FORMATION INTERMÉDIAIRE MAT 2021 CAHIER 2 ET CORRIGÉ

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1 FORMATION INTERMÉDIAIRE MAT 01 ET CORRIGÉ

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3 MAT 01 TABLE DES MATIÈRES I 1.0 NOTIONS ALGÉBRIQUES Présenter le terme?algèbre Définir les termes de base... Exercice Calculer la valeur numérique d'une expression algébrique... 8 Exercice OPÉRATIONS Addition Réduire des termes semblables... 1 Exercice Calculer la somme de polynômes Exercice Soustraction Calculer la différence de monômes Exercice Calculer la différence de polynômes... Exercice Simplifier des expressions algébriques contenant des parenthèses... 4 Exercice Multiplication Appliquer la loi des exposants pour la multiplication... 7 Exercice Calculer le produit de plusieurs monômes Exercice Calculer le produit d'un polynôme par un monôme Exercice DIAM91106 BAPG\9803

4 MAT 01 TABLE DES MATIÈRES II.3.4 Calculer le produit d'un binôme par un binôme Exercice Exercice Exercice Élever un monôme à une puissance Exercice Division Appliquer la loi des exposants pour la division Exercice Calculer le quotient d'un monôme par un monôme Exercice Calculer le quotient d'un polynôme par un monôme Exercice Simplifier des expressions algébriques en respectant l'ordre des opérations Exercice EXERCICE DE RENFORCEMENT... 61

5 MAT 01 THÉORIE NOTIONS ALGÉBRIQUES 1.1 PRÉSENTER LE TERME? L'algèbre est née lorsque les mathématiciens ont pris la liberté de remplacer des nombres par des lettres ou des symboles et qu'ils ont appris à calculer sur ces objets. Naturellement, toutes les habiletés acquises en arithmétique s'appliquent, mais l'algèbre est une?nouvelle manière de faire pour résoudre des problèmes. Expressions arithmétiques Expressions algébriques x + x 3 x (3) 6 x 6 (3) + 3 (8) x + 3y La connaissance de cette branche des mathématiques est essentielle dans plusieurs domaines tels que le génie, l'exploration spatiale, la comptabilité, l'architecture et évidemment les sciences.

6 MAT 01 THÉORIE 1. DÉFINIR LES TERMES DE BASE En algèbre, les nombres sont représentés par des symboles, généralement des lettres. Une même lettre peut être utilisée dans divers problèmes, mais le nombre qu'elle remplace peut varier. Ces lettres sont appelées des VARIABLES (une lettre peut avoir différente valeur; elle est variable). Les nombres qui les accompagnent sont appelés des CONSTANTES (un nombre a toujours la même valeur; il est constant). On se sert souvent de lettres telles que x, y, z, a, b, c comme variables. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) Dans x, est le constant, x est la variable. ) Dans ab, 1 est le constant (il est inutile d'écrire 1), ab sont les variables. Remarques 1. Par convention, le produit d'un constant et d'une variable ou de plusieurs variables s'écrit sans le symbole de multiplication. Ainsi 3 x b s'écrit 3b et 4 x a x y s'écrit 4ay.. On respecte l'ordre alphabétique en écrivant les variables. Ainsi on a xyz et non yxz et ab et non ba.

7 MAT 01 THÉORIE 3 EXPRESSION ALGÉBRIQUE Une expression algébrique est un ensemble de nombres et de variables réunis par l'addition, la soustraction, la multiplication, la division, l'élévation à une puissance, l'extraction déraciné. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) x + xy + y ) 5 a + b 3) 7x 3 4) %x TERME Un terme est une expression composée du produit de nombres et de variables. Parfois un terme comprend seulement un nombre. Dans le terme, on a donc une partie numérique et/ou une partie littérale. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) x + 6x 9 est une expression algébrique qui contient 3 termes. 1 er terme : x e terme : + 6x 3 e terme : 9

8 MAT 01 THÉORIE 4 ) a + a contient termes. 3) Dans l'expression algébrique 6a 3 : 6 est la partie numérique; a 3 est la partie littérale. POLYNÔMES On donne souvent le nom de polynôme à une expresssion algébrique. Quelques polynômes ont reçu des noms particuliers. Monôme est une expression algébrique contenant un terme. Binôme est une expression algébrique contenant deux termes. Trinôme est une expression algébrique contenant trois termes. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) Monômes i) a ii) (a + b) iii) a x + b ) Binômes i) x = 4 ii) (6x + 7y) + 4 iii) 3x + 4a 7 5

9 MAT 01 THÉORIE 5 3) Trinômes i) x + 6x + 5 ii) a + b + (c + d) iii) x + y + z 4 COEFFICIENT Dans l'expression 4 x 9 = 36 : 4 et 9 sont des facteurs; 36 est le produit. Dans le monôme 5x : 5 et x sont des facteurs ou des coefficients; 5 est le coefficient numérique; x est le coefficient littéral. EXPOSANT Un exposant est un nombre ou une lettre qui indique le nombre de fois qu'une variable est multipliée par ellemême. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) 5 x TTT **.)))))))))))))))))))> exposant *.)))))))))))))))))))))> variable.))))))))))))))))))))))q> coefficient numérique

10 MAT 01 THÉORIE 6 ) Dans 5x, l'exposant est 1. y 3) Dans a, l'exposant est y. Remarques 1. On n'écrit pas les coefficients 1 et 1 devant une variable. Ainsi, 1x s'écrit x et 1x s'écrit x.. Dans le cas de coefficient fractionnaire de numérateur égal à 1 ou à 1, on n'écrit que le dénominateur. Ainsi, 1a s'écrit a et 1a s'écrit a On n'écrit pas l'exposant d'une variable lorsque cet exposant est 1. Ainsi, 5a s'écrit 5a.

11 MAT 01 EXERCICE Indiquer le nombre de termes dans chacun des polynômes suivants et donner le nom précis de chacun. a. 3x 5 f. 3x + 6x + 9 b. 4x g. (a + 3b + c) c. a h. abc d. 1/x + 3 i. 1/x + /y + 3/z e. x + 5 j. 5x (a + b) 8c y. Soit le polynôme x x 4. a. Écrire le coefficient numérique du premier terme. b. Écrire le terme constant. c. Écrire l'exposant du premier terme. d. Combien de termes contientil? e. Écrire le coefficient numérique du deuxième terme. 3. Nommer les variables dans les expressions suivantes. a. x c. y b. bh d. (a + b)

12 MAT 01 THÉORIE CALCULER LA VALEUR NUMÉRIQUE D'UNE EXPRESSION ALGÉBRIQUE La valeur numérique d'une expression algébrique est le résultat obtenu en substituant aux variables les valeurs qu'elles représentent et en effectuant les opérations indiquées. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) Évaluer x y + 5 pour x = 10 et y =. x y + 5 = 10 ( ) + 5 = = = 17 ) Évaluer 3xy pour x = et y = 6. 3xy = 3 () (6) = 6 (6) = 36 3) Évaluer 3cd pour c = 1 et d = 3. 3cd = 3 (1) ( 3) = 3 (1) (9) [priorité de l'exponentiation] = 3 (9) = 7 4) Évaluer x + 5x + 6 pour x = 3. x + 5x + 6 = ( 3) + 5 ( 3) = ( 9) = = = 18

13 MAT 01 THÉORIE 9 5) Évaluer x 4 pour x = 5. 3 x 4 3 = ( 5) 4 3 = = 1 3 = 7

14 MAT 01 EXERCICE Évaluer les expressions suivantes. a. x + 6 pour x = 5 b y pour y = 6 c x pour x = 3 d. x 6 pour x = 5 e. t w pour t = 5 et w = 6 f. 5x pour x = 4 g. 10y pour y = 5 h. 5a pour a = 0 i. 4xy pour x = 3 et y = 6 j. m pour m = 0 4 k. a pour a = 1 et b = 1 b l. 3x pour x = 0 6 m. x (x 5) pour x = 10 n. 3x 6 pour x = 1 3 o. cd pour c = et d = p. x pour x = 5 5

15 MAT 01 EXERCICE 11 q. a + b c pour a = 1, b = 0 et c = 3 r. 4x pour x = 3 3 s. 5x 3x + 4 pour x = 1 t. 3x (y + 9) pour x = 5 et y = u. (x )(x 3) pour x = 5 v. 6 (y 4) pour y = 7 w. (x) 3 pour x = x. x 5 pour x = 7 3 y. x 5 pour x = 3 z. x 5 pour x = 15

16 MAT 01 THÉORIE 1.0 OPÉRATIONS.1 ADDITION.1.1 Réduire les termes semblables TERMES SEMBLABLES On appelle termes semblables, les termes qui sont formés des mêmes variables affectés respectivement des mêmes exposants, quels que soient leurs coefficients numériques et les signes. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) 4x et 3x sont des termes semblables. ) 5x y et x y sont des termes semblables. 3) 8m n et 4mn ne sont pas des termes semblables. RÉDUCTION DE TERMES SEMBLABLES La réduction est l'opération par laquelle on remplace plusieurs termes semblables par un seul. Il s'agit d'additionner les coefficients numériques : cette somme devient le coefficient d'un terme unique semblable aux termes réduits. Tous les principes établis pour les opérations sur les entiers, s'appliquent dans les opérations sur les monômes.

17 MAT 01 THÉORIE 13 Cependant, on ne peut procéder à l'addition de monômes que s'ils sont semblables. L'addition de 5a et 4b ne se fait pas plus que celle de 5 oranges et 4 autos. Dans la pratique, on groupe tous les monômes semblables et on en fait la réduction. TABLEAU DES LOIS DE L'ADDITION er 1 cas : e cas : e 3 cas : La somme de deux termes positifs est toujours un terme positif. 4x + 6x = 10x La somme de deux termes négatifs est toujours un terme négatif. 4x + ( 6x) = 10x La somme d'un terme positif et d'un terme négatif est : a) parfois un terme positif; 4x + 6x = x b) parfois un terme négatif. 4x + ( 6x) = x

18 MAT 01 THÉORIE 14 +)))))))), *Exemples*.)))))))) Réduire les termes semblables suivants. 1) 14x x = 1x ) = = = = 8a b 5a b 13a b + a b 7a b ÆÈÇ 3a b 13a b + a b 7a b ÆÈÇ 10a b + a b 7a b ÆÈÇ 9a b 7a b ÆÈÇ 16a b 3) = 6ab 6ab 0 4) = 6m m 7m [ m = 1m] 5) = 14x + a 14x + a

19 MAT 01 EXERCICE Réduire les termes semblables. a. 7a + 3a h. 1y 6y b. 9x + 5x i. 10x + x 5y c. 15y 5y j. 9x 4x 3x d. a + 4y k. 1x + x x e. 3m m l. 10a 13a + 16a f. x 10x m. 5ab + 8ab 3ab 6ab g. 6a 1a n. 5xy 11xy xy

20 MAT 01 THÉORIE Calculer la somme de polynômes Pour calculer la somme de polynômes, on peut disposer les expressions d'une des deux manières suivantes. 1. HORIZONTALEMENT : poser les termes semblables de sorte qu'ils se suivent. Soit à additionner : x + 3y + 4 et 5x y 3. On a : x + 3y x y 3 = x + 5x + 3y y = 7x + y + 1. VERTICALEMENT : poser les termes semblables les uns sous les autres en formant des colonnes. Si un terme manque, on laisse un espace. +)))))))), *Exemples*.)))))))) Soit à additionner : x + 3y + 4 et 5x y 3. On a : x + 3y x y 3 7x + y + 1 Calculer la somme des polynômes suivants. 1) 5x 6y et x 3y 5x 6y x 3y 7x 9y

21 MAT 01 THÉORIE 17 ) a + a 4 et a 3 a + a 4 a 3 a + 3a 7 3) 3a 11b + 5c ; 6b 5a et 5b c + a 3a 11b + 5c 5a + 6b a + 5b c a + 4c [ 11b + 6b + 5b = 0]

22 MAT 01 EXERCICE Effectuer les additions suivantes. a. 3x y h. x + 3xy 5y 5x + 3y 3x 5xy + 4y b. x + 6y i. 8a 6b x 6y 5a + 3b a b c. 5x 6y j. x + y + 4 3x 4y x + y d. 4a + 8b k. x + 3x + 7 a 10b 3x 6x 11 4x + x 5 e. m + n l. 5a 3a + m n 3a + 4a 3 9a 3a + 5 f. x 3y m. 3a + b x y + 4 b 5 4a + 15 g. x + 3y + 4z n. 5x 3y x y z 7x + z 5y 3z. Additionner horizontalement. a. x + 5x + 7 e. 7x + x b. 3y y + 0 f. 3x x c. 6x 10x + 5 g. 5x x + 0 d x 0x h. x + 3 5x 3

23 MAT 01 THÉORIE 19. SOUSTRACTION..1 Calculer la différence de monômes Auparavant, on a vu que la soustraction était l'inverse de l'addition, c'estàdire, pour soustraire un nombre, on additionnne son opposé. Soustraire un monôme revient à additionner son opposé. Comme pour l'addition, on ne peut opérer qu'avec des monômes semblables. SOUSTRACTION + + ( 3x) ( x) ( 7x) ( x) + + ( 3x) + ( x) ADDITION ( 7x) + ( x) +)))))))), *Exemples*.)))))))) = 5x = 9x 1) Soustraire 0a de 16a. 16a 16a S))))))> [nombre à soustraire : 0a ] + 0a 0a 4a ) Soustraire 4a de 7a. + 7a ( 4a) = 7a + ( 4a) ou 7a 4a

24 MAT 01 THÉORIE 0 = 3a 3) Soustraire le second du premier. 3a bc 3a bc 5a bc S))))))> + + 5a bc a bc Remarques 1. Il est possible de franchir mentalement certaines étapes.. Les parenthèses ne sont pas toujours nécessaires pour indiquer l'opposé d'un terme. +)))))))), *Exemple *.)))))))) (4xy ) (7xy ) = 4xy + ( 7xy ) [faire mentalement cette étape] = 4xy 7xy [enlever les parenthèses] = 3xy

25 MAT 01 EXERCICE Soustraire. a. 5x de 8x b. 4m de 6m c. 10xy de 9xy d. 3x de 3x e. 7y de 30y f. 3a b de 9a b 3 3 g. 3x y de 13x y h. 5x m de 0x m i. 0a b de 40a b j. 1a de 1a x 3 3 k. 16x y de 19x y 3 3 l. x y z de x y z. Soustraire le deuxième monôme du premier. a. 39b ; 1b f. b. 1b ; 39b g. c. 5a; 4b h. d. 5a b; 5a b i. e. 5a b; 5a b j. 50y; 50y 3d ; 10d 3d ; 10d 3d ; 10d 4z ; z 3. Soustraire le second monôme du premier. a. 3a bc d. 4a bc a cd 4a cd 3 3 b. 5x y e. 3x y 3 m nx 3 m nx c. a bm 4a bm

26 MAT 01 THÉORIE.. Calculer la différence de polynômes Pour soustraire des polynômes, il faut : 1. changer les signes du polynôme à soustraire;. effectuer la réduction de termes semblables, c'estàdire, procéder comme dans l'addition. Soit à soustraire 0a + b de 16a + b. 16a + b 16a + b 0a + b S)))))))) + >0a b 4a + b Remarque L'on change tous les signes du polynôme à soustraire. +)))))))), *Exemples*.)))))))) Effectuer les soustractions suivantes. 1) a + 3b a + 3b a + b S))))))))) >a b a + b ) 5x 8 5x 8 3x S)))))))))>3x + 8x 6 3) 4a b + 3c 4a b + 3c a + 4c S))))))))> a 4c a b c

27 MAT 01 EXERCICE Effectuer les soustractions. a. 7x + y g. a + 3 x 4y a b. 4abc + ef h. 4x abc + ef x + 6 c. 1a + 7b i. 6x 5x + 0a + 11b 3x x 3 d. 3a b j. a + 3b a b a 4b + 5 e. x + 3 k. x + xy + y 3x + 4 x xy + y f. 4x l. 3x 4xy + y x + 3 x 3xy 4y

28 MAT 01 THÉORIE 4..3 Simplifier des expressions algébriques contenant des parenthèses En mathématique, on utilise souvent des parenthèses pour grouper des quantités formant un tout. Ainsi, (5 + 3) est le nombre positif 4. Il existe plusieurs signes de regroupement : 1. les parenthèses proprement dites ( ). les crochets [ ] 3. les accolades { } Pour supprimer les parenthèses, on s'appuie sur les règles suivantes. 1 re règle Si le signe (+) précède la parenthèse, on peut la supprimer sans changer aucun signe. +)))))))), *Exemple *.)))))))) 6a + (5b 4c 16a) = 6a + 5b 4c 16a = 10a + 5b 4c

29 MAT 01 THÉORIE 5 e règle Si le signe () précède la parenthèse, on peut la supprimer à condition de changer tous les signes des termes à l'intérieur de la parenthèse. +)))))))), *Exemple *.)))))))) x + y (x + y ) ( x + xy) = x + y x y + x xy = x xy e 3 règle Quand une expression contient plusieurs signes de regroupement (parenthèses, crochets, accolades) on les supprime successivement en commençant par ceux qui se trouvent à l'intérieur. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) x y [x (xy 4x )] = x y [x xy + 4x ] [éliminer les ( )] = x y [5x xy] = x y 5x + xy [éliminer les [ ]] = 3x + xy y ) 10a {4b [c (4a b c)]} = 10a {4b [c 4a + b + c]} [éliminer les ( )] = 10a {4b [3c 4a + b]} = 10a {4b 3c + 4a b} [éliminer les [ ]]

30 MAT 01 EXERCICE 7 6 = = = 1. 10a {3b 3c + 4a} 10a 3b + 3c 4a 6a 3b + 3c Supprimer les parenthèses. [éliminer les { }] a. (a + ab + b + a ab + b ) + (a + b ) b. x + [(y x) (y z)] c. (a 6 + bc) (c bc 3a) (3c 4a + bc) d. [x + 3y (3y c) + 6] e. (a x 6z ) { (a x + 6z ) [3a x 3z + 4a x ]} f. 7ab [abc + (ab c + a ) ab] g. a (3b + c) + {5b (6c 6b) + 5c [a (c + b)]} h. x [x + (x y) + y] 3x {4x [(x + y) y]} i. x {3y + [3z (w y) + x] a} j. {3b + [b (a b)]} k. a {b + [3c 3a (a + b)] + [a (b + c)]} l. 7a (5a x + 3ax 7x ) [8a 4a x (ax 7x )]

31 MAT 01 THÉORIE 7.3 MULTIPLICATION.3.1 Appliquer la loi des exposants pour la multiplication On peut utiliser les symbloles (+), (), (x) et ( ) entre des nombres ou des termes pour indiquer les opérations d'addition, de soustraction, de multiplication et de division. À ces opérations s'ajoute l'exponentiation indiquant une multiplication répétée. Ainsi, au lieu d'écrire : 5 x 5 x 5 = 15 3 on écrit : 5 = 15 Dans l'opération d'exponentiation, chaque nombre ou variable prend un nom bien précis. PUISSANCE On appelle puissance d'un nombre, le produit de plusieurs facteurs égal à ce nombre, c'est le résultat. BASE La base est le nombre qui se répète dans la multiplication. EXPOSANT L'exposant indique combien de fois la base est répétée dans la multiplication. C'est le degré de la puissance. +)))))))), *Exemple *.)))))))) exposant 3 5 = 15 puissance base

32 MAT 01 THÉORIE 8 Remarques 1. La seconde puissance d'un nombre se nomme le carré de ce nombre. Ainsi 6 se lit :?6 exposant ou?6 au carré. 3. La troisième puissance d'un nombre se nomme le cube de ce nombre. Ainsi 6 se lit :?6 exposant 3 ou?6 au cube. Avant de formuler la loi des exposants, il serait bon de revoir la loi des signes pour la multiplication. RÉSUMÉ Loi des signes pour la multiplication. (+) x (+) = (+) (+) x () = () () x (+) = () () x () = (+) Il est possible de découvrir la loi des exposants en observant comment s'effectue le produit suivant. 3 Soit à multiplier par. Sachant que = x et que 3 = x x 3 alors x = x x x x = 3 mais 3 = 5

33 MAT 01 THÉORIE 9 donc x = 3 x 5 = = Conclusion Loi des exposants pour la multiplication. Dans une multiplication, lorsque les bases sont identiques, on peut additionner les exposants. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) x 6 C x 7 = x = x ) a 5 x a x x a = a 5 + x x = a Remarques 1. Une puissance de degré pair d'un nombre négatif est un nombre positif. ( 5) = ( 5)( 5) est un exposant pair. = 5. Une puissance de degré impair d'un nombre négatif est un nombre négatif. 3 ( 4) = ( 4)( 4)( 4) 3 est un exposant impair. = 64

34 MAT 01 EXERCICE Dans chacune des expressions suivantes, identifier la base et l'exposant. 3 y a. x c. x b. 4 5 d. m. Calculer les produits. a. x 3 C x 5 i. d 3 C d C d 7 b. a C a C a j. x C x C x C x c. a 6 C a 10 k. n C n 3 C n 5 C n 7 d. b C b 5 l. z C z 8 e. y 7 C y 18 m. x C x 6 C x 1 f. 5 C 5 n. a 3 C a C a 0 C a 0 g. 4 C 4 3 o. r C r 3 h. b 5 C b 4 C b 3 p C 10 4

35 MAT 01 THÉORIE Calculer le produit de plusieurs monômes Dans les monômes, on définit les coefficients comme suit : 3ab coefficient numérique coefficient littéral Puisque le produit de monômes est le résultat de la multiplication de plusieurs facteurs, on utilise la loi de multiplication des entiers ainsi que celle des exposants. 3 3 Soit à multiplier 4a c par 5a c. Puisque 4a c signifie 4 C a C a C c 3 3 et que 5a c signifie 5 C a C a C a C c C c C c 3 3 alors 4a c( 5a c ) signifie 4 C a C a C c C 5 C a C a C a C c C c C c On peut changer l'ordre des facteurs pour faciliter la multiplication. (4) ( 5) C a C a C a C a C a C c C c C c C c C a C c = 0a c On effectue les produits en tenant compte de la loi des signes et de la loi des exposants pour la multiplication. Conclusion Produit de monômes 1. Effectuer le produit des coefficients numériques en respectant la loi des signes pour la multiplication.. Multiplier la partie littérale en appliquant la loi des exposants.

36 MAT 01 THÉORIE 3 +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) 6a b x 5a b = ( 6)( 5) a b 5 7 = 30a b ) ( 5xy)( 4x y)( y z) = ( 5)( 4)( 1) x y z 4 5 = 0x y z 3) 5(4b) = ( 5)(4)(b) = 0b 4) m(3n)(4p) = ()(3)(4) mnp = 4mnp 5) x 5 C x = x 7 Remarques 1. Respecter l'ordre alphabétique.. Le point remplace le symbole (x) de la multiplication.

37 MAT 01 EXERCICE Effectuer les multiplications suivantes. a. (ab) (ab) j. abc C c 3 C a 4 3 b. (ab ) (ab) k. (4x y) (3x y) (xy ) c. (4a b) (6ab c) l. (ab) ( 3c ) ( b d) 4 5 d. (9a b) ( 4ab ) m. 6m (n) (3n ) e. ( 3xy ) ( 8x y) n. (b c ) ( bc) (b c ) 3 f. (11xy) ( xy) o. ( 5xy ) ( 3x y) 3 g. ( 3x ) ( 4xy) ( 5x ) p. ( 3a ) ( a ) h. 5ab (ab) (3b) q. ( 5xy) (9x) 5 i. ( ab) ( 3ab ) r. x ( x )

38 MAT 01 THÉORIE Calculer le produit d'un polynôme par un monôme Multiplication d'un polynôme par un monôme Multiplier chaque terme d'un polynôme par le monôme donné. Soit à multiplier (a 4b + c) par 7a. On a 7a(a 4b + c) T T T T /)) * * /))))))) *.)))))))))))) = (7a)(a ) (7a)(4b) + (7a)(c) 3 = 7a 8ab + 14ac la loi des exposants pour la multiplication +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) 5x( 3x 4) = (5x)( 3x) (5x)(4) = 15x 0x 3 3 ) y (y 3x) = (y )(y ) (y )(3x) 5 = y 3xy 3) x(x 5)(x) = (x)(x)(x 5) [changer l'ordre des termes] = x (x 5) = (x )(x) (x )(5) 3 = x 10x

39 MAT 01 EXERCICE Effectuer les multiplications suivantes. a. x (x 6) i. 5 (4x 6) ( 3) 5 b. 4 (x + 10) j. 5a b (3a b a b ) 4 3 c. 5 (x 15) k. 3xy ( x y + xy ) d. 6 ( 4 3x) 3 l. a ( 4ab + 3a b) e. x (5x 1) m. x (x 5) f. n (n ) 3 g. x ( 3x ) n. y ( y 6) o. 5x (3x y) h. 5x (4x 6) p. x (3x 4y)

40 MAT 01 THÉORIE Calculer le produit d'un binôme par un binôme Multiplication d'un binôme par un binôme Multiplier chaque terme du second binôme par les termes du premier. Soit à calculer le produit de (x + 3) par (x ). On peut adopter la disposition suivante : x x C x = x 1. x C 3 = 3x x x C x = x C 3 = 6 x Donc x + 3 x x + 3x x 6 x + x 6 [additionner les termes semblables]

41 MAT 01 THÉORIE 37 Remarque Pour des raisons d'ordre pratique, il est d'usage d'effectuer les quatre produits dans cet ordre. Une autre façon très commode d'effectuer la multiplication de binômes consiste à disposer les termes horizontalement. Soit à multiplier x + 3 par x. +))))))))), /)))))), * R R R (x + 3) (x ) = x(x) x() + 3(x) + 3( ) T T T /)) * = x x + 3x 6.))))) = x + x 6 +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) Multiplier x 3 par x + 6. x 3 [x (x) = x ] x + 6 [x ( 3) = 3x] x 3x [6 (x) = 1x] 1x 18 [6 ( 3) = 18] x +9x 18 ) (3a b) (a + 5b) 3a b a + 5b 6a 4ab 15ab 10b 6a + 11ab 10b

42 MAT 01 THÉORIE 38 3) (4 x) (3 4x) = 4(3) + 4( 4x) x(3) x( 4x) = 1 16x 6x + 8x = 1 x + 8x

43 MAT 01 EXERCICE Effectuer les multiplications suivantes. a. (x + ) (x + 3) g. (x y) (x 9y) b. (x + 7) (x 1) h. (4 + x) (6 + x) c. (x 3) (x + 5) i. ( x) (3 + x) d. (a ) (a 6) j. (x + 8) (x 4) e. (x 6) (x + 3) k. ( 3x 10) ( x 6) f. (y + 4) (3y 5) l. (x + a) (x b)

44 MAT 01 THÉORIE 40 En travaillant avec le produit de deux binômes, l'on remarque qu'il existe deux cas spéciaux. Dans chaque cas, on peut calculer mentalement le produit de ces binômes. 1 er cas : le carré d'un binôme Soit à trouver : (x + 3). (x + 3) (x + 3) = x(x + 3) + 3 (x + 3) = x + 3x + 3x + 9 = x + 6x + 9 (x + 3) = x + (3x) + 9 le carré de = le carré + le double + le carré la somme du premier produit du second de deux terme des deux terme coefficients termes RÉSUMÉ Pour calculer mentalement le carré de deux binômes on fait : 1. le carré du premier terme;. le double produit du premier terme par le second; 3. le carré du second terme. +)))))))), *Exemples*.)))))))) Effectuer les produits suivants. 1) (x + 5) = (x) + (x)(5) + (5) = 4x + (10x) + 5 = 4x + 0x + 5

45 MAT 01 THÉORIE 41 ) (x 3) = (x) + (x)( 3) + ( 3) = x + ( 3x) + 9 = x 6x + 9 3) (4x 6) = (4x) + (4x)( 6) + ( 6) = 16x + ( 4x) + 36 = 16x 48x + 36

46 MAT 01 EXERCICE Calculer mentalement les produits suivants. a. (x + ) f. (x y) b. (x 3) g. (3a b) c. (a + 1) h. (x + 3y) d. (3a ) i. (4 + x) e. (a + b) j. (3 x)

47 MAT 01 EXERCICE 1 43 e cas : produit d'une somme par une différence Soit à multiplier x + 3 par x 3. (x + 3) (x 3) = x(x + 3) 3(x + 3) = x + 3x 3x 9 = x 9 (x + 3) (x 3) = x 9 la somme la différence la différence de deux x de deux = des carrés coefficients coefficients des deux coefficients RÉSUMÉ Le produit de la somme de deux coefficients par la différence de ces mêmes deux coefficients est égal au carré du premier moins le carré du second. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) (x + 5) (x 5) = (x) (5) = x 5 ) (x 1) (x + 1) = (x) (1) = 4x 1 3) (3x + 6y) (3x 6y) = (3x) (6y) = 9x 36y

48 MAT 01 EXERCICE Calculer mentalement les produits suivants. a. (x 5) (x + 5) f. (a + b) (a b) b. (y + 3) (y 3) g. (x + y) (x y) c. (x + 5) (x 5) h. ( 5y) ( + 5y) d. (x + 1) (x 1) i. (6x + 1) (6x 1) e. (4x + 5y) (4x 5y) j. (m 7) (m + 7)

49 MAT 01 THÉORIE Élever un monôme à une puissance En travaillant avec les monômes, il est possible d'appliquer la loi des exposants. 1 er cas : puissance d'une base affectée d'un exposant 3 4 Soit à simplifier (a ) Puisque (a ) peut s'écrire a C a C a C a D'après la loi des exposants a Donc (a ) = a Mais 3 x 4 = 1 Alors (a ) = a (a ) = a x RÉSUMÉ Pour élever à une puissance quelconque une base affectée d'un exposant, on fait le produit des exposants. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 3 x 3 6 1) (a ) = a = a 3 3 x 6 ) (4 ) = 4 = 4 = 4 096

50 MAT 01 THÉORIE 46 e cas : puissance d'un produit 3 Soit à simplifier (a b ) Puisque (a b ) peut s'écrire a b C a b On peut changer l'ordre des facteurs C C a 3 C a 3 C b C b D'après la loi des exposants C a C b + Donc (a b ) = 4a b RÉSUMÉ Pour élever un produit à une puissance quelconque, il suffit d'élever chacun des facteurs à cette puissance. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 3 5 x 5 3 x 5 1 x 5 1) (a b d) = a b d = a 10 b 15 d 5 ) 4 (5x ) 4 x = 5 C x = 5x 8 3) (ab) 8 = a 8 b 8

51 MAT 01 EXERCICE Simplifier les expressions suivantes. a. (xy) 4 5 h. (a b ) b. (x ) i. (3x y) 5 5 c. (b ) j. (abc) 4 4 d. (a ) 5 3 k. (a b c) e. (c ) l. ( xy) f. (a) 3 m. (3a b) 3 g. ( x)

52 MAT 01 THÉORIE 48.4 DIVISION.4.1 Appliquer la loi des exposants pour la division Avant d'aborder la loi des exposants, il serait utile de faire une révision. 1) Réviser les termes de base : +)))))))), *Exemple *.)))))))) DIVIDENDE : le nombre à diviser; DIVISEUR : le nombre qui divise; QUOTIENT : le résultat. dividende 56 = 8 quotient 7 diviseur ) Réviser la loi des signes pour la division. RÉSUMÉ Loi des signes pour la division (+) (+) = (+) (+) () = () () (+) = ()

53 MAT 01 THÉORIE 49 () () = (+) Il est possible de découvrir la loi des exposants en observant comment s'effectue la division suivante. 6 4 Soit à diviser 3 par 3. En effectuant la division, on a /3 C /3 C /3 C /3 C 3 C 3 /3 C /3 C /3 C /3 = 3 C 3 = 3 Ce qui revient à écrire 3 6 = Conclusion 3 4 = 3 = 9 Loi des exposants pour la division Dans une division, lorsque les bases sont identiques, on peut soustraire les exposants, c'estàdire l'exposant du numérateur moins l'exposant du dénominateur. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) x 7 x = x 7 = x 5 ) a 11 a 10 = a = a

54 MAT 01 THÉORIE ) 5 5 = 5 = 5 = 5 CAS PARTICULIERS 1 er cas : l'exposant est nul 5 5 Soit à diviser a par a. En faisant le calcul tout au long, on a : a/ C /a C /a C /a C /a = 1 a/ C /a C /a C /a C /a En appliquant la loi des exposants, on a : a = a = a 5 a Donc a 0 = 1. Conclusion Tout nombre (non nul) affecté de l'exposant 0 est égal à 1. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) x 6 x 6 = x 6 6 = x 0 = 1 ) x 3 x 3 = x 3 3 = x 0 = 1

55 MAT 01 THÉORIE ) = = = 1 e cas : l'exposant est négatif 3 5 Soit à diviser x par x. En faisant le calcul tout au long, on a : x/ C /xc/x = 1 x / C x / C x / C x C x x En appliquant la loi des exposants, on a : x = x = x 5 x Donc x = 1 x. Conclusion Tout nombre affecté d'un exposant négatif est égal à son inverse affecté du même exposant positif. +)))))))), *Exemples*.)))))))) ) p p = p = p = 1 p ) a a 4 = a 1 4 = a 3 = 1

56 MAT 01 THÉORIE 5 a 3 3) x 4 x 5 = x 4 5 = x 1 = 1 x ) = = = 1 = 1 4 Remarque x 1 se lit :?x exposant moins 1 ou?l'inverse de x.

57 MAT 01 EXERCICE Simplifier et donner la réponse avec des exposants positifs. a. x 11 x 9 i. x 5 x b. y y j. c. x 5 x k. x 4 x d. l. p p e. x 1 x 9 m. z 5 z f. 5 5 n. 3 3 g. x x 3 o. m 6 m h. x 6 x 8 p. x 7 x 7

58 MAT 01 THÉORIE Calculer le quotient d'un monôme par un monôme Division d'un monôme par un monôme 1. Diviser les coefficients numériques en observant la loi des signes dans la division.. Soustraire les exposants d'une même variable Soit à diviser 5a c par 5a c. 5a c = 5 ( 5) a c 6 5 5a c = 5a c = 5a c Remarque Au lieu d'écrire c on préfère rendre l'exposant positif au dénominateur. +)))))))), *Exemples*.)))))))) ) 1x y z 7xy z = 3x y 5 5 ) 4ab 6a = 7b 3) 6ab 1ab = 1

59 MAT 01 EXERCICE Effectuer les divisions suivantes. 4 3 a. 3x ( x) g. 36x y 6xyz b. 1x b c h a b c a b c 4ab c. 6x y y i. ax c ( 3ax c) d. 1a b c 4a b j. 15mn 5m n e. 9x y 3xy k. 40x 64x y f. 3abc 1abc

60 MAT 01 THÉORIE Calculer le quotient d'un polynôme par un monôme Division d'un polynôme par un monôme Pour diviser un polynôme par un monôme, on divise chacun des termes du polynôme par le monôme donné. 3 Soit à diviser 10ax + 0x par 5x. 3 3 On écrit : 10ax + 0x = 10ax + 0x 5x 5x 5x = ax + 4x +)))))))), *Exemples*.)))))))) 4 3 1) (4b 8b + 1b ) ( 4b ) = b + b 3 3 ) (4ax 10x + 4x) ( x) = ax + 5x Remarque Pour vérifier le quotient obtenu, il suffit de multiplier ce quotient par le diviseur; le produit donne le dividende. 3 x ( ax + 5x ) = 4ax 10x + 4x

61 MAT 01 EXERCICE Effectuer les divisions suivantes. 3 a. (1x + 1y) 3 g. ( 16x y + 8xy) ( 8xy) 4 3 b. (16x 4y ) 8 h. (4x 8x + 1x ) ( x ) 4 3 c. (5x + 17x) x i. ( 6x 1x + x) (x) 3 4 d. ( 9a + 13a ) a 3 5 j. ( 0b + b 4b ) ( b ) e. (8x 9x ) ( x ) k. (5a + 15a 10a ) (5a ) f. (8a 1a ) ( 4a ) l. (3x 9x + 15x) ( 3x)

62 MAT 01 THÉORIE 58.5 SIMPLIFIER DES EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES EN RESPECTANT L'ORDRE DES OPÉRATIONS Pour effectuer les opérations sur les polynômes, on suit les mêmes règles utilisées pour effectuer les opérations sur les entiers. ORDRE DES OPÉRATIONS 1. Lorsqu'une expression contient différentes sortes de parenthèses, on les élimine successivement en commençant par celles à l'intérieur.. L'exponentiation à priorité sur la multiplication et la division. 3. Les multiplications et les divisions ont priorité sur les additions et les soustractions. 4. Les multiplications et les divisions se font dans l'ordre où elles apparaissent. (de gauche à droite) 5. Les additions et les soustractions se font dans l'ordre où elles apparaissent. (de gauche à droite) +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) [6x (x 4) 15 (x + 3) (x 5)] x = [6x 4x 15 (4x 4x 15)] x = [6x 4x 15 4x + 4x + 15] x = [x 0x] x

63 MAT 01 THÉORIE 59 = x + 10 ) (a + 1) (a + a + 1) = a + a + 1 a a 1 = 0 3 3) 3x y 4xy + 3xy y(5xy) = 8xy + 3xy 5xy = 11xy 5xy = 6xy

64 MAT 01 EXERCICE Simplifier les expressions suivantes. 3 a. x + (3x ) (x) x (5x) (x) b. (3x + 5) (5x 1) (x + 1) (x 3) c. (3x 1) 4(x 5) d. (a + ) (a 5) (a + 1) (a 1) e. c d c d + 4cd 8c 16a b c 4 3 d 8a b c f. a(a c) + b(a c) b(a c) 3 3 g. a b + 3ab ab 8a 4b b 5 5 h. (3x ) ( x 4) 6x b 3b i. [ 6b 6b] 3b j. 4x (x + 3) (x 1) (x 5) ( x + ) k. x [(4x + y ) + (x 3y )] l. [18a b (3a + )] 3ab m. x 4y + [6z (x + y) + 3y] 3x n. [( 1x 4x + 5x ) (6x + x x )] 6x 3 3 o. [(7x 4x + 6x) ( 4x + 1)] xy 4 p. 1x y (y + 4) (y 3) x y q. [4x (x + 3) x (x 3)] 6x

65 MAT 01 EXERCICE DE RENFORCEMENT EXERCICE DE RENFORCEMENT 1. Effectuer les additions suivantes. a. 5a 5b b. 5x 6y a + b 4x + 1y 7a 8b 7x y a. Soustraire 8b 6a de 5a 4b. b. Soustraire a + 3b c de 5a 4b + c. 3. Effectuer les multiplications suivantes. a. x C x 5 f. (x ) (x + 9) 3 b. (x ) g. (x 6) (x + 6) 3 3 c. (x y ) h. (x + 5) (3x 6) 3 5 d. 6 (5a + b) i. ( 4a bc) ( 9ab c ) e. x (x 3y)

66 MAT 01 EXERCICE DE RENFORCEMENT 6 4. Effectuer les divisions suivantes. 6 5 a. x x d. ( 18x ) (6x ) b. x x e. (8x 16x + 0x) x c ( 40x y ) ( 8x y ) f. 8 0 x x Donner la réponse de deux manières. 5. Simplifier. a. (x + 4) (x 3) (x 6x 9) b. 3x [y (x + y 3)] c. x {3x + (x y)} d. 15x {4 [3 5x (3x 7)]} e. [(4x y 5xy) ( 8x y + xy)] 6xy 3 f. 7a (a ab + 3b) 14a b 7a

67 FORMATION INTERMÉDIAIRE MAT 01 CORRIGÉ (Cahier )

68 DIAM91109 BAPG\9803

69 MAT 01 CORRIGÉ 1 EXERCICE 1, PAGE 7 1. a. termes : binôme f. 3 termes : trinôme b. 1 terme : monôme g. 1 terme : monôme c. 1 terme : monôme h. 1 terme : monôme d. termes : binôme i. 3 termes : trinôme e. 1 terme : monôme j. 3 termes : trinôme. a. d. 3 b. 4 e. c a. x c. y b. bh d. (a + b) EXERCICE, PAGE a. 11 n. 4 1/ b. 54 o. 3 c. 47 p. 15 d. 4 q. 8 e. 9 r. 4 f. 100 s. 6 g. 50 t. h. 0 u. 6 i. 7 v. 54 j. 5 w. 64 k. l x. 31 l. 0 y. 1 m. 50 z. 3

70 MAT 01 CORRIGÉ EXERCICE 3, PAGE a. 10a h. 14y b. 14x i. 1x 5y c. 10y j. x d. a + 4y k. 13x e. m l. 13a f. 8x m. 4ab g. 6a n. 8xy 3 EXERCICE 4, PAGE a. 8x + y h. x xy y b. x i. a 4b c. x 10y j. y + 4 d. 3a b k. 5x x 9 e. m l. a a + 4 f. 3x 5y + m. a + 10 g. x + y + 3z n. 1x + y z. a. 7x + 7 e. 5x + b. y + 0 f. x c. 4x + 5 g. 15x + 17 d x h. 7x

71 MAT 01 CORRIGÉ 3 EXERCICE 5, PAGE 1 1. a. 3x g. 3 16x y b. 10m h. 5x m c. 19xy i. 0a b d. 6x j. 1a x 1a e. 37y k. 3 3x y 3 f. 6a b l. x y z. a. 7b f. 50y 50y b. 7b g. 4d c. 5a 4b h. d d. 10a b i. 3d + 10d e. 0 j. 4z + z 3. a. 7a bc d. 3a cd b. 8x y e. 0 c. 3a bm 3 EXERCICE 6, PAGE 3 1. a. 5x + 6y g. a + 5 b. 15abc ef h. x c. 3a 4b i. 3x 3x + 5 d. 40a j. a + 7b e. x 1 k. xy f. 6x 3 l. x xy + 5y

72 MAT 01 CORRIGÉ 4 EXERCICE 7, PAGE 6 1. a. 3a + 3b b. z c. 8a 6 + bc 5c d. x c 6 e. 9a x 3z f. 7ab abc + c a g. 10b c h. 8x + y i. 4y 3z + w + a j. 6b + a k. 3a c l. 3 a a x ax EXERCICE 8, PAGE a. b. base : x exposant : 3 base : 4 exposant : 5 c. base : x exposant : y d. base : m exposant : 1. a. b. c. d. e. f. g. h. 8 x 3 a 16 a b 6 5 y b 1 i. d 1 j. x 4 k. n 16 l. z 9 m. 19 x n. 5 a o. 4 r p. 10 7

73 MAT 01 CORRIGÉ 5 EXERCICE 9, PAGE a. a b j. 5 4 a bc b. 3 a b k x y c a b c l. 3 6ab c d d a b m. 36mn 6 e x y n. 9 9 b c f. x y o x y g. 5 60x y p. 3a 5 h. 3 30a b q. 45x y i. 3 3a b r. 7 x EXERCICE 10, PAGE a. x 6x i. 60x 90 b. 4x 40 j. 15a b 10a b c. 10x + 75 k x y + 3x y d x l a b 6a b e. 10x x m. x + 5x f. 4 n n n. y + 6y g. 5 x 3x o. 15x + 10xy h. 0x + 30x p. 6x + 8xy EXERCICE 11, PAGE a. b. c. d. e. f. x + 5x + 6 x + 6x 7 x + x 15 a 8a + 1 x 18 6y + y 0 l. g. x 10xy + 9y h x + x i. 6 x x j. x 3 k. 3x + 8x + 60 x + ax bx ab

74 MAT 01 CORRIGÉ 6 EXERCICE 1, PAGE 4 1. a. x + 4x + 4 f. x xy + y b. x 6x + 9 g. 9a 1ab + 4b c. 4a + 4a + 1 h. 4x + 1xy + 9y d. 9a 1a + 4 i x + 4x e. a + ab + b j. 9 6x + x EXERCICE 13, PAGE a. x 5 f. a b b. y 9 g. x y c. 4x 5 h. 4 5y d. x 1 i. 36x 1 e. 16x 5y j. m 49 EXERCICE 14, PAGE a. 4 4 x y h a b b. 15 x i x y c. 5 b j a b c d. a k. 8a b c e. c l. 8x y 3 4 f. 8a m. 9a b g. 8x 3

75 MAT 01 CORRIGÉ 7 EXERCICE 15, PAGE a. x i. x 0 ou 1 b. y j. 0 ou 1 c. x 3 k. x 0 ou 1 d. l. p 18 e. 3 x m. z f. 1/5 3 n. 1/3 3 g. 1/x o. m 5 h. 1/x p. x 0 ou 1 EXERCICE 16, PAGE a. 3x g. 6x y z 3 b. 3x bc h. 9a a 6 c c. 3 3x y i. x 3 d. 3abc j. 5 mn e. 3x y k. 5 8y f. 1/4

76 MAT 01 CORRIGÉ 8 EXERCICE 17, PAGE a. b 4x + 7y x + 3y c. 5x + 17 d. 9a + 13a e x f. a g. h. i. j. k. l. x 1 x + 4x 6 3 3x 6x b + b a + 3a a x 5 EXERCICE 18, PAGE a. 3 9x + x b. 14x + 4x c. 7x + 74x 99 d. a a 9 e. 3 31c d 8cd f. a ac j. 7x + x + 13 k. 3 10x 4xy l. 18a + 1a m. x y + 6z n. 3x x + 1 o. 4 3 x y 8x y + 1x y xy 3 g. ab + ab a /b p. 11y y + 1 h. 5x 10x + 8 q. x + 3 i. b

77 MAT 01 CORRIGÉ 9 EXERCICE DE RENFORCEMENT, PAGE a. 1b b. 8x + 4y 3 3. a. 11a 1b b. 3a 7b + 3c 3. a. x 7 f. x + 7x 18 b. x 6 g. x 36 c. 6 9 x y h. 6x + 3x 30 d. 30a + 6b i a b c e. 3 4x 6xy 4. a. x 4 d. 3x 3 b. 0 x ou 1 e. 4x 8x + 10 c x y f. 1 1 x ou 1/x 5. a. 7x 3 d. 7x + 6 b. 4x 3 e. xy 1 c. 3x + 4y f. 7a 7a b + 19ab

78 FORMATION INTERMÉDIAIRE MAT 01 DEVOIR ET CORRIGÉ

79 MAT 01 DEVOIR 1 (30 pts) 1. Simplifier a. x x f. x x 6 0 b. a! a g. y! y! y c. ( 4a b ) h. ( 3a b) d. x x i. y y 3 11 e. ( ) j. ( 1) (40 pts). Effectuer les opérations demandées. a. Additionner : 3x + 14y 3 7x 16y + 7 7x + 10y 11 b. Soustraire : 17x 14c x 5c 8 c. Additionner : 7x + 4y 9x + 11y d. Soustraire : a + b c 4a 5b + 3c e. Soustraire : 7x + xy + 8x de 6x + 4xy 7x f. (3x 4y) (5x + y) DIAM BAPG\9804

80 MAT 01 DEVOIR g. x y( x y 3xy) h. Diviser : x + 1x + 16 par x i. (4x 3) (x + 6) j. x(6x 3x + 6) 3. Simplifier les expressions suivantes. (30 pts) a. a + 5b (a + 4b) b. 6x + {3y [(x + y) + y]} c. (x + 1) (x + x + 1) 3 d. 16x y 4xy + 3xy y(5xy) 3 e. 7x(x xy + 3y) 14x y 7x f. 1x 7x(x 3) x(5 3x) g. 10x { [3y 5z ( x 3y z) + 4x] 5y} 4 h. 3x y x y (y + 4)(y + 3) i. (3 y)(y ) (y 6) 3 j. 7a 6a (a + 4) a(3 a )

81 MAT 01 CORRIGÉ DEVOIR 1 1. a. x 6 f. x 8 ou 1 x 8 b. a 7 g. y c. 64a b h. 81a b d. x 0 ou 1 i. y 0 ou 1 e. 6 ou 64 j. 1. a. 11x + 8y 7 f. 15x 17xy 4y b. 7x 9c + 1 g. x y 3x y 4 3 c. 16x + 15y h. x x d. 3a + 6b 4c i. 8x + 18x 18 3 e. 13x + 3xy 15x j. 1x + 6x 1x 3. a. a + b f. 8x + 16x b. 5x g. 16x + 11y 4z c. 0 h. y 7y 1 d. xy i. 4y y 3 e. 7x 7x y + 19xy j. a 4a 3a