Les écoulements en charges en régime permanent

Transcription

1 Chapitre Les écoulements en charges en régime permanent 1 Contenu du chapitre Dans un premier temps, ce chapitre définira les écoulements en charge puis fera un rappel des principes de la mécanique des fluides qui s appliquent aux écoulements en charge. On passera par la suite les méthodes de calcul des écoulements dans le but essentiel d en connaître les caractéristiques hydrauliques. Pour ce faire, nous passerons en revue les moyen d évaluer les pertes de charge par frottement dans les conduites et dans divers composants tels que des coudes, des jonctions ou des vannes. Nous verrons ensuite comment établir la ligne de charge et la ligne piézométrique d un circuit hydraulique ce qui sera fort utile pour en calculer le comportement hydraulique. Nous étudierons par la suite les cas des conduites en parallèle et en série. Enfin nous étudierons les méthodes de calcul des réseaux de conduites. Définitions.1 Écoulements en charge Les écoulements en charge sont des écoulements confinés à l intérieur d un contenant, en général une conduite. La pression à l intérieur de ces écoulements peut être de beaucoup plus élevé que la

2 GCI Systèmes hydrauliques pression atmosphérique ou encore s abaisser à des valeurs aussi faibles que la pression de vapeur saturante. Même si la pression à l intérieur de ce type d écoulement peut atteindre la pression atmosphérique, en aucun cas nous considérerons la présence de surface libre dans cette catégorie d écoulements.. Régime permanent Dans ce chapitre, on considérera systématiquement que les diverses variables hydrauliques ne varieront pas dans le temps. Nous analyserons donc des écoulements qui sont bien établis dans le temps et s il est nécessaire, par exemple, de considérer la conception d un système hydraulique pour plusieurs débits, on les considérera donc comme des situations indépendantes dans le temps.. Régimes d écoulement Selon la vitesse relative aux dimensions géométriques de l écoulement on observe, à partir d un certain seuil l apparition de fluctuations de la vitesse que l on nomme turbulence. Le nombre de Reynolds permet de déterminer si l écoulement est laminaire (sans turbulence) ou turbulent. La distinction entre les régimes turbulent et laminaire est importante dans la détermination du frottement des parois sur l écoulement. Dans le cas général, le nombre de Reynolds s écrit : R e = VL " 1 où : V : vitesse moyenne de l écoulement L :longueur caractéristique de l environnement de l écoulement ν : viscosité cinématique du fluide (de l eau en hydraulique) Dans le cas d une conduite circulaire, on considère le diamètre intérieur de la conduite comme longueur caractéristique, le nombre de Reynolds s exprime donc ainsi : R e = VD " où : D : diamètre intérieur de la conduite

3 GCI Systèmes hydrauliques La viscosité varie avec la température. À 15 C, ν = 1, m /s alors à 0 C, elle baisse à ν = 1, m /s Vitesse [cm/s] Temps [s] Fig 1 Composante de la vitesse mesurée au moyen d un vélocimétre ADV (Acoustic Doppler Velocimeter). La figure 1.1 illustre le phénomène de la turbulence. Des mesures de la vitesse d écoulement ont été réalisées à un taux de 5 mesures par secondes. Pour chaque temps, on mesure les composantes longitudinales et transversales (horizontale et verticale) de la vitesse instantanée. L appareil de mesure étant orienté dans le sens de l écoulement, on observe en bleu une vitesse de l ordre de 0 cm/s alors que les composantes transversales sont en moyenne nulles. Si l écoulement avait été laminaire le graphique aurait présenté des lignes horizontales pour chaque composante de la vitesse. Cet écoulement avait un nombre de Reynolds d environ

4 GCI Systèmes hydrauliques..1 Régime laminaire L écoulement est laminaire, c est-à-dire que sa vitesse ne présente pas de fluctuation, lorsque le nombre de Reynolds des conduites circulaires est inférieur à Régime turbulent Pour un nombrée Reynolds supérieur à 500, la turbulence commence à apparaître avant de s établir totalement. On verra, lors de l étude du frottement en conduite que cette zone de régime de transition entre le régime laminaire et le régime turbulent dépend des conditions de rugosité de la paroi de la conduite. Pertes de charge dans les conduites circulaires La charge hydraulique fait référence à la quantité d énergie potentielle, de pression et cinétique dans un système hydraulique sous pression. Si on ne considère pas les pertes d énergie causées par le frottement, la charge disponible en tout point du système doit être constante. Cette situation est traduite par l équation de Bernoulli : p " + z + V g = H = constante où : p : pression en un point du système, [F/L ] z : élévation par rapport à une référence commune à tout le système, [L] V : vitesse moyenne de l écoulement, [L/T] g : accélération gravitationnelle, [L/T ] (9,81 m/s ) H : charge hydraulique exprimée en hauteur de liquide, [L] γ : poids spécifique, [F/L ] Si on considère que partie de l énergie est dissipée par frottement entre deux points d un système en négligeant les pertes thermiques et mécaniques présentes aussi dans le principe de conservation d énergie vu en mécanique des fluides, on devra compléter le niveau de charge perdue par une perte de charge. L équation de Bernoulli avec pertes de charge s écrit donc : p 1 " + z + V 1 1 g = p " + z + V g + #H = H = constante 4 1$ où : 4

5 GCI Systèmes hydrauliques H 1- : pression en un point du système, [L] Les indices 1 et font références à deux points dans le même système hydraulique. En général, dans un système hydraulique, les pertes de charges ont deux causes : les pertes de charge par frottement le long d un tuyau appelées aussi pertes de charge linéaires les pertes de charge locales causées par des frottements dans des objets de géométrie complexe comme des coudes, des robinets, des jonctions ou autre. On appelle aussi ce type de perte : pertes de charge singulières..1 Perte de charge par frottement Les pertes de charge par frottement sont causées par l interaction entre le fluide en déplacement et la paroi de la conduite plus ou moins rugueuse..1.1 Expression générale Conduite de section circulaire En utilisant les principes de l analyse dimensionnelle, on peut écrire une expression générale pour les conduites circulaires : "H = fl D V g 5 où : f : facteur de frottement, [sans dimension] L : longueur de la conduite, [L] D : diamètre intérieur de la conduite, [L] V : vitesse moyenne de l écoulement, [L/T] g : accélération gravitationnelle, [L/T ] (9,81 m/s ) Le facteur de frottement dépend du niveau de turbulence de l écoulement, donc du nombre de Reynolds et de la rugosité relative des parois de la conduite. La perte de charge par frottement peut aussi s écrire en fonction du débit puisque : 5

6 GCI Systèmes hydrauliques Q = AV et A = "D 4 Ainsi on obtient : "H = 8 fl # gd 5 Q Conduite de section quelconque En basant sur la définition du rayon hydraulique R h comme étant le rapport de l aire de la section d écoulement A sur le périmètre mouillé P : R h = A P Dans le cas d une conduite circulaire R h = "D "D = D 4 4, d où D = 4R h. En introduisant D dans l expression 5, on obtient une expression applicable à une conduite de section quelconque : "H = fl V 4R h g = fl V 8gR h 5a Ou encore en fonction du débit : "H = fl 18# gr h 5 Q 6a.1. Rugosité relative La rugosité ε/d relative est le rapport des hauteurs moyennes d aspérités ε de la paroi de la conduite sur le diamètre D de cette conduite. Selon les matériaux utilisés pour fabriquer le tuyau, les aspérités sont plus ou moins importantes. Lorsque que la taille des aspérités est inférieure à la hauteur de couche limite laminaire, elles n ont plus d effet sur le frottement, on dit alors que le tuyau est lisse. Dans le cas contraire, on a affaire à un tuyau rugueux..1. Détermination du facteur de frottement Deux méthodes principales sont utilisées pour déterminer le facteur de frottement : L utilisation du diagramme de Moody 6

7 GCI Systèmes hydrauliques Le calcul par la méthode de White-Colebrook La première méthode est simple, rapide et peu précise. La seconde est plus compliquée mais elle permet l évaluation du facteur de frottement dans des méthodes de calcul utilisant des moyens électroniques Diagramme de Moody Le diagramme de Moody permet d évaluer graphiquement le facteur de frottement f en fonction de la vitesse d écoulement moyenne V, du diamètre D et de la rugosité ε de la conduite et de la viscosité du fluide ν. Ces quatre variables sont regroupées en deux nombres adimensionnels : La rugosité relative " D Le nombre de Reynolds R e = VD " On détermine alors le régime d écoulement. Si le régime est laminaire alors : f = 64 R e Si le régime est turbulent, on choisit le point d intersection de la courbe correspondant au " D de la conduite et au nombre de Reynolds. On projète ensuite ce point sur l ordonnée de gauche du diagramme pour estimer f..1.. Formule de White-Colebrook La formule de White-Colebrook est utilisée pour calculer la partie turbulente du diagramme de Moody : 1 f $ # D = ",0log 10,7 +,51 ' & ) % f ( R e 7 Cette formule implicite peut-être résolue au moyen d une méthode de Newton-Raphson. 7

8 GCI Systèmes hydrauliques Une application en Javascript est disponible sur le site du cours. 8

9 GCI Systèmes hydrauliques Fig Diagramme de Moody 9

10 GCI Systèmes hydrauliques. Pertes de charges locales Les pertes de charges locales sont causées par les frottements et les décollements de la couche limite dans des accessoires tels que des coudes, des raccords, des té, des réductions ou expansions, des clapets, des robinets-vannes, etc. Chaque accessoire possède un coefficient, déterminé expérimentalement par le fabricant, qui dépend essentiellement de sa forme et de son matériau. La perte causée par un des accessoires s écrit : "H = C L V g 8 Lorsque la géométrie de la pièce comporte une entrée et une sortie de section différente, les vitesses d entrée et de sortie sont différentes. Il est important de connaître par rapport à laquelle de ces deux vitesses le coefficient C L est associé. On peut aussi exprimer cette perte de charge en fonction du débit : "H = C L ga Q 9 Pour des sections circulaires, cela devient : "H = 8C L # gd 4 Q 10 Ici encore, il faut savoir à quelle section est associé C L si elles sont différentes. On trouvera dans «A brief introduction to fluid mechanics» de Young et al., à la section 8.4. plusieurs exemples de valeurs de ce coefficient. 4 Diagramme d énergie 4.1 Principes La ligne d énergie est utilisée pour connaître la répartition des énergies potentielle, de pression, cinétique ainsi que les pertes et les gains d énergie le long d un circuit hydraulique. L énergie totale est définie par l équation de Bernoulli : 10

11 GCI Systèmes hydrauliques E = p " + z + V g ± #H 7 ΔH est soit une perte d énergie (positif) ou un gain d énergie (négatif) apporté en général par une pompe. On trace le long du circuit à chaque point du trajet l altitude z, la pression p ", l énergie de vitesse V g et le niveau de pertes accumulé. 4. Exemples Ce qui suit présente quelques exemples de difficulté croissante pour mieux comprendre comment tracer systématiquement les diagrammes d énergie. V g P! ligne d'énergie "H ligne piézométrique V g A P! z B z Fig Conduite de diamètre constant entre deux réservoirs. 11

12 GCI Systèmes hydrauliques V g P! ligne d'énergie ligne piézométrique "H V g A P! z B z Fig 4 Conduites de diamètres différents entre deux réservoirs avec perte de charge locale à la restriction. V g ligne d'énergie V g "H P! ligne piézométrique P! z A B z Fig 5 Réduction de diamètres de conduite entre deux réservoirs avec pertes de charge locales aux changements de diamètre. 1

13 GCI Systèmes hydrauliques V g ligne d'énergie ligne piézométrique P! "H P! V g z z Fig 6 Conduite et robinet-vanne entre deux réservoirs. V g ligne d'énergie "H P! ligne piézométrique V g z z Fig 7 Conduite entre un réservoir et une sortie à l air libre. 1

14 GCI Systèmes hydrauliques V g p " H A H B B A z Fig 8 Conduites et coudes entre deux réservoirs V g #H B$C H C $ H A p " V g p " #H A$B H C H A z A Pompe C Fig 9 Conduites et pompe entre deux réservoirs 14

15 GCI Systèmes hydrauliques 4. Calculs hydrauliques Dans les exemples précédents, il faut calculer les pertes de charge et le débits pour pouvoir évaluer les pressions ainsi que les énergies cinétiques 4..1 Conduite de diamètre constant entre deux réservoirs Dans cette configuration, on peut évaluer le débit qui passe d un réservoir à l autre en utilisant l équation de Bernoulli (eq.). Sachant que la charge dans le réservoir du côté A est : E A = P A " + z A + V A g = H A et que, pareillement pour le côté B : E B = P B " + z B + V B g = H B en tenant compte des pertes de charge, on obtient : H A! H B = "H La perte de charge totale étant causée par le frottement dans la conduite si on néglige les pertes locales aux entrée et sortie des réservoirs, donc : "H = fl D V g = 8 fl # gd 5 Q La perte de charge totale étant égale à la différence de niveau entre les réservoirs, seul le débit est inconnu : Q = " g ( H A # H B ) 8 f L D Conduites de diamètres différents entre deux réservoirs avec perte de charge locale à la restriction Deux aspects sont à considérer : 15

16 GCI Systèmes hydrauliques Le même débit traverse les deux conduites. La perte de charge totale est égale à la différence de niveau entre les réservoirs et elle est composée de la perte par frottement dans la première conduite de longueur L 1 et diamètre D 1, de la perte par frottement dans la deuxième conduite de longueur L et diamètre D et de la perte singulière dans le rétrécissement On peut donc écrire : "H = 8 $ # g & % d où : f L 1 D + f L 5 1 D + C L 5 4 D ' ) ( ) Q Q = " g ( H A # H B ) $ 8 f L 1 5 D + f L 5 1 D + C ' L & 4 ) % D ( 4.. Réduction de diamètres de conduite entre deux réservoirs avec pertes de charge locales aux changements de diamètre En raisonnant de la même façon que précédemment, on trouve : "H = 8 # g d où : $ & % f L 1 D + f L 5 1 D + f L 5 D + C L1 5 D + C L 4 4 D ' ) ( ) Q Q = " D g ( H A # H B ) $ 8 f L 1 + f L + f L ' & + C L + C L ) % D 1 D ( D 4..4 Conduite et robinet-vanne entre deux réservoirs Dans un robinet vanne, le coefficient de perte de charge locale C L varie de près de zéro à l infini, d où : 16

17 GCI Systèmes hydrauliques Q = " ( ) g H A # H B $ 8 f L D + C ' L & ) % 5 D 4 ( 4..5 Conduite entre un réservoir et une sortie à l air libre Ici puisque l écoulement sort en B à la pression atmosphérique, P B et V B est inconnu (comme on n arrive pas dans un réservoir dont le niveau est connu, le niveau de charge nette est inconnu). On écrit alors : # H A " z B + V & B % ( = )H $ g ' En posant : V = Q A avec, pour une conduite circulaire : A = " D 4 Il vient : 8 $ H A " z B = # g D 1+ f L ' & ) Q 4 % D ( finalement : Q = " D ( ) g H # z A B $ 8 1+ f L ' & ) % D ( 4..6 Conduites et coudes entre deux réservoirs Ici on considère le diamètre constant et on regroupe en L toutes les longueurs de conduites. On obtient alors, en raisonnant comme précédemment : 17

18 GCI Systèmes hydrauliques Q = " D g ( H A # H B ) $ 8 f L D + C + C ' & L1 L) % ( 4..7 Conduites et pompe entre deux réservoirs La pompe apporte un supplément d énergie que l on peut voir comme une perte de charge négative. En écrivant l équation de Bernoulli aux deux réservoirs, il vient : P A " + z A 1 H A + V A { g 0 = P B " + z B 1 H B + V B { g En simplifiant, on obtient : 0 + #H AB $ #H P + #H BC "H = H A # H B = fl D V # "H P + fl V g AB D g BC Le gain de charge ΔH P varie en fonction du débit selon une courbe décroissante dont l allure est donnée à la figure 10.!HP H0 Fig. 10 Courbe de pompe. En général, on approxime la courbe de pompe par une fonction parabolique du type : Q "H P = H 0 + BQ + CQ 18

19 GCI Systèmes hydrauliques En regroupant les longueurs de conduites si elles sont de mêmes diamètres, on écrit : "H = H A # H B = 8 fl $ gd 5 Q # ( H 0 + BQ + CQ ) = RQ # ( H 0 + BQ + CQ ) En regroupant les facteurs, on obtient le polynôme quadratique suivant : ( R " C)Q " BQ " ( H 0 + H A " H B ) dont la solution est : Q = B ± ( )( H 0 + H A " H B ) ( R " C) B + 4 R " c Il faudra, bien entendu, choisir la solution physiquement acceptable, c est-à-dire celle qui correspond à un point sur la courbe de pompe. 5 Principes de base du calcul de systèmes hydrauliques complexes Des exemples précédents, on constate que : le débit entrant dans un réservoir est le même que celui qui en sort ainsi que celui qui coule dans la conduite qui relie les deux réservoirs; l équilibre de l écoulement, c est-à-dire le régime permanent, est atteint lorsque la perte de charge devient égale à la charge hydraulique disponible. La première constatation découle du principe de conservation de la masse pour un fluide incompressible, ce que nous appellerons un principe de continuité des débits. La seconde constatation provient du principe général de conservation de l énergie qui stipule que l énergie perdue ou consommée doit être égale à l énergie disponible. 5.1 Mise en situation Nous verrons ici comment appliquer ces deux principes pour analyser des systèmes plus complexes que les précédents. 19

20 GCI Systèmes hydrauliques Considérons l exemple suivant : Qv1 HR Q 1 Qv zv1 QR Q1 Q zv Fig. 11 Écoulement en conduites vers deux vannes. Examinons le principe de continuité; le débit sortant du réservoir se sépare en deux débits, pas nécessairement égaux, au niveau de la bifurcation. Comme il y a continuité des débits, il faut que : Q R = Q v1 + Q v ou encore : Q R " Q v1 " Q v Nous avons ici trois inconnues car les débits vont dépendre de la hauteur d eau dans le réservoir ainsi que des élévations des vannes. Voyons le principe de conservation de l énergie; en régime permanent, on doit avoir équilibre entre les pertes de charge et la charge disponible. En utilisant l équation d énergie de Bernoulli, écrivons deux relations entre le réservoir et les sorties aux vannes que nous considérerons ouvertes à 100% et en négligeant les pertes de charge locales : p R " + z R 14 4 H R + V R { g 0 = p v1 { " 0 + z v1 + V v1 g + #H R1 0

21 GCI Systèmes hydrauliques p R " + z R 14 4 H R + V R { g 0 = p v { " 0 + z v + V v g + #H R où ΔH R1 et ΔH R sont les pertes de charges accumulées respectivement du réservoir jusqu à la vanne 1 et du réservoir jusqu à la vanne. En simplifiant on obtient : H R " z v1 = V v1 g + #H R1 H R " z v = V v g + #H R Exprimons maintenant les termes d énergie cinétique et les pertes en fonction des débits Q 1, Q et Q : H R " z v1 = 8 fl 1 # gd Q fl 1 # gd Q # gd Q 4 H R " z v = 8 fl 1 # gd Q fl 1 # gd Q # gd Q 4 Finalement, en regroupant les facteurs de Q 1, Q et Q, on obtient : H R " z v1 = R 1 Q 1 + R Q H R " z v = R 1 Q 1 + R Q où R 1 = 8 fl 1 " gd, R = " 4 gd # fl & 8 # fl % +1( et R = & $ D ' " 4 % +1(. gd $ D ' De façon générale, les résistances R i peuvent inclure, outre les effets du frottement sur la paroi de la conduite, les résistances causées localement et associées au débit Q i, soit : % 8 ' R i = ' 1 " 4 { + $ C L gd i ' sortie à l # air libre 1 & pertes locales + fl i D i { pertes par frottement ( * * * ) Nous obtenons donc, grâce à l application du principe de continuité des débits et de la conservation de l énergie un système de trois équations à trois inconnues : 1

22 GCI Systèmes hydrauliques Q 1 " Q " Q R 1 Q 1 + R Q = H R " z v1 R 1 Q 1 + R Q = H R " z v Ce système d équations est non linéaire et il n est pas possible de le résoudre tel quel. Pour obtenir une solution, il est nécessaire de le linéariser puis d utiliser une méthode itérative. Il est important ici de conserver le signe du débit en appliquant la relation suivante : R i Q i = R i Q 0i Q i Les étapes de cette méthode sont : 1) Choisir une solution initiale Q 0i quelconque, soit ici Q 01, Q 0 et Q 0. ) Écrire le système linéarisé : Q 1 " Q " Q R 1 Q 01 Q 1 + R Q 0 Q = H R " z v1 R 1 Q 01 Q 1 + R Q 0 Q = H R " z v ) Résoudre pour trouver une estimation de Q 1, Q et Q. 4) Calculer une norme de convergence, par exemple # Q i " Q 0i 5) Comparer la norme avec une précision acceptable, si elle est atteinte on arrête sinon on continue à l étape suivante : 6) Calculer de nouvelles valeurs de Q 01, Q 0 et Q 0 en faisant la moyenne des valeurs des deux ensembles précédents : Q 0i = ( Q 0i + Q i ) 7) Retourner à l étape ) Une feuille Excel, disponible sur le site du cours, illustre cette méthode.

23 GCI Systèmes hydrauliques À partir de cet exemple, on constate que l application de la continuité des débits et l équilibre des pertes de charge avec les différences de charge disponible permet de décrire complètement le comportement du système hydraulique sous pression. Voyons encore deux exemples : A B 1 C Continuité à la jonction Q 1 " Q " Q Équilibre entre les pertes de charge et les différences de charge disponibles de A vers B et de A vers C. H A " H B = R 1 Q 1 + R Q H A " H C = R 1 Q 1 + R Q Ce n est pas la seule façon de voir le problème, si les sens des débits sont différents, il faut en tenir compte dans l écriture des équations de continuité et d équilibre des pertes de charge :

24 GCI Systèmes hydrauliques A B 1 C Continuité à la jonction Q 1 + Q " Q Équilibre entre les pertes de charge et les différences de charge disponibles de A vers C et de B vers C. H A " H C = R 1 Q 1 + R Q H B " H C = R Q + R Q Voici un exemple où l on introduit les débits entrant et sortant des réservoirs comme inconnues en plus des débits dans les conduites : A 1 B C Continuité à la jonction 4

25 GCI Systèmes hydrauliques Q A " Q 1 " Q Q B + Q 1 " Q Q + Q " Q C Équilibre entre les pertes de charge et les différences de charge disponibles de A vers B, de B vers C et de A vers C : H A " H B = R 1 Q 1 H B " H C = R Q H A " H C = R Q 5. Formulation générale Voici les définitions et les règles à appliquer à l analyse d un circuit hydraulique : 1) Dans un circuit hydraulique, les points de jonctions sont appelés NŒUDS. ) On établi des liens entre les différentes charges connues dans le circuit (niveau de réservoir) de façon à pouvoir exprimer une différence de charge sur ces liens. Si R est le nombre de réservoirs, le nombre de liens sera R-1. ) On définit comme MAILLES, les circuits fermés du système, y compris ceux formés par les liens entre les réservoirs 4) On écrit pour chaque nœud la continuité.des débits en tenant compte du signe des débits aux nœuds : #" N Q N N = i, j,kk N est le numéro des débits connectés à un nœud et ε représente le signe du débit et vaut 1 ou 1. La convention de signe peut être : 5

26 GCI Systèmes hydrauliques et doit être conservée pour tous les noeuds 5) Pour chaque maille, on exprime la conservation de l énergie en faisant la somme algébrique (positif dans le sens du débit et négatif en sens inverse) tel que : $ M = i, j,kk " M #H M M est le numéro des débits le long du parcours de la maille et ε représente le signe du débit et vaut 1 ou 1. La convention de signe peut être : et doit être conservée pour tous les nœuds. 6) Dans les équations de mailles, on remplace les pertes de charge par une fonction du débit, pour les conduites, on écrit : 7) "H i = R i Q i 8) On vérifie que l on a autant d inconnues que d équations. Si on a trop d équations, en général, c est qu il y a une équation de continuité redondante. Il suffit d en éliminer une. 6

27 GCI Systèmes hydrauliques 9) On applique une méthode de résolution itérative. EXEMPLE : 1 III B A I II 4 C 5 D Continuité des débits aux nœuds : Nœuds Équations A Q A " Q 1 " Q B Q 1 " Q " Q 4 C Q + Q " Q 5 D Q 4 + Q 5 " Q D Équilibre des pertes de charge sur les mailles : Mailles Équations I "#H 1 + #H " #H II "H # "H 4 + "H 5 III "H 1 + "H 4 # ( H A # H D ) 7

28 GCI Systèmes hydrauliques Les équations sur les mailles peuvent s écrire en fonction du débit en introduisant la relation qui relie le débit à la perte de charge : Mailles Équations I "R 1 Q 1 + R Q " R Q II R Q " R 4 Q 4 + R 5 Q 5 III R 1 Q 1 + R 4 Q 4 " ( H A " H D ) Ici nous avons 7 inconnues et 7 équations. 5. Vérification du nombre d équations Pour un réseau maillé uniquement composé de conduites, il existe une relation, issue de la théorie des graphes, qui permet de déterminer rigoureusement le nombre d équations nécessaires et suffisant pour résoudre le système. Cette relation s écrit : C = M + N "1 8 où : C = nombre de conduites (ou d éléments hydrauliques entre deux nœuds) M = nombre de mailles (boucles fermées) N = nombre de nœuds (points de jonctions) Dans la théorie des graphes, C est appelé «nombre cyclomatique» et sa définition n est valide que pour un graphe plan. On peut donc écrire, un système de N - 1 équations de nœuds et M équations de mailles pour calculer les C débits des conduites. Dans l exemple précédent, si on élimine les réservoirs ainsi que le lien entre ces derniers, il subsiste 4 nœuds et mailles, on a donc = 5 conduites. Si le réseau contient d autres éléments (réservoirs, pompes, surpresseurs, réducteurs de pression, clapets, etc.) chaque élément doivent comporter deux nœuds. Ainsi, l exemple précédent peut se redessiner ainsi : 8

29 GCI Systèmes hydrauliques Nous observons mailles et 6 nœuds le système comporte donc 8 éléments répartis comme suit : cinq conduites avec une relation perte de charge débit "H i = R i Q i deux réservoirs avec une relation perte de charge débit "H i. Les réservoirs transforment du volume en débit ils comportent donc un nœud de débit nul (nœud de tête) et un nœud de débit entrant ou sortant du réservoir (nœud de queue). Le nœud de tête doit être connecté un lien piézométrique et le nœud de queue doit être connecté aux conduites. un lien piézométrique avec une relation perte de charge "H i = H j # H k, où H j est la charge du nœud d origine du lien et H k est la charge du nœud d extrémité du lien. Il n y a pas de débit dans ce lien. Ainsi la mise en équations pourra s écrire : Continuité des débits aux nœuds : Nœuds Équations A Q 8 " Q 1 " Q B Q 1 " Q " Q 4 C Q + Q " Q 5 9

30 GCI Systèmes hydrauliques D Q 4 + Q 5 " Q 6 E Q 7 F Q 7 Équilibre des pertes de charge sur les mailles : Mailles Équations I "#H 1 + #H " #H II "H # "H 4 + "H 5 III "H 1 + "H 4 # "H { # H # H 6 A D 5.4 Antennes et réseaux ramifiés 0 ( ) + "H 8 { Une antenne est une branche d un réseau dont un des nœuds n est pas connecté. Le débit doit être connu à ce nœud. Si ce nœud est une sortie à l air libre, ce ne peut pas être considéré comme l extrémité d une antenne mais plutôt une connexion à un réservoir dont la hauteur piézométrique est égal à l élévation de la sortie. Ce réservoir doit être connecté à un autre par un lien piézométrique. Un réseau ramifié est un réseau dont chaque nœud n est connecté qu à deux éléments et se terminant par des antennes. Il ne comporte pas de mailles et seules les équations de nœuds (continuité) sont utilisées pour le calculer. 5.5 Méthode de résolutions Ici on présentera deux méthodes de résolutions couramment utilisées dans les logiciels de calcul hydraulique, soit les méthodes directes et la méthode matricielle par mailles Méthodes directes Méthode des débits Cette méthode est assez simple en ce qui concerne la mise en équations. En effet, il suffit d écrire autant d équations conservation de débit ou d énergie qu il y a de débits dans les éléments du réseau. 0 0

31 GCI Systèmes hydrauliques Dans un réseau maillé, on peut écrire la relation : C = M + N!1 On peut donc écrire, un système de N - 1 équations de nœuds et M équations de mailles pour calculer des C débits: *,,, M,,,, $ &"R Q n#1 ', ) % (,, M,, $ &"R Q n#1 ' ) +,% ( " 1,1 L " 1,C " N #1,1 L " N,C 1,1 M,1 $ L "R Q n#1 ' & ) % ( $ L &"R Q n#1 ' ) % ( M M 1,C M,C - / / / 0 Q / / M / M / 1 5 = 1 M / / M / Q / C 6 /./ q 1 M q N #1 h 1 M h M Les N-1 premières lignes de la matrice contiennent les signes ε i,j relatifs au i ième nœud et à la j ième conduite. Pour les conduites non connectées à un nœud, ε est nul. # Les M dernières lignes de la matrice contiennent les termes signés! R Q n"1 % $ & relatifs à i, j la i ième maille et à la j ième conduite. Pour les conduites non participantes à une maille, ε est nul. Les débits de consommation imposés aux nœuds q i sont placés dans la première partie du membre de droite. Les pertes et gains de charge constants h i attribués à la présence de réservoirs ou de pompes sont placés dans la dernière partie du membre de droite. La seconde partie de la matrice contient des débits qui ne sont pas encore connus. On les remplace par des débits quelconques Q 0 qui sont sans rapport avec la loi des nœuds. On calcule alors une première estimation du débit Q avec ces débits Q 0 arbitraires puis on améliore la solution en procédant à des itérations. 1

32 GCI Systèmes hydrauliques Pour améliorer la convergence, chaque Q 0 pour l'itération suivante se calcule comme la moyenne du débit Q calculé à l itération précédente et du débit Q 0 précédent. Q (i+1) 0 = Q(i ) (i) + Q 0 Cette technique assure une convergence efficace mais relativement lente. Une autre technique de résolution a donc été proposée. Elle est basée sur l application de la méthode de Newton-Raphson au système Cette méthode a été programmé dans le logiciel CASH1. Les essais poursuivis jusqu'à maintenant ont prouvé, hors de tout doute, la supériorité de la stabilité de ce schéma numérique par rapport aux méthodes précédentes. EXEMPLE Construisons le système matriciel en supposant que les coefficients de résistance R de chaque conduite sont connus. q q q 4 I II 6 q 5 5 q 5 Il n est pas nécessaire de choisir des Q 0 cohérents, il suffit de leur donner une valeur initiale quelconque mais différente de zéro. On utilise le système 9 pour construire la matrice et le membre de droite :

33 GCI Systèmes hydrauliques # "1 " &) % ( 1 0 "1 " % ( + % "1 0 ( + % (* % "1 ( + n"1 n"1 n"1 %"R 1 Q 0,1 R Q 0, "R Q 0, ( + % n"1 n"1 n"1 n"1( + $ % 0 0 R Q 0, "R 4 Q 0,4 R 5 Q 0,5 "R 6 Q 0,6 '(, Q 1 Q Q Q 4 Q 5 Q 6 - )"q q q. = + *. + + q /, 0 / On remplace les Q 0,i par les moyennes des Q i et Q 0,i précédent et on recommence jusqu à ce que les valeurs du débit se stabilisent.

34 GCI Systèmes hydrauliques Méthode des charges Cette méthode consiste à écrire un système d équations composé des N équations de nœuds. Comme il y a C débits inconnus dans ces équations, on remplace les débits par la relation qui relie le débit à la perte de charge (éq. 5.8) dans laquelle on remplace explicitement la perte de charge par la différence de deux charges nodales. On obtient donc N inconnues. Il n est plus possible, comme dans le cas précédent, de linéariser facilement le système et il est nécessaire d utiliser la méthode de Newton-Raphson. Pour chaque nœud i, il faut alors écrire une équation de ce type : $ & % # N = j,k,k ' m"1 m K i, N H i " H N ) *H m"1 m"1 i " m K i, j H i " H j *H j " m K i,k H i " H k *Hk "K ( $ ' m = " & # + N K i, N H i " H N + + i q i ) % N = j,k,k ( Cette méthode converge bien, la principale difficulté de sa mise en œuvre surgit lors de l introduction d éléments hydrauliques comme des pompes Méthode matricielle par mailles C'est une méthode itérative matricielle qui permet de repartir sur l'ensemble du réseau les corrections Q pour obtenir l'équilibre des pertes de charge (loi des mailles) à partir de débits initiaux Q 0 choisis en fonction de la loi des nœuds. On écrit le système d'équations non linéaires à partir de la loi des mailles auquel on applique la méthode de Newton-Raphson (voir encadré théorique) pour chaque maille: nr M Q n!1 "Q n # ( 0, M ) =! # $ M M R M Q 0,M 10 M = i, j,k K M = i, j,k K M est l'indice des conduites participant à une maille. On obtient donc autant d équations qu il y a de mailles et on a une inconnue par conduite. Généralement le nombre de conduites est plus grand que le nombre de 4

35 GCI Systèmes hydrauliques mailles. Il est donc nécessaire, pour résoudre le problème, de réduire le nombre d inconnue. Comme une conduite peut appartenir à au plus deux mailles, la réduction du nombre d'inconnues se fait en sachant qu'une conduite participant à deux mailles subit les corrections de chacune de ces mailles adjacentes :!Q M =!Q A -!Q B 11 Cela revient à faire un changement de variables dans lequel chaque correction de débit appliquée à une conduite M est remplacée par la différence de corrections appliquées aux mailles A et B communes à la conduite M. Si une conduite n appartient qu à une maille, on lui attribue seulement la correction de cette maille. Le nombre d inconnues devient donc égal au nombre de mailles et la résolution est alors possible. Par exemple, pour une maille A adjacente aux mailles B et C, la relation (5.11) devient : # % $ " M = i, j, kk n!1& nr M Q 0, M ( )Q A! nr AB Q n!1 n!1 0, AB! nr AC Q 0, AC ' n =! "* M R M Q 0, M M = i, j, kk Où les indices AB et AC réfèrent aux conduites communes respectivement aux mailles A et B puis aux mailles A et C. En pratique, le système est organisé sous forme matricielle, en tenant compte que les sens des débits ne seront pas mis à jour et que le débit gardera son signe, de la façon suivante : * n"1 $ n"1 # nr Q 0 "& ' nr Q % 0 ) $ n"1 L "& ', nr Q ( 0 ) A AB % (, $ n"1 "& ' n"1, nr Q % 0 ) nr Q ( # 0 M, BA B, M O M, $ n"1 "& ' n"1, nr Q % 0 ) L L nr Q ( # 0 + MA M AM - 1 / / 10Q A 5 / 0Q B / 6 = " / M / 4 0Q M 7 /. 4 # A # B # M n"1 5 8 R Q 0 Q0 n"1 8 R Q 0 Q0 6 M n"1 8 R Q 0 Q0 7 1 On résout ce système pour obtenir le vecteur des corrections de débits. 5

36 GCI Systèmes hydrauliques On applique les corrections!q de chaque maille aux débits des conduites constituant la maille en tenant compte du signe : Q M = Q 0, M +! A "Q +! A "Q On remplace Q 0 par Q et l on continue d'appliquer le processus de correction jusqu'à ce que la loi des mailles soit respectée avec une précision suffisante sur toutes les mailles 6

37 GCI Systèmes hydrauliques EXEMPLE Construisons le système matriciel en supposant que les coefficients de résistance R de chaque conduite sont connus. q q q 4 I II 6 q 5 5 q 5 Dans un premier temps, il faut calculer des débits initiaux satisfaisant la loi des nœuds : Q 0,1 = q 1 Q 0, = q 1 Q 0, = q! Q 0, Q 0, 4 = Q 0,1!Q 0,! q Q 0,5 = Q 0, + Q 0,! q Q 0,6 = Q 0, 4! q 4 7

38 GCI Systèmes hydrauliques On utilise le système 1 pour construire la matrice et le membre de droite : ) # n R Q n"1 n"1&, + % 1 0,1 + R Q 0, ( n"1. + "nr % n"1 ( Q 0,. + $ +R Q 0, '. 0 /Q I + # n"1 "nr Q 0, n R Q n"1 n"1 &. 1 4 % 0, + R4 Q 0,4 /Q + (. II 5 = + % n"1 n"1(. * + $ +R 5 Q 0,5 + R6 Q 0,6 '-. 0 n"1 n"1 n"1 6 "R 1 Q 0,1 Q0,1 + R Q 0, Q0, " R Q 0, Q0, 6 " 1 4 n"1 n"1 n"1 n"1 6 R Q 0, Q0, " R 4 Q 0,4 Q0,4 + R 5 Q 0,5 Q0,5 " R 6 Q 0,6 Q0,6 56 On applique les corrections en tenant compte des signes : Q 1 = Q 0,1! "Q I Q = Q 0, + "Q I Q = Q 0,! "Q I + "Q II Q 4 = Q 0, 4! "Q II Q 5 = Q 0,5 + "Q II Q 6 = Q 0,6! "Q II On remplace les Q 0,i par les Q i et on recommence jusqu à ce que le membre de droite s approche de zéro 8

39 GCI Systèmes hydrauliques Aspects théoriques des méthodes de résolution Dans la méthode de correction par mailles, on désire que pour chaque maille, la somme algébrique des pertes de charges s annule : "! M h M M = i, j,k K On doit donc écrire M équations de ce type, avec M, le nombre de mailles du réseau. Comme on connaît les C débits initiaux Q 0 satisfaisant la loi des nœuds et la relation qui lie le débit à la perte de charge, on peut écrire les M équations précédentes sous la forme suivante : #! M R M ( Q 0, M +! M "Q M ) n M = i, j,k K Ce qui signifie que l on doit déterminer les corrections!q M, pour chaque conduite qui doivent être appliquées aux débits initiaux Q 0 de telle sorte que l ensemble de ces expressions s annule. Pour réussir à résoudre ce problème nous devons développer chaque équation en série de Taylor en considérant qu elles sont fonctions de plusieurs variables indépendantes, c est-à-dire les corrections de débit à appliquer à chaque conduite :! M R M ( Q 0, M +! M "Q M ) n n $ n # = #! M R M Q 0, M + #! M "Q M! $Q M R M Q 0,M 0,M M = i, j,k K ( ) n = M = i, j, kk M =i, j,k K n n$1 #! M R M Q 0, M +! M "Q M #! M R M Q 0, M + #! M "Q M! M R M nq 0, M M = i, j,k K M = i, j, kk M =i, j,k K ( ) ( ) Sachant que! M =1, on obtient finalement pour chaque maille : $ M = i, j,k K nr M Q n!1 n ( 0, M "Q M ) =! $ # M R M Q 0,M M = i, j,k K 9