L15 : Grandeurs proportionnelles

Transcription

1 L15 : Grandeurs proportionnelles I Grandeurs et Proportionnalité Quand on parle de proportionnalité, on parle toujours de proportionnalité entre deux grandeurs. Une grandeur est une propriété de la nature qui peut être quantifiée, mesurée ou calculée. Exemple : la masse et la longueur sont des grandeurs qui se mesurent en kilogramme et en mètre. Définition et propriété : On dira que deux grandeurs G1 et G2 sont proportionnelles s il existe un coefficient multiplicateur appelé coefficient de proportionnalité qui permet de passer de l une de ces grandeurs à l autre. Coefficient qui multiplié par G1 donne G2 est G2 G1 Coefficient qui multiplié par G2 donne G1 est G1 G2 Exemple : Au marché les bananes sont vendues à 1,60 le kg. Ici les deux grandeurs sont le poids et le prix. Pour 1 kg on paie 1,60. Pour 5 kg on paiera 5 fois plus que pour 1 kg, ce qui fait 5 1,60 = 8 Pour 2,4 kg on paiera 2,4 fois plus que pour 1 kg, ce qui fait 2,4 1,60 = 3,84 On passe donc du poids au prix en multipliant le poids par 1,6. Il y a donc proportionnalité entre le poids et le prix. 5 Grandeur1 = Poids (kg) 1 5 2,4 Grandeur2 = Prix ( ) 1,6 8 3,84 1,6 = 1,6 1 = 8 5 = 3,84 2,4 = Remarque : Le passage d une colonne à une autre signifie que si l on multiplie un poidspar un nombre alors il faudra multiplier le prix correspondantpar le même nombre.

2 II Reconnaître une situation deproportionnalité En plus de la définition qui consiste à reconnaître le coefficient qui relie deux grandeurs proportionnelles, il y a trois autres manières de reconnaître une situation de proportionnalité. A) Graphiquement : Dans le cas précédent, la représentation graphique du tableau est la suivante. 3,84 ( ) (2 ième grandeur) La représentation graphique d une situation de proportionnalité est toujours constituée de points alignés avec l origine (0 ; 0) du repère. 0,8 0,5 2,4 Poids (kg) (1 ère grandeur) B) Reconnaître une situation de proportionnalité par le test du double Pour reconnaître une situation de proportionnalité dans un problème, il suffit de : 1. Repérer les deux grandeurs écrites dans l énoncé (poids et prix dans l exemple précédent). 2. puis de faire le test du double : Pour le double de la première grandeur A-t-onle double de la deuxième grandeur?? Si l on peut répondre oui au test alors les grandeurs sont proportionnelles et l on peut faire un tableau de proportionnalité entre ces deux grandeurs. Exemple : Jean à 5 ans et sa mère 30 ans. Peut-on connaître l âge de Jean quand sa mère aura 90 ans? S agit-il d une situation de proportionnalité?

3 Les deux grandeurs sont l âge de Jean et l âge de sa mère mais si l on double l âge de Jean on ne doublera pas l âge de sa mère donc il n y a pas proportionnalité. On peut cependant répondre que Jean aura = 65 ans quand sa mère aura 90 ans. C) Reconnaître une situation de proportionnalité par le calcul des quotients Propriétés : Si les quotients d une grandeur sur une autre sont égaux alors les grandeurs sont proportionnelles et ces quotients donnent un des coefficients de proportionnalité. Exemple : Est-ce que le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité 0,8 G G2 5 7, ,25 G2 G1 G1 G2 5 4=1,25 7,5 6=1, =1, =1,25 4 5=0,8 6 7,5=0,8 8 10=0, =0,8 III Technique de résolution de problème qui relève de la proportionnalité 10 litres de peinture permettent de recouvrir 18 m² de façade. Comment calculer la surface que permet de recouvrir un pot de 25 litres? Pour résoudre ce problème il faut : 1. Tout d abord, on identifie bien (on les souligne) les deux grandeurs et leurs unités. Les deux grandeurs que j identifie dans l énoncé sont le volume (l) et la surface (m²)

4 2. Ensuite on fait le test du double pour voir s il y a bien proportionnalité Si je double le volume, je doublerais aussi la surface donc le volume de peinture est bien proportionnel à la surface peinte. 3. S il y a proportionnalité on peut faire le tableau, (sinon pas de tableau) : Volume (l) Surface (m²) 18 S Volume (l) Surface (m²) S 4. On calcul la 4 ième proportionnelle : S = on multiplie la diagonale complète et on divise par le nombre connu de l autre diagonale Donc S = = 45 m² 10 On pourra donc peindre 45 m² de façade avec 25 litres de peinture. IV Synthèse :Ce que j ai appris à faire : Taches Savoir reconnaître des grandeurs proportionnelles par le test du double, graphiquement ou par la reconnaissance du coefficient de proportionnalité. Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité. Remplir des tableaux de proportionnalité Exercices cours L15 Ex 2.1* (test du double) Ex 2.2, 2.3, 2.4*, 2.5* Labomep L15 Proportionnalité + Proportionnalité QCM Ex2 et 3* (reconnaissance du coefficient de proportionnalité et reconnaissance graphique). Ex 1, 4 Ex 1.1, 1.2 et 1.3* Ex 2 et 4 Interpréter un graphique Ex 5* Evaluation Vous Prof

5 Exercice 1.1: Compléter chacun de ses tableaux de proportionnalité. Exercice 2.1 : Pour repérer les situations de proportionnalité parmi les affirmations suivantes : Souligner dans l énoncé les deux grandeurs susceptibles d être proportionnelles. 2. Effectuer le test du double sur ces deux grandeurs. Exemple : 1. «Le salaire d un fonctionnaire est proportionnel à son âge» 2. Si je double l âge, je ne doublerais pas le salaire donc il n y aura pas proportionnalité entre l âge et le salaire du fonctionnaire Exercice 1.2 : Compléter dans chacun de ses tableaux de proportionnalité les coefficients manquants. 6 a) 1. «Le prix d un livre est proportionnel au nombre de ses pages» 2. Si je double le prix, je ne doublerais pas le nombre de pages donc il n y a pas proportionnalité entre le prix et le nombre de pages ,7 b) 1. «Le prix d une paire de chaussure est proportionnel à la pointure demandée.» 2. Si je double le prix, je ne doublerais pas la pointure demandée donc il n y a pas proportionnalité entre le prix et la pointure , ,3 c) 1. «Pour creuser une tranchée, la durée du travail est proportionnelle au nombre d ouvriers» 2. Si je double le nombre d ouvriers, je divise par 2 la durée du travail donc il n y a pas proportionnalité entre la durée du travail et le nombre d ouvriers , d) 1. «A vitesse constante la distance parcourue par une voiture est proportionnelle à la durée du parcours.» 2. Si je double la durée, je doublerais la distance donc Il y a proportionnalité entre la distance et la durée. 4 1,4, ,5 0,5 Exercice 1.3 : Compléter chacun de ses tableaux de proportionnalité ainsi que tous les coefficients indiqués , ,3 17 2,3 =39,1 1,7 1, ,6 2,3 0,5

6 Exercice 2.2 : Sachant que 3 kg de pommes de terre coûtent 1,80, combien coûtent 9 kg? Le poids et le prix sont les deux grandeurs que j ai repérées. Si je double le poids alors je double le prix donc le prix est proportionnel au poids. Je peux donc faire le tableau suivant : Poids (kg) 3 9 Prix ( ) 1,8 P P = 1,8 9 = 5,40 3 9kg de patates coûtent 5,40. (Il faut toujours une phrase réponse quand il y a un point d interrogation dans la consigne). Exercice 2.3 : Il a fallut 3 kg de peinture pour peindre 12 m². Combien faudra-t-il de peinture pour peindre les 48 m² restant? Le poids et la surface sont les deux grandeurs que j ai repérées. Si je double le poids alors je double la surface donc la surface est proportionnelle au poids. Je peux donc faire le tableau suivant : Poids (kg) 3 P Surface (m²) P = = 12 kg Le poids de peinture pour peindre 48 m² sera de 12 kg. Exercice 2.4 : Marie a payé ce coupon d étoffe 10. Il mesure 12 m. Quelle somme doit-elle demander à Claire si elle veut lui céder 4,5 m de cette étoffe? Le prix et la longueur sont les deux grandeurs que j ai repérées. Si je double la longueur alors je double le prix donc il y a proportionnalité entre la longueur d étoffe et son prix. Je peux donc faire le tableau suivant : 4,5 10 P = = 3,75 12 Le prix de 4,5 m d étoffe sera de 3,75. Exercice 2.5 : Sachant que Jean a eu 14/20 en 40 mn à son dernier devoir et que Paul a eu 16/20. Prix ( ) 10 P Longueur (m) 12 4,5

7 Combien de temps a mis Paul pour faire son devoir? Le temps et la note sont les deux grandeurs que j ai repérées. Si je double le temps je ne doublerais pas la note donc je ne peux pas utiliser les techniques de proportionnalités. En fait, je ne peux pas savoir le temps qu a mis Paul pour faire son devoir Exercice 2.6 : Sachant que 3 kg de pommes de terre coûtent 1,70, combien coûtent 11 kg? Le prix et le poids sont les deux grandeurs que j ai repérées. Si je double le poids alors je double le prix donc il y a proportionnalité entre le poids de patates et son prix. Je peux donc faire le tableau suivant : 1,7 11 P= 6,23 3 Le prix de 11 kg de pommes de terres sera de 6,23. Prix ( ) 1,7 P Poids (kg) 3 11 Exercice 2.7 : Il a fallut 3 litres de peinture pour peindre 7 m². Combien faudra-t-il de peinture pour peindre les 50 m² restant? Le volume et la surface sont les deux grandeurs que j ai repérées. Si je double le volume alors je double la surface donc la surface est proportionnelle au volume. Je peux donc faire le tableau suivant : Volume (litre) 3 V Surface (m²) 7 50 V = kg 7 Le volume de peinture pour peindre 50 m² sera de.. litres. V Activité

8

9