ENTIERS NATURELS. I)Historique

Transcription

1 ENTIERS NATURELS I)Historique Entre et : apparition des 1 er os entaillés de la préhistoire : apparition des «calculi» au Moyent-Orient. Petits cailloux permettant de vérifier que le soir on avait autant de mouton que l on en avait sorti le matin : Naissance de l écriture, Première numérotation écrite à Sumer dans le golf persique : Traces de la numérotation hiéroglyphique égyptienne de type additif : chaque symbole possède une valeur propre : Apparition des plus anciens systèmes de numération positionnelle. de position : La valeur du nombre écrit dépend à la fois du chiffres utilisés et de la position. XIVème siècle AV-JC : apparition des chiffres chinois IIIème siècle AV-JC : système de numération grecque ni additif ni positionnel Apparition du 1 er zéro de l histoire dans la numérotation positionnelle babylonienne. Il n est cependant pas considéré comme un nombre Système de numérotation romaine IV et V siècle de position de base 10 en Inde Neuf chiffres complétés par un signe en forme de petit cercle ou de point représentant le zéro. C est la naissance de notre numérotation actuelle Rem : Les Maures lors de leurs invasions en Andalousie transmettront le zéro à l occident XI siècle : Introduction du zéro en occident XII au XVème siècle : Les chiffres arabes se stabilisent graphiquement en Europe occidentale pour donner naissance à la forme actuelle II)Ecriture des entiers naturels : 1. Système de numération égyptiens : a. Présentation : Ce système de numération est apparu environ ans avant JC. C est un système additif : chaque symbole a une valeur propre et il suffit d ajouter les valeurs des symboles pour obtenir le nombre. 1/5

2 égyptienne usuelle En égyptien combien faut-il de symboles pour écrire le nombre 2 368? 4050? Donner une généralisation : b. Les opérations Addition : Elle ne pose pas de problème particulier ; lorsque l on arrive à 10 signes identiques ; ceux-ci étaient remplacés par un signe qui lui est immédiatement supérieur. Exercice : Faire les additions suivantes en système de numération égyptienne Multiplication par 10 : il suffit de remplacer chaque symbole par le symbole qui le suit immédiatement. De même diviser par 10, il suffit de remplacer chaque symbole par le symbole qui le précède immédiatement : Multiplication : Prenons un exemple : Dans le système égyptien on obtient : Les Egyptiens procédaient par duplication du multiplicateur car on sait facilement prendre le double d un nombre en l ajoutant à lui-même Or 16 est supérieur à 12. Nous allons essayer d écrire 12 comme une somme des chiffres de la colonne de droite : 12 = Donc le résultat de la multiplication sera la somme des nombres de la colonne de gauche correspondant à 8 et à 4. Donc = = 288 Cette méthode est justifiée par les règles de distributivité : = 24 (8 + 4) = = = 288 2/5

3 Questions : Faire les calculs suivants : ; Division : Prenons un exemple : Les Egyptiens procédaient par duplication du diviseur car on sait facilement prendre le double d un nombre en l ajoutant à lui-même Or 1440 est supérieur au dividende Donc 817 = = = Le quotient est donc égal à 18 et le reste à 7 (division euclidienne de 817 par 45) Question : faire les calculs suivants : ; Système babylonien a. Principe de la base 60 Pour les nombres compris entre 1 et 59 c est une écriture additive qui n utilise que deux symboles : un clou pour l unité et un chevron pour la dizaine. Pour les nombres supérieurs à 59, l écriture se fait par paquets séparés par un espace. Le premier paquet compte les unités, le second paquet compte le nombre de soixantaines, le troisième le nombre de soixantaines au carré,.pour chaque paquet le nombre, est compris entre 1 et 59. babylonienne usuelle Exercice 1. Compléter : babylonienne usuelle 3/5

4 Exercice 2. Écrire dans le système babylonien : 191, Remarques. 1. La valeur d un symbole dépend de sa place dans l écriture du nombre, on dit que la numération babylonienne est une numération de position (comme notre notation usuelle). 2. Cette numération, basée sur le regroupement par paquets de 60 a survécu indirectement jusqu à nos jours dans la mesure du temps (secondes, minutes, heures) et dans celle des angles en degrés (minutes, secondes). 3. Dans cette numérotation 61s écrit et 3601 s écrit. L absence de symbole pour un paquet manquant pouvait entraîner des erreurs de lecture. Au 3 ième siècle av. J-C, ce problème a été résolu par l introduction d un nouveau symbole : pour indiquer les paquets manquants. Ce symbole peut être considéré comme le plus vieux zéro de l histoire. La base 60 est encore utilisée de nos jours dans le décompte du temps en heures, minutes et secondes et dans la mesure des angles exprimée en degré. b. Origine du zéro Après la découverte de la base de numération et du principe de position, il manquait encore quelque chose : comment indiquer l absence, des dizaines dans le nombre 304? Le zéro ne fait partie d aucun système de numération avant le Ve siècle. La plus ancienne trace écrite que nous connaissons se trouve dans un manuscrit indien datant de 458. Au VIIIe siècle, les Arabes avaient adopté le zéro indien. Les Européens ne s en servirent pas avant le XIIe siècle. En 1202, Léonard de Pise, dit Fibonacci, rédigea un traité dans lequel il déclara que le zéro était un symbole remplaçant un chiffre absent et destiné à séparer les autres chiffres. C est le chiffre qui est apparu en dernier. Celui-ci était nommé «sifr» en arabe qui signifiait vide. Il a été traduit par «cephira» en latin ; «zephiro» en italien. Il devient finalement zéro. Seulement beaucoup plus tard, il fut considéré comme un chiffre à part entière. C est au VIe siècle après JC que le zéro fut considéré comme un chiffre à part entière (le 10 ème chiffre) et non plus seulement comme marqueur d absence de dizaine ou d unités. IL sera alors défini comme résultat d un nombre entier soustrait à lui-même (par le mathématicien Brahma gupta en 628), comme par exemple : 5 5 = 0 n n = 0 n + 0 = n n 0 = 0 Les opérations de bases avec le zéro ont été définies par : n est impossible 0 Le signe du zéro a été choisi par les grecs grâce au mot grec signifiant «rien». 4/5

5 c. Système décimal de position : Utilisation de 10 chiffres du 0 au 9. C est un système positionnel. Exemple le nombre 33 : le 1 er 3 représente 3 dizaine alors que le deuxième représente 3 unité 3. Comparaison des deux systèmes Système décimal de position - Il permet d écrire tous les nombres avec seulement 10 caractères - Un nombre de 3 chiffres est plus grand qu un nombre de 2 chiffres : il y a un lien entre la longueur et la grandeur du nombre - On pose les opérations par écrit - On calcule directement avec le nom des nombres Système égyptien - Il ne permet pas d écrire les grands nombres - Comparer visuellement deux nombres est difficile : l écriture de 89 nécessite 17 caractères alors que celle de 1 001, 2 caractères. - L addition est simple mais les 3 autres opérations nécessitent beaucoup de manipulation 5/5