IV-Projection stéréographique (PS)

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1 IV-Projection stéréographique (PS) Pour visualiser la symétrie macroscopique des cristaux, on a besoin d'un outil de réprésentation puissant. Le mieux adapté et le plus utilisé est la PS. 1-Définition, construction Soient une sphère de centre 0, de rayon R, NS un de ses diamètres, P un point quelconque de la sphère et p l'intersection de SP avec le plan équatorial normal à NS. p est l'image par transformée stéréographique (ou le transformé stéréographique) de P (figure 5a).

2 A-Propriétés la PS transforme une sphère en son plan équatorial, le plan de projection, tout cercle tracé sur la sphère se transforme en deux arcs de cercle sur le plan équatorial. Cas particuliers : en un cercle si le cercle de départ est parallèle au plan équatorial, en une droite si le cercle de départ est perpendiculaire au plan équatorial et de diamètre égal à celui de la sphère, la PS conserve les angles (on va pouvoir l'utiliser pour mesurer les angles entre les faces du cristal et/ou entre les plans réticulaires).

3 B-PS d'un cristal Le cristal est placé au centre de la sphère. Depuis le centre, on trace les normales OP i aux faces (les rangées du RR correspondant aux plans du RD parallèles aux faces). Les points P i intersections des demi-droites avec la sphère sont appelés les pôles des faces. Pour les représenter tous, on utilise comme centres de projection le pôle sud S pour les pôles de l'hémisphère Nord et le pôle nord N pour les pôles de l'hémisphère Sud. Par convention, on note les premiers avec des croix et les deuxièmes avec des cercles. La direction de la normale à une face est caractérisée par deux angles : {NOP}=ρ (angle d'inclinaison) et {COA}=ϕ (angle azimuthal). Expérimentalement, les angles entre les faces d'un cristal sont déterminés par des mesures optiques effectués avec un goniomètre à deux cercles.

4 C-Canevas de Wulff (figure 5b et 6) Pour mesurer les angles entre les PS des pôles, on peut utiliser un canevas qui représente la PS d'un réseau de parallèles et de méridiens, le canevas de Wulff. Ce réseau, généralement gradué de 2 en 2, est formé de grands cercles et de petits cercles. Les grands cercles correspondent aux projections des méridiens (grands cercles passant par le diamètre CD). Les petits cercles EFG correspondent aux projections des parallèles (petits cercles intersections de la sphère avec les cônes d'axe CD). La circonférence du plan équatorial correspond à un angle de 360. Chaque grand cercle (et les deux diamètres) correspondent à un angle de 180 (projection d'un demi-cercle).

5 Applications du canevas : construction d un stéréogramme : on trace sur un calque le cercle de projection et l axe AB, origine des angles azimuthaux. Un pôle d angle ϕ=0 se trouve sur AB en un point, situé sur le grand cercle d inclinaison ρ. Un pôle d angle ϕ 0 se trouve sur OE et sur le grand cercle d inclinaison ρ, qu on trouve en amenant, par rotation du calque, la droite AB du canevas en coïncidence avec la droite OE du calque. Il est indispensable de procéder à cette rotation du calque pour pouvoir utiliser la graduation angulaire sur l axe AB. On peut aussi se faire assister par un ordinateur (cf TP Carine).

6 Applications du canevas : * mesure de l'angle entre deux pôles : l'angle entre deux faces est égal à l'angle entre les normales aux deux faces, égal à l'angle entre les PS des pôles P et Q. Pour mesurer cet angle, on fait tourner le calque sur lequel est dessiné la PS au dessus du canevas jusqu'à ce que les deux points se placent sur le même grand cercle. On lit alors directement l'angle entre les deux points, en comptant le nombre d intersections avec les petits cercles, * pôle d'une zone : on recherche l'axe d'une zone. La PS des pôles des plans en zone est un grand cercle, appelé cercle de zone. On recherche la PS du pôle qui se trouve à 90 de ce cercle de zone. C'est le point a, situé à 90 sur l'axe normal au cercle de zone (figure 5c).