PROPORTIONNALITE ET FONCTION LINEAIRE

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Stanislas Laframboise
il y a 7 ans
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1 PROPORTIONNALITE ET FONCTION LINEAIRE Nous avons vu dans les classes précédentes qu'une situation de proportionnalité peut s'exprimer sous la forme d'un tableau ou d'un graphique, dans un tableau de proportionnalité, on multiplie les nombres de la 1ère ligne toujours par le même nombre ( appelé coefficient de proportionnalité) pour obtenir les nombres de la seconde ligne. dans un graphique, les points (dont les coordonnées sont les colonnes du tableau de proportionnalité) sont alignés sur une droite passant par l'origine du repère. Exemple : le périmètre du carré est proportionnel à la longueur du côté du carré (en effet, on multiplie le côté toujours par 4 pour obtenir le périmètre). On obtient le tableau de proportionnalité suivant : Longueur du côté (en cm) Périmètre du carré (en cm) On obtient le graphique suivant : La colonne orange du tableau correspond au point du graphique de coordonnées (3;12). Les points du graphique sont sur une droite passant par l origine. En 3ème, nous allons découvrir une nouvelle façon d'exprimer une situation de proportionnalité à l'aide d'une fonction. J'en profite donc pour rappeler ce que nous avons vu au 1er trimestre sur la notion de fonction. Une fonction est une sorte de calculatrice avec les caractéristiques suivantes : au lieu de s'appeler Casio, Texas Instrument,, on la nomme par une lettre minuscule ( f, ou g, ) elle n'est composée que d'un pavé numérique et d'une touche elle est programmée pour faire un certain calcul. Si on veut faire un autre calcul, il faut changer de calculatrice. Ainsi la fonction f telle que f : x 3x + 5 ou f (x) = 3x + 5 fonctionne de la façon suivante : on tape un nombre sur son pavé numérique (par exemple 4); la calculatrice f multiplie alors ce nombre 4 par 3 puis lui ajoute 5, et quand on appuie sur la touche, la calculatrice f affiche comme résultat 17. On résume cela par l'écriture f : 4 17 ou f (4) = 17 et on dit que l'image de 4 par la fonction f est 17.

2 I Proportionnalité Activité I p 142. Sur le cahier de leçons : Une grandeur B est proportionnelle à une grandeur A si on multiplie la grandeur A par un nombre fixe a pour obtenir la grandeur B. Ce nombre a s'appelle le coefficient de proportionnalité. On traduit cette situation par une fonction f définie par f : x ax ou f (x) = ax. Exemple : Le périmètre P d'un cercle de rayon r est proportionnel à son rayon et le coefficient de proportionnalité est 2π. On a P = 2π r. La fonction traduisant cette situation est p : x 2π x ou p (x) = 2π x.

3 II Fonction linéaire Activité II p 142. Petit rappel : l'image est le résultat affiché par la calculatrice. un antécédent est un nombre tapé sur la calculatrice. Exemple : avec la fonction f : x 3x + 5, si je tape 4 sur le clavier, la calculatrice affiche 17. On dit que 17 est l'image de 4 par f. On dit que 4 est un antécédent de 17 par f. Remarque : un nombre peut avoir plusieurs antécédents avec certaines fonctions. Par exemple avec la fonction g : x x², le nombre 4 a pour antécédents les nombres -2 et 2.

4 Sur le cahier de leçons : Définition : soit a un nombre relatif fixé. Une fonction linéaire de coefficient a est la fonction qui multiplie toujours par a. On note f : x ax ou f (x) = ax. Exemple : On considère la fonction h : x -6x. Cette fonction multiplie toujours par -6. On dit que h est la fonction linéaire de coefficient -6. Remarque : Soit g une fonction linéaire de coefficient a, alors g(0) = a x 0 = 0 et g(1) = a x 1 = a. Propriété : Soit f une fonction linéaire de coefficient a avec a 0, alors tout nombre admet un seul antécédent par cette fonction. Exemple : soit la fonction linéaire j : x 9x. Pour chercher un antécédent de 45, je résous l'équation j (x) = 45, ce qui donne 9x = 45 d'où x= 45 9 =5. Donc l'antécédent de 45 par f est 5. Propriété : la fonction qui traduit une situation de proportionnalité est une fonction linéaire. Son coefficient est le coefficient de proportionnalité. Exemple : la fonction p : x 2π x qui permet de calculer le périmètre d'un cercle, est la fonction linéaire de coefficient 2π. Exercice 1 p 148.

5 Exercice 9 p 148. La fonction i est la fonction linéaire de coefficient 3 2. III Propriétés des fonctions linéaires Activité On veut faire des crêpes et on donne le tableau de correspondance suivant entre la masse de farine et le nombre de crêpes, sachant que la masse de farine est proportionnelle au nombre de crêpes. Nombre de crêpes Masse de farine (en g) ? Soit f la fonction qui permet de calculer la masse de farine nécessaire, en fonction du nombre de crêpes que l'on veut faire. 1. La fonction f est-elle linéaire? Justifier la réponse. 2. Déterminer f (20) et f (30). 3. En utilisant le tableau, comment obtenir la masse de farine pour 50 crêpes, sans calculer le coefficient de proportionnalité?

6 4. Exprimer alors f (50) à l'aide de f (20) et f (30). 5. En utilisant le tableau, comment obtenir la masse de farine pour 90 crêpes, sans calculer le coefficient de proportionnalité? 6. Exprimer alors f (90) à l'aide de f (30). Sur le cahier de leçons : Propriété: f est une fonction linéaire, b et c sont deux nombres. On a : f (b + c) = f (b) + f (c). Cela signifie que par une fonction linéaire, l'image d'une somme est égale à la somme des images. Exemple : la fonction linéaire g est telle que g (5) = 8 et g (7) = 11,2. On a : g (12) = g (5 + 7) = g (5) + g (7) = ,2 = 19,2 et g (2) = g (7-5) = g (7) - g (5) = 11,2-8 = 3,2. Propriété: f est une fonction linéaire, x est un nombre et k est un nombre fixé. On a : f (k x) = k f (x). Exemple : la fonction linéaire h est telle que h (12) = 20. On a : h (24) = h (2 x 12) = 2 x h (12) = 2 x 20 = 40 et h (3) = h ( 1 4 x 12) = 1 4 x h (12) = 1 4 x 20 = 5. Exercice 10 p 148.

7 Exercice 12 p 148.

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