Apprendre à compter de la GS au CM2

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1 Apprendre à compter de la GS au CM2 Sébastien MOISAN CPC Angoulême-préélémentaire

2 étape 1 De la GS au CP les premiers nombres d abord

3 Commencer Commencer à à conceptualiser conceptualiser le le système système décimal décimal Comprendre Comprendre les les usages usages du du nombre nombre Conceptualiser Conceptualiser les les premiers premiers nombres nombres Apprendre Apprendre à à lire lire les les écritures écritures chiffrées chiffrées 7 7 priorités priorités sur sur 2 2 ans ans Installer Installer l algorithme l algorithme d écriture d écriture des des nombres nombres Acquérir Acquérir une une placticité placticité du du nombre nombre Installer Installer le le statut statut particulier particulier du du 10 10

4 MS GS CP CE1 Comprendre les usages du nombre Conceptualiser les premiers nombres Algorithme d écriture des nbres Particularité du 10 Acquérir une plasticité du nombre Apprendre à lire les écritures chiffrées Conceptualiser le système décimal

5 Comprendre les usages du nombre Égaliser ou comparer des quantités Anticiper le résultat d une action sur des quantités (augmentation, diminution, réunion, partage) Repérer un rang dans une liste ordonnée Anticiper le résultat d un déplacement (en avant et en arrière) sur une piste graduée

6 Égaliser ou comparer des quantités

7 Anticiper le résultat d une action sur des quantités (augmentation, diminution, réunion, partage) La boîte de jetons Il y a 7 jetons dans la boîte. Je retire 2 jetons de la boîte. Combien y-a-t-il de jetons dans la boîte?

8 Repérer un rang dans une liste ordonnée

9 Anticiper le résultat d un déplacement (en avant et en arrière) sur une piste graduée

10 Conceptualiser les premiers nombres

11 Conceptualiser les premiers nombres Connaître le motnombre «8» Savoir lire et écrire le chiffre «8». Savoir compter jusqu à 8. Savoir que pour former une collection de 8 objets, on peut réunir une collection de 5 objets et une autre de 3, enlever 2 objets à une collection de 10, ajouter 1 objet à une collection de 7 CARDINAL Savoir construire une collection de 8 objets. Conceptualiser le nombre 8. Savoir que sur la bande numérique 8 est entre 5 et 10, qu il est juste après 7, qu il est juste avant 9, qu il est 3 après 5 ORDINAL Savoir taper 8 fois dans ses mains. Savoir exprimer le nombre 8 à l aide des repères 5 et 10. Savoir que 8 ça peut être 5 doigts et 3 doigts. Savoir que 8 c est 4 et 4.

12 Le panneau récapitulatifr

13 Faire un nombre avec ses doigts 7!

14 Le jeu de Lucky Luke Je dois utiliser mes deux mains le plus rapidement possible!

15 5! 3!

16 Le jeu des crayons Combien de crayons derrière mon dos?

17 J ai 2 crayons dans ma main droite.

18 J ai 3 crayons dans ma main gauche.

19 Combien de crayons derrière mon dos?

20 On écrit sur l ardoisel ardoise puis on vérifie. v

21 Le jeu du panier Combien de cubes dans mon panier?

22 «Je mets 3 cubes. Je mets 2 cubes. J en enlève 1. Combien de cubes dans mon panier?»

23

24

25

26 On vérifiev rifie

27 Le jeu de la grenouille La grenouille ne saute pas sur les flèches bleues.

28 Chaque enfant dit un nombre de la suite numérique. Celui qui doit dire un nombre marqué d une flèche bleue, se tait et met sa main devant sa bouche.

29 Le maître ne sait plus compter! J écris les nombres oubliés par le maître.

30 « »

31 On écrit sur son ardoise

32 cinq à la suite J écris les 5 nombres qui se suivent.

33 Le maître dispose des cartes sur la réglette r du tableau. 5 se suivent

34 J écris sur mon ardoise les 5 cartes qui se suivent

35 Installer l algorithme d écriture des nombres jusqu à 99

36

37

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39

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41

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44

45 Installer le statut particulier du 10 Savoir compter de 10 en 10 Connaître les compléments à 10

46 «Le premier arrivé à 10» niveau 1

49 «Combien il en manque pour faire 10?»

50 «Les dominos des compléments à 10.»

51 «Le défi des compléments à 10.»

52 «Combien vaut la carte?»

53 Acquérir une plasticité du nombre

54 Deux pirates ont trouvé un trésor de 18 pièces d or. Comment peuvent-ils se le partager? 18= , c est 9 et 9 18, c est 10 et 8 18 c est juste avant 19 Quelle image du nombre 18 vaisje utiliser? 18, c est 3 après 15 18, c est entre 15 et 20 18, c est juste après 17 Il faut faire des choix stratégiques!

55 Deux pirates ont trouvé un trésor de 18 pièces d or. Comment peuvent-ils se le partager? 18, c est 10 et 8 18, c est 3 après 15 18, c et juste après 17

56 Le jeu des papiers pliés Deux équipes dans la classe. Un papier plié circule dans chaque équipe. Chaque membre de l équipe écrit une écriture de 18 sans voir ce que les autres ont écrit. L équipe victorieuse sera celle qui aura le plus d écritures différentes de 18.

57 Installer des stratégies de décompositionrecomposition Il faut que ça «bidouille» dans les têtes Discours de Muhammad CE1 Il s agit d ajouter 37 et 23. «Je prends ma grande épée et je tranche le 23. J ai un 20 et un 3. Je mets le 3 avec le 37, ça fait 40. Je mets le 20 avec le 40, ça fait 60!»

61 Apprendre à lire les écritures chiffrées Installer très en amont l algorithme d écriture des nombres jusqu à 99 pour créer de la stabilité au passage des irrégularités de 70 et 90.

62 Commencer à conceptualiser le système décimal

63 Combien d allumettes?

64 L enfant est capable d énumération. Il sépare ce qu il a déjà compté de ce qu il n a pas encore compté.

65 88

66 Tu en es certain?

67 L enfant organise les allumettes pour faciliter le comptage.

68 89

69 C est 88 ou 89?

70 L enfant utilise la même procédure pour recompter.

71 90

72 Une fois 88, une fois 89, une fois 90

73 L enfant commence à faire des paquets mais les paquets n ont pas tous 10 allumettes.

74 93

75 Tu en es certain? Non,j ai peut-être pas fait attention tout le temps.

76 L enfant fait des paquets de 10 mais il fait une erreur en dénombrant le nombre de paquets. 82

77 93 et 82, ce n est pas du tout pareil!

78 L enfant entoure les paquets de 10 avec un élastique. C est 92! J avais oublié un paquet.

79 étape 2 du CE1 au CE2 conceptualiser le système décimal mais pas trop tôt

80 Quelques copies d élèves

81 Ethan CE2

82 Extrait du cahier d essais d Ethan

83 Risque de fausse réussite! Ethan CE2

84 Lucas CE2

85 Si j enlève 6 unités, combien je vais avoir de dizaines?

86 Tu peux pas en enlever 6, il n y a que 5 unités!

87 J en ai 4135! Je peux bien en enlever 6 quand même

88 ???

89 Risque de fausse réussite!

90 Formidable! Il sait faire! Prudence Est-ce-qu il ne s agirait Pas d une fausse réussite?

91 Comprendre la numération décimale Qu est-ce qui pose problème?

92 «Comprendre la numération décimale, c est être capable d adopter un double point de vue.» R. Brissiaud L enfant doit percevoir la dizaine comme une grande unité et également comme une composition de 10 «petites unités». L enfant doit percevoir la centaine comme une grande unité et également comme une composition de 10 «petites unités». L enfant doit percevoir le millier comme une grande unité et également comme une composition de 10 «petites unités».

93

94

95

96 Comment faire comprendre ce double point de vue?

97 Il faut manipuler! oui, mais comment? 6 conditions pour que la situation soit porteuse de sens pour les élèves

98 Le matériel est contenant Construire avec les élèves du matériel de ce type.

99 Le matériel est contenant et organisé Construire avec les élèves du matériel de ce type.

100 Travailler en évocation du matériel Je ne peux le toucher que pour vérifier. Différence entre le bricolage et les mathématiques.

101 Convoquer le double point de vue On demande aux élèves de compter le nombre de «paquets de 10», en précisant éventuellement de ne pas oublier ceux qui sont cachés. L important c est que l enfant comprenne, en acte, l équivalence: 12 d et 4 u = 1 c et 2 d et 4 u

102 Une autre piste pour éviter le verbalisme des figurations: l échelle des niveaux conceptuels Le pédagogue doit réfléchir aux termes qu il emploie pour dénommer ces figurations. L enseignant doit voyager entre quatre niveaux conceptuels pour donner sens à ces figurations. Quel est le nombre de centaines? Quel est le nombre de paquets de 100? Quel est le nombre de paquets de 100 papiers? Quel est le nombre d enveloppes de 100 papiers?

103 Multiplier les représentations pour passer à l abstraction

104 6 conditions pour que la situation soit porteuse de sens pour les élèves Un matériel réellement contenant multiplier les représentations Un matériel organisé voyager sur l échelle des niveaux conceptuels convoquer le «double point de vue» travailler en évocation, à distance du matériel

105 Regard critique sur quelques pratiques

106 À propos du tableau de numération centaines 2 dizaines 0 unités 3 «Le tableau de numération isole les chiffres de l écriture d un nombre au risque de leur donner une sorte de «vie autonome». Cela rend donc plus difficiles les réponses aux questions du type «combien de dizaines dans 203?»» Roland CHARNAY «Le tableau de numération peut constituer une béquille provisoire, mais il faut parvenir à ce que l élève puisse dire directement que «203 billes» évoque une quantité de billes organisée en 2 groupement de 100 billes et 3 billes isolées.» Roland CHARNAY

107 À propos de quelques pages de manuels

111 étape 3 Du CE2 au CM2 entretenir la conceptualisation du système décimal et pourquoi pas du CE2 à la 3 ème

112 Une évaluation diagnostique Ecole de : maîtrise de la numération de position G H N comprendre la notion de nombre de dizaines O P trouver des équivalences entre un nombre de dizaines et un nombre de centaines UV recomposer un nombre avec plus de 10 unités à certains ordres K L Résoudre un problème en ayant recours à la maîtrise du système décimal W NOMBRE D'ELEVES PAR NIVEAUX CE2 CM1 CM2

113

114

115 Quelques résultats dans des classes charentaises (résultats sur 178 élèves) Maîtrise de la numération de position CE2 61% de réussite CM1 87% de réussite CM2 77% de réussite

116 Trouver des équivalences entre un nombre de dizaines et un nombre de centaines CE2 22% de réussite CM1 48% de réussite CM2 47% de réussite

117 Recomposer un nombre avec plus de 10 unités à certains ordres. CE2 24% de réussite CM1 33% de réussite CM2 51% de réussite

118 Résoudre un problème en ayant recours à la maîtrise du système décimal CE2 8% de réussite CM1 47% de réussite CM2 44% de réussite

119 Suivi d une recherche action sur 4 écoles

120 Les acteurs de la recherche Frédérick Tempier Enseignant Chercheur École de Chavenat Cécile Becque École de Barret Aurélie Haachir Agnès Hamouche École de Bonnes Mathieu Becque École de Blanzac Sophie Guerin Christophe Merlet Sébastien Moisan CPC Angoulême Sud

121

122 7 dizaines + 3 centaines + 5 unités = résultats école XXX septembre CE2 CM1 CM2 GHN sept 75% 94% 95% 537 =.. dizaines +..unités GHN circo 61% 87% 77% OP sept 8% 61% 100% OP circo 51% 65% 75% 60 dizaines =.. centaines UV sept 0% 55% 75% UV circo 22% 48% 47% 2 centaines + 13 dizaines + 7 unités = KL sept 17% 55% 65% Le marchand de bonbons a 735 sucettes. Il veut les vendre par paquets de 10. Combien de paquets peut-il préparer? KL circo W sept 24% 8% 33% 44% 51% 75% W circo 8% 47% 44%

123 7 dizaines + 3 centaines + 5 unités = résultats école YYYYY septembre CE2 CM1 CM2 GHN sept 25% 70% 82% 537 =.. dizaines +..unités GHN circo 61% 87% 77% OP sept 66% 60% 59% OP circo 51% 65% 75% 60 dizaines =.. centaines UV sept 0% 35% 59% UV circo 22% 48% 47% 2 centaines + 13 dizaines + 7 unités = KL sept 0% 40% 53% Le marchand de bonbons a 735 sucettes. Il veut les vendre par paquets de 10. Combien de paquets peut-il préparer? KL circo W sept 24% 0% 33% 25% 51% 23% W circo 8% 47% 44%

124 Mise en place de travail en «barrettes» dans les écoles 1 fois par semaine dans l école X 2 fois par semaine dans l école Y

125 Travail du groupe le plus fragile groupe N 1

126 Construire avec les élèves du matériel de ce type.

127 Faire de nombreux problèmes d évocation à partir de ce matériel de classe (non manipulable par les élèves). On demande aux élèves de compter le nombre de «paquets de 10», en précisant éventuellement de ne pas oublier ceux qui sont cachés. L important c est que l enfant comprenne, en acte, l équivalence: 12 d et 4 u = 1 c et 2 d et 4 u

128 Travail du groupe moyen groupe N 2

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132 6 conditions pour que la situation soit porteuse de sens pour les élèves Un matériel réellement contenant multiplier les représentations Un matériel organisé voyager sur l échelle des niveaux conceptuels convoquer le «double point de vue» travailler en évocation, à distance du matériel

133 Des pistes d activités pour éviter ces fausses réussites Construire avec les élèves du matériel de ce type.

134 Une autre piste pour éviter le verbalisme des figurations: l échelle des niveaux conceptuels Le pédagogue doit réfléchir aux termes qu il emploie pour dénommer ces figurations. L enseignant doit voyager entre quatre niveaux conceptuels pour donner sens à ces figurations. Quel est le nombre de centaines? Quel est le nombre de groupes de 100? Quel est le nombre de groupes de 100 papiers? Quel est le nombre d enveloppes de 100 papiers?

135 Multiplier les représentations

136 Travail du groupe fort groupe N 3

137 numerationdecimale.free.fr

142 Ermel, cahier de l élève CE2, HATIER

143 Ermel, cahier de l élève CE2, HATIER

144 641 Calcul mental au cycle 3, collection mosaïque HATIER

147 Calcul mental au cycle 3, collection mosaïque HATIER

148 évaluation en mars

149 7 dizaines + 3 centaines + 5 unités = résultats école XXX septembre/mars CE2 CM1 CM2 GHN sept 75% 94% 95% GHN mars 91% 100% 100% 537 =.. dizaines +..unités GHN circo 61% 87% 77% OP sept 8% 61% 100% OP mars 83% 100% 90% OP circo 51% 65% 75% 60 dizaines =.. centaines UV sept 0% 55% 75% UV mars 66% 94% 85% UV circo 22% 48% 47% 2 centaines + 13 dizaines + 7 unités = KL sept 17% 55% 65% KL mars 66% 100% 81% Le marchand de bonbons a 735 sucettes. Il veut les vendre par paquets de 10. Combien de paquets peut-il préparer? KL circo W sept W mars 24% 8% 58% 33% 44% 94% 51% 75% 90% W circo 8% 47% 44%

150 7 dizaines + 3 centaines + 5 unités = résultats école YYY septembre/mars CE2 CM1 CM2 GHN sept 25% 70% 82% GHN mars 92% 100% 100% 537 =.. dizaines +..unités GHN circo 61% 87% 77% OP sept 66% 60% 59% OP mars 69% 94% 100% OP circo 51% 65% 75% 60 dizaines =.. centaines UV sept 0% 35% 59% UV mars 46% 94% 76% UV circo 22% 48% 47% 2 centaines + 13 dizaines + 7 unités = KL sept 0% 40% 53% KL mars 69% 94% 88% Le marchand de bonbons a 735 sucettes. Il veut les vendre par paquets de 10. Combien de paquets peut-il préparer? KL circo W sept W mars 24% 0% 31% 33% 25% 94% 51% 23% 65% W circo 8% 47% 44%

151 7 dizaines + 3 centaines + 5 unités = résultats école ZZZ septembre/janvier CM1 CM2 GHN sept 100% 100% GHN mars 100% 100% 537 =.. dizaines +..unités GHN circo 87% 77% OP sept 100% 100% OP mars 100% 88% OP circo 65% 75% 60 dizaines =.. centaines UV sept 55% 100% UV mars 100% 75% UV circo 48% 47% 2 centaines + 13 dizaines + 7 unités = KL sept 82% 86% KL mars 100% 75% Le marchand de bonbons a 735 sucettes. Il veut les vendre par paquets de 10. Combien de paquets peut-il préparer? KL circo W sept W mars 33% 55% 100% 51% 100% 88% W circo 47% 44%

152 Quelles sont les activités les plus pratiquées?

153 Des activités de «rebrassage» ritualisées et régulières tout au long du cycle 3. Combien de dizaines sont posées sur la table?

154 Si j enlève 4 dizaines, combien de centaines seront posées sur la table?

155 Si j ajoute 90 petits papiers, combien de centaines seront posées sur la table?

160 Une nouveau problème apparaît

161 Évolution du niveau de maîtrise du concept de numération décimale CE2 CM1 CM2 20 0

162 étape 4 Du CM1 à la 6 ème Comment enseigner les nombres décimaux? attention à ne pas tout casser!

163 enseigner les nombres décimaux dans la continuité de la conceptualisation du système décimal

164 Un nouveau matériel de numération introduit au cycle 3

165 Combien de dixièmes sont posés sur la table?

166 Si j ajoute 6 dixièmes, combien je vais avoir d unités?

167 Si j enlève 7 dixièmes, combien je vais avoir d unités?

168 Quel est le nombre représenté?

169 Quel est le plus grand des deux nombres?

170 Multiplier les représentations

171 Faire beaucoup parler les élèves avant d écrire quoi que ce soit. «Un et sept dixièmes»

172 Une habitude de lecture qui facilite la compréhension «Une unité quatre dixièmes et cinq centièmes» 1,45 «Une unité et quarantecinq centièmes» «Un virgule quarante cinq»

173 Comparer en raisonnant Comparer les nombres à l aide du matériel disponible 2,12 2,7 2,08 1,45

174 1,45 2,08 2,12 2,7

175 S entraîner ner à multiplier par 10, 100, 1000 Quand on multiplie un nombre par 10, chaque chiffre prend une valeur "10 fois plus grande" X 10 0,12 1,2

176 20,45 x 10, milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes Roland Charnay Ce n'est pas la virgule qui se déplace, mais les chiffres qui "changent" de valeur 176

177 Remettre en cause l idl idée e de nombre suivant Il est possible d intercaler d à l infini. 177 ML Peltier 2010

178 Il est indispensable d étudier les spécificités des nombres décimaux par rapport aux nombres entiers, en particulier au regard de la relation d ordre. Le lien à établir avec les connaissances acquises à propos des entiers est essentiel. Avoir une bonne compréhension des relations entre les différentes unités de numération des entiers (unités, dizaines, centaines de chaque ordre...) permet de les prolonger aux dixièmes, centièmes, etc. Extrait du projet de programme 2015 pour le cycle 3

179 Bibliographie Numerationdecimale.free.fr