TRAVAUX DIRIGÉS DE S 1

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1 Travau Dirigés S 1 Correction PCSI TRAVAUX DIRIGÉS DE S 1 Eercice 1 : Homogénéité 1. ontrer que l epression obtenue en cours ω = k est homogène. m 2. n trouve epérimentalement ω = 250 /min, convertir ce résultat en rad/s. 1. [k].l = [F ] =.L.T 2 d où [k] =.T 2. n a donc [k/m] = T 2 d où [ k/m] = T 1. ω = 2πf = 2π/T est aussi de dimension T 1 donc la formule est bien homogène. 2. ω = 250ř 180 rad = 0,0727 rad/s = 250 π 1min 60sec Eercice 2 : Ressort vertical. Établisse à partir des loi de la physique l équation différentielle qui décrit le mouvement d une masse suspendue à un ressort vertical de longueur à vide l 0 et de constante de raideur k. Résolve la pour les conditions initiales suivantes : à t = 0 la masse est écartée d une distance d à partir de sa position d équilibre (distance algébrique pouvant être positive ou négative) puis lachée sans vitesse initiale. ẍ + ω 2 0 = 0 avec = l l eq. Eercice 3 : Ressorts en série ou en parallèles n considère une masse qui est reliée à un mur via deu ressorts (k,l 0 ) (ressorts en parallèle). 1. Ce système est-il un oscillateur harmonique? Si oui, quelle est sa pulsation propre? 2. Résoudre l équation en supposant que les ressorts sont initialement à l équilibre et que l on impose une vitesse v 0 à la mase. n considère maintenant un ressort attaché à un mur d un coté et à un deuième ressort de l autre coté. Ce deuième ressort est lui même attaché à une masse de masse m. Les deu ressorts ont pour raideur k et pour longueur à vide l En introduisant un point de masse nulle entre les deu ressorts et en appliquant le principe fondamental de la dynamique, établir un lien entre les longueurs l 1 et l 2 des deu ressorts. 4. À l aide d un schéma, établir un lien entre les longueurs des ressorts et la position de la masse. 5. En déduire l équation du mouvement de, a-t-on affaire à un oscillateur harmonique? si oui quelle est sa pulsation? 1. La force est F = k( l 0 ) e pour chacun des ressorts, l équation est donc on a donc un H de pulsation propre ω 0 = 2. (t) = v ω 0 sin(ω 0 t) 3. k(l 1 l 0 ) k(l 2 l 0 ) = 0 d où l 1 = l 2 mẍ = 2k + 2kl 0 ẍ + 2 k m = 2 k m l 0, 2 k m 4. graphiquement = l 1 + l 2 donc d après la question précédente = 2l 2 1

2 Travau Dirigés S 1 Correction PCSI mẍ = k(l 2 l 0 ) = k( 2 l 0) = k 2 ( 2l 0). n a donc un H de pulsation propre ω 0 = k 2m idée : prendre des ressorts de l 0 différents Eercice 4 : Forces eercées par quelques ressorts H 1 2 Cas n 1 1 Cas n 2 2 H Cas n 3 Cas n Cas n Dans tout l eercice, les réponses sont à donner en fonction des seuls paramètres, 1, 2 (les abscisses des points, 1, 2 ),, 1, 2 (leur côte), h (l abscisse du point H) (la raideur et la longueur à vide des ressorts), et enfin u, u (les vecteurs unitaires selon les aes et ). Ici, on ne s intéresse pas au poids des masses ni au réactions des supports mais simplement au forces eercées par les ressorts. 1. Dans le cas 1, les deu ressorts ont la même longueur à vide l 0 et la même raideur k. La masse ne peut se déplacer que selon l ae. Quelle est la force totale subie par le point? 2. Dans le cas 2, les masses 1 et 2 d abscisses respectives 1 et 2 peuvent se déplacer sur une tige d ordonnée. Un ressort relie les deu masses. Quelle est la force F 1 subie par la masse 1 et celle F 2 subie par La masse peut se déplacer selon l ae, quelle est la force eercée par le ressort sur cette masse? 4. Dans le cas 4, la masse est suspendue à un ressort. Quelle est l epression de la force du ressort? 5. Le cas 5 est un peu plus délicat. La question est toujours la même : quelles sont les forces subies par les deu masses? 1. F = k( l0 ) u + k(h l 0 ) u 2. F(2 ) = k( 2 1 l 0 ) u et F( 1 ) = F ( 2 ) = +k( 2 1 l 0 ) u 3. F = k( h l0 ) u 4. F = k 0 = k 0 k = kl 0 u k u 2

3 Travau Dirigés S 1 Correction PCSI F(2 ) = k( 1 2 l 0 ) = k kl = k( 2 1 ) e k(y 2 y 1 ) e y + kl ( 2 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 e + kl (y 2 y 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 e y F( 1 ) = F( 2 ) Eercice 5 : asse liée à un ressort sur un plan incliné n considère un ressort de longueur à vide l 0 et de raideur k, dont les etrémités sont reliées à un point fie et un point matériel de masse m. n néglige tout frottement. Soit un ae sur le plan incliné (voir figure). 1. Déterminer l e, la longueur du ressort à l équilibre en fonction de l 0, m, g, k et. 2. À partir de la position d équilibre est déplacé d une distance d < l e comptée algébriquement sur et lâché sans vitesse initiale à t = 0. Établir, pour t 0, l équation horaire du mouvement de en fonction de d, k, m et l e. y g 1. Étude statique. n va utiliser la première loi de Newton, ou principe d inertie pour déterminer la longueur l e du ressort à l équilibre. Le référentiel utilisé est celui lié au sol et considéré comme galiléen. Le système d aes est imposé par l énoncé. n choisit le système { } le point matériel. Les forces appliquées à ce système sont : le poids p = m. g, la force de rappel du ressort F = k(l l 0 ). e ici et la réaction du support R = N normale au support car il n y a pas de frottement. n représente ces forces sur la figure ci-dessous à gauche. y F N g p I H F e N p p Comme on se place à l équilibre ( F = F e ), la somme vectorielle des forces appliquées est nulle : p + F e + N = 0 F e + N = p. En se reportant à la figure ci-dessus à droite, dans le triangle IH, on peut écrire sin = Fe p (on s arrange pour ne pas faire apparaître la norme N de N qu on ne connaît pas). n fait ensuite apparaître l e dans F e = F e = k(l e l 0 ) > 0 et comme p = p = mg, on en déduit sin = k(le l 0) l mg e = l 0 + mg sin. k 3

4 Travau Dirigés S 1 Correction PCSI Étude dynamique : on s attend à observer des oscillations de autour de la position d équilibre précédente. Hors équilibre, c est la seconde loi de Newton i.e le principe fondamental de la dynamique (PFD) qui s applique. En conservant le même référentiel et le même système, le PFD prend la forme : m. a = p + F + N avec ici F = k(l l 0 ). e et l = (t) dépendant du temps. De façon à faire disparaître N dont on ne connaît pas la norme, on projette le PFD selon l ae. Dans la base ( e ; e y ), on a a = ẍ(t). e + ÿ(t). e y, p = +mg sin e mg cos e y ; N = N e y et enfin F = k((t) l 0 ). e. n en déduit l équation différentielle mẍ(t) = +mg sin k(t) + kl 0 ẍ(t) + k m (t) = k m (l 0 + mg k sin ) = kl e m n écrit cette équation sous la forme canonique ẍ(t) + ω 2 0(t) = ω 2 0l e. La solution est de la forme sol = sol H + sol P soit ici (t) = A. cos ω 0 t + B. sin ω 0 t + l e. Reste à déterminer les constantes d intégration A et B (homogène à des distances) par utilisation des conditions initiales. À t = 0, on a l = (0 ) = l e + d et ẋ(0 ) = 0 la position et la vitesse de ne peuvent pas subir de discontinuité. n en déduit (0 + ) = l e + d l e + d = A + l e A = d et ẋ(0 + ) = 0 = 0 + ω 0.B + 0 B = 0. Et finalement (t) = l e + d cos ω 0 t. n retrouve donc bien un mouvement rectiligne sinusoïdal avec l e d (t) l e + d. Eercice 6 : scillateur harmonique? Soit l équation différentielle suivante : où ω 0 est une constante. ẍ(t) ω0 2 (t) = 0, 1. La fonction (t) = X 0 sin(ω 0 t) est-elle solution de cette équation différentielle? 2. En réfléchissant au type de force mise en jeu dans une telle équation différentielle, pouvaiton s attendre au résultat précédent? 1. non. 2. oui, on a une force du type f = k qui tend à éloigner le point de l abscisse 0. Eercice 7 : Conservation de l énergie n considère un système masse m reliée à un ressort de raideur k et de longueur à vide l 0. Le déplacement est horiontal selon l ae. 1. Etablir l équation différentielle à laquelle obéit (t). 2. A l instant initial, on lâche le mobile sans vitesse initiale après l avoir comprimé d une longueur d < l 0. Déterminer (t), la solution de cette équation différentielle. 3. ontrer que l énergie mécanique du système est constante. 4

5 Travau Dirigés S 1 Correction PCSI ẍ + ω 2 0 = ω2 0 l 0 Eercice 8 : Bus et dos d âne Un bus vide de masse =5 tonnes passe au-dessus d un dos d âne. Il oscille alors verticalement à la fréquence f =1 H. Au retour, le bus est rempli d une cinquantaine de passagers de masse moyenne m = 60kg. Quelle sera la fréquence des oscillations après le dos d âne? Á vide f = 2π k, chargéf = 2π k, d où f = f +50m +50m = 0,8 H Eercice 9 : scillations d une molécule Une molécule de monoyde de carbone C est modélisée par deu masses m 1 et m 2 mobiles sur l ae et liées par un ressort de raideur k et longueur à vide l 0. La position de l atome d oygène (respectivement carbone) est repérée par l abscisse 1 (respectivement 2 ). Initialement, les deu atomes sont immobiles et leur position notées 0 1 et Effectuer un bilan des forces sur l atome d oygène (on négligera le poids). Établir l équation différentielle de son mouvement. 2. Effectuer un bilan des forces sur l atome de carbone (on négligera le poids). Établir l équation différentielle de son mouvement. 3. Ces deu équations sont couplées : le mouvement d un atome dépend du mouvement de l autre. n introduit deu fonctions : s = m m 2 2 et d = 1 2. Quelles sont les équations différentielles satisfaites par s et d? Sont-elles couplées? 4. Quelle est la forme des solutions correspondantes? 5. Donner les epressions de 1 et Quelle est la période des oscillations? Dans le cas où l une des deu molécules est beaucoup plus lourde que l autre, quel résultat retrouve-t-on? 2 1 C 1. m 1 ẍ 1 = k ( 1 2 l 0 ) 2. m 2 ẍ 2 = k ( 1 2 l 0 ) 3. En additionnant membre à membre les deu équations on obtient s = 0, en les soustrayant (et en divisant la première par m 1 et la deuième par m 2 ) on obtient : d + k ( 1 m m 2 ) d = k ( 1 m m 2 ) l0. 4. s = m m d = l 0 + ( l 0) cos (ωt) avec ω = k m 1+m 2 m 1 m (t) = s+m 2d = m m m 2 m m m 1 (l 0 + ( l 0) cos(ωt)) (l 0 + ( l 0) cos(ωt)), 2 (t) = s m 1d = 6. La période des oscillations est T = 2π ω. Dans le cas m 1 m 2 w k m 2 donc T = 2π m 2 k. L objet le plus lourd ne se déplace presque pas et se comporte comme un «mur». 5