Traitement des images. O. Wilk

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1 Calcul scientifique/math/cnam (sur la base du cours de Ph. Destuynder []) Lissages - Lissages - UE CSC0 Cnam mars mais sans détruire Lissages - Lissages - radiographie d un fémur (rayons X) photo rayée Restaurer pour rénover

2 J(u) = min J(v) v H0 J(v) = 2 Rappel de cours : v f 2 d + ε 2 v 2 d. équivalent au problème faible (form. var.) : v H0 (), uv d + ε u. v d = équivalent au problème fort : ε u + u = f dans u = 0 sur fv d. Lissages - min v 2 v f 2 d + ε 2 v 2 d. Résolvons le problème suivant à l aide de la méthode de Fourier : Exercices : ε u + u = f dans u = 0 sur une base de Fourier le calcul de la solution Fourier la troncature de la série Fourier ( Lissages - Application numérique Fourier Lissages - Lissage Différences Finies min v 2 v f 2 d + ε 2 v 2 d. Résolvons le problème suivant à l aide de l approximation par différences finies : ε u + u = f dans u = f sur Γ Dirichlet u n = 0 sur Γ Neumann ( Lissages - Prob. : la condition limite! Sol. partielle : Chevauchement des sous images,... ou DCT avec u = f au bord,... Exercices : une écriture matricielle DF la condition limite de Dirichlet DF la condition limite de Neumann DF

3 Application numérique DF (/ Application numérique DF (2/ Résolution du problème ( avec la condition de Dirichlet u = f sur tout le bord par la méthode de Jacobi : Algorithme : Initialisation : u 0 = f, f lr N M puis boucle en p : Lissages - Problème au bord : amélioration en utilisant la C. L. de Neumann u n = 0. Lissages - i = 2, N et j = 2, M, u p+ i,j = 4 ε h 2 + [f i,j + ε h 2 (up i+,j + up i,j+ + up i,j + up i,j )] Image originale Evolution de J(u p ) Image lissée Lissage Eléments Finis min v 2 v f 2 d + ε 2 v 2 d. Résolvons le problème faible (formulation variationnelle) à l aide de la méthode des éléments finis : v H0 (), uv d + ε u. v d = fv d. Lissages - Maillage EF Lissages - Rappel de cours et exercices : Interpolation Assemblage Résolution

4 Maillage EF Maillage EF Lissages - Lissages - Maillage EF Maillage EF Lissages - Lissages -

5 Application numérique EF Lissage couleur : La résolution s effectue à l aide d une seule factorisation suivie de trois descente-remontée. Lissages - min v 2 v f 2 d + ε 2 p + a v 2 d. Problème équivalent à : εdiv(ϕ ( u 2 ) u) + u = f dans u = f sur (3) Lissages - avec ϕ(t) = + a t (a lr ). Exercices : Taylor pour comprendre Dériver la fonctionnelle Décomposition de l opérateur Résolution Applications numériques non linéaire Applications numériques non linéaire Lissages - Lissages -

6 Applications numériques non linéaire Applications numériques non linéaire Lissages - Lissages -... min v 2 v f 2 d + ε 2 v 2 d + g (v f ) d. Lissages - min v 2 B v f 2 d + ε 2 Résolvons le problème suivant : B ω ε( ξ B ) u + ξ B u = ξ B f dans B avec ξ B = dans B et 0 dans ω + C.L. v 2 d. Lissages - (4)

7 Application numérique Bibliographie Lissages - Philippe Destuynder - Analyse et traitement des images numériques - Hermes, Rachid Deriche et Olivier Faugeras - Les EDP en traitement des images et vision par ordinateur - Rapport de recherche de l INRIA-Sophia Antipolis RR P. Lascaux et R. Théodor - Analyse numérique matricielle appliquée à l art de l ingénieur - Masson Philippe Destuynder et Francoise Santi - Analyse et contrôle numérique du signal - Ellipses Lissages - Mail de l auteur : wilk@cnam.fr Page web de l auteur : Ce document a été créé en utilisant LaTeX avec le package Beamer (aide pratique).

8 Calcul scientifique/math/cnam (sur la base du cours de Ph. Destuynder []) Détermination de contours UE CSC0 Cnam mars 2008 Méthode de Hough Capture de formes quelconques De la vectorisation aux contours actifs L analyse d image demande parfois l extraction d informations particulières contenues au sein de l image. Différentes méthodes existent pour extraire des informations de type géométrique (coordonnées, formes d objets), par exemple : une méthode de détection d éléments droits, une méthode de contours actifs snakes, la méthode du serpent. Dans tous les cas, il s agit de détecter puis de synthétiser sous forme vectorielle les contours d objets contenues dans une image. Pour mieux révéler les contours, il est préférable de réduire le bruit, avec par exemple : les méthodes utilisant la convolution (moyenne, gaussienne,...) = Risque de destruction du contour par étalement. le filtre médian (bruit impulsionnel dû à une perte d information) = définition les filtres récursifs = y(n) = ax(n) + by(n ou les filtres par EDP (linéaire ou non linéaire), par ex. : ε u + u = f dans u = 0 sur Mais auparavant, il est souvent utile de lisser pour mieux révéler les contours!

9 Deux méthodes principales : la méthode du gradient : calculer la norme du gradient puis dégager les valeurs maximales, la méthode du Laplacien : calculer le Laplacien puis déterminer les passages par zéros. Ensuite, l utilisation des opérateurs érosion et dilatation peut parfois parfaire les contours obtenus. Il est possible d enlever les points sélectionnés mais isolés par une opération d ouverture (érosion puis dilatation). Une fermeture (dilatation puis érosion) peut par contre connecter les points M sélectionnés suffisamment proche entre eux.... D abord en recherchant des contours simples (droite, ellipse). La méthode de Hough : Illustrons cela avec une recherche de droite : Une première méthode de contours actifs. Trouver les formes Γ où f est maximal. Ainsi comme nous cherchons à minimiser, nous prenons : J f (Γ) = 0 f (Γ(s)) 2 ds Mais si f est constant sur un domaine contenant Γ, la dérivée de J f suivant Γ ne donne pas d info.! = Il faut une fonctionnelle supplémentaire. Par exemple : J Γ (Γ) = 0 (k Γ (s) 2 + k 2 Γ (s) 2 )ds

10 - Une méthode plus globale (/3) - Une méthode plus globale (/3) Méthode permettant de prendre toute l information image! Méthode permettant de prendre toute l information image! Illustrons le problème suivant : { ε u + u = f dans u = 0 sur n Illustrons le problème suivant : { ε u + u = f dans u = 0 sur n Sur une application monodimensionnelle : Sur une application monodimensionnelle : Détaillons un peu... Détaillons un peu... - Une méthode plus globale (/3) - Une méthode plus globale (2/3) Méthode permettant de prendre toute l information image! Illustrons le problème suivant : { ε u + u = f dans u = 0 sur n Sur une application monodimensionnelle : Le problème est équivalent à (pour Γ fixé) : J(u) = min J(v) = (v f ) 2 d + ε v 2 d v H0 () 2 Γ 2 Γ Notre problème consiste à trouver le bord Γ qui fait que u se rapproche le plus de f sur tout Γ, tout en ayant un peu de régularité sur u. Le problème revient à minimiser : R(Γ) = ε u 2 d u 2 d + f 2 d 2 Γ 2 Γ 2 Γ Etudions un cas analytique (D). Calcul du gradient. Détaillons un peu... Love du en Différences Finies.

11 - Level-Sets (3/3) - Applications (/ Une exploitation de la méthode des Level-Sets (courbe de niveau) ϕ > 0 à l intérieur de Γ, ϕ = 0 sur le contour fermé Γ, ϕ < 0 à l extérieur de Γ. ϕ t + G. ϕ = 0 dans G(X ) (+G 2 (X )) α cas du rond cas du demi-rond α = 0 ϕ(0) = ϕ 0. Γ α = 2 0 Portion de ϕ où Γ est défini. α = - Applications (2/ - version à sonnettes Capture d une cigogne et d un très beau cheval Détection d archipels et d oiseaux Capture de ronds et de qq chiffres

12 Stages - Mémoires ingénieur - Thèses (/ Stages - Mémoires ingénieur - Thèses (2/ La stéréoscopie Arnaud Litrico (stage), Manel Tayachi (thèse). Application de la méthode du : Extraction d information issue d images médicales IRM Olivier Daniel (mémoire d ingénieur Cnam). parcours parcours fin du externe interne parcours ε = 00 ε = 00 ε = 7 (L image IRM a été préalablement lissée à l aide du lissage non linéaire.) Bibliographie Philippe Destuynder - Analyse et traitement des images numériques - Hermes, Rachid Deriche et Olivier Faugeras - Les EDP en traitement des images et vision par ordinateur - Rapport de recherche de l INRIA-Sophia Antipolis RR P. Lascaux et R. Théodor - Analyse numérique matricielle appliquée à l art de l ingénieur - Masson Philippe Destuynder et Francoise Santi - Analyse et contrôle numérique du signal - Ellipses Mail de l auteur : wilk@cnam.fr Page web de l auteur : Ce document a été créé en utilisant LaTeX avec le package Beamer (aide pratique).