NOTIONS DE MECANIQUE DES FLUIDES

Transcription

1 NOTIONS DE MECNIQUE DES FLUIDES Cours et Exercices Corrigés Riadh EN HMOUD Centre de Publication Universitaire

2 VNT-PROPOS L étude de la mécanique des fluides remonte au moins à l époque de la Grèce antique avec le célèbre savon rchimède, connu par son principe qui fut à l origine de la statique des fluides. ujourd hui, la dynamique des fluides est un domaine actif de la recherche avec de nombreux problèmes non résolus ou partiellement résolus. Dans cet ouvrage se trouve exposé l essentiel de ce qu un étudiant des Instituts Supérieurs des Etudes Technologiques doit savoir. Les automatismes hydrauliques et pneumatiques sont actuellement très utilisés en industrie. Donc, un technicien quelque soit sa spécialité doit acquérir les notions fondamentales en mécanique des fluides. Nous avons cherché à éviter les développements mathématiques trop abondants et pas toujours correctement maîtrisés par la plupart des techniciens supérieurs et insisté très largement sur les applications industrielles et les problèmes de dimensionnement. insi, l étude de la mécanique des fluides sera limitée dans cet ouvrage à celle des fluides homogènes. Les lois et modèles simplifiés seront utilisés pour des fluides continus dans une description macroscopique. Egalement, nous limiterons notre étude à celle des fluides parfaits et réels. Dans l étude dynamique nous serons amenés à distinguer les fluides incompressibles et les fluides compressibles. Le chapitre constitue une introduction à la mécanique des fluides dans laquelle on classe les fluides parfaits, les fluides réels, les fluides incompressibles et les fluides compressibles et on définit les principales propriétés qui seront utilisées ultérieurement. Le chapitre est consacré à l étude des fluides au repos. Les lois et théorèmes fondamentaux en statique des fluides y sont énoncés. La notion de pression, le théorème de Pascal, le principe d rchimède et la relation fondamentale de l hydrostatique sont expliqués. Dans le chapitre 3 sont traitées les équations fondamentales qui régissent la dynamique des fluides incompressibles parfaits, en particulier, l équation de continuité et le théorème de ernoulli. Elles sont considérées très importantes

3 dans plusieurs applications industrielles, entre autres dans la plupart des instruments de mesures de pressions et de débits qu on peut rencontrer dans beaucoup de processus industriels de fabrication chimique surtout. Dans le chapitre 4 sont démontrés les équations et les théorèmes relatifs à la dynamique des fluides incompressibles réels. Une méthode simplifiée de calcul des pertes de charge basée sur ces équations est proposée. Elle est indispensable pour le dimensionnement des diverses installations hydrauliques (problèmes de pompage, de turbines, de machines hydrauliques, et thermiques dans lesquelles est véhiculé un fluide etc.) Le chapitre 5 est consacré à l étude des fluides compressibles. Les lois et les équations fondamentales de la dynamique ainsi que le théorème de Saint-Venant nécessaires pour traiter un problème d écoulement de gaz sont démontrés. Certaines notions de thermodynamique, jugées indispensables pour introduire quelques paramètres, sont ajoutées. La dernière partie de chaque chapitre est consacrée à des exercices corrigés. Ils sont extraits, pour la plupart, des examens et devoirs surveillés que j ai proposé à l Institut Supérieur des Etudes Technologique de Djerba. Ils sont choisis pour leur intérêt pratique et pour leur diversité. Chaque exercice traite un domaine particulier d application qu un technicien supérieur pourrait rencontrer aussi bien dans le cadre des travaux pratiques à l ISET qu en industrie dans sa vie active. Les solutions avec beaucoup de détail, devraient permettre à l étudiant d acquérir, en peu de temps, la maîtrise nécessaire des concepts utilisés. Ces exercices permettront également de tester l avancement de leurs connaissances. En ce qui concerne la typographie, il a paru opportun de garder les mêmes notations dans la partie exercices corrigés et dans la partie cours. Les points importants sont écrits en caractère gras et les résultats sont encadrés. Cet ouvrage constitue une première version. Il sera certainement révisé. Les critiques, les remarques et les conseils de tous les compétents du domaine qui veulent nous aider et encourager seront accueillis avec beaucoup de respect et remerciement. Riadh EN HMOUD, Octobre 008

4 TLE DES MTIERES Chapitre : Introduction à la Mécanique des Fluides... Introduction... Définitions.... Fluide parfait.... Fluide réel Fluide incompressible Fluide compressible Caractéristiques physiques Masse volumique Poids volumique Densité Viscosité Conclusion Exercices d application... 8 Chapitre : Statique des fluides... 0 Introduction... 0 Notion de pression en un point d un fluide Relation fondamentale de l hydrostatique... 4 Théorème de Pascal Enoncé Démonstration Poussée d un fluide sur une paroi verticale Hypothèses Eléments de réduction du torseur des forces de pression Résultante Moment Centre de poussée Théorème d rchimède Énoncé Démonstration Conclusion Exercices d aplication... Chapitre 3 : Dynamique des Fluides Incompressibles Parfaits... 5 Introduction... 5 Ecoulement Permanent Equation de Continuité Notion de Débit Débit massique Débit volumique Relation entre débit massique et débit volumique Théorème de ernoulli Cas d un écoulement sans échange de travail Théorème de ernoulli Cas d un écoulement avec échange de travail... 57

5 7 Théorème d Euler : Conclusion Exercices d application... 6 Chapitre 4 : Dynamique des Fluides Incompressibles Reels Introduction Fluide Réel Régimes d écoulement - nombre de Reynolds Pertes de charges Définition Pertes de charge singulières Pertes de charges linéaires : Théorème de ernoulli appliqué à un fluide reel Conclusion Exercices d application Chapitre 5 : Dynamique des Fluides Compressibles... 0 Introduction... 0 Equations d etat d un gaz parfait Lois des gaz parfaits Transformations thermodynamiques Classification des écoulements Célérité du son Nombre de Mach Ecoulement subsonique Ecoulement supersonique... 4 Equation de continuite... 5 Equation de Saint-Venant Etat générateur : Conclusion Exercices d application... 5

6 Chapitre : INTRODUCTION L MECNIQUE DES FLUIDES INTRODUCTION La mécanique des fluides est la science des lois de I'écoulement des fluides. Elle est la base du dimensionnement des conduites de fluides et des mécanismes de transfert des fluides. C est une branche de la physique qui étudie les écoulements de fluides c'est-à-dire des liquides et des gaz lorsque ceux-ci subissent des forces ou des contraintes. Elle comprend deux grandes sous branches: - la statique des fluides, ou hydrostatique qui étudie les fluides au repos. C'est historiquement le début de la mécanique des fluides, avec la poussée d'rchimède et l'étude de la pression. - la dynamique des fluides qui étudie les fluides en mouvement. Comme autres branches de la mécanique des fluides. On distingue également d autres branches liées à la mécanique des fluides : l'hydraulique, l'hydrodynamique, l'aérodynamique, Une nouvelle approche a vu le jour depuis quelques décennies: la mécanique des fluides numérique (CFD ou Computational Fluid Dynamics en anglais), qui simule l'écoulement des fluides en résolvant les équations qui les régissent à l'aide d'ordinateurs très puissants : les supercalculateurs. La mécanique des fluides a de nombreuses applications dans divers domaines comme l'ingénierie navale, l'aéronautique, mais aussi la météorologie, la climatologie ou encore l'océanographie. DEFINITIONS Un fluide peut être considéré comme étant une substance formé d'un grand nombre de particules matérielles, très petites et libres de se déplacer les unes par rapport aux autres. C est donc un milieu matériel continu, déformable, sans rigidité et qui peut s'écouler. Les forces de cohésion entres particules élémentaires sont

7 Chapitre : Introduction à la mécanique des fluides très faibles de sorte que le fluide est un corps sans forme propre qui prend la forme du récipient qui le contient, par exemple: les métaux en fusion sont des fluides qui permettent par moulage d'obtenir des pièces brutes de formes complexes. On insiste sur le fait qu un fluide est supposé être un milieu continu : même si l'on choisit un très petit élément de volume, il sera toujours beaucoup plus grand que la dimension des molécules qui le constitue. Par exemple, une gouttelette de brouillard, aussi petite soit-elle à notre échelle, est toujours immense à l'échelle moléculaire. Elle sera toujours considérée comme un milieu continu. Parmi les fluides, on fait souvent la distinction entre liquides et gaz. Les fluides peuvent aussi se classer en deux familles relativement par leur viscosité. La viscosité est une de leur caractéristique physico-chimique qui sera définie dans la suite du cours et qui définit le frottement interne des fluides. Les fluides peuvent être classés en deux grande familles : La famille des fluides "newtoniens" (comme l'eau, l'air et la plupart des gaz) et celle des fluides "non newtoniens" (quasiment tout le reste... le sang, les gels, les boues, les pâtes, les suspensions, les émulsions...). Les fluides "newtoniens" ont une viscosité constante ou qui ne peut varier qu'en fonction de la température. La deuxième famille est constituée par les fluides "non newtoniens" qui ont la particularité d'avoir leur viscosité qui varie en fonction de la vitesse et des contraintes qu'ils subissent lorsque ceux-ci s'écoulent. Ce cours est limité uniquement à des fluides newtoniens qui seront classés comme suit.. Fluide parfait Soit un système fluide, c'est-à-dire un volume délimité par une surface fermée Σ fictive ou non. Σ df r N n r df r ds df r T uteur : Riadh EN HMOUD Page:

8 Chapitre : Introduction à la mécanique des fluides Considérons df r la force d interaction au niveau de la surface élémentaire ds de normale n r entre le fluide et le milieu extérieur. On peut toujours décomposer df r en deux composantes: - une composante df r T tangentielle à ds. - une composante df r N normale à ds. En mécanique des fluides, un fluide est dit parfait s'il est possible de décrire son mouvement sans prendre en compte les effets de frottement. C est à dire quand la composante df r T est nulle. utrement dit, la force df r est normale à l'élément de surface ds.. Fluide réel Contrairement à un fluide parfait, qui n est qu un modèle pour simplifier les calculs, pratiquement inexistant dans la nature, dans un fluide réel les forces tangentielles de frottement interne qui s opposent au glissement relatif des couches fluides sont prise en considération. Ce phénomène de frottement visqueux apparaît lors du mouvement du fluide. C est uniquement au repos, qu on admettra que le fluide réel se comporte comme un fluide parfait, et on suppose que les forces de contact sont perpendiculaires aux éléments de surface sur lesquels elles s exercent. La statique des fluides réels se confond avec la statique des fluides parfaits..3 Fluide incompressible Un fluide est dit incompressible lorsque le volume occupé par une masse donné ne varie pas en fonction de la pression extérieure. Les liquides peuvent être considérés comme des fluides incompressibles (eau, huile, etc.).4 Fluide compressible Un fluide est dit compressible lorsque le volume occupé par une masse donnée varie en fonction de la pression extérieure. Les gaz sont des fluides compressibles. Par exemple, l air, l hydrogène, le méthane à l état gazeux, sont considérés comme des fluides compressibles. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 3

9 Chapitre : Introduction à la mécanique des fluides 3 CRCTERISTIQUES PHYSIQUES 3. Masse volumique m ρ V où : ρ : Masse volumique en (kg/m 3 ), m : masse en (kg), V : volume en (m 3 ). Exemples : Fluide Masse volumique ρ (kg/m 3 ) Type de fluide enzène 0, Chloroforme, Eau 0 3 Incompressible Huile d olive 0, Mercure 3, Hydrogène 0, compressible ir 0, Méthane 0, Poids volumique m. g ϖ ρ. g V ϖ : Poids volumique en (N/m 3 ). m : masse en (kg), g : accélération de la pesanteur en (m/s ), V : volume en (m 3 ). 3.3 Densité d masse volumique du fluide masse volumique d' un fluide de référence Dans le cas des liquides en prendra l eau comme fluide de référence. Dans le cas des gaz on prendra l air comme fluide de référence. ρ ρ ref Ces valeurs sont prise à titre indicatif dans les conditions normales de pression et de température. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 4

10 Chapitre : Introduction à la mécanique des fluides 3.4 Viscosité C est une grandeur qui caractérise les frottements internes du fluide, autrement dit sa capacité à s écouler. Elle caractérise la résistance d'un fluide à son écoulement lorsqu'il est soumis à l'application d'une force. C est à dire, les fluides de grande viscosité résistent à l'écoulement et les fluides de faible viscosité s'écoulent facilement. Elle peut être mesurée par un viscosimètre à chute de bille, dans lequel en mesure le temps écoulé pour la chute d une bille dans le fluide. Elle peut également être mesurée par un récipient dont le fond comporte un orifice de taille standardisée. La vitesse à laquelle le fluide s'écoule par cet orifice permet de déterminer la viscosité du fluide. La viscosité est déterminée par la capacité d'entraînement que possède une couche en mouvement sur les autres couches adjacentes. Par exemple, si on considère un fluide visqueux placé entre deux plaques P et P, tel que la plaque P est fixe et la plaque P est animée d une vitessev. Z V Plaque P Δ Z V + ΔV V F Plaque P fixe Si on représente par un vecteur, la vitesse de chaque particule située dans une section droite perpendiculaire à l'écoulement, la courbe lieu des extrémités de ces vecteurs représente le profil de vitesse. Le mouvement du fluide peut être considéré comme résultant du glissement des couches de fluide les unes sur les autres. La vitesse de chaque couche est une fonction de la distance Z. On distingue la viscosité dynamique et la viscosité cinématique. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 5

11 Chapitre : Introduction à la mécanique des fluides Viscosité dynamique La viscosité dynamique exprime la proportionnalité entre la force qu'il faut exercer sur une plaque lorsqu'elle est plongée dans un courant et la variation de vitesse des veines de fluide entre les faces de la plaque....elle est exprimée par un coefficient représentant la contrainte de cisaillement nécessaire pour produire un gradient de vitesse d'écoulement d'une unité dans la matière. Considérons deux couches de fluide adjacentes distantes de Δz. La force de frottement F qui s'exerce à la surface de séparation de ces deux couches s'oppose au glissement d'une couche sur l'autre. Elle est proportionnelle à la différence de vitesse des couches soit Δv, à leur surface S et inversement proportionnelle à Δz : Le facteur de proportionnalité μ est le coefficient de viscosité dynamique du fluide. ΔV F μ. S. * ΔZ où : F : force de glissement entre les couches en (N), μ : Viscosité dynamique en (kg/m.s), S : surface de contact entre deux couches en (m ), Δ V : Écart de vitesse entre deux couches en (m/s), Δ Z : Distance entre deux couches en (m). Remarque : Dans le système international (SI), l'unité de la viscosité dynamique est le Pascal seconde (Pa s) ou Poiseuille (Pl) : Pa s Pl kg/m s Exemple : Fluide μ (Pa s) eau (0 C), eau (0 C), eau (00 C) 0, Huile d'olive (0 C) glycérol (0 C) Hydrogène (0 C) 0, Oxygène (0 C), uteur : Riadh EN HMOUD Page: 6

12 Chapitre : Introduction à la mécanique des fluides Viscosité cinématique μ υ ρ L'unité de la viscosité cinématique est le (m /s). Remarque (unité): On utilise souvent le Stokes (St) comme unité de mesure de la viscosité cinématique. St 0-4 m /s Remarque (Influence de la température) : Lorsque la température augmente, la viscosité d'un fluide décroît car sa densité diminue. Remarque 3 (différence entre viscosité dynamique et viscosité cinématique) La viscosité cinématique caractérise le temps d'écoulement d un liquide. Par contre, la viscosité dynamique correspond à la réalité physique du comportement d un fluide soumis à une sollicitation (effort). En d autre terme, cette dernière exprime la «rigidité» d un fluide à une vitesse de déformation en cisaillement (voir la relation * à la page 6). 4 CONCLUSION Les fluides peuvent être classés en fluides parfaits (sans frottement), fluides réels (avec frottement), fluides incompressibles (liquides) et fluides compressibles (gaz). Les fluides sont caractérisés par les propriétés suivantes: la masse volumique, le poids volumique, la densité et la viscosité. Ces propriétés seront utilisées ultérieurement. Le comportement mécanique et les propriétés physiques des fluides compressibles et ceux des fluides incompressibles sont différents. En effet, les lois de la mécanique des fluides ne sont pas universelles. Elles sont applicables uniquement pour une classe de fluides donnée. Conformément à la classification qui a été faite, les lois relatives à chaque type de fluides seront exposées dans la suite du cours d une façon indépendante. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 7

13 Chapitre : Introduction à la mécanique des fluides 5 EXERCICES D PPLICTION Exercice N : ENONCE Déterminer le poids volumique de l essence sachant que sa densité d0,7. On donne : - l accélération de la pesanteur g9,8 m/s - la masse volumique de l eau ρ 000 kg / m REPONSE ϖ d.ρ.g Exercice N : ENONCE.N. ϖ 0, , N / m Calculer le poids P 0 d un volume V3 litres d huile d olive ayant une densité d0,98. REPONSE 3 P o d.ρ. V. g.n. P o 0, ,8 7 N Exercice N 3: EXTRIT DE L EXMEN DU ENONCE Quelle est l influence de la température sur la viscosité? REPONSE Si la température augmente la viscosité diminue, et inversement. Exercice N 4: EXTRIT DE L EXMEN DU ENONCE Convertir le stockes en m /s. REPONSE 3 3 Conversion du stockes : 4 Stockes 0 m / s Exercice N 5: EXTRIT DE L EXMEN DU ENONCE Expliquer le principe de mesure d'un viscosimètre à chute de bille. REPONSE uteur : Riadh EN HMOUD Page: 8

14 Chapitre : Introduction à la mécanique des fluides La viscosité cinématique est proportionnelle au temps mis par une bille sphérique en chute pour descendre au fond d un tube contenant un fluide de viscosité inconnue. Exercice N 6: EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE Déterminer la viscosité dynamique de l huile d olive sachant que sa densité est 0,98 et sa viscosité cinématique est,089 Stockes. REPONSE μ ρ. υ.n. μ 98., , Pa. s Exercice N 7: ENONCE Du fuel porté à une température T0 C a une viscosité dynamique μ Pa. s sachant que sa densité est d0,95.. Calculer sa viscosité cinématique υ en stockes On donne la masse volumique de l eau est ρ eau 000 kg / m REPONSE 3 μ ν.n. ν.0 m / s stockes ρ eau.d 000.0,95 3 uteur : Riadh EN HMOUD Page: 9

15 Chapitre : STTIQUE DES FLUIDES INTRODUCTION Lors d une plongée sous marine, on constate que la pression de l eau augmente avec la profondeur. La pression d eau exercée sur un sous-marin au fond de l océan est considérable. De même, la pression de l eau au fond d un barrage est nettement plus grande qu au voisinage de la surface. Les effets de la pression doivent être pris en considération lors du dimensionnement des structures tels que les barrages, les sous marins, les réservoirs etc. Les ingénieurs doivent calculer les forces exercées par les fluides avant de concevoir de telles structures. Ce chapitre est consacré à l étude des fluides au repos. Les lois et théorèmes fondamentaux en statique des fluides y sont énoncés. La notion de pression, le théorème de Pascal, le principe d rchimède et la relation fondamentale de l hydrostatique y sont expliqués. Le calcul des presses hydrauliques, la détermination de la distribution de la pression dans un réservoir etc., sont basés sur les lois et théorèmes fondamentaux de la statique des fluides. NOTION DE PRESSION EN UN POINT D UN FLUIDE La pression est une grandeur scalaire. C est l intensité de la composante normale de la force qu exerce le fluide sur l unité de surface. Elle est définie en un point d un fluide par l expression suivante : df r N ds n r 0

16 Chapitre : Statique des fluides P df N ds où : ds : Surface élémentaire de la facette de centre (en mètre carré), n : Vecteur unitaire en de la normale extérieure à la surface, df N : Composante normale de la force élémentaire de pression qui s exerce sur la surface (en Newton), P : pression en (en Pascal), Sur la surface de centre, d aire ds, orientée par sa normale extérieure n, la force de pression élémentaire df s exprime par : df P. ds n N. Exemple : Chaque cm de surface de notre peau supporte environ kg (force) représentant le poids de l'atmosphère. C'est la pression atmosphérique au niveau de la mer. Nous ne la ressentons pas car notre corps est incompressible et ses cavités (estomac, poumons, etc. ) contiennent de l'air à la même pression. Si on s'élève de m, la pression atmosphérique est deux fois plus faible qu'au niveau de la mer car la masse d'air au-dessus de notre tête est alors moitié moindre. D où la nécessité d une pressurisation des avions. En plongée sous-marine, pour mesurer la pression, on utilise le plus souvent le bar: bar kg / cm. uteur : Riadh EN HMOUD Page:

17 Chapitre : Statique des fluides Plus on descend en profondeur, plus la pression est élevée car il faut tenir compte du poids de l'eau au-dessus de nous : à 0 mètres de profondeur, chaque cm de notre peau supportera un poids égal à : cm X 0 m (profondeur) cm X 00 cm 000 cm3 l équivalent du poids d litre d eau. Le poids d un litre d eau douce est égal à kg. Le poids d un litre d eau de mer est un plus important (à cause du sel qu elle contient) :,06 kg. En négligeant cette différence, on considérera que de manière générale un litre d'eau pèse kg. Par conséquent, la pression due à l'eau à 0 m de profondeur est donc de kg / cm, c'est-à-dire bar. Si on descend à nouveau de -0 m, la pression augmentera à nouveau de bar. C est ce qu on appelle la pression hydrostatique (pression due à l'eau). On l'appelle aussi pression relative car c'est une pression par rapport à la surface. La pression hydrostatique (comme la pression atmosphérique) s exerce dans toutes les directions (et pas simplement de haut en bas). Remarque : L unité internationale de pression est le Pascal : Pa N/m². Cette unité est très petite. On utilise le plus souvent ses multiples. En construction mécanique, résistance des matériaux, etc.,l unité utilisée est le méga pascal : MPa N/mm 0 6 Pa En mécanique des fluides on utilise encore très souvent le bar. Le bar est égal à peu près à la pression atmosphérique moyenne : bar 0 5 Pa. 3 RELTION FONDMENTLE DE L HYDROSTTIQUE Considérons un élément de volume d un fluide incompressible (liquide homogène de poids volumiqueϖ ). Cet élément de volume a la forme d un cylindre d axe (G, u ) qui fait un angle α avec l axe vertical (O, Z ) d un repère R(O, X r,y r, Z r ). Soit l la longueur du cylindre et soit ds sa section droite. uteur : Riadh EN HMOUD Page:

18 Chapitre : Statique des fluides Z df r u Z l α G ds df r i G Z G df r dp r o Soit G d altitude Z et G d altitude Z, les centres des sections droites extrêmes. Etudions l équilibre du cylindre élémentaire, celui-ci est soumis aux : - actions à distance : son poids : dp O ϖ l ds Z - actions de contact : forces de pression s exerçant sur : o la surface latérale : Σ df. i o les deux surfaces planes extrêmes : df P. ds.( u) P. ds. u et df P. ds. u.avec P et P les pressions du fluide respectivement en G et en G. Le cylindre élémentaire étant en équilibre dans le fluide, écrivons que la résultante des forces extérieures qui lui sont appliquées est nulle : dp O + ΣdF + df df i + 0 En projection sur l axe de symétrie (G,u ) du cylindre, ϖ. l. ds.cosα + P. ds P. ds 0 uteur : Riadh EN HMOUD Page: 3

19 Chapitre : Statique des fluides Exprimons la différence de pression P P après avoir divisé par ds et remarqué que l cosα Z Z P ϖ.( Z Z) ρg( Z ) : Relation fondamentale de l hydrostatique. P Z utre forme plus générale : En divisant les deux membres de la relation précédente par ϖ : P ϖ P ϖ + Z Z + P P. Ou encore + Z + Z ρg ρg Comme G et G ont été choisis de façon arbitraire à l intérieur d un fluide de poids volumiqueϖ, on peut écrire en un point quelconque d altitude Z, ou règne la pression p : P + Z ϖ P ρg + Z Cte 4 THEOREME DE PSCL 4. Enoncé Dans un fluide incompressible en équilibre, toute variation de pression en un point entraîne la même variation de pression en tout autre point. 4. Démonstration Supposons qu au point G intervienne une variation de pression telle que celle-ci devienne P + ΔP. Δ P étant un nombre algébrique. Calculons la variation de pression Δ P qui en résulte en G. ppliquons la relation fondamentale de l hydrostatique entre G et G pour le fluide o à l état initial: P P ϖ Z ) () ( Z o à l état final : P + ΔP ) ( P + ΔP ) ϖ.( Z ) () ( Z En faisant la différence entre les équations () et () on obtient : ΔP ΔP 0. D où Δ P ΔP uteur : Riadh EN HMOUD Page: 4

20 Chapitre : Statique des fluides 5 POUSSEE D UN FLUIDE SUR UNE PROI VERTICLE 5. Hypothèses La paroi verticale possède un axe de symétrie (G,Y r ). G est son centre de surface. D un coté de la paroi il y a un fluide de poids volumiqueϖ, de l autre coté, il y a de l air à la pression atmosphérique P atm. On désigne par P G la pression au centre de surface G du coté fluide. Y r ds M G G o df y y o X r 5. Eléments de réduction du torseur des forces de pression Connaissant la pression P G au point G, la pression P M au point M est déterminée en appliquant la relation fondamentale de l hydrostatique : PM PG ϖ.( YG YM ) Dans le repère (G, X r, Y r, Z r ) défini sur la figure : y G 0 et y M y, donc P P ϖ y M G. Exprimons la force de pression en M : r df ( P ϖ. y). ds. X Soit { τ poussée} le torseur associé aux forces de pression relative : { τ } poussée M G R df ( S ) GM df s G G uteur : Riadh EN HMOUD Page: 5

21 Chapitre : Statique des fluides 5.. Résultante r R ( P ϖ. y). ds. X ( S ) G que l on peut écrire en mettant en facteur les termes constants : r R PG. ds. y. ds. X ( S ) ( S ) ϖ On note que ( S ) ds S (aire de la paroi), ( s) y. ds y. S G 0 : Moment statique de la surface S par rapport à l axe (G, Z ), donc R PG. S. X 5.. Moment M G GM df Dans le repère (G, X, Y, Z ) on peut écrire: r GM y. Y et df ( PG ϖ. y). ds. X, r donc M G [ y. Y ( PG ϖ. y). ds. X ] ( S ) Sachant que Y X Z donc M G PG. y. ds ϖ. y. ds.( Z) ( S ) ( S ) On sait que y. ds y. S 0 ( S ) G et y. ds I r : Moment quadratique de la ( G, Z ) ( S ) surface S par rapport à l axe (G, Z ) passant par le centre de surface G. Donc M G ϖ I r. Z. ( G, Z ) En résumé : { τ } poussee PG. S. X ϖ. I r. Z ( G, Z ) G uteur : Riadh EN HMOUD Page: 6

22 Chapitre : Statique des fluides 5.3 Centre de poussée On cherche à déterminer un point G 0 où le moment résultant des forces de pression est nul. Compte tenu de l hypothèse de symétrie, si ce point existe il appartient à l axe (G,Y ) et il est tel que : M G M + G0G R 0 0 G. Ecrivons alors que : GG R 0 M G vec les résultats précédents, on obtient : y Y P. S. X ϖ. I s Z,. 0 G. ( G, Z ) ce qui conduit à y 0 ϖ. I r ( G, Z ) P. S G G o existe, il s appelle le centre de poussée de la paroi. Remarque : Le centre de poussée est toujours au-dessous du centre de surface G. 6 THEOREME D RCHIMEDE 6. Énoncé Tout corps plongé dans un fluide reçoit de la part de ce fluide une force (poussée) verticale, vers le haut dont l'intensité est égale au poids du volume de fluide déplacé (ce volume est donc égal au volume immergé du corps). P RCH ρ fluide.v imm.g P r RCH Solide immergé S Fluide uteur : Riadh EN HMOUD Page: 7

23 Chapitre : Statique des fluides 6. Démonstration Dans un fluide (E) de poids volumique ϖ, imaginons un certain volume de fluide (E ) délimité par un contour fermé (S) : df r Volume imaginaire (E ) Délimité par le contour S Fluide Volume (E ) extérieur au contour S Si le fluide est au repos, il est évident que (E ) est en équilibre sous l effet des actions mécaniques extérieures suivantes : - ction de la pesanteur, modélisable par le torseur : { τ ( pes E ) } - ction des forces de pression df r du fluide (E ) qui entoure (E ) modélisable par le torseur :{ τ ( E ) } E On peut donc écrire l équation d équilibre de (E ) :{ τ ( pes E )} + { τ ( E E) } { 0} Nous savons qu en G, centre de gravité du fluide (E ) le torseur des forces de pesanteur se réduit à un glisseur :{ τ ( pes E ) } P 0 Il est donc évident qu au même point G le torseur des forces de pression df se réduira lui aussi à un glisseur : { τ E E )} ( ( S ) Poids de (E ) df 0 G L équation d équilibre de la portion de fluide (E ) s écrit : df + P 0 G ( S ) uteur : Riadh EN HMOUD Page: 8

24 Chapitre : Statique des fluides (E ) est ici une portion de fluide et P est le poids du fluide occupant le volume (E ). Si le volume (E ) est occupé par un solide immergé ayant le même contour S, les forces de poussée sur ce contours (S) sont les mêmes, ce qui revient à dire que la force de poussée ne dépend que du volume du fluide déplacé et non pas de la nature du solide immergé (plomb, acier, etc). Conclusion : Tout corps solide immergé dans un fluide en équilibre est soumis de la part de celui-ci à des forces de pression df dont les actions mécaniques sont modélisables au centre de gravité du fluide déplacé par un glisseur dont la résultante est directement opposée au poids du fluide déplacé. { τ ( E E ) } P 0 G Remarques : - er cas : Si le solide immergé est homogène alors le centre de poussée G, point d application de la poussée d rchimède sera confondu avec le centre de gravité du solide. L équilibre du solide est indifférent. P r RCH Solide immergé S G Fluide Poids du solide - ième cas : Si le solide immergé est hétérogène alors le centre de poussée G, point d application de la poussée d rchimède n est pas confondu avec le centre de gravité G s du solide. L équilibre du solide est stable si G est au dessus de G S. L équilibre du solide est instable si G est au dessous de G S. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 9

25 Chapitre : Statique des fluides P r RCH Solide immergé S G G S Fluide Poids du solide 7 CONCLUSION Position stable La statique des fluides est basée principalement sur les résultats suivants: a) La différence de pression entre deux points est proportionnelle à leur différence de profondeur : P P ϖ.( Z Z) ρg( Z Z) : C est la relation fondamentale de l hydrostatique, b) Toute variation de pression en un point engendre la même variation de pression en tout autre point d après le théorème de Pascal. c) Le torseur associé aux forces de pression d un fluide sur une paroi plane verticale est : { τ } poussee PG. S. X ϖ. I r. Z ( G, Z ) G d) La position du centre de poussée. est y 0 ϖ. I r ( G, Z ) P. S G e) Tout corps plongé dans un fluide subit une force verticale, orientée vers le haut c est la poussée d rchimède et dont l'intensité est égale au poids du volume de fluide déplacé. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 0

26 Chapitre : Statique des fluides 8 EXERCICES D PLICTION Exercice N : Extrait du devoir surveillé du ENONCE La figure ci-dessous représente un cric hydraulique formé de deux pistons () et () de section circulaire. Sous l effet d une action sur le levier, le piston () agit, au point (), par une force r de pression sur l huile. L huile agit, au point () sur le piston () par une force F P / h F r h / p On donne : - les diamètres de chacun des pistons : D 0 mm; D 00 mm. - l intensité de la force de pression en : F p/h 50 N. Z Z Z Travail demandé : ) Déterminer la pression P de l huile au point. ) Quelle est la pression P? 3) En déduire l intensité de la force de pression F h/p. REPONSE 4. FP / h ) Pression P de l huile au point : P.N P 9. 0 P a π. D π.0,0 5 ) RFH entre et : P P ϖ.( Z Z ), or Z Z donc P P 9.0 Pascal. 3) Force de pression en : F h / P uteur : Riadh EN HMOUD Page: π. D 5 π.0, P..N. F h / P , 56 N 4 4 Commentaire: On constate que la force F p/h 50 N est relativement faible par rapport à F h/p 49,56 N. vec ce système nous avons atteint un rapport de

27 Chapitre : Statique des fluides réduction de force de presque 00. Ce rapport correspond au rapport des diamètres des cylindres. On utilise souvent le même principe de réduction d effort dans plusieurs applications hydrauliques (exemple: presse hydraulique). Exercice N : EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE La figure ci-dessous représente un réservoir ouvert, équipé de deux tubes piézométriques et rempli avec deux liquides non miscibles : - de l'huile de masse volumique ρ 850 kg/m 3 sur une hauteur h 6 m, - de l'eau de masse volumique ρ 000 kg/m 3 sur une hauteur h 5 m. Z r Tubes piézométriques E h huile D h eau C On désigne par: - un point de la surface libre de l'huile, - un point sur l'interface entre les deux liquides, - C un point appartenant au fond du réservoir - D et E les points représentants les niveaux dans les tubes piézimétriques, - (O, Z r ) est un axe vertical tel que Z C O. ppliquer la relation fondamentale de l'hydrostatique (RFH) entre les points: ) et. En déduire la pression P (en bar) au point. ) et E. En déduire le niveau de l'huile Z E dans le tube piézométrique. uteur : Riadh EN HMOUD Page:

28 Chapitre : Statique des fluides 3) C et. En déduire la pression P C (en bar) au point C. 4) C et D. En déduire le niveau de l'eau Z D dans le tube piézométrique. REPONSE ) RFH entre et : P P ρ g( Z Z ) Or P P atm et Z -Z h Donc P Patm + ρ g.h.n. P , Pa, 5 bar ) RFH entre et E : P P ρ g( Z Z ) Or P P E P atm E E Donc Z E Z h + h.n. Z E m 3) RFH entre C et : P P ρ g( Z Z ) Or Z -Z C h C C Donc PC P + ρ g.h.n. P C , Pa bar 4) RFH entre C et D : P P ρ g( Z Z ) Or P D P atm et Z C 0 C D D C Donc Z D 5 PC Patm N. Z D 0, m ρ. g 000.9,8 Exercice N 3: EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE Soit un tube en U fermé à une extrémité qui contient deux liquides non miscibles. Z Z Z 3 Z h (3) () Essence () h Mercure Entre les surfaces : - () et () il s agit de l essence de masse volumique ρ essence 700 kg/m 3. - () et (3), il s agit du mercure de masse volumique ρ mercure 3600 kg/m 3. La pression au-dessus de la surface libre () est P P atm bar. L accélération de la pesanteur est g9,8 m/s. La branche fermée emprisonne un gaz à une pression P 3 qu on cherche à calculer. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 3

29 Chapitre : Statique des fluides ) En appliquant la RFH (Relation Fondamentale de l Hydrostatique) pour l essence, calculer la pression P (en mbar) au niveau de la surface de séparation () sachant que h (Z -Z ) 78 mm. ) De même, pour le mercure, calculer la pression P 3 (en mbar) au niveau de la surface (3) sachant que h (Z 3 -Z ) 5 mm. REPONSE ) RFH pour l essence : P P ρ essence. g ( Z Z ). 5 5 P P + essence. g. h.n. P ,8.0,78,05.0 pascal 050 mbar ρ ) RFH pour le mercure : P P ρ mercure. g ( Z Z ) 3 mercure h P P ρ. g. '.N. P ,8.0,5,03.0 pascal 030 mbar 3 3 Exercice N 4: EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE Z () (4) lcooles h Eau h () (3) Mercure Un tube en U contient du mercure sur une hauteur de quelques centimètres. On verse dans l une des branches un mélange d eau - alcool éthylique qui forme une colonne de liquide de hauteur h 30 cm. Dans l autre branche, on verse de l eau pure de masse volumique 000 kg/m 3, jusqu à ce que les deux surfaces du mercure reviennent dans un même plan horizontal. On mesure alors la hauteur de la colonne d eau h 4 cm. ) ppliquer la relation fondamentale de l hydrostatique pour les trois fluides. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 4

30 Chapitre : Statique des fluides ) En déduire la masse volumique du mélange eau alcool éthylique. REPONSE ) Relation fondamentale de l hydrostatique : lcool : P P ρ. g. h alcool Mercure : P P 0 3 Eau : P3 P4 ρ. g. h eau ) On sait que P P P atm et P P 3 donc ρ. g. h ρ. g. h alcool eau Donc h ρ..n. h alcool ρ eau ρ kg / m 30 alcool 3 Exercice N 5: ENONCE On considère un tube en U contenant trois liquides: Z r Z 0 eau essence Z 3 Z Z mercure - de l eau ayant une masse volumique ρ 000 kg/m 3, - du mercure ayant une masse volumique ρ 3600 kg/m 3, - de l essence ayant une masse volumique ρ kg/m 3. On donne : Z 0 Z 0, m Z 3 Z 0, m Z + Z,0 m uteur : Riadh EN HMOUD Page: 5

31 Chapitre : Statique des fluides On demande de calculer Z 0, Z, Z et Z 3. REPONSE D après (RFH), chapitre, on peut écrire: P P 0 ρ.g.( Z 0 Z ) P P ρ.g.( Z Z ) P 3 P ρ 3.g.( Z Z 3 ) Puisque que P 0 P 3 P atm, en faisant la somme de ces trois équations on obtient : ρ.( Z 0 Z ) + ρ.( Z Z ) + ρ 3.( Z Z 3 ) 0 ρ ρ3 ( Z Z).( Z0 Z).( Z3 Z) ρ ρ.n: (Z Z ) 0,0096 m or (Z + Z ),0 m donc Z 0,5048 m et Z 0,495 m (Z 3 Z ) 0, m donc Z 3 0,6048 m (Z 0 Z ) 0, m donc Z 0 0,695 m Exercice N 6: ENONCE Y r h60 G y o (S) Z r G o b 00 m La figure ci-dessus représente un barrage ayant les dimensions suivantes : longueur b00 m, hauteur h60 m Le barrage est soumis aux actions de pression de l eau. 3 3 Le poids volumique de l eau est : ϖ 9,8.0 N / m. On demande de : uteur : Riadh EN HMOUD Page: 6

32 Chapitre : Statique des fluides ) Calculer l intensité de la résultante R des actions de pression de l eau. ) Calculer la position y 0 du centre de poussée G 0. REPONSE ) Calcul de R : R PG. S, On applique la RFH entre le point G et un point à la surface de l eau on obtient : h P ϖ. + G P En, sommet du barrage, la pression de l eau est supposé égale à la pression atmosphérique. La surface du barrage est : S b. h, donc : h 5 60 R ( Patm + ϖ. ). b. h R ( ) ,73.0.N... ) Calcul de y 0 : y 0 ϖ. I ( r R r G, Z ) 9 N Le moment quadratique I r ( G, Z ) b. h 3, donc 3 3 bh ϖ. y r N. y 0 7, 46 m 9 R 4,73.0 Commentaire: On remarque que le centre de poussée est très au dessous du centre de surface. Dans le calcul de stabilité du barrage il est hors de question de confondre ces deux points. Exercice N 7: ENONCE Un piston de vérin a un diamètre d60 mm. Il règne au centre de surface G du piston une pression de 40 bar, soit environ P G 4 MP a. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 7

33 Chapitre : Statique des fluides Y r Ø d 60 G G o y o Z r 3 3 L huile contenue dans le vérin a un poids volumiqueϖ 9,8.0,8.0 N / m. On demande de : ) Calculer l intensité de la résultante R des actions de pression de l huile. ) Calculer la position y 0 du centre de poussée G 0. REPONSE ) Calcul de R : R PG. S avec S π. d, donc 4 R π. d 3 PG..N. R,3.0 N 4 ) Calcul de y 0 : y 0 ϖ. I r ( G, Z ) r avec R 4 π. d I( G, z), donc 64 π. d ϖ. y r 64 0 R 4.N. 4 π.0, ,8. y0 64 4,4. 0 3,3.0 7 m Commentaire: On remarque que le centre de poussée est très voisin du centre de surface. Dans le calcul de poussée du vérin il est, donc, tout à fait normal de les confondre. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 8

34 Chapitre : Statique des fluides Exercice N 8: EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE Un réservoir de forme parallélépipédique ayant les dimensions suivantes : - hauteur h 3m, - longueur L 8 m, - largeur L 6 m. est complètement remplie d huile de masse volumique 900 / m 3 ρ kg. h L L ) Calculer le module de la résultante des forces de pression sur chaque surface du réservoir (les quatre faces latérale et le fond). ) Déterminer pour les surfaces latérales la position du point d application (centre de poussée). REPONSE ) R PG. S Sur les parois latérales : R R h. L.N. R.900.9, N ϖ. h. L. ρ. g. h. h. L.N. R.900.9, N ϖ. h. L. ρ. g. h. Sur le fond du réservoir : uteur : Riadh EN HMOUD Page: 9

35 Chapitre : Statique des fluides R 3 ϖ h. L. L ρ. g... h L L.N. R 900.9, N 3 h ) Les points d application sont à m du fond pour les faces latérales. 3 Exercice N 9: EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE On considère un récipient en forme de parallélépipède de largeur b m, ouvert à l air libre et rempli jusqu à une hauteur h,5 m avec du mercure de masse volumique ρ3600 kg/m 3. Y r G X r h Z r b On désigne par: - G le centre de gravité de la surface mouille S. r r r G, X, Y, Z un R.O.D. où X r est orthogonal à S et Y r est vertical. - ( ) On donne l accélération de la pesanteur g9,8 m/s. ) En appliquant la RFH entre un point M de la surface libre et le point G, calculer la pression P G. ) Déterminer l intensité de la résultante R r des forces de pression agissant sur S. 3) Calculer le moment quadratique I, r de la surface S. ) ( G Z uteur : Riadh EN HMOUD Page: 30

36 Chapitre : Statique des fluides 4) Calculer la position Y 0 du centre de poussée. REPONSE ) RFH entre G et M : P P. g. ( Y Y ) G M ρ or Y M h/, Y G 0 et P M P atm donc M G P G P atm h + ρ. g. 5,5 5.N. P G ,8..0 bar r ) Intensité de la résultante : R P. S P bh r.n. R 5.0.., N G G. 3) Moment quadratique : I 3 bh r Z ).N. ( G, 3.,5 I r 0, 565 m ( G, Z ) 4 4) Position du centre de poussée : Y o ϖ. I ( r R r G, Z ) ,8.0,565.N. Y o 0, 5 m Exercice N 0: EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE On considère un aquarium géant utilisé dans les parcs d attraction représenté par la figure suivante : O X Z R H vitre R r G 0 a m Z m uteur : Riadh EN HMOUD Page: 3

37 Chapitre : Statique des fluides Il est rempli d eau à une hauteur H 6m, et équipé d une partie vitrée de forme rectangulaire de dimensions (m x 3m) qui permet de visualiser l intérieur. Travail demandé : ) Représenter le champ de pression qui s exerce sur la partie vitrée. ) Déterminer le module de la résultante R r des forces de pression. 3) Calculer la profondeur Z R du centre de poussée. 4) Reprendre les questions. et 3. en changeant la forme rectangulaire de la partie vitrée par une forme circulaire de diamètre d m. REPONSE ) Le champ de pression agissant sur le vitrage a l allure suivante : O X H m Z m ) Si on néglige la pression atmosphérique, la résultante des forces de pressions : r r R PG. S. X avec S a. b donc R ρ. g. S. Z g.n. R 000.9, N 3) La profondeur Z R du centre de poussée est donnée par l expression suivante : I r ( G, Y ) Z R + Z Z. S G G ou I m ( G, Y r.n. Z m ) R 4, ) Cas d une partie vitrée de forme circulaire de diamètre d m :. d S 4 r R ρ. g. S. π 3,4 m, Z g.n. 4. d I π r 0, 785 m ( G, Y ) 64 r R 35 N 4 uteur : Riadh EN HMOUD Page: 3

38 Chapitre : Statique des fluides I r ( G, Y ) Z R + Z Z. S G G.N. 0,785 Z R + 4 4, 065 m 4.3,4 Exercice N : EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE Une vanne de vidange est constituée par un disque de diamètre d pivotant autour d un axe horizontal (G, Z r ). Le centre G du disque est positionné à une hauteur h5,3 m par rapport au niveau d eau. Y eau h G X On donne : - le diamètre de la vanne : d m, - la pression atmosphérique P atm bar, - l accélération de la pesanteur g9,8 m/s, - la masse volumique de l eau ρ000 kg/m 3. Travail demandé : ) Déterminer le poids volumique de l eau. ) Déterminer la pression P G de l eau au point G. 3) Calculer l intensité de la poussée R r sur le disque. 4) Calculer le moment quadratique I r ( G, Z r du disque par rapport à l axe (G, Z ). ) 5) Calculer le moment M r G des forces de pression agissant sur le disque. 6) Déterminer la position du centre de poussée y 0. REPONSE ) Poids volumique ϖ ρ. g uteur : Riadh EN HMOUD Page: 33

39 Chapitre : Statique des fluides.n. ϖ 000.9,8 980 N / m ) Pression au point G P P +ϖ h. 3 G atm..n ,3, P G Pascal s π. d 3) Intensité de la poussée R PG. 4 s 5 π..n. R, , 5 N 4 4) Moment quadratique I r ( G, Z ) π. d N. I π r 0, 049 m ( G, Z ) 64 r 5) Moment des forces de pression M ϖ I r r. Z r.n. M G 980.0, ,6 N. m G. ( G, Z ) 6) Position centre de poussée : y c ϖ. I r ( G, Z ) r R.N ,049, ,5 y c 3 m Exercice N : EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE Une conduite de longueur L 646 mm est soudée sur un réservoir cylindrique de diamètre D 3 m. Le réservoir est rempli jusqu'au point avec du pétrole brut de densité d 0,95. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 34

40 Chapitre : Statique des fluides Y r Y r L Z r G G 0 y 0 ØD G G 0 R r X r Surface S Le repère (G, X r,y r, Z r ) a été choisit tel que G est le centre de la surface circulaire S (fond de réservoir). (G, X r ) est l'axe de révolution du réservoir et (G,Y r ) est vertical. On donne: - la masse volumique de l'eau ρ eau 000 kg/m 3, - l'accélération de la pesanteur g9,8 m.s -, - la pression P P atm bar. Travail demandé : ) Quelle est la masse volumique ρ du pétrole? ) En déduire son poids volumique ϖ. 3) En appliquant la RFH entre G et, déterminer la pression P G au point G. 4) Calculer le module de la résultante R r des forces de pression du pétrole sur le fond du réservoir. 5) Calculer le moment quadratique I r de la surface circulaire S par rapport à, ) ( G Z l'axe (G, Z r ). 6) Déterminer la position y 0 du centre de poussée G 0. REPONSE uteur : Riadh EN HMOUD Page: 35

41 Chapitre : Statique des fluides ) Masse volumique du pétrole: ρ d. ρeau.n. ) Poids volumique : ϖ ρ. g.n. ϖ ρ 950.9,8 939,5 N / m 0,95.9,8 950 kg / m 3) RFH entre G et : P P ρ g( Y Y ) Or P P atm et Y G 0 D Donc PG Patm + ρ. g.( L + ) G. G.N. P G ,8.(0,646 +,5) 9999,64 Pa, bar 4) Intensité de la résultante :.N. r π. D R PG. 4 r π.3 R 9999, , 47 N ) Moment quadratique: I ( G, 4 π. D r Z ).N I π r 3, 976 m ( G, Z ) ) Position du centre de poussée : y 0 ϖ. I ( r R r G, Z ).N. 939,5.3,976 y0 0, m 8487,47 Exercice N 3: EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE Suite au naufrage d un pétrolier, on envoie un sous-marin pour inspecter l épave et repérer d éventuelles fuites. L épave repose à une profondeur h 98 m. On donne : - l accélération de la pesanteur g 9,8 m/s, - la pression atmosphérique P atm bar, - la masse volumique de l eau de mer est ρ 05 kg/m 3, Le sous marin est équipé d un hublot vitré de diamètre d 30 mm., de centre de gravité G, et de normale ( ( G, X r r r ) est situé dans un plan vertical ( G, Y, Z). L axe ( G, Z r ) est vertical. Travail demandé : ) Calculez la pression P G de l eau à cette profondeur au point G. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 36

42 Chapitre : Statique des fluides ) Quelle est l intensité ( R r ) de la résultante des actions de pression de l eau sur le hublot? 3) Calculer le moment quadratique I r du hublot. ( G, Z ) 4) Quelle est l intensité ( M r G ) du moment des actions de pression de l eau sur le hublot? REPONSE G M ρ.. M G ρ.. ) RFH entre le point G et un point M à la surface : P P g ( Z Z ) g h PG Patm + ρ. g. h.n. 5 5 P G , pascal 00 bar ) Intensité de la résultante : r.n. R π.0, r π. d R PG. S PG N 3) Moment quadratique : I r ( G, Y ) π. d , N I π r 4, m ( G, Y ) 64 r 4) Intensité du moment : M G ϖ I r (, ). G Y r '.N M G 05.9,8.4, , 5 Nm Exercice N 4: EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE La figure ci-dessous représente une vanne de sécurité de forme rectangulaire destinée à un barrage. Elle permet d évacuer l eau stockée dans le barrage surtout lorsque le niveau du fluide devient élevé. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 37

43 Chapitre : Statique des fluides Les dimensions de la vanne sont : b4 m et h m. Sa partie supérieure affleure la surface du plan d eau. Un repère (G, X r,y r, Z r ) est représenté sur la figure tel que : G est le centre de surface de la vanne. On donne : la masse volumique de l eau ρ 000 kg/m 3 et l accélération de la pesanteur g9,8 m/s, y r h G (vanne) x r Travail demandé : ) En négligeant la pression atmosphérique, calculer la pression P G de l eau au centre de gravité. ) Déterminer la résultante R r des forces de pression. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 38

44 Chapitre : Statique des fluides 3) Déterminer le moment M r G des forces de pression. 4) Calculer l ordonnée y 0 du centre de poussée. REPONSE ) RFH entre G et : P P ρ g.( y y ) Or y G 0, y h/, P P atm (négligée) G. G Donc P G h ρ. g..n. P G 000.9, Pa r r ) R P. S. x avec.n. G r r S b. h donc R P. bh. x r R N r r 3) M ρ g. I r. z vec I Donc.N. 4) y 0 G r M G. ( G, z ) 3 bh ρ. g. r. z G ( G, z r ) 3 bh r 4.8 M G 000.9, N r M G r R.N. 660 y0 0, 33 m Exercice N 5: EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE On considère un réservoir d eau équipé au niveau de sa base d une plaque rectangulaire qui peut tourner d un angle ( θ 0 ) autour d un axe (, Z ). uteur : Riadh EN HMOUD Page: 39

45 Chapitre : Statique des fluides Y Y P atm O Vue suivant X de la plaque h eau P atm θ a b d X xe de rotation G Z D un coté, la plaque est soumise aux forces de pression de l eau et de l autre coté, elle est soumise à la pression atmosphérique (P atm ). Sous l effet des forces de pression hydrostatique variables fonction du niveau h, la plaque assure d une façon naturelle la fermeture étanche ( θ 0 ) ou l ouverture ( θ 0 ) du réservoir. L objectif de cet exercice est de déterminer la valeur h 0 du niveau d eau à partir de laquelle le réservoir s ouvre automatiquement. On donne : 3 - le poids volumique de l eau : ϖ 9,8.0 N / m - les dimensions de la plaque : a0,75 m (selon l axe Z ), b,500 (selon l axe Y ) - la distance entre le centre de surface G et l axe de rotation (, Z ) est : d50 mm - la pression au point O est P o P atm Travail demandé : ) En appliquant le principe fondamental de l hydrostatique, donner l expression de la pression de l eau P G au centre de surface G en fonction de la hauteur h. 3 uteur : Riadh EN HMOUD Page: 40

46 Chapitre : Statique des fluides ) Déterminer les expressions de la résultante R et du moment M G associés au torseur des forces de pression hydrostatique dans le repère ( G X, Y, Z ),. 3) En déduire l expression du moment M des forces de pression de l eau, par rapport à l axe de rotation (, Z ). 4) Donner l expression du moment M ' des forces de pression atmosphérique agissant sur la plaque, par rapport à l axe de rotation (, Z ). 5) partir de quelle valeur h 0 du niveau d eau la plaque pivote ( θ 0 )? REPONSE ) Principe fondamental de l hydrostatique : P P ( Y ) b Y G 0 et P 0 Patm Donc PG Patm + ϖ. h G 0. 0 Y G ϖ or Y 0 b h ; b ) R PG. S. X avec S a. b donc R Patm + ϖ. h. a. b. X 3) M G ϖ. I ( G, z)z. avec. 3 3 a b ab I donc M G ϖ.. Z M 3 a. b b M G + G R avec G d. Y donc M ϖ. d. Patm + ϖ. h. a. b. Z 4) M ' P. a. b. d Z atm. 5) La plaque pivote ( < 0 ou encore ϖ. a. b. d. h < 0 θ ) si ( M + M '). Z < 0 b b Equivaut à b b h > + d donc b h0 b. +.N. h0 4, 5 m. d Exercice N 6: ENONCE uteur : Riadh EN HMOUD Page: 4

47 Chapitre : Statique des fluides On considère une sphère pleine en bois de rayon r0 cm et une sphère creuse en acier de rayon r0 cm et d épaisseur e8 mm. On suppose que le volume compris entre 0 et (r-e) est vide. On donne : - la masse volumique du bois : ρ bois 700 kg/m 3 - la masse volumique de l acier : ρ acier 7800 kg/m 3 - la masse volumique de l eau : ρ eau 000 kg/m 3 ) Déterminer le poids d une chaque sphère. ) Déterminer la poussé d rchimède qui s exercerait sur chacune de ces sphères si elles étaient totalement immergées dans l eau. 3) Ces sphères pourraient-elles flotter à la surface de l eau? 4) Si oui quelle est la fraction du volume immergé? REPONSE 4 3 ) Poids de chaque sphère: poids ρ.g.v poidsbois ρbois. g.(. π. r ).N poids bois 700 9,8 0, N poidsacier ρ aciers. g.[(. π. r ) (. π.( r e) )] 3 3. N. poids acier ,8 0, N ) Poussée d rchimède : La poussé d rchimède est égale au poids du volume déplacé. Or lorsqu elles sont totalement immergées, ces deux sphères vont déplacer le même volume e volume 4 3 donc: PRCH ρ eau. g.(. π. r ).N. P RCH 000 9,8 0, N 3 3) Ces deux sphères peuvent toutes les deux flotter car leurs poids sont inférieurs à la poussé d rchimède. 4) l équilibre la poussé d rchimède est égale au poids : 5) ,8.V bois immergé V bois immergé 0,034 m 3 soit F70% ,8.V acier immergé V acier immergé 0,030 m 3 soit F90%. Exercice N 7: EXTRIT DE L EXMEN DU uteur : Riadh EN HMOUD Page: 4

48 Chapitre : Statique des fluides ENONCE Une sphère de rayon R0 cm flotte à moitié (fraction du volume immergé F 50 %) à la surface de l eau de mer (masse volumique ρ mer 05 kg/m 3 ). ) Déterminer son poids P. ) Quelle sera la fraction du volume immergé F si cette sphère flottait à la surface de l huile (masse volumique ρ huile 800 kg/m 3 )? REPONSE 4 3 ) Equation d équilibre : Poids PRCH F. V. ρ mer. g F. π. R. ρ mer. g 3.N. 4 3 Poids π 0,.05.9,8 N 3 ) Poids P F. V.. g Poids RCH ρ huile Équivaut à F ρ 05 mer ρ N. F 64% huile 800 Exercice N 8: EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE La glace à -0 C a une masse volumique ρ glace 995 kg/m 3. Un iceberg sphérique de 000 tonnes flotte à la surface de l'eau. L'eau de mer a une masse volumique ρ eau 05 kg/m 3. Eau de mer glace Travail demandé : ) Déterminer la fraction F du volume immergée? ) Quelle sera F si la glace avait une forme cubique? REPONSE uteur : Riadh EN HMOUD Page: 43

49 Chapitre : Statique des fluides ) Equation d équilibre : P arch Poids ρ glace. g. Vtotal ρeau. g. Vimmergé Vimmergé ρ glace donc F V ρ total eau 995.N. F.00 97% 05 ) La fraction F ne dépend que du rapport des masses volumiques. Elle est indépendante de la forme. Donc F97% si la forme était cubique. Exercice N 9: EXTRIT DE L EXMEN DU ENONCE Un cube en acier de coté a50 cm flotte sur du mercure. h a On donne les masses volumiques : - de l acier ρ 7800 kg/m 3 - du mercure ρ 3600 kg/m 3 ) ppliquer le théorème d rchimède, ) Déterminer la hauteur h immergée. REPONSE ) Théorème d rchimède : la poussée d rchimède est égal au poids du volume déplacé: P RCH a h. ρ. g.. ) Equation d équilibre : P RCH Poids Donc 3 a h. ρ. g a. ρ. g. équivaut à ρ h. a ρ.n h.50 8, 676 cm 3600 Exercice N 0: EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE uteur : Riadh EN HMOUD Page: 44

50 Chapitre : Statique des fluides On considère une plate-forme composée d une plaque plane et de trois poutres cylindriques en bois qui flottent à la surface de la mer. Plaque ois d Eau de mer On donne: - les dimensions d une poutre: diamètre d0,5 m et longueur L4 m, - la masse volumique du bois : 3 ρ bois 700 kg / m, - la masse volumique de l eau de mer: 3 ρ mer 07 kg / m, - la masse de la plaque M c 350 kg, - l accélération de la pesanteur g9,8 m/s. Travail demandé: ) Calculer le poids total P 0 de la plate-forme. ) Ecrire l équation d équilibre de la plate-forme. 3) En déduire la fraction F(%) du volume immergé des poutres. 4) Déterminer la masse Mc maximale qu on peut placer sur la plate-forme sans l immerger. REPONSE π. d 4 0 p b p ρbois L ) Poids total de la plate-forme : P ( M + 3. M ). g ( M ) π.0,5.n. P ,8 963, 49 N 4 ) Equation d équilibre : P 0 Poussée d rchimède 3) P RCH poids du volume d eau déplacé P RCH P. ρ eau. Vimmerge. g Po Vimmerg 3. ρ. g 3 0 eau uteur : Riadh EN HMOUD Page: 45

51 Chapitre : Statique des fluides Vimmerge P0 La fraction du volume immergé : F(%) V 3. ρ. g. V 963,49.N. F (%).00 8,6 % π.0, , ) Poutre complètement immergée : F(%)00 % c'est-à-dire V immergé V poutre P0 + M C. g V 3. ρ. g eau poutre poutre. On obtient : M.( 3. ρ g. V P ) c g eau poutre o eau poutre π.0,5.n. M c , ,49 40, 47 9,8 4 Exercice N : EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU kg ENONCE La figure ci-dessous représente un montage destiné pour la pêche à la ligne. () (3) Eau de mer () Il est composé d une sphère pleine () de rayon R 0 mm en plomb suspendu, par l intermédiaire d un fil souple et léger (3), à un flotteur () en forme de sphère creuse en matière plastique de rayon R 35 mm et d épaisseur e5 mm. On donne : - la masse volumique de l eau de mer : ρ 07 kg/m 3, uteur : Riadh EN HMOUD Page: 46

52 Chapitre : Statique des fluides - - la masse volumique du plomb : ρ 340 kg/m 3, la masse volumique du matériau du flotteur : ρ 500 kg/m 3, - l accélération de la pesanteur g9,8m.s -. Travail demandé: ) Calculer le poids P de la sphère (). ) Déterminer la poussée d rchimède P RCH qui agit sur la sphère (). 3) Ecrire l équation d équilibre de la sphère (). En déduire la tension T du fil. 4) Calculer le poids P du flotteur (). 5) Ecrire l équation d équilibre du flotteur. En déduire la poussée d rchimède P RCH agissant sur la sphère (). 6) En déduire la fraction F% du volume immergé du flotteur. REPONSE 4 3 ) Poids de la sphère () : P R.. g 3 4 π 3 ρ.n. P π.0, ,8 0, 4659N ) Poussée d rchimède sur la sphère () : PRCH πr. ρ. g N. P RCH π.0,0.07.9,8 0, 04 N 3 r r r r 3) Equation d équilibre : T P + P O + RCH Tension du fil : TP -P RCH.N. T0,4659-0,040,437 N 4) Poids du flotteur () : P π[ R3 ( R e) 3]. ρ. g.n. P π.0,035 [ 3 0,030 ].500.9,8 0, 36 N r 5) Equation d équilibre du flotteur () : T r P r + P r O + RCH Poussée d rchimède agissant sur la sphère () : P RCH P +T.N. P RCH 0,36+0,4370,7499 N PRCH Vim ρg 6) Fraction du volume immergé : F πr π. R 3 3 uteur : Riadh EN HMOUD Page: 47

53 Chapitre : Statique des fluides P RCH ρg.n. F ,4449 % π.0, Exercice N : EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE On considère un densimètre formé d un cylindrique creux de longueur L400 mm et de diamètre d, dans lequel est placée une masse de plomb au niveau de sa partie inférieure. Le centre de gravité G du densimètre est situé à une distance a 0 mm par rapport au fond. Le densimètre flotte à la surface d un liquide de masse volumique ρ inconnu. Il est immergé jusqu'à une hauteur h. Lorsque le densimètre est placé dans de l eau de masse volumique ρ 0 kg / 000 m 3, la hauteur immergée est h 0 00 mm. d h L a G Travail demandé : ) Quel est la masse volumique ρ du liquide si la hauteur immergée h50 mm? ) Quel est la masse volumique ρ min qu on peut mesurer avec ce densimètre? 3) Jusqu à quelle valeur de la masse volumique ρ du liquide le densimètre reste dans une position d équilibre verticale stable? 4) Donner un exemple de liquide dans lequel on risque d avoir un problème de stabilité. REPONSE uteur : Riadh EN HMOUD Page: 48

54 Chapitre : Statique des fluides ) Le densimètre est soumis à son poids propre d intensité m.g et à la poussée d rchimède dirigée vers le haut et d intensité π. d ρ. g. Vliquide deplace ρ. g.. h. 4 π. d π. d L équation d équilibre est : m. g ρ. g.. h équivalente à m ρ.. h () 4 4 π. d De même si le liquide était de l eau on a : m ρ0.. h0 () 4 h () et () entraîne ρ. h ρ0. h0 donc ρ 0.ρ0.N. h ρ 800 kg / m ) La masse volumique ρmin correspond à une hauteur immergée h400 mm. h h 0 ρ min.ρ0.n. ρ 500 kg / m 3 3) Le densimètre reste en position d équilibre stable si le centre de gravité du liquide déplacé (situé à une distance h/ de la base) est au dessus du centre de gravité (situé à une distance a de la base). h Donc, il faut que > a pour assurer la stabilité du densimètre. ρ Or 0 h0 h.h0 donc il faut que ρ <.. ρ0 ρ a.n. 3 ρ < 0000 kg / m 4) Le mercure a une masse volumique ρ 3600 kg / m 3 > Exercice N 3: EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE On considère un cylindre () en acier, de rayon R et de hauteur H. Ce cylindre est suspendu par un fil (3) à l intérieur d un récipient contenant de l huile (). uteur : Riadh EN HMOUD Page: 49

55 Chapitre : Statique des fluides Z (3) Z Z H () () On donne : - l accélération de la pesanteur g9,8 m/s, - la masse volumique de l huile ρ huile 84 kg/m 3, - la masse volumique de l acier ρ acier 7800 kg/m 3, Travail demandé : ) Déterminer l expression de la tension T du fil en appliquant le théorème d rchimède. ) Retrouver la même expression en utilisant la RFH (Relation Fondamentale de l Hydrostatique). 3) Faire une application numérique pour R0, m et H0, m. REPONSE ) Equation d équilibre : T r + P r + P r 0 r RCH T r : tension du fil ; P r : poids du cylindre et P r RCH :poussée d rchimède. Projection selon Z r : T mg + P 0 (m : masse du cylindre : m ρacier. π. R. H ) RCH Th. d rchimède : PRCH ρhuile. π. R. H donc T ( ρacier ρhuile). π. R. H. g ) Equation d équilibre : T r + P r + F r + r + Σ r 0 r F FL T r : tension du fil, P r : poids du cylindre, F r : force de pression agissant sur la surface supérieure, F r : force de pression agissant sur la surface inférieure, Σ F r L : forces de pression agissant sur la surface latérale (perpendiculaire à l axe Z r ). uteur : Riadh EN HMOUD Page: 50

56 Chapitre : Statique des fluides Projection selon Z r : T mg P. S + P. S 0 Où m : masse du cylindre ; P, P :pressions respectivement au point et au point et S : section. RFH : P P ρ. g H donc T ( ρ ρ ). π. R. H g huile. acier huile. 3) T ( ). π.0,.0,.9,8 49, 5 N uteur : Riadh EN HMOUD Page: 5

57 Chapitre 3 : DYNMIQUE DES FLUIDES INCOMPRESSILES PRFITS INTRODUCTION Dans ce chapitre, nous allons étudier les fluides en mouvement. Contrairement aux solides, les éléments d un fluide en mouvement peuvent se déplacer à des vitesses différentes. L écoulement des fluides est un phénomène complexe. On s intéresse aux équations fondamentales qui régissent la dynamique des fluides incompressibles parfaits, en particulier : - l équation de continuité (conservation de la masse), - le théorème de ernoulli (conservation de l énergie) et, - le théorème d Euler (conservation de la quantité de mouvement) à partir duquel on établit les équations donnant la force dynamique exercée par les fluides en mouvement (exemple les jets d eau). ECOULEMENT PERMNENT L écoulement d un fluide est dit permanent si le champ des vecteurs vitesse des particules fluides est constant dans le temps. Notons cependant que cela ne veut pas dire que le champ des vecteurs vitesse est uniforme dans l espace. L écoulement permanent d un fluide parfait incompressible est le seul que nous aurons à considérer dans ce cours. Un écoulement non permanent conduirait à considérer les effets d inertie des masses fluides. 3 EQUTION DE CONTINUITE Considérons une veine d un fluide incompressible de masse volumique ρ animée d un écoulement permanent. 5

58 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits S dm S dx V r M dm S S dx V r On désigne par : - S et S respectivement la section d entrée et la section de sortie du fluide à l instant t, - S et S respectivement les sections d entrée et de sortie du fluide à l instant t (t+dt), - V et V les vecteurs vitesse d écoulement respectivement à travers les sections S et S de la veine. - dx et dx respectivement les déplacements des sections S et S pendant l intervalle de temps dt, - dm : masse élémentaire entrante comprise entre les sections S et S, - dm : masse élémentaire sortante comprise entre les sections S et S, - M : masse comprise entre S et S, - dv : volume élémentaire entrant compris entre les sections S et S, - dv : volume élémentaire sortant compris entre les sections S et S, l instant t : le fluide compris entre S et S a une masse égale à (dm + M) l instant t+dt : le fluide compris entre S et S a une masse égale à (M+ dm ). uteur : Riadh EN HMOUD Page: 53

59 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits Par conservation de la masse: dm + M M + dm en simplifiant par M on aura dm dm Donc. dv ρ. dv En divisant par dt on abouti à : ρ ou encore ρ. S. dx ρ. S. dx, dx dx ρ. S. ρ. S. ρ. S. V ρ. S. V dt dt Puisque le fluide est incompressible : ρ ρ ρ On peut simplifier et aboutir à l équation de continuité suivante : S. V () V S. 4 NOTION DE DEIT 4. Débit massique dm Le débit massique d une veine fluide est la limite du rapport quand dt tend dt vers 0. q m dm dt où : - q m est la masse de fluide par unité de temps qui traverse une section droite quelconque de la conduite. - dm : masse élémentaire en (kg) qui traverse la section pendant un intervalle de temps dt. - dt : intervalle de temps en (s) en tenant compte des équations précédentes on obtient : dm dx dx q m ρ. S. ρ. S. () dt dt dt avec : dx dt dx dt V V : Vitesse moyenne d écoulement de la veine fluide à travers S, V V : Vitesse moyenne d écoulement de la veine fluide à travers S D après () : uteur : Riadh EN HMOUD Page: 54

60 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits q m ρ. S ρ V. V. S. Soit dans une section droite quelconque S de la veine fluide à travers laquelle le fluide s écoule à la vitesse moyenne v : q m ρ. S. V (3) où : q m : Débit massique en (kg/s) ρ : Masse volumique en (kg/m 3 ) S : Section de la veine fluide en (m ) V : Vitesse moyenne du fluide à travers (S) en (m/s) 4. Débit volumique dv Le débit volumique d une veine fluide est la limite du rapport dt quand dt tend vers 0. dv q v dt Où : - q v : Volume de fluide par unité de temps qui traverse une section droite quelconque de la conduite. - dv : Volume élémentaire, en (m 3 ), ayant traversé une surface S pendant un intervalle de temps dt, - dt : Intervalle de temps en secondes (s), dm D après la relation (3) et en notant que dv on peut écrire également que ρ qm q v soit ρ q v S. V 4.3 Relation entre débit massique et débit volumique partir des relations précédentes on peut déduire facilement la relation entre le débit massique et le débit volumique : q ρ. m q v uteur : Riadh EN HMOUD Page: 55

61 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits 5 THEOREME DE ERNOULLI CS D UN ECOULEMENT SNS ECHNGE DE TRVIL Reprenons le schéma de la veine fluide du paragraphe 3 avec les mêmes notations et les hypothèses suivantes: - Le fluide est parfait et incompressible. - L écoulement est permanent. - L écoulement est dans une conduite parfaitement lisse. On considère un axe Z r vertical dirigé vers le haut. On note Z, Z et Z respectivement les altitudes des centres de gravité des masses dm, dm et M. On désigne par F et F respectivement les normes des forces de pression du fluide agissant au niveau des sections S et S. F r S dm G S Z dx V r M G dm Z S S G F r F r Z dx V r uteur : Riadh EN HMOUD Page: 56

62 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits l instant t le fluide de masse (dm + M) est compris entre S et S. Son énergie mécanique est : E mec E pot + E cin ( dm. g. Z + MgZ) + dm. V + S S ' dmv. l instant t (t+dt) le fluide de masse (M+dm ) est compris entre S et S. Son énergie mécanique est : E' dmv. S mec E' pot + E' cin ( MgZ + dm. g. Z ) + + dm. S ' On applique le théorème de l énergie mécanique au fluide entre t et t : «La variation de l énergie mécanique est égale à la somme des travaux des forces extérieures.» E' mec E mec W Forces de pression F. dx F. dx E' mec Emec P. S. dx P. S. dx P. dv P. P P en simplifiant on obtient : dm. g. Z + dm. V dm. g. Z. dm. V. dm. dm ρ ρ Par conservation de la masse : dm dm dm et puisque le fluide est incompressible : ρ ρ ρ, On aboutie à l équation de ernoulli : V dv V V P P ρ + + g( Z Z) 0 (4) L unité de chaque terme de la relation (4) est le joule par kilogramme (J/kg) D après la relation (4) on peut alors écrire : V P + + g. z ρ V P + + g. z ρ 6 THEOREME DE ERNOULLI CS D UN ECOULEMENT VEC ECHNGE DE TRVIL Reprenons le schéma de la veine fluide du paragraphe 4 avec les mêmes notations et les mêmes hypothèses. On suppose en plus qu une machine hydraulique est placée entre les sections S et S. Cette machine est caractérisée par une puissance nette P net échangée avec le fluide, une puissance sur l arbre P a et un certain rendement η.cette machine peut être soit une turbine soit une pompe. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 57

63 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits - Dans le cas d une pompe : le rendement est donné par l expression suivante : η P P net a - Dans le cas d une turbine : le rendement est donné par l expression suivante : η Pa P net Entre les instant t et t (t+dt), le fluide a échange un travail net W P dt avec la net net. machine hydraulique. W net est supposé positif s il s agit d une pompe et négatif s il s agit d une turbine. On désigne par F et F respectivement les normes des forces de pression du fluide agissant au niveau des sections S et S. l instant t le fluide de masse (dm + M) est compris entre S et S. Son énergie S dmv. mécanique est : E mec E pot + Ecin ( dm. g. Z + MgZ) + dm. V + S ' dm F r S S G Z dx V r M Pompe G dm Z Turbine S S G F r Z dx V r uteur : Riadh EN HMOUD Page: 58

64 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits l instant t (t+dt) le fluide de masse (M+dm ) est compris entre S et S. Son énergie mécanique est : E' dmv. S mec E' pot + E' cin ( MgZ + dm. g. Z ) + + dm. S ' On applique le théorème de l énergie mécanique au fluide entre t et t :«La variation de l énergie mécanique est égale à la somme des travaux des forces extérieures.»,en considérant cette fois ci le travail de la machine hydraulique E' mec Emec F. dx F. dx + Pnet. dt E E P. S. dx P. S. dx + P. dt P. dv P. dv P dt en simplifiant on aura : ' mec mec net. + net. V P P dm. g. Z + dm. V dm. g. Z. dm. V. dm. dm ρ ρ + P net. dt Par conservation de la masse : dm dm dm et puisque le fluide est incompressible : ρ ρ ρ, V on aboutie à l équation de ernoulli : V P P + + g( Z ρ Z ) P q net m (5) 7 THEOREME D EULER : Une application directe du théorème d Euler est l évaluation des forces exercées par les jets d eau. Celles-ci sont exploitées dans divers domaines : production de l énergie électrique à partir de l énergie hydraulique grâce aux turbines, coupe des matériaux, etc. Le théorème d Euler résulte de l application du théorème de quantité de mouvement à l écoulement d un fluide : d P F ext ; avec P mv G : quantité de mouvement. dt Ce théorème permet de déterminer les efforts exercés par le fluide en mouvement sur les objets qui les environnent. Enoncé La résultante ( F ext ) des actions mécaniques extérieures exercées sur un fluide isolé (fluide contenu dans l enveloppe limitée par S et S ) est égale à la variation de la quantité de mouvement du fluide qui entre en S à une vitesse V et sort par S à une vitesse V. Fext qm ( V V) uteur : Riadh EN HMOUD Page: 59

65 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits Exemple : Considérons un obstacle symétrique par rapport à l axe Z. Le jet d un écoulement de débit massique q m, de vitesse V et de direction parallèle à l axe Z, percute l obstacle qui le dévie d un angle β. Le fluide quitte l obstacle à une vitesse V de direction faisant un angle β par rapport à l axe Z. Z V F V V La quantité de mouvement du fluide à l entrée de l obstacle est : q m.v porté par l axe Z. La quantité de mouvement du fluide à la sortie de l obstacle est : q m. V.cos β porté par l axe Z. La force opposée au jet étant égale à la variation de la quantité de mouvement : R q. V β V m.cos qm. La force F exercée sur l obstacle en direction de Z est égale et opposée à celleci : F qm.( V V.cos β ) uteur : Riadh EN HMOUD Page: 60

66 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits 8 CONCLUSION Les lois et les équations établies dans ce chapitre en particulier l équation de ernoulli ont un intérêt pratique considérable du moment ou elles permettent de comprendre le principe de fonctionnement de beaucoup d instruments de mesure de débits tels que le tube de Pitot, le tube de Venturi et le diaphragme etc. Réservées aux fluides incompressibles, ces lois et équations peuvent être employées dans certains cas particulier pour les fluides compressibles à faible variation de pression. Une telle variation existe dans plusieurs cas pratiques. Cependant, lorsqu on veut prendre en considération la compressibilité dans les calculs, il est nécessaire d employer les formules appropriées. 9 EXERCICES D PPLICTION Exercice N : ENONCE On veut accélérer la circulation d un fluide parfait dans une conduite de telle sorte que sa vitesse soit multipliée par 4. Pour cela, la conduite comporte un convergent caractérisé par l angle α (schéma ci-dessus). α R V V R l ) Calculer le rapport des rayons (R /R ). ) Calculer ( R - R ) en fonction de L et α. En déduire la longueur L. (R 50 mm, α 5 ). REPONSE ) On applique l équation de continuité : uteur : Riadh EN HMOUD Page: 6

67 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits V. S ou encore S V. S V or S π.r et S V S R V π d où R V.R ) R R tgα donc l R R or tgα l R R donc l R.N.: L 93,3 mm.. tgα Exercice N : EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE On considère un réservoir remplie d eau à une hauteur H 3 m, muni d un petit orifice à sa base de diamètre d 0 mm. ) En précisant les hypotèses prises en comptes, appliquer le théorème de ernouilli pour calculer la vitesse V d écoulement d eau. ) En déduire le débit volumique Q v en (l/s) en sortie de l orifice. On suppose que g9,8 m/s. H eau V REPONSE ) Vitesse d écoulement V? On applique le théorème de ernoulli avec les hypothèses suivantes : V 0 car le niveau dans le réservoir varie lentement et P P P atm, V V P P ρ + + g.( Z Z) 0 On obtient : V. g. H.N. V.9,8.3 7,67 m / s ) Débit volumique Q v? Q V V. S or π. d S 4 π.( ) 7,87.0 m.n. Q V O,6 L / s uteur : Riadh EN HMOUD Page: 6

68 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits Exercice N 3: EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE Un fluide parfait incompressible s écoule d un orifice circulaire situé sur le coté d un réservoir avec un débit volumique q v 0,4 L/s. Le diamètre de l orifice est d0 mm. ) Déterminer la vitesse d écoulement au niveau de l orifice. ) Enoncer le théorème de ernoulli. 3) quelle distance de la surface libre se trouve l orifice? REPONSE 3 qv 4. qv 4.0,4.0 ) Vitesse d écoulement : V.N. V 5, m / s S π. d π.0,0 ) Théorème de ernoulli : V. g + Z P V + ϖ. g + Z P + ϖ 3) On a Z -Z h ; P P P atm ; V 0 donc V 5, h.n. h, 3 m. g.9,8 Exercice N 4: EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE On considère un réservoir cylindrique de diamètre intérieur D m rempli d eau jusqu à une hauteur H 3 m. Le fond du réservoir est muni d un orifice de diamètre d 0 mm permettant de faire évacuer l eau. D V r Z H Z r d Z V r uteur : Riadh EN HMOUD Page: 63

69 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits Si on laisse passer un temps très petit dt, le niveau d eau H du réservoir descend dh d une quantité dh. On note V la vitesse de descente du niveau d eau, et V dt la vitesse d écoulement dans l orifice. On donne l accélération de la pesanteur g 9,8 m/s. ) Ecrire l équation de continuité. En déduire l expression de V en fonction de V, D et d. ) Ecrire l équation de ernoulli. On suppose que le fluide est parfait et incompressible. 3) partir des réponses aux questions ) et ) établir l expression de la vitesse d écoulement V en fonction de g, H, D et d. 4) Calculer la vitesse V. On suppose que le diamètre d est négligeable devant D. d C'est-à-dire <<. D 5) En déduire le débit volumique q V. REPONSE π. D π. d d ) Equation de continuité :. V. V donc la vitesse V.V () 4 4 D V V ) Equation de ernoulli : + + g. ( Z Z ) 0 P P ρ V V Or P P P atm donc : g. H 0 () d V. V D 3) On substitue l équation () dans () on obtient : g. H. g. H Donc la vitesse : V 4 d D 4 d 4) Si << D alors V. g. H.N. V.9,8.3 7,67 m / s uteur : Riadh EN HMOUD Page: 64

70 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits π. d. 0, ) q v. V.N. q V π.7, m / s 4 4 Exercice N 5: EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE S Z Z V r H S Z V r Le réservoir cylindrique représenté ci-dessus, ouvert à l air libre, a une section S de diamètre D m. Il est muni, à sa base, d un orifice de vidage de section S et de diamètre D 4 mm. Le réservoir est plein jusqu à une hauteur H(Z Z ),5 m de fioul, liquide considéré comme fluide parfait, de masse volumique ρ 87 kg/m 3. On donne - la pression atmosphérique P atm bar. - l accélération de la pesanteur g9,8 m/s. On note α(s /S ) Partie : L orifice est fermé par un bouchon. ) En appliquant la RFH, déterminer la pression P au point. ) En déduire la valeur de la force de pression F qui s exerce sur le bouchon. Partie : L orifice est ouvert. On procède à la vidange du réservoir. Le fioul s écoule du réservoir. Sa vitesse moyenne d écoulement au point est notée V, et sa vitesse d écoulement au niveau de l orifice est notée V. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 65

71 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits ) Ecrire l équation de continuité. En déduire V en fonction de V et α. ) En appliquant le théorème de ernoulli entre et, établir l expression littérale de la vitesse V en fonction de g, H et α. 3) Calculer la valeur de α. L hypothèse de considérer un niveau H du fluide varie lentement est elle vraie? Justifier votre réponse. 4) Calculer V en considérant l hypothèse que α<<. 5) Déterminer le débit volumique Q V du fluide qui s écoule à travers l orifice. (en litre par seconde) 6) Quelle serait la durée T du vidage si ce débit restait constant? REPONSE Partie 5 ) P P + ρ. g H.N. P ,8.,5,.0 pascal ) F. Partie 3 πd 5 π.(4.0 ) P. S P..N. F,.0. 8, 47 N 4 4 ) Equation de continuité S. V S. V V α. V V V P P ) Equation de ernoulli : + + g( Z Z ) 0 ρ. g. H or P P P atm, (Z -Z )H, V αv donc V α 3) S D α.n S D α ,9.0 L hypothèse de considérer un niveau quasi-contant est vraie car α<< donc V 0 4) V. g. H.N V.9,8.,5 7 m/ s 3 π. D π.( 4.0 ) 3 3 5) Q v S. V. V.N Q v.7.0 m / s L / s 4 4 6) T V πd. H..N Q v π.,5 7854s 30 mn h0 mn 3 Q 4. Q 4.0 v v Exercice N 6: EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU uteur : Riadh EN HMOUD Page: 66

72 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits ENONCE On considère un siphon de diamètre d0 mm alimenté par un réservoir d essence de grandes dimensions par rapport à d et ouvert à l atmosphère. On suppose que : - le fluide est parfait. - le niveau du fluide dans le réservoir varie lentement. - l accélération de la pesanteur g9.8 m.s -. - le poids volumique de l essence: ϖ 6896 N / m3. - HZ Z S,5 m. Z r Z h Z H Réservoir S Z S ) En appliquant le Théorème de ernoulli entre les points et S, calculer la vitesse d écoulement V S dans le siphon. ) En déduire le débit volumique q V. 3) Donner l expression de la pression P au point en fonction de h, H, ϖ et P atm. Faire une application numérique pour h0.4 m. 4) h peut elle prendre n importe quelle valeur? Justifier votre réponse. REPONSE uteur : Riadh EN HMOUD Page: 67

73 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits V S s V ) + P + Z P s + + Z g ϖ g ϖ ona : P s P P atm, V 0 et Z -Z S H VS gh.n. VS.9,8.,5 7 m/ s ) Le débit volumique : q v π. d π.0,0 VS..N. qv 7. 5,5.0 4 m3/ s 0,55l/ s 4 4 V P VS PS 3) Théorème de ernoulli entre et S : + + Z + + Z S g ϖ g ϖ Or V s V, Z -Z S H+h et P s P atm P Patm ϖ.( H + h).n. P (,5+ 0,4) 8000,6Pa 0, 8 bar Patm 4) Non. Il faut que P >0 Equivaut à h< H.N. h 05 <,5 m ϖ 9,8.700 Exercice N 7: EXTRIT DE L EXMEN DU ENONCE La figure ci-dessous représente un piston qui se déplace sans frottement dans un cylindre de section S et de diamètre d 4 cm remplit d un fluide parfait de masse volumique ρ000 kg/m 3. Le piston est poussé par une force F r d intensité 6,84 Newtons à une vitesse V r constante. Le fluide peut s échapper vers l extérieur par un cylindre de section S et de diamètre d cm à une vitesse V r et une pression P P atm bar. Z r S S F r Patm P Patm v r v r Travail demandé: uteur : Riadh EN HMOUD Page: 68

74 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits ) En appliquant le principe fondamental de la dynamique au piston, déterminer la pression P du fluide au niveau de la section S en fonction de F, P atm et d. ) Ecrire l équation de continuité et déterminer l expression de la vitesse V en fonction de V. 3) En appliquant l équation de ernoulli, déterminer la vitesse d écoulement V en fonction de P, P atm et ρ. (On suppose que les cylindres sont dans une position horizontale (Z Z )) 4) En déduire le débit volumique Qv. REPONSE 4. F ) PFD: F + Patm. S P. S P + P atm π. d.n. 4. 6,84 5 P + 0, 5 bar π.0,04 ) Equation de continuité: V S V.S. S d. V V V V S d. V V. V 4 6 V V 3) Equation de ernoulli : + + g( Z Z ) 0 P P ρ or Z Z et P P atm et. 5 ( P V V donc V ρ P atm ).N (,5.0 0 ) V. 0 m / s π. d 4) Q v. V 4.N.. 0,0 3 3 Q v π.0 0,785.0 m / s 4 Exercice N 8: EXTRIT DE L EXMEN DU ENONCE uteur : Riadh EN HMOUD Page: 69

75 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits La figure suivante représente une buse connectée à un tuyau dans lequel est acheminée de l eau à une pression P,875 bar. P P Ød V r (eau) V r Ød (S ) (S ) Le fluide subit un étranglement : sa section S de diamètre d 0 mm est réduite à une section de sortie S de diamètre d 0 mm. On suppose que le fluide est parfait et la buse est dans une position horizontale. On donne la masse volumique de l eau P P atm bar. V ) Déterminer le rapport. V 3 ρ 000 kg / m et la pression de sortie ) En appliquant l équation de ernoulli, calculer la vitesse d écoulement V. REPONSE V S d ) Equation de continuité : V. S V. S donc 4 V S d V V P P ) Equation de ernoulli : + + g.( Z Z) 0 ρ V Or Z Z et V 4 Donc V P P 3, N. V. 0 m / s 5 ρ Exercice N 9: EXTRIT DE L EXMEN DU ENONCE De l huile est accélérée à travers une buse en forme de cône convergent. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 70

76 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits S buse S Z huile V V Z Z () () L (3) h (4) Z 4 Z 3 mercure La buse est équipée d un manomètre en U qui contient du mercure. Partie : Etude de la buse Un débit volumique q v 0,4 L/s, l huile traverse la section S de diamètre d 0 mm à une vitesse d écoulement V, à une pression P et sort vers l atmosphère par la section S de diamètre d à une vitesse d écoulement V 4.V et une pression P P atm bar. On suppose que : - le fluide est parfait, - la buse est maintenue horizontale (Z Z ). On donne la masse volumique de l huile : ρ huile 800 kg/m 3. ) Calculer la vitesse d écoulement V. ) Ecrire l équation de continuité. En déduire le diamètre d. 3) En appliquant le Théorème de ernoulli entre le point () et le point () déterminer la pression P en bar. Partie : Etude du manomètre (tube en U). Le manomètre, tube en U, contient du mercure de masse volumique ρ mercure 3600 kg/m 3. Il permet de mesurer la pression P à partir d une lecture de la dénivellation : h (Z 4 -Z 3 ). uteur : Riadh EN HMOUD Page: 7

77 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits On donne :- (Z -Z 3 ) L 74 mm. - l accélération de la pesanteur : g 9,8 m/s. - la pression P 4 P atm bar, ) En appliquant la RFH (Relation Fondamentale de l hydrostatique) entre les points () et (3), déterminer la pression P 3. ) De même, en appliquant la RFH entre les points (3) et (4), déterminer la dénivellation h du mercure. REPONSE Partie : Etude de la buse 3 4. qv 4.0,4.0 ) Vitesse d écoulement : V.N. V 5 m / s π. d π.0,0 V 5 ) Equation de continuité : V. S V. S d.d.n. d.0 5 mm V 0 V V 3) Equation de ernoulli : + + g( Z Z ) 0 Donc P P +. ρ huile ( V V ). P P ρ huile or Z Z et P P atm 5 5.N. P ( 0 5 ),5.0 pascal, 5 bar Partie : Etude du manomètre (tube en U) ) RFH entre () et (3) : P P ρ huile. g ( Z Z ) P P + huile. g. L.N. P, ,8.,74,6.0 pascal, 6 bar 3 ρ 3 ) RFH entre (3) et (4) : P P mercure. g ( Z Z ) ρ or (Z 4 -Z 3 )h Donc 5 5 P3 P4,6.0.0 h.n. h, m ρ g ,8 mercure. Exercice N 0: ENONCE On considère une conduite de diamètre intérieur d 40 mm dans laquelle s écoule de l eau à une vitesse V. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 7

78 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits z C h V fin de mesurer le débit volumique, la canalisation a été équipée de deux tubes plongeant dans le liquide, l'un débouchant en face au courant et l'autre en est le long des lignes de courant, En mesurant la dénivellation h du liquide dans les deux tubes, on peut en déduire la vitesse v On admet les hypothèses suivantes : - L écoulement est permanent. - Le fluide est parfait et incompressible. - u point, le liquide a la même vitesse V que dans la canalisation (V V). - u point (point d arrêt) la vitesse d écoulement est nulle (V 0). - Les deux points et sont à la même hauteur (Z Z ). On donne : 3 - la masse volumique de l eau ρ 000kg / m, - l accélération de la pesanteur g9,8 m/s. Travail demandé : ) ppliquer le théorème de ernoulli entre les points et. En déduire la pression P au point en fonction de P, ρ et V. ) Ecrire la relation fondamentale de l hydrostatique entre les points et uteur : Riadh EN HMOUD Page: 73

79 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits 3) Ecrire la relation fondamentale de l hydrostatique entre les points et 4) Donner l expression de V en fonction de g et h. 5) En déduire le débit volumique q v. Faire une application numérique pour une dénivellation h 3, cm. REPONSE ) Théorème de ernoulli : P or Z Z, V 0 et V V donc + ρ g Z + ρ. V P + ρ. g. Z +. ρ. V.. P P +. ρ. V ) Relation fondamentale de l hydrostatique entre et : P P + ρ g.( Z Z ) '. ' 3) Relation fondamentale de l hydrostatique entre et : P P + ρ g.( Z Z ) 4) En substituant P et P dans la relation de ernoulli en obtient : P ρ ρ + ρ ' '. ' ' +. g.( Z ' Z ) P ' +. g.( Z ' Z ). V or P P P a, Z Z et Z -Z h donc ρ. V ρ. g.( Z ' Z ') ou encore, V. g. h π. d 5) q v S. V.. g. h 4.N.: q v l/s. Commentaire : Les résultats de cet exercice permettent de donner une idée sur le principe de mesure d une vitesse ou d un débit à partir de la pression différentielle. Par exemple, on trouve sur les avion un instrument de mesure de la vitesse appelé «tube de Pitot» qui basé sur le même principe. Exercice N : ENONCE uteur : Riadh EN HMOUD Page: 74

80 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits Une conduite de section principale S et de diamètre d subit un étranglement en S où sa section est S. On désigne par α le rapport des sections. S Un fluide parfait incompressible de masse volumique ρ, s écoule à l intérieur de cette conduite. Deux tubes plongent dans la conduite ayant des extrémités respectivement et. Par lecture directe de la dénivellation h, les deux tubes permettent de mesurer le débit volumique q v qui traverse la conduite. Z Z h Z Z V V ) Ecrire l équation de continuité. En déduire l expression de la vitesse V en fonction de V et α. ) Ecrire la relation de ernoulli entre les points et. En déduire l expression de la différence de pression (P -P ) en fonction de ρ, V et α. 3) Ecrire la relation fondamentale de l hydrostatique entre les points et. 4) Ecrire la relation fondamentale de l hydrostatique entre les points et. 5) En déduire l expression de la vitesse d écoulement V en fonction de g, h, et α. 6) Donner l expression du débit volumique q v en fonction de d, g, h, et α. Faire une application numérique pour : - un diamètre de la section principale d50 mm, - un rapport de section α, uteur : Riadh EN HMOUD Page: 75

81 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits - une accélération de pesanteur : g 9,8 m/s, - une dénivellation h0 mm. REPONSE ) Equation de continuité : V. S V. S d où ) P + ρ g Z + ρ. V P + ρ. g. Z + ρ. V.. Or Z Z Donc P ou encore, P ρ.( α. V ) ρ. V S V. V donc V α S V. P P ρ. V.( α ) () 3) Relation fondamentale de l hydrostatique entre les points et : P P ρ g.( Z Z ) () '. ' 4) Relation fondamentale de l hydrostatique entre les points et : P P ρ g.( Z Z ) (3) '. ' 5) On sait que P ' P ' Patm et Z Z Donc P P [( Z Z ) ( Z Z )] ρ. g.( Z Z ) ρ. g. h ( P P ') ( P P ') ρ. g. ' ' ' ' D après la relation () ρ. g. h ρ. V ( α ) Donc V. g. h ( α ) π. d. g. h 6) On sait que q v S. V ou encore, q v..n.: q v 0,5 l/s. 4 ( α ) Commentaire : Nous avons aboutit dans cet exercice à une relation entre le débit q v et la dénivellation h. On peut exploiter ce résultat dans plusieurs applications pratiques pour la mesure de débit. Par exemple en industrie chimique, on trouve souvent des tubes de venturi comme instrument de mesure de cette grandeur. Exercice N : EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE uteur : Riadh EN HMOUD Page: 76

82 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits Dans une canalisation horizontale de diamètre D 9 cm, on veut mesurer le débit d eau. On intercale un tube de Venturi (D 9 cm, d 3 cm). La dénivellation h du mercure dans un tube en U peut être mesurée avec précision. Z Z Z Eau Z Z Mercure On donne : - la masse volumique de l eau : ρ eau 000 kg/m 3, - la masse volumique du mercure : ρ mercure 3600 kg/m 3, - l accélération de la pesanteur : g 9,8 m/s. Travail demandé : ) Ecrire l équation de continuité. En déduire la vitesse moyenne d écoulement V au col dans la section S en fonction de la vitesse V dans la section S. ) En appliquant la relation fondamentale de l hydrostatique (RFH) entre les points et relative à l équilibre du mercure, déterminer la différence de pression: (P - P ) en fonction de g, ρ mercure, Z et Z. 3) De même, déterminer l expression de la différence de pression (P -P ) en fonction de g, ρ eau, Z et Z. 4) De même, déterminer l expression de la différence de pression (P -P ) en fonction de g, ρ eau, Z et Z. 5) En utilisant les équations établies dans les questions ), 3) et 4), donner la relation entre (P -P ) en fonction de ρ mercure, ρ eau, g et h. 6) En faisant l hypothèse que l eau est un fluide parfait, et en appliquant le théorème de ernoulli entre et, donner l expression de la vitesse d écoulement V en fonction de la différence de pression (P -P ), ρ eau. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 77

83 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits 7) En déduire l expression du débit volumique Q v en fonction de D, ρ mercure, ρ eau, g,h. 8) Faire une application numérique pour une dénivellation h 4 mm. REPONSE ) Equation de continuité : S. V S. V. La vitesse au col dans S D V. V. V 9. S d ) RFH entre les points et P P ρ g.( Z Z ) ' ' V mercre. ' ' 3) RFH entre les points et P P ρ g.( Z Z ) ' eau. ' 4) RFH entre les points et P P ρ g.( Z Z ) ' eau. ' 5) En faisant la somme de ), 3) et 4) : P P ( ρmercure ρeau ). g.( Z ' Z ) ( ρmercure ρeau ). g. h V V P P 6) Théorème de ernoulli entre et, + + g.( Z Z ) 0 ρ Or Z Z et V 9 V Donc V ( ρmercure ρ 40. ρ eau eau ). g. h 7) Débit volumique : q v S. V π. D 4 ( ρ mercure ρ 40. ρ eau eau ). g. h. 0,09 ( ).9,8.0, ) pplication numérique : q v π 7.0 m / s Exercice N 3: EXTRIT DE L EXMEN DU ENONCE uteur : Riadh EN HMOUD Page: 78

84 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits Dans le tube de Venturi représenté sur le schéma ci-dessous, l eau s écoule de bas en haut. Z Z V Z Z V Z Le diamètre du tube en est d 30 cm, et en il est de d 5 cm. fin de mesurer la pression P au point et la pression P au point, deux manomètres à colonne d eau (tubes piézimétriques) sont connectés au Venturi. Ces tubes piézimétriques sont gradués et permettent de mesurer les niveaux Z 3,06m et Z,54 m respectivement des surfaces libres et. On donne : - l altitude de la section : Z 0 m, - l altitude de la section : Z 50 cm, - l accélération de la pesanteur est g9,8 m/s. - la pression au niveau des surfaces libres P P P atm bar. - la masse volumique de l eau est ρ000 kg/m 3. On suppose que le fluide est parfait. ) ppliquer la RFH (Relation Fondamentale de l Hydrostatique) entre et, et calculer la pression P au point. ) De même, calculer la pression P au point. 3) Ecrire l équation de continuité entre les points et. En déduire la vitesse d écoulement V en fonction de V. 4) Ecrire l équation de ernoulli entre les points et. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 79

85 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits En déduire la vitesse d écoulement V. REPONSE ) RFH entre et : P P ' ( Z ' Z ) P P ' + ρ g. ( Z ' Z ).N. P ,8. (,54 0,5) 000 Pascal, bar ) RFH entre et : P P ' ( Z ' Z ) P P ' + ρ g. ( Z ' Z ).N. P ,8. ( 3,06 0) Pascal, 3 bar S d 3) Equation de continuité : S. V S. V V. V. V S d V 4. V V V P P 4) Equation de ernoulli : + + g( Z Z ) 0 ρ avec V 4. V Donc V P P. + g( Z ) Z 4 ρ.n. 5 5,3.0,.0 V. 9,8.(0 0,5) 0,846 m / s Exercice N 4: ENONCE Le fioul contenu dans le réservoir source () est transféré vers le réservoir () par l intermédiaire d une pompe et d une canalisation. On donne : - Le débit volumique q v 00 l/s. - La densité du fioul d 0,85. - Z 5 m et Z 55 m Déterminer, alors, la puissance P a mécanique sur l arbre de la pompe si son rendement est de 0,8. On suppose que les niveaux des réservoirs varient lentement. REPONSE ppliquons le Théorème de ernoulli entre les surfaces libres S et S : ( V ) + ρg( Z Z + ( P P ) P n ρ V ) or P P P atm et V V par hypothèse qv uteur : Riadh EN HMOUD Page: 80

86 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits Donc P q ρ g( z z )] or η n v [ P P n a donc Pa. qv [ ρg( z z )] η.n.: P a 83,385 kw. Commentaire : Le calcul de la puissance de la pompe est un calcul grossier. Nous avons supposé que le fluide était parfait alors qu en réalité l écoulement d un fluide réel est plus complexe qu un fluide idéal. En toute rigueur il faut prendre en considération le phénomène de frottement visqueux. C est l objet de chapitre 4. Exercice N 5: EXTRIT DE L EXMEN DU ENONCE Une pompe P alimente un château d eau à partir d un puit à travers une conduite de diamètre d 50 mm. Z P Z On donne : - les altitudes :Z 6 m, Z - 5 m, - les pressions P P,03 bar ; - la vitesse d écoulement V 0.4 m/s, - l accélération de la pesanteur g9,8 m/s. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 8

87 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits On négligera toutes les pertes de charge. Travail demandé : ) Calculer le débit volumique Q v de la pompe en l/s. ) Ecrire l équation de ernoulli entre les surfaces et. 3) Calculer la puissance utile Pu de la pompe. 4) En déduire la puissance Pa absorbée par la pompe sachant que son rendement est de 80%. REPONSE ) Débit volumique : q V π. d π.0,5 3 3 V..N. q V 0, m / s 7 L / s 4 4 ) Equation de ernoulli pour un fluide parfait incompressible (avec échange de travail) : ( V V ) +.( P P ) + g.( Z ρ Pu Z) ρ. q 3) Puissance utile de la pompe : P q ρ. g.( H H ) u v. + v.n. 3 P u ,8.(6 + 5) 8, 77 w 4) Puissance absorbée par la pompe : Pu 8,77 P a.n. P a 66 w η 0,8 Exercice N 6: EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE On désire remplir un bassin en pompant de l eau à partir de la nappe phréatique. Pour cela, on utilise une pompe immergée qui aspire l eau à partir du point, situé à une altitude Z -6 m. La pression au point est P bar. L eau refoulée par la pompe est ensuite acheminée dans une conduite de section circulaire et de diamètre intérieur d3 mm. L eau est évacuée avec un débit volumique q v 77 litre/heure par le point situé à une altitude Z 30 m. On admet que la pression au point est P bar. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 8

88 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits Z assin Z0 Pompe Z La pompe est actionnée par un moteur électrique. Le rendement de l ensemble moto- pompe est η80%. On suppose que : - le fluide est parfait, - la vitesse d aspiration est égale à la vitesse de refoulement (V V V). On donne : - la masse volumique de l eau ρ000 kg/m 3, - l accélération de la pesanteur g9,8 m/s. Travail demandé : ) Calculer le débit massique q m de la pompe. ) Quelle est la vitesse d écoulement V de l eau? 3) En appliquant le théorème de ernoulli, déterminer la puissance nette P n fournie par la pompe. 4) Calculer la puissance électrique consommée P e. REPONSE ) Débit massique : q m ρ. qv.n. q m ,77 kg / s 3600 uteur : Riadh EN HMOUD Page: 83

89 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits qv ) Vitesse d écoulement : V.N. V 3600,0 m / s π. d π.0,03 V 3) Equation de ernoulli : V P P + ρ + g.( Z Z Pn ) q m or V V donc P n P P qm. + g.( Z Z ) ρ.n P n 0, ,8.(30 6) 346 watt 000 4) Puissance électrique : Pn 346 P e.n P e 43 watt η 0,8 Exercice N 7: EXTRIT DU DEVOIR SURVEILLE DU ENONCE Une conduite cylindrique amène l eau d un barrage (dont le niveau Z est maintenu constant) dans une turbine. Z Z arrage Turbine H Z Lac On branche à la sortie de la turbine une canalisation évacuant l eau vers un lac. Le niveau Z de la surface libre du lac est supposé constant. Le débit massique traversant la turbine est Q m 75 kg/s. On donne : l accélération de la pesanteur g 9,8 m/s et H(Z -Z )35 m. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 84

90 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits ) En appliquant le théorème de ernoulli, déterminer la puissance utile P u développée dans la turbine. Préciser toutes les hypothèses simplificatrices. ) Calculer la puissance récupérée sur l arbre de la turbine si son rendement global est η70%. REPONSE V V P P ρ ) Théorème de ernoulli : + + g. ( Z Z ) Pu Q m or P P P atm et V V 0. Donc P Q. g H.N P u 75.9, w u m. ) Puissance récupérée sur l arbre de la turbine P a P u η..n. P a 4508 w Exercice N 8: EXTRIT DE L EXMEN DU ENONCE Z Turbine V r d Z La figure ci-dessus représente un barrage qui est équipé d une turbine dont les aubes sont entraînées par un jet d eau sous pression. La conduite de sortie de diamètre d,5 m est située à une altitude Z 5m. Le débit volumique q v 5 m 3 /s. On suppose que le niveau d eau dans le barrage uteur : Riadh EN HMOUD Page: 85

91 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits (Z 30 m) varie lentement (V 0), et les pertes de charges sont évaluées à J - 3,75 J/kg. On donne : - la masse volumique de l eau: ρ 000 kg/m 3 - l accélération de la pesanteur :g9,8 m/s Travail demandé : ) Calculer la vitesse V d écoulement d eau à la sortie de la canalisation en m/s. ) En appliquant le théorème de ernoulli, déterminer la puissance P a disponible sur l arbre de la turbine en MW si son rendement η est de 60% REPONSE 4. qv 4.5 ) V 5,093 m / s π. d π.,5 Pn ) Equation de ernoulli : ( V V ) +.( P P ) + g.( Z Z) + J ρ ρ. q v Or P P, V 0 et P η. P a n donc : P a V η. ρ. qv. g( Z Z) + J 5 6.N. P a 0, ,8.(5 30) + + 3, w 3MW Exercice N 9: EXTRIT DE L EXMEN DU ENONCE La figure ci-dessous représente un jet d eau horizontal qui frappe un obstacle à un débit massique q m kg/s. L obstacle provoque une déflexion du jet d un angle β0 o. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 86

92 Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits V r Y r β V r obstacle α X r F r On désigne par V r la vitesse d écoulement de l eau en entrée de l obstacle. Elle est portée par l axe X r, V r désigne la vitesse d écoulement de l eau en sortie de l obstacle. Elle est portée par une direction inclinée de l angle β 0 par rapport à l axe X r. r r On admettra que V V 3 m/s. ) En appliquant le théorème d Euler, donner l expression vectorielle de la force F r exercée par le liquide sur l obstacle en fonction de q m, V r et V r ensuite calculer ses composantes F x et F y. ) Quel est son angle d inclinaison α? REPONSE ) r F q r r r.( V V ) q. V m m r cos β F x qm. V.( cos β ). r 0 sin β F q. V.sin β y m.n. F F x y.3.( 0,5) 9 N ,9 N ) Fy 5,9 tg α.n : tg α 0,5773 α 30 F 9 x uteur : Riadh EN HMOUD Page: 87

93 Chapitre 4 : DYNMIQUE DES FLUIDES INCOMPRESSILES REELS INTRODUCTION Dans le chapitre précédent nous avons supposé que le fluide était parfait pour appliquer l équation de conservation de l énergie. L écoulement d un fluide réel est plus complexe que celui d un fluide idéal. En effet, il existe des forces de frottement, dues à la viscosité du fluide, qui s exercent entre les particules de fluide et les parois, ainsi qu entre les particules elles-mêmes. Pour résoudre un problème d écoulement d un fluide réel, on fait appel à des résultats expérimentaux, en particulier ceux de l ingénieur et physicien britannique Osborne Reynolds. Une méthode simplifiée de calcul des pertes de charge basée sur ces résultats expérimentaux est proposée. Elle est indispensable pour le dimensionnement des diverses installations hydrauliques (de pompage, de turbines, de machines hydrauliques et thermiques dans lesquelles est véhiculé un fluide réel etc.) FLUIDE REEL Un fluide est dit réel si, pendant son mouvement, les forces de contact ne sont pas perpendiculaires aux éléments de surface sur lesquelles elles s exercent (elles possèdent donc des composantes tangentielles qui s opposent au glissement des couches fluides les unes sur les autres). Cette résistance est caractérisée par la viscosité. 3 REGIMES D ECOULEMENT - NOMRE DE REYNOLDS Les expériences réalisées par Reynolds en883 lors de l'écoulement d'un liquide dans une conduite cylindrique rectiligne dans laquelle arrive également un filet de liquide coloré, ont montré l'existence de deux régimes d'écoulement : régime laminaire et régime turbulent : 88

94 Chapitre 4 : Dynamique des fluides incompressibles réels - Régime laminaire : Les filets fluides sont des lignes régulières, sensiblement parallèles entre elles. Filet coloré - Régime turbulent : Les filets fluides s enchevêtrent, s enroulent sur eux-mêmes. Vue instantanée Vue en pose Des études plus fines ont montré qu il existe encore une subdivision entre : - les écoulements turbulents lisses et - les écoulements turbulents rugueux. La limite entre ces différents types d écoulements est évidemment difficile à appréhender. En utilisant divers fluides à viscosités différentes, en faisant varier le débit et le diamètre de la canalisation, Reynolds a montré que le paramètre qui permettait de déterminer si l'écoulement est laminaire ou turbulent est un nombre sans dimension appelé nombre de Reynolds donné par l expression suivante: V. d R e ν - V : Vitesse moyenne d écoulement à travers la section considérée en (m/s) - d : Diamètre de la conduite ou largeur de la veine fluide en (m). - ν : Viscosité cinématique du fluide (m /s). Résultats empirique à titre indicatif : Si R < 000 l écoulement est laminaire e Si R > 000 l écoulement est turbulent : e - Lisse si 000<R e < Rugueux si R e >00000 uteur : Riadh EN HMOUD Page: 89

95 S S Chapitre 4 : Dynamique des fluides incompressibles réels 4 PERTES DE CHRGES 4. Définition Considérons un écoulement entre deux points () et () d un fluide réel dans une conduite, tel que entre les points () et () il n y ait pas de machine hydraulique. Reprenons le schéma de la veine fluide du paragraphe 4 du chapitre 3 avec les mêmes notations et les hypothèses suivantes: - Le fluide est réel et incompressible : cela suppose l existence de forces élémentaire de frottement visqueux dτ qui contribue dans l équation de bilan par un travail négatif et donner naissance à des pertes de charges. - L écoulement est permanent. F r dm S S G Z dx V r M dτ G dm Z G F r Z dx V r On considère un axe Z r vertical dirigé vers le haut. On désigne par Z, Z et Z respectivement les altitudes des centres de gravité des masses dm, dm et M. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 90

96 Chapitre 4 : Dynamique des fluides incompressibles réels On désigne par F et F respectivement les normes des forces de pression du fluide agissant au niveau des sections S et S. l instant t le fluide de masse (dm + M) est compris entre S et S. Son énergie mécanique est : E mec E pot + E cin ( dm. g. Z + MgZ) + dm. V + S S ' dmv. l instant t (t+dt) le fluide de masse (M+dm ) est compris entre S et S. Son énergie mécanique est : E' dmv. S mec E' pot + E' cin ( MgZ + dm. g. Z ) + + dm. S ' V On applique le théorème de l énergie mécanique au fluide entre t et t : «La variation de l énergie mécanique est égale à la somme des travaux des forces extérieures». On prendra en considération cette fois ci le travail des forces de frottement visqueux dτ. E' mec E' E mec mec E W mec Forces de pression + W dτ P. S. dx P. S. dx F. dx F. dx + W dτ + W dτ P. dv P. dv + W dτ En simplifiant on obtient : P P dm. g. Z + dm. V dm. g. Z. dm. V. dm. dm + ρ ρ W d τ Par conservation de la masse : dm dm dm Et puisque le fluide est incompressible : ρ ρ ρ on aboutie à l équation de ernoulli :, V V P P + + g( Z ρ Z ) W dm dτ On défini la perte de charge entre les points () et () par Wdτ J qui est la dm perte d énergie par frottement visqueux par unité de masse qui passe. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 9

97 Chapitre 4 : Dynamique des fluides incompressibles réels V V P P ρ + + g( Z Z) J (4) L unité de chaque terme de la relation (4) est le joule par kilogramme (J/kg) En divisant par g la relation (4) devient homogène à des longueurs en mètre : P + + z g ϖ v v P J + + z + g ϖ g Elle peut être interprétée graphiquement de la manière suivante : V g P ϖ Plan de charge S J g : Perte de charge Ligne de charge G V r V g Z Z P ϖ S Ligne piézométrique G P Z Plan de référence Z V r Z0 Portons sur la verticale, à partir du centre de gravité G de la section S une P distance égale à. Le lieu de toutes les extrémités de ces segments s appelle ϖ ligne piézométrique. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 9

98 Chapitre 4 : Dynamique des fluides incompressibles réels V Portons sur la verticale au dessus de la ligne piézométrique la quantité. Le lieu. g de toutes les extrémités de ces segments représente la ligne de charge. En l absence de pertes de charge, la ligne de charge est confondue avec le plan de charge. Ce plan de charge donne une représentation graphique de la constance tirée de l équation de ernoulli pour un fluide parfait. La perte de charge totale exprimée en hauteur de liquide depuis le début de l écoulement, est égale à la distance entre la ligne de charge et le plan de charge, mesurée sur la verticale passant par le point G. La perte de charge entre deux points G et G de l écoulement est donnée par la différence de cote de la ligne de charge sur les verticales passant par les points précédents. La perte de charge J peut être due à une perte de charge linéaire et une perte de charge singulière : J J s + J L Par exemple, dans le circuit représenté dans la figure ci-dessous, les tronçons C, DE, FG, HI et JK sont des coudes de différents angles, donc elles présentent des pertes de charge singulières. Les tronçons, CD, EF, GH, IJ et KL sont des conduites rectilignes, donc elles présentent des pertes de charge linéaires. C K L F J D E G H I uteur : Riadh EN HMOUD Page: 93

99 Chapitre 4 : Dynamique des fluides incompressibles réels 4. Pertes de charge singulières Quand la conduite subit de brusque variation de section ou de direction, il se produit des pertes de charges dites singulières, elles sont généralement mesurable et font partie des caractéristiques de l installation. On les exprime par : J s V Ks. où s : indice de l accident de forme de la conduite. K s : Coefficient (sans unité) de pertes de charge. Il dépend de la nature et de la géométrie de l accident de forme. Les valeurs de 4.3 Pertes de charges linéaires : Ks sont données par les constructeurs dans leurs catalogues. Les pertes de charges linéaires, sont des pertes de charge réparties régulièrement le long des conduites. En chaque point d un écoulement permanent, les caractéristiques de l écoulement sont bien définies et ne dépendent pas du temps. La représentation graphique de l écoulement prend l allure ci-dessous. Plan de charge V. g P ϖ J L J g g ΔH V. g P ϖ Z Z Plan de référence La vitesse étant constante, la ligne piézométrique et la ligne de charge sont parallèles. La variation de hauteur piézométrique, évaluée en hauteur de liquide est égale à la perte de charge linéaire entre les deux points de mesure. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 94

100 Chapitre 4 : Dynamique des fluides incompressibles réels Les pertes de charge linéaires sont proportionnelles à la longueur L de la conduite, inversement proportionnelles à son diamètre d, proportionnelle au carré de la vitesse débitante V du fluide. V L J L λ.. où d - V : vitesse moyenne d écoulement dans la conduite (m/s) - L : longueur de la conduite (m) - d : diamètre de la conduite (m) - λ : coefficient de perte de charge linéaire. Il dépend du régime d écoulement et notamment du nombre de Reynolds R e. Dans un régime d écoulement laminaire : R < λ (Formule de Poiseuille) R e e Dans un régime d écoulement turbulent lisse : 000 R < 0 < e 5 0,5 0,36. Re λ (Formule de lasius) Dans un régime d écoulement turbulent rugueux : ε λ 0,79. (Formule de lench) d avec : R e 5 > 0 - ε : rugosité de la surface interne de la conduite (mm) - d : diamètre intérieur de la conduite (mm) Parfois, on lit la valeur de λ sur un abaque établie par Moody. 5 THEOREME DE ERNOULLI PPLIQUE UN FLUIDE REEL Considérons un écoulement entre deux points () et () d un fluide réel dans une conduite. On suppose éventuellement, qu il existe entre () et () des machines hydrauliques. On note : J : Somme de toutes les pertes de charge, singulière et linéaires entre les sections () et (). uteur : Riadh EN HMOUD Page: 95

101 Chapitre 4 : Dynamique des fluides incompressibles réels P n : Puissance mécanique échangé entre le fluide et les machines éventuellement placées entre () et (). Le Théorème de ernoulli prend la forme générale suivante : Pn ( v v ) +.( P P ) + g.( z z) J + ρ q 6 CONCLUSION Les formules exposées dans ce chapitre relatives aux pertes de charge constituent un outil de calcul grossier permettant d obtenir des valeurs approximatives. Même s il demeurerait grossier, il serait néanmoins très utile pour une tâche de conception ou l on privilégie la simplicité et la rapidité d exécution quitte à perdre un peu de précision. 7 EXERCICES D PPLICTION Exercice N : Extrait de l examen du ENONCE Déterminer le régime d'écoulement dans une conduite de 3 cm de diamètre pour: ) De l'eau circulant à la vitesse v0,5 m/s et de viscosité cinématique.0-6 m / s ) Du fuel lourd à 50 C circulant à la même vitesse (Viscosité cinématique m / s ). 3) Du fuel lourd à 0 C circulant à la même vitesse (Viscosité cinématique m / s ). REPONSE V. d ) On calcule le nombre de Reynolds : R ν 0,5.0,03.N. R : donc l écoulement est turbulent rugueux..0 0,5.0,03 ) R 863, : 000 R 00000l écoulement est turbulent lisse 0,5.0,03 3) R 086, : R 000 donc l écoulement est laminaire. m uteur : Riadh EN HMOUD Page: 96

102 Chapitre 4 : Dynamique des fluides incompressibles réels Exercice N : EXTRIT DE L EXMEN DU ENONCE Du fuel lourd de viscosité dynamique μ 0, Pa. s et de densité d0,93 circule dans un tuyau de longueur L650 m et de diamètre D5 cm à un débit volumique q v 9,7 l/s. On donne la masse volumique de l eau Travail demandé : ) Déterminer la viscosité cinématique ν du fuel. 3 ρ eau 000 kg / m. ) Calculer la vitesse d écoulement V. 3) Calculer le nombre de Reynolds Re. 4) En déduire la nature de l écoulement. 5) Déterminer le coefficient λ de pertes de charge linéaire. 6) Calculer la perte de charge J L dans le tuyau. REPONSE μ μ 0, 6 ) Viscosité cinématique : ν.n. ν 8.0 m / s ρ d. ρ eau 000.0, qv 4.9,7.0 ) Vitesse d écoulement : V.N. V 0,403 m / s π. D π.0,5 3) Nombre de Reynolds : 4) Re < 000 donc l écoulement est laminaire. 5) Formule de poiseuille : λ 64.N. λ 0, , V.D 0,403.0,5 Re.N. Re 850, 6 ν Re V L 6) Perte de charge linéaire : J L λ.. D.N. 0, J L 0, J / Kg 0,5 uteur : Riadh EN HMOUD Page: 97

103 Chapitre 4 : Dynamique des fluides incompressibles réels Exercice N 3: EXTRIT DE L EXMEN DU ENONCE Un pipe-line de diamètre d5 cm est de longueur L est destiné à acheminer du pétrole brut d'une station vers une station avec un débit massique q m 8kg/s. L V r V r n r d Les caractéristiques physiques du pétrole sont les suivantes: - masse volumique ρ 900 kg/m3, - viscosité dynamique μ0,6pa.s. On suppose que le pipe-line est horizontal. ) Calculer le débit volumique q v du pétrole. ) Déterminer sa vitesse d'écoulement V. 3) Calculer le nombre de Reynolds R e. 4) Quelle est la nature de l'écoulement? 5) Calculer la valeur du coefficient de perte de charge linéaire λ. 6) Exprimer la relation de ernoulli entre et. Préciser les conditions d'application et simplifier. 7) Déterminer la longueur L maximale entre deux stations et à partir de laquelle la chutte de pression (P -P ) dépasse 3 bar. REPONSE ) Débit volumique : qm q V.N. q V 8 0,0 m 3 / s ρ qv ) Vitesse d écoulement : V.N. V 0,407 m / s π. d 4.0,0 π.0,5 3) Nombre de Reynolds : V. d R e μ ρ 0,407.0,5.N. R e 350, 86 0, uteur : Riadh EN HMOUD Page: 98

104 Chapitre 4 : Dynamique des fluides incompressibles réels 4) R < 000 : il s agit d un écoulement laminaire. e 5) Coefficient de perte de charge linéaire : λ.n. λ 0, 84 Re 350,86 6) Equation de ernoulli : ( V V ) +.( P P ) + g.( Z Z ) J L ρ Conditions d application : V V, Z Z Equation de ernoulli simplifié :.( P P ) J ρ L 7) Calcul de la longueur de la conduite :.( P P ) J L ρ avec V L J L λ.. d 5.( P P ). d.3.0 Donc L.N. L.0,5 556, 37 m λ. ρ. V 0, ,407 Exercice N 4: EXTRIT DE L EXMEN DU ENONCE Un fluide de masse volumique ρ 96 kg/m 3 à une vitesse V,5 m/s dans une conduite horizontale de diamètre d 0 mm à partir d' un réservoir de très grande section ouvert à l' air libre. P L30 m Sur la partie horizontale de ce tube sont installés deux manomètres distants de L 30 m. On relève une chute de pression Δ P P P, 5 bar. ) En appliquant le théorème de ernoulli, déterminer la valeur du coefficient de pertes de charge linéaire λ en fonction de ΔP, ρ, L, d et V. ) On suppose que l écoulement est laminaire, Calculer le nombre de Reynolds en fonction de λ. 3) En déduire la viscosité cinématique du fluide. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 99

105 Chapitre 4 : Dynamique des fluides incompressibles réels REPONSE V V P P ) Equation de ernoulli : + + g( Z Z) J ρ or V V et Z Z et L J J L. V λ. d Donc 5. ΔP d.,5.0 0, λ..n. λ. 0, 8 ρ. V L 96.,5 30 ) Loi de Poiseuille 64 λ R e R e.n. R e 500 λ 0,8 3) V. d R e υ V.d 0,5.0, 6 υ.n. υ 36.0 m / s 500 R e Exercice N 5: EXTRIT DE L EXMEN DU ENONCE De l huile ayant une viscosité dynamique μ 0,7 Pa. s et une densité d0,896 est pompée d un point vers un point L. C K F J D E G H I Elle circule dans une canalisation de diamètre d00 mm formée des six tronçons rectilignes suivants: - de longueur 6 m, - CD de longueur m, uteur : Riadh EN HMOUD Page: 00

106 Chapitre 4 : Dynamique des fluides incompressibles réels - EF de longueur 5 m, - GH de longueur 4 m, - IJ de longueur 7 m, - Kl de longueur 8 m. Le canalisation est équipée : - de deux coudes à 45 0 : C, DE : ayant chacun un coefficient de perte de charge K coude 45 0,, - de deux coudes à 90 0 : FG et JK : ayant chacun un coefficient de perte de charge K coude 90 0,3, - d un coude à 80 0 HI: ayant un coefficient de perte de charge K coude 80 0,4, La pression d entrée est P 3 bars. La conduite est supposée horizontale et transporte un débit volumique qv.5 l/s. Travail demandé : ) Calculer la vitesse d écoulement V en m/s. ) Calculer le nombre de Reynolds. 3) Il s agit d un écoulement laminaire ou turbulent? 4) Déterminer le coefficient de perte de charges linéaire λ. 5) Calculer les pertes de charges linéaires Δ Plineaire. 6) Calculer les pertes de charges singulières Δ P sin guliere. 7) Déterminer la pression de sortie P L. 8) Quelle sera la pression de sortie P L si le débit volumique Q v atteint 5 L/s. REPONSE 3 4. QV 4.,5.0 ) Vitesse d écoulement V : V.N. V 0,38 m / s π. d π.0, ) Nombre de Reynolds : V. d R e μ ρ 0,38.0,.N. R e 40, 7 0, ) R < 000 : il s agit d un écoulement laminaire. e ) Formule de Poiseuille : λ.n. λ, 57 Re 40,7 uteur : Riadh EN HMOUD Page: 0

107 Chapitre 4 : Dynamique des fluides incompressibles réels V L 0,38 4 5) ΔP linéaire λ. ρ...n. Δ P linéaire, , 6 Pa d 0, 6) V 0,38 Δ Psin gulière K s. ρ..n. Δ Psin gulière (.0, +.0,3 + 0,4) , 4 Pa 7) Pression de sortie P L : P L P + ΔP + ΔP.N. P L 8 0,9873 0, , 7 bar linéaire sin gulière 8) P ' P 4.(0, ,00063).N. P L 8 4.(0,9873 0,00063) 6, 8 bar L Commentaire : Dans cet exercice, la perte de charge singulière ne dépasse même pas % par rapport à la perte de charge linéaire. Son effet est négligeable sur le résultat de la pression de sortie. Exercice N 6: EXTRIT DE L EXMEN DU ENONCE Un liquide de refroidissement circule dans un radiateur en forme de serpentin. () () Le serpentin comprend les éléments suivants : - tubes rectilignes de diamètre d0 mm et de longueur m chacun. - coudes à 80 0 ayant chacun un coefficient de perte de charge K s 0,4, La conduite transporte un débit volumique q v 0,5 l/s. La pression en entrée est P 3 bars. On donne les caractéristiques du fluide de refroidissement: uteur : Riadh EN HMOUD Page: 0

108 Chapitre 4 : Dynamique des fluides incompressibles réels - viscosité dynamique : μ 0-3 Pa.s. - masse volumique : ρ 000 kg/m 3. Travail demandé : ) Calculer la vitesse V d écoulement du fluide dans la conduite en (m/s). ) Calculer le nombre de Reynolds R e. 3) Préciser la nature de l écoulement. 4) Déterminer le coefficient de perte de charges linéaire λ, en précisant la formule utilisée. 5) Calculer les pertes de charges linéaires J L en J/kg. 6) Calculer les pertes de charges singulières J S en J/kg. 7) ppliquer le théorème de ernoulli entre les points () et () pour déterminer la pression de sortie P. REPONSE 3 4. qv 4.0,5.0 ) Vitesse d écoulement : V.N. V 3,8 m / s π. d π.0,0 ) Nombre de Reynolds : V. d R e μ ρ 3,8.0,0.N. R e ) 000 <0 5 < R e : il s agit d un écoulement turbulent lisse. 0,5 e 0,5 4) Formule de lasius : λ 0,36. R.N. λ 0, , 0366 V L 5) Pertes de charge linéaires J L λ.. d.n. 3,8 J L 0, ,55 J / kg 0,0 6) Pertes de charge singulières : J S. K s V. 3,8.N. J S ( 0,3. ).,4 J / kg 7) Equation de ernoulli : ( V V ) +.( P P ) + g.( Z Z) J L + J S ρ uteur : Riadh EN HMOUD Page: 03

109 Chapitre 4 : Dynamique des fluides incompressibles réels Or V V, P P P atm donc: P P +.( + ).N. ρ J L J S P (43,55 +,4) 340 Pa, 34 bar Commentaire : La perte de charge singulière constitue une part non négligeable dans la perte de charge totale (3,4 %). Ce ci est dû au nombre important d accidents de parcours (coudes). Exercice N 7: EXTRIT DE L EXMEN DU ENONCE La figure ci-dessous représente le serpentin d un plancher chauffant à circulation d'eau utilisé dans une habitation. L eau chaude utilisée, serpente dans le plancher pour chauffer la surface du sol. entrée sortie L Une pompe de circulation de débit volumique q v 0,36 L/s, non représentée dans la schéma, permet de refouler l eau chaude qui rentre par la section ou la pression est P 8 bar, circule dans le serpentin en passant par 0 tronçons de tubes rectilignes de section circulaire, de diamètre intérieur d0 mm, de longueur L 6 m chacun, reliés entre eux par 9 coudes à 80, pour enfin sortir par le point ou la pression de l eau chute à cause des pertes de charge pour atteindre une pression P qu on veut déterminer. On donne : - la viscosité cinématique de l eau chaude ν0, m /s. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 04

110 Chapitre 4 : Dynamique des fluides incompressibles réels - le coefficient de perte de charge singulière K s 0,48 pour un coude à 80. Travail demandé : ) Déterminer la vitesse d écoulement V de l eau dans le serpentin. ) Calculer le nombre de Reynolds Re. 3) En déduire la nature de l écoulement. 4) Déterminer le coefficient de perte de charge linéaire λ. 5) Calculer la perte de charge singulière J s totale due aux 9 coudes. 6) Calculer la perte de charge linéaire J L totale due aux 0 tronçons rectilignes. 7) En déduire la perte de charge totale J du serpentin. 8) En appliquant le théorème de ernoulli entre les sections et, exprimer puis calculer la pression de sortie P en fonction de P, ρ et J. REPONSE 3 4. qv 4.0,36.0 ) Vitesse d écoulement : V.N. V 3 m / s π. d π.0,0 ) Nombre de Reynolds : V.d 3.0,0 Re.N : Re ν 6 0,75.0 3) 000 < Re < donc il s agit d un écoulement turbulent lisse. 4) Formule de lasius 0,5 λ 0,36.Re 0,5.N. λ 0, , 0 V 5) Perte de charge singulière : J S (9K s )..N. 3 J S (9.0,49). 6 J / kg 0L V 6) Perte de charge linéaire: J L λ.. d N. J L 0, J / kg 0,0 7) Perte de charge totale : J J s + J L.N. J J / kg V V P P 8) Eq. de ernoulli : + + g( Z Z ) J ρ or V V V et Z Z uteur : Riadh EN HMOUD Page: 05

111 Chapitre 4 : Dynamique des fluides incompressibles réels Donc 5 5 P P + ρ. J.N. P bar Exercice N 8: EXTRIT DE L EXMEN DU ENONCE Une pompe à essence de rendement η67,4% et de débit volumique q v 0,69 L/s assure, le remplissage d un réservoir d automobile. La pompe aspire l essence de masse volumique ρ750kg/m 3 à partir d une grande citerne dont la surface libre située à une altitude Z et une pression P P atm bar. On suppose que le niveau d essence dans la citerne varie lentement (V 0) La pompe refoule l essence, à une altitude Z, sous forme d un jet cylindrique, en contact avec l atmosphère à une pression P P atm bar, se déversant dans le réservoir de l automobile à une vitesse V. La différence des cotes entre la section de sortie de la conduite et la surface libre de la citerne est HZ -Z m. La conduite a une longueur L3,3 m et un diamètre d cm. La viscosité dynamique de l essence est μ 0,0006 Pa.s. L accélération de la pesanteur est g9,8 m/s. ) Déterminer la vitesse d écoulement V de l essence dans la conduite. ) Calculer le nombre de Reynolds R e. 3) Déterminer la nature de l écoulement. 4) Calculer le coefficient de perte de charge linéaire λ. 5) En déduire la perte de charge linéaire J. 6) ppliquer le théorème de ernoulli généralisé. Et calculer la puissance P a sur l arbre de la pompe. REPONSE 4. qv ) Vitesse d écoulement : V π. d.n ,69.0 V m / s π.0,0 V.d ) Nombre de Reynolds : Re μ ρ uteur : Riadh EN HMOUD Page: 06

112 Chapitre 4 : Dynamique des fluides incompressibles réels.0,0.n : Re , ) 000 < Re < donc il s agit d un écoulement turbulent lisse. 4) Formule de lasius λ 0,36.Re 0,5.N. λ 0, , 0 0,5 L V 5) Perte de charge linéaire : J λ.. d.n. 3,3 J 0,0.. 7 J / kg 0,0 6) Eqution de ernoulli : or V 0 et Z Z H V V P P η. Pa + + g( Z Z) J + ρ q m Donc P a ρ. q v V + g. H J η.n ,69.0 P a + 9, w 0,674 Exercice N 9: EXTRIT DE L EXMEN DU ENONCE La figure suivante représente une installation utilisée dans un parc d attraction. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 07

113 Chapitre 4 : Dynamique des fluides incompressibles réels Z Z D O Z Z L installation est composée: - d une conduite d aspiration horizontale de diamètre d 5 cm et de longueur L 0 m. - d une pompe centrifuge ayant un rendement η 0,8 qui aspire l eau à un débit volumique Q v 0,6 L/s depuis une piscine et la refoule en D, vers un toboggan. - d une conduite de refoulement CD verticale de diamètre d 5 cm et de longueur L CD 8 m. - d un toboggan formant un canal descendant permettant d acheminer par gravité l eau vers la piscine. L eau reste en circuit fermé : piscine, tube, pompe, tube CD, toboggan, piscine. etc. On donne : - la masse volumique de l eau : ρ 000 kg/m 3, - la viscosité dynamique de l eau : μ 0-3 Pa.s, - l accélération de la pesanteur : g 9,8 m/s. - La pression P O P D P atm bar, - Z O,5 m (O est un point de la surface libre de l eau dans la piscine). - Z Z 0. - Z C 0,3 m. - Z D 8,3 m uteur : Riadh EN HMOUD Page: 08

114 Chapitre 4 : Dynamique des fluides incompressibles réels On suppose que toutes les pertes de charge singulières sont négligeables. ) Calculer la vitesse d écoulement V dans la conduite. ) En appliquant le Théorème de ernoulli entre un point O de la surface libre de la piscine et le point, calculer la pression P. On suppose que le niveau de l eau dans la piscine reste constant (V O 0). 3) Déterminer le nombre de Reynolds R e dans la conduite. 4) En déduire la nature de l écoulement. 5) Calculer le coefficient de perte de charge linéaire λ. 6) Déterminer la perte de charge linéaire J L entre et D. 7) En appliquant le théorème de ernoulli entre et D, déterminer la puissance nette P n développée par la pompe. 8) En déduire la puissance P a absorbée par la pompe. REPONSE 3 4. Qv 4.0,6.0 ) Vitesse d écoulement V.N. V 0,6 m / s. π. d π.0,5 O O ) Théorème de ernoulli entre O et : + + g. ( Z Z ) 0 V V P P ρ + ρ. g. ZO Z. ρ. V Or V O 0 et P O P atm bar, donc ( ) P P 5.N. P ,8. (,5 0).000.0, Pa, 4535 bar O O 3) Nombre de Reynolds ρ. V. d 000.0,6.0,5 R e.n. R e μ 0 4) 000 R < donc l écoulement est turbulent lisse. < e 5) Coefficient de perte de charge linéaire λ 0,5 0,36. Re 0,5.N. λ 0, , 084 V L 6) Perte de charge linéaire J L λ.. d.n. 0, J L 0, ,4 J / kg 0,5 uteur : Riadh EN HMOUD Page: 09

115 Chapitre 4 : Dynamique des fluides incompressibles réels P ρ D D 7) Théorème de ernoulli entre et D : + + g. ( Z Z ) V V P D J L Pn + ρ. Q v, Or V V D, P D P atm et Z 0 donc P n Patm P ρ. Qv. g. Z D + J L ρ.n ,45.0 P n 000.0,6.0. 9,8.8, ,4 73, 4 w 000 8) Puissance absorbée par la pompe Pn 73,4 P a.n. P a 89, 763 w η 0,8 Exercice N 0: ENONCE Une pompe de débit volumique q v,8 L/s remonte de l'eau entre un bassin et un réservoir à travers une conduite de diamètre d35 mm. Z Réservoir Pompe Z assin On donne : - Z 0 ; Z 35 m - P P 03 mbar - viscosité dynamique de l'eau : μ.0 3 Pa s. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 0

116 Chapitre 4 : Dynamique des fluides incompressibles réels - longueur de la conduite L65 m On négligera toutes les pertes de charge singulières. ) Calculer la vitesse d écoulement V de l eau dans la conduite. ) Calculer le nombre de Reynolds. L'écoulement est laminaire ou turbulent? 3) Calculer le coefficient de pertes de charge linéaire. En déduire les pertes de charges J tout au long de la conduite. 4) ppliquer le théorème de ernoulli pour calculer la puissance nette P net de la pompe. 5) Le rendement de la pompe étant de 80 %, calculer la puissance absorbée par la pompe. REPONSE q q ) V v v 0, m / s S 4. π. d V. d V. d ) R 7000 ; ν μ ρ 000 < 0 5 < R il s agit d un écoulement turbulent lisse. 0,5 3) On applique la formule de lasius : λ 0,36. R 0, 05 V L La perte de charge linéaire est : J λ.. 0,4 J / kg d 4) On applique le théorème de ernoulli généralisé entre les points () et (): ( V V ) +.( P P ) + g.( Z ρ Z ) J Pnet + ρ. q net. v. ( ) 96 V V, P P donc P ρ q ( g Z Z J ) w Pnet 5) Pa 0 w η Commentaire : Nous avons négligé dans cet exercice les pertes de charges singulières. La prise en compte de ces pertes de charge va induire une augmentation de la puissance de pompage. Exercice N : EXTRIT DE L EXMEN DU V uteur : Riadh EN HMOUD Page:

117 Chapitre 4 : Dynamique des fluides incompressibles réels ENONCE Une pompe de débit volumique q v l/s et de rendement η 70 % remonte de l eau à partir d un lac jusqu au réservoir situé sur une colline. Reservoir Z Z F E D C Pompe Z Lac L eau est acheminée dans une conduite de diamètre d30 mm formée de trois tronçons rectilignes : - de longueur L 0 m, - CD de longueur L m, - EF de longueur L 3 8 m, Et de deux coudes à 45 0 : C et DE : ayant chacun un coefficient de perte de charge K s 0,33. On suppose que : - les niveaux d eau varient lentement, - les niveaux Z 0 m, Z 0 m, - les pressions P P P atm ; - la viscosité dynamique de l eau : μ 0-3 Pa.s, - la masse volumique de l eau : ρ 000 kg/m 3, - l accélération de la pesanteur : g9,8 m/s. Travail demandé : uteur : Riadh EN HMOUD Page:

118 Chapitre 4 : Dynamique des fluides incompressibles réels ) Calculer la vitesse V d écoulement d eau dans la conduite en m/s. ) Calculer le nombre de Reynolds R e. 3) Préciser la nature de l écoulement. 4) Déterminer le coefficient de perte de charges linéaire λ, en précisant la formule utilisée. 5) Calculer les pertes de charges linéaires J linéaire en J/kg. 6) Calculer les pertes de charges singulières J singulière en J/kg. 7) Déterminer la puissance nette P n de la pompe en Watt. 8) En déduire la puissance P a absorbée par la pompe. REPONSE 3 4. qv 4..0 ) V.N. V 0,5 m / s π. d π.0,3 ) V. d R e μ ρ 0,5.0,3.N R e ) 000 <0 5 < R e : il s agit d un écoulement turbulent lisse. 0,5 e 0,5 4) Formule de lench : λ 0,36. R.N. λ 0, , 0674 V L + L + L3 5) Perte de charge linéaire : J linaire λ.. d.n. 0, J linaire 0, ,0956 J / kg 0,3 6) Perte de charge singulière : J sin guliere. K s V. 0,5.N. J sin guliere.0,33. 0, 0074 Pn 7) Equation de ernoulli : ( V V ) +.( P P ) + g.( Z Z) + J ρ ρ. q Or V V, P P P atm et donc : ρ q. g. ( Z Z ) n J J linéaire J + sin gulière [ ( J J )]. v linire sin guliere P + v uteur : Riadh EN HMOUD Page: 3

119 Chapitre 4 : Dynamique des fluides incompressibles réels P n ,8.(0 0) 0, 96, 4 3.N. [ + ] w 8) Pn 96,4 P a.n. P a 80, 57 w η 0,7 Exercice N : EXTRIT DE L EXMEN DU ENONCE On alimente un jet d eau à partir d un réservoir au moyen d une pompe de débit volumique q v L/s et d un tuyau de longueur L 5 m et de diamètre d 30 mm. Le tuyau comporte un coude à 90 o ayant un coefficient de pertes de charge K s 0,3. Z Z Pompe Réservoir Le niveau de la surface libre du réservoir, supposé lentement variable, est à une altitude Z 3 m au dessus du sol. Le jet s élève jusqu à une hauteur Z 0 m. On suppose que: - Les pressions: P P P atm. - la viscosité dynamique de l eau: μ 0-3 Pa.s. - la masse volumique de l eau: ρ 000 kg/m 3. - l accélération de la pesanteur: g9,8 m/s. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 4

120 Chapitre 4 : Dynamique des fluides incompressibles réels Travail demandé : ) Calculer la vitesse V d écoulement d eau dans la conduite en m/s. ) Calculer le nombre de Reynolds R e. 3) Préciser la nature de l écoulement. 4) Déterminer le coefficient de perte de charges linéaire λ, en précisant la formule utilisée. 5) Calculer les pertes de charges linéaires J linéaire en J/kg. 6) Calculer les pertes de charges singulières J singulière en J/kg. 7) ppliquer le théorème de ernoulli entre les points () et () pour déterminer la puissance nette P n de la pompe en Watt. 8) En déduire la puissance P a absorbée par la pompe sachant que son rendement est η 75 % REPONSE 3 4. qv 4..0 ) Vitesse d écoulement : V.N. V,83 m / s π. d π.0,03 ) Nombre de Reynolds : V. d R e μ ρ,83.0,03.n. R e ) 000 <0 5 < R e : il s agit d un écoulement turbulent lisse. 0,5 e 0,5 4) Formule de lasius : λ 0,36. R.N. λ 0, , 08 5) Perte de charge linéaire : V L,83 5 J linaire λ...n. J linéaire 0, J / kg d 0,03 6) Perte de charge singulière: J sin guliere V,83. K s..n. J sin guliere 0,3., J / kg 7) Equation de ernoulli : ( V V ) +.( P P ) + g.( Z ρ Donc : ρ q. g. ( Z Z ) n Pn Z) ρ. q v + J [ ( J J )]. v linéaire sin guliere P + lineaire + J sin guliere Or V V, P P P atm uteur : Riadh EN HMOUD Page: 5

121 Chapitre 4 : Dynamique des fluides incompressibles réels P n ,8.(0 3) 37, 3, 74 3.N. [ + + ] w 8) Puissance absorbée par la pompe : Pn 3,74 P a.n. P a 85 w η 0,75 Exercice N 3: EXTRIT DE L EXMEN DU ENONCE F Vérin ØD V Z Z Z V Ød L Tube V Pompe Z Réservoir Clapet huile Le schéma proposé ci-dessus représente une installation hydraulique composée : - d un réservoir contenant de l huile de masse volumique ρ 900 kg/m 3 et de 6 viscosité cinématique ν 5.0 m / s, - d une pompe de débit volumique q V 6 L/mn - d un tube vertical de longueur L 50 cm et de diamètre d 5 mm permettant d acheminer de l huile sous pression refoulée par la pompe, - d un vérin à simple effet horizontal équipé d un piston qui se déplace en translation sous l effet la pression d huile dans une chemise, - d un clapet d aspiration anti-retour placé en amont de la pompe qui a un coefficient de perte de charge singulière K s 0,45. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 6

122 Chapitre 4 : Dynamique des fluides incompressibles réels Partie : Etude du vérin. On néglige dans cette partie toutes les pertes de charges. ) partir du débit de la pompe, calculer la vitesse d écoulement V dans la conduite. ) De même, déterminer la vitesse V de déplacement du piston sachant que son diamètre D 0 cm. 3) Le piston est soumis à une force de compression F65 N qui s oppose à son déplacement. Calculer la pression d huile P au point. 4) En appliquant le théorème de ernoulli entre et. Calculer la pression d admission P dans le vérin. On suppose que Z Z. Partie : Etude du circuit d alimentation (clapet, pompe et tube). On prendra en considération dans cette partie toutes les pertes de charges. ) Calculer le débit massique q m de la pompe. ) Calculer le nombre de Reynolds Re. 3) Préciser la nature de l écoulement. 4) Déterminer le coefficient de perte de charge linéaire λ. 5) En déduire la perte de charge linéaire J L. 6) Calculer la perte de charge singulière J S due au clapet d aspiration. 7) En appliquant le théorème de ernoulli généralisé entre et, déterminer la puissance nette P n de la pompe. On suppose que : - le niveau dans le réservoir varie lentement (V 0), - la pression P P atm bar, - l accélération de la pesanteur g 9,8 m/s. REPONSE Partie : 4. qv 4.6 ) Vitesse d écoulement : V.N. V 3,58 m / s π. d π.0, qv ) Vitesse de déplacement du piston : V' π. D uteur : Riadh EN HMOUD Page: 7

123 Chapitre 4 : Dynamique des fluides incompressibles réels.n. 4.6 V ' 0,0339 m / s π.0, F ) Pression sur le piston : P ' π.n. P ' 78369, 64 Pa. D π.0, V V 4) Equation de ernoulli : ' ' + + g( Z Z ) 0 Or Z Z donc P P +. ρ ( V V ) '. ' P P ρ P 78369, ,0339 3, , 55.N. + ( ) Pa Partie : 6 ) Débit massique : q m ρ. qv.n. q m ,4 kg / s ) Nombre de Reynolds : V.d 3,58.0,005 Re.N. Re 76, 6 υ 5.0 3) 000<Re<0000 donc l écoulement est turbulent lisse. 4) Coefficient de perte de charge linéaire : λ O,5.N. λ 0,36* 76, 0, 0437 V L 5) Perte de charge linéaire : J L λ.. d ' 0,36.Re 0,5.N. 3,58 0,5 J L 0, J / Kg 0,005 6) Perte de charge singulière : J S V K S..N. 3,58 J S 0,45. 4,5 J / Kg V V P P ρ 7) Equation de ernoulli + + g. ( Z Z ) ( J + J ) S L Pn + q m uteur : Riadh EN HMOUD Page: 8

124 Chapitre 4 : Dynamique des fluides incompressibles réels V P P Or V 0 ; Z -Z L Donc P q. + + g. L ( J + J ) 3,58 n m S L N. P n 0,4. 9,8.0,5 ( 4,5 403) 90 w 5 + ρ + + uteur : Riadh EN HMOUD Page: 9

125 Chapitre 5 : DYNMIQUE DES FLUIDES COMPRESSILES INTRODUCTION Dans ce dernier chapitre, nous abordons les fluides compressibles qui présentent certaines particularités. La masse volumique d un gaz varie avec sa pression. L étude de l écoulement d un fluide compressible devient plus compliquée que celle d un fluide incompressible. En effet, les variations de température ou de pression qui peuvent apparaître dans l écoulement d un liquide ne modifient en rien les volumes mis en jeu car la dilatation ou la compression sont généralement négligeables. En revanche, ces phénomènes prennent une grande importance lorsqu il s agit de vapeurs ou de gaz. L étude de l écoulement des fluides compressible ne peut être abordée sans avoir fixé au préalable un certain nombre d hypothèses simplificatrices (nature du gaz : parfait, type d évolution : isotherme ou adiabatique, etc). EQUTIONS D ETT D UN GZ PRFIT. Lois des gaz parfaits P ρ r. T avec : - P : pression. - ρ : masse volumique en (kg/m 3 ). R 0 - r : constante des gaz parfait ( r 87 J / Kg. K ). M - T : température en ( 0 K).. Transformations thermodynamiques - Transformation à pression constante : La chaleur récupérée par un gaz parfait à pression constante est : Δ H C. p Δ T 0

126 Chapitre 5 : Dynamique des fluides compressibles avec : - Δ H : variation d enthalpie par unité de masse en (KJ/Kg) - C p : chaleur spécifique à pression constante en (KJ/Kg. o K) - Δ T : variation de température ( 0 K) - Transformation à volume constant : La chaleur récupérée par un gaz parfait à volume constant est : Δ U C. v Δ T avec : - Δ U : variation d énergie interne par unité de masse en (KJ/Kg) - C v : chaleur spécifique à volume constant en (KJ/Kg. o K) - Δ T : variation de température en ( 0 K) Remarque : P P H U + équivaut à Δ H Δ( U + ) ΔU + Δ( rt ) ( Cv + r). ΔT C p. ΔT ρ ρ Donc : C C r : Relation de Mayer p v + On définie : γ C C p v Exemple : Pour un gaz parfait monoatomique : C p. r et C v. r donc γ Pour un gaz parfait diatomique : C p. r et C v. r donc γ 5 or C C p CV r donc C p + r γ p + ou encore : C p γ r. γ La variation d enthalpie est par conséquent : γ P ou encore H. * γ ρ γ Δ P ΔH C p. ΔT. γ ρ uteur : Riadh EN HMOUD Page:

127 Chapitre 5 : Dynamique des fluides compressibles - Transformation adiabatique : P Cte γ ρ γ P P, D après la lois des gaz parfaits : Cte donc Cte γ γ P T rt ou encore, γ P T γ Cte 3 CLSSIFICTION DES ECOULEMENTS 3. Célérité du son Pour un écoulement isentropique, la vitesse du son, appelée également célérité du son, est donnée par l expression suivante : γ. P C γ. r. T ρ 3. Nombre de Mach On appelle nombre de Mach le rapport : V M C - V : Vitesse d écoulement en (m/s) - C : Célérité du son en (m/s) Le nombre de Mach varie d un point à l autre de l écoulement, non seulement parce que la vitesse varie, mais aussi parce que l état du fluide varie, donc la célérité. 3.3 Ecoulement subsonique L écoulement est dit subsonique si la vitesse d écoulement est inférieure à la vitesse du son. Ou encore : si M < 3.4 Ecoulement supersonique L écoulement est dit subsonique si la vitesse d écoulement est supérieure à la vitesse du son. Ou encore : si M > 4 EQUTION DE CONTINUITE L équation de continuité d un fluide compressible est : uteur : Riadh EN HMOUD Page:

128 Chapitre 5 : Dynamique des fluides compressibles ρ. S V ρ S V... 5 EQUTION DE SINT-VENNT L équation de bilan énergétique d un système ouvert est : Δ E + ΔE + ΔH Q + W c P u où : - Δ E c : Variation d énergie cinétique. - Δ E P : Variation d énergie potentielle du fluide. - Δ H : Variation d enthalpie. - Q: chaleur échangée avec le milieu extérieur. - W u : travail utile échangé. Si on suppose : - qu il n y pas d échange de travail utile, Wu 0 - que l énergie potentielle est négligeable, Δ E P 0 - que l écoulement est adiabatique et réversible, Q0 L équation de bilan énergétique devient : ΔH + ΔE 0 ou encore ( H H) + ( V V ) 0 donc H + V Cte γ P or d après l équation (*) H C p. T. γ ρ D où la relation de Saint-Venant : γ P. +. V γ ρ Cte Entre deux points d un écoulement, cette relation s écrit : γ γ P P. + ρ ρ.( V V ) 0 γ P ρ γ ρ ρ ou encore....( ) 0 P P + V V c uteur : Riadh EN HMOUD Page: 3

129 Chapitre 5 : Dynamique des fluides compressibles uteur : Riadh EN HMOUD Page: 4 Or pour un gaz parfait Cte P P γ γ ρ ρ donc γ ρ ρ P P Donc.( ) V V P P P γ γ ρ γ γ 6 ETT GENERTEUR : C est l état d un fluide en un point de l écoulement où la vitesse V est supposée nulle. On note par un indice i toutes les variables thermodynamiques relatives à ce point. En appliquant le théorème de Saint-Venant entre ce point et un autre point on a : i P i V P ρ γ γ ρ γ γ... + Dans le cas d un écoulement isentropique d un gaz parfait, les caractéristiques thermodynamiques d un point d arrêt sont celles de l état générateur c'est-à-dire : P i, T i, ρ i. Or la célérité du son est donnée par : T r P C... γ ρ γ Donc le théorème de Saint-Venant peut être écrit sous la forme suivante :... C i V C + γ γ En multipliant cette équation par C on obtient :. + C C M i γ γ Or T T C C i i Donc la relation de Saint- Venant devient : + T T M i. γ

130 Chapitre 5 : Dynamique des fluides compressibles De même, on peut écrire : Pi P γ γ ρi ρ γ γ +. M Pour établir la relation entre les caractéristiques de deux points () et () d un même écoulement : T i γ - en () : +. M T - en () : T i T γ +. M Donc : T T γ +. M γ +. M De la même façon on peut établir des relations entre les pressions et les masses volumiques. Remarque : si M (v c), l état de l écoulement est appelé état critique. Il est déterminé en fonction de l état générateur : T T i c γ +γ + 7 CONCLUSION L étude approfondie des écoulements des fluides compressibles ne peut se faire sans faire intervenir la thermodynamique. Les notions des mécanique des fluides abordées dans ce manuel ne constituent que des connaissance élémentaire nécessaire pour un technicien supérieur. 8 EXERCICES D PPLICTION Exercice N : uteur : Riadh EN HMOUD Page: 5

131 Chapitre 5 : Dynamique des fluides compressibles ENONCE Dans un écoulement d air les caractéristiques en un point sont les suivantes : - vitesse d écoulement : V 00 m/s - pression P,03 bar - température : T 5 c ; - Masse volumique ρ 0,349 Kg/m 3 - γ,4 On demande de calculer la pression d arrêt P i. ) en négligeant la compressibilité de l air. ) en tenant compte de sa compressibilité. REPONSE ) En négligeant la compressibilité de l air, on peut appliquer le théorème de ernoulli : V P + + g. Z ρ V i Pi + + g. Z ρ i sachant que V i 0 (point d arrêt) et ZZ i Donc.. P i P + ρ V pplication numérique : P i,o30 bar ) En prenant en compte la compressibilité, on doit appliquer le théorème de Saint- Venant : γ γ P i +. M. P γ avec 5 γ. P,03.0 C,4. 637,46 m / s ρ 0,349 V 00,4,4 M 0,56 donc P i +.0,56.,03, 030 bar C 637,46 Exercice N : ENONCE Un avion vole à un nombre de Mach M 0,95 et à une altitude où la pression atmosphérique est P atm 0,33 bar et la masse volumique ρ 0,349 Kg/m 3. ) Calculer la vitesse de l avion en Km/h. ) Calculer la pression et la température du point d arrêt sur le bord d attaque de l aile. L air est assimilé à un gaz parfait : γ,4 et r 87 J/kg.K REPONSE,4 uteur : Riadh EN HMOUD Page: 6

132 Chapitre 5 : Dynamique des fluides compressibles ) V γ. P M. C M..N. V 90,56 m/s 046,0 Km/h ρ γ γ γ,4,4 ) P i +. M. P.N : P i +. 0,95.0,33 0, 46bar,4 γ T i. + M.T or p r. T (air considéré gaz parfait) ρ p 0,33 T 3, 8 K ρ. r 0, Exercice N 3: EXTRIT DE L EXMEN DU ENONCE,4 donc T i +. 0,95.3,8 74, 84 K Un corps céleste en chute libre, freiné par les couches d air de la haute atmosphère tombe sur terre. une altitude de 0 km : - la vitesse du corps V3000 m/s, - la température de l air T3 0 K, - la masse volumique de l air ρ 0,4 kg / m - la pression de l air P0,65 bar. On donneγ, 4. Travail demandé : ) Calculer la vitesse du son C. ) Déterminer le nombre de Mach M. 3) Quelle est la nature de l écoulement d air autour du corps? 4) ppliquer le théorème de Saint-Venant pour calculer la température T i et la pression P i de l air au point d arrêt. 3 REPONSE ) Célérité du son : γ P 6500 C..N. C, m / s ρ 0,4 ) Nombre de Mach : V 3000 M.N. M 0 C 300 uteur : Riadh EN HMOUD Page: 7

133 Chapitre 5 : Dynamique des fluides compressibles 3) M> donc l écoulement est supersonique. γ 4) Température d arrêt T i T. +. M 5) Pression d arrêt :.N., T i 0 K γ,4 γ γ,4,4 P i P.. M.N. P i Pa + Exercice N 4: EXTRIT DE L EXMEN DU ENONCE Un réservoir contient de l air comprimé à une pression P i 4 bar, supposée pression d arrêt à l état initial. L ouverture d une vanne dans ce réservoir provoque la détente de l air vers l extérieur sous forme d un jet ayant un diamètre d 5 mm. Les paramètres extérieurs du jet d air à l état final sont : - Pression P bar, - Température T5 0 C, On donne γ, 4 et r87 J/Kg. 0 K. ) Calculer la vitesse du son C à l extérieur du réservoir en (m/s). ) Déterminer la masse volumique ρ de l air à l extérieur du réservoir en (kg/m 3 ). (On suppose que l air est un gaz parfait.) 3) Ecrire l équation de Saint-Venant, en terme de rapport de pression, entre un point d arrêt et un point sur le jet d air. 4) En déduire le nombre de Mach M au niveau du jet d air. 5) Quelle est la nature de l écoulement? 6) Calculer la vitesse d écoulement V du jet d air en (m/s). 7) En déduire le débit massique q m (kg/s). REPONSE ) Célérité du son : C γ. rt.n. C, m / s P ) Masse volumique : ρ.n. rt ρ 5 0,69 kg / m ) Equation de Saint-Venant γ +. M Pi P γ γ uteur : Riadh EN HMOUD Page: 8

134 Chapitre 5 : Dynamique des fluides compressibles 4) Nombre de Mach : M pi. γ p γ γ.n. M, 558 5) M> donc l écoulement est supersonique. 6) Vitesse d écoulement : V M. C.N. V, ,48 m / s 7) Débit massique : d π. q m ρ S. V ρ.. V 4 π.0,005.n. q m, ,448,5 kg / s 4 Exercice N 5: EXTRIT DE L EXMEN DU ENONCE La figure ci-dessous représente une chaudière qui produit de la vapeur d'eau à un débit massique q m 3,4 kg/s. Vapeur S P i Canalisation Eau Chaudière Par une canalisation cylindrique, la vapeur arrive dans une section S de diamètre d0 cm à une pression P5 bar et une température T54 K. On donne les caractéristiques de la vapeur d'eau : - γ,3. - r46 J/kg K. Travail demandé: uteur : Riadh EN HMOUD Page: 9

135 Chapitre 5 : Dynamique des fluides compressibles ) On suppose que la vapeur est un gaz parfait, calculer la masse volumique ρ de la vapeur d'eau en sortie de la chaudière. ) Déterminer la vitesse d'écoulement V. 3) Calculer la célérité du son C. 4) En déduire le nombre de Mach M. Préciser la nature de l'écoulement. 5) Ecrire l'équation de Saint-Venant en terme de rapport de pression, et calculer la pression d'arrêt Pi à l'intérieur de la chaudière. REPONSE ) Masse volumique de la vapeur : ) Vitesse d écoulement : P ρ.n. rt ρ kg / m qm 4.3,4 V.N. V 84,356 m / s π. d.ρ π.0,.6 3) Célérité du son: c γ. r. T.N. c, ,0 m / s 3 4) Nombre de Mach : M V C.N. 84,356 M 0, 570,0 5 M< donc l écoulement est subsonique. 5) Equation de Saint Venant : γ + M Pi P γ γ La pression d arrêt : P i γ P. +. M γ γ.n.,3,3,3 5 P i , Pa 7, 594 bar Exercice N 6: EXTRIT DE L EXMEN DU ENONCE De l air comprimé contenu dans un grand réservoir s échappe vers l extérieur à travers un orifice à un nombre de Mach M0,77. La détente se produit dans l atmosphère où règne une pression PP atm,04 bar. On donne le rapport des chaleurs massiques : γ, 4. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 30

136 Chapitre 5 : Dynamique des fluides compressibles P i Travail demandé : ) En appliquant l équation de Saint- Venant, déterminer la pression P i (en bar) à l intérieur du réservoir. ) partir de quelle pression P i, l écoulement devient supersonique? REPONSE γ ) Equation de Saint-Venant : +. M Pi P γ γ donc P i γ P. + M γ γ.n.,4 5 P i, , , Pa, 5,4,4 bar ) > P M i γ + > P. γ γ.n.,4,4,4 5 + P i >, bar Exercice N 7: EXTRIT DE L EXMEN DU ENONCE L azote est comprimé dans une bouteille dans laquelle règne une pression d arrêt P i 3 bar. Il s échappe à travers un orifice vers l extérieur ou la pression ambiante est P bar. On donneγ, 4. uteur : Riadh EN HMOUD Page: 3

137 Chapitre 5 : Dynamique des fluides compressibles ) En appliquant l équation de Saint-Venant, déterminer le nombre de Mach M. ) Préciser la nature de l écoulement. REPONSE γ ) Théorème de Saint-Venant : +. P P i M γ γ Nombre de Mach M Pi. γ P γ γ,4 3, 4.N.. M, 357.,4 ) M> donc l écoulement est supersonique. Exercice N 8: EXTRIT DE L EXMEN DU ENONCE De l'air, supposé gaz parfait, s'échappe par la valve d'une chambre à air d'un pneu. La pression à l intérieur de la chambre à air est P i,7 bar. On suppose que la détente de l air, s effectue vers l extérieur à une pression P bar et une température ambiante T5 C. On donne les caractéristiques de l air suivantes : - r 87 J/kg K, - γ,4. Travail demandé : ) Calculer la célérité du son. ) En appliquant l équation de Saint-Venant, déterminer le nombre de Mach. 3) Déterminer la vitesse d échappement V de l air. REPONSE ) c γ. r. T.N. : c, m / s ) Equation de Saint-Venant : γ γ γ Pi +. M Équivaut à P M Pi γ P γ γ uteur : Riadh EN HMOUD Page: 3

138 Chapitre 5 : Dynamique des fluides compressibles,4,7, 4.N. M 0, 9,4 3) V M. c V 0, ,4 m / s uteur : Riadh EN HMOUD Page: 33

139 ILIOGRPHIE [] Dynamique des fluides. Inge L. Ryhming Presse Polytechniques et Universitaires Romandes [] Mécanique de fluides Prépas PC-PSI Céline nthoine Guillaume Levèvre Samuel Marque- 999 [3] Mécanique des fluides. Cours, exercices et problèmes corrigés. Classes préparatoires- Premier cycle universitaire. Christian Grossetête -999 [4] Hydraulique. Cours et Exercices. Souha ahlous El Ouafi Centre de Publication Universitaire (CPU) 00 [5] Mécanique des fluides. Comolet (Masson) [6] Mécanique des fluides incompressibles Mohamed MLEJ Centre de Publication Universitaire (CPU) 00 uteur : Riadh EN HMOUD Page: 34

140 P Cet ouvrage est une introduction à la mécanique des fluides. Il est conforme aux programmes de formation des techniciens supérieurs en maintenance industrielle ou en génie mécanique. Il est destiné aux étudiants des Instituts Supérieurs des Etudes Technologiques, aux enseignants et aux auditeurs de la formation continue. Centré sur les lois et leurs applications en statique et en dynamique des fluides, Il fournis aux techniciens supérieurs les notions élémentaires nécessaires pour dimensionner plusieurs appareils (réservoirs, tuyauterie, pompe, turbine, distributeur, vérins etc.) qu il rencontrent dans la vie active. ccompagné de 70 exercices corrigés d une façon détaillée, cet ouvrage rassemble un volume d applications pratiques intéressant qui en font une bonne préparation aux examens, aux concours et la vie professionnelle. Riadh EN HMOUD Ingénieur principal de l Ecole Nationale d Ingénieurs de Tunis, Diplômé de l Ecole Nationale Supérieure de l éronautique et de l Espace ENSE- SUP ERO de Toulouse. Enseignant agrégé en Génie Mécanique et Technologue à l Institut Supérieur des Etudes Technologiques de Djerba. Centre de Publication Universitaire, Tunis 008 ISN : Prix : dinards