cette note.) Avec le développement du (( calcul vectoriel u au cours du xlxe siècle, il était courant d'avoir

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite

Plus en détail

L usage de la calculatrice n est pas autorisé.

L usage de la calculatrice n est pas autorisé. e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble

Plus en détail

Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal

Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal 19 Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal Dans un premier temps, E est un espace vectoriel réel de dimension n 1. 19.1 Espaces vectoriels euclidiens Dénition 19.1 On dit qu'une forme bilinéaire

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2.1 Définition Une matrice n m est un tableau rectangulaire de nombres (réels en général) à n lignes et m colonnes ; n et m sont les dimensions de la matrice. Notation.

Plus en détail

INTÉGRATION SUR LES SURFACES. Le but de ce texte est d expliquer comment définir et calculer des expressions du type

INTÉGRATION SUR LES SURFACES. Le but de ce texte est d expliquer comment définir et calculer des expressions du type INTÉGRATION SUR LES SURFACES Le but de ce texte est d expliquer comment définir et calculer des expressions du type φ(x)dσ(x) Σ où Σ est une surface de classe C 1 de R 3 ou plus généralement une hypersurface

Plus en détail

COR TD 2. Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : x + x, y + y )

COR TD 2. Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : x + x, y + y ) COR TD 2 Année 21 Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : f 1 : R 2 R 2 f 1 x, y = 2x + y, x y f 2 : R R f 2 x, y, z = xy, x, y f : R R f x, y, z = 2x + y + z, y z, x

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

Espaces vectoriels. Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires. 2MA01-Licence de Mathématiques

Espaces vectoriels. Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires. 2MA01-Licence de Mathématiques Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires 2MA01-Licence de Mathématiques Espaces vectoriels Exercice 1 Soit E un espace vectoriel. Pour x, y E et λ, µ K, montrer

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7.

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7. Mathématiques pour l informatique IMAC première année - Soutien - Nombres complexes Rappels. Un nombre complexe z admet plusieurs représentations : représentation vectorielle z = (a, b) où a, b R représentation

Plus en détail

L3 MASS Calcul différentiel (cours et exercices) John BOXALL (Année universitaire 2009 2010 ) Introduction

L3 MASS Calcul différentiel (cours et exercices) John BOXALL (Année universitaire 2009 2010 ) Introduction L3 MASS Calcul différentiel (cours et exercices) John BOXALL (Année universitaire 2009 2010 ) Introduction (0.1) Ce cours s articule autour du calcul différentiel et, en particulier, son application au

Plus en détail

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels.

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay Exo7 Sujets de l année 28-29 1 Partiel Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. On suppose a + c = b + d = 1 et a b 1. ( ) a b c d 1. Soient (x 1,x

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Examen Partiel. Un soin particulier dans la rédaction est demandé. Les astérisques indiquent l importance des questions et non pas leur difficulté.

Examen Partiel. Un soin particulier dans la rédaction est demandé. Les astérisques indiquent l importance des questions et non pas leur difficulté. UFR de Mathématiques, Université de Paris 7 DEA 1996/97 premier semestre Introduction à la cohomologie de de Rham des variétés algébriques A. Arabia & Z. Mebkhout Vendredi 6 décembre 1996 Examen Partiel

Plus en détail

208. Espaces vectoriels normés. Applications linéaires continues. Exemples.

208. Espaces vectoriels normés. Applications linéaires continues. Exemples. 208. Espaces vectoriels normés. Applications linéaires continues. Exemples. Pierre Lissy May 29, 2010 Dans totue la suite, E désigne un espace vectoriel sur R ou C. 1 Norme. Espace vectoriel normé 1.1

Plus en détail

C) Fiche : Espaces vectoriels.

C) Fiche : Espaces vectoriels. C) Fiche : Espaces vectoriels. 1) Définition d'un espace vectoriel. K= I ou est le corps des scalaires. E est un K-espace I vectoriel si et seulement si : C'est un ensemble non vide muni de deux opérations,

Plus en détail

Extrema locaux (ou relatifs)

Extrema locaux (ou relatifs) Chapitre 3 Extrema locaux (ou relatifs) 3.0.77 DÉFINITION Soit f : U! R une fonction, U ouvert d un espace vectoriel normé E et a 2 U. On dit que f présente un minimum local (respectivement un maximum

Plus en détail

ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 2007

ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 2007 ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 27 CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES INGÉNIEURS DU CONTRÔLE DE LA NAVIGATION AÉRIENNE Épreuve commune obligatoire de MATHÉMATIQUES Durée : 4 Heures Coefficient

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

Cours MP. Espaces vectoriels normés

Cours MP. Espaces vectoriels normés Table des matières Espaces vectoriels normés B. Seddoug. Médiane Sup, Oujda I Norme et distance 1 I.1 Définitions..................... 1 I.2 Evn produit.................... 12 I.3 Notions topologiques

Plus en détail

CENTRALE PC 2000 ÉPREUVE DE MATH 2. Première partie

CENTRALE PC 2000 ÉPREUVE DE MATH 2. Première partie CENTRALE PC 2000 ÉPREUVE DE MATH 2 Première partie I. A. 1. La fonction x px kx 2 = x(p kx) présente un maximum pour toute valeur de p au point d abscisse x = p p2 et il vaut 2k 2k. Conclusion : J(f) =

Plus en détail

CONCOURS D'ELEVE INGENIEUR STATISTICIEN ECONOMISTE OPTIONS MATHEMATIQUES ET ECONOMIE. Les candidats traiteront l'un des trois sujets au choix.

CONCOURS D'ELEVE INGENIEUR STATISTICIEN ECONOMISTE OPTIONS MATHEMATIQUES ET ECONOMIE. Les candidats traiteront l'un des trois sujets au choix. ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D'ECONOMIE APPLIQUEE ABIDJAN 1 AVRIL 21 CONCOURS D'ELEVE INGENIEUR STATISTICIEN ECONOMISTE OPTIONS MATHEMATIQUES ET ECONOMIE EPREUVE D'ORDRE GENERAL DUREE :

Plus en détail

TOPOLOGIE. une partie X d'un métrique est dite bornée ssi il existe une boule contenant X ; définition : diamètre : diam(x)=min{ r R

TOPOLOGIE. une partie X d'un métrique est dite bornée ssi il existe une boule contenant X ; définition : diamètre : diam(x)=min{ r R TOPOLOGIE 1) DISTANCE, ESPACES MÉTRIQUES a : distances : d'après le cours de M. Nicolas Tosel professeur en MP* au Lycée du Parc, Lyon Année 2004 2005 une distance est une application d de E dans R + telle

Plus en détail

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Calculs préliminaires.

Calculs préliminaires. MINES-PONTS 005. Filière MP. MATHÉMATIQES 1. Corrigé de JL. Lamard jean-louis.lamard@prepas.org) Calculs préliminaires. Notons que si f H alors f)e / est bien intégrable sur R car continue positive et

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Développements limités. Notion de développement limité

Développements limités. Notion de développement limité MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un

Plus en détail

1 Fonctions de plusieurs variables

1 Fonctions de plusieurs variables Université de Paris X Nanterre U.F.R. Segmi Année 006-007 Licence Economie-Gestion première année Cours de Mathématiques II. Chapitre 1 Fonctions de plusieurs variables Ce chapitre est conscré aux fonctions

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J.

Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J. Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J. FAIVRE s de cours exigibles au bac S en mathématiques Enseignement

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples 45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et

Plus en détail

est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls.

est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls. Diagonalisation des matrices http://www.math-info.univ-paris5.fr/~ycart/mc2/node2.html Sous-sections Matrices diagonales Valeurs propres et vecteurs propres Polynôme caractéristique Exemples Illustration

Plus en détail

Introduction à la Topologie

Introduction à la Topologie Introduction à la Topologie Licence de Mathématiques Université de Rennes 1 Francis Nier Dragoş Iftimie 2 3 Introduction Ce cours s adresse à des étudiants de Licence en mathématiques. Il a pour objectif

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M Topologie 1 Espaces métriques 1.1 Distance Dans toute cette partie E représente un ensemble qui n est pas forcément un espace vectoriel. Définition

Plus en détail

Théorie et codage de l information

Théorie et codage de l information Théorie et codage de l information Les codes linéaires - Chapitre 6 - Principe Définition d un code linéaire Soient p un nombre premier et s est un entier positif. Il existe un unique corps de taille q

Plus en détail

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé ALGÈBRE PAD - Notes de cours S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé November 23, 2006 Table des Matières Espaces vectoriels Applications linéaires - Espaces vectoriels............................... 3 -. Approche

Plus en détail

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace

Plus en détail

Sur certaines séries entières particulières

Sur certaines séries entières particulières ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane

Plus en détail

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau Théorie spectrale Stéphane Maingot & David Manceau 2 Théorie spectrale 3 Table des matières Introduction 5 1 Spectre d un opérateur 7 1.1 Inversibilité d un opérateur........................... 7 1.2 Définitions

Plus en détail

EQUATIONS ELLIPTIQUES SEMI LINEAIRES DANS DES DOMAINES NON BORNES DE IR N

EQUATIONS ELLIPTIQUES SEMI LINEAIRES DANS DES DOMAINES NON BORNES DE IR N PORTUGALIAE MATHEMATICA Vol. 53 Fasc. 4 1996 EQUATIONS ELLIPTIQUES SEMI LINEAIRES DANS DES DOMAINES NON BORNES DE IR N B. Khodja Résumé: Soit f une fonction numérique continue, localement lipschitzienne

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Base : une axiomatique

Base : une axiomatique Autour des groupes de réflexions Master 2 Mathématiques fondamentales Cours : Michel Broué Université Paris VII Denis Diderot TD : Vincent Beck Année 2005 2006 Base : une axiomatique a) D après (i), on

Plus en détail

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples

208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples 208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples On se xe un corps K = R ou C. Tous les espaces vectoriels considérés auront K comme corps de base. 1 Généralités Remarque. Tout

Plus en détail

Compacité faible et Axiome du Choix Séminaire ERMIT

Compacité faible et Axiome du Choix Séminaire ERMIT Compacité faible et Axiome du Choix Séminaire ERMIT Marianne Morillon 12 et 19 février 2007 Questions Etant donné un espace normé E, on note par défaut. sa norme, B E sa boule unité large: B E := {x E

Plus en détail

3.1 Espace vectoriel. La multiplication par un scalaire. L'addition et la multiplication par un scalaire obeissent aux regles suivantes :

3.1 Espace vectoriel. La multiplication par un scalaire. L'addition et la multiplication par un scalaire obeissent aux regles suivantes : .1 Espace vectoriel Un espace vectoriel de dimension p sur le corps des reels IR est une construction mathematique dont les elements sont des vecteurs. Il est deni par deux operations : L'addition. Soient

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

Résume du cours de Mécanique Analytique

Résume du cours de Mécanique Analytique Résume du cours de Mécanique Analytique jean-eloi.lombard@epfl.ch 22 janvier 2009 Table des matières 1 Équations de Lagrange 1 1.1 Calcul des variations....................... 3 1.2 Principe de moindre

Plus en détail

Recherche Opérationnelle 1A Programmation Linéaire Résolution d un Programme Linéaire Introduction

Recherche Opérationnelle 1A Programmation Linéaire Résolution d un Programme Linéaire Introduction Recherche Opérationnelle 1A Programmation Linéaire Résolution d un Programme Linéaire Introduction Zoltán Szigeti Ensimag April 4, 2015 Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, 2015 1 / 16 Forme Générale Définition

Plus en détail

ANALYSE FONCTIONELLE ET THÉORIE DES OPÉRATEURS. COURS et EXERCICES

ANALYSE FONCTIONELLE ET THÉORIE DES OPÉRATEURS. COURS et EXERCICES MASTER (MATHÉMATIQUES PURES) ANALYSE FONCTIONELLE ET THÉORIE DES OPÉRATEURS COURS et EXERCICES Emmanuel Fricain - 2009-2010 - 2 Table des matières 1 Opérateurs bornés... 7 1.1 Adjoint d une application

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES I

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES I CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

Rappels sur les applications linéaires

Rappels sur les applications linéaires Rappels sur les applications linéaires 1 Définition d une application linéaire Définition 1 Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps K et f une application de E dans F Dire que f est linéaire

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications

Espaces vectoriels et applications Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Définitions On parle d espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les définitions sont les mêmes en substituant R à C ou vice versa. Définition

Plus en détail

λ i f( x i ) (doncf(cl( x i ))=cl(f( x i )))

λ i f( x i ) (doncf(cl( x i ))=cl(f( x i ))) A) APPLICATIONS LINÉAIRES REM : dans ce cours,e,f etgdésignent desk-espaces vectoriels. I) GÉNÉRALITÉS. 1) Définition. DEF : Soit f une application de E dans F ; on dit que f est K-linéaire (ou que c est

Plus en détail

Intégrale de Lebesgue

Intégrale de Lebesgue Intégrale de Lebesgue ÉCOLE POLYTECHNIQUE Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 1 / 50 1. Motivations et points de vue ÉCOLE POLYTECHNIQUE Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 2 / 50 Deux

Plus en détail

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois

Plus en détail

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint 18 mars 2008 1 Généralités sur les opérateurs 1.1 Définitions Soient H et H deux espaces de Hilbert sur C. Définition 1.1

Plus en détail

FICHE DE RÉVISION DU BAC

FICHE DE RÉVISION DU BAC Introduction Pré-requis : Etude de fonctions dérivées logarithmes et exponentielles continuité Plan du cours 1. Intégrales 2. Primitives 1. Intégrales A. Aire sous la courbe Méthode des rectangles : Pour

Plus en détail

Cours FPV - Semaine 3 : Recherche d Extrema et Formes Différentielles

Cours FPV - Semaine 3 : Recherche d Extrema et Formes Différentielles Cours FPV - Semaine 3 : Recherche d Extrema et Formes Différentielles Frédéric Messine Introduction Dans ce chapitre, nous allons étudier une application de la dérivation des fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Restauration d images

Restauration d images Restauration d images Plan Présentation du problème. Premières solutions naïves (moindre carrés, inverse généralisée). Méthodes de régularisation. Panorama des méthodes récentes. Problème général Un système

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Bibliothèque d exercices Énoncés L1 Feuille n 18 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes (de E i dans F i ) sont linéaires : f 1 : (x, y) R (x + y, x

Plus en détail

Carl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939)

Carl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939) Par Boris Gourévitch "L'univers de Pi" http://go.to/pi314 sai1042@ensai.fr Alors ça, c'est fort... Tranches de vie Autour de Carl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939) est transcendant!!! Carl Louis

Plus en détail

2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert

2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2. Opérateurs non bornés: définitions et propriétés élémentaires Soit H un espace de Hilbert et A un opérateur dans H, c est-à-dire, une application linéaire

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Notes de cours L1 MATH120. Hervé Le Dret

Notes de cours L1 MATH120. Hervé Le Dret Notes de cours L1 MATH120 Hervé Le Dret 18 octobre 2004 40 Chapitre 3 Vecteurs dans R m Dans ce chapitre, nous allons nous familiariser avec la notion de vecteur du point de vue algébrique. Nous reviendrons

Plus en détail