TRAVAUX PRATIQUES - M. D. P. 2 - Modulation de Phase à deux états

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1 INSIU NAIONAL DES ELECOMMUNICAIONS Ingénieurs ème Année CN1 C O M M U N I C A I O N S N U M É R I Q U E S RAVAUX PRAIQUES - M. D. P. - Modulation de Phase à deux états

2 RAVAUX PRAIQUES - M. D. P. - Labo C06

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5 Consignes d organisation des P : Il y a en tout deux séances de ravaux Pratiques en CN1, une sur la modulation de phase MDP (C06) et une sur les séquences PSA (B0). Les P se font par sous-groupes de 1. Lorsqu un groupe (A par ex.) a une séance de P, il est divisé en deux sous-groupes A1 & A. Lors de la première séance (P1) le groupe A1 se rend en B0 pour faire le P PSA et le groupe A en C06 pour faire le P MDP. Par la suite, pour la deuxième séance (P), les sous-groupes permutent. Le P PSA se fait individuellement, un élève par station en B0. Le P MDP se fait en binômes en C06. Les P PSA & MDP demandent une préparation incontournable qui est notée ainsi que le travail réalisé pendant la séance. Préparation du P MDP : Il s agit de visualiser les signaux numériques sur des appareils : Oscilloscope, analyseur de spectre, multimètre Leur utilisation n est pas évidente, il est conseillé à ceux qui n auraient pas encore pratiqué ces appareils de venir le faire en C06 avant la séance de P qui est assez courte. Me contacter en C08. La préparation du P est notée et doit être remise en début de séance par le binôme (ou monôme). En cas d oubli la note est zéro. Au cours de la séance de P MDP, qui dure 3H, chaque binôme rédige un compte rendu qui doit être remis à la fin de la séance. La note finale de ce P est une moyenne sur les notes de préparation, de compte rendu et du comportement lors de la séance. Cette dernière peut différencier les élèves du binôme. Le Coordonateur R. Lamberti 1

6 SOMMAIRE 1 Rappels Le Signal Numérique Binaire Code binaire NRZ (non retour à zéro) Écriture temporelle d' un signal numérique binaire DSP du signal codé binaire NRZ Modulation par Déplacement de Phase à États Modulation cohérente Modulation par transitions ou différentielle Spectre des signaux modulés en phase Démodulation d' une onde Modulée par Déplacement de Phase Modulation-démodulation cohérente Modulation-démodulation différentielle Probabilité d' Erreur Références bibliographiques :... 4 Préparation des.p Modulation Rapport Signal sur Bruit Estimation de la probabilité d erreur Démodulation Différentielle Description du Matériel La Maquette Description de la partie émission Description de la partie réception Le synoptique Les Appareils de Mesure La Chaîne de ransmission ravaux Pratiques Modulation MDP Signal MDP- non filtré (D b 1,1Mbit/s) a) Observer à l' oscilloscope: b) Régler le débit binaire à 1.1MHz Signal MDP- filtré a) Expliquer pourquoi le signal modulant binaire : b) Vérifier qu' au débit de Nyquist (D b Démodulation Cohérente Signal MDP- bruité et filtré a) Pour une puissance de bruit donnée, Démodulation sans bruit

7 4...a) Sans bruit, b) Sans bruit, c) Observer le spectre Diagramme de l œil a) Sans bruit, au débit optimal b) Sans bruit et avec le filtre passe-bande c) Observer le diagramme de l' œil Détection & Régénération Détermination du rapport E b /N a) Calculs intermédiaires : b) Mesure de la puissance P s c) Mesure de la puissance de bruit P b d) Variation du rapport E b /N Réglage du détecteur a) Pré-réglage de l instant d échantillonnage : b) Pré-réglage du seuil : c) Réglage optimal de la chaîne de transmission : racé de la courbe Pr{Erreur} = f (E b /N 0 ) Démodulation Différentielle Chaîne de modulation démodulation a) Préciser (valeur littérale et valeur numérique) : b) Sans bruit, avec le filtre passe-bande c) Sans bruit et au débit de Nyquist, d) Sans bruit, avec le filtre passe-bande FBd 483, Détection Régénération ANNEXES Estimation de la Probabilité d Erreur Erreur systématique Le Diagramme de l Œil Introduction Canal de ransmission Critère de NYQUIS Superposition d Etats Diagramme de "l' OEil" Pratique a) La Rapidité De Modulation b) La Bande Passante & L I.E.S c) La Puissance du Bruit

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9 MODULAION par DÉPLACEMEN de PHASE à ÉAS PARIE HÉORIQUE 5

10 INRODUCION La transmission d' un signal numérique binaire sur un canal de transmission équivalent à un filtre "passe-bande" nécessite une opération de modulation d' une onde porteuse sinusoïdale. Comme pour les communications analogiques, la modulation portera sur un (ou plusieurs) des paramètres de la porteuse : l' amplitude, la fréquence ou la phase. Les trois éléments peuvent être employés mais la modulation de phase reste la plus utilisée. L' objet du présent.p. est d' étudier les propriétés de la modulation de phase la plus simple qui est la modulation par déplacement de phase à états (MDP-) ou binary phase shift eying (BPSK). 1 Rappels Un message numérique binaire est constitué par une suite de symboles binaires "0" et "1" de durée b =. A un (ou plusieurs) des symboles est associé un état électrique de durée s pour constituer le signal numérique binaire. la quantité La quantité s 1 = Db s' appelle débit numérique binaire et s' exprime en bit/s. D' autre part, b 1 = Ds = R s appelle débit numérique en ligne ou débit de symboles et s' exprime en bauds (le terme R de rapidité de modulation est également utilisé mais il est en principe réservé à la télégraphie).! "! " #%$'&'(*),+.-0/1+.3( :-0$;-<3('= $;>'@?BAC;3$'D Règle de codage : état logique état électrique 0 V 1 + V Volts Volts Dans le cas du code binaire NRZ, la durée b d' un état logique est égale à la durée s 1 d' un état électrique d' où D b = D s = en posant : b = s =. 6

11 &!" $# % '!(' ) Pour calculer la D.S.P. d' un signal numérique binaire et utiliser des notions définies en héorie du signal, le passage du message numérique binaire au signal numérique binaire transmis se fait en étapes : 1/ À partir de la suite binaire {b } qui constitue le message numérique binaire, un organe appelé généralement codeur binaire à M-aire génère l équivalent d une suite d' impulsions de Dirac dont les poids, notés a, dépendent du nombre d' états électriques utilisé par le code. Dans le cas du code binaire symétrique NRZ le nombre d' états électriques est de, et les poids des impulsions de Dirac sont +1 et 1, l' organe s' appelle codeur binaire à binaire. / La suite d' impulsions de Dirac a δ ( t ) + attaque un filtre appelé formant = de réponse impulsionnelle g(t), {cas du code binaire où s = b = }. g(t) V t Dans le cas du NRZ : g( t) = V Π ( t ). 0 s À la sortie de ce filtre, on récupère le signal numérique binaire x(t) qui s' écrit : + + ( ) = δ ( ) ( ) = ( ) x t a t g t a g t = = {b } message numérique binaire Codeur Binaire à M-aire + a δ( t ) = {a } Formant g(t) + a g( t ) = signal numérique binaire figure 1-1 : Synoptique du codeur binaire à signal BdB. 7

12 Exemple : {b } b + = {a } a δ ( t ) +1 t 1 + a g( t ) = s +V t V figure 1- : Codage Binaire à Binaire symétrique NRZI.! "$#&%('!)* En supposant les états logiques 0 et 1 indépendants (suite i.i.d) et équiprobables, la densité spectrale de puissance (DSP) ou spectre du signal numérique binaire symétrique est : 1 V sinπν G V V πν ( ν ) = = ( sincπν ) f figure 1-3 : Spectre du signal binaire symétrique NRZI. Il peut être intéressant de noter les résultats suivants : 8

13 1 G( ν ) dν = V et ( ν ) ν, G d = 0 775V Ce qui signifie que 90% de la puissance est contenue dans le lobe principal et que 1 1 l' intervalle de Nyquist, en contient 77,5%.!"# $ % & ')('+*, -/ :1;8<>=?5@BA85CEDFHG@E<IG A chacun des éléments binaires 0 et 1 on associe une certaine valeur de la phase ϕ d' une onde porteuse de fréquence ν 0 pendant le temps. Règle de codage : Symbole 0 1 Phase ϕ ϕ 0 1 Le récepteur doit pouvoir distinguer les phases ϕ 0 et ϕ 1, et ceci le mieux possible compte tenu du bruit de transmission. Il est donc naturel de choisir les phases ϕ 0 et ϕ 1, aussi éloignées que possible, ce qui conduit à : ϕ1 ϕ0 = π Remarque : Deux cas peuvent être envisagés selon que la fréquence f 0 et le rythme symbole 1 Ds = sont ou non synchronisés entre eux. 1 er cas : si f0 IN (modulation synchrone) la notion de phase à l' origine du temps bit a un sens et l' on peut écrire le signal modulé MDP- : =+ ( ) = cos( π N ) ( ) s t a t g t = 9

14 =+ ou s ( t ) = cos( N π t + φ ) g ( t ) avec φ { 0, π} = ème cas : Si f IN (cas le plus fréquent asynchrone) la notion de phase à 0 l' origine du temps bit n' a plus de sens. Aux instants de transition, la phase reste la même ou s' inverse selon la valeur du symbole binaire. La modulation MDP- s' écrit alors : =+ ( ) = cos( π 0 + ϕ0 + φ ) ( ) avec toujours φ { 0, π} s t f t g t = La figure 1-4 ci-dessous représente le message numérique binaire, le signal MDP- synchrone pour f 0 = / et le signal MDP- asynchrone pour f 0 = 1.65/. Binaire {a } s Cohérente synchrone MDP- Cohérente asynchrone figure 1-4 : Phases de la porteuse MDP-. Modulation cohérente synchrone et asynchrone. La réalisation pratique d' un modulateur cohérent à deux états de phase est simple, un schéma de principe est donné ci-dessous. M Signal N.R.Z. (symétrique) Signal M.D.P. (cohérent) Porteuse (fréquence f 0 ) figure 1-5 : Réalisation pratique d'un modulateur cohérent. M = Modulateur en anneau. Nous verrons dans la partie pratique comment est réalisé le modulateur en anneau. 10

15 Considérons maintenant les composantes en phase et en quadrature du signal MDP- : =+ =+ ( ) = cos( φ ) ( ) cos( π + ϕ ) sin( φ ) ( ) sin( π + ϕ ) s t g t f t g t f t = = jφ Soit : ( ) Re{ ( e + ϕ jω t s t = 0 g( t )) e 0 } jφ + ϕ D enveloppe complexe : α ( ) = e 0 ( ) s t g t ( Dans le cas particulier où ϕ 0 = 0, φ {, π} α ( t) = a g( t ) s 0 et g( t) = V Π ( t ) nous avons : qui est le signal binaire NRZ du paragraphe (I.1) avec a = ±1. ) Cette dernière notation a un très gros avantage : elle permet de traiter la classe complète des modulations de phase filtrées (Une modulation est filtrée à l' émission pour restreindre sa largeur spectrale et elle est filtrée à la réception pour éliminer du bruit). a g( t ) +V t a g f ( t ) s V +U t U figure 1-6 : Enveloppe complexe de la MDP- non filtrée et filtrée. On rappelle que si un filtrage passe-bande de fonction de transfert H(f) présentant une symétrie hermitienne autour de f 0 s' applique à un signal P.S.K de la forme : =+ =+ 0 0, = = ( ) = ( ) cos( π ) ( ) sin( π ) s t a g t f t b g t f t le signal filtré sera de la forme : ( ) = ( ) cos( π 0 + ϕ ) ( ) sin ( π 0 + ϕ ) s t a g t f t b g t f t f f f0 f f0 11

16 Avec ϕ f 0 = arg H ( f0) et g f ( t ) = 1 αh ( t ) g ( t ) F ( ) α ( t) Α ( f ) = H f + f h h α h (t) est l enveloppe complexes de h(t) et H + (f) la partie de H(f) pour les fréquences positives. + 0 Arg(H(f)) H(f) π f 0 0 f 0 f 0 +R/ π figure 1-7 : Module et phase d un filtre passe-bande de Nyquist autour de la porteuse f 0. Α h (f) α h (t).f. f 3 5 t R/ 0 R/ 0 4 figure 1-8 : Fonction de transfert et réponse impulsionnelle de l enveloppe complexe. Filtre de Nyquist de facteur de débordement ρ = 0.5. Une modulation est filtrée pour limiter la bande de fréquence utilisée. Elle est filtrée par un filtre de Nyquist pour éviter l interférence entre symboles. Dans ce cas une partie du filtrage est faite à l émission pour limiter la puissance (racine de Nyquist). L autre partie est faite en réception pour limiter le bruit de ligne et comprend le filtre adapté à la réception d un symbole (pour le canal BABG). 1

17 "! # # $ # Nous verrons que la démodulation d' une porteuse modulée en phase d' une manière cohérente exige la connaissance, à la réception de la phase de la porteuse d' émission, ce qui peut présenter un inconvénient. Pour s' affranchir de cette difficulté on utilise la modulation différentielle. Un signal modulé par déplacement de phase est constitué d' une succession de morceaux de porteuse de durée. En modulation cohérente, c' est la valeur de la phase entre l' instant n et l' instant (n+1) qui est significative de l' information transmise pendant le même temps. En modulation différentielle c' est le saut de la phase ϕ entre le (n 1) ième et le n ième morceau de porteuse qui traduit l' information transmise à l' instant n. On peut choisir (par exemple) la correspondance suivante : Symbole saut de Phase ϕ π La figure 1-9 suivante illustre ce procédé de modulation (Pour plus de facilité, le tracé a été fait dans le cas d une modulation synchrones (voir page 8) Binaire {a } s Cohérente synchrone MDP- Différentielle synchrone figure 1-9 : Sauts de phase en MDP- Cohérente et Différentielle. La réalisation pratique d' un modulateur par transition est plus complexe. La méthode différentielle implique un effet de mémoire qui ne peut être fabriqué directement. Celui-ci est introduit sur le signal numérique lui-même (avant modulation) par un procédé dit de transcodage qui va transformer la suite numérique { b } en une suite numérique {d } traduisant les transitions (codage par transition). 13

18 Les relations de transcodage sont les suivantes : b = 0 d = d 1 b = 1 d = d 1 Elles peuvent être réalisées simplement par le dispositif : D Q Suite {b } H Q Suite {d } En fait le transcodeur est une bascule D fonctionnant en diviseur par. Il faudra dans ces conditions commander le système avec la suite {b }, sous forme RZ 50% pour pouvoir présenter à chaque état 1 un front montant à l' entrée de H. Le diagramme suivant résume le fonctionnement. Suite {b } NRZ b Suite {b } RZ 50% Suite {d } NRZ par transitions figure 1-10 : Diagramme des temps du transcodage cohérent-transition. Suite {b } NRZ Horloge H & RZ 50% D H Q Q Suite {d } figure 1-11 : Montage réalisant le transcodage cohérent-transition. Remarque : Autre montage possible d = b d 1 14

19 Suite {b } NRZ OU exclusif 1 Retard Suite {d } binaire NRZ par transitions d = b d 1 figure 1-1 : Montage réalisant le transcodage cohérent-transition.! " # $% & Dans la détermination des spectres en modulation par déplacement de phase, on est amené à distinguer deux cas : la modulation synchrone et la modulation non synchrone. On dit que la modulation est synchrone s' il existe un rapport entier entre la fréquence de l' onde porteuse et la fréquence rythme 1/, c' est-à-dire si f0 = n, n IN. Cette distinction apparaît nécessaire dans le calcul de la densité spectrale, mais il faut noter que le cas de la modulation synchrone n' a aucun intérêt pratique dans le domaine des télécommunications, et ceci pour deux raisons : - La première est que le choix de f 0 est imposée par le canal de transmission alors que la valeur de dépend du signal à transmettre; il n' y a donc aucune raison pour qu' existe une relation entre f 0 et. - La seconde se situe au niveau proprement technique : il est impossible d' assurer aux fréquences élevées où l' on travaille une stabilité des oscillateurs telle que le produit f 0 reste absolument constant. Le calcul de la densité spectrale de puissance d' un signal modulé par déplacement de phase à M états (MDP-M) donne, en supposant les M phases indépendantes et équiprobables : ( ( π 0 ) ( π 0 )) A G( f ) = sinc ( f f ) + sin c ( f f ) 4 Le résultat est rigoureux pour M >, que la modulation soit synchrone ou non synchrone. Par contre, dans le cas de la modulation de phase à deux états, il faut introduire un terme correctif pour la modulation synchrone mais ce terme décroît très vite avec la fréquence, si la fréquence porteuse f 0 est grande devant la fréquence rythme. On retiendra les conclusions suivantes : (1) 15

20 1) La modulation par déplacement de phase est équivalente du point de vue spectral à une modulation d' amplitude sans porteuse. On reconnaît en effet, dans l' expression (1) la densité spectrale de puissance du signal NRZ, centrée sur la fréquence f 0 de l' onde porteuse. ) L' expression (1) ci-dessus montre que la densité spectrale de puissance du signal MDP ne dépend pas du nombre M d' états de phase. Elle ne dépend que de la durée du symbole. 1 A débit binaire fixé, Db = log M, l' augmentation du nombre M d' états entraîne donc une diminution d' occupation spectrale grâce à l' augmentation de. Cette propriété explique le grand intérêt des modulations par déplacement de phase. On peut en effet augmenter le nombre M d' états de phase, donc le débit binaire transporté sans modifier l' occupation spectrale c' est-à-dire la bande de fréquence nécessaire à la transmission. Cette propriété est aussi vérifiée par toutes les modulations dites linéaires (Amplitude AM, Phase PSK et Amplitude-Phase combinées QuadratureAM). Par opposition aux modulations d amplitude (AM ou QAM) les modulations de phase non filtrées sont à enveloppe constante. Ceci permet, comme pour la FM, de s affranchir du bruit d amplitude en réception. L information transmise sur la phase, n est pas affectée par le bruit d amplitude. L intérêt des QAM sur les PSK tient au choix de répartition des états et donc à une optimisation de la distance (minimale) entre chacun d entre eux. La puissance d émission est alors réduite et les performances en détection sont augmentées. 16

21 %'&)(*&+% "! # $,.-0/*10) *8:9+/0;*<=-0/*10) *8=>0-*?@;*ACB*8@4DB*E Pour une modulation par déplacement de phase à états, le signal modulé non filtré peut s' écrire sur la durée d' un intervalle de temps s = b = : A cos( π f t + ϕ + φ ), 0 0 où ϕ 0 est la phase aléatoire imposée par l' oscillateur et φ κ est la phase qui transporte l' information et vaut 0 ou π. Si on multiplie le signal MDP- par un signal sinusoïdal de même fréquence et en phase avec la porteuse véhiculée par le signal modulé (ϕ = ϕ ), on obtient : 0 1 Acos( π f t + ϕ + φ ) Acos( π f t + ϕ ) = A [ cos( 4 π f t + ϕ + ϕ + φ ) + cos( φ + ϕ ϕ )] Cette expression n est valable que sur la durée de l intervalle de temps t [, ( ) ] +1. En supprimant le résidu de démodulation centré en f 0 par un filtre passe-bas, il reste alors le terme ( A ) [ cos( φ ϕ ϕ )] La modulation ayant attribué la phase π à l' état logique 0 et la phase 0 à l' état logique 1, on obtient en réception en entrée et en sortie d un circuit de décision à seuil s= 0 : A + cos( ϕ0 ϕ1) si φ = 0 et le circuit de décision restitue un état logique 1. A cos( ϕ0 ϕ1) si φ = π et le circuit de décision restitue un état logique 0. Nota : Le modulateur en anneau qui sera utilisé en.p. affectera les phases inverses à la convention utilisée ci-dessus. Remarque : Pour réaliser une démodulation cohérente, il est indispensable de générer à la réception un signal sinusoïdal de même fréquence et en phase avec la porteuse du signal MDP- reçu. Avec les deux porteuses en quadrature (ϕ0 ϕ1 = ± π ), aucun signal utile ne serait restitué. 17

22 Le problème de la récupération de la porteuse ne sera pas étudié au cours de la manipulation. Pour des précisions sur ce sujet, on se reportera aux références (page ).! " # Pour reconstituer le message d' information transmis à l' aide d' une MDP- différentielle, il suffit de comparer sur un intervalle de temps s = les phases de la porteuse du signal MDP- différentiel sur intervalles consécutifs de durée. Le signal MDP- différentiel est donc divisé en deux signaux dont l' un est retardé de. Ces deux signaux sont alors multipliés entre eux à l' aide d' un modulateur en anneau. Retard s x(t ) Signal MDP- Différentiel x(t) Modulateur MD 140 Filtre Passe-Bas FB 4855 x(t) figure 1-13 : Schéma de principe de la Démodulation Différentielle à deux états de phase. Le signal MDP- différentiel non filtré, s' écrit sur l' intervalle de temps t [( ), ] et sur l' intervalle suivant t [, ( ) ] x( t) = A cos( π f t + ϕ + φ ) +1 : x( t) = A cos( π f t + ϕ + φ ) : L écart de phase φ = φ φ 1 { π, 0, π } est significatif de l' information binaire b correspondant à l' intervalle, ( +1 ). [ ] Le produit x( t ) x( t) sur l' intervalle Soit : [, ( ) ] [ ] +1 est égal à : x( t ) x( t) = A cos( π f t + ϕ + φ ) cos( π f t + ϕ + φ ) A x( t ) x( t) = cos( 4 f0t f ) + cos( + f0) [ π π ϕ φ φ φ π ] 18

23 A Après filtrage passe-bas il reste : cos( φ + π f0 ) [ ] sur l' intervalle, ( +1) Si la modulation est synchrone : π f = n π, et ce terme n est pas gênant. Si la modulation n est pas synchrone : π f = n π + ϕ A La sortie du filtre passe bas est alors cos( φ + ϕ1). Le terme ϕ 1 peut être très gênant et un réglage du déphasage entre x(t) et x(t ) est alors nécessaire. La modulation ayant attribué un saut de phase de π à l' état logique 1 et un saut de phase de 0 à l' état logique 0, le circuit de décision restitue directement l inverse du signal d' origine. La figure 1-14 ci-dessous illustre ce principe : Suite {b } NRZ Suite {d } NRZ par transitions b Différentielle synchrone MDP- Différentielle synchrone Décalée de s Signal démodulé filtré Passe-Bas Suite inversée Binaire NRZ b ˆ { } figure 1-14 : Modulation et démodulation MDP- différentielles 19

24 Un modèle simplifié du canal de transmission réel par modulation cohérente est donné par la figure 1-15 ci-dessous : A B H e (f) C H r (f) D H pb (f) E Filtre d'émission Filtre de réception Filtre Passe-Bas Echantillonnage Décision Porteuse émission Bruit BABG Porteuse réception en phase avec porteuse émission figure 1-15 : Synoptique de la chaîne de transmission. Il est parfois nécessaire de filtrer le signal modulé et ceci pour deux raisons : - à l' émission pour limiter la bande occupée par le signal pour pouvoir émettre sur des canaux adjacents. - à la réception pour sélectionner le canal désiré et réduire la puissance de bruit. Examen des signaux (sans bruit) : x ( t) = a g( t ) A avec g( t) = V Π ( t ) V g(t) 0 s t 0 ( ) xb( t) = a g( t ) cos( π f0t + ϕ) avec ϕ V.A. équirépartie sur [ 0, π] ( ) xc ( t) = a g( t ) cos( π f t ϕ) he ( t) 0 + ( ) ( ) π xd( t) = a g( t ) cos( π f0t + ϕ) he ( t) hr ( t) xd( t) = a p( t ) cos( f0t + ϕ0) avec p( t) = g( t) 1 αh ( t) 1 αh ( t) e en supposant H e (f) et H r (f) passe bande et à symétrie hermitienne autour de f 0. xe ( t) = a r( t ) avec r ( t ) = p ( t ) h pb( t ) 1 1 he hr pb Soit au total : R( f ) = G( f ) Α ( f ) Α ( f ) H ( f ). r

25 héoriquement, le spectre du code binaire NRZ a un support infini. Donc tout filtrage de ce signal introduit une déformation, qui se manifeste par un traînage de l impulsion temporelle. Le traînage d une suite d impulsions implique une IES (interférence entre symboles). Mais il ne faut pas oublier qu' en transmission numérique l information est quantifiée et le récepteur doit prendre une décision de nature discrète avec une périodicité de s (par exemple +1 ou 1 ). Peu importe donc la forme du signal reçu pourvu que la décision puisse se faire sans ambiguïté. V Impulsion émise au point A Impulsion reçue au point E 0 g(t) t Filtrage Passe Bas 1 α h e (t) 1 α h r (t) h pb (t) Equivalent Bande de Base t 0 3 r(t) t 0 t 0 t 0 + t 0 t 0 + t 0 +3 t Filtrage Passe Bande h e (t) h r (t) Impulsion émise au point B Impulsion reçue au point D figure 1-16: Déformation par filtrage d impulsions en BdB et sur fréquence porteuse. Le signal MDP- observé en sortie du filtre passe-bas (au point E) est de la forme xe ( t) = a r( t ). Il est en suite échantillonné avec la période symbole tous les = s pour donner les échantillons xe ( t0 + n) = a r( t0 ( n) ) qui sont présentés au comparateur à seuil. I. E. S. x ( t + n) = a r( t ) + a r( t m ) E 0 n 0 0 m= n 0 1

26 Il y a ou non de l' interférence entre symboles selon la forme de l' impulsion r(t) aux points d échantillonnage. Si r( t m ) = 0 m 0, il n y a pas d I.E.S.; ces conditions dites 0 critère de Nyquist sont équivalentes dans le domaine fréquentiel à : m ( m ) = r( t ) R f 0 La réalisation la plus usitée de ces conditions est le filtre global en cosinus surélevé (voir figure 1-8 page 1). Probabilité d erreur. (Canal à Bruit Additif Blanc Gaussien). Si la condition de Nyquist est réalisée, le calcul de la probabilité d' erreur est aisé dans le cas d' une modulation cohérente. A l' entrée de l' échantillonneur, point E figure 1-15, le signal reçu est de la forme : x ( t) = a r( t ) + n( t) E Expression dans laquelle r(t) contient le formant NRZ, les filtres émission et réception en équivalent bande de base et le filtre passe-bas de post-démodulation. a = ±1 Avec r(+ t 0 )= 0 pour! e = a r( t ) + n où 0 n(t) est le bruit gaussien centré filtré stationnaire et n = n( + t 0 ) en est un échantillon. Quel que soit l instant d échantillonnage, n est donc une variable aléatoire gaussienne centré de variance σ. Par suite, dans le cas de symboles a indépendants et équiprobables : Pr{Erreur} = Pr{ e < s=0 / a =+1 } Pr{ a =+1 } + Pr{ e > s=0 / a = 1 } Pr{ a = 1 } Pr{Erreur} = 1 Pr{ n < r( t0) } + 1 Pr{ n > + r( t0) } r( t ) Pr{Erreur} = 1 Pr{ n > r( t ) } 0 0 = Q σ avec ( ) e u + 1 Q x = du π Considérons maintenant la chaîne de transmission en équivalent Bande de Base (BdB) : x

27 R( f ) H( f ) {a } G(f) AB 1 C 1 D E A H e ( f ) A H r ( f ) Hpb(f) Bruit Blanc équivalent de DSP N 0 figure 1-17: Équivalent BdB de la liaison MDP-. Si le filtrage réception est adapté au filtrage émission, c' est-à-dire que : 1 ΑH ( f ) H ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r pb f = G f 1 ΑH f R f = 1 G f Α e H f 4 e ΑH 0 = = e = = alors : r( t ) R( f ) df G( f ) ( f ) df H ( f ) df h ( t) dt L équivalent bande de base du bruit blanc de DSP N 0 / est un bruit blanc de DSP N 0. Le bruit blanc gaussien filtré au point E est donc de puissance P n = σ avec : σ Hr pb 0 0 = N Α ( f ) H ( f ) df = N H ( f ) df = N h ( t) dt D après la convention choisie pour les équivalents BdB, la puissance P s du signal MDP- émis au point C de la figure 1-15 est la moitié de la puissance du signal équivalent BdB au point C de la figure 1-17 qui vaut : P 1 C H ( f ) df = = h ( t) dt En effet d' après la formule de Bennett, la D.S.P de la suite i.i.d {a } à valeurs dans {±1} et mise en forme par le filtre H(f) est : 1 H ( f ). Avec s = b =, l énergie par bit émise en MDP- est P E C b = Ps = On a alors r( t0 ) = Eb et σ = Eb N0 r( t ) E D' où : Pr{Erreur} Q 0 Q b = σ = N 0 3

28 La courbe correspondante est donnée sur la figure de la page ci-contre ainsi que celle de la MDP- différentielle. En pratique, les hypothèses du critère de Nyquist sont irréalisables et il est nécessaire de faire un compromis "Puissance du bruit - Interférence entre symboles". En effet un filtre trop étroit diminuerait la puissance de bruit mais introduirait une forte I.E.S. Un filtrage trop large ne perturbera pas le signal mais laissera passer une plus grande puissance de bruit (Voir en annexe le sens du "diagramme de l' oeil"). Il semble admis que la largeur de bande optimale du filtre équivalent ramené autour de la fréquence porteuse soit de 1,1 à 1, fois le débit numérique binaire du signal modulant. Avec un tel filtre, la courbe donnant le taux d' erreur réel se trouvera donc nécessairement décalée vers la droite, par rapport à la courbe théorique. De sorte que pour obtenir un taux d' erreur donné, il faudra un rapport E b /N 0 (ou puissance du signal sur puissance de bruit) supérieur à celui prévu théoriquement. C' est ce décalage (en db) qui mesure en fait la qualité de la chaîne de transmission.!" 1. J.Wozencraft & I.Jacobs : Principles of communication engineering (John Wiley & son (1965)). H.aub & D.Schilling : Principles of communication systems (Mac. Graw Hill (1986)) 3. S.Benedetto, Biglieri & Castellani : Digital transmission theorie (Prentice-Hall (1987)) 4. B.Slar : Digital communications (Prentice-Hall (1988)) 5. J.G.Proais : Digital communications (Mac. Graw Hill (001)) 6. S.Hayin : Communications Systems (John Wiley & son (001)) 4