5.3 Le sextant, un instrument surprenant

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Anne-Sophie Garon
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1 5.3 Le sextant, un instrument surprenant Lors de Show Math, vous avez vu comment Ératosthène a calculé la circonférence de la Terre il y a 2200 ans. Au fil des siècles, différents instruments de mesure ont vu le jour afin de simplifier la vie de l homme. C est au 18 e siècle, alors que la navigation était le principal moyen de transport, que le sextant a fait son apparition. Au cours de l activité, les élèves découvriront cet instrument de mesure dont le fonctionnement fait appel à la notion d angles correspondants ainsi qu à la loi de réflexion dans le cas des miroirs plans. Les élèves découvriront alors un outil complexe qui utilise des mathématiques simples. Intentions de l activité Faire voir aux élèves la portée des notions qu ils apprennent Mettre en pratique des concepts mathématiques simples dans un contexte plus complexe Forme de la production attendue Affirmation, justification et démonstration Concepts utilisés Angles correspondants Loi de la réflexion (sciences) Ressources matérielles Site Internet (facultatif) : Manipulation d un sextant sous Java Soleil/Lieu/sextant.html Un sextant (facultatif) Présentation 5.3 Le sextant, un instrument surprenant

2 Déroulement Préparation L explication du fonctionnement du sextant est très concise dans l activité. Quelques minutes pourraient être utilisées afin de permettre aux élèves de faire de la recherche sur l instrument. On s attend à ce que les élèves aient vu la loi de la réflexion (l angle d incidence est égal à l angle réfléchi) lors d un cours de science. Cependant, un rappel peut être fait. Si ce concept n a pas été vu, il faudra l expliquer préalablement. Réalisation Pistes de différenciation La partie enrichissement à la page 4 de l activité a été développée dans une optique de différenciation et elle vise une conception de l élève plus large que la compréhension mathématique du fonctionnement du sextant. La première partie donne des explications sommaires sur le fonctionnement du sextant. Elle contient une question et des pistes de réflexion afin d amener les élèves à s interroger sur les concepts mathématiques et scientifiques qui permettent au sextant de mesurer l élévation d un astre. La deuxième partie met les élèves en situation d élaboration d une démonstration. Ils doivent émettre des conjectures afin d expliquer pourquoi on retrouve la moitié de la mesure de l angle d élévation du Soleil sur le limbe. Ils devront par la suite élaborer une démonstration en la justifiant avec des arguments mathématiques. Intégration Annexe Les élèves devront confronter leur conjecture avec celle de leurs collègues. Ils pourront ainsi discuter des concepts qui sous-tendent le fonctionnement du sextant. Les élèves peuvent également discuter en groupe de la question suivante : est-ce que le sextant seul permet de trouver sa position en mer? Sextant annexe animation cabri (Disponible sur le CD) : Cette annexe est un fichier Cabri-Géomètre qui permet d expérimenter la manipulation d un sextant. Présentation 5.3 Le sextant, un instrument surprenant

3 Nom : 5.3 Le sextant, un instrument surprenant Vous êtes-vous déjà demandé comment les navigateurs retrouvaient leur chemin en mer avant la venue du système de positionnement par GPS? Oui, ils avaient des cartes, mais à quoi bon se servir d une carte si nous ne savons pas où le vent et les courants marins nous entraînent! Voici un instrument dont les navigateurs du 18 e siècle se servaient pour se rendre à bon port. Le sextant mesure l angle d élévation d un astre, notamment le Soleil. Cet angle conduit au calcul de la latitude, qui nous permet de trouver notre positionnement sur la Terre. Afin de mieux comprendre le fonctionnement du sextant, voici une présentation des différentes parties de l instrument : un petit miroir fixe un grand miroir qui bouge avec l alidade un levier qui fait bouger le grand miroir : l alidade un arc de cercle gradué : le limbe une lunette de visée parallèle à l horizon Le tambour sert à ajuster la précision de l instrument. Le miroir fixe est parallèle à l alidade lorsqu elle est en position zéro (0 ). Hauteur de l'astre Grand miroir Petit miroir Alidade Tourelle Tambour Limbe Figure 1 : Le sextant est un instrument de navigation qui a été inventé indépendamment par John Hadley et Thomas Godfrey vers les années Il a remplacé l astrolabe et l octant qui étaient déjà utilisés à l époque de la Grèce Antique. Cahier de l élève 5.3 Le sextant, un instrument surprenant 1

4 Pourquoi, selon vous, a-t-on nommé cet appareil un sextant? 1. Pistes de réflexion : En latin, sex signifie six. Le sextant a la forme d un secteur circulaire. Voyons maintenant, comment cela fonctionne. M α M m m α/2 0 0 Le petit miroir, m sur le schéma, est composé de deux parties : la moitié gauche est transparente et la moitié droite est réfléchissante. Cela permet à l observateur de voir en même temps l horizon et l astre. Le grand miroir (M) est fixé à l alidade dont le point d attache se trouve au sommet de l appareil. Ce miroir réfléchit la lumière provenant des astres vers le miroir fixe (m). Le levier indique alors un angle sur l arc de cercle gradué. Cet angle est la moitié de l élévation de l astre. Pour mesurer l élévation d un astre, il suffit de déplacer l alidade (et donc le grand miroir M) jusqu à ce que l image de l astre concorde avec la ligne d horizon. 2 Cahier de l élève 5.3 Le sextant, un instrument surprenant

5 À l aide des explications et des figures fournies précédement, expliquez pourquoi on retrouve la moitié de la mesure de l angle d élévation du Soleil sur le limbe. 2. Pistes de réflexion : Y a-t-il des schémas qui pourraient vous aider à illustrer vos explications? Quels concepts mathématiques pourraient être utiles? En plus de la loi de réflexion des miroirs plans, existe-t-il des lois scientifiques qui vous permettraient d expliquer le phénomène? Est-ce que certains logiciels pourraient être utiles? Cahier de l élève 5.3 Le sextant, un instrument surprenant 3

6 Curieux? Est-ce que le sextant seul permet de trouver sa position en mer? Si oui, expliquez. Sinon, de quoi d autre a-t-on besoin? 3. Lorsque la ligne d horizon n est pas visible, en ville ou en région montagneuse par exemple, peut-on utiliser le sextant? Dans chaque cas, justifiez votre réponse. 4. Qu est-ce qu un filtre atténuateur et pourquoi est-il utilisé? 5. 4 Cahier de l élève 5.3 Le sextant, un instrument surprenant

7 5.3 Le sextant, un instrument surprenant Corrigé Pourquoi, selon vous, a-t-on nommé cet appareil un sextant? 1. (Page 2) Parce que l angle du secteur circulaire qui forme le sextant mesure À l aide des explications et des figures fournies ci-dessus, expliquez pourquoi on retrouve la moitié de la mesure de l angle d élévation du Soleil sur le limbe. 2. (Page 3) On peut représenter la situation par le schéma suivant. S H C M H α M C m m B A B A α/2 0 0 Posons m HCB = β. On appelle «normale» l axe imaginaire perpendiculaire au miroir. Cette normale délimite l angle incident et l angle réfléchi qui sont isométriques. Dans le schéma de droite, pour que l astre soit réfléchi au bon endroit, on déplace l alidade d un angle α/2. La normale au grand miroir se déplace d un angle identique. Donc, l angle BCS mesure (β + α). Or, l angle BCH mesure β et m BCS = m BCH + m HCS. Ce dernier est l angle d élévation que l on cherche. m BCS = m BCH + m HCS m HCS = m BCS m BCH m HCS = (β + α) β m HCS = α Corrigé 5.3 Le sextant, un instrument surprenant 1

8 Est-ce que le sextant seul permet de trouver sa position en mer? Si oui, expliquez. Sinon, de quoi a-t-on besoin? 3. (Page 4) Oui, le sextant permet de trouver sa position en mer. Avec quelques calculs, on peut trouver notre latitude et notre longitude. Nous pouvons aussi dire que cela est impossible, car sans carte, le fait de seulement savoir nos coordonnées n est pas très utile. Lorsque la ligne d horizon n est pas visible, en ville ou en région montagneuse par exemple, peut-on utiliser le sextant? Dans chaque cas, justifiez votre réponse. 4. (Page 4) Oui, on peut utiliser le sextant même si la ligne d horizon n est pas visible. Il faut utiliser un horizon artificiel. C est un objet qui nous permet d être certains qu on a une ligne horizontale. L exemple le plus simple est un récipient assez large rempli d eau. La surface de l eau est nécessairement horizontale. Comme lorsqu il y a réflexion de la lumière, l angle d incidence est égal à l angle de réflexion, il suffit de viser le reflet du Soleil dans l eau et de rapporter l image vraie du Soleil avec l alidade. Le résultat est le double de la latitude. Qu est-ce qu un filtre atténuateur et pourquoi est-il utilisé? 5. (Page 4) Un filtre atténuateur est un filtre qui permet de regarder les astres sans se brûler la rétine. 2 Corrigé 5.3 Le sextant, un instrument surprenant

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