Thème 8 : Probabilités

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1 SAVOIR-FAIRE ÉLÉMENTAIRES EN MATHEMATIQUES pour aborder la classe de première Lycée Bascan : toutes séries Thème 8 : Probabilités Exercice (résolu) On tire au hasard une carte dans un jeu de 3 cartes. On considère les événements suivants : A : «tirer un trèfle» et B : «tirer un roi» ) Déterminer les probabilités des événements A et B. ) Définir par une phrase l évènement puis calculer sa probabilité. 3) a) Définir par une phrase les évènements A B et A B. b) Déterminer p(a B). c) En déduire p(a B). Correction Exercice ) Chaque carte a la même probabilité d être tirée : il s agit d une situation d équiprobabilité. Donc p(a) = = = = p(b) = = = ) : «tirer une carte qui n est pas un trèfle». p( )= p(a) = = 3) a) A B : «tirer le roi de trèfle». A B : «tirer un roi ou un trèfle». b) p(a B)=. c) p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) = + = Exercice Une urne contient 00 boules indiscernables au toucher : 5 boules rouges numérotées ; 5 boules rouges numérotées ; 0 boules vertes numérotées ; 0 boules bleues numérotées ; 0 boules jaunes numérotées ; 0 boules jaunes numérotées. On tire au hasard une boule de l urne et on considère les évènements : A : «la boule tirée est rouge» et B : «la boule tirée porte un numéro». ) Déterminer p(a) et p(b). ) Définir par une phrase l évènement A B puis calculer sa probabilité. 3) Déduire des questions précédentes p( et p(a B). - -

2 Exercice 3(résolu) On dispose d un dé cubique pipé. La loi de probabilité correspondant au lancer de ce dé est donnée par le tableau ci-dessous, où p est un réel de l intervalle [0 ; ] : Numéro probabilité p p p 3p p 4p ) Déterminer p. ) Déterminer la probabilité d obtenir un résultat impair en lançant ce dé. Correction Exercice 3 ) La somme des probabilités de toutes les issues de l univers est égale à : P() + P() + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = p est alors solution de l'équation : p + p + p + 3p + p +4p = p = p = ) La probabilité d obtenir un résultat impair est égale à : P() + P(3) + P(5) = + + = = Exercice 4 Une roue de loterie est formée de cinq secteurs. La loi de probabilité est donnée par le tableau suivant : Secteur probabilité 0, 0,5 0, ) Déterminer et en sachant que est le double de. ) On lance cette roue puis on attend l arrêt. a) Quelle est la probabilité que la flèche indique un multiple de? b) Quelle est la probabilité que la flèche indique un secteur avec un numéro inférieur ou égal à 3? Exercice 5 (résolu) On lance deux fois de suite un dé équilibré et on note à chaque lancer si on obtient un six ou non. ) Construire un arbre pondéré correspondant à cette situation. ) Déterminer les probabilités des évènements suivants : A : «obtenir six» B : «obtenir six puis autre numéro» C : «obtenir un seul six» - -

3 Correction Exercice 5 ) Soit S l évènement «obtenir un six» et est l évènement «obtenir un autre numéro» S S S ) p(a) = p(s,s) = = P(B) = p(s, ) = = P(C) = p(s, ) + p(, S) = + = Exercice 6 Une urne contient 5 boules indiscernables au toucher : deux bleues «B» et trois rouges «R». On dispose également de deux sacs contenant des jetons : l un est bleu et contient un jeton bleu «b» et trois jetons rouges «r», l autre est rouge et contient deux jetons bleus «b» et deux jetons rouge «r». On extrait une boule de l urne, puis on tire un jeton dans le sac qui est de la même couleur que la boule tirée. ) Représenter cette expérience à l aide d un arbre pondéré. ) Déterminer la probabilité de l événement A : «la boule et le jeton extraits sont de la même couleur» Exercice 7 Dans une urne, il y a cinq boules rouges (R), deux boules bleues (B) et une boule verte (V), indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise deux boules. On veut déterminer la probabilité de tirer deux boules de la même couleur. ) Représenter cette expérience l aide d un arbre pondéré. ) En déduire la probabilité d avoir : le couple (R, R), le couple (B, B), le couple (V, V). 3) En déduire la probabilité de tirer deux boules de même couleur

4 Exercice 8 (résolu) Une usine d'horlogerie fabrique une série de montres. Certaines montres peuvent présenter un défaut x ou un défaut y. Des études statistiques menées sur montres ont donné les renseignements suivants : 0 % des montres présentent le défaut x ; parmi les montres présentant le défaut x, % présentent le défaut y ; parmi les montres ne présentant pas le défaut x, 5 % présentent le défaut y ; ) Compléter le tableau ci-dessous : Nombre de montres Avec le défaut x Sans le défaut x total Avec le défaut y Sans le défaut y total ) On choisit au hasard une des montres, chacune de ces montres ayant la même probabilité d'être choisie. Déterminer la probabilité des évènements suivants : A : "la montre présente le défaut x" B : "la montre présente le défaut y" C : "la montre présente les deux défauts" 3) On choisit au hasard une montre présentant le défaut x. Calculer la probabilité qu elle présente aussi le défaut y. Correction Exercice 8 ) Nombre de montres avec le défaut x : = 000 Nombre de montres sans le défaut x : = Parmi les montres avec le défaut x, nombre de montres avec le défaut y : 000 = 0 Parmi les montres sans le défaut x, nombre de montres avec le défaut y : = 450 Nombre total de montres avec le défaut y : = 570 Nombre total de montres sans le défaut y : = Nombre de montres avec le défaut x et sans le défaut y : = 880 Nombre de montres sans le défaut x et sans le défaut y : = 8550 Nombre de montres Avec le défaut x Sans le défaut x total Avec le défaut y Sans le défaut y total ) p(a) = = 0, p(b) = = 0,057 p(c) = = 0,0 3) Il y a 000 montres présentant le défaut x, et parmi elles, 0 présentent aussi le défaut y. La probabilité cherchée est donc égale à : = 0, - 4 -

5 Exercice 9 Dans un lycée de 80 élèves, 300 élèves se font vacciner contre la grippe. Pendant l'hiver, il y a une épidémie de grippe et 0 % des élèves contractent la maladie. De plus 3 % des élèves vaccinés ont la grippe. ) Compléter le tableau ci-dessous : Nombre d élèves ayant eu la grippe Nombre d élèves n ayant pas eu la grippe Total Nombre d élèves vaccinés Nombre d élèves non vaccinés Total 80 Pour les questions suivantes, tous les résultats seront arrondis à 0,00 près. ) On choisit au hasard l'un des élèves de ce lycée, tous les élèves ayant la même probabilité d'être choisis. On considère les événements suivants : A : "l'élève a été vacciné" ; B : "l'élève a eu la grippe" ; C : "l'élève a été vacciné et a eu la grippe". a) Calculer la probabilité des événements A, B et C. b) On choisit au hasard un des élèves vaccinés. Calculer la probabilité de l'événement : "l'élève a eu la grippe". Exercice «pour aller plus loin» Dans un établissement scolaire de 000 élèves : 40 % des élèves sont des filles ; 5 % des filles sont internes ; 6 % des élèves, parmi lesquels 780 garçons, sont externes ; la moitié des demi-pensionnaires sont des filles. ) Compléter le tableau ci-dessous : internes Demipensionnaires externes total Filles Garçons total 000 ) On choisit au hasard un élève de cet établissement. On note : F : "l'élève est une fille" ; I : "l'élève est interne" ; E : "l'élève est externe". a) Calculer la probabilité des évènements F, I et E. b) Définir par une phrase l évènement I et calculer sa probabilité. c) On choisit au hasard une fille. Calculer la probabilité qu elle soit demi-pensionnaire - 5 -

6 Réponses succinctes : Exercice ) p(a) = = 0,4 p(b) = = 0,45 ) A B : «la boule tirée est une boule rouge portant le numéro» p(a B) = = 0,5 3) p( ) = p(a) = 0,6 p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) = 0,7 Exercice 4 ) 0, + 0,5 + 0, + + = 0, = = 0,5. = ) a) La probabilité que la flèche indique un multiple de est égale à : p() + p(4) = 0,40 b) La probabilité que la flèche indique un secteur avec un numéro inférieur ou égal à 3 est égale à : p() + p() + p(3) = 0,55 Exercice 6 ) b B b ) p(a) = p(b, b) + p(r, r) = + = - 6 -

7 Exercice 7 ) R R R R ) p(r, R) = = p(b, B) = = p(v, V) = 0 3) La probabilité de tirer deux boules de même couleur est égale à : p(r, R) +p(b, B) + p(r, R) = Exercice 9 ) Nombre d élèves ayant Nombre d élèves n ayant Total eu la grippe pas eu la grippe Nombre d élèves vaccinés Nombre d élèves non vaccinés Total ) B : "l'élève a eu la grippe" ; C : "l'élève a été vacciné et a eu la grippe". a) p(a) = 0,34 p(b) = = 0, p(c) = 0,007 b) La probabilité cherchée est égale à : = 0,03-7 -

8 Exercice «pour aller plus loin» ) Nombre de filles : 000 = 000 0,4 = 800. Nombre de garçons : = 00 Nombre de filles internes : 800 = 0 Nombre d externes : 000 = 0 Nombre de filles externes : = 440 Nombre de filles demi-pensionnaires : = 40 Nombre de garçons demi-pensionnaires : 40 Nombre de demi-pensionnaires : 40 = 480 Nombre de garçons internes : = 80 Nombre d internes : = 300 internes Demipensionnaires externes total Filles Garçons total ) a) p(f) = = 0,4 p(i) = = 0,5 p(e) = = 0,6 b) I : «l élève choisi est un garçon interne» p( I ) = = 0,09 c) Il y a 800 filles, et parmi elles, 40 demi-pensionnaires. La probabilité cherchée est égale à : = 0,3-8 -