Modélisation du comportement de composites aléatoires multi-échelle

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Matthieu Delisle
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1 Modélisation du comportement de composites aléatoires multi-échelle François Willot, Dominique Jeulin Centre de morphologie mathématique, Fontainebleau Mines-Paritech 1

2 Modélisation du comportement de composites Introduction 2. Calculs numériques par transformée de Fourier rapide 3. Validation de l'outil numérique pour l'élasticité en 3D 4. Schéma booléen de sphères 5. Milieu multi-échelle 6. Conclusion 2

3 Introduction Buts Calculer, par des méthodes numériques, le comportment mécanique effectif (à grande échelle) de microstructures désordonnées représentatives de la géométrie de composites modules élastiques effectifs distribution des contraintes et des déformations taille caractéristique des champs, optimisation de microstructure etc. Prise en compte 1) du comportement élastique local des phases en présence 2) de la microstructure (toutes les échelles de longueur pertinentes dans le matériau) 3

4 Introduction Effets dus aux forts contrastes Cas de contraste infini entre les phases (pores / renforts rigides) pertinent pour les nanomatériaux seuil de percolation mécanique ; dépend fortement de la microstructure Théories d'homogénéisation (bornes exactes) : montrent de grandes disparités dans le comportement élastique effectif selon la microstructure calculs numériques nécessaires afin d'incorporer l'ensemble des informations statistiques Données expérimentalles et calculs numériques : nécessite de considérer des système de taille finie 4

5 Modélisation du comportement de composites Introduction 2. Calculs numériques par transformée de Fourier rapide 3. Validation de l'outil numérique pour l'élasticité en 3D 4. Schéma booléen de sphères 5. Milieu multi-échelle 6. Conclusion Mecamat, Fontainebleau, avril 2008, Volume élémentaire représentatif... 5

Itérations dans le domaine de Fourier (fonction de Green) et espace réel.

6 Calculs numériques par transformées de Fourier Outil numérique : champs calculés par la méthode des transformées de Fourier (Moulinec, Suquet, Michel, 1994, 2001) avec Lagrangien augmenté. Itérations dans le domaine de Fourier (fonction de Green) et espace réel. Méthode générale permetant le calcul de champs localisés dans (cas de forte non-linéarités, milieux incompressibles etc.) Matrice incompressible en plasticité parfaite (déformation en pression) Bandes de localisation de la déformation équivalente ε eq Cisaillement 6

7 Modélisation du comportement de composites Introduction 2. Calculs numériques par transformée de Fourier rapide 3. Validation de l'outil numérique pour l'élasticité en 3D 4. Schéma booléen de sphères 5. Milieu multi-échelle 6. Conclusion 7

8 Validation sur un réseau cubique Comparaison entre calculs numériques (FFT) et estimations de Bergman, Cohen (2003) pour un réseau cubique de sphères rigides ĸ µ matrice 1/3 ½ inclusions Module de compressibilité en fonction du contraste 8

9 Modélisation du comportement de composites Introduction 2. Calculs numériques par transformée de Fourier rapide 3. Validation de l'outil numérique pour l'élasticité en 3D? 4. Schéma booléen de sphères 5. Milieu multi-échelle 6. Conclusion 9

Schéma booléen de sphères Sphères quasi-rigides ou poreuses distribuées aléatoirement dans une matrice en élasticité linéaire * Le nombre de sphères rigides dans un domaine suit une loi de Poisson *

10 Schéma booléen de sphères Sphères quasi-rigides ou poreuses distribuées aléatoirement dans une matrice en élasticité linéaire * Le nombre de sphères rigides dans un domaine suit une loi de Poisson * Conditions aux bords périodiques Systèmes de taille (20 configurations) ou (2 conf.) soumis à un chargement hydrostatique Existence de deux seuils de percolation pour la phase rigide et la matrice (resp. ~ 30% et ~95% d'inclusions) 10

Module de compressibilité effectif (cas rigide) d ĸ µ matrice 1/3 ½ inclusions 1000 1000 c b a perco.

11 Module de compressibilité effectif (cas rigide) d ĸ µ matrice 1/3 ½ inclusions c b a perco. Module de compressibilité en fonction de la concentration en phase rigide, bornes (HS, Beran) et approximation auto-cohérente 11

12 Module de compressibilité effectif (cas poreux) a ĸ µ matrice 1/3 ½ inclusions 0 0 b c d perco. Module de compressibilité en fonction de la concentration en phase rigide, bornes (HS, Beran) et approximation auto-cohérente 12

13 Applications (I) : portée intégrale Estimation de la portée intégrale pour différentes concentrations en particules rigides ou poreuses et comparaison avec la portée intégrale de la microstructure 13

14 Applications (II) : distributions des champs Évolution de la distribution du champ de contrainte moyen au sein du matériau en fonction de la porosité 14

15 Modélisation du comportement de composites Introduction 2. Calculs numériques par transformée de Fourier rapide 3. Validation de l'outil numérique pour l'élasticité en 3D? 4. Schéma booléen de sphères 5. Milieu multi-échelle 6. Conclusion 15

Milieu multi-échelle Deux schémas booléens de sphères Concentration en inclusion de grande taille fixée : 50 % (percolant) Inclusions de petite taille : particules rigides Existence de 2 échelles

16 Milieu multi-échelle Deux schémas booléens de sphères Concentration en inclusion de grande taille fixée : 50 % (percolant) Inclusions de petite taille : particules rigides Existence de 2 échelles caractéristiques, rapport de taille 5 Nécessite l'utilisation de systèmes de taille ; même matériau soumis à un chargement hydrostatique Le seuil de percolation pour la phase rigide est de l'ordre de 10% (30% ^2) 16

17 Module de compressibilité effectif (cas rigide) d ĸ µ matrice 1/3 ½ inclusions c b a perco. Renfort du matériau par l'effet d'une distribution moins uniformes des particules et abaissement du seuil de percolation 17

18 Modélisation du comportement de composites Introduction 2. Calculs numériques par transformée de Fourier rapide 3. Validation de l'outil numérique pour l'élasticité en 3D? 4. Schéma booléen de sphères 5. Milieu multi-échelle 6. Conclusion 18

19 Conclusion Point positifs Bonnes propriétés de convergence de la méthode numérique par transformées de Fourier rapides, y compris pour les cas de fort contraste entre les phases Bonne restitution des effets de la percolation; estimation des portées intégrales et distributions des champs Inconvénients / améliorations futures Difficulté d'estimer expérimentalement les propriétés locales nécessaires à l'utilisation de techniques numériques (sauf à faire l'hypothèse de contraste infini) Ne tient pas compte des effets d'interface (chimique ou élastique) Mecamat, Fontainebleau, avril 2008, Volume élémentaire représentatif... 19

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