La conjecture de Kakeya

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1 La conjecture de Kakeya

2 Site : Vincent Borrelli

3 Question de Kakeya (1917): Sōichi Kakeya ( ) Quelle est la plus petite aire à l intérieur de laquelle il est possible de déplacer une aiguille de manière à la retourner complètement.

4 Aire = 0,

5 Aire = 0,

6 Aire = 0,

7 Aire = 0,

8 Aire = 0,

9

10

11 Aire ( 0, )

12 Aire = 0, ère idée : augmenter le nombre d éléments en les superposant.

13 2ème idée : la translation gratuite

14 Théorème de Kakeya pour les aiguilles parallèles : On peut passer d une position de l aiguille à une seconde position parallèle à la première en balayant une aire aussi petite que l on veut.

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16 La solution de Besicovich Abram Besicovich ( ) Абрам Самойлович Безикович

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19 8 subdivisions + 3 étages judicieusement choisis donnent une aire égale à 0, , c est-à-dire inférieure à 1 / 2 du secteur initial. inférieur à subdivisions + 11 étages donnent une aire inférieure à 1 / subdivisions + 30 étages donnent une aire inférieure à 1 / 10

20 Théorème de Besicovich (1928) : Il est possible de retourner l aiguille à l intérieur d une aire aussi petite que l on veut.

21

22 Abandon de la notion de mouvement : Nouvelle conjecture de Kakeya : Quelle est l aire minimale susceptible de contenir l aiguille dans toutes ses directions? Réponse de Besicovich : Cette aire, c est zéro.

23 Fabrication d ensembles fractals

24

25 Un procédé de construction : par évidements successifs adumalàleconcevoirdanssatotalité.cettesituationserencontre fréquemment en mathématiques, y compris pour les objets les plus simples : une droite par exemple se conçoit mentalement comme un segment que l on peut prolonger indéfiniment, d ailleurs c est un segment que l on dessine et c est l imagination qui fait le reste. Dans le cas du pentagone, au lieu de ce prolongement par extension, le travail de l imagination procède en un évidement réitéré indéfiniment à l intérieur de la figure.ajoutonsqu entouterigueur cette figure, tout comme la droite, ne devrait pas être visible, son aire étant nulle. Par ce même procédé on peut fabriquer toutes sortes d objets dont l aire vaut zéro, en voici un Aire = 1 Aire = Aire = Aire = 0 formé à partir du triangle. Dans l illustration ci-dessus, l objet initial est un assemblage de pentagones et l opération d évidement consiste à remplacer chaque pentagone par une réductionad hoc de la figure de départ. L objet qui en résulte, en poursuivant ce procédé indéfiniment, a une aire égale à zéro. A chaque étape l aire des constructions intermédiaires est de plus en plus petite et, à la limite, elle vaut zéro. L objet final étant le fruit d uneinfinitéd étapes,l esprit Aire = 1 Aire = Aire = Aire = 0 Al opposédeceprocédéd évidement,onpeutimaginerunprocédéd extension.eneffet, cette idée initiée par Péano d un ligne indéfiniment repliée et qui ne cesse de se recouper ou de se ramifier donne lieu à certaines figures dont l aire reste égale à zéro (contrairement à c e l l e d e P é a n o ) m a i s d o n t l a s t r u c t u r e e s t p l u s r i c h e q u e c elle d une courbe ordinaire.

26 A T C B H ( T ) A 0,5 U H ( T ) B 0,5 U H C 0,5 ( T ) = T

27

28 L objet limite n existe pas toujours : épaisseur divisée par 3 rayon x 2

29 ... Figure limite?

30 Théorème de Besicovich II : Il existe des surfaces d aire nulle contenant l aiguille dans toutes les directions du plan.

31 La dimension fractale ou dimension de Hausdorff - Besicovich Felix Hausdorff ( )

32 île de Gosper Empilement d Apollonius Flocon hexagonal environ 1,13 2ln(3) ln(7) environ 1,31 environ 1,5

33 1ère approche intuitive :

34 n(r) r 1 = 0,5 n(r) r d = a 0,5 une limite finie

35

36 ln3 d = = 1, ln 2 r = 1 1 carré : 2 x 3 r = 0,5 3 carrés : 2 x 3 r = 0,25 9 carrés : 2 x 3 r = 0, carrés ln3 1 1 " ln 2 = 3 $ 1% ln3 # 2& ' ln 2 " = 9 $ 1% ln3 # 4& ' ln 2 " = 27 $ 1% ln3 # 8& ' ln 2 =

37 Dimension de Hausdorff - Besicovich Si E est une partie compacte de X espace métrique, on pose N(r) le nombre de boules ouvertes de rayon r nécessaires pour recouvrir E. La «dimension» de E est le nombre d tel que : N (r) r s 0 si s > d N (r) r s si s < d. Si E est une partie de X espace euclidien, on appelle dimension de Hausdorff - Besicovich de E, le nombre d égal à : inf { s ; H s (E) = 0 } qui est aussi égal à sup{ s ; H s (E) = } Avec H s (E) = lim r 0!# " $# inf diam(b i )<r $ & % '& + i=1 diam( B i ) ( ) s ;E B i i=1 (& (& )) *& *& les B i étant des sous-ensembles de X.

38 Le masque de la guerre (S. Dali) dim = 0,705...

39 Il existe des figures planes sans aire, mais de dimension 2

40 Une trajectoire du mouvement Brownien est aussi une «surface d aire nulle» (Paul Lévy 1948)

41 Propriété de l ensemble exhibé par Besicovich : La surface d aire nulle contenant l aiguille dans toutes les directions du plan donnée par Besicovich est de dimension 2 «Les aiguilles tournent le mystère demeure» site : image des maths

42 Conjecture de Kakeya : Existe-t-il des surfaces de dimension plus petite que 2 contenant l aiguille dans toutes les directions du plan? Réponse : NON (démontré par Roy Osborne Davies en 1971) : La dimension 2 est bien la dimension minimale.

43 Problème de Kakeya en dimension 3

44 1 1 Volume = π 6 = Volume = 1 = Théorème de Besicovich III : Il existe des solides de volume nul contenant l aiguille dans toutes les directions de l espace. Ce résultat se généralise aux espaces de dimension 4, 5, 6 etc.

45 Exemple de fractales et leur dimension dans l espace 3D :... Tétraèdre de Sierpinski dim = 2 Éponge de Menger ln(20) dim = ln3

46 Comme pour la dimension 2, la construction proposée par Besicovich maximise la dimension : sa dimension fractale est égale à 3. Conjecture de Kakeya pour la dimension 3 : Existe-t-il des surfaces de dimension plus petite que 3 contenant l aiguille dans toutes les directions de l espace? Conjecture de Kakeya pour toute dimension : Existe-t-il des surfaces de dimension plus petite que n contenant l aiguille dans toutes les directions de l espace de dimension n?

47 Situation en 2015 : Pour la dimension 3 : Résultat de 1995 : La dimension minimale est 2,5 (Thomas Wolff) Amélioré en 2000 : La dimension minimale est 2, !!! (Katz, Laba, Tao)

48 Situation en 2015 : Pour les dimensions supérieures ou égales à 4: La formule de Jean Bourgain (1999) : La dimension minimale est 0,52 x dim + 0,48 Selon la conjecture Résultat de Bourgain En dimension En dimension En dimension En dimension

49 Situation en 2015 : Pour les dimensions n strictement supérieures à 4: La formule de Katz et Tao (2002) : La dimension minimale est ( 2 2) n 4 ( ) + 3 Par exemple pour n = 100 on trouve 59,23 (Bourgain : 52,48)

50 Situation en 2015 : Problème de Kakeya dans un corps fini (Dvir 2009): ON THE SIZE OF KAKEYA SETS IN FINITE FIELDS ZEEVDVIR Abstract. A Kakeya set is a subset of n, where is a finite field of q elements, that contains a line in every direction. In this paper we show that the size of every Kakeya set is at least C n q n,wherec n depends only on n. This answers a question of Wolff [Wol99]. 1. Introduction ya set (also called a Be n every directio 2

51 Fin

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