FONCTIONS : Résolution graphique d une équation

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1 FONCTIONS : Résolution graphique d une équation Une entreprise a fabriqué unités d un article au cours de l année L entreprise estime qu elle est en mesure d augmenter sa production pour ce produit de 10 % par an sur la période 2008 à 2012, en faisant des investissements raisonnables. On admet que l évolution de la production, exprimée en unités, est donnée en fonction du rang de l année par la fonction : f(x) = (1,1) x. x = 0 correspondant au rang de l année 2007 x =1 correspondant au rang de l année 2008,, etc. Le service vente propose d estimer la demande de cet article, exprimée en unités; à l aide d une fonction affine, en fonction du rang de l année sur la même période : g(x) = 3000 x L entreprise cherche à connaître l année où elle sera en mesure de répondre complètement à la demande pour cet article, en supposant qu il n y a pas de concurrence. 1) Compléter le tableau de valeurs suivant sur l évolution de la production (arrondir à l unité) : x f(x) ) Tracer la courbe représentative C f de la fonction f dans un repère orthonormée. 3) Compléter le tableau suivant de valeurs pour l évolution de la demande et tracer sur la même feuille que C f la droite représentative de la fonction g. x 0 5 g(x) ) Déterminer graphiquement les solutions de l équation : f(x) = g(x) sur l intervalle [ 0 ; 5 ]. 5) Formuler par une phrase la conclusion de cette étude. 1 11

2 1) Le tableau de valeurs de la fonction f. Pour compléter le tableau pour la fonction f, on va utiliser l application TABLE. Sélectionner dans le menu principal, à l aide du bouton directionnel, l application TABLE et faire. Dans le cas où des fonctions sont déjà présentes, il faut les effacer une à une en utilisant la touche ( DEL) et puis (YES), et se déplacer à l aide du bouton directionnel. Lorsque l écran ne comporte pas de fonctions, utiliser les touches et pour la variable X, pour saisir la fonction : Y1 = 35000( 1,1 )^X et valider avec. On va, maintenant, calculer les valeurs de la fonction f pour des valeurs entières x comprises entre 0 et

3 Sélectionner la touche ( RANG) et entrer les données : Strt : 0, End : 5, ptch : 1. Puis, appuyer sur la touche. Sélectionner alors la touche (TABL) Il apparaît ainsi un tableau à 2 colonnes. La colonne X correspond aux valeurs de l abscisse x. La colonne Y1 correspond aux valeurs de f(x) pour chaque valeur de x. A l aide du bouton directionnel dérouler toutes les valeurs vers le bas jusqu à atteindre la valeur 5 pour compléter le tableau de valeurs. Tableau de valeurs x f(x) ) Tracé de la courbe Pour tracer C f, on peut s aider de la calculatrice pour avoir l allure de courbe. Appuyer sur et à l aide du bouton directionnel sélectionner l application GRAPH et faire. 3 13

4 Il apparaît alors sur l écran la fonction Y1 = 35000(1.1)^X. Pour réaliser le tracé avec la calculatrice, il faut d abord configurer les graduations sur les deux axes X et Y. Ainsi, sélectionner puis ( V-Window ) et saisir les valeurs Xmin : 0 ; max : 5 ; scl : 1. A l aide du bouton se déplacer vers le bas et saisir les valeurs Ymin : ; max : ; scl : Ensuite, faire et (DRAW) pour tracer la courbe. Allure de la courbe On peut alors s aider de l allure de la courbe pour faire le tracé sur une feuille de papier millimétré. 4 14

5 3) Tableau de valeurs et tracé de la droite. Pour compléter le deuxième tableau, il suffit de faire un calcul en sélectionnant puis à l aide du bouton directionnel se placer sur l application RUN et faire. Il apparaît alors un écran vierge dans lequel on saisit le calcul : 3000x puis pour obtenir Tableau de valeurs x 0 5 g(x) Pour tracer la droite on sélectionne à nouveau puis l application GRAPH. On écrit alors sur la deuxième ligne : Y2 = 3000X puis pour valider et on fait alors ( DRAW ) pour faire apparaître les des deux courbes. On peut ainsi s aider de l allure de la droite pour la tracer sur la feuille de papier millimétré. 5 15

6 4) Résolution graphique f(x) = g(x). Pour résoudre graphiquement f(x) = g(x) on utilise les deux courbes obtenues en 3) et on sélectionne puis ( Trace ). Apparaît alors une croix que l on peut déplacer sur chaque courbe à l aide du bouton en cliquant sur la flèche à droite pour augmenter les valeurs de x, ou la flèche à gauche pour les diminuer. On peut changer de courbe en cliquant sur la flèche du haut ou du bas. L équation de la courbe apparaît en haut et les valeurs obtenues en bas de l écran. On obtient pour x = 2,9487 une valeur de Y1 = et Y2 =46346 Pour la valeur x=2,94 on obtient, arrondi à l unité prés : Y1 = Y2 = On peut alors en déduire une valeur approximative x = 2,94 comme unique solution de l équation f(x)=g(x) sur l intervalle [ 0 ; 5 ]. 5) Conclusion. Pour l année 2010 (x = 3) l entreprise sera en mesure de produire le nombre d articles nécessaire pour répondre entièrement à la demande commerciale. 6 16