LES PROBABILITES CONDITIONNELLES EPREUVES DE BERNOULLI

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1 LES PROILITES CONDITIONNELLES EPREUVES DE ERNOULLI 1 I. rbres de probabilités : 1) Règles de construction : Dans un arbre : la somme des probabilités portées par les branches issues d'un même point vaut 1. la probabilité d'un événement est égale au produit des probabilités portées par les branches qui aboutissent à cet événement. 2) Lecture d'un arbre pondéré : P () P() + P() = 1 P() P () P () + P () = 1 P () + P () = 1 P() P () P() = P( ) + P ( ) P( ) = P ( ) + P ( ) P () a) Définition : Soit et deux événements d'un même univers. On suppose que P() 0. La probabilité que se réalise sachant que est réalisé se note P () ou P (/ ) et on a : P () = P ( ) P () b) Conséquence : si P() 0 alors P ( ) = P () P() Terminales ES Probabilités conditionnelles Epreuves de ernoulli

2 3) Il faudra savoir inverser un arbre. 2 P() P () P () P () = P( ) P() P() P () P () Exemple : 60% d'une population est vaccinée (V) contre une maladie. On constate que 5% des personnes vaccinées font une réaction allergique à un produit. Parmi les personnes non vaccinées, 10% sont victimes d'une réaction allergique. 1) On choisit, au hasard, une personne vaccinée. 2) On choisit, au hasard, une personne non vaccinée. 3) Calculer la probabilité d'obtenir, parmi les personnes ayant une réaction allergique, une personne vaccinée. 4) Calculer la probabilité d'obtenir, dans la population, une personne victime d'une réaction allergique et vaccinée. 5) Calculer la probabilité d'obtenir, dans la population, une personne victime d'une réaction allergique. 6) Calculer la probabilité d'obtenir, dans la population, une personne ni victime d'une réaction allergique ni vaccinée. 4) Il faudra savoir passer d'un arbre à un tableau à double entrée et inversement. Exemple : Une urne contient 5 boules indiscernables au toucher : 2 vertes, 1 rouge, 1 noire et 1 jaune notées respectivement V 1, V 2, R, N, J. On prélève au hasard une boule de l'urne, dont on note la couleur et qu'on remet dans l'urne. On recommence en tirant une 2 ème boule dont on note aussi la couleur. 1) Combien y a t il de résultats possibles pour cette expérience? Construire un arbre et un tableau à double-entrée. 2) Quelle est la probabilité p d'obtenir deux boules de la même couleur? Terminales ES Probabilités conditionnelles Epreuves de ernoulli

3 III. Evénements indépendants : 1) Définition : Deux événements et d'un même univers sont dits indépendants si P () = P () = P() 3 2) Conséquence : P () = P ( ) P () d'où P() = P ( ) P () P( ) = P() P() si et sont indépendants. 3) Exemple : Un hypermarché vend par paquets d'un kilogramme, des clémentines et des oranges, en provenance d'europe ( Espagne ou Italie ) et du Maroc. Le nombre de kilogrammes mis en vente est donné par le tableau ci dessous : Italie Espagne Maroc Total Clémentines Oranges Total Un acheteur prend au hasard un paquet de 1 kilo de ces fruits. 1) Quelle est la probabilité des événements : C : " acheter des clémentines " et I: " acheter un paquet italien " 2) Les événements C et I sont ils indépendants? IV. Formule des probabilités totales : 1) Exemple : Un magasin de jardinage fait une promotion sur une table de jardin et son lot de 4 chaises. près une semaine de promotion, on a pu établir que 10% des personnes entrant dans le magasin achètent une table. Parmi les personnes qui achètent une table, 80% achètent aussi le lot de 4 chaises. Parmi les personnes qui n'achètent pas la table, 10% achètent le lot de 4 chaises. Une personne entre dans le magasin. On note : T : " la personne achète une table " ; C : " la personne achète le lot de 4 chaises " 1) Traduire par un arbre pondéré la situation. Donner P T (C). 2) a) Calculer la probabilité que la personne achète un lot de 4 chaises. b) Calculer la probabilité que la personne n'achète pas de table, sachant qu'elle a acheté les chaises. 3) Quatre personnes entrent dans le magasin. Calculer la probabilité qu'au moins une de ces personnes achète l'ensemble table et chaises. 2) Formule : a) Définition d'une partition : Les événements 1, 2,, n forment une partition de l'univers si et seulement si : 1 2 n = et pour tout i et j entiers variant de 1 à n, i j on a i j = b) Formule des probabilités totales : Si 1, 2,, n forment une partition de l'univers alors la probabilité d'un événement de l'univers est égale à : P() = P( 1 ) + P( 2 ) +. + P( n ) = n i=1 P( i ) P() = P( 1 ) P 1 () + P( 2 ) P 2 () + + P( n ) P n () = n i=1 P( i ) P i () Terminales ES Probabilités conditionnelles Epreuves de ernoulli

4 V. Schéma de ernoulli : 4 1) Répétition d'expériences identiques et indépendantes: a) avec 3 issues ( ou plus ): Sur un trajet, on rencontre 3 feux tricolores qui fonctionnent de manière indépendante. Le cycle de chaque feu est de 35s pour le vert, 5s pour le orange et 20s pour le rouge. Quelle est la probabilité de rencontrer exactement 2 feux verts sur le trajet? b) avec 2 issues: On parle dans ce cas d'épreuve de ernoulli. Un télévendeur démarche 3 clients par téléphone. Le comportement d'un client est indépendant de celui des autres. La probabilité qu'un client soit interréssé est 0,2. Calculer la probabilité qu'aucun client ne soit interressé, puis qu'au moins un client soit interressé, puis qu'au plus 2 clients soient interressés et enfin que 2 clients exactement soient interressés. 2) Epreuve de ernoulli : C'est une expérience aléatoire comportant 2 issues notées S ( succès ) et S ( échec ). P(S) est la probabilité d'un succès. On la note p. P(S) est la probabilité d'un échec. On la note q. On a : p + q = 1 q = 1 p. 3) Schéma de ernoulli, loi binomiale: Quand on reproduit plusieures fois, de manière indépendante, des épreuves de ernoulli, la probabilité d'un succès est toujours la même. On s'interresse alors au nombre de succès obtenus à la fin de n épreuves. L'ensemble des résultats est E = { 0, 1, 2,, n } La loi de probabilité sur E s'appelle la loi binomiale de paramètres n et p avec n le nombre d'épreuves et p la probabilité d'un succès dans la loi de ernoulli. On la note (n ; p). Terminales ES Probabilités conditionnelles Epreuves de ernoulli

5 5 Exercices du cours Exemple 1: 60% d'une population est vaccinée (V) contre une maladie. On constate que 5% des personnes vaccinées font une réaction allergique à un produit. Parmi les personnes non vaccinées, 10% sont victimes d'une réaction allergique. 1) On choisit, au hasard, une personne vaccinée. 2) On choisit, au hasard, une personne non vaccinée. 3) Calculer la probabilité d'obtenir, parmi les personnes ayant une réaction allergique, une personne vaccinée. 4) Calculer la probabilité d'obtenir, dans la population, une personne victime d'une réaction allergique et vaccinée. 5) Calculer la probabilité d'obtenir, dans la population, une personne victime d'une réaction allergique. 6) Calculer la probabilité d'obtenir, dans la population, une personne ni victime d'une réaction allergique ni vaccinée. Exemple 2: Une urne contient 5 boules indiscernables au toucher : 2 vertes, 1 rouge, 1 noire et 1 jaune notées respectivement V 1, V 2, R, N, J. On prélève au hasard une boule de l'urne, dont on note la couleur et qu'on remet dans l'urne. On recommence en tirant une 2 ème boule dont on note aussi la couleur. 1) Combien y a t il de résultats possibles pour cette expérience? Construire un arbre et un tableau à double-entrée. 2) Quelle est la probabilité p d'obtenir deux boules de la même couleur? Exemple 3: Un hypermarché vend par paquets d'un kilogramme, des clémentines et des oranges, en provenance d'europe ( Espagne ou Italie ) et du Maroc. Le nombre de kilogrammes mis en vente est donné par le tableau ci dessous : Italie Espagne Maroc Total Clémentines Oranges Total Un acheteur prend au hasard un paquet de 1 kilo de ces fruits. 1) Quelle est la probabilité des événements : C : " acheter des clémentines " et I: " acheter un paquet italien " 2) Les événements C et I sont ils indépendants? Exemple 4: Un magasin de jardinage fait une promotion sur une table de jardin et son lot de 4 chaises. près une semaine de promotion, on a pu établir que 10% des personnes entrant dans le magasin achètent une table. Parmi les personnes qui achètent une table, 80% achètent aussi le lot de 4 chaises. Parmi les personnes qui n'achètent pas la table, 10% achètent le lot de 4 chaises. Une personne entre dans le magasin. On note : T : " la personne achète une table " ; C : " la personne achète le lot de 4 chaises " 1) Traduire par un arbre pondéré la situation. Donner P T (C). 2) a) Calculer la probabilité que la personne achète un lot de 4 chaises. b) Calculer la probabilité que la personne n'achète pas de table, sachant qu'elle a acheté les chaises. 3) Quatre personnes entrent dans le magasin. Calculer la probabilité qu'au moins une de ces personnes achète l'ensemble table et chaises. Terminales ES Probabilités conditionnelles Epreuves de ernoulli