Le développement de l outil statistique Marsh

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1 Atelier A 4 Le développement de l outil statistique Marsh Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 1 1

2 Intervenant Fabien GRAEFF Responsable Financement des risques et solutions captives E mail : [email protected] Modérateur Loïc CAHIERRE Responsable du service des assurances E mail : [email protected] Inserer le logo de l entreprise Titre/ fonction Prénom NOM E mail Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 2

3 Développement des outils statistiques De quoi parle t-on? Outils, techniques statistiques ou encore modélisation des risques? Parle-t-on des outils d un point de vue de l utilisateur? Table financière Table de mortalité Table de nombres aléatoires Informatique Software Parle-t-on des outils statistiques d un point de vue scientifique? Parle-t-on de la modélisation des risques c est-à-dire de l application? Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 3

4 Développement des outils statistiques En fait les trois sont intimement liés dans le cadre d un processus actuariel de modélisation des risques Dans le cadre d un processus d évaluation des risques, les techniques statistiques sont indispensables Les outils techniques, et notamment informatiques, permettent : de faciliter les calculs, d augmenter la rapidité des calculs, d augmenter la précision, d ouvrir de nouveaux horizons de recherche, en particulier par simulation Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 4

5 Plan Description du processus de modélisation Développement des outils en Assurance Vie Assurance Non vie Assurance Non Vie - Données Assurance Non Vie - Modèles déterministes Assurance Non Vie - Modèles stochastiques Processus de Monte-Carlo Stress testing Autre méthode de simulations Conclusion Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 5

6 Processus de modélisation Données Modèle / Processus Résultats : -Pricing - Optimisation des rétentions - Analyse des corrélations - Analyse des volatilités - Projections - Travail en amont et en aval : quelles données pour quels résultats? Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 6

7 Développement des outils en Assurance Vie Calcul long et fastidieux car risque long => source d erreur et non maniable Édition de tables de référence : nombre de commutations, tables financières ou encore tables de nombres aléatoires => calculs simplifiés et approchés (âge moyen ou actuariel, sexe ) Processus d approximation afin d introduire de la flexibilité par rapport aux éléments économiques exogènes L avènement de l outil informatique et sa puissance calculatoire a changé la donne Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 7

8 Développement des outils en Assurance Vie L avènement de l outil informatique et sa puissance calculatoire a changé la donne Mise en place d algorithmes de calcul puissant et surtout flexible Implémentation des hypothèses et paramètres Changement des horizons Changement des taux d intérêt techniques Changement d âge et/ ou du sexe Changement de la situation familiale et patrimoniale Création de produits hybrides complexes L outil conditionne les résultats recherchés Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 8

9 Exemples d application en Assurance Vie Calcul facilité de capitaux Décès variables Calcul facilité de rentes Création de produits hybrides : ex Garanties Planchers Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 9

10 Assurance Non Vie Approche différente : plus de projections financières à long terme sur une base de table de mortalité mais une approche statistique basée sur une introspection de l historique de sinistralité Plusieurs modèles issus en deux grandes familles : 1. Déterministes 2. Stochastiques Travail au préalable des données La phase de traitement peut être longue et fastidieuse Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 10

11 Assurance Non Vie Données (1/5) Afin de déterminer des projections il convient dans un premier temps d actualiser les sinistres => recherche d un historique «as if» Deux types d actualisation: Actualisation Verticale Prise en compte d un accroissement des valeurs indemnitaires Effet inflationniste => Impact sur le coût unitaire des sinistres Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 11

12 Assurance Non Vie Données (2/5) Afin de déterminer des projections, il convient dans un premier temps d actualiser les sinistres Actualisation Horizontale Prise en compte d une modification du périmètre, des valeurs exposées, ou encore de l activité exposée (CA, volume de production ) => Impact sur la fréquence Effet périmètre Attention aux fusions/acquisitions, Spin off Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 12

13 Assurance Non Vie Données (3/5) Prise en compte des tendances? Série1 y = 2E+07x -0,5008 Puissance (Série1) Amélioration de la prévention?! Amélioration des techniques (réduction de l exposition marginale au risque) Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 13

14 Assurance Non Vie - Données (4/5) Cas des sinistres à développement long Évolution au cours du temps de l évaluation totale des sinistres Information partielle : Connaissance limitée de la charge finale des sinistres Nécessité d évaluer la charge «ultime» des sinistres => calcul des IBNR Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 14

15 Assurance Non Vie Données (5/5) Données disponibles = déroulé de sinistres dans le temps (triangles) Sinistres cumulés (Total Sinistres) exercice / vu en N N+1 N+2 N+3 N+4 N+5 N Projections Passage de N N+1=> N+2 N+5=> N+6 vers N+1 N+1 N+2 N+3 N+4 N+5 N IBNR = sinistres ultimes sinistres évalués Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 15

16 Assurance Non Vie Analyse déterministe Principe de base : Une analyse statique Partant d un état initial => État final unique Aucun aléa dans le processus en aval Travail en amont sur les éléments à intégrer au modèle Résultat = f( P j, X i ) P j = paramètres X i = variables (exemple: f(.) = moyenne = Σ x i / N ) Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 16

17 Assurance Non Vie - Modèles déterministes 1.- Tranchage : Principes d une analyse statique Une fois les données sinistres «as if», nous pouvons opérer sur les tranches travaillantes une analyse statique Principe : Répartition de la charge entre des bornes fixées a priori Le principe est de considérer que ces tranches sont homogènes en termes d exposition au risque Exemple : zone de risque attritionnel (fréquence) vs. zone de risque catastrophique (sévérité) A contrario, on considère que le risque n est pas homogène sur toutes les lignes entre elles Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 17

18 Illustration : Tranchage (1/5) Historique de la sinistralité Sinistres Forte volatilité volatilité moyenne Faible volatilité Année 1 Année 2 Année 3 Année 4 Occurrences Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 18

19 Illustration : Structuration, cas type (2/5) Analyse statique de la charge par tranche Quelle est la charge par tranche? Et quelle est sa volatilité? Bornes inf Bornes sup (en Euro) (en Euro) Total En % CV ,35% 27,58% ,03% 27,53% ,46% 37,60% ,46% 55,40% ,67% 73,59% ,22% 77,56% ,35% 78,73% ,21% 178,69% Infini ,24% 223,61% Total ,00% => La rétention optimale par sinistre sera entre et 1MEuros. => Testons les assureurs sur ces deux hypothèses. Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 19

20 Illustration : Structuration, cas type (3/5) Charge cumulée par année Zone de volatilité faible & moyenne Zone de forte volatilité infini Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 20

21 Illustration : Tranchage et extrapolation (4/5) Probabilités Probabilité de la zone extrapolée Zone extrapolée Sinistre Max Exposition Max Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 21

22 Illustration : Structuration, cas type (5/5) Combien de sinistres seront dans la rétention préconisée, quels frais de gestion prévoir...? Bornes inférieures Bornes supérieures (en Euros) (en Euros) Total En % ,19% ,23% ,19% ,70% ,80% ,45% Infini ,45% Total L évolution de la charge est-elle due à une dérive de la fréquence? Implication éventuelle sur un Stop Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 22

23 Assurance Non Vie - Modèles déterministes (1/2) 2.- Analyse déterministe sur base de scénarii En complément au tranchage, travail sur des scenarii notamment lorsqu il y a peu de sinistres - Scenario Optimiste - Scenario Moyen - Scenario Pessimiste Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 23

24 Assurance Non Vie - Modèles déterministes (2/2) Analyse déterministe : Scénarii de sinistralité Charge sinistre Scénario pessimiste Scénario Médian Temps Scénario optimiste => Analyse des conséquences prévisionnelles dans le cadre des différents scénarios Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 24

25 Assurance Non Vie - Modèles stochastiques (1/3) Analyse Stochastique : Partant d un état initial = > plusieurs réalisations possibles dont la vraisemblance est mesurée par des probabilités => Introduction d aléas dans le résultat charge Incertitude temps Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 25

26 Assurance Non Vie - Modèles stochastiques (2/3) Analyse Stochastique = introduction d un aléa dans le résultat Modélisation à l aide des lois de probabilité = mesure du risque Problème, compte tenu du manque de données (nombre d années de sinistres), de détermination de la loi du coût annuel => Utilisation de processus de simulations Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 26

27 Assurance Non Vie - Modèles stochastiques (3/3) Modéliser le risque Comment? trouver les lois de répartition de la fréquence et de la sévérité des sinistres les combiner => estimation de la loi de la charge annuelle de sinistres par simulations loi de fréquence du risque Tests loi non trouvée Simulations loi d intensité du risque Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 27

28 Simulation de la charge annuelle : (1/5) Processus de Monte-Carlo Input Simulations de Monte Carlo Risque étudié Données actualisées Ajustement de lois Loi des fréquences Simulation d années de sinistres Loi du coût individuel Possibilités de stress testing Détermination des limites Loi empirique charge annuelle Output IC Processus itératif Décisions Arbitrage marchés? Quel niveau de prise de risque? Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 28

29 Processus de Monte Carlo (2/5) Tirages aléatoires du nombre d occurrences par année Probabilité Année 5 Année 1 Année 2 Année k Année n-1 Année n n Tirages aléatoires : Année 1 : 5 Année 2 : 5 Année 3 : 1 Année 4 : 10 Année 5 : 4 Année 3 Année nombre d'occurrences Année k : 5 Année n-1: 5 Année n : 7 Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 29

30 Processus de Monte Carlo (3/5) Tirages aléatoires des sinistres de l année n : 7 sinistres Probabilité Charge simulée de l année n = Sinistre catastrophique 1000 Sévérité Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 30

31 Processus de Monte Carlo (4/5) Probabilités cumulées Nous obtenons ainsi n années de sinistralité simulées 80% 30Meuros 100Meuros Sévérité Classement par ordre croissant des n années de sinistralité simulées Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 31

32 Processus de Monte Carlo (5/5) Ex : Quelle est la probabilité que la charge annuelle retenue par l assuré soit inférieure à la moyenne observée? Charge annuelle de la ligne de rétention (X) Probabilité que la part des sinistres relative à la ligne de rétention soit inférieure ou égale à X % % % % % % % % % % % % Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 32

33 Stress testing Stress testing: Que se passe-t-il si les paramètres de base sont modifiés? σ 1 σ 2 µ 1 µ 2 Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 33

34 Assurance Non Vie: Autre méthode de simulations (1/2) Simulations par la méthode Bootstrap: Méthode de ré-échantillonnage qui remplace les méthodes semiparamétriques (Monte-Carlo) => simulations non paramétriques Simulations simple à mettre en œuvre F(x) est inconnue => on dispose d un n-échantillon (X 1 X n ) et de sa réalisation (x 1,..., x n ) - Un échantillon Bootstrap est un tirage avec remise de n éléments dans l échantillon d origine (chaque élément ayant la proba 1/n d être tiré) = > on détermine l estimateur recherché L usage de cette méthode non-paramétrique est problématique pour la recherche de valeurs extrêmes = > car méthode par interpolation Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 34

35 Autre méthode de simulations : exemple (2/2) Simulations par la méthode Bootstrap : on dispose d un n-échantillon (X 1 X n ) et de sa réalisation Un échantillon Bootstrap est un tirage avec remise de n éléments dans l échantillon d origine (chaque élément ayant la proba 1/n d être tiré) T tirages = T années de sinistres n= 5 [ 10; 20; 30; 40; 50 ] [ 50; 50; 20;50;40] [10; 10; 10; 30; 50] Sur T années on obtient : T x n sinistres simulés Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 35

36 Conclusion: A quoi sert un modèle? (1/3) 1.- Comprendre le risque : les facteurs qui l influencent et mesurer leurs impacts 2.- Déterminer des zones de rétentions potentielles Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 36

37 Conclusion: A quoi sert un modèle? (2/3) 3.- Déterminer les arbitrages et la rentabilité de certains schémas sélectionnés Processus itératif de décision Réaction des marchés (3) Analyse Technique (1) Optimisation des rétentions Détermination Des rétentions (2) Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 37

38 Conclusion: A quoi sert un modèle? (3/3) 4. Mesurer les risques et le risque que l on prend => approche stochastique (ex: mesurer les résultats de la prévention) 5. «Challenger» les marchés sur une base factuelle permet de comprendre et faire comprendre le risque permet d établir des relations pérennes et de confiance Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 38

39 MERCI DE VOTRE ATTENTION QUESTIONS / REPONSES Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 39

40 Marsh Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier Atelier 4 40