1 Statistique. Prérequis : «Pour démarrer» (page 8) Objectifs C HAPITRE. Prérequis testés. En complément. Exercice. Réponse

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1 C HAPITRE 1 Statistique 1 Prérequis : «Pour démarrer» (page 8) Exercice Prérequis testés Réponse En complément 1 Localiser la classe médiane d une série. c Rappeler la définition de la médiane, de la classe médiane. Proposer l exemple suivant Réponse : l effectif est 6. La classe médiane est [; [. Calculer une valeur approchée de la moyenne d une série dont les valeurs sont regroupées en classe. c Même question avec la série précédente. Réponse : une valeur approchée (au centième) de la moyenne est,37. 3 Calculer la moyenne d une série à partir des moyennes de sous-groupes. b Rappeler la formule vue en seconde. Proposer d autres questions, par exemple : Quelle devrait être la moyenne des filles pour que la moyenne de la classe soit égale à 1? Utiliser les propriétés de linéarité de la moyenne. c Rappeler les propriétés de linéarité de la moyenne. Envisager d autres situations : multiplier les notes par 1, ; ajouter à toutes les notes. Connaître la sensibilité des paramètres connus (moyenne médiane, étendue) aux valeurs extrêmes. a Vérifier avec la calculatrice. Proposer d autres situations pour rappeler l influence des valeurs extrêmes sur la moyenne, la médiane. Objectifs Représenter une série statistique par un diagramme en boîte. Comparer deux séries à l aide de leurs diagrammes en boîte. Caractériser une série statistique par des mesures de tendance centrale (moyenne, médiane), de dispersion (étendue, variance, écart-type, écart interquartile) et de position (quartiles, déciles). Connaître l intérêt et la pertinence de ces différentes mesures. Apprécier l influence des valeurs extrêmes et les conséquences d une transformation affine des données sur les différents paramètres de tendance centrale et de dispersion.

2 3 Difficultés et erreurs 3. Confusion entre rang et valeur 3.1 Calcul des quartiles Si la moyenne, l écart-type et la variance sont donnés par des formules, la détermination des quartiles est moins immédiate. Elle nécessite un algorithme de classement des valeurs de la série. Exercices 18 à (page ) Les valeurs données par les calculatrices ou les tableurs ne sont pas toujours identiques à celles obtenues avec la définition du cours. Par exemple, les calculatrices Casio ou Texas déterminent les quartiles en deux étapes : * calcul de la médiane et partage de la série en deux sous-séries ; * Q1 est la médiane de la première sous-série Q3 est la médiane de la deuxième sous-série. Activité 1 (page 16) 3. Confusion entre variance et écart-type La variance et l écart-type sont obtenus à partir du même calcul : 1 p n i (x i x). N Les élèves confondent souvent les deux valeurs et donnent l une à la place de l autre. Exercices 9 à 31 (page 1) 3.3 Différence entre σ n et σ n 1 Les calculatrices fournissent deux valeurs pour l écart-type : σ ou σ n qui correspond à la formule 1 p n i (x i x) et σ n 1 ou s qui correspond à la N 1 p formule n i (x i x). N 1 L écart-type, noté s dans le cours (comme le demande le programme officiel) correspond donc au résultat noté σ et σ n des calculatrices. 3. Problèmes de valeurs approchées Une série a valeurs que l on peut classer dans l ordre croissant : x 1,x,...,x. Le premier quartile Q 1 est la valeur de rang donc Q 1 = x 6. Certains élèves écrivent Q 1 = 6, c est-à-dire confondent le rang de la valeur et la valeur elle-même. Exercice 6 et 61 (page ) Description des approches.1 Diagramme en boîte (page 1) A. Raisons du choix et objectifs La médiane et l étendue d une série statistique ne donnent pas d indications sur la répartition des valeurs de cette série. Le choix de deux séries de même effectif (n = 3) ayant la même médiane (mesure de tendance centrale) et la même étendue (mesure de dispersion) mais dont les valeurs ne sont «visiblement» pas réparties de la même façon, doit amener les élèves à réfléchir à des moyens de mesurer et visualiser ces différences. Argument intuitif Pour la série A, beaucoup de valeurs sont situées autour de la valeur centrale (médiane ). Pour la série B, au contraire, beaucoup de valeurs sont situées près du minimum ou du maximum. Argument graphique Les diagrammes en bâtons de ces deux séries permettent de visualiser l argument précédent : Supposons que l écart-type d une série statistique soit s = 3,81 et sa variance s = 1, Une valeur approchée de s (au dixième) est 3,3 et une valeur approchée de s (au dixième) est 1,8. Les élèves ont tendance à prendre pour valeur approchée de s, le carré de la valeur approchée de s, c est-à-dire 3,3 (qui est égal à 1,89), ils obtiennent alors 1,9. Les élèves doivent donc éviter de faire des calculs à partir de valeurs déjà arrondies. Exercice 3 (page ) Série A Série B C HAPITRE 1 S TATISTIQUE

3 Arguments quantitatifs Pour la série A, 1 des 3 valeurs sont comprises entre et 6, c est-à-dire très proches de la médiane. Pour la série B, seulement 3 valeurs sont dans cet intervalle. Environ la moitié des valeurs de la série B (16 sur 3) sont situées entre et 8 alors que plus de la moitié des valeurs de la série A sont situées entre et 6. C. Scénario possible de mise en œuvre Après un temps de recherche individuelle (1 minutes), les élèves peuvent travailler par groupes de (1 minutes) avec comme consigne de se mettre d accord sur un moyen de rendre compte de la différence observée. La mise en commun ( minutes) permettra de valider tous les arguments cités précédemment et d introduire l idée de «moitié centrale» (l intervalle interquartile) que l on doit déterminer par le calcul des quartiles et illustrer par un diagramme en boîte. Pour la série A : Q 1 = et Q 3 = 6. Pour la série B : Q 1 = et Q 3 = Série A. Mesures de dispersion (page 1) A. Raisons du choix et des objectifs Les deux séries proposées ont même moyenne et même étendue 6. Les valeurs de chacune des deux séries sont réparties symétriquement par rapport à la moyenne : 1 3 Série A 6 7 Série B La majorité des valeurs de la série A sont proches de la moyenne, ce n est pas le cas de la série B qui est donc plus dispersée. L objectif de cette approche est de mesurer cette dispersion en prenant en compte les écarts de toutes les valeurs par rapport à la moyenne. Pour la série A, effectif : 18, moyenne :, étendue : 6. Pour la série B, effectif : 1, moyenne :, étendue : 6. Calcul des écarts Série A Série B Pour la série A : n i x i x = ; 1 N n i (x i x) = ; 1 N Pour la série B : n i x i x = ; 1 N n i (x i x) = 6 ; 1 N 1 3 Série B n i x i x 1,1; n i (x i x), ; n i x i x 1,7; n i (x i x). 6 7 valeur x i effectif n i écart x i x (x i x) x i x valeur x i effectif n i écart x i x (x i x) x i x Conclusion : pour les deux calculs : écart absolu moyen et écart quadratique moyen (variance) on obtient des valeurs supérieures pour la série B. 6

4 Remarque : l écart absolu moyen 1 n i x i x est N plus «naturel» mais la variance 1 n i (x i x) N a des propriétés mathématiques qui la rendent d un usage plus courant. C. Scénario possible de mise en œuvre On peut reprendre le même déroulement que dans l approche précédente. Remarque : si on ne demande pas explicitement un moyen de mesurer la dispersion qui prenne en compte les écarts de chacune des valeurs de la série par rapport à la moyenne, on risque d obtenir des procédures faisant intervenir les quartiles. Pour la série A : Q 1 = 3, Q 3 =, et Q 3 Q 1 = pour la série B : Q 1 =, Q 3 = 6, et Q 3 Q 1 =. Le calcul des écarts interquartiles amène donc à la même conclusion : B est plus dispersée que A ; ce qu on peut encore illustrer par les diagrammes en boîtes. 7 Après recensement des propositions, ils peuvent passer à une vérification sur l exemple donné puis à la démonstration. On peut prolonger cette approche en demandant ce qui se passerait si on multipliait les notes par 1,. Réponse : la nouvelle moyenne est à peu près la même (9,7)mais les mesures de dispersion sont augmentées (les écarts se creusent!). Activités.1 Calculs statistiques et diagramme en boîte (page 16) A. Notion utilisée Utilisation de la calculatrice pour déterminer les paramètres de position moyenne (médiane, quartiles) et de dispersion (variance, écart-type) et pour construire le diagramme en boîte d une série statistique Série A Série B.3 Transformation affine des données (page 1) A. Raisons du choix et des objectifs Les élèves connaissent les propriétés de linéarité de la moyenne : la moyenne augmente de deux points. Les mesures de dispersion sont-elles également augmentées de deux unités? Pour la série de départ : moyenne = 7,8, Q 1 =, Q 3 = 1 donc Q 3 Q 1 =, s =,76 donc s,. Pour la série transformée : moyenne = 9,8, Q 1 = 7, Q 3 = 1 donc Q 3 Q 1 =, s =,76 donc s,. Les mesures de dispersion ne sont pas affectées par la transformation. Remarque : il en est de même pour l étendue (11 = 13 7 = 7). C. Scénario possible de mise en œuvre Dans un premier temps, on peut demander aux élèves de proposer des hypothèses. C HAPITRE 1 S TATISTIQUE 7

5 . Déciles d une série statistique (page 16) A. Notions utilisées Détermination de la médiane et des quartiles d une série statistique. Calcul du premier et du neuvième décile d une série statistique. Construction d un diagramme en boîte limité au premier et au neuvième déciles. Les valeurs rangées dans l ordre croissant sont : L effectif est n = 9 donc n 9n =,9 ; 1 1 =,1 ; n = 1, ; 3n = 36,7. D 1 est la ème valeur, D 9 la ème, Q 1 la 13 ème et Q 3 la 37 ème. La médiane est la ème valeur. Par conséquent D 1 =, D 9 = 3, Q 1 = 7 et Q 3 = 18. La médiane est égale à Nombre de jours de neige.3 Diagrammes en boîte de deux séries (page 17) A. Notions utilisées Calcul des quartiles et de la médiane d une série. Construction du diagramme en boîte d une série. Comparaison de deux séries à l aide de leurs diagrammes en boîte. Salaire des hommes salaire effectif Salaire des femmes salaire effectif Médianes et quartiles Pour les hommes : Q 1 = 1 et Q 3 = 1. La médiane est égale à 1. Pour les femmes : Q 1 = 9 et Q 3 = 93. La médiane est égale à 91. Hommes Femmes Euros Min = Q 1 Me Q 3 Max Au moins % des femmes ont un salaire inférieur ou égal au plus petit salaire masculin (en fait 73 % à cause des ex æquo). Au moins % des hommes ont un salaire supérieur ou égal au plus gros salaire féminin (en fait % à cause des ex æquo). Il faut revenir à la distribution des salaires pour avoir les pourcentages précis mais l intérêt du graphique est de donner l idée de le faire.. Écart-type et écart interquartile (page 17) A. Notions utilisées Calcul des quartiles d une série statistique. Construction du diagramme en boîte d une série statistique. Comparaison de deux séries statistiques à l aide de leurs diagrammes en boîte. Influence des valeurs aberrantes sur l écart-type et l intervalle interquartile. Min Q 1 = Me Comparer la dispersion des deux séries Max Les températures sont plus homogènes (moins dispersées) à Santiago du Chili qu à Chicago. C est visible sur les diagrammes en boîtes (qui illustrent l écart interquartile ou l étendue). Le calcul de l écart-type le confirme. Q 3 minimum Q 1 Me Q 3 maximum Q 3 Q 1 s Chicago 11, 9,9 Santiago , 17 8, C 1 Chicago Santiago 8

6 Influence d une valeur extrême Série de départ Série élaguée minimum Q 1 Me Q 3 maximum Q 3 Q 1 s,1,,9,3 7,98,8,81,1,,9,31,33,7, L écart interquartile est pratiquement inchangé quand on enlève la valeur suspecte. Au contraire l écart-type (très sensible aux valeurs extrêmes) est fortement diminué ( fois plus petit).. L échelle du Q. I. (page 18) A. Notion utilisée Transformation affine des données. y i = x i 8 = x i ( xi z i = 1 1 ) + 1 = 3 x i. ( ) c) Si le résultat est 9, le QI est 11 9=11. ( ) Si le QI est 11, le résultat au test est 11=88..6 Fluctuation de l écart-type entre séries de même taille (page 18) A. Notion utilisée Utilisation d un tableur. Modification des valeurs de la série Si on remplace, par exemple 1 par 17, l écarttype augmente (il devient égal à,36). Si on remplace, par exemple par, l écart-type diminue (il devient égal à,8). c) Si on remplace, par exemple 18 par 3, l écarttype devient plus grand que 6 (s = 7,9). d) Si on remplace, par exemple 18 par 1,1, l écarttype devient plus petit que,6 (s =,3). 6 Corrigés des exercices et problèmes Faire le point Pour se tester 1 c b 3 c a b 6 b 7 c Vrai ou faux 8 V 9 F 1 V 11 F 1 V 13 V 1 F 1 F 16 V 17 V Exercices d application 18 Q 1 = 3 ; Q 3 = 3 ; Me = 3 ; minimum = 1 ; maximum = 8. Q 1 = 13 ; Q 3 = 7 ; Me = 19, ; minimum = 7 ; maximum = valeur effectif effectif cumulé croissant Q 1 = 19 ; Q 3 = 33 ; Me = 9, ; minimum = 1 ; maximum = Q 1 = 19 ; Q 3 = 31 ; Me = ; minimum = ; maximum = 1. c) C HAPITRE 1 S TATISTIQUE 9

7 c) Il y a moins de jours de neige dans la deuxième partie du siècle (deux en moyenne) bien que le maximum du siècle se trouve dans cette deuxième moitié. classe [ ; 8 [ [8 ; 1 [ [1 ; 1 [ [1 ; [ effectif effectif cumulé croissant La médiane se situe dans la classe [1 ; 1 [ ; le premier quartile se situe dans la classe [8 ; 1 [ ; le deuxième quartile se situe dans la classe [1 ; 1 [. 6 Série A : Q 1 = 7 ; Q 3 = 1 ; Me = 9. Série B : Q 1 = ; Q 3 = 11 ; Me = 9. 3 Q 1 = 1 ; Q 3 = 66 ; Me = 7, ; minimum = 3 ; maximum = Nombre de mois minimum Q 1 Me Q 3 maximum New York Portland Les valeurs de la série A sont très concentrées entre 7 et 9 ainsi qu au-delà de 1. Les valeurs de la série B sont très concentrées entre 9 et 11 ainsi qu avant. 7 Q 1 =,9 ; Q 3 = 6, ; Me = 6 ; minimum =, ; maximum = 6,8.,,9 6 6, 6,8 cm Les précipitations varient beaucoup d un mois à l autre à Portland (grande dispersion de valeurs). Elles sont plus régulières à New York. Remarque : le total annuel est à peu près le même à New York (1 3 mm) qu à Portland (1 76 mm). New-York Portland minimum Q 1 Me Q 3 maximum D 1 D 9 série A série B La valeur suspecte est le maximum 19,81 ; presque quatre unités au-delà de la valeur précédente. Sans cette valeur, Q 1 = 1,88 ; Q 3 = 1,9 ; Me = 1,91 ; minimum = 1,86 ; maximum = 16,1.,86 1,88 1,91 1,9 16,1 9 x,37 ; s, ; s,69. L écart-type est exprimé dans la même unité que la valeur de la série (en mm). Nombre de jours de neige Série A Série B 3 31 moyenne : x 3,9. variance : s 83,63 ; écart-type : s 9,1. centre de classe effectif x 1,. s 1,3. c) s 3,8. 1

8 3 s,6. 33 x 3,1 élèves. s, élèves. 3 x 18, ; s, ; Q 3 Q 1 = 16=6. 3 x 1. s = 19 valeurs ne sont pas dans l intervalle [ x s ; x + s], donc 36, soit 6,7 % environ des 36 valeurs sont dans cette intervalle. Avec les fréquences 8,8 % + 19,7 % + 16, % = 6,7 %. Points marqués x 87 ; s 13. Points encaissés x 91; s 9. Points marqués Points encaissés minimum Q 1 Me Q 3 maximum La première série est beaucoup plus dispersée que la deuxième. Série S 1 :Q 3 Q 1 = = 17 ; Série S : Q 3 Q 1 = 17 = 1 = 7. c) Série S 1 :s 9, ; Série S :s 3,9. 37 Série S 1 :Q 3 Q 1 = 1 = 1 ; s 1,9. Série S :Q 3 Q 1 = 13 = 8 ; s,. c) L écart interquartile est beaucoup plus robuste (c est-à-dire moins sensible) que l écart-type aux valeurs extrêmes ou aberrantes de la série. 38 moyenne x 38,1; s 39,3. x s 36, ; x + s 63,7. 3 valeurs sur 3 ne sont pas dans l intervalle [ x s ; x + s], donc 3 soit 91, % environ des 3 valeurs se trouvent dans cet intervalle. 39 x 1,7 ; s 1,. c) x s,3 ; x + s 3, interventions quotidiennes effectif fréquences 3 % 8,8 % 19,7 %16, % 7,7 %,1 %, % c) Points marqués : Q 3 Q 1 = 9 7 =. Points encaissés : Q 3 Q 1 = 97 8 = 13. d) La série des points marqués est plus dispersée que celle des points encaissés. 1 x 7,3 minutes ; s 9, minutes. moyenne variance écart-type x 311,67 17,6 y 1 8,3,9 3 Les nouvelles valeurs sont : moyenne variance écart-type série obtenue 1 1,3 série d origine, 1, 1,3 y effectif ȳ 3, ; s y 1,. x =ȳ + 7 donc x 6,. s x s y donc s x 1,. C HAPITRE 1 S TATISTIQUE 11

9 x,87 euros ; s 6,1 euros. Les quartiles de cette série sont Q 3 = 3 et Q 1 =, l écart interquartile est Q 3 Q 1 = 7. x 6,17 euros ; s 6,1 euros. c) Pour la série initiale Q 3 = (3 + ) : c) x 8,66 euros ; s 6, euros. 1 =,3 et Q 1 = ( + ) : 1 = 19,6 et l écart interquartile est 6 Il suffit d augmenter toutes les notes de deux Q 3 Q 1 =,3 19,6 =,7. points. 7 1 Il faut enlever 11, à chaque note et diviser le ( résultat par 1,8 y = x 11, ). 1,8 poids x , , y = x 17 3, 1, 1 3 effectif Wladimir : 1,8 11,, =, Pour la série transformée : moyenne ȳ,1g ; s y 1,68g ; ȳ s y 3, ; ȳ + s y 3,. Une seule valeur n est pas dans l intervalle [ȳ s y ; y + s y ] donc 199, soit 99, % des valeurs sont dans cet intervalle. 8 centre de classe x, 7, 1, 17,, 7, y = x, effectif Mafalda :,78 9 Mafalda se situe à,78 écarts-types au dessus de la moyenne tandis que Wladimir est à, écartstypes seulement au dessus de la moyenne. Mafalda est donc mieux classée que Wladimir ȳ,87 ; s y, ; sy 6,73. x =,ȳ ; s x =, s y ; sx =, sy. x 1, ; s x 6, ; sx,. 9 y = x Les valeurs de la nouvelle série sont : 189 ; 17 ; 16 ; 37 ; 33 ; 38. et c) moyenne écart-type série y, 1,3 série de départ, 3 67, 1 3 Les valeurs de la nouvelle série sont : x 38,9 ; s,6. 38,9,6 = 9,7 ; 38,9 +,6 =,1. Trois valeurs n appartiennent pas à l intervalle [ x s ; x + s] donc 3, soit 91, % environ des 3 valeurs appartiennent à cet intervalle. c) ȳ = ; s y = 1. d) x [ x s ; x + s] y [ ]. Le pourcentage est le même que celui obtenu en. 1

10 moyenne écart-type section A 9, 3,9 section B 7,7 Si on appelle x i les notes de la série B, la transformation y i = (x i 7) suivie de la transformation,7 z i = 3,9y i + 9, ramène la moyenne à 9, et l écarttype à 3,9. On applique donc la transformation affine suivante aux notes de la section B : z i = 3,9,7 (x i 7) + 9,. 6 moyenne écart-type x 7,7 y 1 z 9, 3,9 1. n = n = 9 =,. Q 1 est la valeur de rang 3 ; Q 1 =. 3. 3n = 6,7 Q 3 est la valeur de rang 7 ; Q 3 = M e = 6. Q 1 = 1 ; Q 3 = 3. c) Mini = ; Maxi =.. Q 3 Q 1 = 3 1 = 17. Au moins % des valeurs sont inférieures ou égales à 1. Au moins 7 % des valeurs sont inférieures ou égales à 3. 8 somme x i effectif n i n i x i n i x i = x = n i x i 1 = 6,98.. ni.x i n i x i = 3. s = n i x i N x = 3 1 6,98,81. 9 La série la plus dispersée est S 3 car il y a beaucoup de valeurs éloignées du centre de la distribution. La série la moins dispersée est S car il y a beaucoup de valeurs proches du centre de la distribution. Remarque : ces 3 séries ont même effectif () même moyenne (,) et même médiane (,). s 1,87 ; s 1,7 ; s 3 3, x i y i effectif ȳ,778 ; valeur arrondie au dixième : ȳ,8. c) y i = x i 18 donc ȳ = x 18 ou x =ȳ + 18 x 18,8 179,.. s y 3,3 (arrondi au dixième), s x = s y donc s x 3,3. 61 Les valeurs de la série ordonnées dans l ordre croissant sont : valeur rang L effectif de la série est n = 11. Le rang du premier quartile est le plus petit entier supérieur à 11 c est-à-dire,7, c est donc la troisième valeur : Q 1 = 7. Le rang du troisième quartile est le plus entier supérieur à 3 11 c est-à-dire 8,, c est donc la neuvième valeur : Q 3 = 19. Exercices d approfondissement 6 1. Échantillon 1 : Q 1 = 6; Q 3 = 66. C HAPITRE 1 S TATISTIQUE 13

11 Échantillon : Q 1 = 67; Q 3 = 7. Échantillon 1 : Q 3 Q 1 =. Échantillon : Q 3 Q 1 =.. ère machine e machine grammes La dispersion est une caractéristique de chaque machine. Les deux machines semblent toutes les deux du même niveau de précision. Par contre la deuxième a tendance à produire des paquets trop lourds. La première machine semble la plus appropriée. 63 Les effectifs des classes de collège sont peu dispersés, ceux de seconde encore moins (mais ils sont plus élevés). On observe une plus grande dispersion en première et en terminale. Ceci est dû aux différentes séries de première et terminale. 6 et série moyenne écart-type coefficient de variation S 11,8 3, % S , 3, % S , % À l échelle près, on obtient le même diagramme en boîte. Le vérifier à la calculatrice et. fleuve moyenne écart-type coefficient de variation Seine 8,3 1,6 9,9 % Rhône ,8 % Le Rhône a un plus fort débit et de grosses variations dans l année, mais relativement à son débit, c est la Seine la plus irrégulière m 3 /s x 11,6 ; s,. Intervalle 1 : [6,; 8,[ Intervalle : [8,; 1,6[ Intervalle 3 : [1,6; 1,8[ Intervalle : [1,8; 1[ Intervalle : [1; 17[ Dans le premier intervalle : Alsace. Dans le deuxième intervalle : Auvergne, Centre, Franche-Comté, Ile de France, Limousin, Rhône- Alpes. Dans le troisième intervalle : Aquitaine, Bourgogne, Bretagne, Champagne-Ardennes, Corse, Lorraine, Midi-Pyrénées, Basse-Normandie, Pays-de-Loire, Poitou-Charentes. Dans le quatrième intervalle : Haute-Normandie, Picardie. Dans le cinquième intervalle : Languedoc-Roussillon, PACA, Nord-Pas-de-Calais L écart absolu moyen est égal à 38 7,3.. 1 x i 17 = ,9. Cette valeur inférieure à l écart absolu moyen. 1 7 x i 16 = 36 7,1. 68 La moyenne est égale à,93. Elle appartient donc à l intervalle [,88;,1]. L écart-type est égal à,. Il appartient donc à l intervalle [,13;,]. c) Rien ne permet de dire que la machine soit déréglée. On poursuit donc la production. 69 moyenne médiane écart-type étendue écart interquartile Axel 3 3 1, 3 Rosa 3 3 1,6 Les mesures de tendance centrale sont égales. La dispersion, mesurée par l étendue ou l écart interquartile est légèrement plus grande pour Axel mais cela ne suffit pas pour différencier les deux élèves. 1

12 c) Rosa peut être qualifiée d élève «moyen» car ses notes sont assez groupées autour de la moyenne. Axel a des notes irrégulières, soit proches du maximum, soit proches du minimum. Une appréciation du style «Du bon et du moins bon» lui irait très bien! Axel Le premier quartile est 9,, le troisième quartile est 11,. 1 3 Rosa C.A. [3; 3[ [3; [ [; [ [; [ effectif effectif cumulé 3 6 croissant L effectif est égal à. Le premier quartile Q 1 se trouve dans la classe [; [ car = 1. c) Le troisième quartile Q 3 se trouve dans la classe [3; [ car 3 = 37. La médiane Me se trouve dans la classe [3; 3[ car =.. Pour calculer Q 1, il faut faire l hypothèse que les valeurs sont réparties uniformément, c est-à-dire que les accroissements de la variable sont proportionnels aux accroissements des effectifs cumulés. C.A. Q 1 effectif cumulé croissant Effectif cumul Ce graphique correspond à un histogramme dont les classes ont une amplitude commune de minutes. L avantage de ce type de graphique est, qu en plus de montrer la forme de la distribution des valeurs, il n y a aucune perte d information, c est-à-dire que les valeurs sont encore disponibles et lisibles sur le graphique.. L étendue est 7 = 33 minutes. Une valeur approchée (au dixième) de l écart-type est 8,1 minutes C.A. [1; 1[ [1; [ [; [ [; 3[ effectif 6 7 effectif cumulé 9 1 croissant On a donc d après la propriété de Thalès : Q 1 9,. Q c) Me 31 ; Q 3 38,. = n (a i +b i )=(a 1 +b 1 )+(a + b ) +...+(a n + b n ) = (a 1 + a a n ) + (b 1 + b b n ) n n = a i + b i. n λa i = λa 1 + λa λa n Q 1 CA (milliers d euros) C HAPITRE 1 S TATISTIQUE 1

13 7 = λ(a 1 + a a n ) n = λ a i. p n i (x i x) = p n i x i = N x x =. p n i x p n i = N x xn 7 1. ȳ = a x. V = 1 n (y i ȳ) n = 1 n (ax i a x) = 1 n a (x i x) n n = 1 n n a (x i x) donc V = a V. c) s = a s = as car a >.. Si x 1 x... x n et a > alors ax 1 ax 1... ax n c est-à-dire y 1 y...< y n. Par conséquent le rang de Q 1 est le même que le rang de Q 1 donc Q 1 = aq 1. c) De même Q 3 = aq 3, donc Q 3 Q 1 = a(q 3 Q 1 ). n n i x k ) k=1(x = 76 (xi x i x k + xk ) i k = ( nxi x i x k + ) xk i k k = n xi n x x i + n xk i i k = n xi n x i ( 1 ) = n xi x n i = n V où V est la variance de la série. 77 La moyenne de la nouvelle série est : x 1, n = = ,8. V = 1 x i x où x = 1,7. x i = ( V + x ) ; pour la nouvelle série. 1 x i = ( V + x ) + 18 La variance de la nouvelle série est : 1 V = 1 xi x 1, on obtient : V 17,91 et s 11,31. Problèmes de synthèse 78 minimum Q 1 Me Q 3 maximum 7 1,3 11, 1,7 16, 1,7 + 1, (1,7 1,3) = 16,3 et 1,3 1, (1,7 1,3) = 6,7. La valeur 16, peut donc être considérée comme aberrante Taux de chômage (%) La moyenne théorique est,. La moyenne de la série S 1 est de,67 (la médiane est,). c) L arrondi au dixième de l écart-type de la série S 1 est,9.. Les moyennes sont :,,7 1,,, 6, 6, 3,7 6, 3,7,, 3 7,7,,,7,, 3,7,7,. La moyenne de cette série S est encore,67 ce qui était prévisible d après les propriétés de la moyenne. c) L écart-type de cette série S est égal à 1,. Il est inférieur à celui de la série S 1 (environ la moitié), ce qui était prévisible car il y a moins de variations dans les moyennes de valeurs que dans les valeurs individuelles. 3. Les 1 moyennes sont :,6 3,,8,,7,7,9, 3,9,8. La moyenne est encore,67 ce qui est prévisible. c) L écart-type de cette série S 3 est égal à,96. Il est inférieur à celui de la série S 1 (environ 3 fois moins), et à celui de la série S ce qui était prévisible puisqu il y a moins de variations dans des moyennes de 1 valeurs que dans des moyennes de valeurs. 16

14 . S S 3 tions très hasardeuses. Malheureusement, les experts qui, après de longues discussions, ont autorisé le tir, ne se sont pas appuyés uniquement sur des considérations statistiques. 1,, 3,6,8 6 7, Cette étude illustre les fluctuations des moyennes dans des échantillons d effectif n. Ces variations diminuent quand n augmente. Plus précisément, leur écart-type varie en fonction inverse de la racine carrée en n Le graphique en tiges et feuilles montre une distribution «bi-modale», c est-à-dire avec deux maximums relatifs. Dans cette situation, les mesures de tendance centrale sont des valeurs peu caractéristiques. Cette distribution peut éventuellement indiquer que l expérience a été mal conduite et. U.S.A P.N.B. en $ par habitant. Quatre pays de l UE avaient un PNB supérieur à celui des États-Unis en lovénie Analyse par âge Q 1 = 3 ans ; Q 3 = ans. ffectif 1 1 P.N.B. en $ par habitant Température en F Analyse par revenu mensuel Q 3 = 11 ; Q 3 = Effectif Âge, 6, 6, 7, 7, 8, Temperature en F Presque tous les incidents (6 sur 7) ont eu lieu pour des températures inférieures ou égales à la médiane. On peut aussi remarquer que le pourcentage de tirs sans incident en dessous de 66 F est égal à %! Pour finir, la température prévue (9 F) est très éloignée des températures pour lesquelles les observations ont été faites, ce qui rend toujours les extrapola Revenu en 3. La moitié de la clientèle est âgée de 3 à ans. La moitié de la clientèle a un revenu mensuel compris entre 11 et euros. Les histogrammes montrent que la classe d âge la plus représentée est celle des 3- ans et le revenu mensuel le plus courant se situe entre 7 et 1 euros. C HAPITRE 1 S TATISTIQUE 17