Ch.N2 : Nombres en écritures fractionnaires

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1 e A - programme 0 mathématiques ch.n cahier élève Page sur Ch.N : Nombres en écritures fractionnaires Exercice n page Signes Donne le signe des nombres suivants :,, ;, ; ;, ; ;,.,, Exercice n page Indique les nombres égaux parmi ceux de la liste : ; ; ; ; ; ;. Exercice n page Encadrement a) On considère la fraction. Effectue la division euclidienne de par déduis-en un encadrement de la fraction par deux nombres entiers consécutifs. + < < b) Encadre c) Encadre respectivement fractions. > puis par deux nombres entiers consécutifs.,, 0 + < < < <, par deux nombres entiers consécutifs déduis-en la comparaison de ces deux + < < d) Peux-tu appliquer la même méthode pour comparer 0 + < < 0? + < < 0 + < 0 < Exercice n page Avec des valeurs approchées Soient deux nombres : a b 0. a) Donne la valeur arrondie de a celle de b au millième. Peux-tu en déduire la comparaison de a de b? b) Donne des valeurs approchées de a b qui permtent de les comparer. Compare a b. a, b 0, a b 0 a, b, a < b 0

2 e A - programme 0 mathématiques ch.n cahier élève Page sur Exercice n page Avec un dénominateur entier positif Réécris chacune des écritures fractionnaires suivantes avec un dénominateur entier positif : ; ;, ;, ;, 0, ;,.,, ÉGALITÉ DE QUOTIENTS,, 0, 0, 0,, 00. Simplification de quotient ex PROPRIÉTÉ Si on multiplie ou si on divise le numérateur le dénominateur d'un quotient par un même nombre non nul, alors on obtient un quotient égal. Exemple : Simplifie la fraction On détermine le signe du quotient. On cherche les facteurs communs à On simplifie le quotient. 0 Exemple : Détermine le nombre manquant,., Donc,, Pour passer de à, on multiplie par. Pour tous nombres a, b k où b k sont non nuls : a k b k a b a : k b : k a b. Ainsi, pour trouver le nombre manquant, on multiplie, par, ce qui donne,. Exercice n page Simplifie les écritures fractionnaires : ( ) a) b) ( ) ( ),, 00 0,0 0, , 0, 0, 0, 00 0, 0, c), 0,0 d) 0, 0,. Réduction de quotients au même dénominateur ex Exemple : Réduis les quotients au même dénominateur. Multiples de :,,,,, Multiples de :,,,, 0 Exemple : Compare les quotients. On cherche un multiple commun non nul aux dénominateurs (le plus pit possible). On détermine les écritures fractionnaires ayant pour dénominateur.

3 e A - programme 0 mathématiques ch.n cahier élève Page sur Les dénominateurs n ont aucun diviseur commun autre que. Le plus pit multiple commun est.. Or < donc <. Exercice n page Compare les nombres suivants : a) b) > 0 > 0 > 0 < 0 > 0 < 0 c) 0 0 < 0 < Exercice n page Égalités Recopie complète chacune des égalités suivantes : a) 0 b) 0 c) d) e), 0 0 Exercice n 0 page Même dénominateur positif a) Recopie complète la phrase suivante : «Deux nombres en écriture fractionnaire de même dénominateur positif sont rangés». b) Compare les nombres suivants :,,,0,,, 0, 0,0 d) 0,, 0,,,, <,, <,,0 <,,0, <,, 0, < 0,0 0, < 0,0 Exercice n page Avec le même numérateur a) Recopie complète la phrase suivante : «Deux nombres positifs en écriture fractionnaire de même numérateur sont rangés» b) Compare les nombres suivants :,,,,, <,, <,,, >,,, <,, >, Exercice n page Dans chaque cas, réécris les nombres avec le même dénominateur positif puis compare-les : a) b), c) 0, d) e), 0 0 < 0, 0, > 0, <, 0,,,, > 0,

4 <,, e A - programme 0 mathématiques ch.n cahier élève Page sur, >, > > 0, < <, > 0,, > > Exercice n page Multiple commun a) Quels sont les dix premiers multiples de? Ceux de? Déduis-en le plus pit multiple non nul commun à puis un dénominateur commun positif des fractions :. Compare alors ces deux nombres > > b) La méthode précédente perm-elle de trouver rapidement un dénominateur commun aux nombres : Comment en trouver un alors rapidement? Compare ces deux nombres < 0 < 0 Exercice n page Dans chaque cas, réécris les nombres avec le même dénominateur positif puis compare-les : a), b) 0 c) ,,, , 0, > 0, 0, >, 0, < 00 >, < < 0, 0, 0 0 < >, Exercice n page Dans l'ordre a) Range les nombres suivants dans l'ordre croissant sans utiliser de valeurs approchées : ; ; 0 0 ; ; ;,. b) Range les nombres suivants dans l'ordre décroissant : 00 ; ; 0, ; ; 0 ; 0 ;,. d),, 0, 0, 0?

5 e A - programme 0 mathématiques ch.n cahier élève Page sur 0 < < < < < <, < < 0 0 < < <, > 0 > > >, > > 0 0 > > 0 > > 0, > 00 >, < < 0,, 00, ,, Exercice n page Traj Quatre amis font un voyage en trois jours. Le premier jour, ils parcourent 0 % du traj total, le deuxième jour, un quart le dernier jour, du traj total. 0 Quel jour ont-ils parcouru la plus grande distance? Peux-tu calculer la distance parcourue chaque jour? 0 % < < 0 % < < Produit en croix ex PROPRIÉTÉ Si deux nombres en écriture fractionnaire sont égaux alors leurs produits en croix sont égaux. Réciproquement, si les produits en croix de deux nombres en écriture fractionnaire sont égaux alors ces deux nombres sont égaux. Pour tous nombres a, b, c d où b d sont non nuls : a b c équivaut à a d b c. d Remarque : En particulier, pour démontrer que deux nombres en écriture fractionnaire ne sont pas égaux, il suffit de démontrer que leurs produits en croix ne sont pas égaux. Exemple : Les nombres,, sont-ils égaux? Justifie.,,,,, On calcule les produits en croix.,,,,, On les compare. donc,,,,. Les produits en croix ne sont pas égaux donc les nombres ne sont pas égaux. Exemple : Détermine le nombre manquant dans l égalité,.,? On écrit l égalité des produits en croix. soit,??,, On trouve le nombre manquant. Exercice n page

6 e A - programme 0 mathématiques ch.n cahier élève Page sur Les nombres suivants sont-ils égaux? a) b),, 0 ( ), ( 0) 0 (,) 0,, 0 Exercice n page Produits en croix Recopie complète les égalités suivantes en justifiant par un calcul : a) b), 0, c),, 0,, 0,,,, 0,, 0,,, Exercice n page Égalité? Recopie complète en utilisant ou, en justifiant dans chaque cas : a),,, b),,, c),,,,, (,),,,,, 0, (,) 0,,, 0,, (,) 0,,,,,,,,,,, d) d) ADDITION OU SOUSTRACTION ex PROPRIÉTÉ Pour additionner (ou soustraire) des nombres en écriture fractionnaire ayant le même dénominateur, on additionne (ou on soustrait) les numérateurs on garde le dénominateur commun. Pour tous nombres a, b c où b est non nul : a b + c b a + c. b Remarque : Si les nombres en écriture fractionnaire n ont pas le même dénominateur, il faut les réduire au même dénominateur. Exemple : Calcule l'expression A + 0. Multiples de 0 : 0 ; 0 ; 0 ; 0 Multiples de : ; ; ; ; 0 0 A A On cherche le plus pit multiple commun non nul à 0. On réduit les fractions au même dénominateur 0. On additionne les numérateurs on garde le dénominateur. A On simplifie si possible. Exercice n page Calcule donne le résultat sous la forme d'une fraction la plus simple possible : a) + b) + c) 0 + d) 0 0

7 e A - programme 0 mathématiques ch.n cahier élève Page sur Exercice n page La règle Calcule les sommes les différences suivantes en respectant les étapes : + + c) + e) g) a) + b), +, + + ( ) d), +,, +,, + + ( ) Exercice n page Effectue les calculs suivants en détaillant les étapes : a) + b) c) + 0 d) h) ( ) i) + j) + + ( ) + ( ) + e) + + g) + h)

8 + + + ( ) e A - programme 0 mathématiques ch.n cahier élève Page sur ( ) Exercice n page Trouver un dénominateur commun a) Écris la liste des premiers multiples de puis celle des premiers multiples de. Trouve le plus pit multiple non nul commun à. Utilise alors ce nombre pour écrire les fractions avec le même dénominateur positif calcule : +. b) Cte méthode perm-elle de trouver rapidement un dénominateur commun pour calculer : + 0? Quel dénominateur commun choisir alors? Calcule cte somme Exercice n page Effectue les calculs suivants en détaillant les étapes : a) 0 + c) b) + d) + e) + g) h) +

9 ( 0) e A - programme 0 mathématiques ch.n cahier élève Page sur ( ) 0 Exercice n page Effectue les calculs suivants en détaillant les étapes donne les résultats sous la forme d'une fraction irréductible : a) c) 0 e) g) + b) + d) h) ( ) ( ) ( )

10 e A - programme 0 mathématiques ch.n cahier élève Page 0 sur Exercice n page Héritage Après de longues négociations, il a été convenu que Léa héritera de deux quinzièmes de la fortune de son oncle du bout du monde, Florian, d'un neuvième de cte fortune, Jean Justine se partageront équitablement le reste. Quelles seront les parts respectives de Jean Justine? : Exercice n page Opposés Complète les égalités suivantes écris, dans chaque cas, trois phrases utilisant le mot «opposé(s)» : a) b) c) d) +, , +, ,,, Exercice n page Avec des ltres On donne : a ; b c. a) Calculer a b + c b a c. b) Que remarques-tu? a b + c b a c + a b + c b a c ( ) MULTIPLICATION ex PROPRIÉTÉ Pour multiplier des nombres en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux les dénominateurs entre eux. Remarque : Si b, la formule devient a c d a c d. Pour tous nombres a, b, c d où b d sont non nuls : a b c d a c b d.

11 Exemple : e A - programme 0 mathématiques ch.n cahier élève Page sur Calcule l expression B. Donne le résultat sous forme simplifiée. 0 B 0 On détermine le signe du résultat. ( ) ( ) B ( ) ( ) On cherche des facteurs communs. B On simplifie. B On calcule. Exercice n page Calcule donne le résultat sous la forme d'une fraction la plus simple possible. a) b) c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Exercice n 0 page 0 La règle les signes Effectue les produits suivants : a) c) b) d) Exercice n page 0 Toujours plus simple Simplifie, si possible, les écritures fractionnaires suivantes : a) b) + ( ) c) + ( ) + + ( ) ( ) ( ) e) 0 d) ( ) e) d) g) ( ) h) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) Exercice n page 0 Calculer en simplifiant Pour chacun des produits suivants, applique la règle de multiplication sans effectuer les calculs, simplifie lorsque cela est possible donne alors le résultat sous la forme d'une fraction irréductible : a) b) Exercice n page 0 Complète les égalités suivantes : c) d) e)

12 a) b) 0 e A - programme 0 mathématiques ch.n cahier élève Page sur c) d) ( ) e) g) 0 Exercice n page 0 Simplifier avant de calculer a) Écris sous la forme d'un produit de deux nombres entiers. Décompose de même 0 en produit de nombres entiers positifs les plus pits possibles. b) Recopie complète les égalités suivantes : 0 ( ) ( ). c) Simplifie l'expression obtenue donne le résultat sous forme d'une fraction irréductible ( ) 0 ( ) Exercice n page Calcule les produits suivants en simplifiant, puis donne les résultats sous la forme d'une fraction irréductible : a) b) c) d) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) e) 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) Exercice n page 0 Avec la calculatrice Utilise ta calculatrice pour effectuer les produits suivants donne les résultats sous la forme d'une fraction irréductible : Exercice n page Calcule mentalement : a) les trois quarts de 00 ; b) le double de ; a),,, 0, c) les cinq septièmes des six cinquièmes de l'unité ; g) h) 0 0 b),,, 0, d) les 0 de 0.

13 e A - programme 0 mathématiques ch.n cahier élève Page sur ( 00) ( ) Exercice n page 0 Dépense Abdel dépense les de son argent de poche puis les trois quarts de ce qu'il lui reste alors. a) Quelle fraction de son argent de poche a-t-il dépensée la deuxième fois? b) Le montant de son argent de poche étant de, combien a-t-il dépensé au total? ( ) ( ) 0 0 ( ),, 0 +,,, DIVISION DE DEUX QUOTIENTS. Inverse d'un nombre non nul ex DÉFINITION Deux nombres sont inverses l un de l autre si leur produit est égal à. PROPRIÉTÉ Tout nombre x non nul adm un inverse (noté x ) qui est le nombre x. Tout nombre en écriture fractionnaire a b (a 0 b 0) adm un inverse qui est le nombre b a. Remarques : ) Un nombre son inverse ont toujours le même signe. En eff, leur produit est positif seul le produit de deux nombres de même signe est positif. ) Zéro est le seul nombre qui n'adm pas d'inverse. En eff, tout nombre multiplié par 0 donne 0 ne donnera jamais. Exemple : Quels sont les inverses des nombres? L'inverse de est. L'inverse de est Exercice n page Donne les inverses des nombres suivants : ;, ; ;. ( ),,,. Exercice n page Inverses Recopie complète les égalités suivantes écris, dans chaque cas, trois phrases utilisant le mot «inverse(s)» : a) c) ( ) e) g)

14 e A - programme 0 mathématiques ch.n cahier élève Page sur b) 0, d) h) 0,0... 0, 0, 0, 0, ( ) 0,0 00 0, ,0 0,0 00 Exercice n page Notations x x a) Que désignent les notations ci-contre? b) Recopie complète le tableau ci-contre avec des écritures fractionnaires. c) Détermine l'inverse de l'inverse de chaque nombre. Que remarques-tu? x 0,, x ou x x x x x 0,, x x 0, 0,, x 0,,. Diviser des quotients ex PROPRIÉTÉ Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par l inverse de ce nombre. x x Pour tous nombres a, b, c d où b, c d sont non nuls : a a b : c d a b d c ou b a c b d c. d

15 Exemple 0 : e A - programme 0 mathématiques ch.n cahier élève Page sur Calcule C :. C + : On détermine le signe du résultat. C On multiplie par l'inverse du deuxième quotient. C C On calcule. Exemple : Calcule D D On multiplie les fractions. donne le résultat en le simplifiant le plus possible. On détermine le signe du résultat. D On multiplie par l'inverse du deuxième quotient. D ( ) ( ) ( ) ( ) D On cherche des facteurs communs. On simplifie. D 0 On calcule. Exemple : + Quelle est la nature du nombre E défini par E? E + E peut s écrire aussi E + :. On commence donc par calculer les parenthèses. E On multiplie par l'inverse du deuxième quotient. E On cherche des facteurs communs. E On simplifie. E E est un nombre entier. On calcule. On répond à la question. Exercice n page Calcule donne le résultat sous la forme d'une fraction la plus simple possible. B : C D. B : B ( ) B ( ) C C C D D

16 B e A - programme 0 mathématiques ch.n cahier élève Page sur C Exercice n page Mentalement a) Effectue mentalement les calculs suivants : : ; 00 0, ; 0, ; 00 :. b) Justifie les résultats égaux avec la règle de division. : 00 0, 0, 00 : Exercice n page La règle Applique dans chaque cas la règle de division puis effectue les calculs : a) : b) : ( ) c) : : ( ) : : Exercice n page Trait de fraction d) : : 0, 0, Écris les quotients suivants en utilisant le symbole : puis effectue le calcul : A A B C A : A A A 0 B : B B B D D 0 e) : : 0 ; B C : C C C ; C 0 : 0 : 0 0 Exercice n page Division simplification Applique la règle de division, simplifie puis effectue les calculs donne les résultats sous la forme d'une fraction irréductible : a) : b) : ( ) c) 0 : d) : e) : : : : : ( ) ( ) 0 : ( ) ( ) ( ) ( ) :. 0

17 0 ( ) 0 0 Exercice n page Partage a) Calcule la moitié de. e A - programme 0 mathématiques ch.n cahier élève Page sur : ( ) ( ) b) Il reste les d'un gâteau. Trois amis décident de se partager équitablement ce reste : quelle fraction du gâteau aura chacun d'entre eux? Exercice n page Avec des ltres a) Sachant que a b, calcule : a b ; b a ; a b ; a + b a b. Tu donneras les résultats sous la forme d'une fraction irréductible. b. b) Même consigne avec a a b : ( ) a b : ( ) ( ) ( ) b a : ( ) b a : ( ) ( ) ( ) a b 0 a b a + b ( ) a + b ( 0) a b ( ) + a b 0 ( 0) + 0