PC - Lycée Dumont D Urville TD équations de Maxwell I. Champ électrique longitudinal

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1 PC - Lycée Dumont D Urville TD équations de Maxwell I. Champ électrique longitudinal On considère la situation dans laquelle, le champ électrique s écrit: E(M,t) = E cos(ωt kx) e x. 1. Pourquoi dit-on que le champ électrique est longitudinal?. En déduire l expression du champ magnétique. 3. Déterminer les densités de charge ρ(m,t) et de courant j (M,t) et vérifier la relation qui les lie. II. Equation de Maxwell locale Le champ électrique dans un guide d onde compris entre z = et z = a en absence de charges et de courants, s écrit : E = E sin( πz a )cos(ωt kx) e y. En déduire l expression du champ magnétique. III. Courants de conduction et de déplacement On étudie un milieu de conductivité σ pour lequel la densité volumique de courant de conduction vérifie la loi d ohm locale. On appelle courant de déplacement la grandeur ǫ E t. Ce milieu est le siège d un champ électrique de la forme E = E cos(ωt+φ). 1. Déterminer le rapport α des amplitudes des courants de conduction et de déplacement.. Calculer α pour des fréquences de 1 Hz à 1 1 Hz pour le cuivre et le verre. En déduire une simplification de l équation de Maxwell Ampère. Données: cuivre : σ = SI et verre : σ = 1 6 SI et 1 4πǫ = SI. IV. Flux du vecteur de Poynting On considère un câble électrique assimilé à un cylindre d axe Oz, de longueur L, de rayon a, conducteur ohmique de conductivité σ, parcouru par des courants indépendants du temps de densité volumique uniforme j = j ez. L intensité totale est notée I. Sa perméabilité est celle du vide µ. 1. Calculer la résistance R du câble.. Exprimer le champ E et le champ B en un point de la surface du conducteur (en r = a). Les exprimer en fonction de I, σ, a, µ dans la base locale en cylindriques. 3. En déduire l expression du vecteur de Poynting et de la puissance électromagnétique rayonnée par le champ électromagnétique à travers le câble en fonction de la résistance R du câble et de I. Commenter. Réponses : E = I ez πa, R = I er σ γπ a 3. V. Chauffage par induction Le four à induction est constitué d une pièce métallique soumise à un champ magnétique variant à fréquence élevée. Les courants de Foucault s établissant dans la pièce métallique immobile provoquent un échauffement par effet joule. On considère un disque d axe Oz, d épaisseur e, de rayon a et de conductivité γ. On plonge ce disque dans le champ magnétique uniforme créé par un solénoide : B = B m cos(ωt) e z. Oz Le champ électrique induit dans le disque est de la forme E = E(r,t) e θ. e a B 1

2 1. Exprimer le champ électrique induit et en déduire le vecteur densité de courant j : - Première méthode : par une équation de Maxwell (on donne le rotationnel en coordonnées cylindriques : rot A = ( 1 A z z ) U r +( A r - Deuxième méthode : donner la forme des lignes de champ électrique. Démontrer la loi de Faraday E.d d B.dS OM = n et appliquer cette loi sur une ligne de courant électrique pour en déduire dt l expression de E.. Exprimer la puissance volumique instantanée reçue par le disque par effet Joule. En déduire l expression de la puissance moyenne totale < P tot > reçue par le disque par effet Joule. 3. Faire l application numérique. Données : B m =.1 5 T, γ = S/m, f = 5 khz, e = mm et a = 1 cm. En pratique, on utilise un disque constitué d un matériau ferromagnétique car le champ magnétique créé par le solénoide est multiplié par un coefficient µ r (égal à 1 pour le fer) à l intérieur de ce matériau par rapport à celui créé dans l air. Réponses : j = γb mr ω sin(ωt) e θ et < P tot >= πeb ma 4 γ 8ω VI. Décharge d une boule conductrice dans l air Une boule conductrice de centre O et de rayon R porte initialement la charge Q uniformément répartie en surface. Elle est abandonnée dans l air supposé légèrement conducteur, de conductivité γ. A l instant t, la boule porte la charge Q(t). On cherche le champ électromagnétique en un point M repéré par ses coordonnées sphériques. 1. Le théorème de Gauss est-il valable? Exprimer le champ électrique en M situé à l extérieur de la boule conductrice. En déduire le vecteur densité de courant.. Déduire des symétries que le champ magnétique est nul en tout point. 3. Déduire de l équation de Maxwell-Ampère, l équation différentielle vérifiée par Q(t). La résoudre. 4. Calculer de deux façons différentes l énergie dissipée dans le milieu. Commenter. On rappelle que le volume élémentaire en coordonnées sphériques s écrit dτ = r drsinθdθdφ. Réponses : j = γq(t) 4πǫ r er, Q(t) = Q e t/τ et l énergie perdue est VII. Solénoïde créant un champ magnétique variable Q 8πǫ R. On considère un solénoïde long, de rayon a, d axe Oz, à l intérieur duquel règne un champ magnétique B = B e t/τ e z et on s intéresse à une section de celui-ci de longueur L. On cherche le champ électrique sous la forme E = E(r,t) e θ. 1. Justifier l expression du champ électrique.. A l aide de la formulation intégrale de l équation de Maxwell-Faraday, déterminer l expression du champ électrique. Retrouver le résultat par l équation locale de Maxwell-Faraday. On donne le rotationnel en coordonnées cylindriques : rot A = ( 1 A z z ) U r +( A r 3. Calculer le rapport µ des densités volumiques d énergies électrique et magnétique à l intérieur du solénoide. 4. Application numérique : a = 1 cm et τ = 1 ms. Conclure. 5. Calculer le vecteur de Poynting et son flux à travers les bords du solénoïde. 6. Calculer l énergiemagnétiquedans le solénoideàl instant t = puis à l instant t. En déduirela variation d énergie magnétique. Comparer le résultat au flux du vecteur de Poynting et conclure.

3 VIII. Solénoide en ARQS On étudie une portion de longueur l de solénoïde d axe Oz comportant n spires jointives par unité de longueur, dont on néglige la résistance. On note a le rayon des spires et i(t) = i cos(ωt) le courant qui les parcourt. On adopte le système des coordonnées cylindriques M(r, θ, z) et la base associée. 1. Donner une condition sur la pulsation ω afin de pouvoir se placer dans l ARQS.. On suppose les conditions de l ARQS magnétique réunies. En déduire l expression du champ magnétique B en tout point à l intérieur du solénoïde. 3. Justifier que le champ électrique se met sous la forme E = E(r,t) e θ. Quelle est l expression du champ électrique associé? On donne le rotationnel en coordonnées cylindriques : rot A = ( 1 A z z ) U r + ( A r 4. Montrer que la contribution électrique à l énergie est négligeable devant la contribution magnétique. 5. Déterminer l expression du vecteur de Poynting. 6. Enchoisissantunesurfacecylindriquederayonr = a etdelongueurh,déterminerl énergieélectromagnétique totale associée au solénoïde à l instant t. En déduire l expression du coefficient d auto-induction. 7. Vérifier le bilan énergétique. 3

4 IX. Correction : Solénoïde créant un champ magnétique variable 1. Le plan passant par M et Oz est un plan d antisymétrie pour les sources (ici les courants). Le champ électrique est perpendiculaire à ce plan contenant les vecteurs e z et e r donc il est selon e θ. Il y a invariance par rotation autour de Oz et invariance par translation selon Oz donc les champs ne dépendent ni de θ, ni de z. E.d d B.dS. L équation intégrale de Maxwell Faraday s écrit OM = n. dt On choisit ici comme contour un cercle de rayon r centré sur l axe Oz. Ce contour est orienté par le vecteur n = E.d ez soit OM = E(r,t) dl = πre(r,t). On calcule le flux du champ magnétique à travers le disque délimité par ce contour. On doit distinguer deux cas: B.dS - Pour r < a : ez = B e t/τ ds = B e t/τ πr. Ainsi par application de la loi de faraday on a πre(r,t) = πr B τ e t/τ soit E(r,t) = B r τ e t/τ. B.dS - Pour r > a : ez = B e t/τ ds = B e t/τ πa (le champ magnétique est nul a l extérieur du solénoide!!). Ainsi par application de la loi de faraday on a πre(r,t) = πr B τ e t/τ soit E(r,t) = B a rτ e t/τ. 3. La densité volumique d énergie magnétique est u m = B µ = B e t/τ µ. La densité volumique d énergie électrique (à l intérieur du solénoide) est u e = ǫ E D où le rapport demandé : µ = u e u m = r 4c τ. = ǫ r B 8τ e t/τ. 4. Application numérique : µ = u e 1 1. On en déduit que l énergie électrique est très négligeable u m devant l énergie magnétique stockée dans le solénoide. 5. On calcule le vecteur de Poynting par EΛB R = = EB er. µ µ R.dS On en déduit le flux à travers la surface latérale du solénoide : P = er = R(r = a).πal = B πa L e t/τ. µ τ 6. Le solénoide ne stocke de l énergie que sous forme magnétique. A l instant initial, l énergie magnétique est U m (t = ) = B µ (πa L) (on multiplie directement la densité volumique d énergie magnétique par le volume du solénoide car la densité d énergie est uniforme). A l instant t, l énergie magnétique est U m (t) = B e t/τ µ (πa L). D où la variation d énergie: U m = B (πa L)(e t/τ 1) <. µ On peut vérifier que cette énergie perdue correspond à celle rayonnée par le vecteur de Poynting à travers t la surface latérale du solénoide en effet U m = = B πa L e t/τ dt = B (πa L)(1 e t/τ ). µ τ µ On a ainsi vérifié que l énergie est bien conservée. 4

5 X. Correction : Décharge d une boule conductrice dans l air 1. Le théorèmede Gauss résultede l équationde Maxwell Gauss : div E = ρ ǫ. Cette équationest identique en électrostatique et en régime variable donc le théorème de Gauss est valable aussi en régime variable. A l extérieur de la boule, tout se passe comme si le champ électrique est créé par une charge ponctuelle Q(t) placée en O soit E = Q(t) er 4πǫ r. On en déduit j par la loi d ohm locale j = γ E = γq(t) er 4πǫ r.. Les courants de déplacement et de conduction sont selon e r donc tout plan passant par OM sont des plans P + pour les courants et le champ magnétique en M est perpendiculaire à tous ces plans : le champ magnétique est nul. 3. L équation de Maxwell-Ampère s écrit rot E B = µ j + µ ǫ t γq(t)+ǫ Q (t) =. On doit résoudre Q (t)+ Q(t) τ = avec τ = ǫ γ soit Q(t) = Q e t/τ. 4. A l instant initial, la densité volumique d énergie électrique est u e = ǫ E l énergie dans tout l espace par une intégrale soit: Q U e (t = ) = ǫ r 4 (4π) dτ = Q 1 ǫ (4π) r dr R π sin θdθ π = soit j + ǫ E t = dφ = Q 8πǫ R. A la fin du régime transitoire, le champ électrique est nul donc U e (t > ) =. La variation d énergie électrique est donc U e = Q 8πǫ R. = ou encore Q ǫ r 4 (4π), on en déduit Vérifions que cette énergie a été perdue par effet Joule. On a dp dτ = j. E = γe = γ( γq(t) 4πǫ r ). On calcule la puissance totale en faisant une intégrale sur tout l espace à l extérieur de la boule, là où règne le champ électrique : P = γ( γq(t) 4πǫ r ) dτ = γ( γq(t) ) 1 π π 4πǫ r dr sin θdθ dφ = γ Q(t) 4πǫ R. On en déduit l énergie en intégrant par rapport au temps entre t = et t > soit: E Joule = γ Q(t) 4πǫ Rdt = γ Q 4πǫ R e t/τ dt = γ Q 4πǫ R τ = Q 8πǫ R. On trouve bien que l énergie a été dissipée par effet Joule, soit le champ électrique a cédé de l énergie aux porteurs de charge libre du conducteur. Remarque : Il n y a pas d énergie magnétique en absence de champ magnétique et le champ électrique est nul à l intérieur de la boule. En effet, on a q int = pour r < R. R 5