NOTIONS DE MECANIQUE DES FLUIDES

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1 NOTIONS DE MECNIQUE DES FLUIDES Cours et Exercices Corrigés Riadh EN HMOUD Centre de Publication Universitaire

2 VNT-PROPOS L étude de la mécanique des fluides remonte au moins à l époque de la Grèce antique avec le célèbre savon rchimède, connu par son principe qui fut à l origine de la statique des fluides. ujourd hui, la dynamique des fluides est un domaine actif de la recherche avec de nombreux problèmes non résolus ou partiellement résolus. Dans cet ouvrage se trouve exposé l essentiel de ce qu un étudiant des Instituts Supérieurs des Etudes Technologiques doit savoir. Les automatismes hydrauliques et pneumatiques sont actuellement très utilisés en industrie. Donc, un technicien quelque soit sa spécialité doit acquérir les notions fondamentales en mécanique des fluides. Nous avons cherché à éviter les développements mathématiques trop abondants et pas toujours correctement maîtrisés par la plupart des techniciens supérieurs et insisté très largement sur les applications industrielles et les problèmes de dimensionnement. insi, l étude de la mécanique des fluides sera limitée dans cet ouvrage à celle des fluides homogènes. Les lois et modèles simplifiés seront utilisés pour des fluides continus dans une description macroscopique. Egalement, nous limiterons notre étude à celle des fluides parfaits et réels. Dans l étude dynamique nous serons amenés à distinguer les fluides incompressibles et les fluides compressibles. Le chapitre constitue une introduction à la mécanique des fluides dans laquelle on classe les fluides parfaits, les fluides réels, les fluides incompressibles et les fluides compressibles et on définit les principales propriétés qui seront utilisées ultérieurement. Le chapitre est consacré à l étude des fluides au repos. Les lois et théorèmes fondamentaux en statique des fluides y sont énoncés. La notion de pression, le théorème de Pascal, le principe d rchimède et la relation fondamentale de l hydrostatique sont expliqués. Dans le chapitre 3 sont traitées les équations fondamentales qui régissent la dynamique des fluides incompressibles parfaits, en particulier, l équation de continuité et le théorème de ernoulli. Elles sont considérées très importantes

3 dans plusieurs applications industrielles, entre autres dans la plupart des instruments de mesures de pressions et de débits qu on peut rencontrer dans beaucoup de processus industriels de fabrication chimique surtout. Dans le chapitre 4 sont démontrés les équations et les théorèmes relatifs à la dynamique des fluides incompressibles réels. Une méthode simplifiée de calcul des pertes de charge basée sur ces équations est proposée. Elle est indispensable pour le dimensionnement des diverses installations hydrauliques (problèmes de pompage, de turbines, de machines hydrauliques, et thermiques dans lesquelles est véhiculé un fluide etc.) Le chapitre 5 est consacré à l étude des fluides compressibles. Les lois et les équations fondamentales de la dynamique ainsi que le théorème de Saint-Venant nécessaires pour traiter un problème d écoulement de gaz sont démontrés. Certaines notions de thermodynamique, jugées indispensables pour introduire quelques paramètres, sont ajoutées. La dernière partie de chaque chapitre est consacrée à des exercices corrigés. Ils sont extraits, pour la plupart, des examens et devoirs surveillés que j ai proposé à l Institut Supérieur des Etudes Technologique de Djerba. Ils sont choisis pour leur intérêt pratique et pour leur diversité. Chaque exercice traite un domaine particulier d application qu un technicien supérieur pourrait rencontrer aussi bien dans le cadre des travaux pratiques à l ISET qu en industrie dans sa vie active. Les solutions avec beaucoup de détail, devraient permettre à l étudiant d acquérir, en peu de temps, la maîtrise nécessaire des concepts utilisés. Ces exercices permettront également de tester l avancement de leurs connaissances. En ce qui concerne la typographie, il a paru opportun de garder les mêmes notations dans la partie exercices corrigés et dans la partie cours. Les points importants sont écrits en caractère gras et les résultats sont encadrés. Cet ouvrage constitue une première version. Il sera certainement révisé. Les critiques, les remarques et les conseils de tous les compétents du domaine qui veulent nous aider et encourager seront accueillis avec beaucoup de respect et remerciement. Riadh EN HMOUD, Octobre 008

4 TLE DES MTIERES Chapitre : Introduction à la Mécanique des Fluides... Introduction... Définitions.... Fluide parfait.... Fluide réel Fluide incompressible Fluide compressible Caractéristiques physiques Masse volumique Poids volumique Densité Viscosité Conclusion Exercices d application... 8 Chapitre : Statique des fluides... 0 Introduction... 0 Notion de pression en un point d un fluide Relation fondamentale de l hydrostatique... 4 Théorème de Pascal Enoncé Démonstration Poussée d un fluide sur une paroi verticale Hypothèses Eléments de réduction du torseur des forces de pression Résultante Moment Centre de poussée Théorème d rchimède Énoncé Démonstration Conclusion Exercices d aplication... Chapitre 3 : Dynamique des Fluides Incompressibles Parfaits... 5 Introduction... 5 Ecoulement Permanent Equation de Continuité Notion de Débit Débit massique Débit volumique Relation entre débit massique et débit volumique Théorème de ernoulli Cas d un écoulement sans échange de travail Théorème de ernoulli Cas d un écoulement avec échange de travail... 57

5 7 Théorème d Euler : Conclusion Exercices d application... 6 Chapitre 4 : Dynamique des Fluides Incompressibles Reels Introduction Fluide Réel Régimes d écoulement - nombre de Reynolds Pertes de charges Définition Pertes de charge singulières Pertes de charges linéaires : Théorème de ernoulli appliqué à un fluide reel Conclusion Exercices d application Chapitre 5 : Dynamique des Fluides Compressibles... 0 Introduction... 0 Equations d etat d un gaz parfait Lois des gaz parfaits Transformations thermodynamiques Classification des écoulements Célérité du son Nombre de Mach Ecoulement subsonique Ecoulement supersonique... 4 Equation de continuite... 5 Equation de Saint-Venant Etat générateur : Conclusion Exercices d application... 5

6 Chapitre : INTRODUCTION L MECNIQUE DES FLUIDES INTRODUCTION La mécanique des fluides est la science des lois de I'écoulement des fluides. Elle est la base du dimensionnement des conduites de fluides et des mécanismes de transfert des fluides. C est une branche de la physique qui étudie les écoulements de fluides c'est-à-dire des liquides et des gaz lorsque ceux-ci subissent des forces ou des contraintes. Elle comprend deux grandes sous branches: - la statique des fluides, ou hydrostatique qui étudie les fluides au repos. C'est historiquement le début de la mécanique des fluides, avec la poussée d'rchimède et l'étude de la pression. - la dynamique des fluides qui étudie les fluides en mouvement. Comme autres branches de la mécanique des fluides. On distingue également d autres branches liées à la mécanique des fluides : l'hydraulique, l'hydrodynamique, l'aérodynamique, Une nouvelle approche a vu le jour depuis quelques décennies: la mécanique des fluides numérique (CFD ou Computational Fluid Dynamics en anglais), qui simule l'écoulement des fluides en résolvant les équations qui les régissent à l'aide d'ordinateurs très puissants : les supercalculateurs. La mécanique des fluides a de nombreuses applications dans divers domaines comme l'ingénierie navale, l'aéronautique, mais aussi la météorologie, la climatologie ou encore l'océanographie. DEFINITIONS Un fluide peut être considéré comme étant une substance formé d'un grand nombre de particules matérielles, très petites et libres de se déplacer les unes par rapport aux autres. C est donc un milieu matériel continu, déformable, sans rigidité et qui peut s'écouler. Les forces de cohésion entres particules élémentaires sont

7 Chapitre : Introduction à la mécanique des fluides très faibles de sorte que le fluide est un corps sans forme propre qui prend la forme du récipient qui le contient, par exemple: les métaux en fusion sont des fluides qui permettent par moulage d'obtenir des pièces brutes de formes complexes. On insiste sur le fait qu un fluide est supposé être un milieu continu : même si l'on choisit un très petit élément de volume, il sera toujours beaucoup plus grand que la dimension des molécules qui le constitue. Par exemple, une gouttelette de brouillard, aussi petite soit-elle à notre échelle, est toujours immense à l'échelle moléculaire. Elle sera toujours considérée comme un milieu continu. Parmi les fluides, on fait souvent la distinction entre liquides et gaz. Les fluides peuvent aussi se classer en deux familles relativement par leur viscosité. La viscosité est une de leur caractéristique physico-chimique qui sera définie dans la suite du cours et qui définit le frottement interne des fluides. Les fluides peuvent être classés en deux grande familles : La famille des fluides "newtoniens" (comme l'eau, l'air et la plupart des gaz) et celle des fluides "non newtoniens" (quasiment tout le reste... le sang, les gels, les boues, les pâtes, les suspensions, les émulsions...). Les fluides "newtoniens" ont une viscosité constante ou qui ne peut varier qu'en fonction de la température. La deuxième famille est constituée par les fluides "non newtoniens" qui ont la particularité d'avoir leur viscosité qui varie en fonction de la vitesse et des contraintes qu'ils subissent lorsque ceux-ci s'écoulent. Ce cours est limité uniquement à des fluides newtoniens qui seront classés comme suit.. Fluide parfait Soit un système fluide, c'est-à-dire un volume délimité par une surface fermée Σ fictive ou non. Σ df r N n r df r ds df r T uteur : Riadh EN HMOUD Page:

8 Chapitre : Introduction à la mécanique des fluides Considérons df r la force d interaction au niveau de la surface élémentaire ds de normale n r entre le fluide et le milieu extérieur. On peut toujours décomposer df r en deux composantes: - une composante df r T tangentielle à ds. - une composante df r N normale à ds. En mécanique des fluides, un fluide est dit parfait s'il est possible de décrire son mouvement sans prendre en compte les effets de frottement. C est à dire quand la composante df r T est nulle. utrement dit, la force df r est normale à l'élément de surface ds.. Fluide réel Contrairement à un fluide parfait, qui n est qu un modèle pour simplifier les calculs, pratiquement inexistant dans la nature, dans un fluide réel les forces tangentielles de frottement interne qui s opposent au glissement relatif des couches fluides sont prise en considération. Ce phénomène de frottement visqueux apparaît lors du mouvement du fluide. C est uniquement au repos, qu on admettra que le fluide réel se comporte comme un fluide parfait, et on suppose que les forces de contact sont perpendiculaires aux éléments de surface sur lesquels elles s exercent. La statique des fluides réels se confond avec la statique des fluides parfaits..3 Fluide incompressible Un fluide est dit incompressible lorsque le volume occupé par une masse donné ne varie pas en fonction de la pression extérieure. Les liquides peuvent être considérés comme des fluides incompressibles (eau, huile, etc.).4 Fluide compressible Un fluide est dit compressible lorsque le volume occupé par une masse donnée varie en fonction de la pression extérieure. Les gaz sont des fluides compressibles. Par exemple, l air, l hydrogène, le méthane à l état gazeux, sont considérés comme des fluides compressibles. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 3

9 Chapitre : Introduction à la mécanique des fluides 3 CRCTERISTIQUES PHYSIQUES 3. Masse volumique m ρ V où : ρ : Masse volumique en (kg/m 3 ), m : masse en (kg), V : volume en (m 3 ). Exemples : Fluide Masse volumique ρ (kg/m 3 ) Type de fluide enzène 0, Chloroforme, Eau 0 3 Incompressible Huile d olive 0, Mercure 3, Hydrogène 0, compressible ir 0, Méthane 0, Poids volumique m. g ϖ ρ. g V ϖ : Poids volumique en (N/m 3 ). m : masse en (kg), g : accélération de la pesanteur en (m/s ), V : volume en (m 3 ). 3.3 Densité d masse volumique du fluide masse volumique d' un fluide de référence Dans le cas des liquides en prendra l eau comme fluide de référence. Dans le cas des gaz on prendra l air comme fluide de référence. ρ ρ ref Ces valeurs sont prise à titre indicatif dans les conditions normales de pression et de température. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 4

10 Chapitre : Introduction à la mécanique des fluides 3.4 Viscosité C est une grandeur qui caractérise les frottements internes du fluide, autrement dit sa capacité à s écouler. Elle caractérise la résistance d'un fluide à son écoulement lorsqu'il est soumis à l'application d'une force. C est à dire, les fluides de grande viscosité résistent à l'écoulement et les fluides de faible viscosité s'écoulent facilement. Elle peut être mesurée par un viscosimètre à chute de bille, dans lequel en mesure le temps écoulé pour la chute d une bille dans le fluide. Elle peut également être mesurée par un récipient dont le fond comporte un orifice de taille standardisée. La vitesse à laquelle le fluide s'écoule par cet orifice permet de déterminer la viscosité du fluide. La viscosité est déterminée par la capacité d'entraînement que possède une couche en mouvement sur les autres couches adjacentes. Par exemple, si on considère un fluide visqueux placé entre deux plaques P et P, tel que la plaque P est fixe et la plaque P est animée d une vitessev. Z V Plaque P Δ Z V + ΔV V F Plaque P fixe Si on représente par un vecteur, la vitesse de chaque particule située dans une section droite perpendiculaire à l'écoulement, la courbe lieu des extrémités de ces vecteurs représente le profil de vitesse. Le mouvement du fluide peut être considéré comme résultant du glissement des couches de fluide les unes sur les autres. La vitesse de chaque couche est une fonction de la distance Z. On distingue la viscosité dynamique et la viscosité cinématique. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 5

11 Chapitre : Introduction à la mécanique des fluides Viscosité dynamique La viscosité dynamique exprime la proportionnalité entre la force qu'il faut exercer sur une plaque lorsqu'elle est plongée dans un courant et la variation de vitesse des veines de fluide entre les faces de la plaque....elle est exprimée par un coefficient représentant la contrainte de cisaillement nécessaire pour produire un gradient de vitesse d'écoulement d'une unité dans la matière. Considérons deux couches de fluide adjacentes distantes de Δz. La force de frottement F qui s'exerce à la surface de séparation de ces deux couches s'oppose au glissement d'une couche sur l'autre. Elle est proportionnelle à la différence de vitesse des couches soit Δv, à leur surface S et inversement proportionnelle à Δz : Le facteur de proportionnalité μ est le coefficient de viscosité dynamique du fluide. ΔV F μ. S. * ΔZ où : F : force de glissement entre les couches en (N), μ : Viscosité dynamique en (kg/m.s), S : surface de contact entre deux couches en (m ), Δ V : Écart de vitesse entre deux couches en (m/s), Δ Z : Distance entre deux couches en (m). Remarque : Dans le système international (SI), l'unité de la viscosité dynamique est le Pascal seconde (Pa s) ou Poiseuille (Pl) : Pa s Pl kg/m s Exemple : Fluide μ (Pa s) eau (0 C), eau (0 C), eau (00 C) 0, Huile d'olive (0 C) glycérol (0 C) Hydrogène (0 C) 0, Oxygène (0 C), uteur : Riadh EN HMOUD Page: 6

12 Chapitre : Introduction à la mécanique des fluides Viscosité cinématique μ υ ρ L'unité de la viscosité cinématique est le (m /s). Remarque (unité): On utilise souvent le Stokes (St) comme unité de mesure de la viscosité cinématique. St 0-4 m /s Remarque (Influence de la température) : Lorsque la température augmente, la viscosité d'un fluide décroît car sa densité diminue. Remarque 3 (différence entre viscosité dynamique et viscosité cinématique) La viscosité cinématique caractérise le temps d'écoulement d un liquide. Par contre, la viscosité dynamique correspond à la réalité physique du comportement d un fluide soumis à une sollicitation (effort). En d autre terme, cette dernière exprime la «rigidité» d un fluide à une vitesse de déformation en cisaillement (voir la relation * à la page 6). 4 CONCLUSION Les fluides peuvent être classés en fluides parfaits (sans frottement), fluides réels (avec frottement), fluides incompressibles (liquides) et fluides compressibles (gaz). Les fluides sont caractérisés par les propriétés suivantes: la masse volumique, le poids volumique, la densité et la viscosité. Ces propriétés seront utilisées ultérieurement. Le comportement mécanique et les propriétés physiques des fluides compressibles et ceux des fluides incompressibles sont différents. En effet, les lois de la mécanique des fluides ne sont pas universelles. Elles sont applicables uniquement pour une classe de fluides donnée. Conformément à la classification qui a été faite, les lois relatives à chaque type de fluides seront exposées dans la suite du cours d une façon indépendante. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 7

13 Chapitre : Introduction à la mécanique des fluides 5 EXERCICES D PPLICTION Exercice N : ENONCE Déterminer le poids volumique de l essence sachant que sa densité d0,7. On donne : - l accélération de la pesanteur g9,8 m/s - la masse volumique de l eau ρ 000 kg / m REPONSE ϖ d.ρ.g Exercice N : ENONCE.N. ϖ 0, , N / m Calculer le poids P 0 d un volume V3 litres d huile d olive ayant une densité d0,98. REPONSE 3 P o d.ρ. V. g.n. P o 0, ,8 7 N Exercice N 3: EXTRIT DE L EXMEN DU ENONCE Quelle est l influence de la température sur la viscosité? REPONSE Si la température augmente la viscosité diminue, et inversement. Exercice N 4: EXTRIT DE L EXMEN DU ENONCE Convertir le stockes en m /s. REPONSE 3 3 Conversion du stockes : 4 Stockes 0 m / s Exercice N 5: EXTRIT DE L EXMEN DU ENONCE Expliquer le principe de mesure d'un viscosimètre à chute de bille. REPONSE uteur : Riadh EN HMOUD Page: 8

14 Chapitre : Introduction à la mécanique des fluides La viscosité cinématique est proportionnelle au temps mis par une bille sphérique en chute pour descendre au fond d un tube contenant un fluide de viscosité inconnue. Exercice N 6: EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE Déterminer la viscosité dynamique de l huile d olive sachant que sa densité est 0,98 et sa viscosité cinématique est,089 Stockes. REPONSE μ ρ. υ.n. μ 98., , Pa. s Exercice N 7: ENONCE Du fuel porté à une température T0 C a une viscosité dynamique μ Pa. s sachant que sa densité est d0,95.. Calculer sa viscosité cinématique υ en stockes On donne la masse volumique de l eau est ρ eau 000 kg / m REPONSE 3 μ ν.n. ν.0 m / s stockes ρ eau.d 000.0,95 3 uteur : Riadh EN HMOUD Page: 9

15 Chapitre : STTIQUE DES FLUIDES INTRODUCTION Lors d une plongée sous marine, on constate que la pression de l eau augmente avec la profondeur. La pression d eau exercée sur un sous-marin au fond de l océan est considérable. De même, la pression de l eau au fond d un barrage est nettement plus grande qu au voisinage de la surface. Les effets de la pression doivent être pris en considération lors du dimensionnement des structures tels que les barrages, les sous marins, les réservoirs etc. Les ingénieurs doivent calculer les forces exercées par les fluides avant de concevoir de telles structures. Ce chapitre est consacré à l étude des fluides au repos. Les lois et théorèmes fondamentaux en statique des fluides y sont énoncés. La notion de pression, le théorème de Pascal, le principe d rchimède et la relation fondamentale de l hydrostatique y sont expliqués. Le calcul des presses hydrauliques, la détermination de la distribution de la pression dans un réservoir etc., sont basés sur les lois et théorèmes fondamentaux de la statique des fluides. NOTION DE PRESSION EN UN POINT D UN FLUIDE La pression est une grandeur scalaire. C est l intensité de la composante normale de la force qu exerce le fluide sur l unité de surface. Elle est définie en un point d un fluide par l expression suivante : df r N ds n r 0

16 Chapitre : Statique des fluides P df N ds où : ds : Surface élémentaire de la facette de centre (en mètre carré), n : Vecteur unitaire en de la normale extérieure à la surface, df N : Composante normale de la force élémentaire de pression qui s exerce sur la surface (en Newton), P : pression en (en Pascal), Sur la surface de centre, d aire ds, orientée par sa normale extérieure n, la force de pression élémentaire df s exprime par : df P. ds n N. Exemple : Chaque cm de surface de notre peau supporte environ kg (force) représentant le poids de l'atmosphère. C'est la pression atmosphérique au niveau de la mer. Nous ne la ressentons pas car notre corps est incompressible et ses cavités (estomac, poumons, etc. ) contiennent de l'air à la même pression. Si on s'élève de m, la pression atmosphérique est deux fois plus faible qu'au niveau de la mer car la masse d'air au-dessus de notre tête est alors moitié moindre. D où la nécessité d une pressurisation des avions. En plongée sous-marine, pour mesurer la pression, on utilise le plus souvent le bar: bar kg / cm. uteur : Riadh EN HMOUD Page:

17 Chapitre : Statique des fluides Plus on descend en profondeur, plus la pression est élevée car il faut tenir compte du poids de l'eau au-dessus de nous : à 0 mètres de profondeur, chaque cm de notre peau supportera un poids égal à : cm X 0 m (profondeur) cm X 00 cm 000 cm3 l équivalent du poids d litre d eau. Le poids d un litre d eau douce est égal à kg. Le poids d un litre d eau de mer est un plus important (à cause du sel qu elle contient) :,06 kg. En négligeant cette différence, on considérera que de manière générale un litre d'eau pèse kg. Par conséquent, la pression due à l'eau à 0 m de profondeur est donc de kg / cm, c'est-à-dire bar. Si on descend à nouveau de -0 m, la pression augmentera à nouveau de bar. C est ce qu on appelle la pression hydrostatique (pression due à l'eau). On l'appelle aussi pression relative car c'est une pression par rapport à la surface. La pression hydrostatique (comme la pression atmosphérique) s exerce dans toutes les directions (et pas simplement de haut en bas). Remarque : L unité internationale de pression est le Pascal : Pa N/m². Cette unité est très petite. On utilise le plus souvent ses multiples. En construction mécanique, résistance des matériaux, etc.,l unité utilisée est le méga pascal : MPa N/mm 0 6 Pa En mécanique des fluides on utilise encore très souvent le bar. Le bar est égal à peu près à la pression atmosphérique moyenne : bar 0 5 Pa. 3 RELTION FONDMENTLE DE L HYDROSTTIQUE Considérons un élément de volume d un fluide incompressible (liquide homogène de poids volumiqueϖ ). Cet élément de volume a la forme d un cylindre d axe (G, u ) qui fait un angle α avec l axe vertical (O, Z ) d un repère R(O, X r,y r, Z r ). Soit l la longueur du cylindre et soit ds sa section droite. uteur : Riadh EN HMOUD Page:

18 Chapitre : Statique des fluides Z df r u Z l α G ds df r i G Z G df r dp r o Soit G d altitude Z et G d altitude Z, les centres des sections droites extrêmes. Etudions l équilibre du cylindre élémentaire, celui-ci est soumis aux : - actions à distance : son poids : dp O ϖ l ds Z - actions de contact : forces de pression s exerçant sur : o la surface latérale : Σ df. i o les deux surfaces planes extrêmes : df P. ds.( u) P. ds. u et df P. ds. u.avec P et P les pressions du fluide respectivement en G et en G. Le cylindre élémentaire étant en équilibre dans le fluide, écrivons que la résultante des forces extérieures qui lui sont appliquées est nulle : dp O + ΣdF + df df i + 0 En projection sur l axe de symétrie (G,u ) du cylindre, ϖ. l. ds.cosα + P. ds P. ds 0 uteur : Riadh EN HMOUD Page: 3

19 Chapitre : Statique des fluides Exprimons la différence de pression P P après avoir divisé par ds et remarqué que l cosα Z Z P ϖ.( Z Z) ρg( Z ) : Relation fondamentale de l hydrostatique. P Z utre forme plus générale : En divisant les deux membres de la relation précédente par ϖ : P ϖ P ϖ + Z Z + P P. Ou encore + Z + Z ρg ρg Comme G et G ont été choisis de façon arbitraire à l intérieur d un fluide de poids volumiqueϖ, on peut écrire en un point quelconque d altitude Z, ou règne la pression p : P + Z ϖ P ρg + Z Cte 4 THEOREME DE PSCL 4. Enoncé Dans un fluide incompressible en équilibre, toute variation de pression en un point entraîne la même variation de pression en tout autre point. 4. Démonstration Supposons qu au point G intervienne une variation de pression telle que celle-ci devienne P + ΔP. Δ P étant un nombre algébrique. Calculons la variation de pression Δ P qui en résulte en G. ppliquons la relation fondamentale de l hydrostatique entre G et G pour le fluide o à l état initial: P P ϖ Z ) () ( Z o à l état final : P + ΔP ) ( P + ΔP ) ϖ.( Z ) () ( Z En faisant la différence entre les équations () et () on obtient : ΔP ΔP 0. D où Δ P ΔP uteur : Riadh EN HMOUD Page: 4

20 Chapitre : Statique des fluides 5 POUSSEE D UN FLUIDE SUR UNE PROI VERTICLE 5. Hypothèses La paroi verticale possède un axe de symétrie (G,Y r ). G est son centre de surface. D un coté de la paroi il y a un fluide de poids volumiqueϖ, de l autre coté, il y a de l air à la pression atmosphérique P atm. On désigne par P G la pression au centre de surface G du coté fluide. Y r ds M G G o df y y o X r 5. Eléments de réduction du torseur des forces de pression Connaissant la pression P G au point G, la pression P M au point M est déterminée en appliquant la relation fondamentale de l hydrostatique : PM PG ϖ.( YG YM ) Dans le repère (G, X r, Y r, Z r ) défini sur la figure : y G 0 et y M y, donc P P ϖ y M G. Exprimons la force de pression en M : r df ( P ϖ. y). ds. X Soit { τ poussée} le torseur associé aux forces de pression relative : { τ } poussée M G R df ( S ) GM df s G G uteur : Riadh EN HMOUD Page: 5

21 Chapitre : Statique des fluides 5.. Résultante r R ( P ϖ. y). ds. X ( S ) G que l on peut écrire en mettant en facteur les termes constants : r R PG. ds. y. ds. X ( S ) ( S ) ϖ On note que ( S ) ds S (aire de la paroi), ( s) y. ds y. S G 0 : Moment statique de la surface S par rapport à l axe (G, Z ), donc R PG. S. X 5.. Moment M G GM df Dans le repère (G, X, Y, Z ) on peut écrire: r GM y. Y et df ( PG ϖ. y). ds. X, r donc M G [ y. Y ( PG ϖ. y). ds. X ] ( S ) Sachant que Y X Z donc M G PG. y. ds ϖ. y. ds.( Z) ( S ) ( S ) On sait que y. ds y. S 0 ( S ) G et y. ds I r : Moment quadratique de la ( G, Z ) ( S ) surface S par rapport à l axe (G, Z ) passant par le centre de surface G. Donc M G ϖ I r. Z. ( G, Z ) En résumé : { τ } poussee PG. S. X ϖ. I r. Z ( G, Z ) G uteur : Riadh EN HMOUD Page: 6

22 Chapitre : Statique des fluides 5.3 Centre de poussée On cherche à déterminer un point G 0 où le moment résultant des forces de pression est nul. Compte tenu de l hypothèse de symétrie, si ce point existe il appartient à l axe (G,Y ) et il est tel que : M G M + G0G R 0 0 G. Ecrivons alors que : GG R 0 M G vec les résultats précédents, on obtient : y Y P. S. X ϖ. I s Z,. 0 G. ( G, Z ) ce qui conduit à y 0 ϖ. I r ( G, Z ) P. S G G o existe, il s appelle le centre de poussée de la paroi. Remarque : Le centre de poussée est toujours au-dessous du centre de surface G. 6 THEOREME D RCHIMEDE 6. Énoncé Tout corps plongé dans un fluide reçoit de la part de ce fluide une force (poussée) verticale, vers le haut dont l'intensité est égale au poids du volume de fluide déplacé (ce volume est donc égal au volume immergé du corps). P RCH ρ fluide.v imm.g P r RCH Solide immergé S Fluide uteur : Riadh EN HMOUD Page: 7

23 Chapitre : Statique des fluides 6. Démonstration Dans un fluide (E) de poids volumique ϖ, imaginons un certain volume de fluide (E ) délimité par un contour fermé (S) : df r Volume imaginaire (E ) Délimité par le contour S Fluide Volume (E ) extérieur au contour S Si le fluide est au repos, il est évident que (E ) est en équilibre sous l effet des actions mécaniques extérieures suivantes : - ction de la pesanteur, modélisable par le torseur : { τ ( pes E ) } - ction des forces de pression df r du fluide (E ) qui entoure (E ) modélisable par le torseur :{ τ ( E ) } E On peut donc écrire l équation d équilibre de (E ) :{ τ ( pes E )} + { τ ( E E) } { 0} Nous savons qu en G, centre de gravité du fluide (E ) le torseur des forces de pesanteur se réduit à un glisseur :{ τ ( pes E ) } P 0 Il est donc évident qu au même point G le torseur des forces de pression df se réduira lui aussi à un glisseur : { τ E E )} ( ( S ) Poids de (E ) df 0 G L équation d équilibre de la portion de fluide (E ) s écrit : df + P 0 G ( S ) uteur : Riadh EN HMOUD Page: 8

24 Chapitre : Statique des fluides (E ) est ici une portion de fluide et P est le poids du fluide occupant le volume (E ). Si le volume (E ) est occupé par un solide immergé ayant le même contour S, les forces de poussée sur ce contours (S) sont les mêmes, ce qui revient à dire que la force de poussée ne dépend que du volume du fluide déplacé et non pas de la nature du solide immergé (plomb, acier, etc). Conclusion : Tout corps solide immergé dans un fluide en équilibre est soumis de la part de celui-ci à des forces de pression df dont les actions mécaniques sont modélisables au centre de gravité du fluide déplacé par un glisseur dont la résultante est directement opposée au poids du fluide déplacé. { τ ( E E ) } P 0 G Remarques : - er cas : Si le solide immergé est homogène alors le centre de poussée G, point d application de la poussée d rchimède sera confondu avec le centre de gravité du solide. L équilibre du solide est indifférent. P r RCH Solide immergé S G Fluide Poids du solide - ième cas : Si le solide immergé est hétérogène alors le centre de poussée G, point d application de la poussée d rchimède n est pas confondu avec le centre de gravité G s du solide. L équilibre du solide est stable si G est au dessus de G S. L équilibre du solide est instable si G est au dessous de G S. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 9

25 Chapitre : Statique des fluides P r RCH Solide immergé S G G S Fluide Poids du solide 7 CONCLUSION Position stable La statique des fluides est basée principalement sur les résultats suivants: a) La différence de pression entre deux points est proportionnelle à leur différence de profondeur : P P ϖ.( Z Z) ρg( Z Z) : C est la relation fondamentale de l hydrostatique, b) Toute variation de pression en un point engendre la même variation de pression en tout autre point d après le théorème de Pascal. c) Le torseur associé aux forces de pression d un fluide sur une paroi plane verticale est : { τ } poussee PG. S. X ϖ. I r. Z ( G, Z ) G d) La position du centre de poussée. est y 0 ϖ. I r ( G, Z ) P. S G e) Tout corps plongé dans un fluide subit une force verticale, orientée vers le haut c est la poussée d rchimède et dont l'intensité est égale au poids du volume de fluide déplacé. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 0

26 Chapitre : Statique des fluides 8 EXERCICES D PLICTION Exercice N : Extrait du devoir surveillé du ENONCE La figure ci-dessous représente un cric hydraulique formé de deux pistons () et () de section circulaire. Sous l effet d une action sur le levier, le piston () agit, au point (), par une force r de pression sur l huile. L huile agit, au point () sur le piston () par une force F P / h F r h / p On donne : - les diamètres de chacun des pistons : D 0 mm; D 00 mm. - l intensité de la force de pression en : F p/h 50 N. Z Z Z Travail demandé : ) Déterminer la pression P de l huile au point. ) Quelle est la pression P? 3) En déduire l intensité de la force de pression F h/p. REPONSE 4. FP / h ) Pression P de l huile au point : P.N P 9. 0 P a π. D π.0,0 5 ) RFH entre et : P P ϖ.( Z Z ), or Z Z donc P P 9.0 Pascal. 3) Force de pression en : F h / P uteur : Riadh EN HMOUD Page: π. D 5 π.0, P..N. F h / P , 56 N 4 4 Commentaire: On constate que la force F p/h 50 N est relativement faible par rapport à F h/p 49,56 N. vec ce système nous avons atteint un rapport de

27 Chapitre : Statique des fluides réduction de force de presque 00. Ce rapport correspond au rapport des diamètres des cylindres. On utilise souvent le même principe de réduction d effort dans plusieurs applications hydrauliques (exemple: presse hydraulique). Exercice N : EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE La figure ci-dessous représente un réservoir ouvert, équipé de deux tubes piézométriques et rempli avec deux liquides non miscibles : - de l'huile de masse volumique ρ 850 kg/m 3 sur une hauteur h 6 m, - de l'eau de masse volumique ρ 000 kg/m 3 sur une hauteur h 5 m. Z r Tubes piézométriques E h huile D h eau C On désigne par: - un point de la surface libre de l'huile, - un point sur l'interface entre les deux liquides, - C un point appartenant au fond du réservoir - D et E les points représentants les niveaux dans les tubes piézimétriques, - (O, Z r ) est un axe vertical tel que Z C O. ppliquer la relation fondamentale de l'hydrostatique (RFH) entre les points: ) et. En déduire la pression P (en bar) au point. ) et E. En déduire le niveau de l'huile Z E dans le tube piézométrique. uteur : Riadh EN HMOUD Page:

28 Chapitre : Statique des fluides 3) C et. En déduire la pression P C (en bar) au point C. 4) C et D. En déduire le niveau de l'eau Z D dans le tube piézométrique. REPONSE ) RFH entre et : P P ρ g( Z Z ) Or P P atm et Z -Z h Donc P Patm + ρ g.h.n. P , Pa, 5 bar ) RFH entre et E : P P ρ g( Z Z ) Or P P E P atm E E Donc Z E Z h + h.n. Z E m 3) RFH entre C et : P P ρ g( Z Z ) Or Z -Z C h C C Donc PC P + ρ g.h.n. P C , Pa bar 4) RFH entre C et D : P P ρ g( Z Z ) Or P D P atm et Z C 0 C D D C Donc Z D 5 PC Patm N. Z D 0, m ρ. g 000.9,8 Exercice N 3: EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE Soit un tube en U fermé à une extrémité qui contient deux liquides non miscibles. Z Z Z 3 Z h (3) () Essence () h Mercure Entre les surfaces : - () et () il s agit de l essence de masse volumique ρ essence 700 kg/m 3. - () et (3), il s agit du mercure de masse volumique ρ mercure 3600 kg/m 3. La pression au-dessus de la surface libre () est P P atm bar. L accélération de la pesanteur est g9,8 m/s. La branche fermée emprisonne un gaz à une pression P 3 qu on cherche à calculer. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 3

29 Chapitre : Statique des fluides ) En appliquant la RFH (Relation Fondamentale de l Hydrostatique) pour l essence, calculer la pression P (en mbar) au niveau de la surface de séparation () sachant que h (Z -Z ) 78 mm. ) De même, pour le mercure, calculer la pression P 3 (en mbar) au niveau de la surface (3) sachant que h (Z 3 -Z ) 5 mm. REPONSE ) RFH pour l essence : P P ρ essence. g ( Z Z ). 5 5 P P + essence. g. h.n. P ,8.0,78,05.0 pascal 050 mbar ρ ) RFH pour le mercure : P P ρ mercure. g ( Z Z ) 3 mercure h P P ρ. g. '.N. P ,8.0,5,03.0 pascal 030 mbar 3 3 Exercice N 4: EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE Z () (4) lcooles h Eau h () (3) Mercure Un tube en U contient du mercure sur une hauteur de quelques centimètres. On verse dans l une des branches un mélange d eau - alcool éthylique qui forme une colonne de liquide de hauteur h 30 cm. Dans l autre branche, on verse de l eau pure de masse volumique 000 kg/m 3, jusqu à ce que les deux surfaces du mercure reviennent dans un même plan horizontal. On mesure alors la hauteur de la colonne d eau h 4 cm. ) ppliquer la relation fondamentale de l hydrostatique pour les trois fluides. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 4

30 Chapitre : Statique des fluides ) En déduire la masse volumique du mélange eau alcool éthylique. REPONSE ) Relation fondamentale de l hydrostatique : lcool : P P ρ. g. h alcool Mercure : P P 0 3 Eau : P3 P4 ρ. g. h eau ) On sait que P P P atm et P P 3 donc ρ. g. h ρ. g. h alcool eau Donc h ρ..n. h alcool ρ eau ρ kg / m 30 alcool 3 Exercice N 5: ENONCE On considère un tube en U contenant trois liquides: Z r Z 0 eau essence Z 3 Z Z mercure - de l eau ayant une masse volumique ρ 000 kg/m 3, - du mercure ayant une masse volumique ρ 3600 kg/m 3, - de l essence ayant une masse volumique ρ kg/m 3. On donne : Z 0 Z 0, m Z 3 Z 0, m Z + Z,0 m uteur : Riadh EN HMOUD Page: 5

31 Chapitre : Statique des fluides On demande de calculer Z 0, Z, Z et Z 3. REPONSE D après (RFH), chapitre, on peut écrire: P P 0 ρ.g.( Z 0 Z ) P P ρ.g.( Z Z ) P 3 P ρ 3.g.( Z Z 3 ) Puisque que P 0 P 3 P atm, en faisant la somme de ces trois équations on obtient : ρ.( Z 0 Z ) + ρ.( Z Z ) + ρ 3.( Z Z 3 ) 0 ρ ρ3 ( Z Z).( Z0 Z).( Z3 Z) ρ ρ.n: (Z Z ) 0,0096 m or (Z + Z ),0 m donc Z 0,5048 m et Z 0,495 m (Z 3 Z ) 0, m donc Z 3 0,6048 m (Z 0 Z ) 0, m donc Z 0 0,695 m Exercice N 6: ENONCE Y r h60 G y o (S) Z r G o b 00 m La figure ci-dessus représente un barrage ayant les dimensions suivantes : longueur b00 m, hauteur h60 m Le barrage est soumis aux actions de pression de l eau. 3 3 Le poids volumique de l eau est : ϖ 9,8.0 N / m. On demande de : uteur : Riadh EN HMOUD Page: 6

32 Chapitre : Statique des fluides ) Calculer l intensité de la résultante R des actions de pression de l eau. ) Calculer la position y 0 du centre de poussée G 0. REPONSE ) Calcul de R : R PG. S, On applique la RFH entre le point G et un point à la surface de l eau on obtient : h P ϖ. + G P En, sommet du barrage, la pression de l eau est supposé égale à la pression atmosphérique. La surface du barrage est : S b. h, donc : h 5 60 R ( Patm + ϖ. ). b. h R ( ) ,73.0.N... ) Calcul de y 0 : y 0 ϖ. I ( r R r G, Z ) 9 N Le moment quadratique I r ( G, Z ) b. h 3, donc 3 3 bh ϖ. y r N. y 0 7, 46 m 9 R 4,73.0 Commentaire: On remarque que le centre de poussée est très au dessous du centre de surface. Dans le calcul de stabilité du barrage il est hors de question de confondre ces deux points. Exercice N 7: ENONCE Un piston de vérin a un diamètre d60 mm. Il règne au centre de surface G du piston une pression de 40 bar, soit environ P G 4 MP a. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 7

33 Chapitre : Statique des fluides Y r Ø d 60 G G o y o Z r 3 3 L huile contenue dans le vérin a un poids volumiqueϖ 9,8.0,8.0 N / m. On demande de : ) Calculer l intensité de la résultante R des actions de pression de l huile. ) Calculer la position y 0 du centre de poussée G 0. REPONSE ) Calcul de R : R PG. S avec S π. d, donc 4 R π. d 3 PG..N. R,3.0 N 4 ) Calcul de y 0 : y 0 ϖ. I r ( G, Z ) r avec R 4 π. d I( G, z), donc 64 π. d ϖ. y r 64 0 R 4.N. 4 π.0, ,8. y0 64 4,4. 0 3,3.0 7 m Commentaire: On remarque que le centre de poussée est très voisin du centre de surface. Dans le calcul de poussée du vérin il est, donc, tout à fait normal de les confondre. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 8

34 Chapitre : Statique des fluides Exercice N 8: EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE Un réservoir de forme parallélépipédique ayant les dimensions suivantes : - hauteur h 3m, - longueur L 8 m, - largeur L 6 m. est complètement remplie d huile de masse volumique 900 / m 3 ρ kg. h L L ) Calculer le module de la résultante des forces de pression sur chaque surface du réservoir (les quatre faces latérale et le fond). ) Déterminer pour les surfaces latérales la position du point d application (centre de poussée). REPONSE ) R PG. S Sur les parois latérales : R R h. L.N. R.900.9, N ϖ. h. L. ρ. g. h. h. L.N. R.900.9, N ϖ. h. L. ρ. g. h. Sur le fond du réservoir : uteur : Riadh EN HMOUD Page: 9

35 Chapitre : Statique des fluides R 3 ϖ h. L. L ρ. g... h L L.N. R 900.9, N 3 h ) Les points d application sont à m du fond pour les faces latérales. 3 Exercice N 9: EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE On considère un récipient en forme de parallélépipède de largeur b m, ouvert à l air libre et rempli jusqu à une hauteur h,5 m avec du mercure de masse volumique ρ3600 kg/m 3. Y r G X r h Z r b On désigne par: - G le centre de gravité de la surface mouille S. r r r G, X, Y, Z un R.O.D. où X r est orthogonal à S et Y r est vertical. - ( ) On donne l accélération de la pesanteur g9,8 m/s. ) En appliquant la RFH entre un point M de la surface libre et le point G, calculer la pression P G. ) Déterminer l intensité de la résultante R r des forces de pression agissant sur S. 3) Calculer le moment quadratique I, r de la surface S. ) ( G Z uteur : Riadh EN HMOUD Page: 30

36 Chapitre : Statique des fluides 4) Calculer la position Y 0 du centre de poussée. REPONSE ) RFH entre G et M : P P. g. ( Y Y ) G M ρ or Y M h/, Y G 0 et P M P atm donc M G P G P atm h + ρ. g. 5,5 5.N. P G ,8..0 bar r ) Intensité de la résultante : R P. S P bh r.n. R 5.0.., N G G. 3) Moment quadratique : I 3 bh r Z ).N. ( G, 3.,5 I r 0, 565 m ( G, Z ) 4 4) Position du centre de poussée : Y o ϖ. I ( r R r G, Z ) ,8.0,565.N. Y o 0, 5 m Exercice N 0: EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE On considère un aquarium géant utilisé dans les parcs d attraction représenté par la figure suivante : O X Z R H vitre R r G 0 a m Z m uteur : Riadh EN HMOUD Page: 3

37 Chapitre : Statique des fluides Il est rempli d eau à une hauteur H 6m, et équipé d une partie vitrée de forme rectangulaire de dimensions (m x 3m) qui permet de visualiser l intérieur. Travail demandé : ) Représenter le champ de pression qui s exerce sur la partie vitrée. ) Déterminer le module de la résultante R r des forces de pression. 3) Calculer la profondeur Z R du centre de poussée. 4) Reprendre les questions. et 3. en changeant la forme rectangulaire de la partie vitrée par une forme circulaire de diamètre d m. REPONSE ) Le champ de pression agissant sur le vitrage a l allure suivante : O X H m Z m ) Si on néglige la pression atmosphérique, la résultante des forces de pressions : r r R PG. S. X avec S a. b donc R ρ. g. S. Z g.n. R 000.9, N 3) La profondeur Z R du centre de poussée est donnée par l expression suivante : I r ( G, Y ) Z R + Z Z. S G G ou I m ( G, Y r.n. Z m ) R 4, ) Cas d une partie vitrée de forme circulaire de diamètre d m :. d S 4 r R ρ. g. S. π 3,4 m, Z g.n. 4. d I π r 0, 785 m ( G, Y ) 64 r R 35 N 4 uteur : Riadh EN HMOUD Page: 3

38 Chapitre : Statique des fluides I r ( G, Y ) Z R + Z Z. S G G.N. 0,785 Z R + 4 4, 065 m 4.3,4 Exercice N : EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE Une vanne de vidange est constituée par un disque de diamètre d pivotant autour d un axe horizontal (G, Z r ). Le centre G du disque est positionné à une hauteur h5,3 m par rapport au niveau d eau. Y eau h G X On donne : - le diamètre de la vanne : d m, - la pression atmosphérique P atm bar, - l accélération de la pesanteur g9,8 m/s, - la masse volumique de l eau ρ000 kg/m 3. Travail demandé : ) Déterminer le poids volumique de l eau. ) Déterminer la pression P G de l eau au point G. 3) Calculer l intensité de la poussée R r sur le disque. 4) Calculer le moment quadratique I r ( G, Z r du disque par rapport à l axe (G, Z ). ) 5) Calculer le moment M r G des forces de pression agissant sur le disque. 6) Déterminer la position du centre de poussée y 0. REPONSE ) Poids volumique ϖ ρ. g uteur : Riadh EN HMOUD Page: 33

39 Chapitre : Statique des fluides.n. ϖ 000.9,8 980 N / m ) Pression au point G P P +ϖ h. 3 G atm..n ,3, P G Pascal s π. d 3) Intensité de la poussée R PG. 4 s 5 π..n. R, , 5 N 4 4) Moment quadratique I r ( G, Z ) π. d N. I π r 0, 049 m ( G, Z ) 64 r 5) Moment des forces de pression M ϖ I r r. Z r.n. M G 980.0, ,6 N. m G. ( G, Z ) 6) Position centre de poussée : y c ϖ. I r ( G, Z ) r R.N ,049, ,5 y c 3 m Exercice N : EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE Une conduite de longueur L 646 mm est soudée sur un réservoir cylindrique de diamètre D 3 m. Le réservoir est rempli jusqu'au point avec du pétrole brut de densité d 0,95. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 34

40 Chapitre : Statique des fluides Y r Y r L Z r G G 0 y 0 ØD G G 0 R r X r Surface S Le repère (G, X r,y r, Z r ) a été choisit tel que G est le centre de la surface circulaire S (fond de réservoir). (G, X r ) est l'axe de révolution du réservoir et (G,Y r ) est vertical. On donne: - la masse volumique de l'eau ρ eau 000 kg/m 3, - l'accélération de la pesanteur g9,8 m.s -, - la pression P P atm bar. Travail demandé : ) Quelle est la masse volumique ρ du pétrole? ) En déduire son poids volumique ϖ. 3) En appliquant la RFH entre G et, déterminer la pression P G au point G. 4) Calculer le module de la résultante R r des forces de pression du pétrole sur le fond du réservoir. 5) Calculer le moment quadratique I r de la surface circulaire S par rapport à, ) ( G Z l'axe (G, Z r ). 6) Déterminer la position y 0 du centre de poussée G 0. REPONSE uteur : Riadh EN HMOUD Page: 35

41 Chapitre : Statique des fluides ) Masse volumique du pétrole: ρ d. ρeau.n. ) Poids volumique : ϖ ρ. g.n. ϖ ρ 950.9,8 939,5 N / m 0,95.9,8 950 kg / m 3) RFH entre G et : P P ρ g( Y Y ) Or P P atm et Y G 0 D Donc PG Patm + ρ. g.( L + ) G. G.N. P G ,8.(0,646 +,5) 9999,64 Pa, bar 4) Intensité de la résultante :.N. r π. D R PG. 4 r π.3 R 9999, , 47 N ) Moment quadratique: I ( G, 4 π. D r Z ).N I π r 3, 976 m ( G, Z ) ) Position du centre de poussée : y 0 ϖ. I ( r R r G, Z ).N. 939,5.3,976 y0 0, m 8487,47 Exercice N 3: EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE Suite au naufrage d un pétrolier, on envoie un sous-marin pour inspecter l épave et repérer d éventuelles fuites. L épave repose à une profondeur h 98 m. On donne : - l accélération de la pesanteur g 9,8 m/s, - la pression atmosphérique P atm bar, - la masse volumique de l eau de mer est ρ 05 kg/m 3, Le sous marin est équipé d un hublot vitré de diamètre d 30 mm., de centre de gravité G, et de normale ( ( G, X r r r ) est situé dans un plan vertical ( G, Y, Z). L axe ( G, Z r ) est vertical. Travail demandé : ) Calculez la pression P G de l eau à cette profondeur au point G. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 36

42 Chapitre : Statique des fluides ) Quelle est l intensité ( R r ) de la résultante des actions de pression de l eau sur le hublot? 3) Calculer le moment quadratique I r du hublot. ( G, Z ) 4) Quelle est l intensité ( M r G ) du moment des actions de pression de l eau sur le hublot? REPONSE G M ρ.. M G ρ.. ) RFH entre le point G et un point M à la surface : P P g ( Z Z ) g h PG Patm + ρ. g. h.n. 5 5 P G , pascal 00 bar ) Intensité de la résultante : r.n. R π.0, r π. d R PG. S PG N 3) Moment quadratique : I r ( G, Y ) π. d , N I π r 4, m ( G, Y ) 64 r 4) Intensité du moment : M G ϖ I r (, ). G Y r '.N M G 05.9,8.4, , 5 Nm Exercice N 4: EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE La figure ci-dessous représente une vanne de sécurité de forme rectangulaire destinée à un barrage. Elle permet d évacuer l eau stockée dans le barrage surtout lorsque le niveau du fluide devient élevé. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 37

43 Chapitre : Statique des fluides Les dimensions de la vanne sont : b4 m et h m. Sa partie supérieure affleure la surface du plan d eau. Un repère (G, X r,y r, Z r ) est représenté sur la figure tel que : G est le centre de surface de la vanne. On donne : la masse volumique de l eau ρ 000 kg/m 3 et l accélération de la pesanteur g9,8 m/s, y r h G (vanne) x r Travail demandé : ) En négligeant la pression atmosphérique, calculer la pression P G de l eau au centre de gravité. ) Déterminer la résultante R r des forces de pression. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 38

44 Chapitre : Statique des fluides 3) Déterminer le moment M r G des forces de pression. 4) Calculer l ordonnée y 0 du centre de poussée. REPONSE ) RFH entre G et : P P ρ g.( y y ) Or y G 0, y h/, P P atm (négligée) G. G Donc P G h ρ. g..n. P G 000.9, Pa r r ) R P. S. x avec.n. G r r S b. h donc R P. bh. x r R N r r 3) M ρ g. I r. z vec I Donc.N. 4) y 0 G r M G. ( G, z ) 3 bh ρ. g. r. z G ( G, z r ) 3 bh r 4.8 M G 000.9, N r M G r R.N. 660 y0 0, 33 m Exercice N 5: EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE On considère un réservoir d eau équipé au niveau de sa base d une plaque rectangulaire qui peut tourner d un angle ( θ 0 ) autour d un axe (, Z ). uteur : Riadh EN HMOUD Page: 39

45 Chapitre : Statique des fluides Y Y P atm O Vue suivant X de la plaque h eau P atm θ a b d X xe de rotation G Z D un coté, la plaque est soumise aux forces de pression de l eau et de l autre coté, elle est soumise à la pression atmosphérique (P atm ). Sous l effet des forces de pression hydrostatique variables fonction du niveau h, la plaque assure d une façon naturelle la fermeture étanche ( θ 0 ) ou l ouverture ( θ 0 ) du réservoir. L objectif de cet exercice est de déterminer la valeur h 0 du niveau d eau à partir de laquelle le réservoir s ouvre automatiquement. On donne : 3 - le poids volumique de l eau : ϖ 9,8.0 N / m - les dimensions de la plaque : a0,75 m (selon l axe Z ), b,500 (selon l axe Y ) - la distance entre le centre de surface G et l axe de rotation (, Z ) est : d50 mm - la pression au point O est P o P atm Travail demandé : ) En appliquant le principe fondamental de l hydrostatique, donner l expression de la pression de l eau P G au centre de surface G en fonction de la hauteur h. 3 uteur : Riadh EN HMOUD Page: 40

46 Chapitre : Statique des fluides ) Déterminer les expressions de la résultante R et du moment M G associés au torseur des forces de pression hydrostatique dans le repère ( G X, Y, Z ),. 3) En déduire l expression du moment M des forces de pression de l eau, par rapport à l axe de rotation (, Z ). 4) Donner l expression du moment M ' des forces de pression atmosphérique agissant sur la plaque, par rapport à l axe de rotation (, Z ). 5) partir de quelle valeur h 0 du niveau d eau la plaque pivote ( θ 0 )? REPONSE ) Principe fondamental de l hydrostatique : P P ( Y ) b Y G 0 et P 0 Patm Donc PG Patm + ϖ. h G 0. 0 Y G ϖ or Y 0 b h ; b ) R PG. S. X avec S a. b donc R Patm + ϖ. h. a. b. X 3) M G ϖ. I ( G, z)z. avec. 3 3 a b ab I donc M G ϖ.. Z M 3 a. b b M G + G R avec G d. Y donc M ϖ. d. Patm + ϖ. h. a. b. Z 4) M ' P. a. b. d Z atm. 5) La plaque pivote ( < 0 ou encore ϖ. a. b. d. h < 0 θ ) si ( M + M '). Z < 0 b b Equivaut à b b h > + d donc b h0 b. +.N. h0 4, 5 m. d Exercice N 6: ENONCE uteur : Riadh EN HMOUD Page: 4