MCV4U. 12 e année ÉDITION Vecteurs

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1 MCV4U 12 e année ÉDITION y x

2 Guide pédagogique Le présente guide sert de complément à la série d émissions intitulée produite par TFO. Le guide Édition 1988 Auteur : Ron Carr Traduction : Translatec Conseil Ltée Le guide Édition 2010 Responsable de projet : Annette Lalonde Révision pédagogique : Karine Rozon Pour obtenir des exemplaires supplémentaires de ce guide : Vous pouvez imprimer ce guide à partir du site web Vous avez le droit d en faire des photocopies à volonté; Vous pouvez acheter ce guide au Centre franco-ontarien de ressources pédagogiques à Ottawa, joignable au , poste 228 (Ontario) et au , poste 228 (Canada). Pour obtenir une copie des émissions : Vous pouvez les enregistrer sur DVD lors de leur diffusion sur les ondes de TFO; Vous pouvez consulter le site pour connaître la date de la prochaine diffusion ou téléphoner au , poste 2388 pour demander une diffusion spéciale; Les écoles de langue française en Ontario peuvent visionner ces émissions directement sur le site web Les écoles des conseils scolaires qui sont abonnés au service d accès en ligne de TFO peuvent aussi y accéder par Internet. Renseignements : tfoliaison@tfo.org L Office des télécommunications éducatives de langue française de l Ontario, février 2010.

3 Table des matières 4 Introduction 5 Émission 1 : Suivez la flèche (345301) 7 Émission 2 : Déterminer la résultante (345302) 11 Émission 3 : Les couples (345303) 14 Émission 4 : Résoudre sans tableau quadrillé (345304) 18 Émission 5 : Force (345305) 20 Émission 6 : Forces appliquées (345306)

4 Introduction Presque toutes les mesures physiques peuvent se répartir en deux grandes catégories : les quantités scalaires, qui n ont qu une grandeur; les quantités vectorielles, dont la description nécessite au moins deux nombres réels, qui représentent habituellement la grandeur et l orientation. La vélocité et la force constituent deux exemples intéressants de vecteurs. En effet, la définition de la vélocité d une balle ou d un avion exige l indication de sa vitesse et de son orientation. La force se définit, quant à elle, par son orientation et sa puissance, ce qui en fait une quantité vectorielle. Les six émissions de la série se penchent sur les notions de vélocité et de force, et montrent comment les représenter sous forme de segments de droite orientés. On y présente la notation des vecteurs, les notions de grandeur et d orientation. On fait appel à la géométrie et à la trigonométrie pour calculer la résultante de deux vecteurs formant soit un angle droit ou un angle quelconque. On se sert des couples pour calculer les vecteurs sur un tableau quadrillé à l aide de méthodes algébriques et géométriques. Enfin, on présente des applications pratiques et des opérations faisant appel aux vecteurs. Grâce aux techniques modernes d animation informatique en trois dimensions et avec une approche humoristique, la série donne un caractère concret et vivant à une branche des mathématiques. Cette série fait partie de l ensemble de séries Concepts mathématiques qui s adresse aux élèves des années supérieures du secondaire, et comprend des séries sur la trigonométrie, l algèbre, les statistiques et la géométrie analytique. 4

5 Émission 1 : Suivez la flèche (345301) Description de l émission L émission présente le concept du vecteur et la nécessité de le définir au moyen de deux mesures. La vélocité de 340 km/h est sert d exemple. Nous utilisons des segments de droite orientés pour représenter les vecteurs, tandis que des flèches indiquent l orientation et un scalaire, la grandeur. On parle de la notation des vecteurs ( et ) et de leur grandeur ( ) On présente l addition de deux vecteurs afin d en obtenir un troisième; la résultante, dont la détermination sera abordée dans les émissions suivantes. Liens au programme-cadre de Mathématiques du ministère de l Éducation de l Ontario MCV4U Calcul différentiel et vecteurs, 12 e année Domaine : Algèbre et géométrie des vecteurs Attente Définir des vecteurs, les représenter de façon algébrique et géométrique, et reconnaître des applications portant sur les vecteurs. Contenu d apprentissage Définir et représenter un vecteur (segment de droite orienté), et reconnaître des vecteurs égaux (par exemple, des vecteurs qui ont la même longueur, la même direction et le même sens mais pas nécessairement ni le même point de départ ni le même point d arrivée). Remarque : Le concept de vecteurs égaux est présenté dans l émission 2. Objectifs de l émission Après avoir visionné l émission et résolu un certain nombre d activités suggérées, les élèves devraient être en mesure de : distinguer les quantités scalaires des quantités vectorielles et donner des exemples de chacune d elles; reconnaître l importance à définir à la fois la grandeur et l orientation d un vecteur; représenter des vecteurs sous forme de segments de droite orientés, à l aide des échelles et des angles appropriés; désigner les vecteurs et exprimer leur grandeur et leur orientation à l aide de la bonne notation. 5 Émission 1 : Suivez la flèche

6 Activités avant le visionnement a) L émission suppose que les élèves connaissent bien le concept d échelle. Réviser cette notion et tracer une représentation graphique de quelques segments de droite à l échelle. b) L émission et la série supposent que les élèves savent bien mesurer des longueurs exprimées en unités métriques. Selon les connaissances des élèves, réviser quelque peu le système métrique. N c) Réviser la façon de désigner l orientation par la méthode du compas afin que les élèves puissent au besoin indiquer l orientation par des expressions du genre 52 O N-E ou 13 O S-O. 52 O N-E d) Demander aux élèves de nommer des objets courants qui se définissent par deux composantes; il peut s agir, par exemple, soit de cartes à jouer (nombre et ordre) ou d un livre (titre et auteur). On peut ensuite présenter les notions de vitesse et de vélocité, en précisant que, contrairement à la vitesse, la vélocité exige deux composantes (vitesse et orientation). N 13 O S-O Activités après le visionnement A a) Les élèves devraient s exercer à représenter graphiquement, des vélocités à l aide de segments de droite orientés à l échelle. Exemples : B C = 50 km/h est = 850 km/h nord-ouest = 14 cm/s 30O S-E F b) Les élèves devraient s exercer à désigner les vecteurs dans des triangles à l aide des notations en minuscules et en majuscules. D E Il faut insister sur le fait que le vecteur n est pas égal au vecteur ED. Ils ont la même grandeur, mais pas la même orientation. N c) On pourrait s orienter en mesurant tous les angles à partir du nord, dans le sens des aiguilles d une montre. 135 O 6 Émission 1 : Suivez la flèche

7 Émission 2 : Déterminer la résultante (345302) Description de l émission Au début de l émission, les robots Gaston et Alphonse passent en revue la matière de la première émission. Ils se rappellent qu un vecteur peut être représenté à l aide d un segment de droite orienté, où l orientation du vecteur est indiquée par une flèche et sa grandeur, par la longueur du segment. Le chef confie alors une autre mission à Gaston et à Alphonse, qui décident d appliquer le principe selon lequel la somme de deux vecteurs produit un troisième vecteur appelé la résultante. La notion des vecteurs égaux permet d établir des diagrammes vectoriels illustrant la résultante (dans cette émission, tous les vecteurs se «rencontrent» à 90 O ). On trouve la résultante à l aide du théorème de Pythagore. On trouve l angle (l orientation) de la résultante à l aide du rapport trigonométrique qu est la tangente. tg = côté opposé côté adjacent On insiste sur l usage d une calculatrice. On donne l exemple d un avion qui vole avec le vent de travers. On établit un diagramme représentatif, puis on utilise le théorème de Pythagore et la tangente pour trouver la vitesse au sol de l avion. 7 Émission 2 : Déterminer la résultante

8 Liens au programme-cadre de Mathématiques du ministère de l Éducation de l Ontario MCV4U Calcul différentiel et vecteurs, 12 e année Domaine : Algèbre et géométrie des vecteurs Attentes Définir des vecteurs, les représenter de façon algébrique et géométrique, et reconnaître des applications portant sur les vecteurs; Effectuer des opérations sur des vecteurs dans le plan et dans l espace tridimensionnel et résoudre des problèmes de la vie courante. Contenus d apprentissage Définir et représenter un vecteur (segment de droite orienté), et reconnaître des vecteurs égaux (par exemple, des vecteurs qui ont la même longueur, la même direction et le même sens mais pas nécessairement ni le même point de départ ni le même point d arrivée); Effectuer les opérations d addition et de soustraction de vecteurs, et de multiplication d un vecteur par un scalaire au moyen de segments de droite orientés dans le plan. Remarque : L opération d addition est présentée dans l émission. Objectifs de l émission Après avoir visionné l émission et résolu un certain nombre d activités suggérées, les élèves devraient être en mesure de : comprendre que l on peut additionner deux vecteurs pour en obtenir un troisième, appelé la résultante; constater que l on peut considérer que les vecteurs se trouvent à un certain endroit dans un plan, puis les déplacer pourvu que leur grandeur et leur orientation restent constantes; trouver la grandeur et l orientation de la résultante de deux vecteurs formant un angle droit ou de vecteur représentant des vélocités qui se rencontrent à 90 O. 8 Émission 2 : Déterminer la résultante

9 Activités avant le visionnement a) Cette émission et la série supposent que les élèves savent résoudre des opérations simples et trouver des racines carrées à l aide d une calculatrice. Faire quelques exercices. b) Les calculs de cette série donnent des résultats exacts à la première décimale. Réviser cette notion et aborder d autres façons d exprimer les résultats (chiffres significatifs, par exemple). c) Utiliser le théorème de Pythagore pour trouver la longueur d un côté d un triangle rectangle, à partir de la longueur des deux autres côtés. A 17 B 15,9 X O C d) Réviser la définition des rapports trigonométriques primaires à l aide d un triangle rectangle. Utiliser ces rapports afin de calculer les longueurs et les angles de certains triangles. 9 Émission 2 : Déterminer la résultante

10 Activités après le visionnement a) Les élèves devraient utiliser des représentations graphiques à l échelle et des rapporteurs appropriés pour représenter les vecteurs. b) Avant de calculer la résultante, les élèves devraient la trouver en traçant avec précision des triangles rectangles, et en mesurant la longueur des segments de droite orientés et la mesure des angles. c) Après avoir tracé la résultante à partir des diagrammes, les élèves pourront déterminer le théorème de Pythagore pour trouver la grandeur, et la tangente pour l orientation. d) Les élèves devraient résoudre des problèmes de vélocité en illustrant les données sur des diagrammes de travail (qui ne sont pas à l échelle), et en utilisant une calculatrice au besoin pour trouver les résultantes. Insister sur l importance de la notation exacte. Ne pas oublier qu à ce stade, on ne travaille qu avec des triangles rectangles. Exemples : 1. Deux vecteurs se définissent comme suit : : 80 km/h sud : 60 km/h ouest Dessiner un diagramme représentatif et trouver la grandeur et l orientation de la résultante, où, à l aide du théorème de Pythagore et de la trigonométrie. 2. Un avion se dirigeant vers le nord-est à 500 km/h rencontre un vent de travers soufflant sud-est à 80 km/h. Trouver la vélocité au sol de l avion. 3. Répéter l exemple 1, mais trouver :. Est-ce que? Quelle loi de l addition des vecteurs cet exemple illustre-t-il? e) Ayant passé en revue les applications des rapports trigonométriques avant l émission, discuter avec les élèves de la façon de trouver la grandeur de la résultante (l hypoténuse) sans utiliser le théorème de Pythagore; il s agit de trouver un angle à l aide de la tangente, puis d utiliser la cosécante ou la sécante pour trouver la longueur. Comparer les deux méthodes. 10 Émission 2 : Déterminer la résultante

11 Émission 3 : Les couples (345303) Description de l émission L émission débute par une révision de la représentation de deux vecteurs en géométrie plane et de la façon de trouver la résultante (grandeur et orientation de la somme) de deux vecteurs formant un angle droit. On présente une autre façon de définir les vecteurs, au moyen de couples et d un tableau quadrillé. On utilise les conventions normales décrivant le déplacement vers la droite, la gauche, le haut et le bas. On montre des exemples de vecteurs sur un tableau quadrillé. On présente les concepts entourant les composantes horizontale et verticale d un vecteur et l addition des couples représentant ces composantes. L émission présente un vecteur sur un tableau quadrillé, puis on étudie les composantes pour trouver le couple. On parle de la décomposition d un vecteur en ses composantes horizontale et verticale. On présente le problème de l addition des vecteurs non perpendiculaires. On additionne des vecteurs définis par un couple afin de trouver la résultante. (9,3) + (4,5) = (13,8) On calcule la grandeur et l orientation de la résultante à partir de ses composantes. Liens au programme-cadre de Mathématiques du ministère de l Éducation de l Ontario MCV4U Calcul différentiel et vecteurs, 12 e année Domaine : Algèbre et géométrie des vecteurs Attentes Définir des vecteurs, les représenter de façon algébrique et géométrique, et reconnaître des applications portant sur les vecteurs; Effectuer des opérations sur des vecteurs dans le plan et dans l espace tridimensionnel et résoudre des problèmes de la vie courante. Contenus d apprentissage Représenter géométriquement des vecteurs dans un plan (par exemple, au moyen de segments de droite orientés) et algébriquement (par exemple, au moyen du système de coordonnées cartésiennes), et représenter algébriquement des vecteurs dans l espace tridimensionnel; Effectuer, dans le plan et dans l espace tridimensionnel, les opérations d addition et de soustraction de vecteurs, et de multiplication d un vecteur par un scalaire au moyen du système de coordonnées cartésiennes. Remarque : L opération d addition est présentée dans l émission. 11 Émission 3 : Les couples

12 Objectifs de l émission Après avoir visionné l émission et résolu un certain nombre d activités suggérées, les élèves devraient être en mesure de : tracer des vecteurs définis par un couple sur des tableaux quadrillés; trouver la grandeur et l orientation des vecteurs définis par un couple; comprendre la décomposition d un vecteur en ses composantes verticale et horizontale et nommer ces composantes dans le cas de vecteurs tracés sur un tableau quadrillé; trouver la résultante de deux vecteurs définis par un couple et en calculer la grandeur et l orientation à l aide des composantes. Activités avant le visionnement a) Réviser le système des coordonnées cartésiennes et veiller à ce que les élèves utilisent le tableau quadrillé et qu ils soient capables d y placer des points. b) Présenter la notion de la vélocité sur l eau exprimée en nœuds (mille marins à l heure). c) Réviser la façon de chercher la grandeur et l orientation de la résultante de deux vecteurs perpendiculaires. d) Présenter le problème de la recherche de la résultante de deux vecteurs qui ne forment pas un angle de 90 O et faire constater aux élèves que le théorème de Pythagore ne convient pas à cette situation. 12 Émission 3 : Les couples

13 Activités après le visionnement a) Les élèves devraient s exercer à dessiner sur des feuilles quadrillées des segments de droite orientés, représentant des vecteurs définis par un couple. = (4,1), = (-3,4), = (1,-3) Les élèves devraient trouver les composantes horizontale et verticale de chaque vecteur. b) Les élèves devraient déterminer les résultantes à l aide de tableaux quadrillés. (4,0) + (3,0) =? (2,1) + (4,2) =? (-3,-2) + (-1,- 2/3) =? (-4,2) + (2,-1) =? c) Les élèves devraient s exercer à trouver la résultante de vecteurs non perpendiculaires, à illustrer les vecteurs sur un tableau quadrillé et à déterminer les composantes de la résultante. Ces composantes devraient servir à calculer la grandeur et l orientation de la résultante à l aide du théorème de Pythagore et de la tangente. (1,2) + (4,1) =? (3,3) + (-4,2) =? (5,-2) + (-6,-3) =? d) L enseignante ou l enseignant pourrait aborder le problème de l addition de trois vecteurs ou plus sur un tableau quadrillé. Montrer aux élèves qu on peut procéder de deux façons pour additionner les vecteurs, et. En premier lieu, trouver la somme de et, puis additionner cette somme et. En deuxième lieu, placer les vecteurs, et un à la suite de l autre et obtenir la somme en traçant un vecteur qui part du point initial de et qui se rend au point terminal de. Remarquer que les deux vecteurs ainsi obtenus sont égaux. e) Quelle est la résultante de l addition des vecteurs (3,4), (-5,1), (6,2) et (-4,-7)? Quelle est la grandeur de la résultante? Ce vecteur est appelé «le vecteur nul». 13 Émission 3 : Les couples

14 Émission 4 : Résoudre sans tableau quadrillé (345304) Description de l émission L émission commence par une révision de la découverte de la résultante (somme) de deux vecteurs non perpendiculaires sur un tableau quadrillé. Les composantes horizontale et verticale servent à calculer la grandeur et l orientation. On aborde l addition de trois vecteurs ou plus définis par un couple. Par exemple : (4,4) + (3,0) + (0,-9) = (7,-5) On combine ensuite les méthodes et les notions liées aux vecteurs définis par un couple et celles qui sont liées aux vecteurs définis par un segment de droite orienté. On utilise le rapport cosinus pour calculer la composante horizontale d un vecteur, et le rapport sinus pour en calculer la composante verticale. On trouve la résultante de deux vecteurs géométriques non perpendiculaires. On présente deux vecteurs dont on précise la grandeur et l angle par rapport à l horizontale. On calcule les composantes horizontale et verticale de chaque vecteur pour trouver les composantes de la résultante. Ces nombres permettent alors de trouver la grandeur et l orientation de la résultante, à l aide du théorème de Pythagore et de la tangente. Liens au programme-cadre de Mathématiques du ministère de l Éducation de l Ontario MCV4U Calcul différentiel et vecteurs, 12 e année Domaine : Algèbre et géométrie des vecteurs Attentes Définir des vecteurs, les représenter de façon algébrique et géométrique, et reconnaître des applications portant sur les vecteurs; Effectuer des opérations sur des vecteurs dans le plan et dans l espace tridimensionnel, et résoudre des problèmes de la vie courante. Contenus d apprentissage Représenter géométriquement des vecteurs dans un plan (par exemple, au moyen de segments de droite orientés) et algébriquement (par exemple, au moyen du système de coordonnées cartésiennes), et représenter algébriquement des vecteurs dans l espace tridimensionnel; Transformer les composantes d un vecteur d une représentation (ou d un système) en une autre représentation dans le plan (par exemple, dans le plan, ). Remarque : L opération d addition est présentée dans l émission. 14 Émission 4 : Résoudre sans tableau quadrillé

15 Objectifs de l émission Après avoir visionné l émission et résolu un certain nombre d activités suggérées, les élèves devraient être en mesure de : trouver la résultante (somme) de trois vecteurs ou plus, définis par un couple; trouver les composantes horizontale et verticale d un vecteur qui n est pas représenté sur un tableau quadrillé; trouver la grandeur et l orientation de la résultante de deux vecteurs non perpendiculaires, en trouvant ses composantes. Activités avant le visionnement a) Réviser les concepts liés aux composantes horizontale et verticale d un vecteur sur un tableau quadrillé. b) Réviser l utilisation du théorème de Pythagore et de la tangente pour trouver la grandeur et l orientation de la résultante de deux vecteurs perpendiculaires. c) Trouver la résultante de deux vecteurs non perpendiculaires à l aide d une représentation graphique et d un rapporteur. Par exemple, trouver la résultante de : : 30 km/h 25 O N-O : 50 km/h 42 O N-E 15 Émission 4 : Résoudre sans tableau quadrillé

16 Activités après le visionnement a) Les élèves devraient s exercer à additionner trois vecteurs ou plus sur un tableau quadrillé en additionnant les couples pour trouver la résultante, puis vérifier leurs calculs en traçant les vecteurs et la résultante. b) Trouver les composantes horizontale et verticale des vecteurs suivants : (i) = 12 unités 23 O (ii) 71 O = 4,5 unités (iii) (iv) : 400 km/h 80 O N-E : 92 nœuds 10 O N-O c) Résoudre les problèmes suivants : (i) Trouver la résultante des paires de vecteurs suivants en trouvant leurs composantes horizontale et verticale. Trouver O = 10 unités 73 O = 14 unités Trouver +. = 18,5 unités 65 O 10 O = 14 unités 16 Émission 4 : Résoudre sans tableau quadrillé

17 (ii) Un avion volant à 610 km/h et mettant le cap 81 O N-E rencontre un vent soufflant à 63 km/h en provenance de 15 O S-O. Trouver la vélocité au sol de l avion. d) Aborder d autres façons de trouver la grandeur et l orientation de la résultante de deux vecteurs non perpendiculaires, soit la mesure à l échelle et l utilisation des composantes. Exemple : Soit les vecteurs : = 12 unités, 30 O par rapport à l horizontale : = 20 unités, 72 O par rapport à l horizontale Trouver +. Solution : = 30 O + (180 O 72 O ) = 138 O Utiliser le cosinus Utiliser le sinus 17 Émission 4 : Résoudre sans tableau quadrillé

18 Émission 5 : Force (345305) Description de l émission Gaston et Alphonse passent en revue les façons de trouver la résultante de deux vecteurs non perpendiculaires. On donne un exemple faisant appel aux composantes horizontale et verticale. Jusqu à présent, on a utilisé la vélocité comme exemple de quantité vectorielle. On présente maintenant une deuxième quantité vectorielle courante et utile, la force. On examine les forces qui s exercent sur les objets au repos et les objets en chute (gravité, réaction, tension). On aborde la notion d équilibre relativement à ces objets. On représente les forces à l aide de segments de droite orientés et on établit des diagrammes vectoriels illustrant l état d équilibre. En étudiant le déplacement d une luge, on trouve le bon angle de traction à l aide des vecteurs et de leurs composantes horizontale et verticale. Dans un autre exemple, où l on pousse un véhicule enfoncé dans la neige, les composantes servent de nouveau à illustrer les poussées horizontale et verticale à différents angles. On présente le newton, qui est une unité de force. Liens au programme-cadre de Mathématiques du ministère de l Éducation de l Ontario Remarque : Bien que cette émission ne réponde pas à une attente du curriculum, elle présente le concept de force à l aide de nombreux exemples. Ainsi, l élève sera en mesure de mieux comprendre les problèmes d application tirés de la vie courante qu elle ou qu il aura à résoudre. MCV4U Calcul différentiel et vecteurs, 12 e année Domaine : Algèbre et géométrie des vecteurs Attente Aucune Contenu d apprentissage Aucun 18 Émission 5 : Force

19 Objectifs de l émission Après avoir visionné l émission et résolu un certain nombre d activités suggérées, les élèves devraient être en mesure de : comprendre le concept de force et constater que la force est une quantité vectorielle puisqu elle comporte une grandeur et une orientation; décrire les forces qui s exercent sur un objet au repos et sur un objet en chute; comprendre le concept d équilibre (état statique), où la somme des forces égale zéro; décomposer un vecteur-force en ses composantes verticale et horizontale afin de décrire la poussée vers le haut, vers le bas, et la poussée (traction) horizontale qui s exercent sur un objet. Activités avant le visionnement a) Réviser les notions fondamentales : un vecteur possède une grandeur et une orientation; on peut additionner des vecteurs à l aide de segments de droite orientés tracés à l échelle; on peut décomposer un vecteur en ses composantes. b) Discuter du concept de force. Une force est une quantité vectorielle parce qu elle comporte une grandeur et une orientation. On peut aussi préciser que la force est égale au produit de la masse et de l accélération. = m L accélération étant un vecteur, il en est de même pour la force. (Une quantité scalaire multipliée par un vecteur donne un vecteur.) Activités après le visionnement a) Discuter des forces qui s exercent sur des objets : au repos sur une table; suspendus à un fil puis à deux fils; en chute et en accélération; en chute à vélocité constante; au repos sur un plan incliné; glissant sur un plan incliné; tirés à l aide d une corde. Demander aux élèves de dessiner des digrammes vectoriels (pas à l échelle) illustrant ces forces. b) Discuter du newton (N), l unité de force du système métrique couramment utilisée. Un newton est la force qui donne à une masse de un kilogramme une accélération de un mètre à la seconde (1 N = 1 kg. m/s 2 ). L unité de force du système impérial est la livre. La conversion s établit comme suit : 1 lbf : 4,448 N et 1 N = 0,2248 lbf. 19 Émission 5 : Force

20 Émission 6 : Forces appliquées (345306) Description de l émission L émission présente les forces à l aide d exemples tirés de la vie quotidienne. Deux personnes déplacent une automobile sur une route à l aide de deux cordes formant un angle de 60 O. En faisant appel aux composantes horizontale et verticale, au théorème de Pythagore et à la trigonométrie, nous calculons la résultante de ces deux forces afin de la comparer à la force exercée lorsque l automobile est tirée par une seule corde. On prend ensuite l exemple d une brouette qui contient une lourde charge de sable, pour illustrer et calculer la poussée verticale et la poussée horizontale. L émission présente deux exemples ayant trait aux plans inclinés. On parle d abord des forces qui s exercent sur la neige accumulée sur un toit en pente. La force de gravité se décompose en une composante perpendiculaire au toit (la charge qui repose sur le toit) et en une composante parallèle au toit (tendance de la charge à glisser). On présente la force de friction et on discute de l équilibre. L émission et la série se terminent par l exemple classique des forces qui s exercent sur une masse sur un plan incliné. Liens au programme-cadre de Mathématiques du ministère de l Éducation de l Ontario MCV4U Calcul différentiel et vecteurs, 12 e année Domaine : Algèbre et géométrie des vecteurs Attentes Définir des vecteurs, les représenter de façon algébrique et géométrique, et reconnaître des applications portant sur les vecteurs; Effectuer des opérations sur des vecteurs dans le plan et dans l espace tridimensionnel et résoudre des problèmes de la vie courante. Contenus d apprentissage Transformer les composantes d un vecteur d une représentation (ou d un système) en une autre représentation dans le plan (par exemple, dans le plan, ); Résoudre des problèmes portant sur les opérations d addition et de soustraction de vecteurs, et de multiplication d un vecteur par un scalaire, y compris des problèmes tirés de diverses applications de la vie courante. 20 Émission 6 : Forces appliquées

21 Objectifs de l émission Après avoir visionné l émission et résolu un certain nombre d activités suggérées, les élèves devraient être en mesure de : décomposer des forces en leurs composantes horizontale et verticale; décomposer des forces en leurs composantes perpendiculaire et parallèle; trouver la résultante de deux forces ou plus, à l aide des composantes, du théorème de Pythagore et de la trigonométrie; résoudre des problèmes de forces mettant en cause la tension, les poussées verticale et horizontale, la gravité et les plans inclinés. Activités avant le visionnement a) Réviser le concept de force en tant que quantité vectorielle et la décomposition d un vecteur en ses composantes horizontale et verticale. b) Discuter de forces courantes telles que la gravité, la réaction et la friction. Activités après le visionnement Demander aux élèves de résoudre les problèmes suivants, en illustrant chaque problème par un diagramme vectoriel. a) Deux forces, et, s exercent sur un objet. La force a une grandeur de N et s exerce horizontalement, tandis que a une grandeur de 8 N 2 et s exerce verticalement. Trouver la force résultante. b) Trouver les composantes horizontale et verticale d une force de 28,3 N s exerçant à 32 O par rapport à l horizontale. 21 Émission 6 : Forces appliquées

22 c) Un skieur nautique est tiré par une embarcation puissante. Une force de 300 N s exerce sur la corde et celle-ci forme un angle de 12 O avec la surface de l eau. Quelle est la partie de la force qui sert à tirer le skieur? d) Trouver la résultante des forces et dans le diagramme suivant. e) Trouver l équilibrante des deux forces ci-dessus (d). (L équilibrante est la force nécessaire pour rendre le système statique ou en état d équilibre. Elle a la même grandeur que la résultante, mais elle s exerce en sens opposé.) f) Un objet repose sur un plan incliné formant un angle de 20 O avec l horizontale. Une force de gravité de 152 N tire la masse vers le bas. Trouver les composantes de cette force qui sont respectivement perpendiculaires et parallèles au plan. g) Un objet est suspendu à deux fils qui forment un angle de 30 O. À l aide de balances à ressort, on détermine que la force de tension s exerçant sur chacun des fils s établit respectivement à 1,3 N et 0,8 N. Trouver la masse de l objet. ( Conseil : Se reporter à la question (e).) 22 Émission 6 : Forces appliquées