L objectif ultime de ce cours se résume par le développement de la compétence suivante:

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1 L ojet et la place du cours dans le programme Le cours Modèles mathématiques II constitue le second volet des deux cours de mathématiques que doivent suivre les étudiants inscrits au programme des Technologies du génie électrique (T. G. É.). Les étudiants y acquièrent des connaissances mathématiques essentielles à leur champ d étude et y développent une hailité à utiliser efficacement les dites connaissances dans leur domaine. Dans ce cours, l étudiant sera mis en contact avec des outils lui permettant de travailler avec le concept de changement: taux de variation, dérivée, équation différentielle, intégrale indéfinie, intégrale définie. Dans le programme T. G. É., le concept de changement est largement présent. En outre, l étudiant complétera l étude des nomres complexes amorcée au cours Modèles mathématiques I en les appliquant à l étude des circuits à courant alternatif. Dans tout le cours, l étudiant verra le rôle que jouent les mathématiques dans la modélisation des domaines scientifiques. Par ailleurs, les mathématiques, par le iais des hailetés intellectuelles dont elles favorisent le développement, contriuent à la formation fondamentale de l étudiant. Elles visent également à doter le futur technicien d une compétence professionnelle équilirée et complète et d une formation lui permettant de poursuivre son éducation à long terme. Les ojectifs généraux du cours L ojectif ultime de ce cours se résume par le développement de la compétence suivante: Résoudre des prolèmes d application faisant appel à des concepts mathématiques fondamentaux. L'ojectif gloal de ce cours est de donner à l'étudiant à la fois une formation générale puisque la compétence à résoudre des prolèmes en est une fondamentale (parce qu indépendante du domaine de résolution) et une formation sur mesure puisqu on parle d applications. Sur le plan du savoir, ce cours lui permettra d'aorder d importants concepts mathématiques utilisés dans son domaine et, sur le plan du savoir-faire, de les appliquer de façon adéquate aux esoins de sa spécialité et d en communiquer les résultats. C'est dans cet esprit qu'ont été formulés les ojectifs généraux suivants pour les étudiants du cours Les connaissances: l étudiant doit 1.1 connaître, comprendre, savoir appliquer et rattacher un sens aux concepts, aux modèles, aux résultats et algorithmes mathématiques rencontrés dans le cours; 1.2 connaître et utiliser correctement les définitions, la terminologie, le symolisme et les conventions mathématiques rencontrés dans le cours; 1.3 connaître les quatre phases de la résolution de prolèmes (au sens de 1

2 Polya); 1.4 connaître les stratégies générales de résolution de prolèmes les plus utiles dans son champ d activités. 2. Les hailetés: l étudiant doit 2.1 avoir acquis l haitude du travail méthodique; 2.2 avoir développer son intuition, son sens de l oservation, sa rigueur à travers ses diverses expériences mathématiques; 2.3 être haile à reconnaître des régularités ( patterns ) dans une situation à caractère mathématique; 2.4 associer et utiliser correctement le modèle mathématique approprié à une situation donnée; 2.5 interpréter correctement des expressions utilisant le langage et la terminologie mathématique; 2.6 résoudre un prolème en utilisant les techniques mathématiques appropriées, rédiger sa solution selon un déroulement logique, clair et complet en employant correctement le symolisme et la terminologie mathématiques ainsi que la langue française; 2.7 interpréter correctement le résultat d un prolème et porter un jugement critique sur le dit résultat; 2.8 appliquer dans le on ordre les phases de résolution de prolèmes; 2.9 être haile à appliquer les stratégies générales de résolution de prolèmes les plus utiles; 2.10 produire et interpréter correctement des représentations graphiques; 2.11 relier les aspects numérique, graphique et symolique qui se présentent dans l étude et l utilisation des éléments de contenu du cours; 2.12 utiliser correctement l algère pour simplifier une expression algérique, résoudre une équation, calculer une dérivée, une intégrale ou résoudre une équation différentielle; 2.13 utiliser une calculatrice efficacement et avec un esprit critique; 2.14 étalir des liens avec les cours de sa spécialité. 3. Les attitudes: ce cours doit amener l étudiant à 3.1 développer sa créativité, sa curiosité intellectuelle et son autonomie; 3.2 comprendre et améliorer son propre processus d apprentissage et se responsailiser face à celui-ci; 3.3 développer son sens de la collaoration avec autrui dans la réalisation d une tâche collective; 3.4 être rigoureux sur le plan intellectuel et avoir le souci d être clair, précis, ordonné et méthodique; 3.5 avoir une attitude positive et confiante lorsqu il est confronté à des prolèmes et se valoriser dans l effort et le travail ien fait; 3.6 prendre des initiatives afin d utiliser ses connaissances mathématiques dans les autres cours de son programme. 2

3 Contenu 1. Modèles sinusoïdaux modèle mécanique: un rayon vecteur complexe en rotation autour de l origine concepts de ase: vitesse angulaire, amplitude, période, fréquence, cycle, angle de phase initial liens entre le modèle mécanique et la sinusoïde associée interprétation de l amplitude, de la période, de la fréquence, de l angle de phase initial dans le contexte du modèle mécanique interprétation de l amplitude, de la période, de la fréquence, de l angle de phase initial dans le contexte graphique d une sinusoïde formules liant vitesse angulaire, période et fréquence graphique de la sinusoïde associée à une fonction de la forme A sin (wt + f) utilisation des transformations graphiques élémentaires (étirement-compression vertical, étirement-compression horizontal, translation horizontale) pour tracer le graphique de la sinusoïde associée à une fonction de la forme A sin (wt + f) déphasage et déphasage-temps de deux sinusoïdes de même fréquence 2. Sinusoïdes et impédance liens entre le courant alternatif et le modèle mécanique le nomre complexe E(t) pour le voltage le nomre complexe I(t) pour le courant vecteurs de phase: définition et addition addition de deux sinusoïdes de même fréquence définitions d impédance complexe et d impédance réelle représentation graphique de l impédance complexe dans le plan complexe impédance des composantes fondamentales: impédance d une composante résistive impédance d une composante inductive impédance d une composante capacitive impédance de composantes montées en série impédance de composantes montées en parallèle concept de circuits équivalents circuit série équivalent à un circuit donné circuit parallèle équivalent à un circuit donné 3. Taux de variation notation D (delta) pour représenter une variation taux de variation moyen d une fonction sur un intervalle interprétation graphique du taux de variation moyen en termes d une pente de sécante interprétation du signe d un taux de variation moyen taux de variation ponctuel d une fonction (approche numérique) notation de Leiniz pour le taux de variation ponctuel (df/dx) interprétation graphique du taux de variation ponctuel en termes d une pente de tangente 3

4 approximation affine d une fonction à l aide de son taux de variation ponctuel des taux de variation utiles: vitesse, accélération, déit, courant, etc. applications à la cinématique interprétation graphique du déplacement en termes d aire de la surface sous la coure de la fonction vitesse 4. La dérivée taux de variation ponctuel d une fonction (approche algérique en termes de limite) définition de la fonction dérivée de f(x) par rapport à x (notations: f (x), d f(x) / dx) en termes de limite d un taux de variation moyen df(x) f(x + x) f(x) f '(x) = = lim dx x 0 x interprétation graphique de la fonction dérivée en termes de pente de tangente interprétation de la fonction dérivée en termes de taux de variation ponctuel concept de fonction dérivale premières formules de dérivation: dérivée d une fonction constante dérivée d une fonction puissance dérivée de la fonction exponentielle naturelle dérivée de la fonction logarithme naturelle dérivée de la fonction sinus dérivée de la fonction cosinus premières règles de dérivation: dérivée d une d une somme de fonctions dérivée d une d une différence de fonctions dérivée d une d une fonction multipliée par une constante numérique dérivée d un produit de fonctions dérivée d un quotient de fonctions dérivée d une composée de fonctions avec la notation de Leiniz (règle de dérivation en chaîne) dy dy du = * où u est une fonction de x dx du dx applications de la règle de dérivation en chaîne aux cas suivants: dérivée de f(x) n dérivée de e u où u est une fonction dérivée de ln u où u est une fonction dérivée de sin u où u est une fonction dérivée de cos u où u est une fonction 5. Applications de la dérivée a) en termes de taux de variation concept de taux de variation liés 4

5 application des taux de variation liés à plusieurs situations ) en termes graphiques concepts de croissance et de décroissance d une fonction critère de monotonie énoncé en termes de dérivée première étude de la croissance et de la décroissance d une fonction à l aide de sa dérivée première concept de dérivée seconde et ses différentes notations concepts de concavité et de point d inflexion critère de localisation d un point d inflexion concept d extremem relatif (maximum ou minimum) premier critère de localisation d un extremum relatif (test de la dérivée première) second critère de localisation d un extremum relatif (test de la dérivée seconde) asymptote horizontale, asymptote verticale applications aux tracés de coure applications des comportements asymptotiques aux fonctions exponentielles décroissantes et aux modèles de croissance ornée c) en termes de différentielles concept de la différentielle d une fonction en un point, notation interprétation géométrique de la différentielle approximation de la variation d une fonction à l aide de sa différentielle concepts d équation différentielle et de solution d une équation différentielle estimation de la variation d une fonction à l aide d une somme de différentielles introduction à la méthode d Euler pour solutionner une équation différentielle 6. L intégrale indéfinie concept de primitive d une fonction unicité de la primitive à une constante près l intégrale indéfinie de f(x) comme la famille de primitives de f(x) notation de l intégrale indéfinie premières formules de l intégrale indéfinie: a dx = ax + k où a et k sont des constantes xn dx = x n k pour n -1 n + 1 x 1 dx = ln x + k ex dx = e x + k cos x dx = sin x + k sin x dx = -cos x + k propriété de linéarité de l intégrale indéfinie: 5

6 au dx = a (u + v) dx = u dx + u dx où a est une constante et u une fonction de x v dx où u et v sont des fonctions de x intégration indéfinie par changement de variale intégration indéfinie par sustitution trigonométrique utilisation de l intégrale indéfinie pour résoudre une équation du type: dy = f(x) dx 7. Équations différentielles concepts d équation différentielle, de solution d une équation différentielle, de condition initiale, d équation différentielle à variales séparales résolution analytique de l équation différentielle: dy = k(a y) dx application de ce type d équation à plusieurs contextes: loi de refroidissement de Newton désintégration radioactive charge et décharge d un condensateur charge et décharge d une oine 8. L intégrale définie l intégrale définie comme l aire d une surface sous une coure notation de l intégrale définie lien entre intégrale définie et intégrale indéfinie: le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral propriétés de l intégrale définie: a f(x) dx = 0 a a a dx = a k f(x) dx = k a a a (f(x) + g(x)) dx = a a f(x) dx = f(x) dx f(x) dx où k est une constante f(x) dx + a g(x) dx calcul d une intégrale définie par changement de variale avec modification des ornes d intégration 9. Applications de l intégrale définie 6

7 distinction entre aire algérique et aire géométrique calcul de l aire d une région plane ornée calcul de la valeur moyenne d une fonction sur un intervalle application à des circuits à courant alternatif pour calculer la valeur efficace d une tension, d un courant ou de la puissance moyenne calcul de la variation d une fonction sur un intervalle connaissant son taux de variation Ojectifs spécifiques 1. Modèles sinusoïdaux mettre en relation les aspects mécanique, graphique et symolique d un modèle sinusoïdal donner le sens des termes: amplitude, vitesse angulaire, fréquence, période, cycle, angle de phase initial, déphasage angulaire et déphase-temps utiliser les formules liant période, fréquence et vitesse angulaire à partir du graphique d'une sinusoïde, en soutirer l'amplitude, la fréquence, la période, l'angle de phase initial et la fonction qui lui est associée à partir d'une fonction de la forme A sin (wt + f), en déduire l'amplitude, la fréquence, la période, l'angle de phase initial de la sinusoïde associée et la dessiner dans le plan cartésien calculer le déphasage angulaire et le déphasage-temps entre deux sinusoïdes de même fréquence et identifier celle qui est en avance 2. Sinusoïdes et impédance dans le cas d un circuit à courant alternatif, représenter un courant ou un voltage à l aide de la projection verticale d un nomre complexe animé d un mouvement circulaire uniforme passer d un nomre complexe variale donnant le courant à la fonction sinusoïdale donnant le courant et inversement passer d un nomre complexe variale donnant le voltage à la fonction sinusoïdale donnant le voltage et inversement énoncer la définition d impédance complexe énoncer la définition d impédance réelle représenter une impédance complexe dans le plan complexe donner la valeur de l impédance complexe d un circuit de ase: purement résistif, purement inductif, purement capacitif calculer l impédance complexe totale d un circuit comportant des composantes de ase montées en série ou en parallèle donner la définition de circuits équivalents déterminer et dessiner le circuit parallèle équivalent à un circuit donné 7

8 déterminer et dessiner le circuit série équivalent à un circuit donné donner la définition d un vecteur de phase additionner deux vecteurs de phase additionner deux fonctions sinusoïdales de même fréquence et donner le résultat sous cette même forme 3. Taux de variation donner la définition de taux de variation moyen et celle de taux de variation ponctuel interpréter graphiquement en termes de pente un taux de variation moyen et un taux de variation ponctuel utiliser la notation D dans la symolisation d un taux de variation moyen utiliser la notation de Leiniz pour symoliser un taux de variation ponctuel utiliser le taux de variation ponctuel d une fonction pour estimer la variation de celle-ci sur un intervalle par une approximation affine définir les taux de variation suivants: vitesse, accélération, déit, courant utiliser le concept de taux de variation pour résoudre des prolèmes de vitesse, de déit, de courant instantané La dérivée donner la définition de la dérivée d une fonction f par rapport à x: lim x 0 f(x + x) f(x) x utiliser les principales notations de la dérivée: celle de Lagrange (f (x)) et celle de Leiniz (df(x) / dx) interpréter graphiquement la dérivée en termes de pente de tangente transposer directement un taux de variation sous forme d une dérivée et inversement calculer la dérivée des fonctions suivantes à l aide de la définition: f(x) = mx + f(x) = ax 2 + x + c f(x) = ax 3 f(x) = 1/x f(x) = x calculer la pente d une tangente à la coure d une fonction, donner l équation de cette tangente et en donner une représentation graphique énoncer les premières formules de dérivation: dérivée d une constante, dérivée de x n, dérivée de e x, dérivée de ln x, dérivée de sin x, dérivée de cos x écrire les règles de dérivation: d une somme, d une différence, d un produit, d un quotient, d une composée de fonctions ainsi que la règle de dérivation en chaîne calculer la dérivée d une fonction à l aide des formules et des règles de dérivation 5. Applications de la dérivée 8

9 résoudre un prolème de taux de variation en utilisant la dérivée mathématiser une situation de taux liés résoudre un prolème de taux liés énoncer les critères de monotonie et de concavité déterminer les intervalles de croissance et de décroissance d une fonction à l aide du signe de la dérivée première déterminer les intervalles de concavité vers le as, de concavité vers le haut à l aide du signe de la dérivée seconde énoncer les tests de la dérivée première et de la dérivée seconde localiser les extremums (maximums et minimums) d une fonction à l aide du test de la dérivée première et/ou du test de la dérivée seconde localiser les points d inflexion du graphique d une fonction esquisser le graphique d une fonction à partir de son taleau de variation donner la signification des comportements asymptotiques donner la définition de la différentielle ainsi que sa notation interpréter la différentielle en termes graphiques faire des approximations à l aide de la différentielle utiliser une somme de différentielles pour estimer une variation 6. L intégrale indéfinie donner la définition d une primitive d une fonction énoncer le lien entre les différentes primitives d une fonction ainsi que sa contrepartie graphique donner la définition de l intégrale indéfinie et connaître sa notation énoncer les formules de ase des intégrales indéfinies: l intégrale indéfinie d une constante, de x n lorsque n 1, de 1/x, de e x, de sin x, de cos x énoncer la propriété de linéarité de l intégrale indéfinie calculer une intégrale indéfinie à l aide des formules et de la propriété de linéarité calculer une intégrale indéfinie en utilisant un changement de variale calculer une intégrale indéfinie en faisant une sustitution trigonométrique utiliser l intégrale indéfinie pour résoudre analytiquement une équation différentielle simple du type: 7. Équations différentielles dy = f(x) dx traduire une situation par une équation différentielle avec une ou des conditions initiales construire (avec une approche numérique) l esquisse du graphique de la fonction solution à partir de l équation différentielle résoudre analytiquement une équation différentielle qui se ramène au calcul d une intégrale indéfinie simple reconnaître et résoudre analytiquement une équation différentielle à variales séparales du type: 9

10 dy = k(a y) dx 8. L intégrale définie interpréter graphiquement une intégrale définie en termes d aire d une surface sous la coure délimitée à gauche et à droite par des verticales transposer l aire d une surface sous une coure en termes d intégrale définie et calculer cette intégrale énoncer le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral calculer une intégrale définie à l aide du théorème fondamental du calcul différentiel et intégral énoncer les propriétés de l intégrale définie utiliser les propriétés de l intégrale définie dans le calcul d une intégrale définie calculer une intégrale définie par changement de variale en effectuant un changement de ornes 9. Applications de l intégrale définie différencier les concepts d aire algérique et d aire géométrique calculer l aire d une région plane ornée en utilisant une ou des intégrales définies calculer la valeur moyenne d une fonction sur un intervalle calculer la valeur efficace d une tension ou d un courant d un circuit à courant alternatif calculer la variation d une fonction sur un intervalle connaissant son taux de variation 10