PROBLEME 1: Expériences avec une corde de Melde (barème sur 25 points)

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1 PCSI A et B - Lycée Brizeux 10 octobre 2015 Devoir de sciences physiques n 2 (2h) PROBLEME 1: Expériences avec une corde de Melde (barème sur 25 points) On admet pour ce problème la formule donnant la célérité c d'une onde dans une corde tendue de masse linéique µ (masse par unité de longueur) soumise à une tension T : c= T μ. Lors d une expérience avec la corde de Melde, schématisée ci-dessus, on observe les résultats suivants, pour une même longueur L de la corde et une même masse M accrochée à celle-ci: fréquence de résonance f 2 =19 Hz pour deux fuseaux ; fréquence de résonance f =28 Hz pour trois fuseaux ; On note c la vitesse de propagation de l'onde. 1. Faire un schéma de la corde dans chaque cas en précisant les longueurs d'onde notées λ 2 et λ respectivement. 2. Ces valeurs numériques des fréquences sont-elles compatibles entre elles?. Exprimer les fréquences de résonance suivantes en fonction d'un entier n. On donnera la relation numérique qui ne dépendra que de n. 4. Exprimer la fréquence f 1 du mode fondamental en fonction de L et c. 5. On cherche à déterminer c. Pour cela, on fait varier L et on mesure la fréquence f 1 du mode fondamental. On obtient le tableau de valeurs ci-dessous : L en cm f 1 en Hz 9,50 Hz 9,16 8,94 8,7 8,46 8,27 Déterminer c en faisant une régression linéaire utilisant les données du tableau. Expliquer votre démarche et justifier la validité du modèle utilisé. 6. La masse M accrochée à la corde est égale à 25,0 g Quelle est la tension T de la corde? Faire l'application numérique En déduire un ordre de grandeur de la masse linéique de la corde. Quelle autre méthode peut-on utiliser pour faire cette détermination?. Donnée numérique : intensité de la pesanteur : g=9,81m.s 2. 1

2 PROBLEME 2: Trou d'young (barème sur 10 points) Un Laser envoie, sur un trou circulaire de faible diamètre d percé dans un plan π 0, un faisceau de lumière parallèle monochromatique, de longueur d onde dans le vide λ 0 (Fig 0). On observe la figure 1 sur l'écran π E placé à la distance D de π 0 ( π E et π 0 sont parallèles). Le faisceau incident se propage dans la direction Ox perpendiculaire aux plans. L'expérience s'effectue dans l'air d'indice optique n. On associe au plan π E le repère (O,y, z) où O est le centre de la tache centrale. y Figure 0 Tache centrale et 1 er anneau Laser Trou O z x π 0 π E D La figure 2 donne, en fonction de z, l intensité lumineuse I observée sur π E. 1) Quel est le phénomène physique mis en jeu? 2) Le rayon R de la tache centrale, supposé égal à z 1, est donné par l'une des relations suivantes où k est une constante sans dimension dépendant de la géométrie et dont la valeur approchée est k = 1,2 pour un trou circulaire. k λ 0 D ou k λ 0 D ou k λ 0d n d n d 2 n D Écrire la bonne réponse en justifiant brièvement les raisons de votre choix. ) On peut considérer que le trou d Young se comporte comme une source lumineuse, notée S, quasi ponctuelle, émettant de la lumière dans un cône d'angle au sommet θ correspondant à la tache centrale de la figure 1. Évaluer θ littéralement en fonction de k, λ 0, n et d. On pourra supposer θ petit. 4) Le laser utilisé est un laser He-Ne de longueur d'onde λ 0 = 6nm. Le trou a un diamètre d = 50,0μm et D = 2,00m. En déduire le rayon R de la tache centrale exprimé en mm. On considérera dans les calculs n = 1,00. 2

3 PROBLEME : Couleurs et lumière (barème sur 60 points) Depuis les travaux de Newton au XVII ème siècle, la lumière blanche naturelle est considérée comme composée de différentes couleurs. Les différentes parties sont indépendantes. Données relatives au problème: Vitesse de la lumière dans le vide c =, m.s -1. Constante de Planck : h = 6, J.s. 1eV = 1, J. Distance Terre-Soleil : d = 1, km. Rayon du Soleil : R S = 7, km. Indice de l air : n air =1,0. Indice de l eau pour le rouge : n R =1,1. Indice de l eau pour le bleu : n B =1,7. Indice de la couche superficielle de l aile de papillon : n = 1,5. Épaisseur de la couche superficielle de l aile de papillon : e = 190 nm. I Considérations générales I.1. Rappeler les longueurs d ondes typiques correspondant aux extrémités du spectre de la lumière visible. En déduire les fréquences correspondantes. I.2. Qu appelle-t-on spectre d une lumière? Citer 2 sources de lumière donnant des spectres discontinus, quel est le phénomène physique à l'origine de ces spectres? I.. Le rayonnement le plus intense de la lampe à vapeur de sodium (Na) correspond à la longueur d onde moyenne λ Na = 589 nm. Les niveaux d énergie simplifiés pour l électron de valence de l atome de sodium sont donnés dans le tableau cidessous : Nom du niveau s p 4s d 4p Energie E i (en ev) -5,1 -,0-1,9-1,5-1, A quelle transition correspond la longueur d onde moyenne : λ Na = 589 nm? II Couleurs de l arc-en-ciel La lumière provenant du soleil est supposée contenir toutes les longueurs d onde du visible. Dans l atmosphère, la lumière solaire rencontre des gouttes d eau supposées sphériques, de rayon R. Les angles sont définis positifs dans toute cette partie. Figure 1 i A r O α β B γ Direction incidente δ C D II.1. A quelle condition sur les rayons R des gouttes d eau est-il légitime de négliger le phénomène de diffraction? Cette condition est-elle vérifiée en pratique? II.2. A partir des données, calculer l angle maximal que font entre eux deux rayons provenant du soleil et arrivant en un point donné. En déduire qu il est raisonnable de considérer les rayons provenant du soleil comme parallèles. Quel est l ordre de grandeur de la résolution angulaire de l œil? Quelle conséquence cela a-t-il sur notre façon de percevoir le soleil?

4 II.. Une goutte d eau de centre O est atteinte par un faisceau parallèle de lumière solaire sous des incidences i variant de 0 à 90. Sur la figure 1 est représenté un rayon particulier. L eau est considérée comme un milieu transparent d indice n. II..a. Au point A où le rayon considéré rencontre la goutte d eau, y-a-t-il réfraction et réflexion ou seulement réfraction? Justifier. Exprimer l angle r de réfraction en fonction de l angle d incidence i et de l indice n. II..b. Exprimer les angles α et β en fonction de r et/ou i. En B, y-a-t-il réflexion totale ou réflexion et réfraction? Justifier. II..c. En C, expliquer pourquoi le rayon peut ressortir de la goutte. Exprimer les angles γ et δ en fonction de r et/ou i. II..d. Est-ce légitime de considérer que toutes les réflexions et réfractions représentées sur la figure ci-dessus se font dans un même plan? Justifier II..e. On appelle déviation D l angle entre le rayon incident en A et le rayon émergent en C. Montrer que D=2(i 2r)+ π. = II..f. En pratique, la lumière repart principalement dans la direction D(i 0 ), telle que sin i 4 n2 0. Or l eau est un milieu dispersif. Calculer i 0 (en degrés) pour le bleu et pour le rouge. En déduire la déviation principale pour le bleu et pour le rouge. II..g. Pour observer l arc-en-ciel, faut-il se placer dos ou face au soleil? Faire obligatoirement un schéma. II..h. Le rouge est-il à l intérieur ou à l extérieur de l arc? Faire obligatoirement un schéma. III. Irisation d une aile d insecte : Une lumière monochromatique de longueur d onde λ arrive avec une incidence i 1 sur l aile d un papillon dont la couche superficielle est modélisée par une lame transparente à faces parallèles, d épaisseur e et d indice n. Pour simplifier le rayon incident est supposé se séparer en deux rayons de même intensité. Le premier est réfléchi directement sur le premier dioptre, le second est successivement réfracté (angle i 2 ), réfléchi puis de nouveau réfracté. Les différents rayons sont représentés sur la figure 2. A la sortie de la lame, les rayons 1 et 2 sont parallèles, ils interfèrent en un point M situé à l'infini. La différence de chemin optique parcouru par les deux rayons, appelée encore différence de marche, au point M d'interférence est définie par : δ = r 2 - r 1 = n (IJ+JI ) IH (r 1 est le chemin optique parcouru par le rayon 1 et r 2 celui parcouru par le rayon 2) III.1. Repérer les angles i 1 dans le triangle (II H), puis i 2 dans le triangle (IKJ) ; Ensuite, montrer que la différence de marche entre les rayons 1 et 2 supposés interférer à l infini peut se mettre sous la forme : δ=2 n' ecos i 2 Figure 2 III.2. Applications numériques : En incidence normale, quelle(s) longueur(s) d onde du domaine visible est observable depuis l infini? On s appuiera sur l analyse des valeurs de différence de marche qui rendent l intensité maximale (interférences constructives). Qu en est-il sous l incidence i 1 = 60? III.. Que voit donc un observateur situé loin du papillon lorsque ce dernier bouge ses ailes, ce qui fait varier l incidence? 4

5 Correction du problème 1: A. Expérience avec une source : 1. Schéma de la corde dans chaque cas : 2. Les longueurs d onde vérifient, à la résonance, L=λ 2 = 2 λ. Or λ= c f expérimentales donnent on en déduit la relation théorique f = =1,5. Les f 2 2 valeurs =1,47.. Les valeurs obtenues sont compatibles entre-elles à 2% près.. La fréquence du mode fondamental est f 1 = f 2 =9,5 Hz. Les fréquences de résonance suivantes vérifient la 2 relation f n =n f 1 =9,5 n avec n >. 4. f 1 = c 2 L 5. Les fréquence du mode fondamental vérifient la relation de la question précédente en posant Y = f 1 et X = 1 L L'équation devient celle d'une droite: Y = a X où a= c 2 Après voir vérifié que les points de coordonnées (X,Y) sont alignés, on fait une régression linéaire avec les couples de valeurs (X,Y). On obtient : a=11,66 ; et r 2 =0,994 r 2 >0,99 Le modèle utilisé est validé et c=2a=2, m.s La tension de la corde est T=m g= ,81=0,245 N La célérité vérifie la relation : c= T μ d'où μ= T c = 0, , =4, kg.m 1. Une autre méthode pour déterminer μ consiste à peser une longueur L de corde, ainsi μ= m L. Correction du problème 2: 1) Le phénomène physique mis en jeu est la diffraction d une onde lumineuse. 2) La seconde proposition est sans dimension donc ne peut pas décrire une longueur. De plus la tache de diffraction est d autant plus étendue que le trou est petit, ce comportement n est pas décrit par la ème formule mais par la 1 ère donc R=k λ 0 D n d. ) D après la description du dispositif tan θ 2 = R D. Dans l'hypothèse où θ est petit tan θ 2 θ 2 donc θ 2 = R D =k λ 0 n d d'où θ=2k λ 0 n d. 4) Application numérique : pour l'air on peut considérer que n=1 donc θ=2 1, =0,0 rad d On vérifie que θ est petit. Pour D = 2,00m, on obtient : R= D θ 2 =0,00 m=0 mm. On peut pour cette question, également utiliser la formule de R donnée dans l'énoncé. 5

6 Correction problème : (d après AGRO-VETO 201) I. Considérations générales 1 λ v =400nm< λ< λ R =800nm ; grâce à la relation ν= c λ on obtient : ν v =7, Hz et ν R =, Hz 2 Un spectre de lumière est la décomposition sur un écran des différentes longueurs d'ondes qui la constituent. Comme sources de lumière discontinue, on peut citer les lampes spectrales et les lasers Le phénomène physique à l'origine des ces sources est l'émission de photons quantifiés suite à la désexcitation d'atomes initialement excités. A la longueur d'onde, on peut associer l'énergie du photon émis E= h c λ = 6,6.10 4, =2,1ev ,6.10 La transition correspond à celle d'un niveau plus excité vers un niveau moins excité : (on peut retirer E aux niveaux les plus excités pour retrouver un niveau moins excité existant) On trouve E p E = --2,1=-5,1= E s. La transition électronique est du niveau p vers le niveau s II. Couleurs de l'arc en ciel 1 La diffraction peut être négligée si la dimension caractéristique de la goutte est nettement supérieure aux longueurs d onde intervenant. Cette condition est vérifiée en pratique, puisque le diamètre d une goutte est de l ordre du mm, tandis que les longueurs d onde du visible sont inférieures à 1 μ 2 a b Le schéma ci-contre permet de mettre en évidence l angle recherché : tan α 2 α 2 = R s d. Soit : α= 2R s d = , =9,.10 rad Cette ouverture angulaire étant très faible, on pourra considérer les rayons provenant du Soleil comme parallèles. Notons que l œil a une résolution angulaire de l ordre de.10-4 rad, ce qui lui permet de distinguer ces différents rayons provenant du Soleil et donc de ne pas voir ce dernier comme un point. Le rayon passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent. Il y a réfraction. Le dioptre a un pouvoir réfléchissant, Il y a donc aussi réflexion (dont on ne tient pas compte dans le sujet). D'après la 2ème loi de Snell et descartes : sin i=n sin r Le triangle (OAB) est isocèle, donc r=α. Au point B, d'après la loi du retour inverse de la lumière il y réfraction (dont on ne tient pas compte dans le sujet) mais aussi réflexion du au pouvoir réfléchissant du dioptre ainsi : α=β. c Le triangle (OBC) est isocèle, donc β=γ. En C la goutte peut sortir d'après le principe du retour inverse de la lumière ainsi δ=i. d D'après les lois de Snell st Descartes le rayon réfracté AB est dans le plan d'incidence formé par le rayon incident et OA. BC est dans le plan formé par OB et AB or OB est dans le plan OAB donc BC est dans le plan d'incidence. De même on en déduit que le rayon CD est dans le plan d'incidence. La figure est plane. e Au passage en A : Le rayon est dévié de i r. Au passage en B : Il est dévié de π 2r. Au passage en C : Il est dévié de = i r. On en déduit que D=2(i 2r)+ π. f Pour le bleu on obtient : i 0B =59,2, r 0B =40,0, D B =18,5 Pour le rouge on obtient : : i 0R =59,5, r 0R =40,4, D R =17,6 6

7 g Pour que l œil reçoive les rayons déviés selon Do, il faut que l observateur soit dos au Soleil. Soleil Oeil goutte h D R < D B. Le rouge est à l'extérieur de l'arc en ciel. Rem : le point de sortie n'est pas exactement le même pour les 2 rayons contrairement au schéma simplifié ci-contre. Direction incidente D R D B III. Irisation d'une aile d'insecte 1 IJ + JI ' =2 IJ = 2e cosi 2 HI =II ' sin i 1 or II ' =2KI=2 e tan i 2 donc HI =2 e tan i 2 sin i 1 or sin i 1 =n' sini 2 donc HI =2 e tan i 2 n' sini 2 d'où δ=n ' (IJ + JI ' ) HI =n' δ=n ' 2 e cosi 2 2 e tan i 2 n' sin i 2 d'où 2 e cosi 2 (1 sin 2 i 2 ) d'où δ=n' 2 e cos i 2 2 En incidence normale : i 1 = i 2 = 0, alors δ=2 n ' e ; AN : δ=2 1,5 190=570nm Les interférences sont constructives si δ= p λ ; p = 1 est la seule valeur possible pour λ dans le domaine visible. Conclusion : λ=570nm Couleur jaune-vert. Pour i 1 = 60 : sin i 2 = sin i 1 n = 2 1,5 = 1 donc cos i 2= 1 1 = 2 d'où δ=2 1, A nouveau, la seule valeur possible de p est p = 1, pour λ dans le =465 nm visible. λ=465 nm Couleur bleue. Si le papillon bouge ses ailes, l angle d incidence de la lumière varie, et la couleur perçue dans la direction des rayons réfléchis varie. Les ailes paraissent irisées. 7