THEMEE : SOUTIEN CALCUL FRACTIONNAIRE ADDITION ET SOUSTRACTION DES FRACTIONS Problème : Et si les parts ne sont ADDITION ET SOUSTRACTION DE
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- Philippe Bernard
- il y a 7 ans
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1 ADDITION ET SOUSTRACTION DE THEMEE : CALCUL FRACTIONNAIRE ADDITION ET SOUSTRACTION DES FRACTIONS Coupons un gâteau en parts identiques. Chaque part s'appelle un huitième de gâteau. Comment effectuer l'opération suivante? SOUTIEN Les parts étant identiques, si nous ajoutons deux parts de gâteau et trois part de gâteau, nous obtenons cinq parts de gâteau ( soit cinq huitièmes de gâteau : Problème : Et si les parts ne sont pas identiques? Soit à effectuer l'opération suivante :
2 Les parts des gâteaux ne sont pas les mêmes! Certaines parts sont des tiers et les autres des demis. Il est vrai que nous obtenons au total parts, mais avec des morceaux différents. Ce n'est pas satisfaisant. Une idée! Si nous partagions le premier gâteau en parts plus petites ( en sixièmes C'est possible. Il suffit de recouper chaque part en deux! Et si nous partagions le deuxième gâteau également en sixièmes. C'est possible en découpant chaque part en trois. En partageant ainsi les deux gâteaux, nous obtenons alors des parts identiques ( des sixièmes! Remarquons que est un multiple de et un multiple de ( c'estàdire que est dans la table du et du.
3 Attention, si nous prenions au départ du premier gâteau, nous nous apercevons que pour avoir la même quantité de gâteau nous devons maintenant en prendre. De même, comme nous prenions du second gâteau, pour avoir la même part, nous devons en prendre maintenant et Nous pouvons multiplier numérateur et dénominateur d'une fraction par un même nombre ( non nul sans changer la valeur de cette fraction. Nous obtenons alors ( les parts sont identiques 7 parts, appelées des sixièmes, soit en écriture 7 fractionnaire : Méthode : Dans une addition ( ou une soustraction, lorsque les fractions ont des dénominateurs différents nous devons d'abord les réduire au même dénominateur avant d'effectuer l'opération. Nous écrirons alors : 7
4 Ou plus rapidement : Exemples : 7 Intéressons nous uniquement aux dénominateurs. Ils sont égaux à et et sont donc différents. Nous ne pouvons donc pas effectuer ( immédiatement l'opération. Il faut ( les fractions les " réduire au même dénominateur". Afin d'obtenir ce dénominateur commun, nous devons chercher un multiple commun de et, soit plus simplement, nous devons chercher, dans les tables de multiplication de et de, un nombre commun ( le plus petit possible afin d'éviter de trop gros calculs dans la suite. "" figure dans les deux tables ( nous dirons que est un multiple commun à et ; c'est d'ailleurs le plus petit. Le dénominateur commun aux deux fractions sera donc Attention : Nous devons multiplier dénominateur et numérateur par le nombre déterminé. Nous avons alors : 7 ( ou 7 La difficulté vient ici, non pas de la fraction, mais du nombre ( simple. Nous savons additionner des fractions. Nous allons donc changer l'écriture du nombre entier. L'écriture fractionnaire est le résultat d'une division. Existe t'il une division donnant comme résultat? Il en existe en vérité une infinité. Par exemple : : Nous pouvons donc remplacer par la fraction : Nous pouvons donc remplacer par la fraction : Nous pouvons donc remplacer par la fraction : Nous pouvons donc remplacer par la fraction
5 Etc... Mais il existe une division très simple donnant comme résultat. C'est Remarque : Tout nombre entier est le résultat ( quotient de la division de ce nombre par. Par exemple : Si a est un nombre entier, nous avons 7 7 ; ; Remarque : De même ( nombre décimal non entier 0, ; 0 7,7 ; 0 a a, ; 00 0, Revenons à notre calcul. Les dénominateurs ( et étant différents, nous devons réduire ces deux fractions au même dénominateur. Cherchons dans la table du (!!! et dans la table du, un multiple commun. La table du contenant tous les nombres entiers, nous constatons que est un multiple commun. Ce sera donc le dénominateur commun aux deux fractions. La seconde fraction étant déjà en tiers ( dénominateur égal à, il n'y a rien à faire! Nous avons donc : 0 ( ou Rien (ou x 0 La soustraction se traite comme l'addition. Les dénominateurs étant différents, nous devons réduire les deux fractions au même dénominateur. Le plus petit multiple commun à et est ( x et x. Nous avons donc : Attention au signe "". 7 7
6 MULTIPLICATION ET DIVISION DES FRACTIONS MULTIPLICATION Pour multiplier deux fractions, il faut multiplier les numérateurs entre e eux et les dénominateurs entre eux. Avant d effectuer ces deux opérations, il i est souhaitable de rechercher une simplification. a c a c b d b d DIVISION Diviser par une fraction, c est multiplier par son inverse. a c a d a d : b d b c b c Remarque : Pas de réduction au m division. Remarque : même dénominateur pour effectuer une multiplication ou une Il y a, pour l'instant, en Mathématiques, deux opérations ( ou deux familles d'opérations L'addition La multiplication a : b c d se note également a b c d Dans la famille addition, il existe une autre opération ( qui n'est qu'une addition déguisée voir cours sur les relatifs qui s'appelle la soustraction. Alors que l'addition est l'opération "gentille", la soustraction est l'opération "embêtante" de la famille. Dans la famille multiplication, il existe une autre opération ( qui n'est qu'unee multiplication déguisée voir cours sur les fractions qui s' 'appelle la division. Alors que la multiplication est l'opération "gentille", la division est l'opération "embêtante" de la famille. Pas de problème( (s lorsque les opérations appartiennent à la même famille. Mais attention. Si un calcul comporte des opérations venant des deux "familles", il faudra suivre certaines règles et certaines priorités.
7 Dans l'expression,il y a une addition et deux divisions ( les fractions. Ce mélange d'opérations provenant des deux familles, pose problème. Il est vrai que l'addition n'est pas directe. Il faut tout d'abord réduire au même dénominateur! 7 Par contre dans l'expression, il y a une multiplication et deux divisions ( les fractions. Nous restons dans la même famille. Il a très peu ( ou pas de problèmes. Exemples : / / / Remarque : Surtout, ne pas effectuer avant une tentative de simplification / 7/ 7 / ( ( ère étape : Le signe (règle des signes ème étape : Le calcul Ne pas oublier le signe à chaque étape : : / /
8 : / : : / Remarque : Si on divise par les d'un gâteau, nous obtenons du gâteau ( parts divisées par donnent parts, donc tiers divisés par donnent tiers!!! :( / :( ( / 0 ère étape : Division en multiplication ème étape : Le calcul Attention à la simplification ème étape : Le signe ( règle des signes : ère étape : Le signe ème étape : Le calcul SUITES D'OPERATIONS REGLES DE CALCUL. Le calcul entre parenthèses est prioritaire. En l absence de parenthèses, la multiplication et la division sont prioritaires sur l addition et la soustraction.
9 Exemples : A La multiplication étant prioritaire, nous ne devons surtout pas effectuer l'opération ( même si les dénominateurs sont identiques. Nous avons donc : A A / / A A ( ( B Le calcul entre parenthèses est prioritaire. Nous devons donc effectuer et Nous pouvons les calculer séparément, puis réintroduire les résultats dans l'expression B. et En remplaçant les parenthèses par les deux résultats obtenus, nous avons : ( attention aux parenthèses d'écriture évitant d'avoir deux symboles à la suite ( B La multiplication est prioritaire. Nous avons donc : ( B ( B ( B B Il est cependant préférable de faire les calculs simultanément ( en même temps et à l'intérieur de l'expression. ( ( B ( ( B ( ( B A présenter, de préférence en colonne ( afin d'éviter des oublis Possibilité de reprendre en ligne lors de la dernière opération Lorsqu'une fraction a un numérateur et un dénominateur égaux, cette fraction est égale à. Nous avons donc : ( B B
10 ( ( B ( ( B ( ( B ( ( B ( B ( B B C Si nous écrivions cette expression en ligne, nous aurions : C :( ( ( Attention aux parenthèses nécessaires dans cette écriture en ligne Par conséquent, nous devons calculer en priorité et. Sans revenir à l'écriture el ligne, nous pouvons constater que l'opération principale contenue dans cette expression est une division C. Pour pouvoir effectuer cette opération, nous devons donc calculer le numérateur, soit, et le dénominateur, soit. Comme précédemment, nous pouvons effectuer séparément ces deux calculs, puis les réintroduire dans l'expression. et En réintroduisant ces résultats dans l'expression C, nous avons : C / / Il est préférable de rédiger ainsi ( les calculs sont faits simultanément L'écriture ici peut se faire en ligne ( pas d'oublis réellement possibles C / / A SUIVRE
11 Exercice : Brevet des Collèges Clermont Calculer et donner les résultats sous la forme la plus simple possible : 7 C D ( :( Exercice : Brevet des Collèges Orléans 7 On donne les nombres A et B suivants : A ; B ( : Donner une écriture fractionnaire de chacun des nombres A et B, le dénominateur étant un entier positif inférieur à 0. Exercice : Brevet des Collèges Amérique 7 On donne les nombres : a et b a Calculer A et B tels que : A a b et B b Exercice : Brevet des Collèges Groupe Est 00 Calculer A et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible. A Exercice : Brevet des Collèges Groupe Ouest 00 Calculer A : On donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. Toutes les étapes du calcul seront détaillées sur la copie. Exercice : Brevet des Collèges Groupe Sud 00 Dans cet exercice, tous les calculs devront être détaillés. Calculer l'expression : A (donner le résultat sous sa forme la plus simple. Exercice 7 : Brevet des Collèges Polynésie 00 Calculer A ; on donnera la réponse de A sous la forme simplifiée : Exercice : Brevet des Collèges La Réunion 00 A On considère A ( 7 Ecrire A sous forme d une fraction irréductible (les calculs intermédiaires figureront sur la copie.
12 Voir sur ce site : Calcul fractionnaire Rappel ADDITION ET SOUSTRACTION Pour additionner ou soustraire deux fractions, nous devons les réduire au même dénominateur. a b a b d d d MULTIPLICATION Pour multiplier deux fractions, il faut multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Avant d effectuer ces deux opérations, il est souhaitable de rechercher une simplification. a c a c b d b d DIVISION Diviser par une fraction, c est multiplier par son inverse. a c a d a d : a b d b c b c REGLES DE CALCUL a c b : se note également b d c. Le calcul entre parenthèses est prioritaire d. En l absence de parenthèses, la multiplication et la division sont prioritaires sur l addition et la soustraction. RESUME D'UN RESUME ADDITION ET SOUSTRACTION : REDUCTION AU MEME DENOMINATEUR MULTIPLICATION ET DIVISION : FACILE MAIS NE PAS EFFECTUER TROP RAPIDEMENT
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