DM n 3 : Matériaux semi-conducteurs et diffusion thermique dans un fil électrique
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- Marie-Claire Martel
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1 DM n 3 DM n 3 : Matériaux semi-conducteurs et diffusion thermique dans un fil électrique A rendre pour le Jeudi 20 Octobre L énoncé comporte deux exercices indépendants : Exercice : Conduction dans les semi-conducteurs, Approche documentaire. Remarque : la version en ligne du DM présente les graphes et schémas en couleur. Les réponses à cet exercice font partie intégrante du programme de PS. Exercice : Diffusion thermique dans un fil électrique, d après e3a PS 2012 (parties V). 1 PS, lycée de l Essouriau, 2016/2017
2 Phénomènes de Transport - Approche Documentaire : Conduction dans les semi-conducteurs Approche documentaire : Conduction dans les semi-conducteurs 1 Bandes d énergie et porteurs libres dans un semi-conducteur Dans un atome isolé, les énergies des électrons ne peuvent prendre que des valeurs discrètes ; on parle de niveaux d énergie. Associés dans un solide cristallin, les atomes voient leur niveaux d énergie se décaler et se superposer en bandes d énergie, continuum de valeurs possibles pour l énergie d un électron. De manière simplifiée (Fig. 1), apparaissent une bande de valence occupée par des électrons peu énergétiques intervenant dans les liaisons covalentes du cristal, et une bande de conduction occupée par des électrons plus énergétiques délocalisés dans tout le matériau. Comme dans un métal, ces électrons dits libres peuvent être animés d un mouvement d ensemble lorsqu un champ électrique est appliqué (conduction électrique). E bande de conduction E bande de conduction E bande de conduction E g E g bande de valence bande de valence bande de valence Métal Semiconducteur solant Figure 1 Schématisation du diagramme de bandes d un métal, d un semi-conducteur et d un isolant. Dans le cas d un métal, la bande de conduction chevauche la bande de valence et est facilement accessible et occupée par les électrons (Fig. 1). Dans le cas d un isolant ou d un semi-conducteur, apparait une bande interdite, ensemble de valeurs d énergie inaccessibles aux électrons. La largeur de cette bande interdite est appelée énergie de gap. L énergie de gap des isolants est grande ( 5 10 ev) rendant la bande de conduction quasiment inaccessible et inoccupée aux températures raisonnables. Dans le cas des semi-conducteurs, l énergie de gap modérée ( 1 ev et variable d un matériau à l autre) rend plus probable le transfert d électrons de la bande de valence vers la bande de conduction par un apport énergétique (d origine thermique, optique, électrique) raisonnable. La rupture d une liaison covalente entraine donc la création d un électron libre mais aussi celle d un trou, associé au défaut d électron dans la liaison ; on parle dès lors de paires électrons-trous (Fig. 2). Les trous se comportent comme des particules de charge +e participant, comme les électrons libres, à la conduction électrique (voir Section 4). e- libre e- de valence trou noyau et e- de coeur Figure 2 Création d une paire électron-trou. 1
3 Phénomènes de Transport - Approche Documentaire : Conduction dans les semi-conducteurs 2 Densité de porteurs dans un semi-conducteur intrinsèque La statistique de Fermi-Dirac permet d estimer les densités n d électrons de conduction et p de trous à température T donnée. Pour un semi-conducteur pur (intrinsèque), on définit n i la concentration intrinsèque en porteurs comme : ( n = p = n i = AT 3/2 exp E ) g kt où A est une constante propre au matériau, E g l énergie de gap et k la constante de Boltzmann. L augmentation de n i avec T traduit le fait que plus la température est élevée plus un électron a de chance de posséder une énergie suffisante pour appartenir à la bande de conduction. Ainsi pour le silicium à 300 K, on a n i 1, cm 3 à comparer avec la densité électronique d un bon conducteur métallique (n cm 3 ). 3 Dopage d un semi-conducteur Le dopage consiste à introduire des atomes donneurs ou accepteurs d électrons dans un substrat de semiconducteur intrinsèque afin d en modifier les propriétés conductrices. Ces atomes viennent s insérer dans le réseau cristallin par substitution. Comme les dopants sont introduits en quantité faible (devant le nombre d atomes du substrat initial), on parlera d impuretés. On réalise ainsi un semi-conducteur extrinsèque dopé N par ajout de donneurs, comme le phosphore P dans le silicium ; l ionisation des impuretés introduit ainsi un excès d électrons libres. De manière analogue, les semiconducteurs dopés P sont obtenus par introduction d accepteurs d électrons. Par exemple, l atome de Bore possédant trois électrons de valence et une lacune est susceptible de capturer un électron intervenant dans une liaison covalente -, créant ainsi un trou libre dans la bande de valence du matériau (Fig. 3). trou e- libre P + B - Figure 3 Création d un porteur libre par ionisation d une impureté. Le dopage permet ainsi de contrôler le type de porteurs majoritaires et d augmenter considérablement la densité de charges libres (et donc la conductivité du matériau) en choisissant une concentration en donneurs N D ou en accepteurs N A grande devant n i. Aux températures usuelles, les impuretés sont très majoritairement ionisées et on a n N D ou p N A. La conductivité est dès lors contrôlée par la concentration de dopant. Notons enfin que la loi d action des masses impose dans le semi-conducteur, quel que soit le dopage : n p = n 2 i 2
4 Phénomènes de Transport - Approche Documentaire : Conduction dans les semi-conducteurs 4 Conduction dans un semi-conducteur Comme signalé plus haut, dans un semi-conducteur la conduction est assurée par les électrons libres et les trous. Le déplacement des trous se fait dans le sens opposé à celui des électrons (Fig. 4). e- libre saut d'un e- de valence vers un trou mouvement d'ensemble d'echamp électrique E déplacement apparent du trou mouvement d'ensemble de trous Figure 4 Schématisation du déplacement des trous et des électrons libres lorsqu un champ électrique est appliqué. Mobilité des porteurs de charge Dans le cadre du modèle de Drude, on assimile les porteurs en interaction avec le cristal à des particules classique de masse effective m subissant des séries de vols libres entrecoupées de collisions. La vitesse d ensemble v est alors liée au champ électrique E par l équation classique : m dv dt = qe m v τ où τ est la durée moyenne entre deux collisions. On peut dès lors introduire la mobilité du porteur en régime stationnaire définie comme le rapport entre norme de la vitesse et intensité du champ µ = v / E et s exprimant : µ = q τ m La mobilité est majoritairement affectée par deux types de collisions que subissent les porteurs de charge : les interactions de type coulombienne avec les impuretés ionisées ; celles-ci sont prédominantes à basse température ; la probabilité de collision diminue quand la vitesse quadratique des porteurs et donc la température augmentent ; les interactions avec le réseau cristallin ; elles sont d autant plus probables que les porteurs sont énergétiques ; l influence de cette interaction croit donc avec la température. La masse effective et donc la mobilité des trous et électrons varient également fortement d un matériau à l autre : par exemple, la mobilité électronique à 300 K et à faible dopage est d environ 1400 cm 2.V 1.s 1 dans le silicium et de cm 2.V 1.s 1 dans l arséniure d indium nas, alliage plus "moderne". Conductivité La densité de courant peut s écrire en régime stationnaire, en additionnant les contributions des électrons et des trous (auxquels les indices n et p de l expression suivante font référence) : On en déduit la conductivité du semi-conducteur : j = j n + j p = env n + epv p = (enµ n + epµ p )E σ = e(nµ n + pµ p ) 3
5 Phénomènes de Transport - Approche Documentaire : Conduction dans les semi-conducteurs 5 Quelques figures concernant le silicium NB : Les courbes des figures ci-dessous ne correspondent pas à des relevés expérimentaux mais sont la représentation graphique d expressions phénoménologiques ou semi-empiriques relatives au transport dans le silicium. (a) (b) Figure 5 Mobilité des électrons (a) et des trous (b) en fonction de la densité de dopants et pour différentes températures [1, 2]. Figure 6 Résistivité du silicium dopé en fonction de la concentration en impuretés [3]. 4
6 Phénomènes de Transport - Approche Documentaire : Conduction dans les semi-conducteurs 6. 1 Ca ier Orift t r-"1:', 500 T(K) J( , : 10,. 10'" " ' ' '\ '" '.',, lj c: Figure Eleclron concenlration and conductivity versus Figure 7 Densité d électrons io\'crse libres remperalure et conductivité for.o;ilicon. du silicium dopé N (N D = cm 3 ) en fonction de la température [4]. fafter Sr.'" 12}. ) varies 10 7 with temperature in this range. At higher temperatures. the intrinsic carrier concentration increases and begins to dominate the electron concentration as well as the conductivity. n the lower temperature range, freeze-oui begins to occur; the electron concentration and conductivity decrease with decreasing temperarure. v (cm/s) 10 6 Objective To dc<cnrune the doping concentration and major,ty carrier mubility give n the type and cuodll(;tivity of a compensated senliconductor. électrons 10 Considcr 5 compensated n-type silicon at T = 300 K. with a trous cond\clivity of (f ;;:: 16 (Sl-cm)- and al1 tlcceptor doping conc.:entratioll of <!m-:'> _ Determine the donor COllcemration and tbe electron mobility Soutlon E (V/cm) For n-t)'pe silicon at 'r = 300 K, we <!3n assume complete ionization: thereforc the conductivity. a'isuming Nil - N"» ";. is given by We have tbal [1] S. S. Li and W. R. Thurber Solid State Electronics, vol. 20, no. 7, p. 609, [2] J. M. Dorkelnce andmobility P. Leturcq is a function Solid State of th e. Electronics, ionized impurity vol. concentratioll, 24, no. 9, p. 821, we cal use Figure 5.3 along with trial and error to detennine 1"1\ and N J. ';o( example, if we choose Nd = 2 x Oli. (hen [3] S. M. Sze, Physics of Semiconductor Devices. Wiley Eastern Limited, F.XAMPLE Figure 8 Vitesse d ensemble des porteurs de charge en fonction de l intensité du champ électrique dans le silicium intrinsèque [5, 6]. Références [4] D. A. Neamen, Semiconductor Physics And Devices, Basic Principles. McGraw-Hill Education, [5] S. M. Sze, Semiconductor Devices. John Wiley and Sons, [6] M. S. Tyagi, ntroduction to Semiconductors Materials and Devices. John Wiley and Sons,
7 DM n 3 Figure 1: Resistivité du cuivre en fonction de la température Questions On rappelle que la résistivité est définie comme l inverse de la conductivité. 1. Décrire les différents types de porteurs de charge dans un semi-conducteur (nom, charge). 2. Justifier de l intérêt du dopage en estimant et comparant les conductivités à 300 K des matériaux suivants : licium intrinsèque (idéal, impossible à obtenir en pratique) licum présentant une concentration résiduelle en bore N A = cm 3 licium dopé N avec N D = cm 3 licium dopé P avec N A = cm 3 3. Justifier qualitativement l évolution de la densité de porteurs n et de la conductivité σ avec la température (Fig.7). Comparer avec le comportement d un métal comme le cuivre (Figure ci-dessus). On sera amené à distinguer les cas : T<150 K, 150 K<T<500 K, et T>500 K. 7 PS, lycée de l Essouriau, 2016/2017
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