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1 GREQAM Groupement de Recherche en Economie Quantitative d'aix-marseille - UMR-CNRS 6579 Ecole des Hautes Etudes en Sciences Sociales Universités d'aix-marseille II et III LE COMPORTEMENT DU TAUX DE CHANGE ALLEMAND : MEMOIRE LONGUE OU DYNAMIQUE NON LINEAIRE? Document de Travail n Gilles DUFRENOT Sandrine LARDIC Laurent MATHIEU Valérie MIGNON Anne PEGUIN-FEISSOLLE Janvier 2006

2 Le comportement du taux de change allemand : mémoire longue ou dynamique non linéaire? Gilles DUFRENOT Sandrine LARDIC Laurent MATHIEU Valérie MIGNON Anne PEGUIN-FEISSOLLE k Janvier 2006 Résumé L objet de ce travail est de modéliser le comportement du taux de change allemand par rapport à ses fondamentaux durant la période Dépassant le cadre traditionnel de la cointégration linéaire, nous recourons aux approches basées sur la cointégration fractionnaire et la cointégration non linéaire. Nous cherchons ainsi à discriminer entre des dynamiques d ajustement à mémoire longue (mais linéaires) et des dynamiques non linéaires (à mémoire courte). Mots-clés : taux de change, cointégration non linéaire, cointégration fractionnaire Classification JEL : C22, F31 Correspondance : Valérie Mignon, THEMA, Université Paris X - Nanterre, 200 avenue de la République, Nanterre Cedex. Tél. : Valerie.Mignon@uparis10.fr. GREQAM et ERUDITE, Université Paris XII. MODEM, Université Paris X - Nanterre. C3ED, Université Saint-Quentin en Yvelines et MODEM, Université Paris X - Nanterre. THEMA, Université Paris X - Nanterre. k GREQAM-CNRS. 1

3 1 Introduction Le monde est non linéaire ; il faut bien s en accommoder, écrit Abraham- Frois (1994). Ce dernier faisait ici référence aux dynamiques chaotiques en mettant en évidence l intérêt de telles trajectoires déterministes non linéaires en économie 1.Acôté de ces non linéarités de type déterministe, existent des non linéarités de type stochastique. Ces dernières sont également très pertinentes en économie et en finance et la littérature, tant théorique qu empirique, s est largement développée sur ce sujet en partant des insuffisances des modèles linéaires à reproduire correctement les fluctuations économiques. Outre la non linéarité, un autre thème qui n est pas indépendant du précédent a également connu de nombreux développements dans le domaine économique et financier. Il s agit des développements relatifs aux dynamiques à mémoire longue. Depuis les travaux précurseurs de Hurst (1951) dans le domaine hydrologique, il est apparu qu un grand nombre de séries économiques et financières exhibaient un phénomène de persistance (pour une revue de la littérature, voir Lardic et Mignon (1999b)). Nous proposons ici une analyse conjointe des dynamiques non linéaires et des dynamiques à mémoire longue. Un des domaines où de telles dynamiques apparaissent particulièrement pertinentes est le marché des changes, en particulier en ce qui concerne l étude de l ajustement des taux de change vers leur valeur d équilibre. Les approches du taux de change d équilibre sont fondées sur l idée que le prix relatif de deux monnaies doit refléter les différences de structures économiques entre deux pays à un moment donné du temps. Nous situant dans la lignée des travaux de Gonzalo et Granger (1995) et de Clark et MacDonald (1999, 2000) parmi d autres où les cibles de long terme ne sont pas fixées a priori, mais déterminées en fonction du degré de cointégration entre le taux de change et ses fondamentaux économiques notre objectif est d expliquer ici les écarts persistants du taux de change allemand par rapport à sa valeur fondamentale durant la période De nombreux travaux empiriques soulignent en effet les difficultés des modèles traditionnels à pouvoir rendre compte des longues périodes de surévaluation et de sous-évaluation des monnaies européennes (voir par exemple les travaux récents de Bec, Ben Salem et MacDonald (1999), Ma et Kanas (2000), Dufrénot, Mathieu, Mignon et Péguin-Feissolle (2002)). Dans le cas particulier de ces monnaies (celles ayant appartenu au mécanisme de change européen), les déviations par rapport aux valeurs d équilibre sont généralement souvent durables et les vitesses de convergence très lentes. Cette persistance des écarts observés des taux de change par rapport à leur valeur de long terme peut s expliquer de plusieurs façons. Une première explication réside dans le caractère inefficient des marchés des changes. Les agents éprouvent en effet des difficultés à coordonner leurs anticipations sur les marchés des changes, ce qui peut impliquer des biais systématiques dans les erreurs de prévision (voir, 1 Pour des développements relatifs à l intérêt de la théorie du chaos en économie et en finance, on pourra notamment se reporter à Abraham-Frois (1994), Abraham-Frois et Berrebi (1995) et Mignon (1998). Des justifications à l hypothèse de non linéarité pourront également être trouvées dans Dufrénot (1994). 2

4 par exemple, Bénassy-Quéré et Raymond (1996a, 1996b, 1997)). De tels biais ont d autant plus de chance de se produire que certains fondamentaux sont difficiles à prévoir. Ainsi, l équilibre qui prévaut à long terme dépend des variations du taux d intérêt : il suffit que les taux d intérêt présentent une forte volatilité et une dynamique instable pour qu ils soient difficiles à anticiper. Par ailleurs, d une manière générale, les ruptures structurelles provenant des fondamentaux y compris celles qui sont liées aux modifications de la politique économique peuvent conduire à des anticipations des taux de change non compatibles avec l évolution des fondamentaux. Une autre explication aux écarts persistants est que la dynamique des taux de change réels est soumise à des rigidités qui sont liées au fonctionnement des marchés, à la politique économique ou aux comportements des agents (en raison des coûts de transaction, il existe des seuils en deçà desquels il est trop coûteux d acheter ou de vendre). Du point de vue économétrique, les arguments évoqués précédemment conduisent plutôt à s attacher aux modèles reposant sur la cointégration fractionnaire (voir, par exemple, Cheung et Lai (1993) et Lardic et Mignon (2001)) où les écarts aux cibles de long terme sont représentés par des dynamiques à mémoire longue. Plus précisément, divers travaux montrent qu il est difficile de différencier les processus à mémoire longue de certains processus à mémoire courte, notamment dans les cas où ces derniers sont non linéaires (voir par exemple Bos, Franses et Ooms (1999), Granger et Hyung (1999), Granger et Teräsvirta (1999), Diebold et Inoue (2001)) 2. Or, les travaux récents de la littérature empirique sur l ajustement des taux de change réels mettent en évidence l importance des non linéarités pour expliquer les difficultés à valider les théories traditionnelles de détermination des taux de change à long terme (voir notamment Benninga et Protopapadakis (1988), Dumas (1992), Sercu, Uppal et van Hulle (1995), Michael, Nobay et Peel (1997), Taylor et Peel (2000), Taylor, Peel et Sarno (2001), Dufrénot, Mathieu, Mignon et Péguin-Feissolle (2002)). Pour expliquer les écarts persistants des taux de change réels par rapport à leur valeur fondamentale, il est donc important de pouvoir discriminer entre des dynamiques d ajustement à mémoire longue (mais linéaires) et des dynamiques non linéaires (à mémoire courte). C est l objectif de cette contribution qui porte sur le taux de change réel de l Allemagne. Le papier est organisé de la manière suivante. La section 2 présente le cadre théorique de base retenu et les séries utilisées. La section 3 est consacrée à une première étude de la cointégration (linéaire) entre le taux de change allemand et ses fondamentaux. La section 4 met en évidence le caractère persistant des déviations du taux de change réel en comparant diverses approches. La section 5 conclut le papier. 2 Cette difficulté qui se situe dans un cadre stochastique, peut être rapprochée des développements liés à la distinction entre processus non linéaires déterministes chaotiques et processus à mémoire longue (voir Abraham-Frois, Lardic et Mignon (1997)). 3

5 2 Le modèle BEER Le taux de change effectif réel de l Allemagne a connu de manière répétée sur la période des mouvements de grande amplitude et de forte volatilité et ce malgré l existence d un régime de change encadré ; la monnaie allemande n est donc pas caractérisée par des phénomènes de réalignement rapides et de dynamique de retour à la moyenne. Ceci pourrait conduire à penser qu elle ne réagit pas à l évolution des facteurs fondamentaux dans le sens attendu. Afin de tester cette hypothèse, on adopte le cadre d analyse développé par l approche BEER (Behavorial Equilibrium Exchange Rate) en explorant une modélisation proche de celle étudiée par Clark et MacDonald (1999, 2000) (pour le détail de la construction des variables et de l échantillon d étude, on pourra se référer à Dufrénot, Mathieu, Mignon et Péguin-Feissolle (2002)). L approche BEER consiste à estimer une équation réduite qui exprime le comportement du taux de change en fonction de facteurs économiques explicatifs. On cherche à expliquer non seulement la trajectoire de long terme du taux de change, mais également les mouvements cycliques de plus court terme. Ainsi, les variables financières comme le différentiel de taux d intérêt ou le rapport entre déficit public et PIB représentent des facteurs dont les effets sont de court-moyen terme alors que des variables comme les termes de l échange ou la valeur nette des actifs extérieurs sont des facteurs dont l influence s effectue sur le moyen-long terme. Suivant Alberola, Susana, Humberto et Ubide (1999) et Stein (1999), nous retenons la modélisation suivante : log(q t ) = α 0 + α 1 log(tot t )+α 2 log(tnt t )+α 3 NFA t (1) +α 4 λ t + α 5 FISCAL t + α 6 (r t rt )+u t Dans cette formulation, q t est le taux de change effectif réel allemand calculé comme le rapport entre le taux de change effectif réel domestique et le taux de change effectif réel des treize pays partenaires pondéré par le poids respectif de chacun des partenaires 3. TOT est l indicateur des termes de l échange défini comme le rapport entre valeur des exportations et valeur des importations domestiques relativement au rapport pondéré entre valeur des exportations et valeur des importations des treize partenaires. TNT est le rapport entre les prix des biens non échangeables sur les prix des biens échangeables domestiques relativement au rapport pondéré des prix entre les biens non échangeables et les prix des biens échangeables des treize partenaires. NFA est le rapport entre la valeur nette des actifs extérieurs et le PIB domestique relativement au rapport pondéré de la valeur nette des actifs extérieurs et du PIB des treize partenaires. λ t est le rapport du déficit public au PIB domestique relativement au rapport pondéré du déficit public au PIB des treize partenaires. FISCAL est le coin fiscal. Ensuite, (r t r t ) est le différentiel de taux d intérêt entre le taux d intérêt domestique (taux d intérêt nominal des bons du Trésor à 10 ans) 3 L échantillon est composé des 14 pays suivants : Belgique, Danemark, Finlande, France, Allemagne, Grèce, Irlande, Italie, Luxembourg, les Pays-Bas, Portugal, Espagne, Suède et Royaume-Uni. 4

6 et le taux d intérêt r t calculé comme une moyenne pondérée des taux d intérêt des treize partenaires. Enfin, u t est un processus d erreur indépendamment et identiquement distribué (iid). Trois sources de données ont été consultées afin de constituer notre base : International Financial Statistics publié par le FMI, la base de données analytique de l OCDE et celle d Eurostat. Les données retenues sont trimestrielles et couvrent la période 1979 : :2. 3 Le taux de change et les fondamentaux sontils linéairement cointégrés? Le tableau 1 contient les résultats d estimation des relations de long terme (équation (1)) et des tests de cointégration sur les résidus, notés z t, de ces estimations. Tableau 1. Coefficients de long terme et tests de racine unitaire sur les résidus α 0 α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 α 6 ADF PP Shin 0.64 ( 1.72) 0.43 (4.17) 1.25 (6.85) 1.81 (1.81) 0.01 (1.26) 0.21 (0.77) 0.01 (4.78) Note : les t de Student se trouvent entre parenthèses. L hypothèse nulle des tests de Dickey- Fuller (ADF) et de Phillips-Perron (PP) est celle d absence de cointégration. Les valeurs des statistiques de tests sont à comparer aux valeurs tabulées par Engle et Yoo (1987) ou McKinnon (1991). Le test de Shin (1994), constituant une extension du test KPSS au cas de la cointégration, repose sur l hypothèse nulle de cointégration contre l hypothèse alternative d absence de cointégration. Les valeurs critiques ont été tabulées par Shin (1994). Ces résultats appellent plusieurs commentaires. D un point de vue économétrique, les tests d absence de cointégration (ADF et PP) donnent des résultats similaires et conduisent systématiquement à accepter l hypothèse nulle : le taux de change réel allemand n est donc pas cointégré avec les fondamentaux macroéconomiques. Les conclusions du test de Shin (1994) vont à l encontre de ces résultats puisque l hypothèse nulle de cointégration est acceptée. Ces résultats ne sont cependant contradictoires qu en apparence. En effet, les approches ADF et PP permettent de tester l existence d un retour à la moyenne vers la cible de long terme. Le rejet de l hypothèse de racine unitaire impliquerait un ajustement à taux constant, l écart observé à une période étant proportionnel à l écart observé à la période précédente. Or, une telle hypothèse a peu de chance d être vérifiée pour plusieurs raisons. Tout d abord, la présence de coûts de transaction implique que les écarts par rapport à l équilibre de long terme présentent une propriété de dépendance au régime observé, ce qui exclut la possibilité d un ajustement à taux proportionnel. Ensuite, les fondamentaux eux-mêmes sont sujets à des variations susceptibles d être incompatibles avec un ajustement linéaire des taux de change, comme le soulignent Ma et Kanas (2000). Enfin, la présence de fads 5

7 peut également engendrer d importants écarts à la relation linéaire supposée exister entre le taux de change et ses fondamentaux : la non linéarité est alors engendrée par le comportement spéculatif de deux catégories d agents, les agents rationnels et les noise traders (voir par exemple, De Long, Shleifer, Summers et Waldmann (1990)). Au total, le test de Shin, qui est un test de mélange permettant de tester le degré de persistance des déviations du taux de change de manière non paramétrique, amène à accepter l hypothèse de cointégration, impliquant que le taux de change réel allemand est bien caractérisé par la propriété de retour à la moyenne lorsqu il dévie initialement de sa valeur d équilibre. Les questions intéressantes que l on peut se poser sont alors les suivantes. A quelle vitesse le taux de change s ajuste-il? Quel est le degré de persistance des écarts par rapport aux fondamentaux? Quel type de processus représente le mieux la dynamique d ajustement? Dans la section qui suit, nous tentons de répondre à ces interrogations en envisageant différentes approches. 4 Quelles explications pour l ajustement du taux de change? Les résultats contradictoires des tests usuels de cointégration peuvent avoir plusieurs causes : présence de ruptures déterministes non linéaires, présence de non linéarités ou présence de mémoire longue. Nous envisageons successivement ces trois possibilités. 4.1 La présence de ruptures déterministes non linéaires Le test de Bierens (1997) permet de déterminer si le rejet de l hypothèse de cointégration à partir des résidus du modèle linéaire est effectivement dû à la présence d une racine unitaire ou bien à celle d un trend déterministe non linéaire. Sous l hypothèse alternative, la fonction déterministe du temps est approchée par le biais des polynômes de Chebishev. Plus précisément, considérons la régression de type Dickey-Fuller suivante : X t = φx t 1 + px mx α j X t j + θ kpkt e (t)+ε t (2) j=1 où P e kt désigne les polynômes de Chebishev dans lesquels une normalisation aété introduite (voir Bierens (1997) et Dufrénot et Mignon (2002)), m étant l ordre des polynômes. Trois types de tests sont proposés par Bierens : Le premier a pour objet de tester l hypothèse nulle φ = 0 contre l hypothèse alternative φ < 0. La différence par rapport au test ADF usuel repose sur le fait que l estimateur du coefficient φ tient compte de la présence des coefficients θ k. La statistique de test est notée ˆt(m). k=0 6

8 Le deuxième test est un test joint de l hypothèse nulle de racine unitaire avec dérive et de trend déterministe non linéaire contre l hypothèse alternative de stationnarité autour d un trend non linéaire. La statistique de test est notée ˆF (m). L hypothèse nulle correspondant au premier test peut être rejetée en raison de la présence d un trend linéaire. Afin de tenir compte de cette possibilité, la régression de type ADF peut s écrire : X t = τx t 1 + τb 1 t + px mx α j X t j + θ kpkt e (t)+ε t (3) j=1 Bierens suggère de tester l hypothèse nulle selon laquelle τ =0,θ k =0, k = 1,...,m (racine unitaire avec dérive) contre une hypothèse alternative qui peut s écrire soit τ =1,θ k =0, k =1,...,m (trend linéaire), soit τ = 1 (trend non linéaire). La statistique de test (non paramétrique) est notée T (m). Les résultats issus de l application des trois tests proposés par Bierens figurent dans le tableau 2 et montrent que l on peut rejeter l hypothèse d un retour à la moyenne autour d un trend déterministe non linéaire. k=0 Tableau 2. Les tests de Bierens ˆt(m) ˆF (m) T (m) Note : Les tests de l hypothèse nulle de racine unitaire avec dérive contre l hypothèse alternative de trend non linéaire doivent être appliqués de façon bilatérale. Ainsi, si la statistique de test est supérieure à la valeur critique de droite, c est une indication en faveur de l alternative de stationnarité autour d un trend non linéaire. En revanche, un rejet à gauche de l hypothèse nulle ne donne pas d information concernant la nature de l hypothèse alternative. 4.2 Ajustement non linéaire du taux de change Les résultats contradictoires des tests de cointégration peuvent provenir de la présence de non linéarités plus générales dans la dynamique d ajustement du taux de change. Afin d appréhender cette possibilité, nous nous intéressons au cas où la dynamique d ajustement du taux de change réel vers ses fondamentaux est de type STAR (Smooth Transition Autoregressive) Définitions Les modèles STAR, introduits par Luukkonen, Saikkonen et Teräsvirta (1988), Luukkonen et Teräsvirta (1991) et Teräsvirta et Anderson (1992), constituent une extension des modèles TAR (Threshold Autoregressive) à deux régimes. Les modèles STAR reposent sur l idée selon laquelle l économie peut se situer dans 7

9 deux régimes différents. Toutefois, contrairement aux modèles TAR où le passage d un régime à un autre se fait de façon brutale, la transition sera douce dans le cas des processus STAR. On introduit ainsi un lissage sur le temps permettant d atténuer les changements de régimes. Ce type de représentation permet de caractériser le mécanisme d ajustement et les trajectoires permettant au taux de change de revenir à l équilibre lorsqu il s en écarte durablement. Soit z t l écart en t du taux de change réel à sa valeur fondamentale. Supposons que z t suit un processus STAR à un retard : z t = ρ 1 z t 1 + ρ 1z t 1 F (x t d, θ)+υ t, (4) où υ t est un processus indépendamment et identiquement distribué. F (x t d, θ) est la fonction de transition d un état à un autre (comprise entre 0 et 1), x t d étant la variable de transition. Deux types de fonctions de transition sont principalement utilisés : Une fonction logistique : Une fonction exponentielle : F (x t d, θ) = [1 + exp ( γ (x t d c))] 1 (5) F (x t d, θ) =1 exp ³ γ 2 (x t d c) (6) où θ =(γ,c), c est le seuil et γ (γ > 0) représente la vitesse de transition d un état à un autre. Le modèle formé des équations (4) et (5) est un modèle LSTAR (logistic STAR) et celui formé des équations (4) et (6) est un modèle ESTAR (exponential STAR). Dans notre application empirique, nous retenons comme variable de transition z t d ou z t d : z t d permet de considérer l impact de l écart actuel à la valeur fondamentale sur les écarts futurs alors que z t d permet d étudier l impact de la variabilité des écarts sur la taille des écarts àl équilibre de long terme Estimation et tests Nous suivons la procédure séquentielle en trois étapes suggérée par Luukkonen, Saikkonen et Teräsvirta (1988), Granger et Teräsvirta (1993), Eitrheim et Teräsvirta (1996) et Escribano et Jorda (1999). 8

10 Etape 1 : choix du modèle linéaire. La première étape a pour objet de choisir le meilleur modèle linéaire issu de la régression de z t sur z t 1 et sur les valeurs passées de z t.afin desélectionner le nombre p de retards optimal, nous nous sommes basés sur le critère d information d Akaike (AIC) ainsi que sur les résultats des tests de bonne spécification sur les résidus estimés. Cette procédure nous a conduit à retenir p = 0 pour l Allemagne. Etape 2 : tests de linéarité. Divers tests de linéarité sont appliqués contre l alternative de modèles de type STAR. Trois types de tests sont proposés et sont basés sur des régressions dans lesquelles nous testons la nullité de certains coefficients : Régression 1 : test de linéarité contre une alternative de type STAR : z t = α o + 4X [α i1 z t 1 ](x t d ) i + v 1t, v 1t iid(0, σ 2 v 1 ), (7) i=0 Régression 2 : test de linéarité contre une alternative LSTAR : z t = α o + X [α i1 z t 1 ](x t d ) i + v 1t, v 1t iid(0, σ 2 v 1 ), (8) i=0,1,3 Régression 3 : test de linéarité contre une alternative de type ESTAR : z t = α o + X [α i1 z t 1 ](x t d ) i + v 2t, v 2t iid(0, σ 2 v 2 ). (9) i=0,2,4 Ces régressions ont été estimées pour diverses valeurs de d. Les résultats des tests (non reportés ici) montrent que les écarts du taux de change réel allemand à la valeur d équilibre sont principalement décrits par une dynamique de type ESTAR, avec un paramètre de délai d égal à 11 ; un tel résultat reflète les possibles effets persistants de l ajustement non linéaire. Etape 3 : estimation du modèle ESTAR. La dernière étape consiste en l estimation du modèle ESTAR pour les écarts du change réel à la valeur d équilibre (à la suite de Leybourne, Newbold et Vougas (1998), nous avons retenu une méthode d estimation basée sur le quasi-maximum de vraisemblance). Les résultats d estimation du modèle z t = sont reportés dans le tableau 3. α 0 + α 1 z t 1 + α 2 z t 1 +[β 0 + β 1 z t 1 +β 2 z t 1 ]F (x t d ; γ; c)+ε t (10) Tableau 3. Estimation du modèle ESTAR 9

11 x t d α 0 z t 11 α (2.80) α 2 β 0 β ( 3.61) β 2 γ 80.0 c GB JB NL 0.66 CONST 0.91 ARCH(1) ARCH(4) Note : Entre parenthèses se trouvent les t de Student. GB est la probabilité associée à la statistique de test de Godfrey-Breusch d autocorrélation à l ordre q. JB est la probabilité associée au test de normalité de Jarque-Bera. NL et CONST sont les probabilités associées respectivement aux tests de non linéarité restante et de constance des paramètres. ARCH(q) est la probabilité associée au test ARCH pour q retards. Le modèle retenu respecte le fait que la somme des carrés des résidus est inférieure à celle du meilleur modèle linéaire ainsi que les conditions de stationnarité sur les paramètres. La valeur du paramètre de seuil c est bien comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de la variable de transition. On constate que la somme des coefficients de z t 1 et de z t 1 F est négative mais faible : les écarts à la valeur d équilibre sont ainsi caractérisés par un important degré de persistance. Globalement, nos estimations confirment les résultats issus des tests de racine unitaire et des tests de linéarité. En effet, l hypothèse nulle de racine unitaire n est pas rejetée alors que l hypothèse de linéarité est rejetée contre l alternative d un modèle de type ESTAR. Les écarts du change à la valeur fondamentale suivent ainsi une dynamique de type STAR stationnaire. Pour finir, les résultats figurant dans le tableau 3 montrent que l estimation passe tous les tests de bonne spécification, à l exception du test ARCH. Notons que la présence d hétéroscédasticité conditionnelle est très fréquente lorsque l on étudie des séries financières. Une façon de s affranchir de ce problème serait d estimer des modèles de type STAR-GARCH, mais cela sort du cadre du présent travail. A un niveau plus économique, il peut être intéressant d interpréter les résultats de nos estimations par rapport aux mesures de mésalignement et de retour à la moyenne introduites par Taylor et Peel (2000) (pour plus de détails, voir Dufrénot, Mathieu, Mignon et Péguin-Feissolle (2002)). Le calcul de ces mesures met en évidence une succession de périodes présentant une dynamique persistante pour l Allemagne : lorsque z t entre dans un régime, il reste pendant de longues périodes dans ce régime avant de passer dans l autre régime. 10

12 4.3 Présence de mémoire longue Les résultats contradictoires des tests usuels de cointégration peuvent également provenir du fait que le processus d ajustement du taux de change réel vers sa valeur fondamentale exhibe un phénomène de persistance ou, en d autres termes, que le processus d ajustement est un processus à mémoire longue. Nous nous proposons ici d étudier cette possibilité Cointégration fractionnaire et processus ARFIMA : définitions La cointégration fractionnaire généralise le concept usuel de cointégration en permettant à l ordre d intégration D du terme à correction d erreur de prendre une valeur réelle, et non plus nécessairement entière. Ainsi, le terme d erreur peut être fractionnairement intégré, ce qui implique (pour D<1) l existence d une relation d équilibre de long terme. Plus précisément, soit z t le terme d erreur de la relation statique de long terme entre le taux de change réel et ses fondamentaux. Le taux de change réel et les fondamentaux sont fractionnairement cointégrés si z t suit un processus à mémoire longue, tel qu un processus ARFIMA (Auto Regressive Fractionally Integrated Moving Average) 4 : Φ (L)(1 L) D z t = Θ (L) ε t (11) où Φ (L) et Θ (L) sont les polynômes retards autorégressif et moyenne mobile, ε t est un bruit blanc et : (1 L) D =1 DL D (1 D) L 2 2! D (1 D)(2 D) L 3... (12) 3! Les processus ARF IM A(p, D, q) sont stationnaires et inversibles lorsque 1/2 < D<1/2. Ces processus sont en outre caractérisés, pour 0 <D<1/2, par une fonction d autocorrélation qui décroît hyperboliquement lorsque le retard augmente et par une densité spectrale non limitée à la fréquence zéro. Pour cette raison, les processus ARFIMA sont qualifiés de processus à mémoire longue. La notion de cointégration fractionnaire, introduite par Granger (1986), nous paraît importante d un point de vue économique puisqu elle a pour conséquence l existence d une relation d équilibre de long terme : les erreurs tendent à retourner vers la moyenne, même si ce retour ne s effectue qu après un temps relativement long. La recherche de cointégration fractionnaire nécessite de tester l intégration fractionnaire du terme d erreur. Nous nous proposons donc de présenter brièvement ci-après les différents tests utilisés. 4 Pour des développements relatifs aux processus ARFIMA, on pourra se reporter à Lardic et Mignon (1999a) et, pour une revue de la littérature, à Baillie (1996) et Lardic et Mignon (1999b). 11

13 4.3.2 Tests de cointégration fractionnaire Les tests de cointégration fractionnaire que nous appliquons par la suite sont basés sur l hypothèse nulle suivante : H 0 : le taux de change réel et les fondamentaux ne sont pas cointégrés (à savoir z t est intégré d ordre 1), contre l hypothèse alternative : H 1 : le taux de change réel et les fondamentaux sont cointégrés (à savoir z t est intégré d ordre D, avec D<1). Ceci revient à tester l hypothèse nulle D 0 = 0 contre D 0 < 0, avec D 0 = D 1, où D est le paramètre d intégration fractionnaire de la série en niveau et D 0 le paramètre d intégration fractionnaire de la série en différence première. Les tests de cointégration fractionnaire sont appliqués aux résidus estimés de la relation de long terme (1). Etant donné que les tests de cointégration fractionnaire sont appliqués ici sur la série résiduelle estimée par les moindres carrés ordinaires et non sur une série observée il convient de tabuler les nouvelles valeurs critiques. Nous renvoyons le lecteur à Dittmann (2000) pour les tables de valeurs critiques des tests basés sur l analyse R/S modifiée et sur la procédure de Geweke et Porter-Hudak et à Dubois, Lardic et Mignon (2004) pour celles relatives àlaméthode du maximum de vraisemblance exact. Analyse R/S modifiée. Lo (1991) a développé la statistique R/S modifiée avec laquelle il est possible de tester l hypothèse nulle de mémoire courte contre l hypothèse alternative de mémoire longue (intégration fractionnaire) du terme à correction d erreur en comparant la statistique V = Q mt / T aux valeurs critiques, où Q mt désigne la statistique R/S modifiée. Les résultats issus de l application de la statistique R/S modifiée figurent dans le tableau 4. Tableau 4. Test de Lo sur les résidus V D On constate que l hypothèse nulle n est pas rejetée contre l hypothèse alternative d intégration fractionnaire du terme à correction d erreur pour l Allemagne. Ainsi, les résidus estimés de la relation statique ne paraissent donc pas fractionnairement intégrés. Afin de vérifier ce résultat, nous nous proposons à présent d appliquer d autres techniques permettant de déceler l intégration fractionnaire. 12

14 Tests de cointégration fractionnaire basés sur l estimation des processus ARFIMA. Nous ne détaillerons pas ici les diverses méthodes d estimation des processus ARFIMA ; le lecteur intéressé pourra se reporter à Lardic et Mignon (1999b). Nous ne ferons que rappeler les grandes lignes des deux techniques que nous allons appliquer : la procédure de Geweke et Porter-Hudak (1983) et la méthode du maximum de vraisemblance exact. La méthode de Geweke et Porter-Hudak (1983) consiste àeffectuer une régression du log-périodogramme sur le logarithme des fréquences, en utilisant les fréquences proches de zéro. L application de la procédure de Geweke et Porter-Hudak nécessite de choisir le nombre d ordonnées m du périodogramme à prendre en compte. On retient en général m = T, T étant le nombre d observations de la série. Nous avons retenu ici diverses valeurs pour les ordonnées du périodogramme afin d encadrer la racine carrée du nombre d observations. Ce choix a pour objet d examiner la stabilité des estimations lorsque le nombre d ordonnées du périodogramme varie. Nous reportons également les valeurs obtenues pour un nombre d ordonnées égal à T 0.8, Hurvich, Deo et Brodsky (1998) ayant montré qu un choix optimal de m était en O T 0.8. Les résultats issus de l application de la méthode de Geweke et Porter-Hudak (1983) sur la série résiduelle en différence première figurent dans le tableau 5. Tableau 5. Estimation du modèle ARFIMA par la méthode de Geweke et Porter-Hudak D 0 t D 0 T 0.45 T 0.5 T 0.55 T Il ressort de ces résultats que la série résiduelle de l Allemagne ne présente pas de structure de dépendance de long terme ; en d autres mots, une relation de cointégration fractionnaire ne semble pas exister entre le change réel et ses fondamentaux. La procédure du maximum de vraisemblance exact a été proposée notamment par Sowell (1992a,b). Ce dernier dérive la fonction de vraisemblance non conditionnelle exacte pour une série temporelle gaussienne stationnaire à intégration fractionnaire. Nous ne développerons pas ici toute la procédure relative à l estimation par le maximum de vraisemblance exact et renvoyons le lecteur aux travaux de Dahlhaus (1989) et Sowell (1992a). Signalons simplement que cette procédure, malgré ses difficultés de mise en oeuvre, présente l intérêt d utiliser toute l information à court comme à long terme concernant le comportement des séries puisque sont estimés simultanément les paramètres autorégressif, moyenne mobile et le paramètre de différenciation fractionnaire. Les résultats issus de l application de la méthode du maximum de vraisemblance exact figurent dans le tableau 6 où sont reportés les processus ARF IMA(p, D 0,q) minimisant les critères SIC et AICc où SIC est le critère d information de Schwarz (1978) et AICc le critère d information d Akaike (1973) corrigé par Hurvich et Tsai (1989). 13

15 Tableau 6. Estimation du modèle ARFIMA par la méthode du maximum de vraisemblance exact AICc SIC ARF IMA(p, D 0,q) LV ARF IMA(p, D 0,q) LV (1, , 0) (1, , 0) t D 0 = t D 0 = Note : LV est la valeur de la log-vraisemblance à l optimum. t D 0 est la t-statistique associée au coefficient D0 estimé. Les résultats issus de l estimation par la méthode du maximum de vraisemblance exact mettent en évidence l absence de structure de dépendance de long terme dans la série allemande, confirmant les conclusions issues de l application de la procédure de Geweke et Porter-Hudak. 4.4 Performances prédictives des différentes approches Les tests de comparaison des performances prédictives sont ceux décrits dans Diebold et Mariano (1995). Rappelons que l hypothèse nulle est celle de performances équivalentes des différentes méthodes prédictives. Le tableau 7 expose les résultats des différents tests de comparaison des performances prédictives des deux types de modèles estimés pour l Allemagne : le modèle ARFIMA contre le modèle ESTAR. Nous considérons le cas où le processus ARFIMA est estimé par la méthode de Geweke et Porter-Hudak (GPH) pour un nombre d ordonnées du périodogramme égal à T 0.8 et le cas où le processus ARFIMA retenu est celui estimé par la méthode du maximum de vraisemblance exact et sélectionné par le critère SIC. Tableau 7. Tests de comparaison des performances prédictives des modèles ESTAR et ARFIMA (p-values) Test GPH MVE Test asymptotique Test du signe Test de Wilcoxon Test Naive benchmark Test de Morgan-Granger-Newbold Test de Meese-Rogoff Note : Tous ces tests sont exposés dans Diebold et Mariano (1995). La fonction de perte est la fonction quadratique. Les statistiques de tests suivent différentes distributions asymptotiques : N(0, 1) pour le test asymptotique, celui du signe, celui de Wilcoxon et celui de Meese-Rogoff, F (T 0,T 0 ) pour le test du Naive benchmark et t T0 1 pour celui de Morgan- Granger-Newbold (où T 0 est le nombre d observations prévues). La statistique du test de Meese-Rogoff est calculée en utilisant la matrice des covariances de Diebold et Rudebusch (1991). La coupure des retards est de 2 pour le test asymptotique et est donnée par la partie entière de T 4/5 0 pour le test de Meese-Rogoff. GPH correspond au cas où le processus 14

16 ARFIMA est estimé par la méthode de Geweke et Porter-Hudak, MVE correspond au cas où le processus ARFIMA est estimé par la méthode du maximum de vraisemblance exact. Que les modèles ARFIMA soient ceux issus de l estimation par la méthode de Geweke et Porter-Hudak ou la méthode du maximum de vraisemblance exact, les conclusions sont les mêmes. En effet, pour l Allemagne, les modèles ARFIMA et ESTAR montrent des performances significativement différentes : constatant que les résidus des modèles ARFIMA sont presque toujours inférieurs en valeur absolue à ceux du modèle ESTAR (52 fois sur 69 pour les résidus issus de la méthode de Geweke et Porter-Hudak et 50 fois sur 69 pour ceux issus de la méthode du maximum de vraisemblance exact), on peut affirmer que les prévisions tirées des modèles ARFIMA sont significativement meilleures que celles issues du modèle ESTAR. 5 Conclusion L objet de ce papier était d étudier la dynamique d ajustement du taux de change réel allemand vers ses fondamentaux économiques. Après avoir mis en évidence les résultats ambigus des tests usuels de cointégration, nous avons cherché les causes possibles de ces contradictions. Nous nous sommes en particulier attachés à discriminer entre des dynamiques d ajustement non linéaires à mémoire courte (processus STAR) et des dynamiques d ajustement linéaires à mémoire longue (processus ARFIMA). Les résultats issus de l application des tests de performances prédictives font ressortir la supériorité des processus à mémoire longue sur les processus ESTAR, même si les tests de mémoire longue ne conduisent pas à mettre en exergue de façon significative un phénomène de persistance. 15

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