Progression de 2 nde - «type spiralée»

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1 Progression de 2 nde - «type spiralée» Le document ci-dessous est constitué de plusieurs parties : A) Les différents chapitres de l année rangés suivant les 3 parties du programme : Fonctions, Géométrie, Statistiques et probabilités. B) Progression spiralée de seconde sous forme de tableau (avec les thèmes parallèles) C) Progression sous forme de spirale (uniquement les thèmes centraux) qui sera distribuée aux élèves. D) Capacités attendues par chapitre Commentaires (Tous les chapitres cités en A) sont repris avec toutes les capacités du programme à mettre en œuvre, des commentaires, des références des réflexions ayant permis de bâtir la progression Cette partie est écrite sous forme de prises de notes, sans mises en forme. (nous nous en excusons, le principal est d en retirer les idées «sousjacentes»). Elle est plus ou moins similaire au document «Créations de séquences» en PJ de cet article mais ici avec plus de détails et avec l intégralité du programme. Légende : Commentaires : Fonctions et calculs algébriques Géométrie Statistiques et probabilités Algorithmique Logique et raisonnement Les 3 parties du programme ont été scindées en plusieurs «chapitres» (cf. ci-dessous) qui sont intégrés dans une progression «spiralée» (voir plus bas) La progression est divisée en «séquences» contenant un thème central (parmi ces chapitres) et des «thèmes parallèles». Les «thèmes parallèles» ont pour but notamment de : o Préparer les apprentissages o Revenir et entretenir des notions, des techniques mathématiques. o Travailler sur des «fils rouges», des notions «transversales» du programme (Algorithmique, raisonnement et notation mathématique, statistiques, calculs algébriques. ) Ces apprentissages parallèles pourront se faire dans la séance (de manière régulière, par «petites touches») ou lors de devoirs à la maison.

2 Gestion de la trace écrite par les élèves Les élèves auront besoin d un classeur avec 7 intercalaires dont les titres seront : 1. Fonctions 2. Géométrie 3. Statistiques et probabilités 4. Algorithmique 5. Raisonnement et logique 6. AP 7. Evaluations Les élèves auront au début du classeur la progression en spirale contenant tous les titres de «chapitres» pour se repérer. Tout au long de l année, lorsque l on commence un chapitre (par exemple : «Fonctions de référence»), les élèves feront une page de garde avec le titre (qui sera rangée dans la partie «Fonction»). A la fin de l année, lorsque tout sera abordé sur le chapitre en question, il y aura dans l ordre : - Le cours (qui sera complété progressivement dans l année) - Les activités et exercices. Attention : Même si le «chapitre» commence par le cours dans le classeur (par soucis d organisation et de clarté), cela ne veut en aucun cas dire que le chapitre a été abordé directement par le cours de manière magistrale. Le cours se construit progressivement au travers des activités dans l année et il est alors inséré dans le classeur entre la page de garde et les activités et exercices. Concernant la partie «Fonction», elle contiendra les 3 chapitres «transversaux» concernant le calcul algébrique. Ces chapitres contiendront tous les rappels, exercices techniques non forcément liés aux autres chapitres sur les fonctions. Concernant la partie «Algorithmique», les élèves intégreront toutes les activités liées essentiellement à l algorithmique en tant «qu objet» (variable, affectation ). L idée est la même pour la partie «Logique et Raisonnement». On essayera notamment de bâtir des synthèses de ce que les élèves ont appris au travers des diverses activités, ces rappels étant rédigés de préférence par les élèves eux-mêmes. La partie «Evaluation» contiendra dans l ordre les devoirs surveillés puis toutes les autres évaluations (devoirs maisons, synthèse de TD )

3 Différents chapitres de l année rangés suivant les 3 axes du programme 1. Généralités sur les fonctions 2. Variations d une fonction 3. Fonctions de référence : A. Fonction linéaires et affines B. Fonction carrée et fonction inverse 4. Etudes de fonctions : A. Fonctions polynôme de degré 2 B. Fonctions homographiques 5. Trigonométrie Fonctions Les contenus du programme ci-dessous seront intégrés dans les chapitres ci-dessus, notamment dans le cadre de résolution de problème du type «f(x) = k» ou «f(x)>k» : 6. Transformations d expressions algébriques 7. Equations : Résolution graphiques et algébriques 8. Inéquations : Résolution graphiques et algébriques Géométrie 1. Repérage 2. Droites dans le plan 3. Vecteurs A. Définition, coordonnées de vecteurs, somme de deux vecteurs B. Produit d un vecteur par un réel, vecteurs colinéaires 4. Configuration dans le plan : Résolution de problèmes avec ou sans géométrie repérée 5. Géométrie dans l espace A. Solides usuels B. Droites et plans

4 Statistiques et probabilités 1. Caractéristiques d une série statistique, représentations graphiques 2. Echantillonnage A. Fluctuation d échantillonnage et intervalle de fluctuation. Prise de décision B. Estimation d une proportion 3. Probabilités A. Notion de probabilités, simulation B. Réunion et intersection de deux évènements Les deux contenus du programme ci-dessous seront répartis sur toute l année scolaire au travers des divers chapitres : Algorithmique Notation et raisonnement mathématiques Les outils numériques suivants seront utilisés tout au long de l année : La calculatrice (Ti-82 Stats-fr) Le tableur (Excel ou Openoffice ) Un logiciel «traceur de courbes» (Géogébra, calculatrice ) Un logiciel de géométrie dynamique (Géogébra, cabri-géomètre ) Un logiciel pour la géométrie dans l espace (Géospace, cabri-3d ) Un logiciel pour l algorithmique (Algobox, Laarp, calculatrice ) Un logiciel de calcul formel (Xcas ) A voir en cours d année, à établir une progression (non traitée ici) : - Intégration progressive des TICE et des capacités techniques liées aux outils numériques - Développer l intelligence de calcul (Projet TRAAM à mettre en œuvre-cf commentaires du programmes et doc accompagnements) - Développer les compétences liées à la démarche scientifique par la résolution de problèmes ouverts (tâches complexes, narration de recherche à y réfléchir cette année) Cette progression spiralée n est pas terminée, elle sera complétée au cours de l année, notamment la partie apprentissage parallèle et les DM.

5 Périodes Durée réelle 1 3 semaines 2 2 semaines 3 Partie «graphique» finie avant les vacances 4 Fini vers le 22 novembre 5 Fini début décembre PROGRESSION SPIRALEE DE SECONDE SOUS FORME DE TABLEAU Axe Thème «central» Apprentissages «parallèles» Durée approx Fonctions Généralités sur les Algorithme : Définition, structure 2 fonctions Raisonnement : Ensembles de nombres, intervalles (réunion, intersection ), semaines quantificateurs, négation d une proposition, contre-exemple pour infirmer une proposition universelle Résolution graphique équation type f(x)=k et f(x)=g(x) DM (3 ème ) Développer, factoriser, identités remarquables Parallélogrammes Egalité de Pythagore Géométrie plane Statistiques Fonctions Géométrie dans l espace Modifié : Vecteur et coordonnée Repérage Caractéristiques d une série statistique, représentations graphiques Variation d une fonction Espace (1) Solides usuels 6 Probabilité Probabilité (1) Notion de probabilités, simulation. Algorithme : Variable et affectation, entrée et sortie, initiation au pseudo-langage. Raisonnement : Propriété directe et réciproque, condition nécessaire et suffisante, raisonnement par l absurde ou contraposée (Pythagore) DM(3 ème ) Théorème de Thalès et réciproque Equations du premier degré, équations-produit Algorithme : Si alors sinon, organigramme, pseudo-langage DM : Raisonnement : par l absurde (du type : n² pair implique n pair), par disjonction de cas (du type : n(n+1) pair) Inéquations (3 ème ) Triangles inscrits Trigonométrie (3 ème ) Algorithme : Boucle For, organigramme, pseudo langage Raisonnement : Quantificateurs, négation d une proposition, contre-exemple pour infirmer une proposition universelle Expressions algébriques : Développement et factorisation d expressions polynomiales Résolution graphique inéquation type f(x)>k, f(x)>g(x) Résolution algébrique d équation (on débute) :(A(x).B(x) = 0) Algorithme : Du pseudo-langage à Algobox/Ti DM : Droites remarquables d un triangle - Droite des milieux Algorithme : Du pseudo-langage à Algobox/Ti (avec simulation Boucles) Raisonnement : vocabulaire sur les ensembles, négation d une proposition, «et,ou» distinction avec le langage usuel DM : Synthèse écrite des TD en informatique Révision système d équations à deux inconnues 1 semaine... Commentaires - Ne pas perdre de temps l année prochaine sur les intervalles et ensembles de nombres - Peut-être intervertir repérage et fonctions.

6 7 Fonctions Fonctions de référence (1) Fonctions linéaires et affines 8 Géométrie plane : Vecteurs Vecteurs (1) Définition, coordonnées de vecteurs, somme de deux vecteurs 9 Statistiques Echantillonnage (1) Fluctuation d échantillonnage, intervalle de fluctuation et simulation. Prise de décision 10 Fonctions Fonctions de référence (2) Fonction carrée et fonction inverse 11 Géométrie plane Droites dans le plan 12 Probabilité Probabilité (2) Réunion et intersection de deux évènements 13 Fonctions Etude de fonctions (1) Fonctions polynôme de degré 2 14 Géométrie plane Configuration dans le plan : Résolution de problèmes avec ou Algorithme : Algobox/Ti et fonctions définies par morceaux (Boucles) Raisonnement : Quantificateurs, négation d une proposition, contre-exemple pour infirmer une proposition universelle Expressions algébriques : Développement et factorisation d expressions polynomiales Equations et inéquations : Résolution graphique et algébrique type f(x)=k, f(x)=g(x) Tableau de signe d un produit, inéquation produit DM : TRAAM/optimisation/raisonnement DM : Raisonnement/ Démonstration DM : Synthèse écrite des TD en informatique Algorithme : Boucle tant que : Algorithme de tracé de courbe avec Algobox Raisonnement : Quantificateurs, négation d une proposition, contre-exemple pour infirmer une proposition universelle Expressions algébriques : Développement et factorisation d expressions polynomiales, transformer des expressions rationnelles simples Equations et inéquations : Résolution graphique et algébrique (notamment x²=a, A(x)/B(x) = 0) ; Tableau de signe d un quotient (à voir ) Equations : Systèmes d équations linéaires, ax+b=cx+d DM : Raisonnement/Démonstration Raisonnement : par disjonction de cas Algorithme : Dichotomie Raisonnement : Quantificateurs, négation d une proposition, contre-exemple pour infirmer une proposition universelle Expressions algébriques : Développement et factorisation d expressions polynomiales Equations et inéquations produit : Résolution graphique et algébrique - Tableau de signe d un produit DM : TRAAM/optimisation/raisonnement Algorithme : Mise en œuvre d algorithmes simples Capacités de raisonnement et d autonomie à développer dans des problèmes DM : Raisonnement/ Démonstration

7 sans géométrie repérée. 15 Statistiques Echantillonnage (2) Estimation d une proportion 16 Fonctions Etude de fonctions (2) Fonctions homographiques 17 Géométrie plane : Vecteurs Vecteurs (2) Produit d un vecteur par un réel, vecteurs colinéaires 18 Fonctions Trigonométrie 19 Géométrie Espace (2) dans l espace Droites et plans DM : Synthèse écrite des TD en informatique Raisonnement : Quantificateurs, négation d une proposition, contre-exemple pour infirmer une proposition universelle Expressions algébriques : Transformer des expressions rationnelles simples Equations et inéquations quotient : Résolution graphique et algébrique (A(x)/B(x)=0) - Tableau de signe d un quotient DM : TRAAM/optimisation/raisonnement DM : Raisonnement/ Démonstration Raisonnement : par l absurde DM : Raisonnement/ Démonstration Remarques : Nous n avons pas mis toutes les durées réelles, elles ont été mises juste pour exemples vu qu elles sont personnelles. Même remarque pour les durées approximatives et les commentaires.

8 Fonctions 18. Trigonométrie 16. Etude de fonctions (2) : Fonctions homographiques 13. Etude de fonctions (1) : Fonctions polynômes de degré Fonctions de référence (2) : Fonctions carrées et fonctions 7. Fonctions de référence (1) : Fonctions linéaires et affines Les éléments ci-dessous seront intégrés dans cette progression spiralée tout au long de l année (fils rouges) Algorithmique Raisonnement et logique Calcul algébrique (équations, inéquations ) TICE 4. Variations sur les fonctions 1. Généralités sur les fonctions 2. Repérage 5. Espace(1) : Solides usuels 8. Vecteurs (1) : coordonnées, somme de deux vecteurs Droites dans le plan 14. Configuration plane 17. Vecteurs (2) : Produit d un vecteur par un réel 19. Espace (2) : Droites et plans Géométrie 3. Caractéristiques d une série statistiques, Représentation graphiques 6. Probabilités (1) : Notions, simulation 9. Echantillonnage (1) : fluctuation d échantillonnage, intervalle de fluctuation et simulation. Prise de décision 12. Probabilité (2) : Réunion et intersection de deux évènements 15. Echantillonnage (2) : Estimation d une proportion 16. Statistiques et Probabilités PROGRESSION SPIRALEE 2 NDE 2012/2013

9 Capacités attendues par chapitre - Commentaires Fonctions 1. Généralités sur les fonctions

10 Logiciels de tracés de courbes, pour les tables de valeurs (Ti, géogébra ) utilisés 2. Variations d une fonction Utilisation des fonctions de la calculatrice Problème d optimisation, mise en équation, inéquation de problèmes..à mettre en œuvre Utilisation de Xcas (calcul formel) pour trouver des extremum (cf doc accompagnement fonctions)

11 3. Fonctions de référence : A. Fonction linéaires et affines Lien avec les équations et inéquations B. Fonction carrée et fonction inverse 4. Etudes de fonctions : A. Fonctions polynôme de degré 2

12 B. Fonctions homographiques 5. Trigonométrie Un travail en amont sera fait dans le cadre de la géométrie plane sur le lien avec la trigonométrie du collège.

13 Les contenus du programme ci-dessous seront intégrés dans les chapitres ci-dessus, notamment dans le cadre de résolution de problème du type «f(x) = k» ou «f(x)>k». A la lecture du programme, les notions ci-dessous ne doivent pas faire l objet de chapitres mais doivent être des outils au service de résolutions de problème dans le cadre des fonctions. 6. Transformations d expressions algébriques Techniques à développer le long des chapitres - Développer et factoriser des expressions polynomiales o Avec la règle de distributivité o Avec les identités remarquables. - Savoir factoriser lorsque le facteur n est pas apparent (opposé ou autre ) - Réduire une expression - Prouver que deux expressions algébriques sont égales - Transformer des expressions rationnelles simples (à lier aux fonctions homographiques)

14 7. Equations : Résolution graphiques et algébriques Techniques à mettre dans tous les chapitres au service de la résolution de problèmes : Equation utiles dans tous les chapitres pour résolution d équations du type : f(x) = k ou f(x) = g(x), notamment : o ax+b=cx+d o x²=a (fonction carrée) o a/b=c/d permet de se ramener à des équations plus simples. o A(X).B(X) = 0 et toutes s y ramenant par une factorisation. (notamment grâce à a=b equ a-b=0) o A(x)/B(x)=0 et toutes s y ramenant par transformations algébriques. o Systèmes d équations à deux inconnues Réflexion sur quand intégrer les deux objectifs principaux du programme dans les divers chapitres choix personnels : Résolution équation f(x)=k Résolution équation f(x)=g(x) Résolution inéquation f(x)>k Résolution inéquation f(x)>g(x). Graphique : Dès la séquence : 1. Généralités Graphique : Dès la séquence 1. Généralités Graphique : Dès la séquence 1. Généralités Graphique : Dès la séquence 2. Variations Algébrique : Dès la séquence 3. Fonctions de réf Algébrique : Dès la séquence 3. Fonctions de réf Algébrique : Dès la séquence 1. Généralités Algébrique : Dès la séquence 2. Fonctions de référence

15 8. Inéquations : Résolution graphiques et algébriques Techniques à mettre dans tous les chapitres au service de la résolution de problèmes à lier avec les résolutions algébriques : Résolution algébriques d inéquations nécessaires à la résolution de problèmes : o Type ax+b<cx+d, notamment ax+b>0 : lien signe fonction affines o Etude du signe d une expression produit o Etude du signe d un quotient de facteurs

16 Géométrie 1. Repérage Utilisation des logiciels de géométrie dynamique (géogébra), travail également sur l algorithmique.

17 2. Droites dans le plan 3. Vecteurs A. Définition, coordonnées de vecteurs, somme de deux vecteurs

18 B. Produit d un vecteur par un réel, vecteurs colinéaires

19 4. Configuration dans le plan : Résolution de problèmes avec ou sans géométrie repérée Dans la progression spiralée, ce «thème central» n apporte aucune connaissance nouvelle. Ce n est pas un «chapitre en soi». L idée est d utiliser les connaissances de géométrie du collège afin de résoudre des problèmes, l élève devant être capable progressivement de les résoudre de manière autonome en choisissant ou non la géométrie repérée. Ce chapitre début en fait donc très tôt dans l année par le biais de DM permettant de revoir les notions de collège et de travailler progressivement cette autonomie. Dans la progression spiralée, cette séquence fait office de synthèse des éléments vus à ce sujet. Notions revues notamment de collège : A. Symétrie axiale et centrale B. Triangles : droites remarquables, propriétés C. Triangle inscrit dans un cercle. D. Trigonométrie E. Pythagore F. =Parallélogrammes/parallélogrammes particuliers G. Thalès H. Droites des milieux Ces notions serviront également de point d appui pour introduire diverses notions liées au raisonnement et à la logique.

20 5. Géométrie dans l espace A. Solides usuels On reverra notamment les calculs d aires et de volumes, les patrons de solides. Les calculs de longueurs permettront de remettre en œuvre les théorèmes de géométrie plane. Introduction de géospace et aide à son utilisation autonome. L idée est d utiliser directement ces connaissances et capacités dans des résolutions de problèmes afin de développer des attitudes chez les élèves liées à la démarche scientifique. Donc, éviter les révisions pendant la séance (les premiers DM serviront à revoir ces notions), les intégrer dans des exercices apportant des éléments nouveaux. B. Droites et plans

21 Statistiques et probabilités Les statistiques jouent un rôle important dans tous les programmes de mathématiques du lycée. C est un chapitre qui peut être abordé de manière transversale sur plusieurs chapitres (fil rouge Importance d y revenir régulièrement). L aspect simulation (choix d un modèle puis le simuler) est ici fondamental avec l utilisation du tableur ou d algorithmes. Référence à lire ou relire : Doc accompagnements Stats au lycée (Apmep) Plot n 38 A acheter : Enseigner les stats au lycée : Des enjeux aux méthodes (IREM, Piednoir et Dutarte), Probabilités au lycée(irem), Pratique de la statistique : Expérimenter, modéliser et simuler (Claudine Schwartz)

22 1. Caractéristiques d une série statistique, représentations graphiques On pourra introduire les caractéristiques d une série à partir d enquêtes effectuées auprès des élèves (cf. PLOT n 29, les stats en seconde Pombourcq). On s appuyera alors sur les connaissances des élèves pour découvrir ensuite de nouvelles notions ou techniques (effectifs cumulés, calcul de moyennes à partir des fréquences, calculs de médianes et quartiles à partir des fréquences cumulées ) L utilité des effectifs cumulés se fera sentir en changeant les variables didactiques (n grand). Utilisation de la Ti pour calculer ces caractères. Utilisation du Tableur pour obtenir ces caractéristiques Les différences de résultats entre logiciels sont expliquées dans le livre Stats au lycée. Les logiciels (Ti, Géogébra, tableur) permettront d obtenir des représentations graphiques diverses spécifiques au type de caractères, notamment : - Histogramme (caractères continus) - Courbe fréquence cumulées (notamment pour les caractères continus) - Nuages de points (vers l ajustement affine ) Montrer l intérêt des fréquences cumulées pour les caractères continus (médianes, quartiles.)

23 2. Echantillonnage A. Fluctuation d échantillonnage et intervalle de fluctuation. Prise de décision Importance d effectuer des manipulations pratiques avant de simuler. Importance d effectuer des simulations et de l apport de l algorithmique. Penser à garder traces des expériences simulées afin de pouvoir les réinvestir, les reprendre lors de la progression spiralée (les expériences doivent servir de «référents» afin de construire un modèle (tirage bernoullien) chez l élève. Relire plot n 38 + Stats en seconde (Pombourcq)+doc accompagnement (les 3) Pratiques de la statistique B. Estimation d une proportion

24 Extrait doc accompagnement Terminale : Intervalle de confiance : Qu une sensibilisation en seconde (en fin de progression spiralée). 3. Probabilités

25 Ce sera notamment l occasion de travailler en parallèle sur la logique et raisonnement avec les notions sur les ensembles, inclusion, «et, ou», complémentaire, négation. Approche fréquentiste à mettre en œuvre par le biais de simulation. (tableur, algorithme ) A. Notion de probabilités, simulation Importance de créer des modèles référents (préparer au schéma de Bernoulli) : Travail sur les expériences à plusieurs épreuves (revenir sur la propriété sur les produits de probabilités ) Travail sur les représentations possibles : - Arbres des possibles pondérés par les probabilités. Dans le cas d expériences à plusieurs épreuves : Utilité pour le dénombrement (relir doc accompagnement 1 ère ) - Diagramme : Venn : Lien avec les ensembles. - Tableaux : Penser notamment aux tableaux croisés permettant de calculer des probabilités AetB Cf. Doc accompagnement 2 nde + celui des STG ou ST2S)

26 B. Réunion et intersection de deux évènements Les deux contenus du programme ci-dessous seront répartis sur toute l année scolaire au travers des divers chapitres. Ils ne font pas l objet d un thème central spécifique. Les diverses notions et capacités seront vues progressivement en cours d année et seront ensuite synthétisées dans le classeur dans la rubrique «Algorithme» ou «raisonnement». Algorithmique

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28 Utiliser le stage Algorithmique Progressions, quelques «balises» : - Définition (programme de calculs ) - Structure (entrée, traitement, sortie) : Activité «pâte à crèpe» - Variable (tableur) et affectation et début pseudo-langage : Activité Sophie Fur sur les fonctions+ Travail sur l affectation (lecture d algorithme, analyser, interpréter, créer : procédure échange ) - Instruction «si alors sinon» : Avec activités simples ou Syracuse Introduction de Laarp : Représentation mentale : Organigramme. - Introduction boucle for avec algorithme en pseudo langage + Laarp : Travail en mode pas à pas. - Du pseudo langage à Algobox : Varier les registres : Activités Sophie Fur avec la géométrie repérer et les programme de calculs Introduction langage programmation Ti - Boucle tant que : Avec algorithme de tracé de courbes avec Algobox- Tjrs travailler les différents registres (organigramme, langage naturel, pseudo langage et langage de programmation ) - Evaluer par compétence (cf. 4 Evaluation des pratiques)s, créer des programmes : Avec Ti ou Algobox.

29 Notation et raisonnement mathématiques Relire doc accompagnement sur le raisonnement et la logique : Les fonctions permettent de travailler sur les ensembles, les quantificateurs universels Les probabilités permettent également de travailler sur les ensembles. La géométrie permet de travailler sur les CNS, notamment les conditions suffisantes lors de la phase de recherche d un exercice (raisonnement inductif) Intervalle de nombre ne fait donc pas l objet d un chapitre spécifique. Raisonnement par l absurde : Géométrie espace, théorème de Pythagore, propriétés arithmétiques. Par disjonction de cas : exercices type avec n pair ou impair, preuve de p(aoub).

30 Les outils numériques suivants seront utilisés tout au long de l année : La calculatrice (Ti-82 Stats-fr) - Table de valeurs, représentation d une fonction, extremum. - Caractéristiques d une série statistique, représentations graphiques - Algorithme, simulations.. Le tableur (Excel ou Openoffice ) - Insérer des formules, référence absolue et relative - Table de valeurs (fonctions, variables) - Fonctions classiques (quartile ) - Représentation graphiques (nuage de points, histogramme, diagramme ) - Simulation, instruction conditionnelle (nb.si ; SI.). Un logiciel «traceur de courbes» (Géogébra, calculatrice ) Un logiciel de géométrie dynamique (Géogébra, cabri-géomètre ) - Savoir créer des figures diverses, émettre des conjectures... Un logiciel pour la géométrie dans l espace (Géospace, cabri-3d ) - Créer des solides, pouvoir les visualiser, obtenir des patrons. Un logiciel pour l algorithmique (Algobox, Laarp, calculatrice ) Un logiciel de calcul formel (Xcas ) - Ecrire des fonctions, calculer des images - Résoudre des équations, inéquations.