Étude de formes de boucles électromagnétiques pour la détection des deux roues motorisées

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1 Résumé Ce papier présente trois modèles analytiques tridimensionnels correspondant à trois formes de boucles électromagnétiques (rectangulaire, circulaire et losange). Ces modèles basés sur la loi de Biot et Savart permettent d une part de calculer l inductance propre de boucle et d autre part de déterminer les mutuelles entre boucles adjacentes. En outre ils permettent d étudier la distribution du champ magnétique autour de la voie de circulation pour différentes hauteurs. Ces modèles sont validés par une étude numérique également tridimensionnelle utilisant le logiciel de calcul de champ FLUX3D. Les résultats de cette étude, nous permettra de déterminer la forme de boucle pouvant être utilisée pour la réalisation du nouveau système hybride de détection des deux roues motorisées. Étude de formes de boucles électromagnétiques pour la détection des deux roues motorisées H. KERBOUAI*, A. N DIAYE*, D. BOUQUAIN*, S. SRAIRI**, D. GUICHON**, A. El-MOUDNI* * Institut de recherche sur les transports, l énergie et la société (IRTES/SeT) UTBM, Belfot Cedex ** Direction Régionale et Interdépartementale de l Équipement et de l Aménagement Ile-de-France (DRIEA Idf) Trappes Cedex hamza.kerbouai@utbm.fr INDUCTANCE PROPRE DE LA BOUCLE Mots clefs Boucle électromagnétique, inductance propre, mutuelle, deux roues motorisées INTRODUCTION La détection des 2RM (deux roues motorisées) est d autant plus difficile du fait du gabarit (i.e., petit et léger) et des comportements des motocyclistes (i.e., remontée de file, passage sur bande d arrêt d urgence, etc.). Il y a donc très peu voire pas de systèmes efficaces ou efficients applicables à la détection des 2RM [6]. Dans le cadre du projet METRAMOTO (MEsure du TRAfic des deux-roues MOTOrisés pour sécurité routière et l évaluation des risques) il a été question de développer un système hybride associant boucles électromagnétiques et câbles piézo-électriques pour détecter et suivre les 2RM dans le trafic. La conception d un système de détection fiable passe par la connaissance des caractéristiques magnétiques des boucles. Le but de cet article est d étudier différentes formes de boucles électromagnétiques pour une meilleure connaissance des caractéristiques magnétiques de chaque boucle. Parmi les boucles étudiées figure la boucle rectangulaire qui est très utilisée dans les systèmes actuels de détection. Sont également étudiées la boucle circulaire et la boucle losange. L étude a consisté à développer pour chacune des boucles un modèle analytique tridimensionnel basé sur la loi de Biot et Savart. Les modèles ainsi développés permettent de calculer d une part l inductance propre de boucle et d autre part de déterminer les mutuelles entre boucles. Les modèles théoriques sont validés par une étude numérique en 3D utilisant le logiciel de calcul de champs FLUX3D. MODÉLISATION ANALYTIQUE D UNE BOUCLE ÉLECTROMAGNÉTIQUE RECTANGULAIRE Dans ce paragraphe, nous présentons le modèle développé pour la boucle rectangulaire dont le but est de déterminer la variation de l inductance propre de la boucle ainsi la distribution du champ magnétique autour d elle. Figure 1. Boucle électromagnétique rectangulaire Figure 2. Portion de fil Selon la loi de Biot et Savart, l induction magnétique à une distance R d un élément de courant Idl (cf. figure 2) est donné par : L angle entre l élément du courant et est d où : (1) (2) octobre-décembre 2013 [TEC 220] 61

2 On donne : En remplaçant (4) et (5) dans (2) l expression de l induction magnétique devient : INDUCTANCE MUTUELLE ENTRE DEUX BOUCLES ADJACENTES La mise en place de deux boucles adjacentes influe sur l inductance totale des deux boucles d une valeur de M appelée mutuelle entre les deux boucles. Dans la figure 3 sont présentées sur le même plan deux boucles de mêmes dimensions. (3) Le flux traversant la section de la boucle se calcule par la relation suivante : Figure 3. Deux boucles magnétiques rectangulaires adjacentes En intégrant la relation (7), nous obtenons la relation du flux et par conséquent celle de l inductance propre de la boucle sous la forme suivante : (4) Le flux mutuel entre les deux boucles se calcule en intégrant le champ magnétique créé par les quatre portions de la boucle 1 traversant la surface de la boucle 2. En utilisant le théorème de Biot et Savart, l induction magnétique créée par une portion de fil est donné par l expression suivante : (7) D où : Tel que : (5) (6) Le vecteur est orienté dans le sens direct par rapport au sens de parcours du courant I d une part et d autre part les deux boucles sont situées sur la même surface x = 0 d où : Le flux créé par la boucle 1 et qui traverse la deuxième boucle se calcule comme suit : (8) Nous commençons par le calcul du flux créé par la portion p 1 (9) (10) (11) 62 [TEC 220] octobre-décembre 2013

3 En intégrant la relation (17), l expression du flux est donnée par : d un élément de courant Idl, l induction magnétique est donné par : (16) Il suffit de calculer l induction sur un point situé sur le plan x,y d où : Z = 0 La distance R est donnée par la relation :...(12) Les flux mutuels créés par les portions p 1, p 2 et p 3 se calcule comme suit : (13) En Remplaçant (23) dans (22) l expression de l induction magnétique se simplifie et nous avons : (17) (14) (15) Le flux magnétique est obtenu en intégrant l expression de l induction autour de la boucle (cf. figure 4) (18) MODÉLISATION ANALYTIQUE D UNE BOUCLE CIRCULAIRE Dans ce paragraphe, nous présentons la modélisation analytique de la boucle circulaire. CALCUL DE L INDUCTANCE PROPRE DE LA BOUCLE CIRCULAIRE La boucle magnétique étudiée est de forme circulaire de rayon extérieur R. Le rayon du câble est r c (cf. figure 4). D où (19) Les deux intégrales elliptiques peuvent être résolues en utilisant des algorithmes numériques [4] CALCUL DE L INDUCTANCE MUTUELLE ENTRE DEUX BOUCLES ADJACENTES Figure 4. Boucle circulaire Pour déterminer l induction magnétique créée par un arc d anneau circulaire de faible section traversée par un courant, on utilise généralement la formule de Biot et Savart. A la distance R Grover [2] [3] [5] a proposé une formule pour calculer la mutuelle entre deux boucles circulaire de rayon R 1 et R 2 inclinées les unes par rapport les autres. La distance entre les centres des deux boucles est C, et la distance entre leurs axes est d (cf. figure 5). L expression proposée par Grover est la suivante : octobre-décembre 2013 [TEC 220] 63

4 (20) (22) MODÉLISATION ANALYTIQUE D UNE BOUCLE LOSANGE Dans ce paragraphe, nous présentons la modélisation analytique de la boucle losange. CALCUL DE L INDUCTANCE PROPRE DE LA BOUCLE CIRCULAIRE Nous avons supposé dans ce cas un repère non-orthonormé figure 6. La boucle est en forme losange de dimensions l et Figure 5. Deux boucles circulaires adjacentes En se basant sur la formule (30), la mutuelle entre deux boucles adjacentes situées sur le même plan et séparées par une distance d vaut : Figure 6. Boucle losange (21) Selon la loi de Biot et Savart, l expression de l induction magnétique au point M est donnée par : (23) Afin de simplifier l intégrale, nous avons estimé la fonction en une fonction cosinus. Posons : L induction magnétique créée par une seule portion se calcule selon l expression suivante : D où l expression de la mutuelle entre les deux boucles présentées sur la figure 5 se simplifie pour donner l expression suivante : (24) 64 [TEC 220] octobre-décembre 2013

5 Le flux magnétique traversant la surface de la boucle losange est donné par : Le flux créé par la portion 1 traversant la boucle 2 se calcule comme suit : (25) Après calcul l expression du flux devient : (29) (26) (30) (31) (32) MUTUELLE ENTRE DEUX BOUCLES ADJACENTES SITUÉES SUR LE MÊME PLAN Figure 7. Boucle losange Le calcul de l inductance mutuelle entre deux boucles adjacentes passe par le calcul du flux crée par une portion de boucle traversant l autre boucle. (27) L induction magnétique crée par une portion est donné par l expression suivante : (28) CONCLUSION Afin de valider les trois modèles analytiques décrits ci-dessus, nous avons effectué des simulations numériques au moyen du logiciel de calcul du champ FLUX3D. Les résultats issus de ces simulations sont assez proches de ceux obtenus par les modèles analytiques. La distribution de l induction magnétique autour de la voie de circulation dépend des dimensions, de la forme géométrique et de la position de la boucle. La figure 8 présente la distribution de l induction magnétique autour d une voie de largeur 3,5 m dans laquelle est implantée une boucle de dimension m. Nous remarquons des endroits pauvres en champ magnétique. La distribution de l induction magnétique autour d une boucle circulaire de rayon 1 m est présentée par la figure 9. Cette dernière présente une distribution uniforme à partir d une hauteur de 0,3 m. Pour assurer la détection, il est nécessaire de placer aux endroits pauvres du champ magnétique des câbles piézoélectriques. La gestion de l ensemble du système hybride doit être assurée par un algorithme de gestion dédié. Les tableaux 1 et 2 présente la sensibilité entre deux boucles adjacentes. Cette dernière dépend de la distance entre les deux boucles. Un choix optimal de la forme de la boucle et de ces dimensions consiste à choisir une boucle permettant de couvrir la voie par un champ magnétique quasi uniforme de tel sorte que l influence de la boucle adjacente soit négligeable. octobre-décembre 2013 [TEC 220] 65

6 Figure 8. Distribution de l Induction magnétique autour d une boucle rectangulaire de dimension 2 1,5 m Figure 9. Distribution de l Induction magnétique autour d une boucle circulaire de rayon 1 m L 1 = (1.5 2) m 2 R = 1 m d(m) S 1 (%) d(m) S 1 (%) L 1 = (2 2) m 2 R = 1,2 m d(m) S 1 (%) d(m) S 1 (%) Tableau 1. variation de la sensibilité d une boucle rectangulaire Tableau 2. variation de la sensibilité d une boucle circulaire Références [1] Clayton R. Paul Inductance Loop and Partial. Edition WILEY, Canada [2] Grover, F. W., \The calculation of the mutual inductance of circular laments in any desired postions, proceedings of the I.R.E., 620{629, Oct [3] Grover, F. W., Inductance Calculations, Dover, New York, [4] Abramowitz, M. and I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Series 55, 595, National Bureau of Standards Applied Mathematics, Washington DC, Dec [5] S. I. Babic, validity check of mutual inductance formulas for filaments with lateral and angular misalignements, Progress In Electromagnetics Research M, Vol. 8, 15{26, [6] Centre d Études techniques de l Équipement de Normandie-Centre La détection des deux-roues motorisés dans le trafic, quels systèmes, quels outils?, Les rapports d étude, [TEC 220] octobre-décembre 2013