FRACTIONS ET NOMBRES RATIONNELS

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1 I. À QUOI SERVENT LES FRACTIONS? FRACTIONS ET NOMBRES RATIONNELS. Les fractions servent à exprimer un partage Quelle fraction de l aire du rectangle (du disque) représente la partie coloriée? a) b) c) d) e) f) 2. Les fractions servent à exprimer une mesure (ou l abscisse d un point de la droite graduée) Dans mon immeuble, 72 personnes ont été interrogées. Elles devaient dire où elles préféreraient vivre. 8 d'entre elles ont répondu : «à la campagne». Calculer la fréquence de cette réponse. Déterminer les fractions qui permettent de repérer les points A, B, C, D et E A C 0 0 E D B 3. Des fractions servent à comparer des mesures (comparer des rapports) Un pot de 350 g de confiture de fraises de la marque «les bons fruits» contient 200 g de fruit et 50 g de sucre. Un pot de 450 g de confiture de fraises de la marque «Mamie fruits» contient 250 g de fruit et 200 g de sucre. Quelle est la confiture la plus sucrée? 4. Les fractions servent à exprimer la (les) transformation(s) d une mesure 4.. Un exemple dans le cadre géométrique Une photographie rectangulaire a pour longueur 24 cm. Elle a été obtenue par agrandissement d un négatif de longueur 36 mm et de largeur 24 mm. Calculer le coefficient de l agrandissement et en déduire la largeur de la photographie 4.2. Un exemple dans le cadre numérique Le prix du carnet de tickets de métro augmente 60 centimes, calculer son augmentation en pourcentage sachant qu il valait Les fractions servent à exprimer la valeur du quotient de deux entiers Théo a acheté un pack de 4 bouteilles de sa boisson préférée et il a payé 5. Quel est le prix unitaire dans ce conditionnement? Sonia a parcouru 2 km en 6h. Quelle était sa vitesse moyenne? PE FRACTIONS ET NOMBRES RATIONNELS /6

2 II. ÉQUIVALENCE DE PLUSIEURS ÉCRITURES, COMPARAISON.. Deux fractions différentes peuvent exprimer le même nombre a) b) - Exprimer de différentes façons l aire de la surface grisée par rapport à celle du rectangle. - Comment peut-on reconnaître que deux fractions différentes désignent le même nombre? 2. Comparaison de fractions - Marie et Vincent ont fait des placements financiers. Vincent a placé qui lui ont rapporté 432. Marie a placé qui lui ont rapporté 58. Qui a fait le meilleur placement? - Comment peut-on comparer deux fractions? 3. L écriture égyptienne des fractions, une solution au problème de comparaison. Pour représenter les fractions de l unité, les Égyptiens utilisaient un hiéroglyphe (celui de la bouche) en le plaçant au-dessus du nombre de parts de l unité Les fractions étaient donc écrites avec comme seul numérateur le nombre. Aussi, pour écrire 67 0, ils écrivaient De la même façon, écrire la fraction et la comparer à 0. Écrire de la même façon III. OPÉRATIONS DANS L ENSEMBLE DES RATIONNELS. Multiplication d un entier par un rationnel Madame Luma lit son hebdomadaire et remarque que deux pages sur cinq sont publicitaires. Calculer le nombre de pages de publicité sachant que l hebdomadaire comporte 20 pages. En s aidant de la figure, expliquer pourquoi trois quarts de l unité égalent le quart de trois unités. Parmi 240 élèves de l école, 65% pratiquent un sport. Combien d'élèves cela représente-t-il? Convertir en minutes : /4 h, /2 h, 3/4 h. Convertir en h : 0 min, 2 min, 20 min. PE FRACTIONS ET NOMBRES RATIONNELS 2/6

3 2. Addition et soustraction de rationnels Une enquête a été menée dans l école : 2 enfants sur 7 sont allés à l étranger plus d une fois, 5 enfants sur 9 y sont allés une fois, les autres n y sont jamais allés. Sachant qu il y a 35 enfants dans l école, calculer le nombre d enfants qui sont allés au moins une fois à l étranger et exprimer ce résultat par une fraction irréductible du nombre total d enfants. En déduire la valeur de Archimède ( av J.-C.) a montré que 3 < π <. Le papyrus Rhind (vers 800 av J.-C.) donne une approximation de π, π. Ptolémée (2e siècle) donne pour π la valeur sexagésimale approchée «3 ; 8, 30» ce qui signifie 3. Démontrer que l approximation du papyrus Rhind n appartient pas à l intervalle proposé par Archimède mais que celle de Ptolémée y figure. 3. Multiplication par un rationnel 3.. Multiplication d un entier par un rationnel, en utilisant l agrandissement d une figure plane A Le trapèze ABCD est une pièce de puzzle. Il faut fabriquer une nouvelle pièce A B C D qui a la même forme et qui est plus B grande que le modèle, en respectant la contrainte suivante : 4 le segment qui mesure 4 cm sur le modèle devra mesurer 7 cm. 2 Quelles seront les mesures en cm des longueurs B C et C D? D 5 C 3.2. Multiplication de deux rationnels, en utilisant l aire du rectangle L A Un rectangle de longueur L et de largeur est représenté ci-contre. Le carré dont les côtés mesurent une unité de longueur représente l unité d aire. - Déterminer les dimensions et l aire du petit rectangle hachuré. - Déterminer la longueur L, la largeur et l aire A du rectangle grisé. 4. Diviser par un rationnel En servant 8 de part de tarte à chacun, on pourra satisfaire tout le monde avec 5 tartes. Combien y a-t-il de personnes à servir? Après une augmentation de 25%, le prix d un article est 728. Combien coûtait-il avant l augmentation? PE FRACTIONS ET NOMBRES RATIONNELS 3/6

4 IV. PROBLÈME (D APRÈS CERPE, ROUEN 200) Voici un algorithme qui permet de découper un rectangle dont les dimensions sont des entiers en carrés. Si le rectangle n est pas carré, on découpe le plus grand carré possible dont les côtés sont parallèles aux côtés du rectangle ; on regarde alors la partie restante : si c est un carré, on arrête, sinon on recommence. A. Étude guidée d un exemple En appliquant cet algorithme à un rectangle de longueur 23 et de largeur 9, montrer qu on on obtient le découpage suivant et préciser les dimensions des carrés. On note n le nombre de carrés de type A (le plus grand), n 2 le nombre de carrés de type B, etc. Déterminer les nombres n, n 2, etc de carrés ainsi que leur côté c, c 2, etc. 23 Vérifier que = n. 9 n2 n3 n 4 On note a = n, a2 = n, a3 = n et a4 = n. n 2 n2 n2 n 3 n3 n4 Exprimez les nombres a, a 2, etc. sous la forme de fractions irréductibles. Que remarque-t-on sur la suite des nombres a, a 2, par rapport à 23 9? B. Étude autonome d un autre exemple. Représenter un rectangle de longueur 26 et de largeur 9. Appliquer l algorithme de découpage. 2. Déterminer les nombres n, n 2, etc de carrés ainsi que leur côté c, c 2, etc.. 26 Vérifier que = n. 9 n2 n3 n Exprimez les nombres a, a 2, etc. sous la forme de fractions irréductibles. Que remarque-t-on sur la suite des nombres a, a 2, par rapport à 26 9? PE FRACTIONS ET NOMBRES RATIONNELS 4/6

5 C. Généralisation On considère un rectangle de longueur c 0 et de largeur c telles que c c 0. On lui applique l algorithme de découpage en carrés.. Expliquer pourquoi c 0 = c n c 2 et pourquoi n et c 2 sont bien respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de c 0 par c. 2. Expliquer pourquoi le même raisonnement permet de donner la relation entre c, c 2, c 3 et n 2 et écrire cette relation. 3. Expliquer enfin l algorithme numérique permettant, sans faire la construction, de déterminer les nombres n, n 2, etc de carrés ainsi que leur côté c, c 2, etc. 4. Appliquer cet algorithme numérique aux valeurs c 0 = 46 et c = 3. V. PROBLÈME ET QUESTIONS COMPLÉMENTAIRES (D APRÈS CERPE, LILLE 200). L activité de découverte des fractions proposée par un manuel de CM commence ainsi : Déterminer la mesure de la longueur des segments A, B, C, D et E exprimée avec l unité u. 2. L énoncé de l activité de découverte continue avec les messages rédigés par Sébastien, Mélanie, Éléa, Romain et Margaux pour décrire la longueur de leur segment. Une question est ensuite posée : Répondre à la question posée par le manuel, justifier les réponses. 3. Questions complémentaires a) Décrire différentes stratégies utilisables par un élève de CM pour associer les segments aux cinq enfants. b) Citer les connaissances nécessaires pour réussir cette activité et des difficultés qu un élève de CM pourrait rencontrer pour la réaliser. c) Quelles activités préparatoires pourrait-on alors proposer avant cette activité de découverte? d) Citer les variables didactiques de l activité de découverte proposée par le manuel. PE FRACTIONS ET NOMBRES RATIONNELS 5/6

6 VI. EXERCICES ET QUESTIONS COMPLÉMENTAIRES (D APRÈS CERPE, LILLE 200) Un manuel de CM propose cette série d exercices.. Résoudre l exercice n. 2. L exercice n 5 propose, dans la deuxième colonne, trois types d écritures : des fractions irréductibles, des écritures additives et des écritures soustractives. Compléter chaque ligne de la troisième colonne par les deux types d écritures qui ne figurent pas sur cette même ligne dans la deuxième colonne. 3. Questions complémentaires a) Quelles sont les fractions privilégiées par l auteur. Justifier son choix ainsi que la procédure proposée pour partager l unité. b) Les écritures rencontrées dans la résolution de la question a/ de l exercice n sont-elles suffisantes pour résoudre la suite de cet exercice ainsi que l exercice n 2? Justifier. c) Quelles semblent être les intentions pédagogiques de l auteur dans l exercice n 5? d) À quelle conception de la notion de fraction fait référence cette série d exercices? En citer d autres. PE FRACTIONS ET NOMBRES RATIONNELS 6/6