Magnétisme et induction. Dominic Grenier Design III A-09

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1 Magnétisme et induction Dominic Grenier Design III A-09

2 Champ d'induction magnétique B = champ d'induction magnétique [Tesla : T] ou densité de flux magnétique [Wb/m 2 = T] H = champ magnétique [A/m] (par analogie avec le champ électrique E [V/m]) B = μ H μ = perméabilité [H/m] = μ r μ 0 perméabilité du vide μ 0 =4*10-7 H/m produit par un courant i.e. déplacement de charges électriques (champ E produit par des charges électriques) 2

3 Perméabilités de matériaux Matériau Perméabilité [H/m] Perméabilité relative / 0. Eau Cuivre Vide ( 0 ) 1 Hydrogène Aluminium Platine x Nickel ferrite (nickel zinc) ferrite (manganèse zinc) > >640 Acier Acier électrique Permalloy 10, Mu-metal 25, ,000 (source : wikipédia) 3

4 Champ d'induction par un fil infini Fil infini parcouru par un courant I Règle de la main droite Ligne de champ qui boucle sur elle-même B = μi 2r a 4

5 Loi de l'induction Première équation de Maxwell dite équation de Faraday f.e.m. = Eidl = d dt S Bid s = flux magnétique [Wb] f.e.m. = force électromotrice [V] Équivalent à une tension en quasi-statique i.e. basse-fréquence S est délimitée par le parcours fermé l ds pointe dans la direction exprimée par la règle de la main droite 5

6 Cas de N boucles f.e.m. = N d dt 1 1 =flux intercepté par une seule boucle de fil 6

7 Tension induite f.e.m. = N d dt S Bid s Variation de B(t) selon t (antenne boucle) Variation du produit scalaire de B.ds selon t (génératrice) Variation de S(t) selon t (frein magnétique) 7

8 Inductance Inductance : (auto-inductance externe) (self en bon français :-) L = I Boucles en solénoïde : L = N 1 I μn 2 A h 8

9 Loi d'ampère Seconde équation de Maxwell dite équation d'ampère Hid l = [I] s + t S Did s assumé faible devant [I] s en quasi-statique Cas de N boucles de fil sur lequel circule un courant I Hid l = NI 9

10 Bases du circuit magnétique -1 Flux magnétique concentré dans le noyau (grande perméabilité du matériau) Pas de saturation du noyau (relation linéaire) H et B uniformes dans le noyau S hystérésis Bids Hidl = BS = NI H 10

11 Bases du circuit magnétique -2 Loi d'ampère et conservation de flux NI = H = B μ = B S NI = B = μ μs Analogie avec la relation d'ohm R V = RI 11

12 Réluctance symbole : R [H -1 ] équivalences élément de volume : (bloc) Circuit électrique R V I Circuit magnétique R NI [A tours] 12

13 Exemple simple de circuit magnétique R R tore entrefer 2a d μ tore bc d μ 0 bc 13

14 Exemple plus complexe 14

15 Énergie emmagasinée énergie électrique emmagasinée dans un champ électrique E (dans un condensateur par exemple) W e = 1 2 CV 2 = ab V 1 2 E 2 dv énergie magnétique emmagasinée dans un champ magnétique H ou B (dans une inductance par exemple) W m = 1 2 LI 2 = 0 V densité d'énergie électrique [J/m 3 ] 1 2 BH dv = 1 V 2 B 2 dv μ densité d'énergie magnétique [J/m 3 ] b a Eid l = V ab Hid l = I 0 15

16 Exemple simple d'énergie magnétique A = bc BA W m = 1 2 (NI) 2 R tore + R entrefer W m = = 2 B tore 1 2 dv + V tore μ tore B 2 1 dv + 2 μ tore 2 a d A V entrefer d = 1 2a d 2 B2 A + d μ tore μ 0 = 1 2 2a d + d 2 A μ tore μ 0 = 1 2 (R tore + R entrefer ) 2 A 2 B entrefer μ 0 B 2 dv 1 dv 2 μ 0 16

17 Force magnétique F = q v B = Idl B Force agissant sur chaque charge qui se déplace dans un champ magnétique composante perpendiculaire au déplacement (courant) de B règle de la main droite 17

18 Force développée par un aimant entrefer1 = entrefer2 = Calcul à partir de la variation d'énergie magnétique emmagasinée considérer de l'épaisseur d de la pièce dans le calcul de sa réluctance supposer un entrefer (ou sur la figure de 2 entrefers) de dimension non-nulle déterminer la variation de l'énergie magnétique emmagasinée selon la variation de faire tendre vers quelque chose de petit (la rugosité du noyau, de la pièce, et autres éléments susceptibles d'empêcher un contact franc) F = W F = dw m d 18

19 Flux déformable avec entrefer entrefer 19

20 Énergie vs déplacement 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% entrefer (mm) Force % Énergie magnétique % Énergie magnétique emmagasinée W m () = 1 2 L() I 2 À I constant, l'énergie magnétique emmagasinée diminue en augmentant Force F tend à déplacer les pièces ferromagnétiques afin de maximiser l'énergie magnétique emmagasinée 20

21 Électronique de contrôle Régulateur : Nécessaire au maintient d'une force constante et donc d'un courant I moyen constant malgré la décharge de la capacité (qui contient l'énergie sous forme électrique) Optimisation de la consommation de l'énergie Suggestion : régulation par hystérésis lecture du courant (e.g. au travers une petite résistance en série avec la bobine, avec amplificateur d'instrumentation) rétroaction en tension pour réguler le courant par différence de potentiel utilisation d'un MOSFET de puissance et d'une diode zener ajustement d'un rapport cyclique pour modifier le I moyen 21