III. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE ET PLANS CARTÉSIENS

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "III. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE ET PLANS CARTÉSIENS"

Transcription

1 III. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE ET PLANS CARTÉSIENS 1. L axiome des parallèles Définition 1.1. Un plan euclidien est un plan de Hilbert E dans lequel l axiome (E) est vérifié, ainsi que l axiome des parallèles, ou axiome de Playfair (mathématicien écossais qui fut le premier probablement à énoncer l axiome des parallèles de cette façon vers 18) : (P) Pour tout point P et toute droite d il existe au plus une droite passant par P et parallèle à d. Cet axiome garantit en particulier que les angles alterne-interne" sont congruents. En effet si α est un angle en P et Q un point sur l une des demi-droites définissant cet angle, il suffit de reporter l angle α en Q : Q c b a P α Supposons par l absurde que cette droite c coupe a en R (l unicité de la parallèle passant par Q est garantie par l axiome de Playfair et impliquera que les angles sont alterne-interne). On reporte alors le segment [QR] sur a de sorte à obtenir un triangle P QS congruent. On conclut alors que S se trouve aussi sur c car ce triangle possède des angles supplémentaires. Mais alors les droites a et c ont deux point en commun, donc égales. Absurde! Corollaire 1.2. Dans un plan euclidien, la seule droite parallèle à d et passant par un point P d, est la perpendiculaire à la perpendiculaire à d par P. 1

2 2 III. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE ET PLANS CARTÉSIENS Cet arsenal d axiomes nous permet de comprendre les plus belles constructions d Euclide. Sans devoir mesurer ni les longueurs des segments, ni les valeurs des angles, ni l aire des surfaces, nous sommes à même de construire un triangle isocèle dont l angle au sommet est la moitié des angles de base (dans R 2 on dirait que l angle au sommet vaut π/5). (Un triangle d or) A partir de ce triangle, on peut construire le pentagone. On peut en fait montrer tous les résultats des quatre premiers livres d Euclide dans un plan euclidien arbitraire. Inspiré par l exemple du plan cartésien R 2, nous développons une géométrie d incidence K 2 à partir d un corps K arbitraire. Pour certains corps K, le plan K 2 peut être muni d une structure de plan de Hilbert ou même de plan euclidien. 2. Plans cartésiens Nous voulons maintenant retourner momentanément dans notre modèle favori, R 2. Nous allons montrer qu il forme un modèle de la géométrie euclidienne, c est-à-dire qu il forme un plan de Hilbert où (E) et (P) sont valides. Plus généralement, nous allons développer une géométrie dans des plans cartésiens sur d autres corps que R. Notre objet est de regarder si l on peut munir certains de ces plans d une structure de plan de Hilbert ou même de plan euclidien. Définition 2.1. Soit K un corps. Le plan cartésien Π = K 2 est l espace vectoriel K 2 dont les droites sont les ensembles qui satisfont une équation affine ax + by + c =, a avec. b Toute droite peut être écrite soit de la forme x = c, auquel cas on dit qu elle est verticale et que sa pente est infinie, soit de la forme y = mx + h, auquel cas on dit que la pente de la droite vaut m. Exemple 2.2. Le cas des corps finis. Soit p un nombre premier. On étudie le plan cartésien Π = (F p ) 2. C est une géométrie d incidence qui satisfait (P), comme c est le cas pour n importe quel plan cartésien K 2. Mais les droites étant constituées d un nombre fini de points, ce n est pas une géométrie d ordre. Remarquons aussi que le cas de caractéristique 2 est plus étrange que les autres puisqu il existe quatre points A, B, C, D (tous) dans (F 2 ) 2 tels que AB CD, AC BD et AD BC!

3 III. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE ET PLANS CARTÉSIENS 3 3. Corps ordonnés Pour que le plan cartésien K 2 puisse vérifier les axiomes d ordre il faut que ce corps soit ordonné. Cela signifie qu il doit être muni d un sous-ensemble P d éléments dits positifs tels que (1) Si x, y P, alors x + y, xy P. (2) On a K = P {} P. On écrit a > b lorsque a b P. Ces corps doivent forcément être de caractéristique zéro et ils contiennent toujours Q (Exercice 2 série 3). Dans un corps ordonné K, nous pouvons définir la notion de produit scalaire. Définition 3.1. Un produit scalaire sur K 2 est une application, : K 2 K 2 K telle que pour tout u, v, w K 2, λ K, u, v = v, u (symétrie) ; λ u + v, w = λ u, w + v, w (bilinéarité) ; u, u et u, u = si et seulement si u = (définie positive). On remarque qu une droite d équation ax+by c = est l ensemble d v,c = {u K 2, v, u = c} a b where v =. On dit que v est un vecteur normal à la droite, et est un b a vecteur directeur. Proposition 3.2. Soit K un corps ordonné. L ensemble K 2 muni des droites définies ci-dessus forme une géométrie d incidence. Démonstration. Soit v K 2 non nul et c K. Montrons que la droite d v,c contient au c a + b a 2 +b 2 moins deux points. Remarquons qu elle contient c b a a 2 +b 2 et que si Y d v,c, alors Y +λ ( b, a) est aussi un point de la droite d v,c, par bilinéarité du produit scalaire. Une droite contient donc au moins autant d éléments que le corps!

4 4 III. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE ET PLANS CARTÉSIENS x 1 Soit X = et Y = y 1 deux points distincts de K 2, et supposons qu il x 2 y 2 existe v = v 1 v 2 K 2 non nul et c K tels que X, Y d v,c. En particulier, v, X Y = c c =. Puisque X Y x 1 y 1 ou bien x 2 y 2. Sans perte de généralité supposons que x 1 y 1. On obtient que v 1 = v 2(x 2 y 2 ) x 1 y 1, et donc c = v 2(x 2 y 2 ) x 1 y 1 x 1 + v 2 x 2. On remarque que nous pouvons choisir v 2 = 1, pour obtenir une droite qui contient X et Y. Remarquons aussi que n importe quel autre choix de v 2 non nul nous donne la même droite, d où l unicité. 1 Pour terminer, les points, et ne sont pas alignés. En effet, si une 1 droite d v,c contenait ces trois points, alors l appartenance du premier point impliquerait que c =, tandis que l appartenance des deux autres points donnerait successivement v 1 = et v 2 =, une contradiction. Nous avons vu dans la preuve que si la droite d v,c = {u K 2, v, u = c} v 2 contient Y, alors elle contient aussi Y + λ pour tout λ K. En fait, tous les points de la droite sont de cette forme. En effet, si X d v,c, alors v, X Y =. Nous pouvons renverser le calcul que nous avons fait précédement, pour voir que si v 1, alors x 1 y 1 = v 2(x 2 y 2 ) v 1 et donc X Y = (x 2 y 2 ) v 1 même lorsque c est seulement v 2 qui est non nul. v 1 ( v 2, v 1 ). On peut procéder de Définition 3.3. Soient X, Y, Z des points alignés distincts. Alors on définit l ordre par X Y Z si et seulement si X Y, Z Y <. On remarque que ceci est vrai si et seulement si il existe λ < avec (Z Y ) = λ(x Y ). Proposition 3.4. Soit K un corps ordonné. Alors le plan cartésien Π = K 2 est une géométrie d ordre.

5 III. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE ET PLANS CARTÉSIENS 5 Démonstration. L axiome (O1) est vérifié par définition et symétrie du produit scalaire. Pour l axiome (O2), si X, Y sont distincts, alors X Y (2Y X), puisque le produit scalaire est défini positif. L axiome (O3) sera vérifié en exercice (Série 3). Pour l axiome de Pasche (O4), soit A, B, C trois points non alignés, et supposons qu une droite d v,c ne contient pas les trois points A, B, C et coupe le segment [A, B]. Cette situation est bien trop générale pour se traiter facilement. Nous allons utiliser des actions pour nous simplifier la vie. Soit GL 2 (K) le groupe des matrices 2 2 inversibles et à coefficients dans K. Le groupe agit naturellement par multiplication matricielle. (Les éléments de K 2 sont vus comme des vecteurs colonne). On remarque que l action préserve les droites. En effet, si A GL 2 (K), alors v, Ax = (v) t Ax = (A t v) t x = A t v, x. Ceci montre que x d v,c si et seulement si Ax d A t v,c, c est-à-dire si A d v,c = d A t v,c. De même, l action préserve l ordre des points alignés, par linéarité. v 1 v 2 Soit M la matrice inversible M =. On remarque que M t = 1 v 1 v 2 v1 v 2 v 2 +v2 2 1 v 2 v 1 et que w := M t 1 v =. Le fait que l action preserve l ordre des points alignés implique que le triangle A, B, C et la droite d v,c vérifient l axiome de Pasche si et seulement si le triangle M A, M B, M C et la droite M d v,c = d w,c vérifient l axiome de Pasche. Nous nous sommes ramenés à un cas plus simple, puisque maintenant la droite d w,c qui entre dans le triangle est horizontale! Nous pouvons encore utiliser une translation de vecteur pour nous ramener c au cas ou d est la droite des abscisses, et une autre translation pour que le point d intersection entre d et le segment [A, B] soit le point. Ceci implique en particulier que B = λ A pour un unique λ <. Supposons que b 2 c 2. Alors, la droite (BC) = {B + λ(c B) : λ K} coupe l axe des abscisse au point X = B + b 2 b 2 c 2 (C B). Ceci implique en particulier que

6 6 III. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE ET PLANS CARTÉSIENS B X, C X = ( b2 (C B), 1 b ) 2 (C B) b 2 c 2 b 2 c 2 = b 2 c 2 B A, B A b 2 c 2 b 2 c 2 qui est du signe de b 2 c 2. Puisque b 2 = c 2 implique que la droite (BC) n intersecte pas l axe des abscisses, on a montré formellement que le segment [B, C] intersecte la droite d si et seulement si b 2 et c 2 ont des signes opposés. Or a 2 et b 2 ont des signes opposés. Donc l axiome de Pasche est vérifié, car c 2 a un signe différent de a 2 ou b 2 mais pas les deux. Pour le reste des axiomes, nous allons utiliser le théorème que nous avons vu la semaine passée et que vous utiliserez et démontrerez dans le travail dirigé, qui utilise des actions de groupes. Nous allons avoir besoin d un groupe qui agit sur K 2 d une excellente façon. Nous introduisons d abord le groupe Définition 3.5 (Matrice orthogonales). Une matrice A GL 2 (K) est dite orthogonale si A t A = I 2 = AA t, autrement dit si son inverse est égale à sa transposée. Proposition 3.6. L ensemble des matrices orthogonales 2 2 à coefficients dans K, que l on note O 2 (K) est un sous-groupe de GL 2 (K). Démonstration. En effet, si A, B O 2 (K), alors (AB) t AB = B t A t AB = B t B = I 2. De même pour l autre composition. Aussi, (A 1 ) t A 1 = (A t ) t A t = AA t = I 2. La composition et l inverse de matrices orthogonales est donc orthogonale. Remarquons aussi que Ax, Ay = x, A t Ay = x, y. En fait, les matrices orthogonales sont celles qui préservent le produit scalaire. Définition 3.7. On définit Isom(K 2 ) = {f Bij(K 2 ) : A O 2 (K), b K 2 tel que x K 2, f(x) = Ax + b}. Proposition 3.8. Isom(K 2 ) est un sous groupe des bijections de K 2. Démonstration. En effet, si f(x) = Ax + b et g(x) = A x + b, alors fg(x) = (AA )x + (Ab + b).

7 De plus, f 1 (x) = A 1 x A 1 b. III. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE ET PLANS CARTÉSIENS 7 Nous avons donc construit notre action de groupe. Nous devons maintenant voir sous quelles conditions les axiomes (G1), (G2) et (G3) sont vérifiés. Définition 3.9. Le corps K est dit pythagoricien si pour tout a K, l équation a une solution dans K. x 2 (1 + a 2 ) = Proposition 3.1. Les axiomes (G1), (G2) et (G3) sont vérifiés si et seulement si le corps K est pythagoricien. Démonstration. Supposons d abord que (G1) est vérifié, et montrons qu alors le corps doit être pythagoricien. Soient a K Considerons les demi-droites d origine et de vecteurs directeur Alors, par (G1) il existe une matrice m 11 M = m 12 O 2 (K 2 ) m 21 m 22 1 et et b K 2 tels quel application f : K 2 K 2 définie par x Mx + b est telle que 1 f() = et f = λ 1 pour un λ >. La première condition implique que a m 11 b = et la seconde implique que le vecteur m = est tel que m = λ 1. m 12 a Or puisque M est orthogonale, m, m = 1 et donc λ 2 + λ 2 a 2 = 1. Autrement dit, 1 λ est une solution à l équation x 2 (1 + a 2 ) =. Par ailleurs, si K est pythagoricien, et v K 2 non nul, alors il existe toujours une 1 matrice orthogonale M v telle que M v = λv pour un λ >, autrement dit tel que M v [, (1, )) = [, v). En effet, on peut supposer v 1, (le cas v 1 = est très facile), construire w = 1 et résoudre l équation x 2 (1 + v2 2 ) = pour obtenir un x tel que si u = 1w, v v x v 1 u, u = 1. 1 a.

8 8 III. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE ET PLANS CARTÉSIENS En effet, on a alors 1 (1 + v2 x 2 1 ) = 1. v2 2 u 1 On remarque ensuite que la matrice M v = u 2 est une matrice orthogonale u 2 u 1 qui fait l affaire, et notons R v Isom(K 2 ) la fonction R v (x) = M v (x) pour tout x K 2. Soit [X, A) et [Y, B) deux demi-droites quelconques. Il existe v, w K 2 deux vecteurs non nuls qui sont des vecteurs directeurs de ces demi-droites. Soit t b Isom(K 2 ) : K 2 K 2 la "translation" de vecteur b, autrement dit, t b (x) = x + b pour tout x K 2. On remarque que φ = t Y R w (R v ) 1 t X est un élément de Isom(K 2 ) tel que en particulier φ X = Y, mais aussi φ([x, A)) = φ([y, B)). 1 De plus, si S est l application donnée par x alors φ = t Y R w S(R v ) 1 t X 1 est aussi une application qui envoie [X, A) sur [Y, B), mais avec les demis-plans inversés. L action de l axiome (G1) est donc transitive. Nous devons vérifier que les stabilisateurs sont triviaux. Pour cela, puisque l action est transitive, il suffit de consider le stabilisateur de la demi-droite {(x, ); x }, bordé du demi-plan contenant (, 1). Soit M O 2 (K 2 ) et b K 2 tels que l application φ(x) = Mx+b stabilise la demi-droite bordé du demi-plan. 1 Alors b =, et la première colonne de M doit être. Par conséquent, puisque M est orthogonale, la deuxième colonne peut-être ou bien. Mais puisque le 1 1 demi-plan est aussi fixé, φ(, 1) doit avoir une seconde coordonnée positive. Ceci montre que seule la deuxième option est possible pour la deuxième colonne de M, et donc que M est l identité. Pour l axiome (G2), et étant donné X Y deux points de K 2, alors l application φ = t + X+Y RX Y 1 SR X Y t 2 X+Y est la symétrie d axe la médiatrice du segment [XY ]. 2 (Vérifiez!). Avec une construction de symétrie similaire, on vérifie (G3). Corollaire Les plans K 2 est un plan de Hilbert qui vérifie (P ) si K est pythagoricien.

9 III. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE ET PLANS CARTÉSIENS 9 Remarque Il existe un sous-corps pythagoricien de R qui est strictement contenu dans R : il s agit des nombres constructibles à la règle et au compas! Ce sous-corps contient toutes les racines carrées d entiers naturels, mais pas toutes les racines cubiques, les nombres transcendants comme π ou e Plans cartésiens euclidiens Pour terminer nous nous intéressons à l axiome (E) d intersection des cercles. Nous allons voir que cette propriété est liée à l existence de racines carrées dans K. Définition 4.1. Un corps ordonné K est euclidien si tout nombre positif a K admet une racine carrée. Théorème 4.2. Soit K un corps ordonné euclidien. Alors le plan cartésien Π = K 2 est un plan de Hilbert qui vérifie (E) et (P), c est un plan euclidien. Démonstration. Si K est euclidien, alors K est en particulier pythagoricien. Donc par le théorème précédent, il suffit de vérifier (E). Considérons deux cercles dans Π, donnés sous forme cartésienne par les équations (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 et (x c) 2 + (y d) 2 = s 2 Remarquons que les éléments r et s sont des éléments du corps K puisque les rayons au carré" ont une racine! Supposons que r s et effectuons une translation pour emmener le centre du premier cercle à l origine, si bien que son équation est à présent x 2 +y 2 = r 2. Appelons C = c a et D = d b. Par hypothèse le second cercle n est pas entièrement à l extérieur du premier si bien que C 2 + D 2 r + s, mais pas non plus entièrement à l intérieur, et dans ce cas C 2 + D 2 r s. Développons ces équations et soustrayons l une à l autre pour éliminer les carrées des inconnues : 2Cx + 2Dy = r 2 s 2 + C 2 + D 2 x = r2 s 2 + C 2 + D 2 2Dy 2C où nous avons exprimé x en fonction de y. Comme x 2 + y 2 = r 2, nous en déduisons que (1 + D2 C 2 )y2 D(r2 s 2 + C 2 + D 2 ) C 2 y + (r2 s 2 + C 2 + D 2 ) 2 4C 2 r 2 = (C 2 + D 2 )y 2 D(r 2 s 2 + C 2 + D 2 )y + (r2 s 2 + C 2 + D 2 ) 2 C 2 r 2 = 4

10 1 III. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE ET PLANS CARTÉSIENS La formule de résolution d une équation du second degré donne une solution dans un corps euclidien si et seulement si le discriminant est positif. Il reste donc à calculer : = D 2 (r 2 s 2 + C 2 + D 2 ) 2 (C 2 + D 2 )[(r 2 s 2 + C 2 + D 2 ) 2 4C 2 r 2 ] = 4C 2 r 2 (C 2 + D 2 ) C 2 (r 2 s 2 + C 2 + D 2 ) 2 Ce nombre est positif si et seulement si 4r 2 (C 2 + D 2 ) (r 2 s 2 + C 2 + D 2 ) 2 ou encore 2r C 2 + D 2 r 2 s 2 + C 2 + D 2. Or [r 2 2r C 2 + D 2 + C 2 + D 2 ] s 2 = ( C 2 + D 2 r) 2 s 2 = ( C 2 + D 2 (r + s))( C 2 + D 2 (r s)) ce qui conclut la démonstration. Ouf. Exemple 4.3. Le corps des nombres réels R est euclidien, si bien que le plan réel R 2 est un plan euclidien. Pour terminer ce chapitre de géométrie axiomatique, faisons une petite excursion en théorie des corps et regardons ce que nous avons appris en raisonnant en termes d axiomes plutôt qu en termes de modèle standard (le plan cartésien réel). On dit qu un corps ordonné est archimédien si pour tout a >, il existe un entier n avec n > a. Tout corps ordonné archimédien est un sous-corps de R. On peut aussi construire un corps ordonné pythagoricien contenant R(t) de la façon suivante : les éléments du corps sont des séries de Laurent formelles i n a i t i, où n Z. Il existe aussi un corps euclidien et non archimédien contenant le corps des fractions rationnelles réelles R(t). Les plan cartésiens sur de tel corps sont des plans de Hilbert, et même un plan euclidien dans le deuxième cas, mais sa géométrie est très différente de notre idée préconçue de la géométrie euclidienne puisqu il existe des segments tellement longs" qu on ne les dépasse jamais en additionnant des segments de longueur 1! L analogie de cette géométrie que propose Hartshorne est de s imaginer que nous vivons dans un monde non archimédien, mais que bien sûr ce que nous voyons et ce que nous pouvons atteindre se trouve à une distance finie et nous n avons aucun moyen de savoir s il y a quelque chose qui se trouve plus loin que n kilomètres pour tout n!

I. GÉOMÉTRIE AXIOMATIQUE

I. GÉOMÉTRIE AXIOMATIQUE I. GÉOMÉTRIE AXIOMATIQUE Traditionnellement, le cours de géométrie de première année à l EPFL (et dans beaucoup d universités) touche à des sujets de géométrie classique au premier semestre et la géométrie

Plus en détail

V. TRANSFORMATIONS AFFINES ET ISOMÉTRIES

V. TRANSFORMATIONS AFFINES ET ISOMÉTRIES V. TRANSFORMATIONS AFFINES ET ISOMÉTRIES En géométrie du plan cartésien réel R 2, on a étudié des transformations. Notamment les translations, les rotations, les symétries axiales et les homothéties. Ce

Plus en détail

DENOMBRABILITE. P. Pansu 14 mai 2005

DENOMBRABILITE. P. Pansu 14 mai 2005 DENOMBRABILITE P. Pansu 14 mai 2005 1 Motivation Il y a t il plus de réels dans ]1, + [ ou dans l intervalle ]0, 1[? Oui, bien sûr. Des droites passant par l origine dans le plan, il y en a-t-il autant

Plus en détail

() Compléments de géométrie 1 / 33

() Compléments de géométrie 1 / 33 Compléments de géométrie () Compléments de géométrie 1 / 33 1 Compléments de géométrie dans le plan complexe 2 Calcul barycentrique 3 Transformations du plan complexe () Compléments de géométrie 2 / 33

Plus en détail

Sommaire. Qu est-ce qu un vecteur du plan? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d un vecteur Produit d un vecteur par un nombre réel

Sommaire. Qu est-ce qu un vecteur du plan? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d un vecteur Produit d un vecteur par un nombre réel Sommaire 1 Vecteurs Qu est-ce qu un vecteur du plan? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d un vecteur Produit d un vecteur par un nombre réel 2 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 3 Base du

Plus en détail

Géométrie de l espace

Géométrie de l espace [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 septembre 06 Enoncés Géométrie de l espace Notions communes Exercice [ 087 ] [Correction] À quelle(s) condition(s) simple(s) l intersection de trois plans de l

Plus en détail

1 Calcul vectoriel. 2 Vecteurs colinéaires. 1.1 coordonnées d un vecteur dans un repère. 1.2 Caractérisation du milieu d un segment

1 Calcul vectoriel. 2 Vecteurs colinéaires. 1.1 coordonnées d un vecteur dans un repère. 1.2 Caractérisation du milieu d un segment Chapitre : Géométrie plane 1 Calcul vectoriel 1.1 coordonnées d un vecteur dans un repère Définition 1. Soit #» u un vecteur du plan. Pour tout point O du plan, il existe un unique point M tel que OM #»

Plus en détail

2. Donner des équations paramétriques et cartésiennes des droites passant par A et dirigées par v avec :

2. Donner des équations paramétriques et cartésiennes des droites passant par A et dirigées par v avec : Exo7 Droites du plan ; droites et plans de l espace Fiche corrigée par Arnaud Bodin 1 Droites dans le plan Exercice 1 Soit P un plan muni d un repère R(O, i, j), les points et les vecteurs sont exprimés

Plus en détail

GEOMETRIE ANALYTIQUE EQUATIONS DE DROITES

GEOMETRIE ANALYTIQUE EQUATIONS DE DROITES GEOMETRIE ANALYTIQUE EQUATIONS DE DROITES Géométrie analytique C est Descartes (1596-1650) qui a développé l idée de représenter les figures géométriques dans un repère, les points du plan étant définis

Plus en détail

Chapitre 5. Lois de composition internes - Relations

Chapitre 5. Lois de composition internes - Relations Chapitre 5 Lois de composition internes - Relations 1. Lois de composition internes 1.1. Définition et exemples Définition 5.1 Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application

Plus en détail

Géométrie Chapitre 1 : Vecteurs et droites du plan

Géométrie Chapitre 1 : Vecteurs et droites du plan Géométrie Chapitre 1 : Vecteurs et droites du plan I- Rappels et compléments sur les vecteurs 1) Vecteurs égaux La translation qui transforme en est appelée la translation de vecteur. Le point s appelle

Plus en détail

Renforcer ses compétences en mathématiques Devoir n 1

Renforcer ses compétences en mathématiques Devoir n 1 Renforcer ses compétences en mathématiques Devoir n 1 I. Conseils pour mieux réussir Le devoir 1 porte sur les notions des chapitres I, II, III, IV et V. EXERCICE 1 Voir la division euclidienne. Il peut

Plus en détail

Seconde. Eric Leduc 2014/2015

Seconde. Eric Leduc 2014/2015 Seconde Lycée Jacquard 2014/2015 Rappel du plan 1 2 3 Équation courbe Définition n o 1: courbe Une équation de courbe est une relation qui lie les coordonnées de tous les points de la courbe. Autrement

Plus en détail

CHAPITRE IV : GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE ET DROITES

CHAPITRE IV : GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE ET DROITES CHAPITRE IV : GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE ET DROITES Configurations du plan Le théorème de Pythagore s applique à un triangle rectangle ; le théorème de Thalès, à une figure qui comprend des droites parallèles

Plus en détail

a 11 a 1n A = (a ij ) = ... a m1 a mn

a 11 a 1n A = (a ij ) = ... a m1 a mn Chapitre 4 Les matrices 4 Notions de bases Définition Une matrice est un tableau rectangulaire contenant des nombres : a a n A a ij a m a mn Les matrices peuvent représenter toutes sortes d informations

Plus en détail

Cours : SIMILITUDES PLANES.

Cours : SIMILITUDES PLANES. A la fin de ce chapitre vous devez être capable de : définir une similitude plane à partir de la conservation des rapports des distances. en déduire la définition du rapport de similitude. faire le lien

Plus en détail

LEÇON N 22 : Équation cartésienne d une droite du plan. Problèmes d intersection, parallélisme. Condition pour que trois droites soient concourantes.

LEÇON N 22 : Équation cartésienne d une droite du plan. Problèmes d intersection, parallélisme. Condition pour que trois droites soient concourantes. LEÇON N 22 : Équation cartésienne d une droite du plan. Problèmes d intersection, parallélisme. Condition pour que trois droites soient concourantes. Pré-requis : Déterminants ; Définition vectorielle

Plus en détail

Chapitre 1 : Équations de la droite dans le plan

Chapitre 1 : Équations de la droite dans le plan EQUATIONS DE LA DROITE DANS LE PLAN 1 Chapitre 1 : Équations de la droite dans le plan 1.1 Introduction Exercice d introduction : On considère l équation vectorielle: x = 3 3 + k. y 2 2 Représenter, dans

Plus en détail

LEÇON N 36 : Produit vectoriel, produit mixte.

LEÇON N 36 : Produit vectoriel, produit mixte. LEÇON N 36 :. Pré-requis : Généralités sur les espaces euclidiens affines et vectoriels de dimension inférieure ou égale à trois ; Orientation de l espace (base orthonormée directe, indirecte) : règle

Plus en détail

Géométrie euclidienne élémentaire. Euclide : axiomatisation de la géométrie

Géométrie euclidienne élémentaire. Euclide : axiomatisation de la géométrie Une approche déductive rigoureuse de la géométrie euclidienne élémentaire Jean-Pierre Demailly Institut Fourier, Université de Grenoble I, France 15 mars 2010 / Séminaire IREM - Repères / Luminy Euclide

Plus en détail

Un corrigé du dossier 55

Un corrigé du dossier 55 Un corrigé du dossier 55 Daniel PERRIN Introduction Je donne exceptionnellement un corrigé du dossier 1 55 sur le thème fonctions de référence : f + λ, λf, etc. La raison de cette exception est que la

Plus en détail

Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 1 sur 17

Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 1 sur 17 Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page sur 7 Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page sur 7 I) Produit scalaire Dans tout ce paragraphe, on travaillera dans un repère orthonormé

Plus en détail

Chapitre 3. Matrices. Définition 1.1. Un tableau rectangulaire de la forme ci-dessous est appelé matrice : a 11 a a. 1q a 21 a 22...

Chapitre 3. Matrices. Définition 1.1. Un tableau rectangulaire de la forme ci-dessous est appelé matrice : a 11 a a. 1q a 21 a 22... Chapitre 3 Matrices 1 Définitions et généralités Définition 11 Un tableau rectangulaire de la forme ci-dessous est appelé matrice : a 11 a 12 a 1q a 21 a 22 a 2q A a p1 a p2 a ps Les coefficients a ij,

Plus en détail

Chapitre 5. Généralités sur les fonctions numériques. 5.1 Généralités

Chapitre 5. Généralités sur les fonctions numériques. 5.1 Généralités Chapitre 5 Généralités sur les fonctions numériques 5.1 Généralités Définition 5.1 Une fonction numérique permet d associer à chaque nombre x d un ensemble D un autre nombre que l on note f(x). On note

Plus en détail

Méthodes directes de résolution du système linéaire Ax = b

Méthodes directes de résolution du système linéaire Ax = b Chapitre 3 Méthodes directes de résolution du système linéaire Ax = b 3.1 Introduction Dans ce chapitre, on étudie quelques méthodes directes permettant de résoudre le système Ax = b (3.1) où A M n (R),

Plus en détail

QU EST-CE QU UNE ÉQUATION?

QU EST-CE QU UNE ÉQUATION? QU EST-CE QU UNE ÉQUATION? GILLES LACHAUD paru dans Notions, Encyclopædia Universalis, 2004 Une équation est une égalité entre deux expressions mathématiques. C est donc une formule, une relation de la

Plus en détail

On appelle H la projection orthogonale de A sur la droite (BC).

On appelle H la projection orthogonale de A sur la droite (BC). Première S 2010-2011 Exercices sur le produit scalaire, équations de droite et de cercles Exercice 1 : Distance d'un point à une droite. On se donne une droite ( ) dont l'équation cartésienne est de la

Plus en détail

Pour démarrer la classe de seconde. Paul Milan

Pour démarrer la classe de seconde. Paul Milan Pour démarrer la classe de seconde Tout ce qu il faut savoir Paul Milan DERNIÈRE IMPRESSION LE 1 juin 014 à 1:7 Table des matières 1 Calcul 1 Calcul sur les fractions................................ Calcul

Plus en détail

Géométrie analytique dans l espace

Géométrie analytique dans l espace Généralités Points coplanaires Quatre points de l espace sont dits coplanaires s ils appartiennent à un même plan (rappel : 3 points d un plan sont dits alignés s ils appartiennent à une même droite) Vecteurs

Plus en détail

Matrice et vocabulaire associé

Matrice et vocabulaire associé I Matrice et vocabulaire associé I1 Définitions Définition 1 Deux entiers naturels m et n étant donnés non nuls, on appelle matrice de format m, n tout tableau rectangulaire ayant m n éléments, disposés

Plus en détail

Le Béaba des Espaces Normés et Algèbres de Banach

Le Béaba des Espaces Normés et Algèbres de Banach Le Béaba des Espaces Normés et Algèbres de Banach Alain Prouté Université Denis Diderot-Paris 7 Dernière révision de ce texte : 21 novembre 2012 Ce texte a été écrit pour le niveau Licence 2. Table des

Plus en détail

Matrices symétriques réelles. Exercice 2 Le produit de deux matrices symétriques réelles est-il symétrique? R n = ker (u) Im (u)

Matrices symétriques réelles. Exercice 2 Le produit de deux matrices symétriques réelles est-il symétrique? R n = ker (u) Im (u) Matrices symétriques réelles 1 Préliminaires On se place dans (R n, ) euclidien, le produit scalaire canonique étant défini par : (x, y) R n R n, x y = t x y = x k y k On note : M n (R) l algèbres des

Plus en détail

LEÇON N 32 : Relations métriques dans le triangle rectangle. Trigonométrie. Applications.

LEÇON N 32 : Relations métriques dans le triangle rectangle. Trigonométrie. Applications. LEÇON N 3 : Relations métriques dans le triangle rectangle. Trigonométrie. pplications. Pré-requis : Géométrie plane, angle géométrique, mesures algébriques ; Transformations du plan (construction d images,

Plus en détail

Feuille d exercices 6 : Familles libres, génératrices. Applications linéaires.

Feuille d exercices 6 : Familles libres, génératrices. Applications linéaires. Université Denis Diderot Paris 7 (4-5) TD Maths, Agro wwwprobajussieufr/ merle Mathieu Merle : merle@mathuniv-paris-diderotfr Feuille d exercices 6 : Familles libres, génératrices Applications linéaires

Plus en détail

RELATION BINAIRE [ [ ( ) Est bien définie et que c est une bijection. Allez à : Correction exercice 3 :

RELATION BINAIRE [ [ ( ) Est bien définie et que c est une bijection. Allez à : Correction exercice 3 : RELATION BINAIRE Exercice 1 : Soit { } et la relation binaire sur dont le graphe est { } 1. Vérifier que la relation est une relation d équivalence. 2. Faire la liste des classes d équivalences distinctes

Plus en détail

Espaces de Banach. 1 Normes sur un espace vectoriel. 2 Topologie des espaces vectoriels normés. 2.1 Rappels

Espaces de Banach. 1 Normes sur un espace vectoriel. 2 Topologie des espaces vectoriels normés. 2.1 Rappels 1 Normes sur un espace vectoriel Espaces de Banach Définition 1.1. (Norme) Soit V un R-espace vectoriel (abrégé R-ev dans la suite). Une norme est une application définie sur V à valeurs dans R +, notée

Plus en détail

Distance entre deux points du plan Géométrie plane Exercices corrigés

Distance entre deux points du plan Géométrie plane Exercices corrigés Distance entre deux points du plan Géométrie plane Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : lire les coordonnées d un point dans un

Plus en détail

III. Géométrie du plan

III. Géométrie du plan 1 Repérage dans le plan 11 Repérage cartésien Définition 1 On appelle base du plan un couple ( i, avec i et deux vecteurs non colinéaires du plan Tout vecteur u du plan s exprime de manière unique comme

Plus en détail

Opérations élémentaires et déterminants

Opérations élémentaires et déterminants 10 Opérations élémentaires et déterminants On note toujours K le corps de réels ou des complexes On se donne un entier n 1 et M n (K désigne l espace vectoriel des matrices carrées d ordre n à coefficients

Plus en détail

Plan (1/2) Support au cours. Plan (2/2) Vecteurs de R N et opérations Produit scalaire de deux vecteurs de R N Norme d un vecteur

Plan (1/2) Support au cours. Plan (2/2) Vecteurs de R N et opérations Produit scalaire de deux vecteurs de R N Norme d un vecteur Plan (1/2) Mathématique Élémentaire Introduction à l algèbre linéaire Support au cours S. Bridoux Université de Mons-Hainaut 1 L espace R N Vecteurs de R N et opérations Produit scalaire de deux vecteurs

Plus en détail

LEÇON N 35 : Produit vectoriel dans l espace euclidien orienté de dimension trois. Point de vue géométrique, point de vue analytique. Applications.

LEÇON N 35 : Produit vectoriel dans l espace euclidien orienté de dimension trois. Point de vue géométrique, point de vue analytique. Applications. LEÇON N 35 : Produit vectoriel dans l espace euclidien orienté de dimension trois. Point de vue géométrique, point de vue analytique. pplications. Pré-requis : Généralités sur les espaces euclidiens affines

Plus en détail

Géométrie, L2 Mathématiques. Rachid Regbaoui

Géométrie, L2 Mathématiques. Rachid Regbaoui Géométrie, L2 Mathématiques Rachid Regbaoui 2 hapitre 1 Géométrie affine plane 1.1 Plan affine L ensemble R 2 sera muni de sa structure naturelle d espace vectoriel réel, i.e pour tout (x 1, x 2 ), (y

Plus en détail

NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S

NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S Exercice 1 R D Q C Soit un carré ABCD. On construit un rectangle AP QR tel que : P et R sont sur les côtés [AB] et [AD] du carré ; AP = DR. Le problème a pour objet de montrer que les droites (CQ) et (P

Plus en détail

Nombres complexes Ecriture algébrique d un complexe Exercices corrigés

Nombres complexes Ecriture algébrique d un complexe Exercices corrigés Nombres complexes Ecriture algébrique d un complexe Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : calculs dans l ensemble des nombres complexes (addition, soustraction, multiplication,

Plus en détail

Géométrie dans l'espace

Géométrie dans l'espace Géométrie dans l'espace 1. Rappels de géométrie dans l'espace 1.1. Positions relatives de droites et plans 1.1.1. Position relative de deux plans Définition : On dit que deux plans sont strictement parallèles

Plus en détail

PROBLÈME 1 : Une équation matricielle PRÉLIMINAIRES PARTIE I

PROBLÈME 1 : Une équation matricielle PRÉLIMINAIRES PARTIE I TD - Chapitres 19 et 0 - ALGÈBRE LINÉAIRE PROBLÈME 1 : Une équation matricielle Extrait sujet «Petites Mines» 010 Le but de ce problème est d étudier différentes matrices qui commutent avec leur transposée,

Plus en détail

Calcul matriciel Matrices Cours

Calcul matriciel Matrices Cours Calcul matriciel Matrices Cours CHAPITRE 1 : Généralités sur les matrices 1) Notion de matrice 2) Matrices particulières CHAPITRE 2 : Egalité de deux matrices CHAPITRE 3 : Opérations sur les matrices 1)

Plus en détail

L2 parcours spécial Groupes Automne Corrigé du devoir. Première partie : isométries préservant un tétraèdre régulier

L2 parcours spécial Groupes Automne Corrigé du devoir. Première partie : isométries préservant un tétraèdre régulier L2 parcours spécial Groupes Automne 2016 Corrigé du devoir Quelques rappels : Soit G SO 3 (R) un sous-groupe fini d ordre n. On appelle pôles de g G \ {id} les deux points obtenus comme intersection de

Plus en détail

Nombres complexes. 1 Le corps commutatif (C, +, )

Nombres complexes. 1 Le corps commutatif (C, +, ) Nombres complexes La construction du corps des réels a permis de gagner, par rapport au corps des rationnels, des propriétés topologiques importantes : complétude, théorème de la borne supérieure... À

Plus en détail

4.1 Définitions et notations 1 CHAPITRE 4. Matrices Définitions et notations

4.1 Définitions et notations 1 CHAPITRE 4. Matrices Définitions et notations 4 Définitions et notations CHAPITRE 4 Matrices 4 Définitions et notations On désigne par K un des deux ensembles R ou C et par n et p deux entiers strictement positifs 4 Matrices Définition On appelle

Plus en détail

Géométrie plane. 1. Points, segments, droites, demi-droites

Géométrie plane. 1. Points, segments, droites, demi-droites Géométrie plane 1 Points, segments, droites, demi-droites Définition L espace de travail de la géométrie plane est le plan, noté Π Il peut être visualisé comme une feuille d'épaisseur nulle qui s'étend

Plus en détail

Autour de l ellipse de Steiner

Autour de l ellipse de Steiner utour de l ellipse de Steiner Leçons 180, 181, 18 Salim Rostam 1 juillet 014 1 Existence et unicité de l ellipse de Steiner Le but de cette section est de démontrer le théorème suivant. Théorème. Tout

Plus en détail

1 Produit scalaire hermitien

1 Produit scalaire hermitien Espaces préhilbertiens complexes. Espaces hermitiens. PSI Paul Valéry Dans tout ce chapître on travaille avec des espaces vectoriels complexes. z représente le module du complexe z et z son conjugué z.

Plus en détail

Les vecteurs du plan

Les vecteurs du plan Les vecteurs du plan Colinéarité Lycée du golfe de Saint Tropez Année 2015/2016 Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 1 / 13 1 Vecteurs colinéaires Définition et première

Plus en détail

Méthode. Montrer qu une famille est libre. Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

Méthode. Montrer qu une famille est libre. Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE 1 Familles de vecteurs 1.1 Opérations sur une famille engendrant un sous-espace vectoriel Lemme 1.1 Soient E un K-espace vectoriel, A et B deux parties de E. Alors

Plus en détail

S - EQUATIONS DE DEGRE 3 ET 4 ; RACINES D UN POLYNOME MESURANT LES COTES D UN TRIANGLE

S - EQUATIONS DE DEGRE 3 ET 4 ; RACINES D UN POLYNOME MESURANT LES COTES D UN TRIANGLE S - EQUATIONS DE DEGRE 3 ET 4 ; RACINES D UN POLYNOME MESURANT LES COTES D UN TRIANGLE Equations de degré 3 Soit P X) = X 3 + bx 2 + cx + d un polynôme de degré 3 à coefficients réels. On peut écrire P

Plus en détail

Olympiades Françaises de Mathématiques Envoi Numéro 3 Corrigé

Olympiades Françaises de Mathématiques Envoi Numéro 3 Corrigé Olympiades Françaises de Mathématiques 2012-2013 Envoi Numéro 3 Corrigé 1 Exercices Juniors Exercice 1. On appelle diviseur propre d un entier n un diviseur positif de n qui est différent de 1 et de n.

Plus en détail

Exercices supplémentaires Géométrie plane

Exercices supplémentaires Géométrie plane Exercices supplémentaires Géométrie plane Partie A : Coordonnées de vecteurs, colinéarité Exercice 1 Dans un repère, on considère 6; 1, ; 1, 15; 4 et ; 2. 1) Les points, et sont-ils alignés? Justifier.

Plus en détail

Principe de l extremum

Principe de l extremum DOMAINE : Combinatoire AUTEUR : Noé DE RANCOURT NIVEAU : Débutants STAGE : Montpellier 2012 CONTENU : Cours et exercices Principe de l extremum - 1. Principe du minimum. - Axiome 1 (Principe du minimum).

Plus en détail

Lycée Denis-de-Rougemont Neuchâtel et Fleurier. Exercices de révision Mathématiques de niveau 1 GÉOMÉTRIE

Lycée Denis-de-Rougemont Neuchâtel et Fleurier. Exercices de révision Mathématiques de niveau 1 GÉOMÉTRIE Lycée Denis-de-Rougemont Neuchâtel et Fleurier Exercices de révision Mathématiques de niveau 1 GÉOMÉTRIE 2002 Exercice 1 On donne une sphère s par son équation (x 1) 2 + (y + 1) 2 + z 2 = 9 et les points

Plus en détail

Algèbre - Juillet 2015

Algèbre - Juillet 2015 Algèbre - Juillet 2015 Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre m R, le polynôme x 4 + mx 3 + m 2 x 2 + m 3 x + 1 a) est-il divisible par (x + 1) 2? b) est-il une fonction paire? Pour quelle(s) valeur(s)

Plus en détail

0.2.3 Polynômes Monômes Opérations entre monômes... 4

0.2.3 Polynômes Monômes Opérations entre monômes... 4 Table des matières 0 Rappels sur les polynômes et fractions algébriques 1 0.1 Puissances............................................... 1 0.1.1 Puissance d un nombre réel.................................

Plus en détail

Terminale S Géométrie dans l espace

Terminale S Géométrie dans l espace Terminale S Géométrie dans l espace 1 Positions relatives de droites et de plans 1.1 Positions relatives de deux droites Deux droites de l espace sont : soit..................... elles sont alors soit...............

Plus en détail

Sylvain ETIENNE 2003/2004 PLC 1 Exposé 27

Sylvain ETIENNE 2003/2004 PLC 1 Exposé 27 HOMOTHETIES ET TRANSLATIONS ; TRANSFORMATION VECTORIELLE ASSOCIEE. INVARIANTS ELEMENTAIRES : EFFET SUR LES DIRECTIONS, L ALIGNEMENT, LES DISTANCES APPLICATIONS A L ACTION SUR LES CONFIGURATIONS USUELLES.

Plus en détail

Équations cartésiennes de plans et de droites

Équations cartésiennes de plans et de droites Chapitre 4 Équations cartésiennes de plans et de droites Sommaire 4.1 Équation cartésienne d un plan........................................... 25 4.1.1 Équation cartésienne d un plan........................................

Plus en détail

Devoir de Mathématiques numéro 4

Devoir de Mathématiques numéro 4 Lcée La Prat s Pour le jeudi 7 janvier 06 Classe de PT Devoir de Mathématiques numéro 4 Correction Eercice Le domaine de définition est R. Il n a pas de smétries. Donc Le domaine d étude est R Variations

Plus en détail

Chapitre II : Fonctions polynômes du second degré

Chapitre II : Fonctions polynômes du second degré Chapitre II : Fonctions polynômes du second degré Extrait du programme : I. Forme canonique d un polynôme du second degré Définition : Dire qu une fonction f définie sur est une fonction polynôme de degré

Plus en détail

MATHÉMATIQUES II. 2 2 à coefficients réels dont l élément nul est noté 0, et S 2 formé des matrices symétriques.

MATHÉMATIQUES II. 2 2 à coefficients réels dont l élément nul est noté 0, et S 2 formé des matrices symétriques. MATHÉMATIQUES II Dans tout le problème, M désigne le IR -espace vectoriel des matrices carrées à coefficients réels dont l élément nul est noté 0, et S le sous-espace vectoriel de M formé des matrices

Plus en détail

Matrices. 1 Matrices rectangulaires. 1.2 L espace vectoriel M n,p (R)

Matrices. 1 Matrices rectangulaires. 1.2 L espace vectoriel M n,p (R) Matrices Matrices rectangulaires Soient n, p deux nombres entiers non-nuls On appelle matrice à n lignes et p colonnes un tableau rectangulaire de nombres réels comportant n lignes et p colonnes } }{{}

Plus en détail

FONCTIONS NUMÉRIQUES DE PLUSIEURS VARIABLES

FONCTIONS NUMÉRIQUES DE PLUSIEURS VARIABLES 29-3- 2011 J.F.C. Fnpv p. 1 TD 25 2010-2011 FONCTIONS NUMÉRIQUES DE PLUSIEURS VARIABLES Lundi 28 mars 2010 Exercice 1 ECRICOME 99 n est un élément de N. (x, y) R 2, f n (x, y) = (x n y) e x y. On se propose

Plus en détail

Université de Tours Année Licence L1 de Mathématiques, Informatique et Sciences de la Matière - S1 CHAPITRE 2

Université de Tours Année Licence L1 de Mathématiques, Informatique et Sciences de la Matière - S1 CHAPITRE 2 Université de Tours Année 2015-2016 Licence L1 de Mathématiques, Informatique et Sciences de la Matière - S1 CHAPITRE 2 NOMBRES COMPLEXES ET ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES (12 h) 1 Nombres complexes 1.1 Introduction

Plus en détail

Constructions à la règle courte et au compas à ouverture limitée

Constructions à la règle courte et au compas à ouverture limitée Constructions à la règle courte et au compas à ouverture limitée Xavier Caruso Janvier 2008 La théorie des constructions à la règle et au compas suppose toujours implicitement que l on dispose d instruments

Plus en détail

Nombres complexes. Lycée du parc. Année

Nombres complexes. Lycée du parc. Année Nombres complexes Lycée du parc Année 2014-2015 Introduction historique Au début du XVI ème siècle en Italie, Scipione del Ferro, découvre une formule permettant de résoudre les équations du type x 3 +

Plus en détail

Chapitre 3: Espaces topologiques

Chapitre 3: Espaces topologiques Chapitre 3: Espaces topologiques I. Définition et exemples. Dans le chapitre précédent, nous avons défini les ouverts puis nous avons également caractérisé les points adhérents, les points intérieurs,

Plus en détail

La règle et le compas. 1 Motivation historique. 1.1 La trissection des angles. 1.2 La duplication du cube. Éléments de géométrie

La règle et le compas. 1 Motivation historique. 1.1 La trissection des angles. 1.2 La duplication du cube. Éléments de géométrie Éléments de géométrie rnaud odin, avril 2012 La règle et le compas 1 Motivation historique 1.1 La trissection des angles Considérons un angle α, c est-à-dire la donnée d un point et de deux demi-droite

Plus en détail

LEÇON N 31 : Théorème de l angle inscrit. Cocyclicité. Applications.

LEÇON N 31 : Théorème de l angle inscrit. Cocyclicité. Applications. LEÇON N 3 : Théorème de l angle inscrit. Cocyclicité. pplications. Pré-requis : ngles orientés de vecteurs, mesure principale, notation «modulo» ; Relation de Chasles ; π = mesure de l angle plat (indépendant

Plus en détail

Axiome du choix et conséquences. Tout espace vectoriel admet une base.

Axiome du choix et conséquences. Tout espace vectoriel admet une base. Axiome du choix et conséquences. Tout espace vectoriel admet une base. 1 Axiome du choix Definition 1.1. Etant donnée une famille (A i ) i I de parties d un ensemble E (c est à dire une application de

Plus en détail

Construction géométrique : les outils dont on dispose

Construction géométrique : les outils dont on dispose Construction géométrique : les outils dont on dispose I. La règle La règle a deux utilisations principales : Mesurer une distance Tracer des droites II. L équerre L équerre à deux utilisations principales

Plus en détail

Chapitre 3 : Équation du cercle dans le plan

Chapitre 3 : Équation du cercle dans le plan EQUATION DU CERCLE DANS LE PLAN 25 Chapitre 3 : Équation du cercle dans le plan 3.1 Les deux formes d équations de cercle y La forme centre et rayon Soit Γ un cercle de centre C(α ; β) et de rayon R. P(x

Plus en détail

6.2 INVERSE D UNE MATRICE. Cours 18

6.2 INVERSE D UNE MATRICE. Cours 18 6.2 INVERSE D UNE MATRICE Cours 18 Au dernier cours, nous avons vu La définition d une matrice. Les définitions de matrices particulières. La somme de matrices. La multiplication d une matrice par un scalaire.

Plus en détail

Cours d arithmétique. Khaoula Ben Abdeljelil

Cours d arithmétique. Khaoula Ben Abdeljelil Cours d arithmétique Khaoula Ben Abdeljelil 2 Table des matières Table des matières............................... i 1 LES ENTIERS NATURELS 1 1.1 Les opérations élémentaires sur N.................... 1

Plus en détail

Repère et coordonnées

Repère et coordonnées 2nde. ours - Géométrie plane repérée Les planisphères et les cartes géographiques maritimes sont construits dans un repère comprenant l axe vertical des latitudes et l axe horizontal des longitudes. La

Plus en détail

Chapitre 9. Les polynômes. Définitions et structures. I.1 Définitions. K sera le corps R ou C.

Chapitre 9. Les polynômes. Définitions et structures. I.1 Définitions. K sera le corps R ou C. Chapitre 9 Les polynômes Motivation : Les polynomes sont les seules fonctions dont on sache calculer les images des rationnels. K sera le corps R ou C. I Définitions et structures I.1 Définitions Définition

Plus en détail

démonstrations exigibles au baccalauréat

démonstrations exigibles au baccalauréat démonstrations exigibles au baccalauréat fonction exponentielle (1/2) propriété : Il existe une unique fonction dérivable sur telle que ' = et (0) = 1 1 L'existence de la fonction est admise conformément

Plus en détail

Exercices choisis d algèbre linéaire et de géométrie vectorielle

Exercices choisis d algèbre linéaire et de géométrie vectorielle Exercices choisis d algèbre linéaire et de géométrie vectorielle Exercice On considère l espace vectorielr 2 a Montrer que toute famille de quatre vecteurs dansr 2 est liée. b Est-ce vrai aussi de toute

Plus en détail

Corrigé Feuille 4. et sa matrice dans la base canonique, qui est orthonormée pour le produit scalaire canonique, est. P (x)q(x)dx,

Corrigé Feuille 4. et sa matrice dans la base canonique, qui est orthonormée pour le produit scalaire canonique, est. P (x)q(x)dx, Université Paris Panthéon-Sorbonne L MASS 0/03 Algèbre Corrigé Feuille 4 Exercice. a On remarque que dim F car F R 3 en effet,,, F. D autre part, soient e = 3,,, e =, 0,. On vérifie que {e, e } est une

Plus en détail

Calcul matriciel 1. Calcul matriciel

Calcul matriciel 1. Calcul matriciel Calcul matriciel 1 le 29 Novembre 2008 UTBM MT11 Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr Calcul matriciel Introduction. A un système linéaire de p équations à n inconnues on associe un tableau avec

Plus en détail

Exo7. Espaces vectoriels. 1 Définition, sous-espaces. 2 Systèmes de vecteurs

Exo7. Espaces vectoriels. 1 Définition, sous-espaces. 2 Systèmes de vecteurs Exo7 Espaces vectoriels 1 Définition, sous-espaces Exercice 1 Déterminer lesquels des ensembles E 1, E 2, E 3 et E 4 sont des sous-espaces vectoriels de R 3. Calculer leurs dimensions. E 1 = {(x,y,z) R

Plus en détail

Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites

Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R, x 0 R, f est une fonction définie sur son domaine de définition D f à valeurs réelles. C f désigne

Plus en détail

ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE PLANE

ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE PLANE ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE PLANE I. DROITE ET SEGMENT 1. Généralités Il existe une droite et une seule passant par deux points A et B distincts donnés, on la note (AB). On peut dire que la droite passe par

Plus en détail

CH V : Généralités sur les suites réelles

CH V : Généralités sur les suites réelles CH V : Généralités sur les suites réelles I. Notion de suite I.1. Définition générale Définition Une suite de nombre réels u est une application de N dans R i.e. une fonction de N dans R telle que tout

Plus en détail

Représentation de Jordan

Représentation de Jordan Représentation de Jordan Soit M une matrice carrée réelle de dimension n. On suppose dans ce projet que le polynôme caractéristique de M a n racines réelles. Certaines racines sont multiples. 1 Nombre

Plus en détail

PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES

PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES UNIVERSITÉ DE CERGY U.F.R. Economie et Gestion Licence d Économie et Gestion L1 - S1 PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES EXAMEN PREMIÈRE SESSION - Janvier 01 - heures Les exercices sont indépendants et peuvent

Plus en détail

Exercices Corrigés Matrices 1 2 A = 2 1

Exercices Corrigés Matrices 1 2 A = 2 1 Exercices Corrigés Matrices Exercice Considérons les matrices à coefficients réels : A =, B = 4 C =, D = 0, E = Si elles ont un sens, calculer les matrices AB, BA, CD, DC, AE, CE Exercice extrait partiel

Plus en détail

Cahier de texte de Mathématiques (M.Bueno) SEMAINE 01 : du 6/9/10 au 12/9/10

Cahier de texte de Mathématiques (M.Bueno) SEMAINE 01 : du 6/9/10 au 12/9/10 SEMAINE 01 : du 6/9/10 au 12/9/10 CHAPITRE 1 : REPERAGE DANS LE PLAN I ] Repère 1 ) Définition d un repère Application dans un rectangle 2 ) Coordonnées d un point du plan Reprise du rectangle Cours :

Plus en détail

NOM : SECOND DEGRE 1ère S

NOM : SECOND DEGRE 1ère S Exercice 1 Dans un triangle ABC rectangle en A, on place les points D et E respectivement sur [AC] et [AB] tels que AD = BE = x. Déterminer x pour que l aire du triangle ADE soit égale à la moitié de celle

Plus en détail

LE PROBLÈME DE SIN PAN Aziz El Kacimi

LE PROBLÈME DE SIN PAN Aziz El Kacimi LE PROBLÈME DE SIN PAN Aziz El Kacimi La légende raconte que Sin Pan, géomètre chinois d antan, voulait fonder une académie de géométrie. Il a demandé à l empereur de l époque de lui céder un terrain pour

Plus en détail

Notations et préliminaires

Notations et préliminaires Notations et préliminaires Tous les corps figurant dans le problème sont supposés commutatifs. N désigne l ensemble des nombres entiers naturels N désigne l ensemble des nombres entiers naturels non nuls

Plus en détail

Chapitre 5. Applications

Chapitre 5. Applications Chapitre 5 Applications 1. Définitions et exemples Définition 5.1 Soient E et F deux ensembles. Une application f de E dans F est un procédé qui permet d associer à chaque élément x de E un unique élément

Plus en détail

Calcul littéral, équations, inéquations

Calcul littéral, équations, inéquations Calcul littéral, équations, inéquations 1) Calcul littéral a. Égalités des expressions littérales Des expressions sont littérales quand elles sont écrites avec des lettres. Elles sont égales quand elles

Plus en détail