Suites arithmétiques & suites géométriques

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1 1ère STI - Chapitre 6: Suites arithmétiques & suites géométriques Une suite est intuitivement un ensemble infini de nombres réels qui se suivent. Par conséquent, nous sommes amené à numéroter ces éléments. On note souvent u 0, u 1,...les termes d une suite (u n ). A chaque indice (ou numéro) des termes on associe donc un réel : une suite peut donc être vue comme une fonction de N dans R. Il y a deux manières habituelles de définir les termes d une suite : Chaque terme est défini en fonction de n; ex : n N, u n = 2n + 1, la suite des nombres impairs. Chaque terme est défini par rapport au précédent (il est donc primordiale de connaître le premier terme de la suite!). On dit que les termes de la suite sont alors définis par récurrence. Ex : u 0 = 1 et u n+1 = u n +2 est aussi la suite de nombres impairs. Si u 0 = 0, ça devient la suite des nombres pairs. Nous allons étudier deux types de suites définies par récurrence : les suites arithmétiques et les suites géométriques.

2 2 Pourquoi des progressions, suites et moyennes arithmétiques, géométriques et harmoniques? (cf. http ://mapage.noos.fr/r.ferreol/langage/notations/notations.htm) Rappelons que des nombres sont en progression arithmétique si la différence de deux termes consécutifs est constante (comme 8, 12, 16, 20), en progression géométrique si le rapport de deux termes consécutifs est constant (comme 8, 12, 18, 27) et en progression harmonique si les inverses sont en progression arithmétique (comme 3, 4, 6, 12); dès lors, une suite est arithmétique, géométrique, harmonique si ses termes sont en progression arithmétique, géométrique, harmonique et c est la moyenne arithmétique, géométrique, harmonique de a et b si les nombres a, c, b sont en progression arithmétique, géométrique, harmonique. Ces qualificatifs «arithmétique, géométrique, harmonique» sont très anciens : ils sont dus aux pythagoriciens, au sixième siècle avant Jésus-Christ. L expression «arithmétique» est probablement due au fait que les entiers naturels 1, 2, 3, 4, (arithmos en grec) forment la plus simple des suites arithmétiques. L expression «géométrique» provient plutôt de la moyenne géométrique qui s obtient par une construction... géométrique : à partir de deux longueurs a et b, on obtient la moyenne géométrique c par le procédé : a c L expression «harmonique» est à rattacher à la suite des inverses des naturels qui est la plus simple des suites harmoniques. Cette suite ( 1 ) s introduit naturellement en n musique, ce qui explique son nom : si une corde de longueur l vibre à une fréquence f, une corde (de même masse linéique et de même l tension) de longueur, l, l vibrera aux fréquences 2f, 3f, 4f... qui sont les «harmoniques» de f. On peut ajouter que si le terme «raison» (du latin ratio, «rapport») se justifie bien dans le cas des suites géométriques, où il désigne le rapport constant d un terme au précédent, ce n est pas le cas sinon par analogie pour une suite arithmétique, où il désigne la différence constante entre un terme et le précédent. b

3 3 1 Suites arithmétiques. 1.1 Définitions - Exemples. (a) Définition Une suite arithmétique de raison r est une suite récurrente dont premier terme u 0 est un réel fixé et telle que : u n+1 = u n + r. Le nombre r est appelé raison de la suite (u n ). (b) Exemple 1.2 Propriétés. (a) Passage à la définition en fonction de n. Théorème : Soit (u n ) une suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison r. Aors, on a : n N, u n = u 0 + n r. a : Remarques : Si on connaît comme premier terme le terme u 1, alors, on n N, u n = u 1 + (n 1) r. Si on connaît le terme u p, alors, on a : n N, u n = u p + (n p) r. Exercice : Soit (u n ) une suite arithmétique telle que u 7 = 15 et r = 2. Déterminer u n en fonction de n. (b) Représentation graphique On utilise un repère orthonormé (O, i; j). En abscisse, on place les numéros (indices) des termes de la suite, en ordonnée, ses valeurs de ces termes. Pour une suite arithmétique, les points obtenus sont situés sur une droite d ordonnée à l origine u 0 et de coefficient directeur r. Exercice : Représenter graphiquement la suite (u n ) définie par u n = 3n 5

4 4 1.3 Somme de termes consécutifs. (a) Exemple de la suite des nombres entiers. On a On cherche à calculer S = S = En additionnant les deux lignes et en regroupant les termes par paquets (il y en a 100) de valeur 101 chacun, on observe alors que D où 2S = S = Cette idée est due à Karl Friedrich Gauss ( ) à l âge de 8 ans! (b) Cas général. La somme de termes consécutifs d une suite arithmétique est donnée par la formule suivante : (c) Exemple S = Nombre de termes premier terme + dernier terme. 2 Pour les n premiers entiers, on a donc la formule générale : n k = n = k=1 n(n + 1). 2 (Le symbole n ) n -lettre sigma majuscule- se lit somme pour k allant de 1 à k=1 (c) Exercice Le Prince Abdallah collectionne ses bougies d anniversaires depuis sa naissance sauf une année où il a été malade. Aujourd hui, il a 99 bougies. Quel âge a-t-il? A quel âge a-t-il été malade?

5 5 2 Suites géométriques. 2.1 Définitions - Exemples. (a) Définition Une suite géométique de raison r est une suite récurrente dont premier terme u 0 est un réel fixé et telle que : u n+1 = u n q. Le nombre q est appelé raison de la suite (u n ). (b) Exemple 2.2 Propriétés. (a) Passage à la définition en fonction de n. Théorème : Soit (u n ) une suite géométrique de premier terme u 0 et de raison q. Alors, pour tout n N, on a u n = u 0 q n. a : Remarques : Si on connaît comme premier terme le terme u 1, alors, on n N, u n = u 1 q n 1. Si on connaît le terme u p, alors, on a : (b) Exercices n N, u n = u p q n p. 1. Soit (u n ) une suite géométrique telle que u 1 = 139 et q = 4. Déterminer u n en fonction de n, puis calculer u Soit (u n ) une suite géométrique telle que u 3 = 71 et u 5 = 639. Calculer la raison q.

6 6 2.3 Somme de termes consécutifs. (a) Calcul de 1 + q + q q n. Théorème : Si q 1, on a (b) Formule à retenir. 1 + q + q q n = 1 qn+1 1 q. La somme de termes consécutifs d une suite géométique est donnée par la formule suivante : (c) Exercices de termes 1 raisonnombre S = (premier terme). 1 raison 1. Calculer la somme Selon la légende, le jeu d échecs fut inventé en Inde par un savant. Le Roi, séduit par ce nouveau loisir, le convoqua au palais : Ton jeu m a redonné la joie de vivre! Je t offre ce que tu désires! Le sage ne voulait rien et ne dit mot. Le roi offensé s énerva : Parle donc, insolent! Tu as peur que je ne puisse exaucer tes souhaits? Le sage fut blessé par ce ton et décida de se venger : - J accepte ton présent. Tu feras déposer un grain de blé sur la première case de l échiquier. - Et c est tout? Te moquerais-tu de moi? - Pas du tout, Sire. Vous ferez mettre ensuite 2 grains sur la deuxième case, 4 sur la troisième et ainsi de suite... Le Roi s énerva pour de bon : Puisque tu honores si mal ma générosité, vas-t-en! Ton sac de blé te sera porté demain et ne me dérange plus! Le lendemain matin, le Roi fut réveillé par son intendant affolé : Sire, c est une catastrophe! Nous ne pouvons pas livrer le blé! Nos mathématiciens ont travaillé toute la nuit : il n y a pas assez de blé dans tout le royaume pour exaucer le souhait du savant! Combien le Roi devra-t-il donner de grains de blé au savant? Sachant que 16 grains de blé pèsent en moyenne 1 gramme, donner la masse de blé correspondante.